Համակարգի զրոյական լուծում. Գծային հանրահաշվական հավասարումների միատարր համակարգեր. Ինչպես գտնել գծային հավասարման լուծումների հիմնարար համակարգը

Համակարգ մգծային հավասարումներ գ nկոչվում են անհայտներ գծային միատարր համակարգհավասարումներ, եթե բոլոր ազատ անդամները հավասար են զրոյի: Նման համակարգը նման է.

Որտեղ եւ ij (ես = 1, 2, …, մ; ժ = 1, 2, …, n) - տրված թվեր; x i- անհայտ:

Գծային միատարր հավասարումների համակարգը միշտ համահունչ է, քանի որ r(Ա) = r(). Այն միշտ ունի առնվազն զրո ( չնչին) լուծում (0; 0; ...; 0):

Եկեք դիտարկենք, թե ինչ պայմաններում միատարր համակարգերն ունեն ոչ զրոյական լուծումներ:

Թեորեմ 1.Գծային միատարր հավասարումների համակարգը ունի ոչ զրոյական լուծումներ, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է. rավելի քիչ անհայտներ n, այսինքն. r < n.

□ 1). Թող գծային միատարր հավասարումների համակարգը ունենա ոչ զրոյական լուծում: Քանի որ աստիճանը չի կարող գերազանցել մատրիցայի չափը, ապա ակնհայտորեն. r ≤ n. Թող r = n. Հետո փոքր չափսերից մեկը n nտարբերվում է զրոյից: Հետևաբար, գծային հավասարումների համապատասխան համակարգը ունի եզակի լուծում. . Սա նշանակում է, որ չնչին լուծումներից բացի այլ լուծումներ չկան։ Այսպիսով, եթե կա ոչ տրիվիալ լուծում, ապա r < n.

2). Թող r < n. Հետո միատարր համակարգը, լինելով հետևողական, անորոշ է։ Սա նշանակում է, որ այն ունի անսահման թվով լուծումներ, այսինքն. ունի ոչ զրոյական լուծումներ. ■

Դիտարկենք միատարր համակարգ nգծային հավասարումներ գ nանհայտ:

(2)

Թեորեմ 2.Միատարր համակարգ nգծային հավասարումներ գ nանհայտները (2) ունի ոչ զրոյական լուծումներ, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա որոշիչը հավասար է զրոյի՝ = 0:

□ Եթե ​​(2) համակարգը ունի ոչ զրոյական լուծում, ապա = 0: Որովհետև երբ համակարգն ունի միայն մեկ զրոյական լուծում: Եթե ​​= 0, ապա աստիճանը rհամակարգի հիմնական մատրիցը փոքր է անհայտների թվից, այսինքն. r < n. Եվ, հետևաբար, համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ, այսինքն. ունի ոչ զրոյական լուծումներ. ■

Նշենք համակարգի լուծումը (1) X 1 = կ 1 , X 2 = կ 2 , …, x n = k nորպես լար .

Գծային միատարր հավասարումների համակարգի լուծումներն ունեն հետևյալ հատկությունները.

1. Եթե ​​գիծը (1) համակարգի լուծումն է, ապա տողը (1) համակարգի լուծումն է։

2. Եթե ​​տողերը և (1) համակարգի լուծումներ են, ապա ցանկացած արժեքների համար Հետ 1 և Հետ 2 նրանց գծային համակցությունը նույնպես (1) համակարգի լուծումն է։

Այս հատկությունների վավերականությունը կարելի է ստուգել՝ դրանք ուղղակիորեն փոխարինելով համակարգի հավասարումների մեջ:

Ձևակերպված հատկություններից հետևում է, որ գծային միատարր հավասարումների համակարգի լուծումների ցանկացած գծային համակցություն նույնպես այս համակարգի լուծումն է։

Գծային անկախ լուծումների համակարգ ե 1 , ե 2 , …, e rկանչեց հիմնարար, եթե (1) համակարգի յուրաքանչյուր լուծում այս լուծումների գծային համակցությունն է ե 1 , ե 2 , …, e r.

Թեորեմ 3.Եթե ​​կոչում rԳծային միատարր հավասարումների համակարգի (1) փոփոխականների գործակիցների մատրիցները փոքր են փոփոխականների թվից. n, ապա (1) համակարգի լուծումների ցանկացած հիմնարար համակարգ բաղկացած է n–rորոշումները.

Ահա թե ինչու ընդհանուր որոշումԳծային միատարր հավասարումների համակարգը (1) ունի ձև.

Որտեղ ե 1 , ե 2 , …, e r- համակարգի լուծումների ցանկացած հիմնարար համակարգ (9), Հետ 1 , Հետ 2 , …, հետ p- կամայական թվեր, Ռ = n–r.

Թեորեմ 4.Համակարգի ընդհանուր լուծում մգծային հավասարումներ գ nանհայտները հավասար են գծային միատարր հավասարումների համապատասխան համակարգի ընդհանուր լուծման գումարին (1) և այս համակարգի կամայական որոշակի լուծման (1):

Օրինակ.Լուծել համակարգը

Լուծում.Այս համակարգի համար մ = n= 3. Որոշիչ

Թեորեմ 2-ի համաձայն, համակարգը ունի միայն չնչին լուծում. x = y = զ = 0.

Օրինակ. 1) Գտեք համակարգի ընդհանուր և առանձին լուծումները

2) Գտեք լուծումների հիմնարար համակարգը.

Լուծում. 1) Այս համակարգի համար մ = n= 3. Որոշիչ

Թեորեմ 2-ի համաձայն՝ համակարգն ունի ոչ զրոյական լուծումներ:

Քանի որ համակարգում կա միայն մեկ անկախ հավասարում

x + y – 4զ = 0,

ապա դրանից մենք կարտահայտենք x =4զ- y. Որտեղի՞ց ենք ստանում անսահման թվով լուծումներ. (4 զ- y, y, զ) – սա համակարգի ընդհանուր լուծումն է։

ժամը զ= 1, y= -1, մենք ստանում ենք մեկ կոնկրետ լուծում. (5, -1, 1): Դնելով զ= 3, y= 2, մենք ստանում ենք երկրորդ կոնկրետ լուծումը. (10, 2, 3) և այլն:

2) Ընդհանուր լուծման մեջ (4 զ- y, y, զ) փոփոխականներ yԵվ զազատ են, իսկ փոփոխականը X- կախված նրանցից: Լուծումների հիմնարար համակարգը գտնելու համար եկեք արժեքներ վերագրենք ազատ փոփոխականներին՝ նախ y = 1, զ= 0, ապա y = 0, զ= 1. Ստանում ենք մասնակի լուծումներ (-1, 1, 0), (4, 0, 1), որոնք կազմում են լուծումների հիմնարար համակարգը։

Նկարազարդումներ:

Բրինձ. 1 Գծային հավասարումների համակարգերի դասակարգում

Բրինձ. 2 Գծային հավասարումների համակարգերի ուսումնասիրություն

Ներկայացումներ.

· Լուծման SLAE_matrix մեթոդ

· SLAE_Cramer մեթոդի լուծում

· Լուծում SLAE_Gauss մեթոդ

· Մաթեմատիկական խնդիրների լուծման փաթեթներ Mathematica, MathCadԳծային հավասարումների համակարգերի վերլուծական և թվային լուծումների որոնում

Վերահսկիչ հարցեր:

1. Սահմանի՛ր գծային հավասարում

2. Ինչպիսի՞ համակարգի տեսք ունի այն: մհետ գծային հավասարումներ nանհայտ?

3. Ի՞նչ է կոչվում գծային հավասարումների համակարգերի լուծում:

4. Ո՞ր համակարգերն են կոչվում համարժեք:

5. Ո՞ր համակարգն է կոչվում անհամատեղելի:

6. Ո՞ր համակարգն է կոչվում հոդ:

7. Ո՞ր համակարգն է կոչվում որոշակի։

8. Ո՞ր համակարգն է կոչվում անորոշ

9. Թվարկե՛ք գծային հավասարումների համակարգերի տարրական փոխակերպումները

10. Թվարկե՛ք մատրիցների տարրական փոխակերպումները

11. Ձևակերպե՛ք գծային հավասարումների համակարգում տարրական փոխակերպումների կիրառման թեորեմ.

12. Ի՞նչ համակարգեր կարելի է լուծել մատրիցային մեթոդով:

13. Ի՞նչ համակարգեր կարելի է լուծել Քրամերի մեթոդով։

14. Ի՞նչ համակարգեր կարելի է լուծել Գաուսի մեթոդով:

15. Թվարկե՛ք 3 հնարավոր դեպքեր, որոնք առաջանում են Գաուսի մեթոդով գծային հավասարումների համակարգեր լուծելիս.

16. Նկարագրե՛ք գծային հավասարումների համակարգերի լուծման մատրիցային մեթոդը

17. Նկարագրեք Քրամերի մեթոդը գծային հավասարումների համակարգերի լուծման համար

18. Նկարագրեք Գաուսի մեթոդը գծային հավասարումների համակարգերի լուծման համար

19. Ի՞նչ համակարգեր կարելի է լուծել հակադարձ մատրիցով:

20. Թվարկե՛ք 3 հնարավոր դեպքեր, որոնք առաջանում են Քրամերի մեթոդով գծային հավասարումների համակարգերը լուծելիս.

գրականություն:

1. Բարձրագույն մաթեմատիկա տնտեսագետների համար. Դասագիրք բուհերի համար / Ն.Շ. Կրեմերը, Բ.Ա. Պուտկոն, Ի.Մ. Տրիշին, Մ.Ն. Ֆրիդման. Էդ. Ն.Շ. Կրեմերը։ – Մ.: ՄԻԱՍՆՈՒԹՅՈՒՆ, 2005. – 471 էջ.

2. Բարձրագույն մաթեմատիկայի ընդհանուր դասընթաց տնտեսագետների համար. Դասագիրք. / Էդ. ՄԵՋ ԵՎ. Էրմակովա. – M.: INFRA-M, 2006. – 655 p.

3. Բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու տնտեսագետների համար. Դասագիրք / Խմբագրել է Վ.Ի. Էրմակովա. M.: INFRA-M, 2006. – 574 p.

4. Gmurman V. E. Հավանականությունների տեսության և մագմատիկ վիճակագրության խնդիրների լուծման ուղեցույց: - Մ.: Բարձրագույն դպրոց, 2005. – 400 p.

5. Գմուրման. V.E հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն: - Մ.: Բարձրագույն դպրոց, 2005 թ.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Բարձրագույն մաթեմատիկա վարժություններում և խնդիրներում: Մաս 1, 2. – Մ.: Օնիքս 21-րդ դար: Խաղաղություն և կրթություն, 2005. – 304 p. Մաս 1; – 416 էջ Մաս 2.

7. Մաթեմատիկան տնտեսագիտության մեջ Դասագիրք՝ 2 մասով / Ա.Ս. Սոլոդովնիկով, Վ.Ա. Բաբայցև, Ա.Վ. Բրաիլովը, Ի.Գ. Շանդարա. - Մ.: Ֆինանսներ և վիճակագրություն, 2006 թ.

8. Շիպաչով Վ.Ս. Բարձրագույն մաթեմատիկա. Դասագիրք ուսանողների համար. համալսարաններ - Մ.: Բարձրագույն դպրոց, 2007. - 479 էջ.

Առնչվող տեղեկություններ.

Մենք կշարունակենք հղկել մեր տեխնոլոգիան տարրական փոխակերպումներվրա գծային հավասարումների միատարր համակարգ.
Առաջին պարբերությունների հիման վրա նյութը կարող է ձանձրալի ու միջակ թվալ, բայց այս տպավորությունը խաբուսիկ է։ Տեխնիկայի հետագա զարգացումից բացի, շատ նոր տեղեկություններ կլինեն, ուստի խնդրում ենք չանտեսել այս հոդվածի օրինակները:

Ի՞նչ է գծային հավասարումների միատարր համակարգը:

Պատասխանն ինքնին հուշում է. Գծային հավասարումների համակարգը միատարր է, եթե ազատ անդամը բոլորինհամակարգի հավասարումը զրոյական է։ Օրինակ:

Դա միանգամայն պարզ է միատարր համակարգը միշտ հետևողական է, այսինքն՝ միշտ լուծում ունի։ Եվ, առաջին հերթին, ձեր աչքը գրավում է այսպես կոչված չնչինլուծում . Չնչին, նրանց համար, ովքեր ընդհանրապես չեն հասկանում ածականի իմաստը, նշանակում է առանց ցուցամոլության: Ոչ ակադեմիական, իհարկե, բայց հասկանալի =) ...Ինչու ծեծել բուշի շուրջ, եկեք պարզենք, թե արդյոք այս համակարգը այլ լուծումներ ունի.

Օրինակ 1

Լուծումմիատարր համակարգ լուծելու համար անհրաժեշտ է գրել համակարգի մատրիցաև տարրական փոխակերպումների օգնությամբ այն հասցրու փուլային ձևի։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այստեղ կարիք չկա գրել ուղղահայաց բարը և ազատ տերմինների զրոյական սյունակը. ի վերջո, անկախ նրանից, թե ինչ եք անում զրոների հետ, դրանք կմնան զրո.

(1) Առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին՝ բազմապատկելով –2-ով: Առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –3-ով:

(2) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –1-ով:

Երրորդ տողը 3-ի բաժանելն այնքան էլ իմաստ չունի։

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվում է համարժեք միատարր համակարգ և, օգտագործելով Գաուսի մեթոդի հակադարձ տարբերակը, հեշտ է ստուգել, ​​որ լուծումը եզակի է:

Պատասխանել:

Ձևակերպենք ակնհայտ չափանիշգծային հավասարումների միատարր համակարգ ունի պարզապես չնչին լուծում, Եթե համակարգի մատրիցային դասակարգում(այս դեպքում 3) հավասար է փոփոխականների թվին (այս դեպքում՝ 3 հատ):

Եկեք տաքանանք և կարգավորենք մեր ռադիոն տարրական փոխակերպումների ալիքին.

Օրինակ 2

Լուծե՛ք գծային հավասարումների միատարր համակարգ

Ալգորիթմը վերջնականապես համախմբելու համար եկեք վերլուծենք վերջնական առաջադրանքը.

Օրինակ 7

Լուծե՛ք միատարր համակարգ, պատասխանը գրե՛ք վեկտորի տեսքով:

Լուծումեկեք գրենք համակարգի մատրիցը և, օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, բերենք այն աստիճանական ձևի.

(1) Առաջին տողի նշանը փոխված է. Եվս մեկ անգամ ուշադրություն եմ հրավիրում մի տեխնիկայի վրա, որը բազմիցս հանդիպել է, որը թույլ է տալիս զգալիորեն պարզեցնել հաջորդ գործողությունը:

(1) Առաջին տողը ավելացվել է 2-րդ և 3-րդ տողերին: Առաջին տողը՝ 2-ով բազմապատկված, ավելացվել է 4-րդ տողին։

(3) Վերջին երեք տողերը համամասնական են, դրանցից երկուսը հանվել են:

Արդյունքում ստացվում է ստանդարտ քայլի մատրիցա, և լուծումը շարունակվում է խճճված ուղու երկայնքով.

- հիմնական փոփոխականներ;
- անվճար փոփոխականներ:

Եկեք արտահայտենք հիմնական փոփոխականները ազատ փոփոխականներով: 2-րդ հավասարումից.

- փոխարինել 1-ին հավասարման մեջ.

Այսպիսով, ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Քանի որ դիտարկվող օրինակում կան երեք ազատ փոփոխականներ, հիմնարար համակարգը պարունակում է երեք վեկտոր։

Եկեք փոխարինենք արժեքների եռակի ընդհանուր լուծման մեջ և ստացիր վեկտոր, որի կոորդինատները բավարարում են միատարր համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը: Եվ կրկին, կրկնում եմ, որ խիստ նպատակահարմար է ստուգել յուրաքանչյուր ստացված վեկտորը, դա շատ ժամանակ չի խլի, բայց այն լիովին կպաշտպանի ձեզ սխալներից:

Արժեքների եռակի համար գտնել վեկտորը

Եվ վերջապես երեքի համար մենք ստանում ենք երրորդ վեկտորը.

Պատասխանել:, Որտեղ

Նրանք, ովքեր ցանկանում են խուսափել կոտորակային արժեքներից, կարող են հաշվի առնել եռյակ և ստանալ պատասխանը համարժեք ձևով.

Խոսելով կոտորակների մասին. Դիտարկենք խնդրի մեջ ստացված մատրիցը և եկեք ինքներս մեզ հարցնենք՝ հնարավո՞ր է պարզեցնել հետագա լուծումը։ Ի վերջո, այստեղ մենք սկզբում արտահայտեցինք հիմնական փոփոխականը կոտորակների միջոցով, հետո կոտորակների միջոցով հիմնական փոփոխականը, և, պետք է ասեմ, որ այս գործընթացը ամենապարզն ու ոչ ամենահաճելին էր։

Երկրորդ լուծում:

Գաղափարը փորձելն է ընտրել այլ հիմքի փոփոխականներ. Եկեք նայենք մատրիցին և երրորդ սյունակում նկատենք երկու մեկը: Ուրեմն ինչո՞ւ վերևում զրո չունենալ: Կատարենք ևս մեկ տարրական փոխակերպում.

Գծային հանրահաշվական հավասարումների միատարր համակարգեր

Դասերի շրջանակներում Գաուսի մեթոդԵվ Անհամատեղելի համակարգեր/համակարգեր ընդհանուր լուծումովմենք համարել ենք գծային հավասարումների անհամասեռ համակարգեր, Որտեղ ազատ անդամ(որը սովորաբար աջ կողմում է) գոնե մեկըհավասարումներից տարբերվում էր զրոյից:
Եվ հիմա, լավ տաքացումից հետո մատրիցային աստիճան, մենք կշարունակենք հղկել տեխնիկան տարրական փոխակերպումներվրա գծային հավասարումների միատարր համակարգ.
Առաջին պարբերությունների հիման վրա նյութը կարող է ձանձրալի ու միջակ թվալ, բայց այս տպավորությունը խաբուսիկ է։ Տեխնիկայի հետագա զարգացումից բացի, շատ նոր տեղեկություններ կլինեն, ուստի խնդրում ենք չանտեսել այս հոդվածի օրինակները:

Ի՞նչ է գծային հավասարումների միատարր համակարգը:

Պատասխանն ինքնին հուշում է. Գծային հավասարումների համակարգը միատարր է, եթե ազատ անդամը բոլորինհամակարգի հավասարումը զրոյական է։ Օրինակ:

Դա միանգամայն պարզ է միատարր համակարգը միշտ հետևողական է, այսինքն՝ միշտ լուծում ունի։ Եվ, առաջին հերթին, ձեր աչքը գրավում է այսպես կոչված չնչինլուծում . Չնչին, նրանց համար, ովքեր ընդհանրապես չեն հասկանում ածականի իմաստը, նշանակում է առանց ցուցամոլության: Ոչ ակադեմիական, իհարկե, բայց հասկանալի =) ...Ինչու ծեծել բուշի շուրջ, եկեք պարզենք, թե արդյոք այս համակարգը այլ լուծումներ ունի.

Օրինակ 1

Լուծումմիատարր համակարգ լուծելու համար անհրաժեշտ է գրել համակարգի մատրիցաև տարրական փոխակերպումների օգնությամբ այն հասցրու փուլային ձևի։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այստեղ կարիք չկա գրել ուղղահայաց բարը և ազատ տերմինների զրոյական սյունակը. ի վերջո, անկախ նրանից, թե ինչ եք անում զրոների հետ, դրանք կմնան զրո.

(1) Առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին՝ բազմապատկելով –2-ով: Առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –3-ով:

(2) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –1-ով:

Երրորդ տողը 3-ի բաժանելն այնքան էլ իմաստ չունի։

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվում է համարժեք միատարր համակարգ և, օգտագործելով Գաուսի մեթոդի հակադարձ տարբերակը, հեշտ է ստուգել, ​​որ լուծումը եզակի է:

Պատասխանել:

Ձևակերպենք ակնհայտ չափանիշգծային հավասարումների միատարր համակարգ ունի պարզապես չնչին լուծում, Եթե համակարգի մատրիցային դասակարգում(այս դեպքում 3) հավասար է փոփոխականների թվին (այս դեպքում՝ 3 հատ):

Եկեք տաքանանք և կարգավորենք մեր ռադիոն տարրական փոխակերպումների ալիքին.

Օրինակ 2

Լուծե՛ք գծային հավասարումների միատարր համակարգ

Հոդվածից Ինչպե՞ս գտնել մատրիցայի աստիճանը:Հիշենք մատրիցային թվերը միաժամանակ նվազեցնելու ռացիոնալ տեխնիկան։ Հակառակ դեպքում ստիպված կլինեք կտրել խոշոր, հաճախ կծող ձուկը։ Առաջադրանքի մոտավոր օրինակ դասի վերջում։

Զրոները լավ և հարմար են, բայց գործնականում գործը շատ ավելի տարածված է, երբ համակարգի մատրիցայի տողերը գծային կախված. Եվ այդ դեպքում ընդհանուր լուծման ի հայտ գալն անխուսափելի է.

Օրինակ 3

Լուծե՛ք գծային հավասարումների միատարր համակարգ

Լուծումեկեք գրենք համակարգի մատրիցը և օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, այն հասցնենք փուլային ձևի: Առաջին գործողությունը ուղղված է ոչ միայն մեկ արժեք ստանալուն, այլև առաջին սյունակում թվերի նվազմանը.

(1) Առաջին տողին ավելացվել է երրորդ տող, որը բազմապատկվել է –1-ով: Երկրորդ տողին ավելացվեց երրորդ տողը` բազմապատկելով –2-ով: Վերևի ձախ մասում ես ստացա միավոր «մինուսով», որը հաճախ շատ ավելի հարմար է հետագա փոխակերպումների համար:

(2) Առաջին երկու տողերը նույնն են, որոնցից մեկը ջնջվել է: Անկեղծ ասած, ես լուծումը չառաջադրեցի, այդպես ստացվեց: Եթե ​​դուք փոխակերպումներ եք կատարում կաղապարային եղանակով, ապա գծային կախվածությունտողերը մի փոքր ուշ կբացահայտվեին։

(3) Երկրորդ տողն ավելացվեց երրորդ տողին՝ 3-ով բազմապատկելով:

(4) Առաջին տողի նշանը փոխվել է.

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվել է համարժեք համակարգ.

Ալգորիթմն աշխատում է ճիշտ այնպես, ինչպես համար տարասեռ համակարգեր. «Քայլերի վրա նստած» փոփոխականները հիմնականն են, «քայլ» չստացած փոփոխականն անվճար է։

Եկեք արտահայտենք հիմնական փոփոխականները ազատ փոփոխականի միջոցով.

ՊատասխանելԸնդհանուր որոշում.

Չնչին լուծումը ներառված է ընդհանուր բանաձեւի մեջ, եւ ավելորդ է այն առանձին գրել։

Ստուգումն իրականացվում է նաև սովորական սխեմայով. ստացված ընդհանուր լուծումը պետք է փոխարինվի համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում և բոլոր փոխարինումների համար պետք է ստացվի օրինական զրո:

Դա հնարավոր կլինի ավարտել հանգիստ և խաղաղ, բայց հավասարումների միատարր համակարգի լուծումը հաճախ անհրաժեշտ է ներկայացնել: վեկտորի տեսքովօգտագործելով լուծումների հիմնարար համակարգ. Խնդրում եմ մոռացեք դրա մասին առայժմ վերլուծական երկրաչափություն, քանի որ այժմ մենք կխոսենք վեկտորների մասին ընդհանուր հանրահաշվական իմաստով, որը ես մի փոքր բացեցի հոդվածում. մատրիցային աստիճան. Կարիք չկա շողոքորթել տերմինաբանությունը, ամեն ինչ բավականին պարզ է։

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծումը (SLAEs) անկասկած ամենակարևոր թեման է գծային հանրահաշվի դասընթացում: Մաթեմատիկայի բոլոր ճյուղերից հսկայական թվով խնդիրներ հանգում են գծային հավասարումների համակարգերի լուծմանը: Այս գործոնները բացատրում են այս հոդվածի պատճառը: Հոդվածի նյութն ընտրված և կառուցված է այնպես, որ դրա օգնությամբ կարողանաք

• ընտրեք ձեր գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը լուծելու օպտիմալ մեթոդը,
• ուսումնասիրել ընտրված մեթոդի տեսությունը,
• լուծել ձեր գծային հավասարումների համակարգը՝ դիտարկելով բնորոշ օրինակների և խնդիրների մանրամասն լուծումները:

Հոդվածի նյութի համառոտ նկարագրությունը.

Նախ, մենք տալիս ենք բոլոր անհրաժեշտ սահմանումները, հասկացությունները և ներկայացնում նշումներ:

Հաջորդիվ կդիտարկենք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդներ, որոնցում հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին և որոնք ունեն եզակի լուծում: Նախ, մենք կկենտրոնանանք Կրամերի մեթոդի վրա, երկրորդը, ցույց կտանք նման հավասարումների համակարգերի լուծման մատրիցային մեթոդը, և երրորդը, մենք կվերլուծենք Գաուսի մեթոդը (անհայտ փոփոխականների հաջորդական վերացման մեթոդ): Տեսությունը համախմբելու համար մենք անպայման կլուծենք մի քանի SLAE տարբեր ձևերով:

Դրանից հետո կանցնենք ընդհանուր ձևի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծմանը, որոնցում հավասարումների թիվը չի համընկնում անհայտ փոփոխականների թվի հետ կամ համակարգի հիմնական մատրիցը եզակի է։ Ձևակերպենք Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմը, որը թույլ է տալիս հաստատել SLAE-ների համատեղելիությունը։ Եկեք վերլուծենք համակարգերի լուծումը (եթե դրանք համատեղելի են) օգտագործելով մատրիցայի հիմնական մինոր հասկացությունը: Մենք կդիտարկենք նաև Գաուսի մեթոդը և մանրամասն նկարագրելու ենք օրինակների լուծումները։

Անպայման կանդրադառնանք գծային հանրահաշվական հավասարումների միատարր և անհամասեռ համակարգերի ընդհանուր լուծման կառուցվածքին։ Եկեք տանք լուծումների հիմնարար համակարգի հայեցակարգը և ցույց տանք, թե ինչպես է SLAE-ի ընդհանուր լուծումը գրվում՝ օգտագործելով լուծումների հիմնարար համակարգի վեկտորները: Ավելի լավ հասկանալու համար տեսնենք մի քանի օրինակ։

Եզրափակելով, մենք կդիտարկենք հավասարումների համակարգեր, որոնք կարող են կրճատվել գծայինի, ինչպես նաև տարբեր խնդիրներ, որոնց լուծման ժամանակ առաջանում են SLAE-ները:

Էջի նավարկություն.

Սահմանումներ, հասկացություններ, նշանակումներ:

Մենք կդիտարկենք p գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր n անհայտ փոփոխականներով (p կարող է հավասար լինել n) ձևի.

Անհայտ փոփոխականներ, - գործակիցներ (որոշ իրական կամ բարդ թվեր), - ազատ տերմիններ (նաև իրական կամ բարդ թվեր):

SLAE-ի գրանցման այս ձևը կոչվում է համակարգել.

IN մատրիցային ձևԱյս հավասարումների համակարգը գրելը ունի ձև.
Որտեղ - համակարգի հիմնական մատրիցը, - անհայտ փոփոխականների սյունակային մատրիցը, - ազատ տերմինների սյունակային մատրիցը:

Եթե ​​A մատրիցին որպես (n+1)-րդ սյունակ ավելացնենք ազատ տերմինների մատրից-սյունակ, ապա կստանանք այսպես կոչված. ընդլայնված մատրիցագծային հավասարումների համակարգեր։ Սովորաբար, ընդլայնված մատրիցը նշվում է T տառով, իսկ ազատ տերմինների սյունակը բաժանվում է ուղղահայաց գծով մնացած սյուներից, այսինքն.

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծումկոչվում է անհայտ փոփոխականների արժեքների մի շարք, որը համակարգի բոլոր հավասարումները վերածում է նույնականության: Անհայտ փոփոխականների տրված արժեքների մատրիցային հավասարումը նույնպես դառնում է ինքնություն:

Եթե ​​հավասարումների համակարգն ունի առնվազն մեկ լուծում, ապա այն կոչվում է համատեղ.

Եթե ​​հավասարումների համակարգը լուծումներ չունի, ապա այն կոչվում է ոչ համատեղ.

Եթե ​​SLAE-ն ունի յուրահատուկ լուծում, ապա այն կոչվում է որոշակի; եթե կան մեկից ավելի լուծումներ, ապա՝ անորոշ.

Եթե ​​համակարգի բոլոր հավասարումների ազատ անդամները հավասար են զրոյի , ապա համակարգը կոչվում է միատարր, հակառակ դեպքում - տարասեռ.

Գծային հանրահաշվական հավասարումների տարրական համակարգերի լուծում։

Եթե ​​համակարգի հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին, իսկ նրա հիմնական մատրիցայի որոշիչը հավասար չէ զրոյի, ապա այդպիսի SLAE-ները կկոչվեն. տարրական. Հավասարումների նման համակարգերն ունեն եզակի լուծում, իսկ միատարր համակարգի դեպքում բոլոր անհայտ փոփոխականները հավասար են զրոյի։

Այդպիսի SLAE-ները մենք սկսել ենք ուսումնասիրել ավագ դպրոցում: Դրանք լուծելիս վերցրինք մեկ հավասարում, մեկ անհայտ փոփոխականն արտահայտեցինք մյուսներով և փոխարինեցինք մնացած հավասարումներով, այնուհետև վերցրեցինք հաջորդ հավասարումը, արտահայտեցինք հաջորդ անհայտ փոփոխականը և այն փոխարինեցինք այլ հավասարումներով և այլն։ Կամ օգտագործում էին գումարման մեթոդը, այսինքն՝ ավելացնում էին երկու կամ ավելի հավասարումներ՝ որոշ անհայտ փոփոխականներ վերացնելու համար։ Մենք մանրամասնորեն չենք անդրադառնա այս մեթոդներին, քանի որ դրանք ըստ էության Գաուսի մեթոդի փոփոխություններն են:

Գծային հավասարումների տարրական համակարգերի լուծման հիմնական մեթոդներն են Կրամերի մեթոդը, մատրիցային մեթոդը և Գաուսի մեթոդը։ Եկեք դասավորենք դրանք:

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում Քրամերի մեթոդով:

Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ

որոնցում հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին, իսկ համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը տարբերվում է զրոյից, այսինքն՝ .

Թող լինի համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը, և - մատրիցների որոշիչները, որոնք ստացվում են A-ից փոխարինման միջոցով 1-ին, 2-րդ, ..., n-րդսյունակ՝ համապատասխանաբար ազատ անդամների սյունակին.

Այս նշումով անհայտ փոփոխականները հաշվարկվում են՝ օգտագործելով Քրամերի մեթոդի բանաձևերը որպես . Այսպես է գտնում գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծումը՝ օգտագործելով Քրամերի մեթոդը։

Օրինակ.

Կրամերի մեթոդը .

Լուծում.

Համակարգի հիմնական մատրիցն ունի ձև . Եկեք հաշվարկենք դրա որոշիչը (անհրաժեշտության դեպքում տես հոդվածը).

Քանի որ համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշիչը զրոյական չէ, համակարգն ունի եզակի լուծում, որը կարելի է գտնել Քրամերի մեթոդով:

Կազմենք և հաշվարկենք անհրաժեշտ որոշիչները (մենք ստանում ենք որոշիչը՝ A մատրիցի առաջին սյունակը փոխարինելով ազատ անդամների սյունակով, որոշիչը՝ փոխարինելով երկրորդ սյունակը ազատ անդամներով, և A մատրիցի երրորդ սյունակը փոխարինելով ազատ անդամներով սյունակով) :

Բանաձևերի միջոցով գտնել անհայտ փոփոխականներ :

Պատասխան.

Քրամերի մեթոդի հիմնական թերությունը (եթե այն կարելի է անվանել թերություն) որոշիչների հաշվարկման բարդությունն է, երբ համակարգում հավասարումների թիվը երեքից ավելի է։

Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծում մատրիցային մեթոդով (հակադարձ մատրիցայի կիրառմամբ):

Թող գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը տրվի մատրիցային ձևով, որտեղ A մատրիցն ունի n չափս n-ով, և դրա որոշիչը զրոյական չէ:

Քանի որ A մատրիցը շրջելի է, այսինքն՝ կա հակադարձ մատրիցա։ Եթե ​​հավասարության երկու կողմերը բազմապատկենք ձախով, ապա կստանանք անհայտ փոփոխականների մատրիցա-սյունակ գտնելու բանաձև։ Այսպես մենք ստացանք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծումը մատրիցային մեթոդով։

Օրինակ.

Լուծել գծային հավասարումների համակարգը մատրիցային մեթոդ.

Լուծում.

Եկեք վերագրենք հավասարումների համակարգը մատրիցային ձևով.

Որովհետեւ

ապա SLAE-ը կարող է լուծվել մատրիցային մեթոդով: Օգտագործելով հակադարձ մատրիցը, այս համակարգի լուծումը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ .

Եկեք կառուցենք հակադարձ մատրիցա՝ օգտագործելով A մատրիցի տարրերի հանրահաշվական հավելումներից մատրիցա (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս հոդվածը).

Մնում է հաշվարկել անհայտ փոփոխականների մատրիցը՝ հակադարձ մատրիցը բազմապատկելով ազատ անդամների մատրիցային սյունակին (անհրաժեշտության դեպքում տես հոդվածը).

Պատասխան.

կամ մեկ այլ նշումով x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1:

Մատրիցային մեթոդով գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծումներ գտնելիս հիմնական խնդիրը հակադարձ մատրիցը գտնելու բարդությունն է, հատկապես երրորդից բարձր կարգի քառակուսի մատրիցների համար:

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում Գաուսի մեթոդով:

Ենթադրենք, մենք պետք է լուծում գտնենք n անհայտ փոփոխականներով n գծային հավասարումների համակարգի համար
որի հիմնական մատրիցայի որոշիչը տարբերվում է զրոյից։

Գաուսի մեթոդի էությունըբաղկացած է անհայտ փոփոխականների հաջորդական բացառումից. նախ x 1-ը բացառվում է համակարգի բոլոր հավասարումներից, սկսած երկրորդից, ապա x 2-ը բացառվում է բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երրորդից և այլն, մինչև միայն անհայտ x n փոփոխականը: մնում է վերջին հավասարման մեջ։ Անհայտ փոփոխականները հաջորդաբար վերացնելու համար համակարգի հավասարումների փոխակերպման այս գործընթացը կոչվում է ուղղակի Գաուսի մեթոդ. Գաուսի մեթոդի առջևի հարվածն ավարտելուց հետո վերջին հավասարումից հայտնաբերվում է x n, նախավերջին հավասարումից այս արժեքն օգտագործելով՝ հաշվարկվում է x n-1, և այսպես շարունակ՝ առաջին հավասարումից՝ x 1։ Անհայտ փոփոխականների հաշվարկման գործընթացը համակարգի վերջին հավասարումից առաջինին անցնելիս կոչվում է Գաուսի մեթոդի հակադարձ.

Եկեք համառոտ նկարագրենք անհայտ փոփոխականների վերացման ալգորիթմը:

Մենք կենթադրենք, որ, քանի որ մենք միշտ կարող ենք հասնել դրան՝ վերադասավորելով համակարգի հավասարումները: Վերացնենք x 1 անհայտ փոփոխականը համակարգի բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երկրորդից։ Դա անելու համար համակարգի երկրորդ հավասարմանը մենք ավելացնում ենք առաջինը, բազմապատկվում է , երրորդ հավասարմանը ավելացնում ենք առաջինը, բազմապատկվում է , և այսպես շարունակ, n-րդ հավասարմանը գումարում ենք առաջինը, բազմապատկվում է . Նման փոխակերպումներից հետո հավասարումների համակարգը կընդունի ձևը

որտեղ և .

Մենք կհասնեինք նույն արդյունքին, եթե համակարգի առաջին հավասարման այլ անհայտ փոփոխականներով արտահայտեինք x 1 և ստացված արտահայտությունը փոխարինեինք մնացած բոլոր հավասարումներով: Այսպիսով, x 1 փոփոխականը բացառվում է բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երկրորդից։

Հաջորդը, մենք շարունակում ենք նույն կերպ, բայց միայն արդյունքում ստացված համակարգի մի մասով, որը նշված է նկարում

Դա անելու համար համակարգի երրորդ հավասարմանը մենք ավելացնում ենք երկրորդը, բազմապատկված , չորրորդ հավասարմանը ավելացնում ենք երկրորդը, բազմապատկվում է , և այսպես շարունակ, n-րդ հավասարմանը գումարում ենք երկրորդը, բազմապատկվում է . Նման փոխակերպումներից հետո հավասարումների համակարգը կընդունի ձևը

որտեղ և . Այսպիսով, x 2 փոփոխականը բացառվում է բոլոր հավասարումներից՝ սկսած երրորդից։

Հաջորդը, մենք անցնում ենք անհայտ x 3-ի վերացմանը, մինչդեռ մենք նույն կերպ ենք գործում նկարում նշված համակարգի մասի հետ:

Այսպիսով, մենք շարունակում ենք Գաուսի մեթոդի ուղղակի առաջընթացը, մինչև համակարգը ձևավորվի

Այս պահից մենք սկսում ենք Գաուսի մեթոդի հակառակը. վերջին հավասարումից մենք հաշվում ենք x n, քանի որ, օգտագործելով x n-ի ստացված արժեքը, մենք գտնում ենք x n-1 նախավերջին հավասարումից, և այսպես շարունակ, մենք գտնում ենք x 1 առաջին հավասարումից: .

Օրինակ.

Լուծել գծային հավասարումների համակարգը Գաուսի մեթոդ.

Լուծում.

Համակարգի երկրորդ և երրորդ հավասարումներից բացառենք x 1 անհայտ փոփոխականը։ Դա անելու համար երկրորդ և երրորդ հավասարումների երկու կողմերին ավելացնում ենք առաջին հավասարման համապատասխան մասերը՝ համապատասխանաբար բազմապատկելով և բազմապատկելով.

Այժմ մենք վերացնում ենք x 2-ը երրորդ հավասարումից՝ դրա ձախ և աջ կողմերին ավելացնելով երկրորդ հավասարման ձախ և աջ կողմերը՝ բազմապատկելով.

Սա ավարտում է Գաուսի մեթոդի առաջընթացը, մենք սկսում ենք հակառակ հարվածը:

Ստացված հավասարումների համակարգի վերջին հավասարումից մենք գտնում ենք x 3.

Երկրորդ հավասարումից մենք ստանում ենք.

Առաջին հավասարումից մենք գտնում ենք մնացած անհայտ փոփոխականը և դրանով իսկ լրացնում Գաուսի մեթոդի հակառակը:

Պատասխան.

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1:

Ընդհանուր ձևի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծում.

Ընդհանուր առմամբ, p համակարգի հավասարումների թիվը չի համընկնում n անհայտ փոփոխականների թվի հետ.

Նման SLAE-ները կարող են չունենալ լուծումներ, ունենալ մեկ լուծում կամ ունենալ անսահման շատ լուծումներ: Այս պնդումը վերաբերում է նաև հավասարումների համակարգերին, որոնց հիմնական մատրիցը քառակուսի և եզակի է:

Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմ.

Նախքան գծային հավասարումների համակարգի լուծում գտնելը, անհրաժեշտ է հաստատել դրա համատեղելիությունը: Հարցի պատասխանը, թե երբ է SLAE-ը համատեղելի, իսկ երբ՝ անհամապատասխան, տրվում է Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմ:
Որպեսզի n անհայտ ունեցող p հավասարումների համակարգը (p-ն կարող է հավասար լինել n-ին) համահունչ լինի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար լինի ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին, այսինքն. , Rank(A)=Rank(T):

Որպես օրինակ դիտարկենք Կրոնեկեր–Կապելի թեորեմի կիրառումը գծային հավասարումների համակարգի համատեղելիությունը որոշելու համար։

Օրինակ.

Պարզեք, թե արդյոք գծային հավասարումների համակարգը ունի լուծումներ։

Լուծում.

. Եկեք օգտագործենք անչափահասների սահմանազատման մեթոդը. Երկրորդ կարգի անչափահաս տարբերվում է զրոյից: Դիտարկենք դրա սահմանակից երրորդ կարգի անչափահասներին.

Քանի որ երրորդ կարգի բոլոր սահմանակից փոքրերը հավասար են զրոյի, հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է երկուսի:

Իր հերթին, ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը հավասար է երեքի, քանի որ անչափահասը երրորդ կարգի է

տարբերվում է զրոյից:

Այսպիսով, Rang(A), հետևաբար, օգտագործելով Kronecker–Capelli թեորեմը, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ գծային հավասարումների սկզբնական համակարգը անհամապատասխան է:

Պատասխան.

Համակարգը լուծումներ չունի.

Այսպիսով, մենք սովորեցինք հաստատել համակարգի անհամապատասխանությունը՝ օգտագործելով Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմը:

Բայց ինչպե՞ս լուծում գտնել SLAE-ի համար, եթե դրա համատեղելիությունը հաստատված է:

Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ է մատրիցայի հիմնական մինոր հասկացությունը և մատրիցայի աստիճանի թեորեմը:

A մատրիցի ամենաբարձր կարգի մինորը, որը տարբերվում է զրոյից, կոչվում է հիմնական.

Հիմնական մինորի սահմանումից հետևում է, որ դրա կարգը հավասար է մատրիցայի աստիճանին: Ոչ զրոյական A մատրիցի համար կարող են լինել մի քանի հիմնական մինորներ, միշտ կա մեկ հիմնական մինոր:

Օրինակ, հաշվի առեք մատրիցը .

Այս մատրիցայի բոլոր երրորդ կարգի փոքրերը հավասար են զրոյի, քանի որ այս մատրիցայի երրորդ շարքի տարրերը առաջին և երկրորդ շարքերի համապատասխան տարրերի գումարն են։

Հետևյալ երկրորդ կարգի անչափահասները հիմնական են, քանի որ դրանք զրոյական չեն

Անչափահասներ հիմնական չեն, քանի որ հավասար են զրոյի։

Մատրիցային աստիճանի թեորեմ.

Եթե ​​p-ի n-ով կարգի մատրիցայի դասակարգումը հավասար է r-ին, ապա մատրիցի բոլոր տողերի (և սյունակների) տարրերը, որոնք չեն կազմում ընտրված հիմնական մինորը, գծային կերպով արտահայտվում են համապատասխան շարքի (և սյունակի) տարրերի տեսքով: հիմք անչափահաս.

Ի՞նչ է մեզ ասում մատրիցային վարկանիշի թեորեմը:

Եթե, ըստ Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմի, մենք հաստատել ենք համակարգի համատեղելիությունը, ապա մենք ընտրում ենք համակարգի հիմնական մատրիցայի ցանկացած հիմք (նրա կարգը հավասար է r-ի), և համակարգից բացառում ենք բոլոր հավասարումները, որոնք չեն կազմում ընտրված հիմքը անչափահաս: Այս կերպ ստացված SLAE-ը համարժեք կլինի սկզբնականին, քանի որ հեռացված հավասարումները դեռ ավելորդ են (ըստ մատրիցային աստիճանի թեորեմի՝ դրանք մնացած հավասարումների գծային համակցությունն են)։

Արդյունքում, համակարգի անհարկի հավասարումները հեռացնելուց հետո հնարավոր է երկու դեպք.

Եթե ​​ստացված համակարգում r հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին, ապա այն կլինի որոշակի, և միակ լուծումը կարելի է գտնել Կրամերի մեթոդով, մատրիցային մեթոդով կամ Գաուսի մեթոդով։

Օրինակ.

.

Լուծում.

Համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է երկուսի, քանի որ անչափահասը երկրորդ կարգի է տարբերվում է զրոյից: Ընդլայնված Matrix Rank նույնպես հավասար է երկուսի, քանի որ երրորդ կարգի միակ մինորը զրո է

իսկ վերը նշված երկրորդ կարգի մինորը տարբերվում է զրոյից: Հիմնվելով Կրոնեկեր–Կապելի թեորեմի վրա՝ մենք կարող ենք հաստատել գծային հավասարումների սկզբնական համակարգի համատեղելիությունը, քանի որ Rank(A)=Rank(T)=2։

Որպես անչափահաս հիմք մենք վերցնում ենք . Այն ձևավորվում է առաջին և երկրորդ հավասարումների գործակիցներով.


Համակարգի երրորդ հավասարումը չի մասնակցում հիմնական մինորի ձևավորմանը, ուստի մենք այն բացառում ենք համակարգից՝ հիմնված մատրիցայի աստիճանի թեորեմի վրա.


Այսպես մենք ստացանք գծային հանրահաշվական հավասարումների տարրական համակարգ։ Եկեք լուծենք այն Քրամերի մեթոդով.


Պատասխան.

x 1 = 1, x 2 = 2:

Եթե ​​ստացված SLAE-ում r հավասարումների թիվը փոքր է n անհայտ փոփոխականների թվից, ապա հավասարումների ձախ կողմերում մենք թողնում ենք հիմք կազմող տերմինները, իսկ մնացած անդամները տեղափոխում ենք աջ կողմերը: համակարգի հավասարումները հակառակ նշանով.

Կանչվում են հավասարումների ձախ կողմերում մնացած անհայտ փոփոխականները (դրանցից r): հիմնական.

Անհայտ փոփոխականները (կան n - r կտորներ), որոնք գտնվում են աջ կողմերում, կոչվում են անվճար.

Այժմ մենք հավատում ենք, որ ազատ անհայտ փոփոխականները կարող են ընդունել կամայական արժեքներ, մինչդեռ r հիմնական անհայտ փոփոխականները կարտահայտվեն ազատ անհայտ փոփոխականների միջոցով յուրօրինակ ձևով։ Դրանց արտահայտությունը կարելի է գտնել՝ լուծելով ստացված SLAE-ը՝ օգտագործելով Կրամերի մեթոդը, մատրիցային մեթոդը կամ Գաուսի մեթոդը։

Դիտարկենք օրինակով։

Օրինակ.

Լուծել գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ .

Լուծում.

Գտնենք համակարգի հիմնական մատրիցայի աստիճանը սահմանամերձ անչափահասների մեթոդով։ Վերցնենք 1 1 = 1 որպես առաջին կարգի ոչ զրոյական մինոր: Սկսենք որոնել երկրորդ կարգի ոչ զրոյական մինոր, որը սահմանակից է այս փոքրին.


Այսպես մենք գտանք երկրորդ կարգի ոչ զրոյական մինոր։ Սկսենք որոնել երրորդ կարգի ոչ զրոյական սահմանային փոքր.


Այսպիսով, հիմնական մատրիցայի աստիճանը երեքն է: Ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը նույնպես հավասար է երեքի, այսինքն՝ համակարգը հետևողական է:

Որպես հիմք վերցնում ենք երրորդ կարգի ոչ զրոյական մինորը։

Հստակության համար մենք ցույց ենք տալիս այն տարրերը, որոնք կազմում են աննշան հիմքը.


Համակարգի հավասարումների ձախ կողմում թողնում ենք հիմնական մինորում ներառված տերմինները, իսկ մնացածը հակառակ նշաններով տեղափոխում ենք աջ կողմեր.


Ազատ անհայտ x 2 և x 5 փոփոխականներին տանք կամայական արժեքներ, այսինքն՝ ընդունում ենք , որտեղ կան կամայական թվեր։ Այս դեպքում SLAE-ն կվերցնի ձևը


Եկեք լուծենք ստացված գծային հանրահաշվական հավասարումների տարրական համակարգը՝ օգտագործելով Քրամերի մեթոդը.


Հետևաբար, .

Ձեր պատասխանում մի մոռացեք նշել անվճար անհայտ փոփոխականներ:

Պատասխան.

Որտեղ են կամայական թվերը:

Ամփոփել.

Ընդհանուր գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը լուծելու համար մենք նախ որոշում ենք դրա համատեղելիությունը՝ օգտագործելով Կրոնեկեր-Կապելի թեորեմը: Եթե ​​հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար չէ ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին, ապա մենք եզրակացնում ենք, որ համակարգը անհամատեղելի է:

Եթե ​​հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է ընդլայնված մատրիցայի աստիճանին, ապա մենք ընտրում ենք հիմնական մինոր և մերժում ենք համակարգի հավասարումները, որոնք չեն մասնակցում ընտրված հիմնական մինորի ձևավորմանը:

Եթե ​​հիմնական մինորի կարգը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին, ապա SLAE-ն ունի յուրահատուկ լուծում, որը կարելի է գտնել մեզ հայտնի ցանկացած մեթոդով։

Եթե ​​հիմնական մինորի կարգը փոքր է անհայտ փոփոխականների թվից, ապա համակարգի հավասարումների ձախ կողմում մենք տերմինները թողնում ենք հիմնական անհայտ փոփոխականների հետ, մնացած տերմինները տեղափոխում ենք աջ կողմեր ​​և տալիս կամայական արժեքներ: անվճար անհայտ փոփոխականներ. Ստացված գծային հավասարումների համակարգից մենք գտնում ենք հիմնական անհայտ փոփոխականները՝ օգտագործելով Կրամերի մեթոդը, մատրիցային մեթոդը կամ Գաուսի մեթոդը։

Ընդհանուր ձևի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման Գաուսի մեթոդ.

Գաուսի մեթոդը կարող է օգտագործվել ցանկացած տեսակի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգեր լուծելու համար՝ առանց դրանց հետևողականության համար նախապես ստուգելու: Անհայտ փոփոխականների հաջորդական վերացման գործընթացը հնարավորություն է տալիս եզրակացություն անել SLAE-ի և՛ համատեղելիության, և՛ անհամատեղելիության մասին, իսկ լուծման առկայության դեպքում այն ​​հնարավոր է դարձնում գտնել այն:

Հաշվողական տեսանկյունից նախընտրելի է Գաուսի մեթոդը։

Տե՛ս դրա մանրամասն նկարագրությունը և վերլուծված օրինակները Գաուսի մեթոդ ընդհանուր գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման հոդվածում։

Միատարր և անհամասեռ գծային հանրահաշվական համակարգերի ընդհանուր լուծում գրելը լուծումների հիմնարար համակարգի վեկտորների միջոցով:

Այս բաժնում կխոսենք գծային հանրահաշվական հավասարումների միաժամանակյա միատարր և անհամասեռ համակարգերի մասին, որոնք ունեն անսահման թվով լուծումներ։

Եկեք նախ անդրադառնանք միատարր համակարգերին:

Լուծումների հիմնարար համակարգ n անհայտ փոփոխականներով p գծային հանրահաշվական հավասարումների համասեռ համակարգը այս համակարգի (n – r) գծային անկախ լուծումների հավաքածուն է, որտեղ r-ը համակարգի հիմնական մատրիցայի հիմնական մինորի կարգն է։

Եթե ​​միատարր SLAE-ի գծային անկախ լուծումները նշանակում ենք X (1), X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2), …, X (n-r) n չափման սյունակային մատրիցներ են: 1)-ով, ապա այս միատարր համակարգի ընդհանուր լուծումը ներկայացված է որպես լուծումների հիմնարար համակարգի վեկտորների գծային համակցություն C 1, C 2, ..., C (n-r) կամայական հաստատուն գործակիցներով, այսինքն՝ .

Ի՞նչ է նշանակում գծային հանրահաշվական հավասարումների համասեռ համակարգի (օրոսլաու) ընդհանուր լուծում տերմինը:

Իմաստը պարզ է. բանաձևը սահմանում է սկզբնական SLAE-ի բոլոր հնարավոր լուծումները, այլ կերպ ասած՝ վերցնելով C 1, C 2, ..., C (n-r) կամայական հաստատունների արժեքների ցանկացած հավաքածու՝ օգտագործելով այն բանաձևը, որը մենք կ ստացեք սկզբնական համասեռ SLAE-ի լուծումներից մեկը:

Այսպիսով, եթե մենք գտնենք լուծումների հիմնարար համակարգ, ապա մենք կարող ենք այս միատարր SLAE-ի բոլոր լուծումները սահմանել որպես .

Եկեք ցույց տանք համասեռ SLAE-ի լուծումների հիմնարար համակարգի կառուցման գործընթացը:

Մենք ընտրում ենք գծային հավասարումների սկզբնական համակարգի հիմնական մինորը, համակարգից բացառում ենք մնացած բոլոր հավասարումները և ազատ անհայտ փոփոխականներ պարունակող բոլոր տերմինները փոխանցում ենք համակարգի հավասարումների աջ կողմեր՝ հակառակ նշաններով: Եկեք անվճար անհայտ փոփոխականներին տանք 1,0,0,...,0 արժեքները և հաշվարկենք հիմնական անհայտները՝ լուծելով ստացված գծային հավասարումների տարրական համակարգը ցանկացած ձևով, օրինակ՝ օգտագործելով Cramer մեթոդը։ Սա կհանգեցնի X (1) - հիմնարար համակարգի առաջին լուծումը: Եթե ​​անվճար անհայտներին տանք 0,1,0,0,…,0 արժեքները և հաշվարկենք հիմնական անհայտները, կստանանք X (2): Եվ այսպես շարունակ։ Եթե ​​ազատ անհայտ փոփոխականներին վերագրենք 0.0,…,0.1 արժեքները և հաշվենք հիմնական անհայտները, կստանանք X (n-r): Այսպիսով, միատարր SLAE-ի լուծումների հիմնարար համակարգ կկառուցվի, և դրա ընդհանուր լուծումը կարող է գրվել ձևով:

Գծային հանրահաշվական հավասարումների անհամասեռ համակարգերի համար ընդհանուր լուծումը ներկայացված է ձևով, որտեղ համապատասխան միատարր համակարգի ընդհանուր լուծումն է, և սկզբնական անհամասեռ SLAE-ի հատուկ լուծումն է, որը մենք ստանում ենք ազատ անհայտներին արժեքներ տալով։ 0,0,...,0 և հաշվարկելով հիմնական անհայտների արժեքները:

Եկեք նայենք օրինակներին:

Օրինակ.

Գտե՛ք լուծումների հիմնարար համակարգը և գծային հանրահաշվական հավասարումների համասեռ համակարգի ընդհանուր լուծումը .

Լուծում.

Գծային հավասարումների միատարր համակարգերի հիմնական մատրիցայի աստիճանը միշտ հավասար է ընդլայնված մատրիցի աստիճանին։ Գտնենք հիմնական մատրիցայի աստիճանը՝ օգտագործելով անչափահասների սահմանազատման մեթոդը: Որպես առաջին կարգի ոչ զրոյական մինոր, մենք վերցնում ենք համակարգի հիմնական մատրիցայի a 1 1 = 9 տարրը: Գտնենք երկրորդ կարգի սահմանային ոչ զրոյական փոքրը.

Հայտնաբերվել է երկրորդ կարգի զրոյից տարբերվող անչափահաս: Եկեք անցնենք երրորդ կարգի անչափահասների միջով, որոնք սահմանակից են դրան՝ փնտրելով ոչ զրոյական մեկը.

Բոլոր երրորդ կարգի սահմանակից անչափահասները հավասար են զրոյի, հետևաբար, հիմնական և ընդլայնված մատրիցայի աստիճանը հավասար է երկուսի: Վերցնենք. Պարզության համար նշենք համակարգի այն տարրերը, որոնք կազմում են այն.

Բնօրինակ SLAE-ի երրորդ հավասարումը չի մասնակցում հիմնական մինորի ձևավորմանը, հետևաբար, այն կարելի է բացառել.

Հիմնական անհայտները պարունակող տերմինները թողնում ենք հավասարումների աջ կողմերում, իսկ ազատ անհայտներով տերմինները տեղափոխում ենք աջ կողմեր.

Եկեք կառուցենք գծային հավասարումների սկզբնական միատարր համակարգի լուծումների հիմնարար համակարգ: Այս SLAE-ի լուծումների հիմնարար համակարգը բաղկացած է երկու լուծումից, քանի որ սկզբնական SLAE-ը պարունակում է չորս անհայտ փոփոխականներ, և դրա հիմնական մինորի կարգը հավասար է երկուսի: X (1) գտնելու համար մենք ազատ անհայտ փոփոխականներին տալիս ենք արժեքներ x 2 = 1, x 4 = 0, այնուհետև մենք գտնում ենք հիմնական անհայտները հավասարումների համակարգից:
.

Եկեք դիտարկենք միատարր համակարգ m գծային հավասարումներ n փոփոխականներով.

(15)

Միատարր գծային հավասարումների համակարգը միշտ հետևողական է, քանի որ այն միշտ ունի զրոյական (չնչին) լուծում (0,0,…,0):

Եթե ​​(15) համակարգում m=n և , ապա համակարգն ունի միայն զրոյական լուծում, որը բխում է Քրամերի թեորեմից և բանաձևերից։

Թեորեմ 1. Միատարր համակարգը (15) ունի ոչ տրիվիալ լուծում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա մատրիցայի աստիճանը փոքր է փոփոխականների քանակից, այսինքն. . r(Ա)< n.

Ապացույց. (15) համակարգի ոչ տրիվիալ լուծման գոյությունը համարժեք է համակարգի մատրիցայի սյունակների գծային կախվածությանը (այսինքն՝ կան x 1, x 2,..., x n թվեր, ոչ բոլորը հավասար են զրոյի, այնպես, որ հավասարությունները (15) ճշմարիտ են):

Համաձայն հիմնական մինոր թեորեմի՝ մատրիցայի սյունակները գծային կախված են  երբ այս մատրիցի ոչ բոլոր սյունակները հիմնական են, այսինքն.  երբ մատրիցի հիմնական մինորի r կարգը փոքր է նրա սյունակների n թվից: և այլն:

Հետևանք. Քառակուսի միատարր համակարգն ունի ոչ տրիվիալ լուծումներ  երբ |A|=0:

Թեորեմ 2. Եթե ​​x (1), x (2),..., x (s) սյունակները AX = 0 միատարր համակարգի լուծումներ են, ապա դրանց ցանկացած գծային համակցություն նույնպես այս համակարգի լուծումն է:

Ապացույց. Դիտարկենք լուծումների ցանկացած համակցություն.

Ապա AX=A()===0: և այլն:

Եզրակացություն 1.Եթե ​​միատարր համակարգն ունի ոչ տրիվիալ լուծում, ապա այն ունի անսահման շատ լուծումներ:

Դա. անհրաժեշտ է գտնել Ax = 0 համակարգի x (1), x (2),..., x (s) լուծումները, որպեսզի այս համակարգի ցանկացած այլ լուծում ներկայացվի դրանց գծային համակցության տեսքով և , ընդ որում՝ յուրօրինակ կերպով։

Սահմանում. Aх=0 համակարգի x (1), x (2),…, x (k) գծային անկախ լուծումների k=n-r (n-ը համակարգի անհայտների թիվն է, r=rg A) համակարգը կոչվում է. լուծումների հիմնարար համակարգայս համակարգը:

Թեորեմ 3. Տրված է միատարր համակարգ Ах=0՝ n անհայտներով և r=rg A-ով, այնուհետև այս համակարգի x (1), x (2),…, x (k) լուծումների մի ամբողջություն է կազմում. լուծումների հիմնարար համակարգ.

Ապացույց. Առանց ընդհանրության կորստի, մենք կարող ենք ենթադրել, որ A մատրիցի հիմնական մինորը գտնվում է վերին ձախ անկյունում: Այնուհետև, ըստ հիմնական փոքր թեորեմի, A մատրիցի մնացած տողերը հիմքի տողերի գծային համակցություններ են: Սա նշանակում է, որ եթե x 1, x 2,…, x n արժեքները բավարարում են առաջին r հավասարումները, այսինքն. հիմնական մինորի տողերին համապատասխանող հավասարումներ), ապա դրանք բավարարում են նաև այլ հավասարումներ։ Հետևաբար, համակարգի լուծումների բազմությունը չի փոխվի, եթե (r+1)-ից սկսած բոլոր հավասարումները դեն նետենք։ Մենք ստանում ենք համակարգը.

Ազատ անհայտները x r +1 , x r +2 ,…, x n տեղափոխենք աջ կողմ, իսկ հիմնականները թողնենք x 1 , x 2 ,…, x r ձախ կողմում.

(16)

Որովհետեւ այս դեպքում բոլորը b i =0, ապա բանաձեւերի փոխարեն

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), մենք ստանում ենք.

c j =-(c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Եթե ​​x r +1 , x r +2 ,…, x n ազատ անհայտները դնենք կամայական արժեքների, ապա հիմնական անհայտների նկատմամբ մենք ստանում ենք քառակուսի SLAE ոչ եզակի մատրիցով, որի համար կա եզակի լուծում: Այսպիսով, միատարր SLAE-ի ցանկացած լուծում եզակիորեն որոշվում է ազատ անհայտների արժեքներով x r +1, x r +2,…, x n: Դիտարկենք ազատ անհայտների արժեքների հետևյալ k=n-r շարքը.

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Սերիայի համարը նշվում է փակագծերում վերնագրով, իսկ արժեքների շարքը գրվում է սյունակների տեսքով: Յուրաքանչյուր շարքում =1, եթե i=j և =0, եթե ij:

Ազատ անհայտների արժեքների i-րդ շարքը եզակիորեն համապատասխանում է ,,...,հիմնական անհայտների արժեքներին: Ազատ և հիմնական անհայտների արժեքները միասին լուծումներ են տալիս համակարգին (17):

Եկեք ցույց տանք, որ e i =,i=1,2,…,k սյունակները (18)

ձևավորել լուծումների հիմնարար համակարգ.

Որովհետեւ Այս սյուները, ըստ կառուցման, Ax=0 համասեռ համակարգի լուծումներ են և դրանց թիվը հավասար է k-ի, ապա մնում է ապացուցել լուծումների գծային անկախությունը (16): Թող լինի լուծումների գծային համակցություն ե 1 , ե 2 ,…, ե կ(x (1) , x (2) ,…, x (k)), հավասար է զրոյական սյունակին.

 1 ե 1 +  2 ե 2 +…+  կ ե կ ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

Այնուհետև այս հավասարության ձախ կողմը սյուն է, որի բաղադրիչները r+1,r+2,…,n թվերով հավասար են զրոյի: Բայց (r+1)-րդ բաղադրիչը հավասար է  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1: Նմանապես, (r+2)-րդ բաղադրիչը հավասար է  2 ,…, kth բաղադրիչը հավասար է  k-ի: Հետևաբար  1 =  2 = …= k =0, որը նշանակում է լուծումների գծային անկախություն ե 1 , ե 2 ,…, ե կ ( x (1), x (2) ,…, x (k)).

Լուծումների կառուցված հիմնարար համակարգը (18) կոչվում է նորմալ. Բանաձևի (13) ուժով այն ունի հետևյալ ձևը.

(20)

Եզրակացություն 2. Թող ե 1 , ե 2 ,…, ե կ-Համասեռ համակարգի լուծումների նորմալ հիմնարար համակարգ, ապա բոլոր լուծումների բազմությունը կարելի է նկարագրել բանաձևով.

x=c 1 ե 1 +s 2 ե 2 +…+ս k ե կ (21)

որտեղ с 1,с 2,…,с k – վերցրեք կամայական արժեքներ:

Ապացույց. Թեորեմ 2-ով (19) սյունակը Ax=0 համասեռ համակարգի լուծումն է: Մնում է ապացուցել, որ այս համակարգի ցանկացած լուծում կարող է ներկայացվել ձևով (17): Դիտարկենք սյունակը X=y r +1 ե 1 +…+y n ե կ. Այս սյունակը r+1,...,n թվերով տարրերում համընկնում է y սյունակի հետ և հանդիսանում է (16) լուծում։ Հետևաբար սյունակները XԵվ ժամըհամընկնում են, քանի որ համակարգի լուծումները (16) եզակիորեն որոշվում են նրա ազատ անհայտների արժեքների բազմությամբ x r +1,…,x n և սյունակներում: ժամըԵվ Xայս հավաքածուները նույնն են: Հետևաբար, ժամը=X= y r +1 ե 1 +…+y n ե կ, այսինքն. լուծում ժամըսյունակների գծային համակցություն է ե 1 ,…,y n նորմալ FSR: և այլն:

Ապացուցված պնդումը ճշմարիտ է ոչ միայն նորմալ FSR-ի, այլ նաև միատարր SLAE-ի կամայական FSR-ի համար:

X=գ 1 X 1 + գ 2 X 2 +…+s n - r X n - r - ընդհանուր որոշումգծային միատարր հավասարումների համակարգեր

Որտեղ X 1, X 2,…, X n - r – լուծումների ցանկացած հիմնարար համակարգ,

c 1 ,c 2 ,…,c n - r կամայական թվեր են:

Օրինակ. (էջ 78)

Եկեք կապ հաստատենք անհամասեռ SLAE-ի լուծումների միջև (1) և համապատասխան միատարր SLAE (15)

Թեորեմ 4. Անհամասեռ համակարգի (1) և համապատասխան համասեռ համակարգի (15) լուծման գումարը (1) համակարգի լուծումն է:

Ապացույց. Եթե ​​c 1 ,…,c n-ը (1) համակարգի լուծումն է, իսկ d 1,…,d n-ը (15) համակարգի լուծումն է, ապա c անհայտ թվերը փոխարինելով ցանկացած (օրինակ՝ i-րդ) հավասարման մեջ։ համակարգ (1) 1 +d 1,…,c n +d n, մենք ստանում ենք.

B i +0=b i h.t.d.

Թեորեմ 5. Անհամասեռ համակարգի երկու կամայական լուծումների տարբերությունը (1) միատարր համակարգի լուծումն է (15):

Ապացույց. Եթե ​​c 1 ,…,c n և c 1 ,…,c n (1) համակարգի լուծումներ են, ապա c անհայտ թվերը փոխարինելով համակարգի ցանկացած (օրինակ՝ i-րդ) հավասարմամբ (1): ) 1 -с 1 ,…,c n -с n , ստանում ենք.

B i -b i =0 p.t.d.

Ապացուցված թեորեմներից հետևում է, որ n փոփոխականներով m գծային միատարր հավասարումների համակարգի ընդհանուր լուծումը հավասար է համասեռ գծային հավասարումների համապատասխան համակարգի ընդհանուր լուծման գումարին (15) և որոշակի լուծման կամայական թվին։ այս համակարգը (15):

X նեոդ. =X ընդհանուր մեկ +X հաճախակի ավելի քան մեկ անգամ (22)

Որպես անհամասեռ համակարգի կոնկրետ լուծում, բնական է ընդունել լուծումը, որը ստացվում է, եթե c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j բանաձևերում. (a in)) j=1,2,…,r ((13) սահմանել բոլոր c r +1 ,…,c n թվերը հավասար են զրոյի, այսինքն.

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Այս կոնկրետ լուծումը ավելացնելով ընդհանուր լուծմանը X=գ 1 X 1 + գ 2 X 2 +…+s n - r X n - rհամապատասխան համասեռ համակարգ, մենք ստանում ենք.

X նեոդ. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+Ս n - r X n - r (24)

Դիտարկենք երկու հավասարումների համակարգ երկու փոփոխականներով.

որում գործակիցներից առնվազն մեկը ա ij 0.

Լուծելու համար մենք վերացնում ենք x 2-ը` բազմապատկելով առաջին հավասարումը 22-ով, իսկ երկրորդը (-a 12-ով) և գումարելով դրանք. և ավելացնելով դրանք. Փակագծերում դրված արտահայտությունը որոշիչն է

Նշանակվելով ,, ապա համակարգը կունենա հետևյալ ձևը՝ եթե, ապա համակարգն ունի եզակի լուծում՝,.

Եթե ​​Δ=0, և (կամ), ապա համակարգը անհամապատասխան է, քանի որ կրճատվել է ձևի Եթե Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, ապա համակարգը անորոշ է, քանի որ վերածվել է ձևի