Կոորդինատային առանցքների վրա պրոյեկցիայի սահմանում. Ուժի նախագծում առանցքի վրա: Ուժերի վեկտորային գումարի պրոյեկցիան առանցքի վրա: Վեկտորային կանխատեսումների դասակարգում

Ա. A կետի պրոյեկցիան PQ առանցքի վրա (նկ. 4) հանդիսանում է տվյալ կետից տվյալ առանցքի վրա ընկած ուղղահայաց հիմքը: Այն առանցքը, որի վրա մենք նախագծում ենք, կոչվում է պրոյեկցիոն առանցք:

բ. Թող տրվեն երկու առանցք և A B վեկտոր, որը ցույց է տրված Նկ. 5.

Վեկտորը, որի սկիզբը սկզբի պրոյեկցիան է, իսկ վերջը՝ այս վեկտորի վերջը, կոչվում է A B վեկտորի պրոյեկցիա PQ առանցքի վրա.

Երբեմն PQ ցուցիչը գրված չէ ներքևում, դա արվում է այն դեպքերում, երբ, բացի PQ-ից, չկա այլ ՕՀ, որի վրա այն կարող է նախագծվել:

Հետ. Թեորեմ I. Մեկ առանցքի վրա ընկած վեկտորների մեծությունները կապված են ցանկացած առանցքի վրա դրանց ելքերի մեծությունների հետ:

Թող տրվեն նկ. 6-ում նշված առանցքները և վեկտորները Եռանկյունների նմանությունից պարզ է դառնում, որ վեկտորների երկարությունները կապված են որպես դրանց ելուստների երկարություններ, այսինքն.

Քանի որ գծագրում վեկտորներն ուղղված են տարբեր ուղղություններով, դրանց մեծություններն ունեն տարբեր նշաններ, հետևաբար.

Ակնհայտ է, որ կանխատեսումների մեծությունները նույնպես ունեն տարբեր նշաններ.

փոխարինելով (2)-ը (3)-ով (1), մենք ստանում ենք

Նշանները հակադարձելով՝ մենք ստանում ենք

Եթե ​​վեկտորները հավասարապես ուղղված են, ապա դրանց կանխատեսումները նույնպես կլինեն նույն ուղղությամբ. (2) և (3) բանաձևերում մինուս նշաններ չեն լինի: Փոխարինելով (2) և (3) հավասարությունը (1), մենք անմիջապես ստանում ենք հավասարություն (4): Այսպիսով, թեորեմն ապացուցված է բոլոր դեպքերի համար։

դ. Թեորեմ II. Վեկտորի պրոյեկցիայի մեծությունը ցանկացած առանցքի վրա հավասար է վեկտորի մեծությանը, որը բազմապատկվում է ելուստների առանցքի և վեկտորի առանցքի միջև ընկած անկյան կոսինուսով, ինչպես ցույց է տրված Նկարում . 7. Կառուցենք վեկտոր, որն ունի իր առանցքի նույն ուղղությունը և գծագրենք, օրինակ, առանցքների հատման կետից: Թող դրա երկարությունը հավասար լինի մեկի: Հետո դրա մեծությունը

Պրոյեկցիաառանցքի վրա վեկտորը վեկտոր է, որը ստացվում է այս առանցքի վրա վեկտորի սկալյար պրոյեկցիան և այս առանցքի միավոր վեկտորը բազմապատկելով: Օրինակ, եթե x - սկալյար պրոյեկցիավեկտոր Ադեպի X առանցքը, ապա x ես- դրա վեկտորային պրոյեկցիան այս առանցքի վրա:

Նշենք վեկտորային պրոյեկցիա նույնը, ինչ ինքնին վեկտորը, բայց առանցքի ցուցիչով, որի վրա նախագծված է վեկտորը: Այսպիսով, վեկտորի վեկտորային պրոյեկցիան Ա X առանցքի վրա, որը մենք նշում ենք Ա x( ճարպտառ, որը նշանակում է վեկտորը և առանցքի անվան ենթակետը) կամ (վեկտորը նշող ոչ թավ տառ, բայց վերևում գտնվող սլաքով (!) և առանցքի անվան ենթակետ):

Սկալյար պրոյեկցիամեկ առանցքի վեկտորը կոչվում է թիվ, որի բացարձակ արժեքը հավասար է առանցքի հատվածի երկարությանը (ընտրված սանդղակի վրա), որը պարփակված է սկզբնակետի և վեկտորի վերջնակետի կանխատեսումների միջև։ Սովորաբար արտահայտության փոխարեն սկալյար պրոյեկցիանրանք պարզապես ասում են. պրոյեկցիա. Պրոյեկցիան նշվում է նույն տառով, ինչ նախագծված վեկտորը (նորմալ, ոչ թավ գրությամբ), ավելի ցածր ցուցիչով (որպես կանոն) այն առանցքի անվանման, որի վրա նախագծված է այս վեկտորը։ Օրինակ, եթե վեկտորը նախագծված է X առանցքի վրա Ա,ապա դրա պրոյեկցիան նշվում է x-ով: Նույն վեկտորը մեկ այլ առանցքի վրա նախագծելիս, եթե առանցքը Y է, ապա դրա պրոյեկցիան կնշանակվի y:

Պրոյեկցիան հաշվարկելու համար վեկտորառանցքի վրա (օրինակ, X առանցքը), անհրաժեշտ է հանել մեկնարկային կետի կոորդինատը դրա վերջնակետի կոորդինատից, այսինքն.
a x = x k − x n.
Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա թիվ է։Ավելին, պրոյեկցիան կարող է լինել դրական, եթե x k արժեքը մեծ է x n արժեքից,

բացասական, եթե x k արժեքը փոքր է x n արժեքից

Եվ հավասար է զրոյի, եթե x k-ը հավասար է x n-ի:

Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա կարելի է գտնել նաև՝ իմանալով վեկտորի մոդուլը և այն անկյունը, որը կազմում է այս առանցքի հետ:

Նկարից պարզ է դառնում, որ a x = a Cos α

այսինքն՝ վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա հավասար է վեկտորի մոդուլի և առանցքի ուղղության և անկյան կոսինուսի արտադրյալին։ վեկտորի ուղղություն. Եթե ​​անկյունը սուր է, ապա
Cos α > 0 և a x > 0, իսկ եթե բութ է, ապա բութ անկյան կոսինուսը բացասական է, և վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա նույնպես բացասական կլինի:

Անկյունները, որոնք չափվում են առանցքից ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, համարվում են դրական, իսկ առանցքի երկայնքով չափված անկյունները՝ բացասական: Այնուամենայնիվ, քանի որ կոսինուսը զույգ ֆունկցիա է, այսինքն՝ Cos α = Cos (− α), կանխատեսումները հաշվարկելիս անկյունները կարելի է հաշվել և՛ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, և՛ հակառակ ուղղությամբ։

Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա գտնելու համար այս վեկտորի մոդուլը պետք է բազմապատկվի առանցքի ուղղության և վեկտորի ուղղության միջև ընկած անկյան կոսինուսով:

Վեկտորային կոորդինատներ— ընտրված կոորդինատային համակարգում բազային վեկտորների միակ հնարավոր գծային համակցության գործակիցները, որոնք հավասար են տվյալ վեկտորին:

որտեղ են վեկտորի կոորդինատները:

Scalar արտադրանքվեկտորներ

Վեկտորների սկալյար արտադրյալ[- վերջավոր չափերով վեկտորային տարածությունսահմանվում է որպես միանման բաղադրիչների բազմապատկվող արտադրյալների գումար վեկտորներ.

Օրինակ, S.p.v. ա = (ա 1 , ..., a n) Եվ բ = (բ 1 , ..., b n):

(ա , բ ) = ա 1 բ 1 + ա 2 բ 2 + ... + ա ն բ ն

Պատասխան.

Պրոյեկցիոն հատկություններ.

Վեկտորային նախագծման հատկություններ

Գույք 1.

Երկու վեկտորների գումարի պրոյեկցիան առանցքի վրա հավասար է նույն առանցքի վրա վեկտորների կանխատեսումների գումարին.

Այս հատկությունը թույլ է տալիս փոխարինել վեկտորների գումարի պրոյեկցիան դրանց կանխատեսումների գումարով և հակառակը։

Գույք 2.Եթե ​​վեկտորը բազմապատկվում է λ թվով, ապա դրա պրոյեկցիան առանցքի վրա նույնպես բազմապատկվում է այս թվով.

Գույք 3.

Վեկտորի պրոյեկցիան l առանցքի վրա հավասար է վեկտորի մոդուլի և վեկտորի և առանցքի միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին.

Օրթ առանցք. Վեկտորի տարրալուծումը կոորդինատային միավոր վեկտորներում: Վեկտորային կոորդինատներ. Կոորդինատիվ հատկություններ

Պատասխան.

Առանցքների միավոր վեկտորները.

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը (ցանկացած հարթության) նկարագրվում է նաև կոորդինատային առանցքների հետ համահունչ միավոր վեկտորների մի շարքով: Միավոր վեկտորների թիվը հավասար է կոորդինատային համակարգի չափին և բոլորը միմյանց ուղղահայաց են:

Եռաչափ դեպքում սովորաբար նշվում են միավոր վեկտորները

Եվ սլաքների խորհրդանիշները և կարող են օգտագործվել նաև:

Ավելին, աջակողմյան կոորդինատային համակարգի դեպքում. հետևյալ բանաձևերըվեկտորների վեկտորային արտադրյալներով.

Վեկտորի տարրալուծումը կոորդինատային միավոր վեկտորներում:

Կոորդինատային առանցքի միավոր վեկտորը նշանակվում է , առանցքներով , առանցքներով (նկ. 1)

Ցանկացած վեկտորի համար, որը գտնվում է հարթության մեջ, տեղի է ունենում հետևյալ ընդլայնումը.

Եթե ​​վեկտորը գտնվում է տարածության մեջ, այնուհետև կոորդինատային առանցքների միավոր վեկտորների ընդլայնումն ունի ձև.

Վեկտորի կոորդինատները.

Վեկտորի կոորդինատները հաշվարկելու համար, իմանալով նրա A սկզբի կոորդինատները (x1; y1) և B վերջի կոորդինատները (x2; y2), դուք պետք է հանեք սկզբի կոորդինատները վերջի կոորդինատներից. x2 – x1; y2 – y1).

Կոորդինատների հատկությունները.

Դիտարկենք կոորդինատային ուղիղ O կետի սկզբնավորմամբ և i միավոր վեկտորով: Այնուհետև այս տողում a վեկտորի համար՝ a = առանցք:

Թիվ կացինը կոչվում է a վեկտորի կոորդինատը կոորդինատային առանցքի վրա։

Գույք 1.Առանցքի վրա վեկտորներ ավելացնելիս գումարվում են դրանց կոորդինատները:

Գույք 2.Երբ վեկտորը բազմապատկվում է թվով, նրա կոորդինատը բազմապատկվում է այդ թվով:

Վեկտորների կետային արտադրյալ: Հատկություններ.

Պատասխան.

Երկու ոչ զրոյական վեկտորների սկալյար արտադրյալը թիվն է

հավասար է այս վեկտորների արտադրյալին և նրանց միջև անկյան կոսինուսին:

Հատկություններ:

1. Սկալյար արտադրյալն ունի կոմուտատիվ հատկություն՝ ab=ba

Կոորդինատների միավորի վեկտորների սկալյար արտադրյալը: Վեկտորների կոորդինատներով նշված սկալյար արտադրյալի որոշում:

Պատասխան.

Միավոր վեկտորների կետային արտադրյալը (×):

Վեկտորների կոորդինատներով նշված սկալյար արտադրյալի որոշում:

Երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը և տրված նրանց կոորդինատներով կարելի է հաշվարկել բանաձևով

Երկու վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալը. Վեկտորային արտադրանքի հատկությունները.

Պատասխան.

Երեք ոչ համահունչ վեկտորները կազմում են աջ եռապատիկ, եթե երրորդի վերջից պտույտը առաջին վեկտորից երկրորդը կատարվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ։ Եթե ​​ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, ապա ձախ, եթե ոչ, ապա հակառակ ուղղությամբ ( ցույց տվեք, թե ինչպես է նա ցույց տվել «բռնակներով»)

Վեկտորի խաչաձև արտադրյալ Ադեպի վեկտոր բկոչվում է վեկտոր որից:

1. Վեկտորներին ուղղահայաց ԱԵվ բ

2. Ունի երկարություն՝ թվային մակերեսին հավասարվրա ձևավորված զուգահեռագիծ աԵվ բվեկտորներ

3. Վեկտորներ, ա, բ, Եվ գձևավորել վեկտորների աջակողմյան եռյակ

Հատկություններ:

1.

3.

4.

Կոորդինատային միավորի վեկտորների վեկտորային արտադրյալ: Վեկտորների կոորդինատներով նշված վեկտորների արտադրյալի որոշում.

Պատասխան.

Կոորդինատային միավորի վեկտորների վեկտորային արտադրյալ:

Վեկտորների կոորդինատներով նշված վեկտորների արտադրյալի որոշում.

Թող a = (x1; y1; z1) և b = (x2; y2; z2) վեկտորները տրված լինեն իրենց կոորդինատներով ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում O, i, j, k, և եռակի i, j, k. աջլիկ.

Եկեք ընդլայնենք a-ն և b-ը հիմքի վեկտորների մեջ.

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Օգտագործելով վեկտորային արտադրանքի հատկությունները, մենք ստանում ենք

[A; բ] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2: (1)

Վեկտորային արտադրյալի սահմանմամբ մենք գտնում ենք

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Հաշվի առնելով այս հավասարությունները՝ (1) բանաձևը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

[A; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[A; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

Բանաձև (2) տալիս է արտահայտություն երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալի համար, որոնք նշված են նրանց կոորդինատներով:

Ստացված բանաձևը դժվար է, Օգտագործելով որոշիչների նշումը, կարող եք գրել այն մեկ այլ ձևով, որն ավելի հարմար է անգիր անելու համար.

Սովորաբար (3) բանաձևը գրվում է ավելի կարճ.

Նախ, եկեք հիշենք, թե ինչ է դա կոորդինատային առանցք, կետի պրոյեկցիան առանցքի վրաԵվ առանցքի վրա գտնվող կետի կոորդինատները.

Կոորդինատային առանցք-Սա ուղիղ գիծ է, որին որոշակի ուղղություն է տրվում։ Դուք կարող եք այն պատկերացնել որպես անսահման մեծ մոդուլով վեկտոր:

Կոորդինատային առանցքնշվում է ինչ-որ տառով՝ X, Y, Z, s, t... Սովորաբար առանցքի վրա (կամայականորեն) ընտրվում է մի կետ, որը կոչվում է սկզբնակետ և, որպես կանոն, նշվում է O տառով: Այս կետից հեռավորությունները դեպի մեզ հետաքրքրող այլ կետերը չափվում են:

Կետի պրոյեկցիան առանցքի վրա- սա այս կետից այս առանցքն իջեցված ուղղահայաց հիմքն է (նկ. 8): Այսինքն՝ առանցքի վրա կետի պրոյեկցիան կետ է։

Կետերի կոորդինատը առանցքի վրա- սա մի թիվ է, որի բացարձակ արժեքը հավասար է առանցքի հատվածի երկարությանը (ընտրված սանդղակի վրա), որը պարունակվում է առանցքի սկզբնավորման և կետի այս առանցքի վրա նախագծման միջև: Այս թիվը վերցվում է գումարած նշանով, եթե կետի պրոյեկցիան գտնվում է իր սկզբնակետից առանցքի ուղղությամբ, իսկ հակառակ ուղղությամբ՝ մինուս նշանով։

Վեկտորի սկալային պրոյեկցիան առանցքի վրա- Սա թիվ, որի բացարձակ արժեքը հավասար է առանցքի հատվածի երկարությանը (ընտրված սանդղակի վրա), որը պարփակված է սկզբնակետի և վեկտորի վերջնակետի կանխատեսումների միջև։ Կարևոր. Սովորաբար արտահայտության փոխարեն վեկտորի սկալային պրոյեկցիան առանցքի վրանրանք պարզապես ասում են. վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա, այսինքն՝ բառը սկալյարիջեցված. Վեկտորային պրոյեկցիանշվում է նույն տառով, ինչ նախագծված վեկտորը (նորմալ, ոչ թավ գրությամբ), ավելի ցածր (որպես կանոն) այն առանցքի անվան ցուցիչով, որի վրա նախագծված է այս վեկտորը։ Օրինակ, եթե վեկտորը նախագծված է X առանցքի վրա Ա,ապա դրա պրոյեկցիան նշվում է x-ով: Նույն վեկտորը մեկ այլ առանցքի, ասենք, Y առանցքի վրա նախագծելիս, նրա պրոյեկցիան կնշանակվի y (նկ. 9):

Հաշվարկելու համար վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա(օրինակ, X առանցքը), անհրաժեշտ է հանել ելակետի կոորդինատը դրա վերջնակետի կոորդինատից, այսինքն.

a x = x k − x n.

Պետք է հիշել. վեկտորի սկալյար պրոյեկցիան առանցքի վրա (կամ, պարզապես, վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա) թիվ է (ոչ վեկտոր):Ավելին, պրոյեկցիան կարող է լինել դրական, եթե x k արժեքը մեծ է x n արժեքից, բացասական, եթե x k արժեքը փոքր է x n արժեքից և հավասար է զրոյի, եթե x k-ը հավասար է x n-ի (նկ. 10):

Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա կարելի է գտնել նաև՝ իմանալով վեկտորի մոդուլը և այն անկյունը, որը կազմում է այս առանցքի հետ:

Նկար 11-ից պարզ է դառնում, որ a x = a Cos α

Այսինքն՝ վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա հավասար է վեկտորի մոդուլի և անկյան կոսինուսի արտադրյալին։ առանցքի ուղղության և վեկտորի ուղղության միջև. Եթե ​​անկյունը սուր է, ապա Cos α > 0 և a x > 0, իսկ եթե բութ է, ապա բութ անկյան կոսինուսը բացասական է, և վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա նույնպես բացասական կլինի:

Անկյունները, որոնք չափվում են առանցքից ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, համարվում են դրական, իսկ առանցքի երկայնքով չափված անկյունները՝ բացասական: Այնուամենայնիվ, քանի որ կոսինուսը զույգ ֆունկցիա է, այսինքն՝ Cos α = Cos (− α), կանխատեսումները հաշվարկելիս անկյունները կարելի է հաշվել և՛ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, և՛ հակառակ ուղղությամբ։

Խնդիրներ լուծելիս հաճախ կօգտագործվեն կանխատեսումների հետևյալ հատկությունները՝ եթե

Ա = բ + գ +…+ դ, ապա a x = b x + c x +…+ d x (նման է մյուս առանցքներին),

ա= մ բ, ապա a x = mb x (նմանապես այլ առանցքների դեպքում):

a x = a Cos α բանաձեւը կլինի Հաճախակիառաջանում են խնդիրներ լուծելիս, այնպես որ դուք անպայման պետք է դա իմանաք: Դուք պետք է իմանաք պրոյեկցիան որոշելու կանոնը անգիր!

Հիշիր.

Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա գտնելու համար այս վեկտորի մոդուլը պետք է բազմապատկվի առանցքի ուղղության և վեկտորի ուղղության միջև ընկած անկյան կոսինուսով:

Եվս մեկ անգամ - անգիր:

Շարժման վեկտորային նկարագրությունը օգտակար է, քանի որ մեկ գծագրում դուք միշտ կարող եք պատկերել բազմաթիվ տարբեր վեկտորներ և ձեր աչքի առաջ ստանալ շարժման տեսողական «նկար»: Այնուամենայնիվ, վեկտորների հետ գործողություններ կատարելու համար ամեն անգամ քանոն և անկյունաչափ օգտագործելը շատ աշխատատար է: Հետևաբար, այդ գործողությունները վերածվում են դրական և բացասական թվեր- վեկտորների կանխատեսումներ.

Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրակոչվում է սկալյար մեծություն, որը հավասար է նախագծված վեկտորի մոդուլի և վեկտորի ուղղությունների և ընտրված կոորդինատային առանցքի միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին:

Ձախ գծագրում պատկերված է տեղաշարժի վեկտոր, որի մոդուլը 50 կմ է, և ձևավորվում է դրա ուղղությունը բութ անկյուն X առանցքի ուղղությամբ 150°, օգտագործելով սահմանումը, գտնում ենք տեղաշարժի պրոյեկցիան X առանցքի վրա.

sx = s cos(α) = 50 կմ cos(150°) = –43 կմ

Քանի որ առանցքների միջև անկյունը 90° է, հեշտ է հաշվարկել, որ շարժման ուղղությունը Y առանցքի ուղղության հետ կազմում է 60° սուր անկյուն։ Օգտագործելով սահմանումը, մենք գտնում ենք տեղաշարժի նախագծումը Y առանցքի վրա.

sy = s cos(β) = 50 կմ cos(60°) = +25 կմ

Ինչպես տեսնում եք, եթե վեկտորի ուղղությունը առանցքի ուղղության հետ կազմում է սուր անկյուն, ապա պրոյեկցիան դրական է. եթե վեկտորի ուղղությունը բութ անկյուն է կազմում առանցքի ուղղության հետ, ապա պրոյեկցիան բացասական է:

Ճիշտ գծագրում պատկերված է արագության վեկտոր, որի մոդուլը 5 մ/վ է, իսկ ուղղությունը X առանցքի ուղղության հետ կազմում է 30° անկյուն։

υx = υ · cos(α) = 5 մ/վ · cos( 30°) = +4,3 մ/վ
υy = υ · cos(β) = 5 մ/վ · cos( 120°) = –2,5 մ/վ

Շատ ավելի հեշտ է առանցքների վրա վեկտորների կանխատեսումներ գտնելը, եթե նախագծված վեկտորները զուգահեռ կամ ուղղահայաց են ընտրված առանցքներին: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ զուգահեռության դեպքում հնարավոր է երկու տարբերակ՝ վեկտորը համակողմանի է դեպի առանցքը, իսկ վեկտորը հակառակ է առանցքին, իսկ ուղղահայացության դեպքում կա միայն մեկ տարբերակ։

Առանցքին ուղղահայաց վեկտորի պրոյեկցիան միշտ զրոյական է (ձախ գծագրում տես sy և ay, իսկ աջ գծագրում՝ sx և υx): Իրոք, առանցքին ուղղահայաց վեկտորի համար նրա և առանցքի միջև անկյունը 90° է, հետևաբար կոսինուսը զրո է, ինչը նշանակում է, որ պրոյեկցիան զրո է:

Առանցքի հետ վեկտորի համակողմանի պրոյեկցիան դրական է և հավասար է դրա բացարձակ արժեքին, օրինակ՝ sx = +s (տե՛ս ձախ նկարը): Իրոք, առանցքի հետ համակողմանի վեկտորի համար նրա և առանցքի միջև անկյունը զրո է, իսկ կոսինուսը «+1», այսինքն՝ պրոյեկցիան հավասար է վեկտորի երկարությանը. sx = x – xo = +: ս.

Առանցքին հակառակ վեկտորի պրոյեկցիան բացասական է և հավասար է նրա բացարձակ արժեքին, վերցված մինուս նշանով, օրինակ՝ sy = –s (տե՛ս աջ նկարը): Իրոք, առանցքին հակառակ վեկտորի համար նրա և առանցքի միջև անկյունը 180° է, իսկ կոսինուսը՝ «–1», այսինքն՝ պրոյեկցիան հավասար է բացասական նշանով վերցված վեկտորի երկարությանը. = y – yo = –s :

Երկու գծագրերի աջ կողմերը ցույց են տալիս այլ դեպքեր, երբ վեկտորները զուգահեռ են կոորդինատային առանցքներից մեկին և ուղղահայաց են մյուսին: Հրավիրում ենք ինքներդ համոզվելու, որ այս դեպքերում ևս պահպանվում են նախորդ պարբերություններում ձևակերպված կանոնները։