Հակադարձ շոշափող. Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ. Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հիմնական հարաբերությունները

Սահմանում և նշում

Արքսին (y = arcsin x) սինուսի հակադարձ ֆունկցիան է (x = մեղսավոր -1 ≤ x ≤ 1և արժեքների բազմությունը - π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Arcsine-ը երբեմն նշվում է հետևյալ կերպ.
.

Արկսինային ֆունկցիայի գրաֆիկ

y = ֆունկցիայի գրաֆիկը arcsin x

Արկսինային գրաֆիկը ստացվում է սինուսային գրաֆիկից, եթե աբսցիսայի և օրդինատների առանցքները փոխանակվում են: Անորոշությունը վերացնելու համար արժեքների միջակայքը սահմանափակվում է այն միջակայքով, որի ընթացքում ֆունկցիան միապաղաղ է: Այս սահմանումը կոչվում է արկսինի հիմնական արժեք:

Arccosine, arccos

Սահմանում և նշում

Աղեղի կոսինուս (y = arccos x) կոսինուսի հակադարձ ֆունկցիան է (x = cos y) Այն ունի շրջանակ -1 ≤ x ≤ 1և շատ իմաստներ 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Արկկոսինը երբեմն նշվում է հետևյալ կերպ.
.

Աղեղի կոսինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկ

y = ֆունկցիայի գրաֆիկը arccos x

Կոսինուսի գրաֆիկից ստացվում է աղեղային կոսինուսի գրաֆիկը, եթե աբսցիսայի և օրդինատների առանցքները փոխանակվում են: Անորոշությունը վերացնելու համար արժեքների միջակայքը սահմանափակվում է այն միջակայքով, որի ընթացքում ֆունկցիան միապաղաղ է: Այս սահմանումը կոչվում է աղեղի կոսինուսի հիմնական արժեք:

Պարիտետ

Arcsine ֆունկցիան տարօրինակ է.
arcsin (- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Աղեղային կոսինուսի ֆունկցիան զույգ կամ կենտ չէ.
arccos (- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Հատկություններ - ծայրահեղություն, ավելացում, նվազում

Arcsine և arccosine ֆունկցիաները շարունակական են իրենց սահմանման տիրույթում (տես շարունակականության ապացույց): Արկսինի և արկկոսինի հիմնական հատկությունները ներկայացված են աղյուսակում:

	y= arcsin x	y= arccos x
Շրջանակ և շարունակականություն	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Արժեքների տիրույթ
Բարձրանալ, իջնել	միապաղաղ մեծանում է	միապաղաղ նվազում է
Բարձրունքներ
Նվազագույնները
Զրոներ, y = 0	x = 0	x = 1
Ընդհատման կետերը օրդինատների առանցքով, x = 0	y= 0	y = π/ 2

Արկսինների և արկոզինների աղյուսակ

Այս աղյուսակը ներկայացնում է արկսինների և արկոզինների արժեքները՝ աստիճաններով և ռադիաններով, փաստարկի որոշակի արժեքների համար:

x	arcsin x		arccos x
	կարկուտ	ուրախ.	կարկուտ	ուրախ.
- 1	- 90 °	-	180°	π
-	- 60 °	-	150°
-	- 45 °	-	135°
-	- 30 °	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Բանաձևեր

Տես նաեւ: Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների բանաձևերի ստացում

Գումարի և տարբերության բանաձևեր

ժամը կամ

ժամը և

ժամը և

ժամը կամ

ժամը և

ժամը և

ժամը

ժամը

ժամը

ժամը

Արտահայտություններ լոգարիթմների, բարդ թվերի միջոցով

Տես նաեւ: Բխող բանաձևեր

Արտահայտություններ հիպերբոլիկ ֆունկցիաների միջոցով

Ածանցյալներ

;
.
Տե՛ս Արկսինի և արկկոսինի ածանցյալների ածանցում > > >

Բարձրագույն կարգի ածանցյալներ:
,
որտեղ է աստիճանի բազմանդամը: Այն որոշվում է բանաձևերով.
;
;
.

Տե՛ս արկսինի և արկկոսինի ավելի բարձր կարգի ածանցյալների ածանցում > > >

Ինտեգրալներ

Կատարում ենք x = փոխարինումը մեղք տ. Մենք ինտեգրվում ենք մասերով, հաշվի առնելով, որ -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.

Արտահայտենք աղեղային կոսինուսը աղեղային սինուսով.
.

Սերիայի ընդլայնում

Երբ |x|< 1 տեղի է ունենում հետևյալ տարրալուծումը.
;
.

Հակադարձ գործառույթներ

Արկսինի և արկկոսինի հակադարձներն են համապատասխանաբար սինուսը և կոսինուսը։

Հետևյալ բանաձևերըվավեր է սահմանման ողջ տիրույթում.
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Հետևյալ բանաձևերը վավեր են միայն արկսինի և արկկոսինի արժեքների հավաքածուի համար.
arcsin(sin x) = xժամը
arccos(cos x) = xժամը .

Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Կ.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և քոլեջի ուսանողների համար, «Լան», 2009 թ.

Տես նաեւ:

Հակադարձ կոսինուսի ֆունկցիա

y=cos x ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը (տես Նկար 2) հատված է։ Սեգմենտի վրա ֆունկցիան շարունակական է և միապաղաղ նվազող։

Բրինձ. 2

Սա նշանակում է, որ հատվածի վրա սահմանված է y=cos x ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան։ Այս հակադարձ ֆունկցիան կոչվում է աղեղային կոսինուս և նշանակվում է y=arccos x։

Սահմանում

a թվի արկկոսին, եթե |a|1, այն անկյունն է, որի կոսինուսը պատկանում է հատվածին. այն նշանակվում է arccos a.

Այսպիսով, arccos a-ն անկյուն է, որը բավարարում է հետևյալ երկու պայմանները՝ сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.

Օրինակ, arccos, քանի որ cos եւ; arccos, քանի որ cos եւ.

y = arccos x ֆունկցիան (նկ. 3) սահմանվում է հատվածի վրա, նրա արժեքների միջակայքը հատվածն է: Հատվածի վրա y=arccos x ֆունկցիան շարունակական է և միապաղաղ կերպով նվազում է p-ից մինչև 0 (քանի որ y=cos x-ը հատվածի շարունակական և միապաղաղ նվազող ֆունկցիա է); հատվածի ծայրերում այն ​​հասնում է իր ծայրահեղ արժեքներին՝ arccos(-1)= p, arccos 1= 0: Նկատի ունեցեք, որ arccos 0 = . y = arccos x ֆունկցիայի գրաֆիկը (տես նկ. 3) սիմետրիկ է y = cos x ֆունկցիայի գրաֆիկին y=x ուղիղ գծի նկատմամբ։

Բրինձ. 3

Եկեք ցույց տանք, որ գործում է arccos(-x) = p-arccos x հավասարությունը:

Փաստորեն, ըստ սահմանման 0? arccos x? Ռ. Բազմապատկելով (-1) վերջինիս բոլոր մասերը կրկնակի անհավասարություն, մենք ստանում ենք - p? arccos x? 0. Վերջին անհավասարության բոլոր մասերին գումարելով p՝ գտնում ենք, որ 0? p-arccos x? Ռ.

Այսպիսով, arccos(-x) և p - arccos x անկյունների արժեքները պատկանում են նույն հատվածին: Քանի որ հատվածի վրա կոսինուսը միապաղաղ նվազում է, դրա վրա չեն կարող լինել երկու տարբեր անկյուններ, որոնք ունեն հավասար կոսինուսներ: Գտնենք arccos(-x) և p-arccos x անկյունների կոսինուսները։ Ըստ սահմանման cos (arccos x) = - x, ըստ կրճատման բանաձևերի և ըստ սահմանման ունենք՝ cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x։ Այսպիսով, անկյունների կոսինուսները հավասար են, ինչը նշանակում է, որ անկյուններն իրենք հավասար են:

Հակադարձ սինուսային ֆունկցիա

Դիտարկենք y=sin x ֆունկցիան (նկ. 6), որը [-р/2;р/2] հատվածում աճող, շարունակական է և արժեքներ է վերցնում [-1; 1]. Սա նշանակում է, որ հատվածի վրա [- p/2; p/2] սահմանված է y=sin x ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան։

Բրինձ. 6

Այս հակադարձ ֆունկցիան կոչվում է arcsine և նշանակվում է y=arcsin x: Ներկայացնենք թվի արկսինի սահմանումը։

Թվի աղեղնաշարն այն անկյունն է (կամ աղեղը), որի սինուսը հավասար է a թվին և պատկանում է [-р/2 հատվածին; p/2]; այն նշանակվում է arcsin a.

Այսպիսով, arcsin a-ն հետևյալ պայմաններին բավարարող անկյուն է՝ sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? արկսին հա՞ r/2. Օրինակ, քանի որ մեղքը և [- p/2; p/2]; arcsin, քանի որ sin = u [- p/2; p/2]:

y=arcsin x ֆունկցիան (նկ. 7) սահմանված է [- 1; 1], դրա արժեքների միջակայքը [-р/2;р/2] հատվածն է: Սեգմենտի վրա [- 1; 1] y=arcsin x ֆունկցիան շարունակական է և միապաղաղ աճում է -p/2-ից մինչև p/2 (սա հետևում է այն փաստին, որ y=sin x ֆունկցիան [-p/2; p/2] հատվածում շարունակական է։ և միապաղաղ աճում է): Այն վերցնում է ամենամեծ արժեքը x = 1-ում` arcsin 1 = p/2, իսկ ամենափոքրը x = -1-ում` arcsin (-1) = -p/2: x = 0-ում ֆունկցիան զրոյական է՝ arcsin 0 = 0:

Եկեք ցույց տանք, որ y = arcsin x ֆունկցիան կենտ է, այսինքն. arcsin (-x) = - arcsin x ցանկացած x-ի համար [ - 1; 1].

Իրոք, ըստ սահմանման, եթե |x| ?1, մենք ունենք՝ - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. Այսպիսով, անկյունները arcsin(-x) և - arcsin x-ը պատկանում է նույն հատվածին [ - p/2; p/2]:

Եկեք գտնենք դրանց սինուսներըանկյունները `sin (arcsin(-x)) = - x (ըստ սահմանման); քանի որ y=sin x ֆունկցիան կենտ է, ապա sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x: Այսպիսով, նույն ինտերվալին պատկանող անկյունների սինուսները [-р/2; p/2], հավասար են, ինչը նշանակում է, որ անկյուններն իրենք հավասար են, այսինքն. arcsin (-x)= - arcsin x. Սա նշանակում է, որ y=arcsin x ֆունկցիան կենտ է: y=arcsin x ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։

Եկեք ցույց տանք, որ arcsin (sin x) = x ցանկացած x-ի համար [-р/2; p/2]:

Իսկապես, ըստ սահմանման -p/2? arcsin (sin x) ? p/2, իսկ պայմանով -p/2? x? r/2. Սա նշանակում է, որ x և arcsin (sin x) անկյունները պատկանում են y=sin x ֆունկցիայի միապաղաղության միևնույն միջակայքին։ Եթե ​​նման անկյունների սինուսները հավասար են, ապա ինքնին անկյունները հավասար են: Եկեք գտնենք այս անկյունների սինուսները՝ x անկյան համար մենք ունենք sin x, անկյան համար arcsin (sin x) մենք ունենք sin (arcsin(sin x)) = sin x: Մենք գտանք, որ անկյունների սինուսները հավասար են, հետևաբար, անկյունները հավասար են, այսինքն. arcsin(sin x) = x. .

Բրինձ. 7

Բրինձ. 8

Arcsin (sin|x|) ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է y=arcsin (sin x) գրաֆիկից մոդուլի հետ կապված սովորական փոխակերպումներով (ցուցված է 8-րդ նկարի գծիկով): Ցանկալի գրաֆիկը y=arcsin (sin |x-/4|) ստացվում է դրանից՝ x-առանցքի երկայնքով /4-ով աջ շեղվելով (ցուցված է որպես հոծ գիծ Նկար 8-ում):

Շոշափողի հակադարձ ֆունկցիա

y=tg x ֆունկցիան ինտերվալի վրա ընդունում է ամեն ինչ թվային արժեքներ E (tg x)=. Այս միջակայքում այն ​​շարունակական է և միապաղաղ աճում է: Սա նշանակում է, որ ինտերվալի վրա սահմանվում է y = tan x ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիա: Այս հակադարձ ֆունկցիան կոչվում է արկտանգենս և նշանակվում է y = արկտան x:

a-ի արկտանգենսը այն անկյունն է, որի շոշափողը հավասար է a-ի: Այսպիսով, arctg a-ն անկյուն է, որը բավարարում է հետևյալ պայմանները. tg (arctg a) = a և 0: arctg a? Ռ.

Այսպիսով, x ցանկացած թիվ միշտ համապատասխանում է y = arctan x ֆունկցիայի մեկ արժեքին (նկ. 9):

Ակնհայտ է, որ D (arctg x) = , E (arctg x) = .

y = arctan x ֆունկցիան մեծանում է, քանի որ y = tan x ֆունկցիան մեծանում է միջակայքում: Դժվար չէ ապացուցել, որ arctg(-x) = - arctgx, այսինքն. այդ արկտանգենսը կենտ ֆունկցիա է:

Բրինձ. 9

y = arctan x ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է y = tan x ֆունկցիայի գրաֆիկին y = x ուղիղ գծի նկատմամբ, y = actan x գրաֆիկն անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով (քանի որ արկտան 0 = 0) և սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ (ինչպես կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը)։

Կարելի է ապացուցել, որ արկտան (tan x) = x եթե x.

Կոտանգենս հակադարձ ֆունկցիա

y = ctg x ֆունկցիան ինտերվալի վրա վերցնում է բոլոր թվային արժեքները միջակայքից: Դրա արժեքների միջակայքը համընկնում է բոլոր իրական թվերի բազմության հետ: Միջակայքում y = cot x ֆունկցիան շարունակական է և միապաղաղ մեծանում է։ Սա նշանակում է, որ այս միջակայքում սահմանվում է ֆունկցիա, որը հակադարձ է y = cot x ֆունկցիային: Կոտանգենսի հակադարձ ֆունկցիան կոչվում է արկոտանգենս և նշվում է y = arcctg x:

a-ի աղեղային կոտանգենսը այն անկյունն է, որը պատկանում է մի միջակայքի, որի կոտանգենսը հավասար է a-ի:

Այսպիսով, аrcctg a-ն անկյուն է, որը բավարարում է հետևյալ պայմանները. ctg (arcctg a)=a և 0: arcctg a? Ռ.

Հակադարձ ֆունկցիայի սահմանումից և արկտանգենսի սահմանումից հետևում է, որ D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Աղեղային կոտանգենսը նվազող ֆունկցիա է, քանի որ y = ctg x ֆունկցիան նվազում է միջակայքում:

y = arcctg x ֆունկցիայի գրաֆիկը չի հատում Ox առանցքը, քանի որ y > 0 R: x = 0 y = arcctg 0 = համար:

y = arcctg x ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկար 11-ում:

Բրինձ. 11

Նկատի ունեցեք, որ x-ի բոլոր իրական արժեքների համար նույնականությունը ճշմարիտ է՝ arcctg(-x) = p-arcctg x:

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն են մաթեմատիկական ֆունկցիաներ, որոնք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հակադարձ են։

y=arcsin(x) ֆունկցիա

α թվի աղեղնաշարը α թիվ է [-π/2;π/2] միջակայքից, որի սինուսը հավասար է α-ի:
Ֆունկցիայի գրաֆիկ
[-π/2;π/2] միջակայքում у= sin⁡(x) ֆունկցիան խիստ աճող և շարունակական է. ուստի այն ունի հակադարձ ֆունկցիա՝ խիստ աճող և շարունակական։
y= sin⁡(x) ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան, որտեղ x ∈[-π/2;π/2], կոչվում է աղեղ և նշանակվում է y=arcsin(x), որտեղ x∈[-1;1: ]։
Այսպիսով, հակադարձ ֆունկցիայի սահմանման համաձայն, աղեղի սահմանման տիրույթը [-1;1] հատվածն է, իսկ արժեքների բազմությունը [-π/2;π/2] հատվածն է:
Նկատի ունեցեք, որ y=arcsin(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ x ∈[-1;1], սիմետրիկ է y= sin(⁡x) ֆունկցիայի գրաֆիկին, որտեղ x∈[-π/2;π. /2], կոորդինատային անկյունների առաջին և երրորդ քառորդների կիսադիրի նկատմամբ:

Ֆունկցիայի միջակայք y=arcsin(x):

Օրինակ թիվ 1.

Գտե՞լ arcsin(1/2):

Քանի որ arcsin(x) ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը պատկանում է [-π/2;π/2] միջակայքին, ապա հարմար է միայն π/6 արժեքը: Հետևաբար, arcsin(1/2) =π/ 6.
Պատասխան՝ π/6

Օրինակ թիվ 2.
Գտե՞լ arcsin(-(√3)/2):

Քանի որ arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] արժեքների միջակայքը հարմար է միայն -π/3 արժեքը: Հետևաբար, arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

y=arccos(x) ֆունկցիա

α թվի աղեղային կոսինուսը α թիվ է այն միջակայքից, որի կոսինուսը հավասար է α-ի:

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Հատվածի վրա y= cos(⁡x) ֆունկցիան խիստ նվազող է և շարունակական; ուստի այն ունի հակադարձ ֆունկցիա՝ խիստ նվազող և շարունակական։
y= cos⁡x ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան, որտեղ x ∈, կոչվում է աղեղային կոսինուսև նշանակվում է y=arccos(x), որտեղ x ∈[-1;1]:
Այսպիսով, հակադարձ ֆունկցիայի սահմանման համաձայն, աղեղի կոսինուսի սահմանման տիրույթը [-1;1] հատվածն է, իսկ արժեքների բազմությունը՝ հատվածը։
Նկատի ունեցեք, որ y=arccos(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ x ∈[-1;1] սիմետրիկ է y= cos(⁡x) ֆունկցիայի գրաֆիկին, որտեղ x ∈՝ կապված բիսեկտորի հետ։ առաջին և երրորդ քառորդների կոորդինատային անկյունները:

Ֆունկցիայի միջակայք y=arccos(x):

Օրինակ թիվ 3.

Գտեք arccos (1/2):

Քանի որ արժեքների միջակայքը arccos(x) x∈ է, ուրեմն հարմար է միայն π/3 արժեքը: Հետևաբար, arccos(1/2) =π/3:
Օրինակ թիվ 4.
Գտե՞լ arccos(-(√2)/2):

Քանի որ arccos(x) ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը պատկանում է միջակայքին, ապա հարմար է միայն 3π/4 արժեքը: Հետևաբար, arccos(-(√2)/2) = 3π/4:

Պատասխան՝ 3π/4

y=arctg(x) ֆունկցիա

α թվի արկտանգենսը α թիվ է [-π/2;π/2] միջակայքից, որի շոշափողը հավասար է α-ի:

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Շոշափող ֆունկցիան շարունակական է և խիստ աճող միջակայքում (-π/2;π/2); հետևաբար, այն ունի հակադարձ ֆունկցիա, որը շարունակական է և խիստ աճող։
y= tan⁡(x) ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան, որտեղ x∈(-π/2;π/2); կոչվում է արկտանգենս և նշանակվում է y=arctg(x), որտեղ x∈R.
Այսպիսով, ըստ հակադարձ ֆունկցիայի սահմանման, արկտանգենսի սահմանման տիրույթը միջակայքն է (-∞;+∞), իսկ արժեքների բազմությունը միջակայքն է:
(-π/2; π/2):
Նկատի ունեցեք, որ y=arctg(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ x∈R, սիմետրիկ է y= tan⁡x ֆունկցիայի գրաֆիկին, որտեղ x ∈ (-π/2;π/2)՝ հարաբերական առաջին և երրորդ քառորդների կոորդինատների անկյունների կիսադիր:

y=arctg(x) ֆունկցիայի միջակայքը։

Օրինակ թիվ 5.

Գտեք արկտան ((√3)/3):

Քանի որ arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) արժեքների միջակայքը հարմար է միայն π/6 արժեքը: Հետևաբար, arctg((√3)/3) =π/6:
Օրինակ թիվ 6.
Գտե՞լ arctg(-1):

Քանի որ arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) արժեքների միջակայքը հարմար է միայն -π/4 արժեքը: Հետևաբար, arctg(-1) = - π/4:

y=arcctg(x) ֆունկցիա

α թվի աղեղային կոտանգենսը α թիվ է (0;π) միջակայքից, որի կոտանգենսը հավասար է α-ի:

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

(0; π) ինտերվալի վրա կոտանգենս ֆունկցիան խիստ նվազում է. Բացի այդ, այն շարունակական է այս միջակայքի յուրաքանչյուր կետում. ուստի (0;π) միջակայքում այս ֆունկցիան ունի հակադարձ ֆունկցիա, որը խիստ նվազող է և շարունակական։
y=ctg(x) ֆունկցիայի հակադարձ ֆունկցիան, որտեղ x ∈(0;π), կոչվում է արկկոտանգենս և նշանակվում է y=arcctg(x), որտեղ x∈R։
Այսպիսով, հակադարձ ֆունկցիայի սահմանման համաձայն, աղեղային կոտանգենսի սահմանման տիրույթը կլինի R, և մի շարքովարժեքներ – ինտերվալ (0;π): y=arcctg(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ x∈R-ն սիմետրիկ է y=ctg(x) x∈(0;π),հարաբերական ֆունկցիայի գրաֆիկին: առաջին և երրորդ քառորդների կոորդինատների անկյունների կիսորդին:

Ֆունկցիայի տիրույթ y=arcctg(x):

Օրինակ թիվ 7.
Գտե՞լ arcctg((√3)/3):

Քանի որ arcctg(x) x ∈(0;π) արժեքների միջակայքը հարմար է միայն π/3 արժեքը: Հետևաբար arccos((√3)/3) =π/3:

Օրինակ թիվ 8.
Գտե՞լ arcctg(-(√3)/3):

Քանի որ արժեքների միջակայքը arcctg(x) x∈(0;π) է, ապա հարմար է միայն 2π/3 արժեքը: Հետևաբար, arccos(-(√3)/3) = 2π/3:

Խմբագիրներ՝ Ագեևա Լյուբով Ալեքսանդրովնա, Գավրիլինա Աննա Վիկտորովնա

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ(շրջանաձև ֆունկցիաներ, աղեղային ֆունկցիաներ) - մաթեմատիկական ֆունկցիաներ, որոնք հակադարձ են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին:

Դրանք սովորաբար ներառում են 6 գործառույթ.

• արկսին(նշումը: arcsin x; arcsin x- սա է անկյունը մեղքորը հավասար է x),
• արկկոզին(նշումը: arccos x; arccos xայն անկյունն է, որի կոսինուսը հավասար է xև այլն),
• արկտանգենտ(նշումը: arctan xկամ arctan x),
• արկկոտանգենս(նշումը: arcctg xկամ arccot ​​xկամ arccotan x),
• կամարակապ(նշումը: arcsec x),
• arccosecant(նշումը: arccosec xկամ arccsc x).

arcsine (y = arcsin x) - հակադարձ ֆունկցիա մեղք (x = մեղք y . Այլ կերպ ասած, վերադարձնում է անկյունն իր արժեքով մեղք.

աղեղային կոսինուս (y = arccos x) - հակադարձ ֆունկցիա cos (x = cos y cos.

Արկտանգենտ (y = արկտան x) - հակադարձ ֆունկցիա tg (x = tan y), որն ունի տիրույթ և արժեքների հավաքածու . Այլ կերպ ասած, վերադարձնում է անկյունն իր արժեքով tg.

Arccotangent (y = arcctg x) - հակադարձ ֆունկցիա ctg (x = cotg y), որն ունի սահմանման տիրույթ և արժեքների մի շարք։ Այլ կերպ ասած, վերադարձնում է անկյունն իր արժեքով ctg.

arcsec- arcsectant, վերադարձնում է անկյունը ըստ իր կտրվածքի արժեքի:

arccosec- arccosecant, վերադարձնում է անկյուն՝ հիմնվելով իր կոսեկանտի արժեքի վրա:

Երբ հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիան սահմանված կետում սահմանված չէ, ապա դրա արժեքը վերջնական աղյուսակում չի հայտնվի: Գործառույթներ arcsecԵվ arccosecչեն որոշվում հատվածի վրա (-1,1), բայց arcsinԵվ arccosորոշվում են միայն [-1,1] միջակայքում:

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի անվանումը ձևավորվում է համապատասխան եռանկյունաչափական ֆունկցիայի անունից՝ ավելացնելով «arc-» նախածանցը (լատ. աղեղ մեզ- աղեղ): Դա պայմանավորված է նրանով, որ երկրաչափական առումով հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը կապված է միավոր շրջանագծի աղեղի երկարության հետ (կամ այն ​​անկյան հետ, որը ստորադասում է այս աղեղը), որը համապատասխանում է այս կամ այն ​​հատվածին:

Երբեմն արտասահմանյան գրականության մեջ, ինչպես նաև գիտական/ճարտարագիտական ​​հաշվիչներում օգտագործում են այնպիսի նշումներ, ինչպիսիք են sin−1, cos−1արկսինի, արկկոսինի և նմանների համար սա համարվում է ոչ ամբողջովին ճշգրիտ, քանի որ Հնարավոր է, որ շփոթություն լինի ֆունկցիան իշխանությանը բարձրացնելու հետ −1 (« −1 » (մինուս առաջին հզորությունը) սահմանում է ֆունկցիան x = f -1 (y), ֆունկցիայի հակադարձ y = f(x)).

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հիմնական հարաբերությունները.

Այստեղ կարևոր է ուշադրություն դարձնել այն ընդմիջումներին, որոնց համար բանաձևերը վավեր են:

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ կապված բանաձևեր.

Նշենք հակադարձ արժեքներից որևէ մեկը եռանկյունաչափական ֆունկցիաներմիջոցով Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Արկկոտ xև պահել նշումը. arcsin x, arcos x, arctan x, arccot ​​xիրենց հիմնական արժեքների համար, ապա նրանց միջև կապն արտահայտվում է նման հարաբերություններով.

TO հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ Հետևյալ 6 գործառույթները ներառում են. արկսին , արկկոզին , արկտանգենտ , արկկոտանգենս , կամարակապԵվ arccosecant .

Քանի որ սկզբնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաները պարբերական են, ապա հակադարձ ֆունկցիաները, ընդհանուր առմամբ, նման են բազմիմաստ . Երկու փոփոխականների միջև մեկ առ մեկ համապատասխանություն ապահովելու համար սկզբնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանման տիրույթները սահմանափակվում են՝ հաշվի առնելով միայն դրանք։ հիմնական ճյուղերը . Օրինակ, \(y = \sin x\) ֆունկցիան դիտարկվում է միայն \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \աջ]\ միջակայքում: Այս ինտերվալի վրա հակադարձ աղեղային ֆունկցիան եզակիորեն սահմանված է:

Արքսինի ֆունկցիան
\(a\) թվի աղեղնաշարը (նշվում է \(\arcsin a\)) \(x\) անկյան արժեքն է \(\left[ ( - \pi /2,\pi /) միջակայքում: 2) \աջ]\), որի համար \(\sin x = a\): Հակադարձ ֆունկցիա\(y = \arcsin x\) սահմանվում է \(x \in \ձախ[ ( -1,1) \աջ]\ կետում, նրա արժեքների միջակայքը հավասար է \(y \in \ձախ[ ( - \pi /2, \pi /2) \աջ]\):

Arc կոսինուսի ֆունկցիա
\(a\) թվի արկկոսինը (նշվում է \(\arccos a\)) \(x\) անկյան արժեքն է \(\ձախ[ (0,\pi) \աջ]\ միջակայքում) , որի դեպքում \(\cos x = a\): Հակադարձ ֆունկցիան \(y = \arccos x\) սահմանվում է \(x \in \ձախ[ (-1,1) \աջ]\ կետում, նրա արժեքների միջակայքը պատկանում է \(y \in հատվածին: \ձախ[ (0,\ pi)\աջ]\):



Arctangent ֆունկցիա
Թվի արկտանգենտ ա(նշվում է \(\arctan a\)) անկյան արժեքն է \(x\) բաց միջակայքում \(\left((-\pi/2, \pi/2) \աջ)\), ժամը որը \(\tan x = a\): Հակադարձ ֆունկցիան \(y = \arctan x\) սահմանված է բոլոր \(x \in \mathbb(R)\-ի համար), արկտանգենտի միջակայքը հավասար է \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2 )\աջ)\):



Աղեղային շոշափող ֆունկցիա
\(a\) թվի արկոտանգենսը (նշվում է \(\text(arccot) a\)) անկյան արժեքն է \(x\) բաց միջակայքում \(\ձախ[ (0,\): pi) \աջ]\), որտեղ \(\cot x = a\): Հակադարձ ֆունկցիան \(y = \text(arccot) x\) սահմանվում է բոլորի համար \(x \in \mathbb(R)\), դրա արժեքների միջակայքը գտնվում է \(y \in \ միջակայքում: ձախ[ (0,\pi) \աջ]\):



Arcsectant ֆունկցիա
\(a\) թվի աղեղնաշարը (նշվում է \(\text(arcsec ) a\)) այն \(x\) անկյան արժեքն է, որտեղ \(\sec x = a\): Հակադարձ գործառույթը \(y = \text(arcsec) x\) սահմանվում է \(x \in \left(( - \infty, - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty) \right: )\ ), նրա արժեքների միջակայքը պատկանում է \(y \in \ձախ[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi) \աջ] բազմությանը: \):



Arccosecant ֆունկցիա
\(a\) թվի arccosecant-ը (նշվում է \(\text(arccsc) a\) կամ \(\text(arccosec) a\)) անկյան արժեքն է \(x\), որի վրա \(\ csc x = a\ ): Հակադարձ գործառույթը \(y = \text(arccsc) x\) սահմանվում է \(x \in \left(( - \infty, - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right: )\ ), դրա արժեքների միջակայքը պատկանում է \(y \in \ձախ[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right բազմությանը: ]\):



Արկսինի և արկկոսինի ֆունկցիաների հիմնական արժեքները (աստիճաններով)

\(x\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/2\)	\(-\sqrt 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt 2/2\)	\(\sqrt 3/2\)	\(1\)
\(\arcsin x\)	\(-90^\circ\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
\(\arccos x\)	\(180^\circ\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)	\(0^\circ\)

Արկտանգենս և արկոտանգենս ֆունկցիաների հիմնական արժեքները (աստիճաններով)

\(x\)	\(-\sqrt 3\)	\(-1\)	\(-\sqrt 3/3\)	\(0\)	\(\sqrt 3/3\)	\(1\)	\(\sqrt 3\)
\(\ arctan x\)	\(-60^\circ\)	\(-45^\circ\)	\(-30^\circ\)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\տեքստ (արկկոտ) x\)	\(150^\circ\)	\(135^\circ\)	\(120^\circ\)	\(90^\circ\)	\(60^\circ\)	\(45^\circ\)	\(30^\circ\)