Միատարր մատրիցա. Միատարր ցախերի լուծույթ. Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում

Գծային համակարգը կոչվում է միատարր , եթե նրա բոլոր ազատ անդամները հավասար են 0-ի։

Մատրիցային ձևով համասեռ համակարգը գրված է.
.

Միատարր համակարգը (2) միշտ հետևողական է . Ակնհայտ է, որ թվերի բազմությունը
,
, …,
բավարարում է համակարգի բոլոր հավասարումները: Լուծում
կանչեց զրո կամ չնչին որոշումը։ Այսպիսով, միատարր համակարգը միշտ ունի զրոյական լուծում:

Ի՞նչ պայմաններում միատարր համակարգը (2) կունենա ոչ զրոյական (ոչ տրիվիալ) լուծումներ.

Թեորեմ 1.3 Միատարր համակարգ (2) ունի ոչ զրոյական լուծումներ եթե և միայն եթե աստիճանը r դրա հիմնական մատրիցը ավելի քիչ անհայտներ n .

Համակարգ (2) – անորոշ
.

Եզրակացություն 1. Եթե ​​հավասարումների թիվը մ միատարր համակարգն ունի ավելի քիչ փոփոխականներ
, ապա համակարգը անորոշ է և ունի բազմաթիվ ոչ զրոյական լուծումներ։

Եզրակացություն 2. Քառակուսի միատարր համակարգ
ունի ոչ զրոյական լուծումներ, եթե և երբ այս համակարգի հիմնական մատրիցը այլասերված, այսինքն. որոշիչ
.

Հակառակ դեպքում, եթե որոշիչը
, քառակուսի միատարր համակարգ ունի միակ բանը զրոյական լուծում
.

Թող համակարգի աստիճանը (2)
այսինքն, համակարգը (2) ունի ոչ տրիվիալ լուծումներ:

Թող Եվ - այս համակարգի որոշակի լուծումներ, այսինքն.
Եվ
.

Միատարր համակարգի լուծույթների հատկությունները

Իսկապես, .

Իսկապես, .

Համատեղելով 1) և 2 հատկությունները), կարող ենք ասել, որ եթե

…,
- համասեռ համակարգի լուծումներ (2), ապա դրանց ցանկացած գծային համակցությունը նույնպես դրա լուծումն է: Այստեղ
- կամայական իրական թվեր.

Հնարավոր է գտնել
գծային անկախ մասնակի լուծումներ միատարր համակարգ (2), որի օգնությամբ կարելի է ստանալ այս համակարգի ցանկացած այլ կոնկրետ լուծում, այսինքն. ստանալ (2) համակարգի ընդհանուր լուծում.

Սահմանում 2.2 Ամբողջականություն
գծային անկախ մասնակի լուծումներ

…,
միատարր համակարգը (2) այնպիսին, որ (2) համակարգի յուրաքանչյուր լուծում կարող է ներկայացվել որպես դրանց գծային համակցություն, կոչվում է. լուծումների հիմնարար համակարգ (FSR) միատարր համակարգի (2).

Թող

…,
լուծումների հիմնարար համակարգ է, ապա համասեռ համակարգի (2) ընդհանուր լուծումը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Որտեղ

.

Մեկնաբանություն. FSR-ն ձեռք բերելու համար անհրաժեշտ է մասնավոր լուծումներ գտնել

…,
, մեկ ազատ փոփոխականին հերթով տալով «1» արժեքը, իսկ մնացած բոլոր ազատ փոփոխականներին «0» արժեքը։

Մենք ստանում ենք ,, …,- FSR.

Օրինակ.Գտե՛ք հավասարումների միատարր համակարգի ընդհանուր լուծումը և լուծումների հիմնարար համակարգը.

Լուծում.Եկեք գրենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը, նախապես առաջին տեղում դնելով համակարգի վերջին հավասարումը և հասցնենք այն աստիճանական ձևի: Քանի որ տարրական փոխակերպումների արդյունքում հավասարումների աջ կողմերը չեն փոխվում, սյունը զրոյական մնալով.

կարող է դուրս գրվել:

̴
̴
̴

Համակարգի դասակարգում, որտեղ
- փոփոխականների քանակը. Համակարգն անորոշ է և ունի բազմաթիվ լուծումներ։

Հիմնական փոքր փոփոխականների համար
ոչ զրոյական:
ընտրել
որպես հիմնական փոփոխականներ, մնացածը
- անվճար փոփոխականներ (վերցրեք ցանկացած իրական արժեք):

Շղթայի վերջին մատրիցը համապատասխանում է հավասարումների փուլային համակարգին.

(3)

Եկեք արտահայտենք հիմնական փոփոխականները
անվճար փոփոխականների միջոցով
(Գաուսի մեթոդի հակառակը):

Վերջին հավասարումից մենք արտահայտում ենք :
և այն փոխարինել առաջին հավասարման մեջ: Մենք կստանանք այն: Բացենք փակագծերը, տանք նմանատիպերը և արտահայտենք :
.

Հավատալով
,
,
, Որտեղ
, գրենք

- համակարգի ընդհանուր լուծում.

Գտնենք լուծումների հիմնարար համակարգ

,,.

Այնուհետև միատարր համակարգի ընդհանուր լուծումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Մեկնաբանություն. FSR-ն կարելի էր գտնել այլ կերպ՝ նախապես չգտնելով համակարգի ընդհանուր լուծումը։ Դա անելու համար ստացված քայլ համակարգը (3) պետք է լուծվեր երեք անգամ՝ ենթադրելով :
; Համար :
; Համար :
.

Համակարգ մգծային հավասարումներ գ nկոչվում են անհայտներ գծային միատարր համակարգհավասարումներ, եթե բոլոր ազատ անդամները հավասար են զրոյի: Նման համակարգը նման է.

Որտեղ եւ ij (ես = 1, 2, …, մ; ժ = 1, 2, …, n) - տրված թվեր; x i- անհայտ:

Գծային միատարր հավասարումների համակարգը միշտ համահունչ է, քանի որ r(Ա) = r(). Այն միշտ ունի առնվազն զրո ( չնչին) լուծում (0; 0; ...; 0):

Եկեք դիտարկենք, թե ինչ պայմաններում միատարր համակարգերն ունեն ոչ զրոյական լուծումներ:

Թեորեմ 1.Գծային միատարր հավասարումների համակարգը ունի ոչ զրոյական լուծումներ, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա հիմնական մատրիցայի աստիճանը հավասար է. rավելի քիչ անհայտներ n, այսինքն. r < n.

□ 1). Թող գծային միատարր հավասարումների համակարգը ունենա ոչ զրոյական լուծում: Քանի որ աստիճանը չի կարող գերազանցել մատրիցայի չափը, ապա ակնհայտորեն. r ≤ n. Թող r = n. Հետո փոքր չափսերից մեկը n nտարբերվում է զրոյից: Հետևաբար, գծային հավասարումների համապատասխան համակարգը ունի եզակի լուծում. . Սա նշանակում է, որ չնչին լուծումներից բացի այլ լուծումներ չկան։ Այսպիսով, եթե կա ոչ տրիվիալ լուծում, ապա r < n.

2). Թող r < n. Հետո միատարր համակարգը, լինելով հետևողական, անորոշ է։ Սա նշանակում է, որ այն ունի անսահման թվով լուծումներ, այսինքն. ունի ոչ զրոյական լուծումներ. ■

Դիտարկենք միատարր համակարգ nգծային հավասարումներ գ nանհայտ:

(2)

Թեորեմ 2.Միատարր համակարգ nգծային հավասարումներ գ nանհայտները (2) ունի ոչ զրոյական լուծումներ, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա որոշիչը հավասար է զրոյի՝ = 0:

□ Եթե ​​(2) համակարգը ունի ոչ զրոյական լուծում, ապա = 0: Որովհետև երբ համակարգն ունի միայն մեկ զրոյական լուծում: Եթե ​​= 0, ապա աստիճանը rհամակարգի հիմնական մատրիցը փոքր է անհայտների թվից, այսինքն. r < n. Եվ, հետևաբար, համակարգն ունի անսահման թվով լուծումներ, այսինքն. ունի ոչ զրոյական լուծումներ. ■

Նշենք համակարգի լուծումը (1) X 1 = կ 1 , X 2 = կ 2 , …, x n = k nորպես լար .

Գծային միատարր հավասարումների համակարգի լուծումներն ունեն հետևյալ հատկությունները.

1. Եթե ​​գիծը (1) համակարգի լուծումն է, ապա տողը (1) համակարգի լուծումն է։

2. Եթե ​​տողերը և (1) համակարգի լուծումներ են, ապա ցանկացած արժեքների համար Հետ 1 և Հետ 2 նրանց գծային համակցությունը նույնպես (1) համակարգի լուծումն է։

Այս հատկությունների վավերականությունը կարելի է ստուգել՝ դրանք ուղղակիորեն փոխարինելով համակարգի հավասարումների մեջ:

Ձևակերպված հատկություններից հետևում է, որ գծային միատարր հավասարումների համակարգի լուծումների ցանկացած գծային համակցություն նույնպես այս համակարգի լուծումն է։

Գծային անկախ լուծումների համակարգ ե 1 , ե 2 , …, e rկանչեց հիմնարար, եթե (1) համակարգի յուրաքանչյուր լուծում այս լուծումների գծային համակցությունն է ե 1 , ե 2 , …, e r.

Թեորեմ 3.Եթե ​​կոչում rԳծային միատարր հավասարումների համակարգի (1) փոփոխականների գործակիցների մատրիցները փոքր են փոփոխականների թվից. n, ապա (1) համակարգի լուծումների ցանկացած հիմնարար համակարգ բաղկացած է n–rորոշումները.

Ահա թե ինչու ընդհանուր որոշումԳծային միատարր հավասարումների համակարգը (1) ունի ձև.

Որտեղ ե 1 , ե 2 , …, e r- համակարգի լուծումների ցանկացած հիմնարար համակարգ (9), Հետ 1 , Հետ 2 , …, հետ p- կամայական թվեր, Ռ = n–r.

Թեորեմ 4.Համակարգի ընդհանուր լուծում մգծային հավասարումներ գ nանհայտները հավասար են գծային միատարր հավասարումների համապատասխան համակարգի ընդհանուր լուծման գումարին (1) և այս համակարգի կամայական որոշակի լուծման (1):

Օրինակ.Լուծել համակարգը

Լուծում.Այս համակարգի համար մ = n= 3. Որոշիչ

Թեորեմ 2-ի համաձայն, համակարգը ունի միայն չնչին լուծում. x = y = զ = 0.

Օրինակ. 1) Գտեք համակարգի ընդհանուր և առանձին լուծումները

2) Գտեք լուծումների հիմնարար համակարգը.

Լուծում. 1) Այս համակարգի համար մ = n= 3. Որոշիչ

Թեորեմ 2-ի համաձայն՝ համակարգն ունի ոչ զրոյական լուծումներ:

Քանի որ համակարգում կա միայն մեկ անկախ հավասարում

x + y – 4զ = 0,

ապա դրանից մենք կարտահայտենք x =4զ- y. Որտեղի՞ց ենք ստանում անսահման թվով լուծումներ. (4 զ- y, y, զ) – սա համակարգի ընդհանուր լուծումն է։

ժամը զ= 1, y= -1, մենք ստանում ենք մեկ կոնկրետ լուծում. (5, -1, 1): Դնելով զ= 3, y= 2, մենք ստանում ենք երկրորդ կոնկրետ լուծումը. (10, 2, 3) և այլն:

2) Ընդհանուր լուծման մեջ (4 զ- y, y, զ) փոփոխականներ yԵվ զազատ են, իսկ փոփոխականը X- կախված նրանցից: Լուծումների հիմնարար համակարգը գտնելու համար եկեք արժեքներ վերագրենք ազատ փոփոխականներին՝ նախ y = 1, զ= 0, ապա y = 0, զ= 1. Ստանում ենք մասնակի լուծումներ (-1, 1, 0), (4, 0, 1), որոնք կազմում են լուծումների հիմնարար համակարգը։

Նկարազարդումներ:

Բրինձ. 1 Գծային հավասարումների համակարգերի դասակարգում

Բրինձ. 2 Գծային հավասարումների համակարգերի ուսումնասիրություն

Ներկայացումներ.

· Լուծման SLAE_matrix մեթոդ

· SLAE_Cramer մեթոդի լուծում

· Լուծում SLAE_Gauss մեթոդ

· Մաթեմատիկական խնդիրների լուծման փաթեթներ Mathematica, MathCadԳծային հավասարումների համակարգերի վերլուծական և թվային լուծումների որոնում

Վերահսկիչ հարցեր:

1. Սահմանի՛ր գծային հավասարում

2. Ինչպիսի՞ համակարգի տեսք ունի այն: մհետ գծային հավասարումներ nանհայտ?

3. Ի՞նչ է կոչվում գծային հավասարումների համակարգերի լուծում:

4. Ո՞ր համակարգերն են կոչվում համարժեք:

5. Ո՞ր համակարգն է կոչվում անհամատեղելի:

6. Ո՞ր համակարգն է կոչվում հոդ:

7. Ո՞ր համակարգն է կոչվում որոշակի։

8. Ո՞ր համակարգն է կոչվում անորոշ

9. Թվարկե՛ք գծային հավասարումների համակարգերի տարրական փոխակերպումները

10. Թվարկե՛ք մատրիցների տարրական փոխակերպումները

11. Ձևակերպե՛ք գծային հավասարումների համակարգում տարրական փոխակերպումների կիրառման թեորեմ.

12. Ի՞նչ համակարգեր կարելի է լուծել մատրիցային մեթոդով:

13. Ի՞նչ համակարգեր կարելի է լուծել Քրամերի մեթոդով։

14. Ի՞նչ համակարգեր կարելի է լուծել Գաուսի մեթոդով:

15. Թվարկե՛ք 3 հնարավոր դեպքեր, որոնք առաջանում են Գաուսի մեթոդով գծային հավասարումների համակարգեր լուծելիս.

16. Նկարագրե՛ք գծային հավասարումների համակարգերի լուծման մատրիցային մեթոդը

17. Նկարագրեք Քրամերի մեթոդը գծային հավասարումների համակարգերի լուծման համար

18. Նկարագրեք Գաուսի մեթոդը գծային հավասարումների համակարգերի լուծման համար

19. Ի՞նչ համակարգեր կարելի է լուծել հակադարձ մատրիցով:

20. Թվարկե՛ք 3 հնարավոր դեպքեր, որոնք առաջանում են Քրամերի մեթոդով գծային հավասարումների համակարգերը լուծելիս.

գրականություն:

1. Բարձրագույն մաթեմատիկա տնտեսագետների համար. Դասագիրք բուհերի համար / Ն.Շ. Կրեմերը, Բ.Ա. Պուտկոն, Ի.Մ. Տրիշին, Մ.Ն. Ֆրիդման. Էդ. Ն.Շ. Կրեմերը։ – Մ.: ՄԻԱՍՆՈՒԹՅՈՒՆ, 2005. – 471 էջ.

2. Բարձրագույն մաթեմատիկայի ընդհանուր դասընթաց տնտեսագետների համար. Դասագիրք. / Էդ. ՄԵՋ ԵՎ. Էրմակովա. – M.: INFRA-M, 2006. – 655 p.

3. Բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու տնտեսագետների համար. Դասագիրք / Խմբագրել է Վ.Ի. Էրմակովա. M.: INFRA-M, 2006. – 574 p.

4. Gmurman V. E. Հավանականությունների տեսության և մագմատիկ վիճակագրության խնդիրների լուծման ուղեցույց: - Մ.: Բարձրագույն դպրոց, 2005. – 400 p.

5. Գմուրման. V.E հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն: - Մ.: Բարձրագույն դպրոց, 2005 թ.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Բարձրագույն մաթեմատիկա վարժություններում և խնդիրներում: Մաս 1, 2. – Մ.: Օնիքս 21-րդ դար: Խաղաղություն և կրթություն, 2005. – 304 p. Մաս 1; – 416 էջ Մաս 2.

7. Մաթեմատիկան տնտեսագիտության մեջ Դասագիրք՝ 2 մասով / Ա.Ս. Սոլոդովնիկով, Վ.Ա. Բաբայցև, Ա.Վ. Բրաիլովը, Ի.Գ. Շանդարա. - Մ.: Ֆինանսներ և վիճակագրություն, 2006 թ.

8. Շիպաչով Վ.Ս. Բարձրագույն մաթեմատիկա. Դասագիրք ուսանողների համար. համալսարաններ - Մ.: Բարձրագույն դպրոց, 2007. - 479 էջ.

Առնչվող տեղեկություններ.

Գծային հանրահաշվական հավասարումների միատարր համակարգեր

Դասերի շրջանակներում Գաուսի մեթոդԵվ Անհամատեղելի համակարգեր/համակարգեր ընդհանուր լուծումովմենք համարել ենք գծային հավասարումների անհամասեռ համակարգեր, Որտեղ ազատ անդամ(որը սովորաբար աջ կողմում է) գոնե մեկըհավասարումներից տարբերվում էր զրոյից:
Եվ հիմա, լավ տաքացումից հետո մատրիցային աստիճան, մենք կշարունակենք հղկել տեխնիկան տարրական փոխակերպումներվրա գծային հավասարումների միատարր համակարգ.
Առաջին պարբերությունների հիման վրա նյութը կարող է ձանձրալի ու միջակ թվալ, բայց այս տպավորությունը խաբուսիկ է։ Տեխնիկայի հետագա զարգացումից բացի, շատ նոր տեղեկություններ կլինեն, ուստի խնդրում ենք չանտեսել այս հոդվածի օրինակները:

Ի՞նչ է գծային հավասարումների միատարր համակարգը:

Պատասխանն ինքնին հուշում է. Գծային հավասարումների համակարգը միատարր է, եթե ազատ անդամը բոլորինհամակարգի հավասարումը զրոյական է։ Օրինակ:

Դա միանգամայն պարզ է միատարր համակարգը միշտ հետևողական է, այսինքն՝ միշտ լուծում ունի։ Եվ, առաջին հերթին, ձեր աչքը գրավում է այսպես կոչված չնչինլուծում . Չնչին, նրանց համար, ովքեր ընդհանրապես չեն հասկանում ածականի իմաստը, նշանակում է առանց ցուցամոլության: Ոչ ակադեմիական, իհարկե, բայց հասկանալի =) ...Ինչու ծեծել բուշի շուրջ, եկեք պարզենք, թե արդյոք այս համակարգը այլ լուծումներ ունի.

Օրինակ 1

Լուծումմիատարր համակարգ լուծելու համար անհրաժեշտ է գրել համակարգի մատրիցաև տարրական փոխակերպումների օգնությամբ այն հասցրու փուլային ձևի։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այստեղ կարիք չկա գրել ուղղահայաց բարը և ազատ տերմինների զրոյական սյունակը. ի վերջո, անկախ նրանից, թե ինչ եք անում զրոների հետ, դրանք կմնան զրո.

(1) Առաջին տողը ավելացվել է երկրորդ տողին՝ բազմապատկելով –2-ով: Առաջին տողը ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –3-ով:

(2) Երկրորդ տողն ավելացվել է երրորդ տողին՝ բազմապատկելով –1-ով:

Երրորդ տողը 3-ի բաժանելն այնքան էլ իմաստ չունի։

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվում է համարժեք միատարր համակարգ և, օգտագործելով Գաուսի մեթոդի հակադարձ տարբերակը, հեշտ է ստուգել, ​​որ լուծումը եզակի է:

Պատասխանել:

Ձևակերպենք ակնհայտ չափանիշգծային հավասարումների միատարր համակարգ ունի պարզապես չնչին լուծում, Եթե համակարգի մատրիցային դասակարգում(այս դեպքում 3) հավասար է փոփոխականների թվին (այս դեպքում՝ 3 հատ):

Եկեք տաքանանք և կարգավորենք մեր ռադիոն տարրական փոխակերպումների ալիքին.

Օրինակ 2

Լուծե՛ք գծային հավասարումների միատարր համակարգ

Հոդվածից Ինչպե՞ս գտնել մատրիցայի աստիճանը:Հիշենք մատրիցային թվերը միաժամանակ նվազեցնելու ռացիոնալ տեխնիկան։ Հակառակ դեպքում ստիպված կլինեք կտրել խոշոր, հաճախ կծող ձուկը։ Առաջադրանքի մոտավոր օրինակ դասի վերջում։

Զրոները լավ և հարմար են, բայց գործնականում գործը շատ ավելի տարածված է, երբ համակարգի մատրիցայի տողերը գծային կախված. Եվ այդ դեպքում ընդհանուր լուծման ի հայտ գալն անխուսափելի է.

Օրինակ 3

Լուծե՛ք գծային հավասարումների միատարր համակարգ

Լուծումեկեք գրենք համակարգի մատրիցը և օգտագործելով տարրական փոխակերպումներ, այն հասցնենք փուլային ձևի: Առաջին գործողությունը ուղղված է ոչ միայն մեկ արժեք ստանալուն, այլև առաջին սյունակում թվերի նվազմանը.

(1) Առաջին տողին ավելացվել է երրորդ տող, որը բազմապատկվել է –1-ով: Երկրորդ տողին ավելացվեց երրորդ տողը` բազմապատկելով –2-ով: Վերևի ձախ մասում ես ստացա միավոր «մինուսով», որը հաճախ շատ ավելի հարմար է հետագա փոխակերպումների համար:

(2) Առաջին երկու տողերը նույնն են, որոնցից մեկը ջնջվել է: Անկեղծ ասած, ես լուծումը չառաջադրեցի, այդպես ստացվեց: Եթե ​​դուք փոխակերպումներ եք կատարում կաղապարային եղանակով, ապա գծային կախվածությունտողերը մի փոքր ուշ կբացահայտվեին։

(3) Երկրորդ տողն ավելացվեց երրորդ տողին՝ 3-ով բազմապատկելով:

(4) Առաջին տողի նշանը փոխվել է.

Տարրական փոխակերպումների արդյունքում ստացվել է համարժեք համակարգ.

Ալգորիթմն աշխատում է ճիշտ այնպես, ինչպես համար տարասեռ համակարգեր. «Քայլերի վրա նստած» փոփոխականները հիմնականն են, «քայլ» չստացած փոփոխականն անվճար է։

Եկեք արտահայտենք հիմնական փոփոխականները ազատ փոփոխականի միջոցով.

ՊատասխանելԸնդհանուր որոշում.

Չնչին լուծումը ներառված է ընդհանուր բանաձեւի մեջ, եւ ավելորդ է այն առանձին գրել։

Ստուգումն իրականացվում է նաև սովորական սխեմայով. ստացված ընդհանուր լուծումը պետք է փոխարինվի համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման ձախ կողմում և բոլոր փոխարինումների համար պետք է ստացվի օրինական զրո:

Դա հնարավոր կլինի ավարտել հանգիստ և խաղաղ, բայց հավասարումների միատարր համակարգի լուծումը հաճախ անհրաժեշտ է ներկայացնել: վեկտորի տեսքովօգտագործելով լուծումների հիմնարար համակարգ. Խնդրում եմ մոռացեք դրա մասին առայժմ վերլուծական երկրաչափություն, քանի որ այժմ մենք կխոսենք վեկտորների մասին ընդհանուր հանրահաշվական իմաստով, որը ես մի փոքր բացեցի հոդվածում. մատրիցային աստիճան. Կարիք չկա շողոքորթել տերմինաբանությունը, ամեն ինչ բավականին պարզ է։

Եկեք դիտարկենք միատարր համակարգ m գծային հավասարումներ n փոփոխականներով.

(15)

Միատարր գծային հավասարումների համակարգը միշտ հետևողական է, քանի որ այն միշտ ունի զրոյական (չնչին) լուծում (0,0,…,0):

Եթե ​​(15) համակարգում m=n և , ապա համակարգն ունի միայն զրոյական լուծում, որը բխում է Քրամերի թեորեմից և բանաձևերից։

Թեորեմ 1. Միատարր համակարգը (15) ունի ոչ տրիվիալ լուծում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա մատրիցայի աստիճանը փոքր է փոփոխականների քանակից, այսինքն. . r(Ա)< n.

Ապացույց. (15) համակարգի ոչ տրիվիալ լուծման գոյությունը համարժեք է համակարգի մատրիցայի սյունակների գծային կախվածությանը (այսինքն՝ կան x 1, x 2,..., x n թվեր, ոչ բոլորը հավասար են զրոյի, այնպես, որ հավասարությունները (15) ճշմարիտ են):

Համաձայն հիմնական մինոր թեորեմի՝ մատրիցայի սյունակները գծային կախված են  երբ այս մատրիցի ոչ բոլոր սյունակները հիմնական են, այսինքն.  երբ մատրիցի հիմնական մինորի r կարգը փոքր է նրա սյունակների n թվից: և այլն:

Հետևանք. Քառակուսի միատարր համակարգն ունի ոչ տրիվիալ լուծումներ  երբ |A|=0:

Թեորեմ 2. Եթե ​​x (1), x (2),..., x (s) սյունակները AX = 0 միատարր համակարգի լուծումներ են, ապա դրանց ցանկացած գծային համակցություն նույնպես այս համակարգի լուծումն է:

Ապացույց. Դիտարկենք լուծումների ցանկացած համակցություն.

Ապա AX=A()===0: և այլն:

Եզրակացություն 1.Եթե ​​միատարր համակարգն ունի ոչ տրիվիալ լուծում, ապա այն ունի անսահման շատ լուծումներ:

Դա. անհրաժեշտ է գտնել Ax = 0 համակարգի x (1), x (2),..., x (s) լուծումները, որպեսզի այս համակարգի ցանկացած այլ լուծում ներկայացվի դրանց գծային համակցության տեսքով և , ընդ որում՝ յուրօրինակ կերպով։

Սահմանում. Aх=0 համակարգի x (1), x (2),…, x (k) գծային անկախ լուծումների k=n-r (n-ը համակարգի անհայտների թիվն է, r=rg A) համակարգը կոչվում է. լուծումների հիմնարար համակարգայս համակարգը:

Թեորեմ 3. Տրված է միատարր համակարգ Ах=0՝ n անհայտներով և r=rg A-ով, այնուհետև այս համակարգի x (1), x (2),…, x (k) լուծումների մի ամբողջություն է կազմում. լուծումների հիմնարար համակարգ.

Ապացույց. Առանց ընդհանրության կորստի, մենք կարող ենք ենթադրել, որ A մատրիցի հիմնական մինորը գտնվում է վերին ձախ անկյունում: Այնուհետև, ըստ հիմնական փոքր թեորեմի, A մատրիցի մնացած տողերը հիմքի տողերի գծային համակցություններ են: Սա նշանակում է, որ եթե x 1, x 2,…, x n արժեքները բավարարում են առաջին r հավասարումները, այսինքն. հիմնական մինորի տողերին համապատասխանող հավասարումներ), ապա դրանք բավարարում են նաև այլ հավասարումներ։ Հետևաբար, համակարգի լուծումների բազմությունը չի փոխվի, եթե (r+1)-ից սկսած բոլոր հավասարումները դեն նետենք։ Մենք ստանում ենք համակարգը.

Ազատ անհայտները x r +1 , x r +2 ,…, x n տեղափոխենք աջ կողմ, իսկ հիմնականները թողնենք x 1 , x 2 ,…, x r ձախ կողմում.

(16)

Որովհետեւ այս դեպքում բոլորը b i =0, ապա բանաձեւերի փոխարեն

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), մենք ստանում ենք.

c j =-(c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Եթե ​​x r +1 , x r +2 ,…, x n ազատ անհայտները դնենք կամայական արժեքների, ապա հիմնական անհայտների նկատմամբ մենք ստանում ենք քառակուսի SLAE ոչ եզակի մատրիցով, որի համար կա եզակի լուծում: Այսպիսով, միատարր SLAE-ի ցանկացած լուծում եզակիորեն որոշվում է ազատ անհայտների արժեքներով x r +1, x r +2,…, x n: Դիտարկենք ազատ անհայտների արժեքների հետևյալ k=n-r շարքը.

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Սերիայի համարը նշվում է փակագծերում վերնագրով, իսկ արժեքների շարքը գրվում է սյունակների տեսքով: Յուրաքանչյուր շարքում =1, եթե i=j և =0, եթե ij:

Ազատ անհայտների արժեքների i-րդ շարքը եզակիորեն համապատասխանում է ,,...,հիմնական անհայտների արժեքներին: Ազատ և հիմնական անհայտների արժեքները միասին լուծումներ են տալիս համակարգին (17):

Եկեք ցույց տանք, որ e i =,i=1,2,…,k սյունակները (18)

ձևավորել լուծումների հիմնարար համակարգ.

Որովհետեւ Այս սյուները, ըստ կառուցման, Ax=0 համասեռ համակարգի լուծումներ են և դրանց թիվը հավասար է k-ի, ապա մնում է ապացուցել լուծումների գծային անկախությունը (16): Թող լինի լուծումների գծային համակցություն ե 1 , ե 2 ,…, ե կ(x (1) , x (2) ,…, x (k)), հավասար է զրոյական սյունակին.

 1 ե 1 +  2 ե 2 +…+  կ ե կ ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

Այնուհետև այս հավասարության ձախ կողմը սյուն է, որի բաղադրիչները r+1,r+2,…,n թվերով հավասար են զրոյի: Բայց (r+1)-րդ բաղադրիչը հավասար է  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1: Նմանապես, (r+2)-րդ բաղադրիչը հավասար է  2 ,…, kth բաղադրիչը հավասար է  k-ի: Հետևաբար  1 =  2 = …= k =0, որը նշանակում է լուծումների գծային անկախություն ե 1 , ե 2 ,…, ե կ ( x (1), x (2) ,…, x (k)).

Լուծումների կառուցված հիմնարար համակարգը (18) կոչվում է նորմալ. Բանաձևի (13) ուժով այն ունի հետևյալ ձևը.

(20)

Եզրակացություն 2. Թող ե 1 , ե 2 ,…, ե կ-Համասեռ համակարգի լուծումների նորմալ հիմնարար համակարգ, ապա բոլոր լուծումների բազմությունը կարելի է նկարագրել բանաձևով.

x=c 1 ե 1 +s 2 ե 2 +…+ս k ե կ (21)

որտեղ с 1,с 2,…,с k – վերցրեք կամայական արժեքներ:

Ապացույց. Թեորեմ 2-ով (19) սյունակը Ax=0 համասեռ համակարգի լուծումն է: Մնում է ապացուցել, որ այս համակարգի ցանկացած լուծում կարող է ներկայացվել ձևով (17): Դիտարկենք սյունակը X=y r +1 ե 1 +…+y n ե կ. Այս սյունակը r+1,...,n թվերով տարրերում համընկնում է y սյունակի հետ և հանդիսանում է (16) լուծում։ Հետևաբար սյունակները XԵվ ժամըհամընկնում են, քանի որ համակարգի լուծումները (16) եզակիորեն որոշվում են նրա ազատ անհայտների արժեքների բազմությամբ x r +1,…,x n և սյունակներում: ժամըԵվ Xայս հավաքածուները նույնն են: Հետևաբար, ժամը=X= y r +1 ե 1 +…+y n ե կ, այսինքն. լուծում ժամըսյունակների գծային համակցություն է ե 1 ,…,y n նորմալ FSR: և այլն:

Ապացուցված պնդումը ճշմարիտ է ոչ միայն նորմալ FSR-ի, այլ նաև միատարր SLAE-ի կամայական FSR-ի համար:

X=գ 1 X 1 + գ 2 X 2 +…+s n - r X n - r - ընդհանուր որոշումգծային միատարր հավասարումների համակարգեր

Որտեղ X 1, X 2,…, X n - r – լուծումների ցանկացած հիմնարար համակարգ,

c 1 ,c 2 ,…,c n - r կամայական թվեր են:

Օրինակ. (էջ 78)

Եկեք կապ հաստատենք անհամասեռ SLAE-ի լուծումների միջև (1) և համապատասխան միատարր SLAE (15)

Թեորեմ 4. Անհամասեռ համակարգի (1) և համապատասխան համասեռ համակարգի (15) լուծման գումարը (1) համակարգի լուծումն է:

Ապացույց. Եթե ​​c 1 ,…,c n-ը (1) համակարգի լուծումն է, իսկ d 1,…,d n-ը (15) համակարգի լուծումն է, ապա c անհայտ թվերը փոխարինելով ցանկացած (օրինակ՝ i-րդ) հավասարման մեջ։ համակարգ (1) 1 +d 1,…,c n +d n, մենք ստանում ենք.

B i +0=b i h.t.d.

Թեորեմ 5. Անհամասեռ համակարգի երկու կամայական լուծումների տարբերությունը (1) միատարր համակարգի լուծումն է (15):

Ապացույց. Եթե ​​c 1 ,…,c n և c 1 ,…,c n (1) համակարգի լուծումներ են, ապա c անհայտ թվերը փոխարինելով համակարգի ցանկացած (օրինակ՝ i-րդ) հավասարմամբ (1): ) 1 -с 1 ,…,c n -с n , ստանում ենք.

B i -b i =0 p.t.d.

Ապացուցված թեորեմներից հետևում է, որ n փոփոխականներով m գծային միատարր հավասարումների համակարգի ընդհանուր լուծումը հավասար է համասեռ գծային հավասարումների համապատասխան համակարգի ընդհանուր լուծման գումարին (15) և որոշակի լուծման կամայական թվին։ այս համակարգը (15):

X նեոդ. =X ընդհանուր մեկ +X հաճախակի ավելի քան մեկ անգամ (22)

Որպես անհամասեռ համակարգի կոնկրետ լուծում, բնական է ընդունել լուծումը, որը ստացվում է, եթե c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j բանաձևերում. (a in)) j=1,2,…,r ((13) սահմանել բոլոր c r +1 ,…,c n թվերը հավասար են զրոյի, այսինքն.

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Այս կոնկրետ լուծումը ավելացնելով ընդհանուր լուծմանը X=գ 1 X 1 + գ 2 X 2 +…+s n - r X n - rհամապատասխան համասեռ համակարգ, մենք ստանում ենք.

X նեոդ. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+Ս n - r X n - r (24)

Դիտարկենք երկու հավասարումների համակարգ երկու փոփոխականներով.

որում գործակիցներից առնվազն մեկը ա ij 0.

Լուծելու համար մենք վերացնում ենք x 2-ը` բազմապատկելով առաջին հավասարումը 22-ով, իսկ երկրորդը (-a 12-ով) և գումարելով դրանք. և ավելացնելով դրանք. Փակագծերում դրված արտահայտությունը որոշիչն է

Նշանակվելով ,, ապա համակարգը կունենա հետևյալ ձևը՝ եթե, ապա համակարգն ունի եզակի լուծում՝,.

Եթե ​​Δ=0, և (կամ), ապա համակարգը անհամապատասխան է, քանի որ կրճատվել է ձևի Եթե Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, ապա համակարգը անորոշ է, քանի որ վերածվել է ձևի

Օրինակ 1. Գտեք համակարգի ընդհանուր լուծում և լուծումների որոշ հիմնարար համակարգ

Լուծումգտնել հաշվիչի միջոցով: Լուծման ալգորիթմը նույնն է, ինչ գծային անհամասեռ հավասարումների համակարգերի համար:
Աշխատելով միայն տողերով՝ մենք գտնում ենք մատրիցայի աստիճանը, հիմնական մինորը. Մենք հայտարարում ենք կախյալ և ազատ անհայտներ և գտնում ենք ընդհանուր լուծում։

Առաջին և երկրորդ տողերը համաչափ են, եկեք հատենք դրանցից մեկը.

.
Կախված փոփոխականներ – x 2, x 3, x 5, անվճար – x 1, x 4: 10x 5 = 0 առաջին հավասարումից մենք գտնում ենք x 5 = 0, ապա
; .
Ընդհանուր լուծումը հետևյալն է.

Մենք գտնում ենք լուծումների հիմնարար համակարգ, որը բաղկացած է (n-r) լուծումներից։ Մեր դեպքում n=5, r=3, հետևաբար լուծումների հիմնարար համակարգը բաղկացած է երկու լուծումից, և այդ լուծումները պետք է լինեն գծային անկախ։ Որպեսզի տողերը գծային անկախ լինեն, անհրաժեշտ և բավարար է, որ տողերի տարրերից կազմված մատրիցայի աստիճանը հավասար լինի տողերի թվին, այսինքն՝ 2: Բավական է տալ ազատ անհայտները x 1 և x 4 արժեք երկրորդ կարգի որոշիչի տողերից, ոչ զրոյական, և հաշվարկիր x 2, x 3, x 5: Ամենապարզ ոչ զրոյական որոշիչը .
Այսպիսով, առաջին լուծումը հետևյալն է. , երկրորդ – .
Այս երկու որոշումները կազմում են հիմնարար որոշումների համակարգ: Նկատի ունեցեք, որ հիմնարար համակարգը եզակի չէ (կարող եք ստեղծել այնքան ոչ զրոյական որոշիչ, որքան ցանկանում եք):

Օրինակ 2. Գտեք համակարգի ընդհանուր լուծումը և լուծումների հիմնարար համակարգը
Լուծում.



,
հետևում է, որ մատրիցայի աստիճանը 3 է և հավասար է անհայտների թվին։ Սա նշանակում է, որ համակարգը չունի անվճար անհայտներ, հետևաբար ունի յուրահատուկ լուծում՝ չնչին:

Մարմնամարզություն. Ուսումնասիրեք և լուծեք գծային հավասարումների համակարգը:
Օրինակ 4

Մարմնամարզություն. Գտե՛ք յուրաքանչյուր համակարգի ընդհանուր և առանձին լուծումները:
Լուծում.Եկեք գրենք համակարգի հիմնական մատրիցը.

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Մատրիցը դարձնենք եռանկյունաձև։ Մենք կաշխատենք միայն տողերի հետ, քանի որ մատրիցային տողը զրոյից տարբեր թվով բազմապատկելը և համակարգի մեկ այլ տողին ավելացնելը նշանակում է հավասարումը նույն թվով բազմապատկել և այն գումարել մեկ այլ հավասարմամբ, որը չի փոխում խնդրի լուծումը: համակարգ.
2-րդ տողը բազմապատկեք (-5-ով): Ավելացնենք 2-րդ տողը 1-ին.

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

2-րդ տողը բազմապատկենք (6-ով): 3-րդ տողը բազմապատկեք (-1-ով): 2-րդին ավելացնենք 3-րդ տողը.
Եկեք գտնենք մատրիցայի աստիճանը:

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Ընտրված մինորն ունի ամենաբարձր կարգը (հնարավոր փոքրերի) և զրոյական չէ (այն հավասար է հակադարձ անկյունագծով տարրերի արտադրյալին), հետևաբար՝ տիրույթ (A) = 2:
Այս անչափահասը հիմնական է: Այն ներառում է գործակիցներ x 1 , x 2 անհայտների համար, ինչը նշանակում է, որ x 1 , x 2 անհայտները կախված են (հիմնական), իսկ x 3 , x 4 , x 5 ազատ են։
Եկեք վերափոխենք մատրիցը, ձախ կողմում թողնելով միայն հիմնական մինորը:

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

Այս մատրիցայի գործակիցներով համակարգը համարժեք է սկզբնական համակարգին և ունի ձև.
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Օգտագործելով անհայտները վերացնելու մեթոդը՝ գտնում ենք ոչ տրիվիալ լուծում:
Մենք ստացանք x 1 , x 2 կախյալ փոփոխականներն արտահայտող հարաբերություններ x 3 , x 4 , x 5 ազատների միջոցով, այսինքն՝ գտանք. ընդհանուր որոշում:
x 2 = 0,64x 4 - 0,0455x 3 - 1,09x 5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Մենք գտնում ենք լուծումների հիմնարար համակարգ, որը բաղկացած է (n-r) լուծումներից։
Մեր դեպքում n=5, r=2, հետևաբար լուծումների հիմնարար համակարգը բաղկացած է 3 լուծումից, և այդ լուծումները պետք է լինեն գծային անկախ։
Որպեսզի տողերը գծային անկախ լինեն, անհրաժեշտ և բավարար է, որ տողերի տարրերից կազմված մատրիցայի աստիճանը հավասար լինի տողերի թվին, այսինքն՝ 3։
Բավական է անվճար անհայտներին տալ x 3, x 4, x 5 արժեքներ 3-րդ կարգի որոշիչի տողերից, ոչ զրոյական, և հաշվարկել x 1, x 2:
Ամենապարզ ոչ զրոյական որոշիչը ինքնության մատրիցն է:

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Առաջադրանք. Գտեք գծային հավասարումների միատարր համակարգի լուծումների հիմնարար բազմություն: