Հակադարձ ֆունկցիա y 3x. Փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաներ, հիմնական սահմանումներ, հատկություններ, գրաֆիկներ: Ինտերվալի վրա հակադարձ ֆունկցիայի գոյության և շարունակականության թեորեմի ապացույց

Գործառույթմի փոփոխականի կախվածությունն է մյուսից։ Ֆունկցիաները կարող են սահմանվել աղյուսակի մեթոդի, բանավոր մեթոդի, գրաֆիկական մեթոդի կամ բանաձևի միջոցով:

Գործառույթները բաժանվում են հետևյալ տեսակների.

Գծային ֆունկցիա
Քառակուսի ֆունկցիա
Խորանարդային ֆունկցիա
Եռանկյունաչափական ֆունկցիա
Հզորության գործառույթ
Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա
Լոգարիթմական ֆունկցիա

Գործառույթի տիրույթ D(y) x արգումենտի բոլոր թույլատրելի արժեքների բազմությունն է (անկախ փոփոխական x), որի համար y = f(x) ֆունկցիայի հավասարման աջ կողմի արտահայտությունը իմաստ ունի: Այլ կերպ ասած, սա f(x) արտահայտության ընդունելի արժեքների միջակայքն է:

Իր սահմանման տիրույթը y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկից գտնելու համար անհրաժեշտ է, OX առանցքի երկայնքով ձախից աջ շարժվելով, գրեք x արժեքների բոլոր միջակայքերը, որոնցում ֆունկցիայի գրաֆիկը: գոյություն ունի։

E(y) ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը բոլոր արժեքների բազմությունն է, որը կարող է վերցնել y կախված փոփոխականը:

y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկից դրա արժեքների հավաքածուն գտնելու համար անհրաժեշտ է, OY առանցքի երկայնքով ներքևից վերև շարժվելով, գրել y արժեքների բոլոր միջակայքերը, որոնցում ֆունկցիայի գրաֆիկը գոյություն ունի:

Հակադարձ ֆունկցիա- y=g(x) ֆունկցիան, որը ստացվում է տրված y = f(x) ֆունկցիայից, եթե x = f(y) հարաբերությունից y-ն արտահայտում ենք x-ով։

Տրված y = f(x) ֆունկցիայի հակադարձը գտնելու համար անհրաժեշտ է.

y = f(x) հարաբերության մեջ x-ը փոխարինեք y-ով, իսկ y-ը x-ով՝ x = f(y):
Ստացված x=f(y) արտահայտության մեջ արտահայտեք y-ը x-ով:

f(x) և g(x) ֆունկցիաները փոխադարձաբար հակադարձ են։ Սրան նայենք օրինակով

Հակադարձ ֆունկցիաներ գտնելու օրինակներ.

f և g ֆունկցիաների տիրույթն ու տիրույթը փոխանակվում են. f-ի տիրույթը g-ի տիրույթն է, իսկ f-ի տիրույթը g-ի տիրույթն է:

Յուրաքանչյուր ֆունկցիայի համար չէ, որ կարող եք հակադարձ նշել: Ֆունկցիայի անշրջելիության պայմանը նրա միապաղաղությունն է, այսինքն՝ ֆունկցիան պետք է միայն մեծանա կամ միայն նվազի։ Եթե ֆունկցիան միապաղաղ չէ ամբողջ սահմանման տիրույթում, այլ միապաղաղ է որոշակի ինտերվալում, ապա դրա հակադարձ ֆունկցիան հնարավոր է սահմանել միայն այս միջակայքում:

Փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաների հատկություններըԵկեք նշենք փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաների որոշ հատկություններ: 1) Ինքնություններ.

Թող զԵվ է- փոխադարձաբար հակադարձ գործառույթներ. Ապա. f(g(y)) = yԵվ g(f(x)) = x. 2) Դոմեն.

Թող զԵվ է- փոխադարձ հակադարձ գործառույթներ: Գործառույթի տիրույթ զհամընկնում է ֆունկցիայի տիրույթի հետ է, և հակառակը՝ ֆունկցիայի տիրույթը զհամընկնում է ֆունկցիայի սահմանման տիրույթի հետ է. 3) Միապաղաղ.

Եթե փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաներից մեկը մեծանում է, ապա մյուսը նույնպես մեծանում է։ Նմանատիպ հայտարարությունը ճշմարիտ է ֆունկցիաների նվազման դեպքում: 4) Գծապատկերներ.

Միևնույն կոորդինատային համակարգում կառուցված փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաների գրաֆիկները սիմետրիկ են միմյանց նկատմամբ ուղիղ գծի նկատմամբ y = x.

Ֆունկցիայի գրաֆիկների փոխակերպումները ֆունկցիայի գծային փոխակերպումներ են y = f(x) կամ դրա փաստարկը xմտքում y = աֆ(kx + բ) + մ, ինչպես նաև փոխակերպում՝ օգտագործելով մոդուլը։

Իմանալով, թե ինչպես գծագրել ֆունկցիան y = f(x), Որտեղ

կարող եք գծապատկերել ֆունկցիան y = af(kx + b) + m.

Հարցեր նշումների համար

Y = 0.5x - 4

Գտեք ֆունկցիայի տիրույթը.

Որոշեք՝ ֆունկցիան զույգ է, թե կենտ.

Լուծե՛ք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը.

Գտեք այս ֆունկցիայի հակադարձը.

Գտե՛ք 6f(-1) +3f(5) արտահայտության արժեքը, եթե

Մենք արդեն բախվել ենք խնդրին, երբ տրված գործառույթը f և նրա արգումենտի տրված արժեքը, անհրաժեշտ էր այս պահին հաշվարկել ֆունկցիայի արժեքը։ Բայց երբեմն պետք է դիմակայել հակադարձ խնդրին. գտնել, հաշվի առնելով f ֆունկցիան և դրա որոշակի արժեքը y, այն արգումենտի արժեքը, որում ֆունկցիան ընդունում է տրված y արժեքը:

Ֆունկցիան, որն ընդունում է իր արժեքներից յուրաքանչյուրը իր սահմանման տիրույթի մեկ կետում, կոչվում է շրջելի ֆունկցիա: Օրինակ, գծային ֆունկցիան կլինի շրջելի ֆունկցիա. Ա քառակուսի ֆունկցիակամ սինուս ֆունկցիան չի լինի շրջելի ֆունկցիաներ: Քանի որ ֆունկցիան կարող է ընդունել նույն արժեքը տարբեր արգումենտներով:

Հակադարձ ֆունկցիա

Ենթադրենք, որ f-ը կամայական շրջելի ֆունկցիա է: Յուրաքանչյուր թիվ իր y0 արժեքների տիրույթից համապատասխանում է միայն մեկ թվի x0 սահմանման տիրույթից, այնպիսին, որ f(x0) = y0:

Եթե մենք այժմ յուրաքանչյուր x0 արժեք կապենք y0 արժեքի հետ, ապա կստանանք նոր ֆունկցիա: Օրինակ, f(x) = k * x + b գծային ֆունկցիայի համար g(x) = (x - b)/k ֆունկցիան կլինի նրա հակադարձ:

Եթե ինչ-որ գործառույթ էամեն կետում X f շրջելի ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը վերցնում է այնպիսի արժեք, որ f(y) = x, ապա ասում ենք, որ ֆունկցիան է- կա f-ի հակադարձ ֆունկցիա:

Եթե մեզ տրվի ինչ-որ շրջելի f ֆունկցիայի գրաֆիկ, ապա հակադարձ ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար կարող ենք օգտագործել հետևյալ պնդումը. տող, որը նշված է y = x հավասարմամբ:

Եթե g ֆունկցիան f ֆունկցիայի հակադարձ է, ապա g ֆունկցիան կլինի շրջելի ֆունկցիա։ Իսկ f ֆունկցիան կլինի g ֆունկցիայի հակադարձը։ Սովորաբար ասում են, որ f և g երկու ֆունկցիաները փոխադարձաբար հակադարձ են միմյանց:

Հետևյալ նկարը ցույց է տալիս f և g ֆունկցիաների գծապատկերները, որոնք փոխադարձաբար հակադարձում են միմյանց:

Բերենք հետևյալ թեորեմը. եթե f ֆունկցիան մեծանում է (կամ նվազում) որոշ A միջակայքում, ապա այն շրջելի է։ Հակադարձ g ֆունկցիան, որը սահմանված է f ֆունկցիայի արժեքների միջակայքում, նույնպես աճող (կամ համապատասխանաբար նվազող) ֆունկցիա է։ Այս թեորեմը կոչվում է հակադարձ ֆունկցիայի թեորեմ.

Համապատասխան արտահայտություններ, որոնք հակադարձում են միմյանց: Հասկանալու համար, թե ինչ է սա նշանակում, արժե մտածել կոնկրետ օրինակ. Եկեք ասենք, որ ունենք y = cos(x): Եթե արգումենտից վերցնեք կոսինուսը, կարող եք գտնել y-ի արժեքը: Ակնհայտ է, որ դրա համար անհրաժեշտ է ունենալ X: Բայց ինչ կլիներ, եթե խաղն ի սկզբանե տրվեր: Այստեղ խոսքը գնում է հարցի էության մասին: Խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել հակադարձ ֆունկցիան։ Մեր դեպքում դա արկկոսին է։

Բոլոր փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք՝ x = arccos(y):

Այսինքն՝ տրվածին հակադարձ ֆունկցիա գտնելու համար բավական է նրանից ուղղակի փաստարկ արտահայտել։ Բայց սա աշխատում է միայն այն դեպքում, եթե ստացված արդյունքն ունի մեկ իմաստ (այս մասին ավելի ուշ):

Ընդհանուր առմամբ, այս փաստը կարելի է գրել հետևյալ կերպ. f(x) = y, g(y) = x:

Սահմանում

Թող f լինի ֆունկցիա, որի տիրույթը X բազմությունն է, իսկ տիրույթը՝ Y բազմությունը։ Ապա, եթե կա g, որի տիրույթները կատարում են հակադիր առաջադրանքներ, ապա f-ն շրջելի է։

Ընդ որում, այս դեպքում g-ն եզակի է, ինչը նշանակում է, որ կա հենց մեկ ֆունկցիա, որը բավարարում է այս հատկությունը (ոչ ավել, ոչ պակաս)։ Այնուհետև այն կոչվում է հակադարձ ֆունկցիա, իսկ գրավոր նշանակում է հետևյալ կերպ՝ g(x) = f -1 (x):

Այլ կերպ ասած, դրանք կարելի է դիտարկել որպես երկուական հարաբերություն: Հետադարձելիությունը տեղի է ունենում միայն այն դեպքում, երբ հավաքածուի մի տարրը համապատասխանում է մեկ այլ արժեքի:

Հակադարձ ֆունկցիան միշտ չէ, որ գոյություն ունի։ Դա անելու համար յուրաքանչյուր y є Y տարր պետք է համապատասխանի առավելագույնը մեկ x є X-ին: Այնուհետև f-ը կոչվում է մեկ առ մեկ կամ ներարկում: Եթե f -1-ը պատկանում է Y-ին, ապա այս բազմության յուրաքանչյուր տարր պետք է համապատասխանի x ∈ X-ի: Ըստ սահմանման՝ Y-ը f-ի պատկերն է, բայց դա միշտ չէ, որ այդպես է։ Հակադարձ լինելու համար ֆունկցիան պետք է լինի և՛ ներարկում, և՛ ներարկում: Նման արտահայտությունները կոչվում են բիեկցիաներ:

Օրինակ՝ քառակուսի և արմատային ֆունկցիաներ

Ֆունկցիան սահմանված է)