Երկու ամբողջ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը: Ի՞նչ է հանգույցը: Բաժանում. շահաբաժին` բաժանարար = քանորդ
Լանջինովա Աիսա
Ներբեռնել:
Նախադիտում:
Ներկայացման նախադիտումներից օգտվելու համար ստեղծեք Google հաշիվ և մուտք գործեք այն՝ https://accounts.google.com
Սլայդի ենթագրեր.
Խնդիրներ թվերի GCD-ի և LCM-ի վրա MCOU «Կամիշովսկայայի միջնակարգ դպրոցի» 6-րդ դասարանի աշակերտի աշխատանքը Լանցինովա Աիսա Ղեկավար Զոյա Էրդնիգորյաևնա Գորյաևա, մաթեմատիկայի ուսուցչուհի պ. Կամիշևո, 2013 թ
50, 75 և 325 թվերի gcd-ն գտնելու օրինակ: 1) 50, 75 և 325 թվերը դասավորենք պարզ գործակիցների: 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Այս թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ընդգրկված գործոններից գծում ենք նրանք, որոնք ներառված չեն մյուսների ընդլայնման մեջ. . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Գտեք մնացած գործակիցների արտադրյալը 5 ∙ 5 = 25 Պատասխան՝ GCD (50, 75 և 355 ամենամեծը բնական) թիվ, որով Երբ a և b թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի, այդ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կոչվում է այդ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար։
72, 99 և 117 թվերի LCM-ն գտնելու օրինակ: 1) 72, 99 և 117 թվերը դասավորենք պարզ գործակիցների մեջ: 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 99 = 3 ∙ 11 ∙ 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Գրի՛ր 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ներառված գործոնները և դրանց ավելացրու մնացած թվերի բացակայող գործակիցները։ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Գտեք ստացված գործակիցների արտադրյալը: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 = 10296 Պատասխան. LCM (72, 99 և 117) = 10296 Նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ բնական թվեր a-ն և b-ն անվանում են ամենափոքր բնական թիվը, որը a-ի և b-ի բազմապատիկն է:
Ստվարաթղթի թերթիկը ունի ուղղանկյունի ձև, որի երկարությունը 48 սմ է, լայնությունը՝ 40 սմ։Այս թերթիկը պետք է առանց թափոնների կտրել հավասար քառակուսիների։ Որո՞նք են ամենամեծ քառակուսիները, որոնք կարելի է ստանալ այս աշխատաթերթից և քանի՞սը: Լուծում. 1) S = a ∙ b – ուղղանկյան մակերեսը: S= 48 ∙ 40 = 1960 սմ²: - ստվարաթղթի տարածք: 2) ա – քառակուսու կողմը 48. ա – քառակուսիների քանակը, որոնք կարելի է դնել ստվարաթղթի երկարությամբ: 40. ա – քառակուսիների քանակը, որոնք կարելի է դնել ստվարաթղթի լայնությամբ: 3) GCD (40 և 48) = 8 (սմ) - քառակուսի կողմը: 4) S = a² - մեկ քառակուսի մակերես: S = 8² = 64 (սմ²) - մեկ քառակուսի մակերես: 5) 1960 թ.՝ 64 = 30 (քառակուսիների թիվը)։ Պատասխան՝ 30 քառակուսի` յուրաքանչյուրը 8 սմ կողմով: GCD խնդիրներ
Սենյակի բուխարիը պետք է սալիկապատված լինի քառակուսու տեսքով։ Քանի՞ սալիկ կպահանջվի 195 ͯ 156 սմ չափսի բուխարիի համար և որո՞նք են սալիկների ամենամեծ չափերը: Լուծում. 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (սմ²) – բուխարի մակերեսի S: 2) GCD (195 և 156) = 39 (սմ) - սալիկի կողմը: 3) S = a² = 39² = 1521 (սմ²) - 1 սալիկի տարածք: 4) 30420: = 20 (հատ). Պատասխան՝ 39 ͯ 39 (սմ) 20 սալիկ։ GCD խնդիրներ
Պարագծի շուրջ 54 ͯ 48 մ չափերով այգու հողամասը պետք է պարսպապատված լինի, դրա համար կանոնավոր ընդմիջումներով պետք է տեղադրվեն բետոնե սյուներ: Քանի՞ ձող պետք է բերվի տեղանքի համար, և միմյանցից առավելագույն ինչ հեռավորության վրա են տեղադրվելու սյուները: Լուծում` 1) P = 2(a + b) – տեղամասի պարագիծ: P = 2(54 + 48) = 204 մ. 2) GCD (54 և 48) = 6 (մ) - սյուների միջև հեռավորությունը: 3) 204: 6 = 34 (սյուներ): Պատասխան՝ 34 հենասյուն, 6 մ հեռավորության վրա ԳԿԴ խնդիրներ
Ծաղկեփնջերը հավաքվել են 210 բորդո, 126 սպիտակ և 294 կարմիր վարդերից, որոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում էր նույն գույնի հավասար քանակությամբ վարդեր։ Ո՞րն է այս վարդերից պատրաստված ծաղկեփնջերի ամենամեծ քանակը և քանի՞ գույնի վարդ կա մեկ ծաղկեփնջում: Լուծում. 1) GCD (210, 126 և 294) = 42 (ծաղկեփնջեր): 2) 210: 42 = 5 (բորդո վարդեր): 3) 126: 42 = 3 (սպիտակ վարդեր): 4) 294: 42 = 7 (կարմիր վարդեր): Պատասխան՝ 42 ծաղկեփունջ՝ 5 բորդո, 3 սպիտակ, 7 կարմիր վարդեր յուրաքանչյուր ծաղկեփնջում։ GCD խնդիրներ
Տանյան և Մաշան գնել են նույնքան փոստային փաթեթներ: Տանյան վճարել է 90 ռուբլի, իսկ Մաշան՝ 5 ռուբլի։ ավելին։ Որքա՞ն արժե մեկ հավաքածուն: Քանի՞ հավաքածու է գնել յուրաքանչյուր մարդ: Լուծում. 1) 90 + 5 = 95 (ռուբ.) Մաշան վճարել է։ 2) GCD (90 և 95) = 5 (ռուբ.) – 1 հավաքածուի գինը: 3) 980: 5 = 18 (կոմպլեկտներ) – գնել է Տանյան: 4) 95: 5 = 19 (կոմպլեկտներ) – գնել է Մաշան: Պատասխան՝ 5 ռուբլի, 18 կոմպլեկտ, 19 կոմպլեկտ: GCD խնդիրներ
Նավահանգստային քաղաքում սկսվում է երեք տուրիստական նավով շրջագայություն, որոնցից առաջինը տևում է 15 օր, երկրորդը՝ 20, իսկ երրորդը՝ 12 օր։ Վերադառնալով նավահանգիստ՝ նույն օրը նավերը նորից ճանապարհ ընկան։ Այսօր նավերը լքել են նավահանգիստը բոլոր երեք երթուղիներով։ Քանի՞ օրից նրանք առաջին անգամ նորից միասին նավարկելու են։ Քանի՞ ուղևորություն կկատարի յուրաքանչյուր նավ: Լուծում. 1) ԱՕԿ (15,20 և 12) = 60 (օր) – հանդիպման ժամը: 2) 60: 15 = 4 (ճանապարհորդություն) – 1 նավ: 3) 60: 20 = 3 (ճանապարհորդություն) – 2 նավ: 4) 60: 12 = 5 (թռիչք) – 3 նավ: Պատասխան՝ 60 օր, 4 չվերթ, 3 չվերթ, 5 չվերթ։ ԱՕԿ-ի առաջադրանքները
Մաշան Արջի համար ձու է գնել խանութից։ Անտառ գնալու ճանապարհին նա հասկացավ, որ ձվերի թիվը բաժանվում է 2,3,5,10 և 15-ի: Քանի՞ ձու է գնել Մաշան: Լուծում՝ LOC (2;3;5;10;15) = 30 (ձու) Պատասխան՝ Մաշան գնել է 30 ձու։ ԱՕԿ-ի առաջադրանքները
Պահանջվում է քառակուսի հատակով տուփ պատրաստել՝ 16 ͯ 20 սմ չափսերով տուփեր տեղադրելու համար: Ո՞րն է քառակուսի ներքևի կողմի ամենակարճ երկարությունը, որպեսզի տուփերը սերտորեն տեղավորվեն տուփի մեջ: Լուծում` 1) LCM (16 և 20) = 80 (արկղեր): 2) S = a ∙ b - 1 տուփի տարածք: S = 16 ∙ 20 = 320 (սմ²) - 1 տուփի ներքևի տարածք: 3) 320 ∙ 80 = 25600 (սմ²) - քառակուսի հատակի մակերեսը: 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – տուփի չափսերը: Պատասխան՝ 160 սմ քառակուսի հատակի կողմն է։ ԱՕԿ-ի առաջադրանքները
K կետից ճանապարհի երկայնքով ամեն 45 մ-ն էլեկտրասյուներ են, որոնք որոշել են փոխարինել մյուսներով՝ տեղադրելով միմյանցից 60 մ հեռավորության վրա։ Քանի՞ սյուն կար և քանի՞սը կլինի: Լուծում` 1) LCM (45 և 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 – կային սյուներ: 3) 180: 60 = 3 – դարձան սյուներ: Պատասխան՝ 4 սյուն, 3 սյուն։ ԱՕԿ-ի առաջադրանքները
Քանի՞ զինվոր է երթով անցնում շքերթի հրապարակով, եթե նրանք երթում են 12 հոգանոց շարասյունով և վերածվում շարասյան 18 հոգանոց շարասյունի։ Լուծում` 1) ԱՕԿ (12 և 18) = 36 (մարդ) - երթ. Պատասխան՝ 36 հոգի։ ԱՕԿ-ի առաջադրանքները
Եկեք գտնենք GCD-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (36; 24)
Լուծման քայլեր
Մեթոդ թիվ 1
36
- կոմպոզիտային համարը
24
- կոմպոզիտային համարը
Ընդարձակենք 36 թիվը
36:
2
= 18
18:
2
= 9
- բաժանվում է պարզ թվի 2-ի վրա
9:
3
=
3
- բաժանվում է 3 պարզ թվի վրա:
Քանդենք 24 թիվը հիմնական գործոնների մեջ և ընդգծիր դրանք կանաչով: Մենք սկսում ենք պարզ թվերից բաժանարար ընտրել՝ սկսած ամենափոքր պարզ թվից 2, մինչև որ գործակիցը պարզ թվա
24:
2
= 12
- բաժանվում է պարզ թվի 2-ի վրա
12:
2
= 6
- բաժանվում է պարզ թվի 2-ի վրա
6:
2
=
3
Մենք լրացնում ենք բաժանումը, քանի որ 3-ը պարզ թիվ է
2) Նշի՛ր այն կապույտով և դուրս գրի՛ր ընդհանուր գործոնները
36
=
2
⋅
2
⋅
3
⋅
3
24
=
2
⋅
2
⋅
2
⋅
3
Ընդհանուր գործոններ (36; 24): 2, 2, 3
3) Այժմ, GCD-ն գտնելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել ընդհանուր գործոնները
Պատասխան՝ GCD (36; 24) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12
Մեթոդ թիվ 2
1) Գտե՛ք թվերի բոլոր հնարավոր բաժանարարները (36; 24): Դա անելու համար 36 թիվը հերթով կբաժանենք 1-ից 36-ի, իսկ 24-ը բաժանարարների՝ 1-ից 24-ի։ Եթե թիվը բաժանվում է առանց մնացորդի, ապա բաժանարարը գրում ենք բաժանարարների ցանկում։
36 համարի համար
36:
1
= 36;
36:
2
= 18;
36:
3
= 12;
36:
4
= 9;
36:
6
= 6;
36:
9
= 4;
36:
12
= 3;
36:
18
= 2;
36:
36
= 1;
24 համարի համար Գրենք բոլոր այն դեպքերը, երբ այն բաժանվում է առանց մնացորդի.
24:
1
= 24;
24:
2
= 12;
24:
3
= 8;
24:
4
= 6;
24:
6
= 4;
24:
8
= 3;
24:
12
= 2;
24:
24
= 1;
2) Գրենք (36; 24) թվերի բոլոր ընդհանուր բաժանարարները և կանաչով ընդգծենք ամենամեծը, սա կլինի թվերի gcd-ի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (36; 24)
Թվերի ընդհանուր գործակիցները (36; 24)՝ 1, 2, 3, 4, 6, 12
Պատասխան՝ GCD (36 ; 24) = 12
Եկեք գտնենք LCM-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (52; 49)
Լուծման քայլեր
Մեթոդ թիվ 1
1) Թվերը դասավորենք պարզ գործակիցների: Դա անելու համար եկեք ստուգենք, թե արդյոք թվերից յուրաքանչյուրը պարզ է (եթե թիվն պարզ է, ապա այն չի կարող տարրալուծվել պարզ գործոնների, և դա ինքնին տարրալուծում է):
52
- կոմպոզիտային համարը
49
- կոմպոզիտային համարը
Ընդարձակենք 52 թիվը հիմնական գործոնների մեջ և ընդգծիր դրանք կանաչով: Մենք սկսում ենք պարզ թվերից բաժանարար ընտրել՝ սկսած ամենափոքր պարզ թվից 2, մինչև որ գործակիցը պարզ թվա
52:
2
= 26
- բաժանվում է պարզ թվի 2-ի վրա
26:
2
=
13
- բաժանվում է պարզ թվի 2-ի վրա:
Մենք լրացնում ենք բաժանումը, քանի որ 13-ը պարզ թիվ է
Ընդարձակենք 49 թիվը հիմնական գործոնների մեջ և ընդգծիր դրանք կանաչով: Մենք սկսում ենք պարզ թվերից բաժանարար ընտրել՝ սկսած ամենափոքր պարզ թվից 2, մինչև որ գործակիցը պարզ թվա
49:
7
=
7
- բաժանվում է 7 պարզ թվի վրա:
Մենք լրացնում ենք բաժանումը, քանի որ 7-ը պարզ թիվ է
2) Նախ գրի՛ր ամենամեծ թվի, իսկ հետո փոքր թվի գործակիցները: Գտնենք բացակայող գործոնները, ավելի փոքր թվի ընդլայնման մեջ կապույտով ընդգծենք այն գործոնները, որոնք ներառված չեն եղել մեծ թվի ընդլայնման մեջ։
52
= 2 ∙ 2 ∙ 13
49
=
7
∙
7
3) Այժմ LCM-ն գտնելու համար անհրաժեշտ է մեծ թվի գործակիցները բազմապատկել բացակայող գործակիցներով, որոնք ընդգծված են կապույտով։
LCM (52 ; 49) = 2 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 7 ∙ 7 = 2548
Մեթոդ թիվ 2
1) Գտե՛ք թվերի բոլոր հնարավոր բազմապատիկները (52; 49): Դա անելու համար մենք հերթափոխով կբազմապատկենք 52 թիվը 1-ից 49 թվերով, իսկ 49-ը 1-ից 52 թվերով:
Ընտրեք բոլոր բազմապատիկները 52 կանաչ.
52 ∙ 1 =
52
;
52 ∙ 2 =
104
;
52 ∙ 3 =
156
;
52 ∙ 4 =
208
;
52 ∙ 5 =
260
;
52 ∙ 6 =
312
;
52 ∙ 7 =
364
;
52 ∙ 8 =
416
;
52 ∙ 9 =
468
;
52 ∙ 10 =
520
;
52 ∙ 11 =
572
;
52 ∙ 12 =
624
;
52 ∙ 13 =
676
;
52 ∙ 14 =
728
;
52 ∙ 15 =
780
;
52 ∙ 16 =
832
;
52 ∙ 17 =
884
;
52 ∙ 18 =
936
;
52 ∙ 19 =
988
;
52 ∙ 20 =
1040
;
52 ∙ 21 =
1092
;
52 ∙ 22 =
1144
;
52 ∙ 23 =
1196
;
52 ∙ 24 =
1248
;
52 ∙ 25 =
1300
;
52 ∙ 26 =
1352
;
52 ∙ 27 =
1404
;
52 ∙ 28 =
1456
;
52 ∙ 29 =
1508
;
52 ∙ 30 =
1560
;
52 ∙ 31 =
1612
;
52 ∙ 32 =
1664
;
52 ∙ 33 =
1716
;
52 ∙ 34 =
1768
;
52 ∙ 35 =
1820
;
52 ∙ 36 =
1872
;
52 ∙ 37 =
1924
;
52 ∙ 38 =
1976
;
52 ∙ 39 =
2028
;
52 ∙ 40 =
2080
;
52 ∙ 41 =
2132
;
52 ∙ 42 =
2184
;
52 ∙ 43 =
2236
;
52 ∙ 44 =
2288
;
52 ∙ 45 =
2340
;
52 ∙ 46 =
2392
;
52 ∙ 47 =
2444
;
52 ∙ 48 =
2496
;
52 ∙ 49 =
2548
;
Ընտրեք բոլոր բազմապատիկները 49 կանաչ.
49 ∙ 1 =
49
;
49 ∙ 2 =
98
;
49 ∙ 3 =
147
;
49 ∙ 4 =
196
;
49 ∙ 5 =
245
;
49 ∙ 6 =
294
;
49 ∙ 7 =
343
;
49 ∙ 8 =
392
;
49 ∙ 9 =
441
;
49 ∙ 10 =
490
;
49 ∙ 11 =
539
;
49 ∙ 12 =
588
;
49 ∙ 13 =
637
;
49 ∙ 14 =
686
;
49 ∙ 15 =
735
;
49 ∙ 16 =
784
;
49 ∙ 17 =
833
;
49 ∙ 18 =
882
;
49 ∙ 19 =
931
;
49 ∙ 20 =
980
;
49 ∙ 21 =
1029
;
49 ∙ 22 =
1078
;
49 ∙ 23 =
1127
;
49 ∙ 24 =
1176
;
49 ∙ 25 =
1225
;
49 ∙ 26 =
1274
;
49 ∙ 27 =
1323
;
49 ∙ 28 =
1372
;
49 ∙ 29 =
1421
;
49 ∙ 30 =
1470
;
49 ∙ 31 =
1519
;
49 ∙ 32 =
1568
;
49 ∙ 33 =
1617
;
49 ∙ 34 =
1666
;
49 ∙ 35 =
1715
;
49 ∙ 36 =
1764
;
49 ∙ 37 =
1813
;
49 ∙ 38 =
1862
;
49 ∙ 39 =
1911
;
49 ∙ 40 =
1960
;
49 ∙ 41 =
2009
;
49 ∙ 42 =
2058
;
49 ∙ 43 =
2107
;
49 ∙ 44 =
2156
;
49 ∙ 45 =
2205
;
49 ∙ 46 =
2254
;
49 ∙ 47 =
2303
;
49 ∙ 48 =
2352
;
49 ∙ 49 =
2401
;
49 ∙ 50 =
2450
;
49 ∙ 51 =
2499
;
49 ∙ 52 =
2548
;
2) Գրենք (52; 49) թվերի բոլոր ընդհանուր բազմապատիկները և կանաչով ընդգծենք ամենափոքրը, սա կլինի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (52; 49):
Թվերի ընդհանուր բազմապատիկները (52; 49). 2548
Պատասխան՝ LCM (52; 49) = 2548
Բայց շատ բնական թվեր բաժանվում են նաև այլ բնական թվերի։
Օրինակ:
12 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի;
36 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի, 18-ի, 36-ի։
Այն թվերը, որոնցով թիվը բաժանվում է ամբողջի (12-ի համար դրանք 1, 2, 3, 4, 6 և 12 են) կոչվում են. թվերի բաժանարարներ. Բնական թվի բաժանարար ա- բնական թիվ է, որը բաժանում է տրված թիվը աառանց հետքի. Այն բնական թիվը, որն ունի երկուից ավելի բաժանարար, կոչվում է կոմպոզիտային .
Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ 12 և 36 թվերն ունեն ընդհանուր գործոններ: Այս թվերն են՝ 1, 2, 3, 4, 6, 12։ Այս թվերի ամենամեծ բաժանարարը 12-ն է։ Այս երկու թվերի ընդհանուր բաժանարարը։ աԵվ բ- սա այն թիվն է, որով տրված երկու թվերն էլ բաժանվում են առանց մնացորդի աԵվ բ.
Ընդհանուր բազմապատիկմի քանի թվեր այն թիվն է, որը բաժանվում է այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա: Օրինակ, 9, 18 և 45 թվերն ունեն 180-ի ընդհանուր բազմապատիկ: Բայց 90-ը և 360-ը նաև նրանց ընդհանուր բազմապատիկն են: Բոլոր ընդհանուր բազմապատիկներից միշտ կա ամենափոքրը՝ in այս դեպքումսա 90 է։ Այս թիվը կոչվում է ամենափոքրըընդհանուր բազմապատիկ (CMM).
LCM-ը միշտ բնական թիվ է, որը պետք է մեծ լինի այն թվերից ամենամեծից, որոնց համար այն սահմանված է:
Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM): Հատկություններ.
Փոխատեղելիություն:
Ասոցիատիվություն:
Մասնավորապես, եթե և են համապարփակ թվեր, ապա.
Երկու ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը մԵվ nբոլոր մյուս ընդհանուր բազմապատիկների բաժանարարն է մԵվ n. Ընդ որում՝ ընդհանուր բազմապատիկների բազմությունը m, nհամընկնում է LCM-ի բազմապատիկների բազմության հետ ( m, n).
Համար ասիմպտոտիկները կարող են արտահայտվել որոշ թվային-տեսական ֆունկցիաներով:
Այսպիսով, Չեբիշևի գործառույթը. Եվ.
Սա բխում է Landau ֆունկցիայի սահմանումից և հատկություններից g(n).
Ինչ է բխում պարզ թվերի բաշխման օրենքից.
Գտնելով ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM):
ԱՕԿ ( ա, բ) կարելի է հաշվարկել մի քանի եղանակով.
1. Եթե հայտնի է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, կարող եք օգտագործել դրա կապը LCM-ի հետ.
2. Թող հայտնի լինի երկու թվերի կանոնական տարրալուծումը պարզ գործոնների.
Որտեղ p 1,...,p k- տարբեր պարզ թվեր, և դ 1,...,դ կԵվ e 1 ,...,e k— ոչ բացասական ամբողջ թվեր (դրանք կարող են լինել զրո, եթե համապատասխան պարզը ընդլայնման մեջ չէ):
Այնուհետև ՀԱՕԿ ( ա,բ) հաշվարկվում է բանաձևով.
Այլ կերպ ասած, LCM տարրալուծումը պարունակում է բոլոր պարզ գործոնները, որոնք ներառված են թվերի տարրալուծումներից առնվազն մեկում ա, բ, և վերցված է այս բազմապատկիչի երկու ցուցիչներից ամենամեծը։
Օրինակ:
Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հաշվարկելը կարող է կրճատվել երկու թվերի LCM-ի մի քանի հաջորդական հաշվարկների.
Կանոն.Մի շարք թվերի LCM-ն գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.
- թվերը տարրալուծել պարզ գործոնների.
- ամենամեծ տարրալուծումը (տվյալների ամենամեծ թվի գործակիցների արտադրյալը) փոխանցել ցանկալի արտադրյալի գործակիցներին, այնուհետև գումարել առաջին թվի մեջ չհայտնված կամ դրանում չհայտնված այլ թվերի տարրալուծումից։ ավելի քիչ անգամ;
— պարզ գործակիցների ստացված արտադրյալը կլինի տվյալ թվերի LCM:
Ցանկացած երկու կամ ավելի բնական թվեր ունեն իրենց LCM-ն: Եթե թվերը միմյանց բազմապատիկ չեն կամ չունեն ընդլայնման նույն գործակիցները, ապա դրանց LCM-ն հավասար է այս թվերի արտադրյալին։
28 թվի պարզ գործակիցները (2, 2, 7) լրացվում են 3 գործակցով (թիվ 21), ստացված արտադրյալը (84) կլինի ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է 21-ի և 28-ի։
Ամենամեծ 30 թվի պարզ գործակիցները լրացվում են 25 թվի 5 գործակցով, ստացված 150 արտադրյալը մեծ է 30 ամենամեծ թվից և բաժանվում է բոլոր տրված թվերի վրա՝ առանց մնացորդի։ Սա նվազագույն արտադրանքհնարավորներից (150, 250, 300...), որոնց բոլոր տրված թվերը բազմապատիկ են։
2,3,11,37 թվերը պարզ թվեր են, ուստի դրանց LCM-ն հավասար է տրված թվերի արտադրյալին։
Կանոն. Պարզ թվերի LCM-ը հաշվարկելու համար հարկավոր է այս բոլոր թվերը միասին բազմապատկել:
Մեկ այլ տարբերակ.
Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.
1) յուրաքանչյուր թիվ ներկայացնել որպես իր պարզ գործակիցների արտադրյալ, օրինակ.
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) գրեք բոլոր պարզ գործոնների հզորությունները.
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) գրեք այս թվերից յուրաքանչյուրի բոլոր պարզ բաժանարարները (բազմապատկիչները).
4) ընտրել դրանցից յուրաքանչյուրի ամենամեծ աստիճանը, որը գտնվել է այս թվերի բոլոր ընդլայնումների մեջ.
5) բազմապատկել այս ուժերը.
Օրինակ. Գտե՛ք 168, 180 և 3024 թվերի LCM:
Լուծում. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1:
Մենք գրում ենք բոլոր պարզ բաժանարարների ամենամեծ հզորությունները և բազմապատկում դրանք.
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120:
Ամենամեծ բնական թիվը, որով a և b թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի, կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըայս թվերը. Նշեք GCD(a, b):
Դիտարկենք GCD-ի հայտնաբերումը երկու բնական թվերի 18 և 60 օրինակով.
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 Եվ 432
Եկեք թվերը դասավորենք պարզ գործոնների.
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Անցնելով առաջին թվից, որի գործակիցները երկրորդ և երրորդ թվերում չկան, ստանում ենք.
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
Արդյունքում, GCD ( 324 , 111 , 432 )=3
Գտեք GCD-ն՝ օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը
Մեծագույն ընդհանուր բաժանարարը գտնելու երկրորդ եղանակը օգտագործումն է Էվկլիդյան ալգորիթմ. Էվկլիդյան ալգորիթմն ամենաշատն է արդյունավետ միջոցգտնելը GCD, օգտագործելով այն պետք է անընդհատ գտնել թվերի բաժանման մնացորդը և կիրառել կրկնության բանաձեւ.
Կրկնության բանաձեւ GCD-ի համար, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), որտեղ a mod b-ը a-ի մնացորդն է, որը բաժանվում է b-ի:
Էվկլիդեսի ալգորիթմը
Օրինակ Գտեք թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 7920 Եվ 594
Եկեք գտնենք GCD ( 7920 , 594 ) օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը, մենք հաշվարկելու ենք բաժանման մնացորդը հաշվիչի միջոցով:
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0
Արդյունքում մենք ստանում ենք GCD( 7920 , 594 ) = 198
Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը
Տարբեր հայտարարներով կոտորակներ գումարել-հանելիս ընդհանուր հայտարար գտնելու համար պետք է իմանալ և կարողանալ հաշվել. նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ(NOK):
«Ա» թվի բազմապատիկը այն թիվն է, որն ինքնին բաժանվում է «ա» թվի վրա՝ առանց մնացորդի:
8-ի բազմապատիկ թվեր (այսինքն՝ այս թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 8-ի). սրանք 16, 24, 32 թվերն են։
9-ի բազմապատիկները՝ 18, 27, 36, 45…
Տրված a թվի բազմապատիկները անսահմանորեն շատ են՝ ի տարբերություն նույն թվի բաժանարարների։ Կա սահմանափակ թվով բաժանարարներ:
Երկու բնական թվերի ընդհանուր բազմապատիկը մի թիվ է, որը բաժանվում է այս երկու թվերի վրա:.
Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըԵրկու կամ ավելի բնական թվերի (LCM) ամենափոքր բնական թիվն է, որն ինքնին բաժանվում է այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա։
Ինչպես գտնել NOC
LCM-ը կարելի է գտնել և գրել երկու եղանակով.
LOC-ը գտնելու առաջին միջոցը
Այս մեթոդը սովորաբար օգտագործվում է փոքր թվերի համար:
- Յուրաքանչյուր թվի բազմապատիկները գրում ենք տողի վրա, մինչև գտնենք մի բազմապատիկ, որը նույնն է երկու թվերի համար:
- Մենք նշում ենք «ա» թվի բազմապատիկը մեծատառ«TO».
Օրինակ. Գտեք LCM 6 և 8:
LOC-ը գտնելու երկրորդ ճանապարհը
Այս մեթոդը հարմար է օգտագործել երեք կամ ավելի թվերի համար LCM-ն գտնելու համար:
Թվերի տարրալուծման միանման գործոնների թիվը կարող է տարբեր լինել:
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
Պատասխան՝ LCM (24, 60) = 120
Դուք կարող եք նաև պաշտոնականացնել նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) գտնելը հետևյալ կերպ. Եկեք գտնենք LOC-ը (12, 16, 24):
24 = 2 2 2 3
Ինչպես տեսնում ենք թվերի տարրալուծումից, 12-ի բոլոր գործոնները ներառված են 24-ի տարրալուծման մեջ (թվերից ամենամեծը), ուստի LCM-ին ավելացնում ենք միայն մեկ 2-ը 16 թվի տարրալուծումից։
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Պատասխան՝ LCM (12, 16, 24) = 48
ՀԱՕԿ-ի հայտնաբերման հատուկ դեպքեր
Օրինակ, LCM (60, 15) = 60
Քանի որ համատեղ պարզ թվերը չունեն ընդհանուր պարզ գործակիցներ, նրանց ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է այս թվերի արտադրյալին:
Մեր կայքում դուք կարող եք նաև օգտագործել հատուկ հաշվիչ՝ առցանց գտնելու ամենաքիչ տարածված բազմապատիկը ձեր հաշվարկները ստուգելու համար:
Եթե բնական թիվը բաժանվում է միայն 1-ի և ինքն իրեն, ապա այն կոչվում է պարզ:
Ցանկացած բնական թիվ միշտ բաժանվում է 1-ի և ինքն իր վրա։
2 թիվը ամենափոքր պարզ թիվն է։ Սա միակ պարզ թիվն է, մնացած պարզ թվերը կենտ են։
Պարզ թվերը շատ են, և դրանցից առաջինը 2-ն է։ Այնուամենայնիվ, վերջին պարզ թիվ չկա: «Ուսումնասիրության համար» բաժնում կարող եք ներբեռնել մինչև 997 պարզ թվերի աղյուսակ:
Բայց շատ բնական թվեր բաժանվում են նաև այլ բնական թվերի։
- 12 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի;
- 36 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի, 18-ի, 36-ի։
- թվերի բաժանարարները տարրալուծել պարզ գործակիցների.
Այն թվերը, որոնցով թիվը բաժանվում է ամբողջի (12-ի համար դրանք 1, 2, 3, 4, 6 և 12 են) կոչվում են թվի բաժանարարներ։
Ա բնական թվի բաժանարարը այն բնական թիվն է, որը տրված «ա» թիվը բաժանում է առանց մնացորդի։
Այն բնական թիվը, որն ունի երկուից ավելի բաժանարար, կոչվում է բաղադրյալ:
Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ 12 և 36 թվերն ունեն ընդհանուր գործոններ: Այս թվերն են՝ 1, 2, 3, 4, 6, 12։ Այս թվերի ամենամեծ բաժանարարը 12-ն է։
Երկու տրված «a» և «b» թվերի ընդհանուր բաժանարարն այն թիվն է, որով երկու տրված «a» և «b» թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի:
Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը(GCD) երկու տրված «a» և «b» թվերից է ամենամեծ թիվը, որով երկու «ա» և «բ» թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի։
Համառոտ, «a» և «b» թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գրվում է հետևյալ կերպ.:
Օրինակ՝ gcd (12; 36) = 12:
Լուծման գրառման մեջ թվերի բաժանարարները նշվում են «D» մեծատառով:
7 և 9 թվերն ունեն միայն մեկ ընդհանուր բաժանարար՝ թիվ 1։ Նման թվերը կոչվում են համապարփակ թվեր.
Համապարփակ թվեր- սրանք բնական թվեր են, որոնք ունեն միայն մեկ ընդհանուր բաժանարար՝ թիվ 1: Նրանց gcd-ն 1 է:
Ինչպես գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը
Երկու կամ ավելի բնական թվերի gcd-ն գտնելու համար անհրաժեշտ է.
Հարմար է հաշվարկներ գրել՝ օգտագործելով ուղղահայաց բար։ Տողից ձախ նախ գրում ենք շահաբաժինը, աջում՝ բաժանարարը։ Հաջորդը, ձախ սյունակում մենք գրում ենք գործակիցների արժեքները:
Անմիջապես բացատրենք օրինակով։ 28 և 64 թվերը դասավորենք պարզ գործակիցների:
- Երկու թվերում էլ շեշտում ենք նույն պարզ գործոնները։
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Գտե՛ք նույնական պարզ գործակիցների արտադրյալը և գրե՛ք պատասխանը.
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Պատասխան՝ GCD (28; 64) = 4
Դուք կարող եք պաշտոնականացնել GCD-ի գտնվելու վայրը երկու եղանակով՝ սյունակում (ինչպես արվել է վերևում) կամ «անընդմեջ»:
gcd գրելու առաջին եղանակը
Գտեք gcd 48 և 36:
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
gcd գրելու երկրորդ եղանակը
Այժմ եկեք գրենք GCD որոնման լուծումը տողով: Գտեք gcd 10 և 15:
Մեր տեղեկատվական կայքում դուք կարող եք նաև օգտագործել Greatest Common Divisor առցանց օգնականը՝ ստուգելու ձեր հաշվարկները:
Գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, մեթոդներ, LCM-ն գտնելու օրինակներ:
Ստորև ներկայացված նյութը LCM-նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ, սահմանում, օրինակներ, LCM-ի և GCD-ի միջև կապը վերնագրված հոդվածի տեսության տրամաբանական շարունակությունն է: Այստեղ մենք կխոսենք գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM), և հատուկ ուշադրություն ենք դարձնելու օրինակների լուծմանը։ Նախ, մենք ցույց կտանք, թե ինչպես է հաշվարկվում երկու թվերի LCM-ն՝ օգտագործելով այս թվերի GCD-ն: Այնուհետև մենք կքննարկենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելը՝ թվերը պարզ գործոնների վերածելով: Դրանից հետո մենք կկենտրոնանանք երեք և ավելի թվերի LCM-ն գտնելու վրա, ինչպես նաև ուշադրություն կդարձնենք բացասական թվերի LCM-ի հաշվարկմանը:
Էջի նավարկություն.
Նվազագույն ընդհանուր բազմակի (LCM) հաշվարկը GCD-ի միջոցով
Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու եղանակներից մեկը հիմնված է LCM-ի և GCD-ի միջև փոխհարաբերությունների վրա: LCM-ի և GCD-ի միջև գոյություն ունեցող հարաբերությունները թույլ են տալիս հաշվարկել երկու ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը դրական թվերհայտնի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի միջոցով: Համապատասխան բանաձեւն է LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Դիտարկենք LCM-ն գտնելու օրինակներ՝ օգտագործելով տրված բանաձևը:
Գտե՛ք 126 և 70 երկու թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:
Այս օրինակում a=126, b=70: Եկեք օգտագործենք LCM-ի և GCD-ի միջև կապը, որն արտահայտված է LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) բանաձևով: Այսինքն՝ նախ պետք է գտնել 70 և 126 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, որից հետո գրավոր բանաձևով կարող ենք հաշվել այս թվերի LCM-ը։
Գտնենք GCD(126, 70)՝ օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը՝ 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, հետևաբար՝ GCD(126, 70)=14:
Այժմ մենք գտնում ենք պահանջվող ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը` LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630:
Ինչի՞ է հավասար LCM(68, 34):
Քանի որ 68-ը բաժանվում է 34-ի, ապա GCD(68, 34)=34: Այժմ հաշվում ենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը` LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68:
Նկատի ունեցեք, որ նախորդ օրինակը համապատասխանում է a և b դրական ամբողջ թվերի համար LCM-ը գտնելու հետևյալ կանոնին. եթե a-ն բաժանվում է b-ի, ապա այդ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը a է:
Գտնել LCM-ն՝ թվերը պարզ գործոնների վերածելով
Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու մեկ այլ եղանակ հիմնված է թվերը պարզ գործոնների վերածելու վրա: Եթե դուք կազմեք արտադրյալը տրված թվերի բոլոր պարզ գործակիցներից, ապա այս արտադրյալից բացառեք բոլոր ընդհանուր պարզ գործակիցները, որոնք առկա են տվյալ թվերի տարրալուծման մեջ, ապա ստացված արտադրյալը հավասար կլինի տվյալ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին։ .
LCM-ն գտնելու համար սահմանված կանոնը բխում է LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) հավասարությունից: Իրոք, a և b թվերի արտադրյալը հավասար է a և b թվերի ընդլայնմանը մասնակցող բոլոր գործոնների արտադրյալին։ Իր հերթին, GCD(a, b) հավասար է բոլոր պարզ գործոնների արտադրյալին, որոնք միաժամանակ առկա են a և b թվերի ընդարձակման մեջ (ինչպես նկարագրված է GCD-ի հայտնաբերման բաժնում՝ օգտագործելով թվերի ընդլայնումը պարզ գործոնների):
Օրինակ բերենք. Տեղեկացնենք, որ 75=3·5·5 և 210=2·3·5·7: Այս ընդարձակումների բոլոր գործակիցներից կազմենք արտադրյալը՝ 2·3·3·5·5·5·7: Այժմ այս արտադրյալից մենք բացառում ենք բոլոր այն գործոնները, որոնք առկա են և՛ 75 թվի ընդլայնման, և՛ 210 թվի ընդլայնման մեջ (այդ գործոնները 3 և 5 են), այնուհետև արտադրյալը կունենա 2·3·5·5·7 ձև: . Այս արտադրյալի արժեքը հավասար է 75 և 210 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին, այսինքն՝ LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050:
441 և 700 թվերը դասավորե՛ք պարզ գործակիցներ և գտե՛ք այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:
441 և 700 թվերը դասավորենք պարզ գործակիցների. 
Ստանում ենք 441=3·3·7·7 և 700=2·2·5·5·7:
Այժմ եկեք ստեղծենք արտադրյալ բոլոր գործոններից, որոնք ներգրավված են այս թվերի ընդլայնման մեջ՝ 2·2·3·3·5·5·7·7·7: Եկեք այս արտադրանքից բացառենք բոլոր գործոնները, որոնք միաժամանակ առկա են երկու ընդարձակման մեջ (մեկ այդպիսի գործոն կա՝ սա 7 թիվն է). 2·2·3·3·5·5·7·7: Այսպիսով, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100:
NOC(441, 700)= 44 100:
Թվերի պարզ գործակիցների ֆակտորիզացիայի միջոցով LCM-ը գտնելու կանոնը կարող է մի փոքր այլ կերպ ձևակերպվել: Եթե b թվի ընդլայնումից բացակայող գործոնները գումարվեն a թվի ընդլայնման գործակիցներին, ապա ստացված արտադրյալի արժեքը հավասար կլինի a և b թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին։
Օրինակ՝ վերցնենք նույն 75 և 210 թվերը, դրանց տարրալուծումները պարզ գործակիցների հետևյալն են՝ 75=3·5·5 և 210=2·3·5·7: 75 թվի ընդլայնումից 3, 5 և 5 գործակիցներին գումարում ենք 210 թվի ընդլայնումից բացակայող 2 և 7 գործակիցները, ստանում ենք 2·3·5·5·7 արտադրյալը, որի արժեքը. հավասար է LCM (75, 210):
Գտե՛ք 84-ի և 648-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:
Մենք նախ ստանում ենք 84 և 648 թվերի տարրալուծումը պարզ գործակիցների: Նրանք նման են 84=2·2·3·7 և 648=2·2·2·3·3·3·3: 84 թվի ընդլայնումից 2, 2, 3 և 7 գործոններին գումարում ենք 648 թվի ընդլայնումից բացակայող 2, 3, 3 և 3 գործակիցները, ստանում ենք 2 2 2 3 3 3 3 7 արտադրյալը, որը հավասար է 4 536-ի։ Այսպիսով, 84-ի և 648-ի ցանկալի նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը 4536 է:
Գտնելով երեք և ավելի թվերի LCM
Երեք կամ ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կարելի է գտնել՝ հաջորդաբար գտնելով երկու թվերի LCM: Հիշենք համապատասխան թեորեմը, որը հնարավորություն է տալիս գտնել երեք և ավելի թվերի LCM:
Թող տրված լինեն a 1, a 2,…, a k դրական ամբողջ թվերը, այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը m k-ը գտնում ենք հաջորդականորեն հաշվարկելով m 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = LCM(m 2, a. 3) , … , m k = LCM(m k−1, a k) .
Դիտարկենք այս թեորեմի կիրառությունը՝ օգտագործելով չորս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու օրինակը։
Գտեք 140, 9, 54 և 250 չորս թվերի LCM:
Նախ մենք գտնում ենք m 2 = LCM(a 1, a 2) = LCM(140, 9) . Դա անելու համար, օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը, մենք որոշում ենք GCD(140, 9), ունենք 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, հետևաբար՝ GCD(140, 9)=1, որից LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1260: Այսինքն, m 2 =1 260:
Այժմ մենք գտնում ենք m 3 = LCM(m 2, a 3) = LCM(1 260, 54): Հաշվարկենք այն GCD(1 260, 54) միջոցով, որը նույնպես որոշում ենք Էվկլիդեսյան ալգորիթմի միջոցով՝ 1 260=54·23+18, 54=18·3։ Ապա gcd(1,260, 54)=18, որից gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780: Այսինքն, m 3 =3 780:
Մնում է գտնել m 4 = LCM(m 3, a 4) = LCM(3 780, 250): Դա անելու համար մենք գտնում ենք GCD(3,780, 250)՝ օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը՝ 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3: Հետեւաբար, GCD(3,780, 250)=10, որից GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500: Այսինքն, m 4 =94,500:
Այսպիսով, սկզբնական չորս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 94500 է:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500:
Շատ դեպքերում հարմար է գտնել երեք և ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը` օգտագործելով տվյալ թվերի պարզ գործոնավորումը: Այս դեպքում դուք պետք է հետևեք հետևյալ կանոնին. Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է արտադրյալին, որը կազմված է հետևյալ կերպ. երկրորդ թվի ընդլայնումից բացակայող գործոնները գումարվում են առաջին թվի ընդլայնման բոլոր գործոններին, բացակայող գործակիցները՝ ընդլայնվելուց. երրորդ թիվը ավելացվում է ստացված գործոններին և այլն:
Դիտարկենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու օրինակ՝ օգտագործելով պարզ գործոնավորումը:
Գտե՛ք 84, 6, 48, 7, 143 հինգ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։
Նախ ստանում ենք այս թվերի տարրալուծումը պարզ գործակիցների՝ 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7-ը պարզ թիվ է, այն համընկնում է. իր տարրալուծմամբ պարզ գործոնների) և 143=11·13.
Այս թվերի LCM-ն գտնելու համար առաջին 84 թվի գործակիցներին (դրանք 2, 2, 3 և 7 են) պետք է ավելացնել բացակայող գործոնները երկրորդ 6 թվի ընդլայնումից։ 6 թվի տարրալուծումը բացակայող գործոններ չի պարունակում, քանի որ և՛ 2-ը, և՛ 3-ն արդեն առկա են առաջին 84 թվի տարրալուծման մեջ։ Այնուհետև 2, 2, 3 և 7 գործոններին ավելացնում ենք 2-րդ և 2-ի բացակայող գործոնները 48-ի երրորդ թվի ընդլայնումից, ստանում ենք 2, 2, 2, 2, 3 և 7 գործոնների հավաքածու։ Հաջորդ քայլում այս հավաքածուին բազմապատկիչներ ավելացնելու կարիք չի լինի, քանի որ 7-ն արդեն պարունակվում է դրանում: Վերջապես, 2, 2, 2, 2, 3 և 7 գործոններին ավելացնում ենք 143 թվի ընդլայնումից բացակայող 11 և 13 գործոնները։ Ստանում ենք 2·2·2·2·3·7·11·13 արտադրյալը, որը հավասար է 48048-ի:
Հետեւաբար, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048:
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048:
Գտնել բացասական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը
Երբեմն լինում են առաջադրանքներ, որոնցում պետք է գտնել թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, որոնց թվում մեկ, մի քանի կամ բոլոր թվերը բացասական են: Այս դեպքերում ամեն ինչ բացասական թվերանհրաժեշտ է դրանք փոխարինել իրենց հակառակ թվերով, այնուհետև գտնել դրական թվերի LCM: Սա բացասական թվերի LCM-ն է գտնելու։ Օրինակ՝ LCM(54, −34) = LCM(54, 34) և LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888):
Մենք կարող ենք դա անել, քանի որ a-ի բազմապատիկների բազմությունը նույնն է, ինչ −a-ի բազմապատիկները (a-ն և −a-ն հակադիր թվեր են): Իսկապես, թող b լինի a-ի մի քանի բազմապատիկ, ապա b-ն բաժանվում է a-ի, իսկ բաժանելիություն հասկացությունը նշում է q ամբողջ թվի գոյությունն այնպես, որ b=a·q: Բայց ճշմարիտ կլինի նաև b=(−a)·(−q) հավասարությունը, որը բաժանելիության նույն հասկացության պատճառով նշանակում է, որ b-ը բաժանվում է −a-ի, այսինքն՝ b-ը −a-ի բազմապատիկն է։ Ճիշտ է նաև հակառակը. եթե b-ն −a-ի որոշ բազմապատիկ է, ապա b-ն նույնպես a-ի բազմապատիկ է:
Գտե՛ք −145 և −45 բացասական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:
−145 և −45 բացասական թվերը փոխարինենք իրենց հակադիր 145 և 45 թվերով։ Մենք ունենք LCM(−145, −45) = LCM(145, 45): Որոշելով GCD(145, 45)=5 (օրինակ՝ օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը), մենք հաշվարկում ենք GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305: Այսպիսով, −145 և −45 բացասական ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 1305 է։
www.cleverstudents.ru
Մենք շարունակում ենք ուսումնասիրել բաժանումը: Այս դասում մենք կդիտարկենք այնպիսի հասկացություններ, ինչպիսիք են GCDԵվ ՀԱՕԿ.
GCDամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։
ՀԱՕԿնվազագույն ընդհանուր բազմապատիկն է:
Թեման բավականին ձանձրալի է, բայց դուք անպայման պետք է այն հասկանաք։ Չհասկանալով այս թեման՝ դուք չեք կարողանա արդյունավետ աշխատել կոտորակների հետ, որոնք իսկական խոչընդոտ են մաթեմատիկայի մեջ։
Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը
Սահմանում. Թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը աԵվ բ աԵվ բբաժանված է առանց մնացորդի.
Այս սահմանումը լավ հասկանալու համար եկեք փոխարինենք փոփոխականներով աԵվ բցանկացած երկու թիվ, օրինակ՝ փոփոխականի փոխարեն աՓոխարինենք 12 թիվը և փոփոխականի փոխարեն բթիվ 9. Այժմ փորձենք կարդալ այս սահմանումը.
Թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 12 Եվ 9 կոչվում է ամենամեծ թիվը, որով 12 Եվ 9 բաժանված է առանց մնացորդի.
Սահմանումից պարզ է դառնում, որ խոսքը 12 և 9 թվերի ընդհանուր բաժանարարի մասին է, և այս բաժանարարն ամենամեծն է գոյություն ունեցող բոլոր բաժանարարներից։ Այս ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (GCD) պետք է գտնել:
Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար օգտագործվում են երեք մեթոդ. Առաջին մեթոդը բավականին աշխատատար է, բայց թույլ է տալիս հստակ հասկանալ թեմայի էությունը և զգալ դրա ամբողջական իմաստը:
Երկրորդ և երրորդ մեթոդները բավականին պարզ են և հնարավորություն են տալիս արագ գտնել GCD: Մենք կանդրադառնանք բոլոր երեք մեթոդներին: Իսկ թե որն օգտագործել գործնականում, ձեր ընտրությունն է:
Առաջին մեթոդը երկու թվերի բոլոր հնարավոր բաժանարարները գտնելն ու ամենամեծն ընտրելն է։ Դիտարկենք այս մեթոդը՝ օգտագործելով հետևյալ օրինակը. Գտե՛ք 12 և 9 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը.
Նախ, մենք կգտնենք 12 թվի բոլոր հնարավոր բաժանարարները: Դա անելու համար մենք 12-ը կբաժանենք բոլոր բաժանարարների վրա 1-ից 12-ի միջակայքում: Եթե բաժանարարը թույլ է տալիս մեզ 12-ը բաժանել առանց մնացորդի, ապա մենք այն կնշենք: կապույտ և փակագծերում համապատասխան բացատրություն տալ:
12: 1 = 12
(12-ը բաժանվում է 1-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 1-ը 12 թվի բաժանարարն է)
12: 2 = 6
(12-ը բաժանվում է 2-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 2-ը 12 թվի բաժանարարն է)
12: 3 = 4
(12-ը բաժանվում է 3-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 3-ը 12 թվի բաժանարարն է)
12: 4 = 3
(12-ը բաժանվում է 4-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 4-ը 12 թվի բաժանարարն է)
12: 5 = 2 (մնաց 2)
(12-ը չի բաժանվում 5-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 5-ը 12 թվի բաժանարար չէ)
12: 6 = 2
(12-ը առանց մնացորդի բաժանվում է 6-ի, ինչը նշանակում է, որ 6-ը 12 թվի բաժանարարն է)
12: 7 = 1 (5 մնացորդ)
(12-ը չի բաժանվում 7-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 7-ը 12 թվի բաժանարար չէ)
12: 8 = 1 (4 մնացորդ)
(12-ը չի բաժանվում 8-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 8-ը 12-ի բաժանարար չէ)
12: 9 = 1 (3 մնացորդ)
(12-ը չի բաժանվում 9-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 9-ը 12 թվի բաժանարար չէ)
12: 10 = 1 (2 մնացորդ)
(12-ը չի բաժանվում 10-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 10-ը 12 թվի բաժանարար չէ)
12: 11 = 1 (1 մնացորդ)
(12-ը չի բաժանվում 11-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 11-ը 12-ի բաժանարար չէ)
12: 12 = 1
(12-ը առանց մնացորդի բաժանվում է 12-ի, ինչը նշանակում է, որ 12-ը 12 թվի բաժանարարն է)
Հիմա եկեք գտնենք 9 թվի բաժանարարները: Դա անելու համար ստուգեք 1-ից 9-ի բոլոր բաժանարարները:
9: 1 = 9
(9-ը բաժանվում է 1-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 1-ը 9 թվի բաժանարարն է)
9: 2 = 4 (1 մնացորդ)
(9-ը չի բաժանվում 2-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 2-ը 9 թվի բաժանարար չէ)
9: 3 = 3
(9-ը բաժանվում է 3-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 3-ը 9 թվի բաժանարարն է)
9: 4 = 2 (1 մնացորդ)
(9-ը չի բաժանվում 4-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 4-ը 9 թվի բաժանարար չէ)
9: 5 = 1 (4 մնացորդ)
(9-ը չի բաժանվում 5-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 5-ը 9 թվի բաժանարար չէ)
9: 6 = 1 (3 մնացորդ)
(9-ը չի բաժանվում 6-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 6-ը 9 թվի բաժանարար չէ)
9: 7 = 1 (մնաց 2)
(9-ը չի բաժանվում 7-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 7-ը 9 թվի բաժանարար չէ)
9: 8 = 1 (1 մնացորդ)
(9-ը չի բաժանվում 8-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 8-ը 9 թվի բաժանարար չէ)
9: 9 = 1
(9-ը բաժանվում է 9-ի առանց մնացորդի, ինչը նշանակում է, որ 9-ը 9 թվի բաժանարարն է)
Այժմ գրենք երկու թվերի բաժանարարները։ Կապույտով ընդգծված թվերը բաժանարարներ են: Եկեք գրենք դրանք.
Դուրս գրելով բաժանարարները, կարող եք անմիջապես որոշել, թե որն է ամենամեծը և ամենատարածվածը:
Ըստ սահմանման, 12 և 9 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը այն թիվն է, որը բաժանում է 12 և 9 առանց մնացորդի։ 12 և 9 թվերի ամենամեծ և ընդհանուր բաժանարարը 3 թիվն է
Ե՛վ 12 թիվը, և՛ 9 թիվը բաժանվում են 3-ի առանց մնացորդի.
Այսպիսով, gcd (12 և 9) = 3
GCD գտնելու երկրորդ ճանապարհը
Այժմ դիտարկենք ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու երկրորդ մեթոդը: Այս մեթոդի էությունը երկու թվերի տարրալուծումն է պարզ գործակիցների և բազմապատկել ընդհանուրները։
Օրինակ 1. Գտե՛ք 24 և 18 թվերի gcd-ն
Նախ, եկեք երկու թվերն էլ դասավորենք պարզ գործոնների.
Հիմա եկեք բազմապատկենք նրանց ընդհանուր գործոնները։ Շփոթությունից խուսափելու համար կարելի է ընդգծել ընդհանուր գործոնները.
Մենք նայում ենք 24 թվի ընդլայնմանը: Նրա առաջին գործակիցը 2-ն է: Մենք փնտրում ենք նույն գործոնը 18 թվի ընդլայնման մեջ և տեսնում, որ այն նույնպես կա: Մենք շեշտում ենք երկուսն էլ.
Մենք նորից նայում ենք 24 թվի ընդլայնմանը: Նրա երկրորդ գործոնը նույնպես 2-ն է: Մենք փնտրում ենք նույն գործոնը 18 թվի ընդլայնման մեջ և տեսնում, որ երկրորդ անգամ այն այլևս չկա: Հետո մենք ոչինչ չենք շեշտում:
24-ի ընդլայնման հաջորդ երկուսը նույնպես բացակայում են 18-ի ընդլայնման մեջ։
Անցնենք 24 թվի ընդլայնման վերջին գործոնին: Սա 3-րդ գործոնն է: Մենք փնտրում ենք նույն գործոնը 18 թվի ընդլայնման մեջ և տեսնում, որ այն նույնպես կա: Մենք շեշտում ենք երկու երեքը.
Այսպիսով, 24 և 18 թվերի ընդհանուր գործակիցները 2 և 3 գործոններն են: GCD ստանալու համար այս գործոնները պետք է բազմապատկվեն.
Այսպիսով, gcd (24 և 18) = 6
GCD գտնելու երրորդ ճանապարհը
Հիմա եկեք նայենք ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու երրորդ եղանակին: Այս մեթոդի էությունը կայանում է նրանում, որ ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի համար հայտնաբերված թվերը տարրալուծվում են պարզ գործակիցների: Այնուհետև առաջին թվի ընդլայնումից դուրս են գալիս այն գործոնները, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի ընդլայնման մեջ։ Առաջին ընդլայնման մնացած թվերը բազմապատկվում են և ստացվում GCD:
Օրինակ, եկեք այս մեթոդով գտնենք GCD 28 և 16 թվերի համար: Առաջին հերթին մենք այս թվերը բաժանում ենք պարզ գործոնների.
Մենք ստացանք երկու ընդարձակում՝ և
Այժմ առաջին թվի տարրալուծումից կջնջենք այն գործոնները, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի տարրալուծման մեջ։ Երկրորդ թվի ընդլայնումը չի ներառում յոթը։ Անցնենք այն առաջին ընդլայնումից.
Այժմ մենք բազմապատկում ենք մնացած գործոնները և ստանում GCD.
4 թիվը 28 և 16 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է: Այս երկու թվերն էլ առանց մնացորդի բաժանվում են 4-ի.
Օրինակ 2.Գտե՛ք 100 և 40 թվերի gcd-ն
100 համարի ֆակտորինգ
40 համարի ֆակտորինգ
Մենք ստացանք երկու ընդլայնում.
Այժմ առաջին թվի տարրալուծումից կջնջենք այն գործոնները, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի տարրալուծման մեջ։ Երկրորդ թվի ընդլայնումը չի ներառում մեկ հինգը (կա միայն մեկ հինգ): Անցնենք այն առաջին ընդլայնումից
Մնացած թվերը բազմապատկենք.
Ստացանք 20 պատասխանը։ Սա նշանակում է, որ 20 թիվը 100 և 40 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։ Այս երկու թվերն առանց մնացորդի բաժանվում են 20-ի.
GCD (100 և 40) = 20:
Օրինակ 3.Գտե՛ք 72 և 128 թվերի gcd-ն
72 համարի ֆակտորինգ
128 համարի ֆակտորինգ
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Այժմ առաջին թվի տարրալուծումից կջնջենք այն գործոնները, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի տարրալուծման մեջ։ Երկրորդ թվի ընդլայնումը չի ներառում երկու եռյակ (նրանք ընդհանրապես չկան): Եկեք դրանք ջնջենք առաջին ընդլայնումից.
Ստացանք 8 պատասխանը։ Սա նշանակում է, որ 8 թիվը 72 և 128 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։ Այս երկու թվերն առանց մնացորդի բաժանվում են 8-ի.
GCD (72 և 128) = 8
Գտեք GCD մի քանի թվերի համար
Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կարելի է գտնել ոչ թե երկու, այլ մի քանի թվերի համար: Դա անելու համար ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի համար գտնվելիք թվերը տարրալուծվում են պարզ գործակիցների, այնուհետև գտնվում է այդ թվերի ընդհանուր պարզ գործակիցների արտադրյալը:
Օրինակ, եկեք գտնենք GCD 18, 24 և 36 թվերի համար
Եկեք գործոնացնենք 18 թիվը
Եկեք գործոնացնենք 24 թիվը
Եկեք գործոնացնենք 36 թիվը
Մենք ստացանք երեք ընդլայնում.
Այժմ առանձնացնենք և ընդգծենք այս թվերի ընդհանուր գործոնները։ Ընդհանուր գործոնները պետք է հայտնվեն բոլոր երեք թվերում.
Մենք տեսնում ենք, որ 18, 24 և 36 թվերի ընդհանուր գործակիցները 2 և 3 գործոններն են: Բազմապատկելով այս գործոնները՝ մենք ստանում ենք այն gcd-ը, որը փնտրում ենք.
Ստացանք 6 պատասխանը։ Սա նշանակում է, որ 6 թիվը 18, 24 և 36 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։ Այս երեք թվերն առանց մնացորդի բաժանվում են 6-ի.
GCD (18, 24 և 36) = 6
Օրինակ 2.Գտեք GCD 12, 24, 36 և 42 համարների համար
Եկեք յուրաքանչյուր թիվ դասավորենք պարզ գործակիցների: Այնուհետև մենք գտնում ենք այս թվերի ընդհանուր գործակիցների արտադրյալը:
Եկեք գործոնացնենք 12 թիվը
Եկեք գործոնացնենք 42 թիվը
Մենք ստացել ենք չորս ընդլայնում.
Այժմ առանձնացնենք և ընդգծենք այս թվերի ընդհանուր գործոնները։ Ընդհանուր գործոնները պետք է հայտնվեն բոլոր չորս թվերում.
Մենք տեսնում ենք, որ 12, 24, 36 և 42 թվերի ընդհանուր գործակիցները 2-ի և 3-ի գործակիցներն են: Այս գործոնները միասին բազմապատկելով՝ մենք ստանում ենք այն gcd-ը, որը փնտրում ենք.
Ստացանք 6 պատասխանը։ Սա նշանակում է, որ 6 թիվը 12, 24, 36 և 42 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։ Այս թվերը առանց մնացորդի բաժանվում են 6-ի.
GCD (12, 24, 36 և 42) = 6
Նախորդ դասից մենք գիտենք, որ եթե թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է մյուսի, այն կոչվում է այս թվի բազմապատիկ:
Ստացվում է, որ մի քանի թվեր կարող են ունենալ ընդհանուր բազմապատիկ։ Իսկ հիմա մեզ կհետաքրքրի երկու թվերի բազմապատիկը, և այն պետք է լինի հնարավորինս փոքր։
Սահմանում. Թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM): աԵվ բ- աԵվ բ աև համարը բ.
Սահմանումը պարունակում է երկու փոփոխական աԵվ բ. Այս փոփոխականների փոխարեն փոխարինենք ցանկացած երկու թիվ։ Օրինակ՝ փոփոխականի փոխարեն աՓոխարինենք 9 թիվը և փոփոխականի փոխարեն բՓոխարինենք 12 թիվը: Այժմ փորձենք կարդալ սահմանումը.
Թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM): 9 Եվ 12 - Սա ամենափոքր թիվը, որը բազմապատիկ է 9 Եվ 12 . Այսինքն՝ սա այնքան փոքր թիվ է, որը առանց մնացորդի բաժանվում է թվի վրա 9 և ըստ թվի 12 .
Սահմանումից պարզ է դառնում, որ LCM-ն ամենափոքր թիվն է, որը բաժանվում է 9-ի և 12-ի առանց մնացորդի:Այս LCM-ն պետք է գտնել:
Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) գտնելու համար կարող եք օգտագործել երկու մեթոդ. Առաջին ճանապարհն այն է, որ դուք կարող եք գրել երկու թվերի առաջին բազմապատիկները, այնուհետև ընտրել այդ բազմապատիկներից մի թիվ, որը կլինի ընդհանուր և փոքր թվերի համար: Եկեք կիրառենք այս մեթոդը.
Նախ, եկեք գտնենք 9 թվի առաջին բազմապատիկները: 9-ի բազմապատիկները գտնելու համար անհրաժեշտ է այս ինը մեկ առ մեկ բազմապատկել 1-ից 9 թվերով: Ստացված պատասխանները կլինեն 9-ի բազմապատիկները: Այսպիսով, Եկեք սկսենք. Կարմիրով կնշենք բազմապատիկները.
Այժմ մենք գտնում ենք 12 թվի բազմապատիկները: Դա անելու համար մենք 12-ը մեկ առ մեկ բազմապատկում ենք բոլոր 1-ից 12 թվերով:
Մենք կանչում ենք այն թվերը, որոնք բաժանվում են 10-ի 10-ի բազմապատիկով: Օրինակ՝ 30-ը կամ 50-ը 10-ի բազմապատիկ են:
Մենք կարող ենք գտնել այնքան ընդհանուր բազմապատիկ, որքան ցանկանում ենք: Օրինակ՝ 140, 280 և այլն։
Բնական հարց է՝ ինչպե՞ս գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:
10-ի և 14-ի համար հայտնաբերված բազմապատիկներից ամենափոքրը մինչ այժմ 140-ն է: Բայց արդյոք դա ամենաքիչ ընդհանուր բազմապատիկն է:
Եկեք հաշվի առնենք մեր թվերը.
Եկեք կառուցենք մի թիվ, որը բաժանվում է 10-ի և 14-ի: 10-ի բաժանվելու համար անհրաժեշտ է ունենալ 2-ի և 5-ի գործակիցները: 14-ի բաժանվելու համար պետք է ունենալ 2-ի և 7-ի գործակիցները: ընդամենը պետք է ավելացնել 7-ը: Ստացված 70 թիվը 10-ի և 14-ի ընդհանուր բազմապատիկն է: Այնուամենայնիվ, հնարավոր չի լինի կառուցել դրանից փոքր թիվ, որպեսզի այն նաև լինի ընդհանուր բազմապատիկ:
Ուրեմն սա է նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ. Դրա համար մենք օգտագործում ենք NOC նշումը:
Գտնենք GCD և LCM 182 և 70 համարների համար։
Հաշվեք ինքներդ.
3. 
Մենք ստուգում ենք.
Հասկանալու համար, թե ինչ են GCD-ն և LCM-ը, դուք չեք կարող անել առանց ֆակտորիզացիայի: Բայց, երբ արդեն հասկանում ենք, թե դա ինչ է, այլևս պետք չէ ամեն անգամ այն գործոնավորել։
Օրինակ:
Դուք հեշտությամբ կարող եք ստուգել, որ երկու թվերի համար, որտեղ մեկը բաժանվում է մյուսի վրա, փոքրը նրանց GCD-ն է, իսկ մեծը՝ LCM-ն: Փորձեք ինքներդ բացատրել, թե ինչու է դա այդպես:
Հայրիկի քայլքի երկարությունը 70 սմ է, իսկ փոքրիկ դստերը՝ 15 սմ, նրանք սկսում են քայլել ոտքերը նույն նիշի վրա։ Որքա՞ն հեռու են նրանք քայլելու, մինչև ոտքերը նորից հարթվեն:
Հայրիկն ու դուստրը սկսում են շարժվել։ Սկզբում ոտքերը նույն նշանի վրա են։ Մի քանի քայլ քայլելուց հետո նրանց ոտքերը վերադարձան նույն մակարդակին։ Սա նշանակում է, որ և՛ հայրը, և՛ դուստրը մի ամբողջ շարք քայլեր են կատարել այս նշագծին հասնելու համար: Սա նշանակում է, որ նրան հեռավորությունը պետք է բաժանվի հոր և դստեր քայլի երկարությամբ:
Այսինքն, մենք պետք է գտնենք.
Այսինքն, դա տեղի կունենա 210 սմ = 2 մ 10 սմ:
Դժվար չէ հասկանալ, որ հայրը 3 քայլ կանի, իսկ դուստրը՝ 14 (նկ. 1):
Բրինձ. 1. Խնդրի նկարազարդում
Խնդիր 1
Պետյան VKontakte ցանցում ունի 100 ընկեր, իսկ Վանյան՝ 200: Քանի՞ ընկեր ունեն Պետյան և Վանյան միասին, եթե նրանք ունեն 30 ընդհանուր ընկեր:
Պատասխան 300-ը սխալ է, քանի որ նրանք կարող են ունենալ ընդհանուր ընկերներ:
Եկեք այս խնդիրը լուծենք այսպես. Եկեք պատկերենք Պետյայի բոլոր ընկերների մի շարք շուրջը: Եկեք պատկերենք Վանյայի բազմաթիվ ընկերներին մեկ այլ, ավելի մեծ շրջանակում:
Այս շրջանակներն ունեն ընդհանուր մաս. Այնտեղ ընդհանուր ընկերներ կան։ Այս ընդհանուր մասը կոչվում է երկու բազմությունների «հատում»: Այսինքն՝ փոխադարձ ընկերների հավաքածուն բոլորի ընկերների հավաքածուների հատումն է։
Բրինձ. 2. Շատ ընկերների շրջանակներ
Եթե կան 30 ընդհանուր ընկերներ, ապա ձախ կողմում 70-ը միայն Պետինայի ընկերներն են, իսկ 170-ը միայն Վանինայի ընկերներն են (տես նկ. 2):
Որքա՞ն է ընդհանուր առմամբ:
Երկու շրջանակներից բաղկացած ամբողջ մեծ բազմությունը կոչվում է երկու բազմությունների միություն։
Փաստորեն, VK-ն ինքն է լուծում մեզ համար երկու հավաքածուների հատման խնդիրը, այն անմիջապես ցույց է տալիս բազմաթիվ փոխադարձ ընկերներ, երբ այցելում եք մեկ այլ անձի էջ:
Երկու թվերի GCD-ի և LCM-ի հետ կապված իրավիճակը շատ նման է:
Խնդիր 2
Դիտարկենք երկու թիվ՝ 126 և 132։
Մենք պատկերում ենք դրանց հիմնական գործակիցները շրջանագծերով (տես նկ. 3):
Բրինձ. 3. Շրջանակներ՝ պարզ գործակիցներով
Բազմությունների խաչմերուկը նրանց ընդհանուր բաժանարարներն են։ GCD-ն բաղկացած է դրանցից:
Երկու բազմությունների միավորումը մեզ տալիս է LCM:
Մատենագիտություն
1. Վիլենկին Ն.Յ., Ժոխով Վ.Ի., Չեսնոկով Ա.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Մաթեմատիկա 6. - Մ.: Mnemosyne, 2012 թ.
2. Մերզլյակ Ա.Գ., Պոլոնսկի Վ.Վ., Յակիր Մ.Ս. Մաթեմատիկա 6-րդ դասարան. - Գիմնազիա. 2006թ.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Մաթեմատիկայի դասագրքի էջերի հետևում. - Մ.: Կրթություն, 1989:
4. Ռուրուկին Ա.Ն., Չայկովսկի Ի.Վ. 5-6-րդ դասարանների մաթեմատիկայի դասընթացի առաջադրանքներ. - M.: ZSh MEPhI, 2011:
5. Ռուրուկին Ա.Ն., Սոչիլով Ս.Վ., Չայկովսկի Կ.Գ. Մաթեմատիկա 5-6. Ձեռնարկ MEPhI հեռակա դպրոցի 6-րդ դասարանի աշակերտների համար: - M.: ZSh MEPhI, 2011:
6. Շևրին Լ.Ն., Գեյն Ա.Գ., Կորյակով Ի.Օ., Վոլկով Մ.Վ. Մաթեմատիկա՝ Դասագիրք- զրուցակից 5-6-րդ դասարանների համար ավագ դպրոց. - Մ.: Կրթություն, Մաթեմատիկայի ուսուցչի գրադարան, 1989 թ.
3. «Դպրոցական օգնական» կայք ()
Տնային աշխատանք
1. Նավահանգստային քաղաքում սկսվում են երեք տուրիստական նավով ճանապարհորդություններ, որոնցից առաջինը տեւում է 15 օր, երկրորդը՝ 20, իսկ երրորդը՝ 12 օր։ Վերադառնալով նավահանգիստ՝ նույն օրը նավերը նորից ճանապարհ ընկան։ Այսօր նավերը լքել են նավահանգիստը բոլոր երեք երթուղիներով։ Քանի՞ օրից նրանք առաջին անգամ նորից միասին նավարկելու են։ Քանի՞ ուղևորություն կկատարի յուրաքանչյուր նավ:
2. Գտե՛ք թվերի LCM.
3. Գտե՛ք ամենափոքր ընդհանուր բազմակի պարզ գործակիցները.
Եւ եթե: 
, , .
Բեռնվում է...