Բարձրագույն կարգի ածանցյալներ

Այս դասում մենք կսովորենք, թե ինչպես գտնել ավելի բարձր կարգերի ածանցյալներ, ինչպես նաև գրել ընդհանուր բանաձեւ«nth» ածանցյալ. Բացի այդ, Լայբնիցի բանաձևը նման ածանցյալի և, ըստ տարածված պահանջարկի, ավելի բարձր կարգի ածանցյալների համար. անուղղակի գործառույթ. Առաջարկում եմ անմիջապես մինի-թեստ անցնել.

Ահա ֆունկցիան. և ահա նրա առաջին ածանցյալը.

Եթե ​​այս օրինակի հետ կապված որևէ դժվարություն/շփոթություն ունեք, սկսեք իմ դասընթացի երկու հիմնական հոդվածներից. Ինչպե՞ս գտնել ածանցյալը:Եվ Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ. Տարրական ածանցյալները յուրացնելուց հետո խորհուրդ եմ տալիս կարդալ դասը Ածանցյալների հետ կապված ամենապարզ խնդիրները, որոնցով մենք զբաղվել ենք, մասնավորապես երկրորդ ածանցյալ.

Դժվար չէ նույնիսկ կռահել, որ երկրորդ ածանցյալը 1-ին ածանցյալի ածանցյալն է.

Սկզբունքորեն երկրորդ ածանցյալն արդեն համարվում է ավելի բարձր կարգի ածանցյալ։

Նմանապես, երրորդ ածանցյալը 2-րդ ածանցյալի ածանցյալն է.

Չորրորդ ածանցյալը 3-րդ ածանցյալի ածանցյալն է.

Հինգերորդ ածանցյալ. , և ակնհայտ է, որ ավելի բարձր կարգի բոլոր ածանցյալները նույնպես հավասար կլինեն զրոյի.

Բացի հռոմեական համարակալումից, գործնականում հաճախ օգտագործվում են հետևյալ նշումները.
, «n-րդ» կարգի ածանցյալը նշանակվում է . Այս դեպքում վերնագիրը պետք է փակցվի փակագծերում– աստիճանով տարբերել ածանցյալը «y»-ից.

Երբեմն դուք տեսնում եք նման բան. – երրորդ, չորրորդ, հինգերորդ, ..., «nth» ածանցյալները համապատասխանաբար:

Առաջ առանց վախի և կասկածի.

Օրինակ 1

Ֆունկցիան տրված է. Գտնել.

ԼուծումԻնչ կարող ես ասել... - շարունակիր չորրորդ ածանցյալը :)

Այլևս ընդունված չէ չորս հարված դնել, ուստի մենք անցնում ենք թվային ինդեքսների.

Պատասխանել:

Լավ, հիմա եկեք մտածենք այս հարցի մասին. ի՞նչ անել, եթե պայմանը պահանջում է գտնել ոչ թե 4-րդ, այլ օրինակ՝ 20-րդ ածանցյալը: Եթե ​​ածանցյալի համար 3-4-5-րդ (առավելագույնը 6-7-րդ)մեծության կարգ, լուծումը բավականին արագ ձևակերպվում է, այդ դեպքում մենք շատ շուտով չենք «հասնի» ավելի բարձր կարգերի ածանցյալներին: Փաստորեն, մի գրեք 20 տող: Նման իրավիճակում անհրաժեշտ է վերլուծել հայտնաբերված մի քանի ածանցյալներ, տեսնել օրինաչափությունը և ստեղծել «n-րդ» ածանցյալի բանաձև: Այսպիսով, օրինակ թիվ 1-ում հեշտ է հասկանալ, որ յուրաքանչյուր հաջորդ տարբերակման դեպքում ցուցիչի դիմաց «կհայտնվի» լրացուցիչ «երեք», և ցանկացած քայլի «երեքի» աստիճանը հավասար է թվի. ածանցյալը, հետևաբար.

Որտեղ է կամայական բնական թիվը:

Եվ իսկապես, եթե , ապա ստացվում է հենց 1-ին ածանցյալը. , եթե – ապա 2-րդ՝ և այլն: Այսպիսով, քսաներորդ ածանցյալը որոշվում է ակնթարթորեն. – և ոչ մի «կիլոմետրանոց թերթ»:

Ինքնուրույն տաքացում.

Օրինակ 2

Գտեք գործառույթներ: Գրի՛ր պատվերի ածանցյալը

Լուծումը և պատասխանը՝ դասի վերջում։

Կազդուրիչ տաքացումից հետո մենք կանդրադառնանք ավելիին բարդ օրինակներ, որում կմշակենք վերը նշված լուծման ալգորիթմը։ Նրանց համար, ովքեր հասցրել են ծանոթանալ դասին Հերթականության սահմանափակում, մի փոքր ավելի հեշտ կլինի.

Օրինակ 3

Գտեք ֆունկցիայի համար:

ԼուծումԻրավիճակը պարզաբանելու համար եկեք գտնենք մի քանի ածանցյալներ.

Մենք չենք շտապում բազմապատկել ստացված թվերը։ ;-)


Երևի բավական է։ ...Ես նույնիսկ մի փոքր չափն անցա:

Հաջորդ քայլը լավագույնն է «n-րդ» ածանցյալի բանաձևը ստեղծելու համար (եթե պայմանը դա չի պահանջում, ապա դուք կարող եք դուրս գալ սևագրի միջոցով). Դա անելու համար մենք նայում ենք ստացված արդյունքներին և բացահայտում ենք այն օրինաչափությունները, որոնցով ստացվում է յուրաքանչյուր հաջորդ ածանցյալ:

Նախ, նրանք փոխարինում են. Հավասարեցումն ապահովում է «Թարթող լույս», և քանի որ 1-ին ածանցյալը դրական է, ընդհանուր բանաձևում կմտնի հետևյալ գործոնը. . Համարժեք տարբերակը նույնպես կաշխատի, բայց անձամբ, որպես լավատես, ես սիրում եմ գումարած նշանը =)

Երկրորդ, համարիչում «փչում է» գործոնային, և այն «հետ է մնում» ածանցյալ թվից մեկ միավորով.

Եվ երրորդ, «երկու»-ի հզորությունը համարիչում մեծանում է, որը հավասար է ածանցյալի թվին։ Նույնը կարելի է ասել հայտարարի աստիճանի մասին։ Վերջապես.

Ստուգելու համար եկեք փոխարինենք մի քանի «en» արժեքներ, օրինակ, և.

Հիանալի է, հիմա սխալվելը պարզապես մեղք է.

Պատասխանել:

Ավելի պարզ գործառույթ համար անկախ որոշում:

Օրինակ 4

Գտեք գործառույթներ:

Եվ ավելի հետաքրքիր խնդիր.

Օրինակ 5

Գտեք գործառույթներ:

Կրկնենք ընթացակարգը ևս մեկ անգամ.

1) Սկզբում մենք գտնում ենք մի քանի ածանցյալներ: Նախշերը բռնելու համար սովորաբար բավարար է երեք կամ չորս:

2) Ապա ես խստորեն խորհուրդ եմ տալիս պատրաստել (առնվազն նախագծային ձևով)«n-րդ» ածանցյալը - այն երաշխավորված է ձեզ պաշտպանելու սխալներից: Բայց դուք կարող եք անել առանց դրա, այսինքն. մտովի գնահատեք և անմիջապես գրեք, օրինակ, քսաներորդ կամ ութերորդ ածանցյալը: Ավելին, որոշ մարդիկ հիմնականում կարողանում են խնդրո առարկա խնդիրները լուծել բանավոր։ Այնուամենայնիվ, պետք է հիշել, որ «արագ» մեթոդները հղի են, և ավելի լավ է ապահով լինել:

3) Վերջնական փուլում մենք ստուգում ենք «nth» ածանցյալը. վերցնում ենք «nth» արժեքների զույգը (ցանկալի է հարևանները) և կատարում փոխարինումը: Եվ նույնիսկ ավելի հուսալի է ստուգել նախկինում հայտնաբերված բոլոր ածանցյալները: Այնուհետև մենք այն փոխարինում ենք ցանկալի արժեքով, օրինակ, կամ և զգուշորեն սանրում ենք արդյունքը:

Արագ լուծում 4 և 5 օրինակներ դասի վերջում:

Որոշ առաջադրանքներում խնդիրներից խուսափելու համար անհրաժեշտ է մի փոքր կախարդանք գործել ֆունկցիայի վրա.

Օրինակ 6

ԼուծումԵս ընդհանրապես չեմ ուզում տարբերակել առաջարկվող ֆունկցիան, քանի որ այն կհանգեցնի «վատ» կոտորակի, որը մեծապես կբարդացնի հետագա ածանցյալների գտնելը:

Այս առումով, նպատակահարմար է կատարել նախնական փոխակերպումներ. մենք օգտագործում ենք քառակուսի տարբերության բանաձևԵվ լոգարիթմի հատկություն :

Դա բոլորովին այլ հարց է.

Եվ հին ընկերները.

Կարծում եմ՝ ամեն ինչ դիտարկվում է։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ 2-րդ կոտորակը փոխարինող է, իսկ 1-ինը՝ ոչ: Մենք կառուցում ենք պատվերի ածանցյալը.

Վերահսկում:

Դե, հանուն գեղեցկության, եկեք փակագծերից հանենք ֆակտորիալը.

Պատասխանել:

Հետաքրքիր առաջադրանքանկախ լուծման համար.

Օրինակ 7

Գրե՛ք ֆունկցիայի կարգի ածանցյալ բանաձևը

Իսկ հիմա անդրդվելի փոխադարձ երաշխիքի մասին, որին կնախանձեր անգամ իտալական մաֆիան.

Օրինակ 8

Ֆունկցիան տրված է. Գտեք

Տասնութերորդ ածանցյալը կետում: Պարզապես.

ԼուծումՆախ, ակնհայտորեն, դուք պետք է գտնեք: Գնալ:

Մենք սկսեցինք սինուսից և ավարտեցինք սինուսով: Հասկանալի է, որ հետագա տարբերակման դեպքում այս ցիկլը անվերջ կշարունակվի, և առաջանում է հետևյալ հարցը՝ ո՞րն է տասնութերորդ ածանցյալին «հասնելու» լավագույն միջոցը։

«Սիրողական» մեթոդ. արագորեն գրեք հաջորդ ածանցյալների թվերը աջ կողմում գտնվող սյունակում.

Այսպիսով.

Բայց սա աշխատում է, եթե ածանցյալի հերթականությունը շատ մեծ չէ: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել, ասենք, հարյուրերորդ ածանցյալը, ապա պետք է օգտագործեք բաժանելիությունը 4-ի վրա։ Հարյուրը առանց մնացորդի բաժանվում է 4-ի, և հեշտ է տեսնել, որ այդպիսի թվերը գտնվում են ներքևի տողում, հետևաբար՝ .

Ի դեպ, 18-րդ ածանցյալը նույնպես կարելի է որոշել նմանատիպ նկատառումներից.
Երկրորդ տողը պարունակում է թվեր, որոնք բաժանվում են 4-ի 2-ի մնացորդով:

Մեկ այլ, ավելի ակադեմիական մեթոդ է հիմնված սինուսային պարբերականությունԵվ նվազեցման բանաձևեր. Մենք օգտագործում ենք սինուսի «n-րդ» ածանցյալի պատրաստի բանաձևը , որի մեջ պարզապես փոխարինվում է ցանկալի թիվը։ Օրինակ:
(նվազեցման բանաձև ) ;
(նվազեցման բանաձև )

Մեր դեպքում.

(1) Քանի որ սինուսը պարբերական ֆունկցիակետով, ապա արգումենտը կարող է ցավ չպատճառել 4 պարբերաշրջան (այսինքն):

Երկու ֆունկցիաների արտադրյալի կարգի ածանցյալը կարելի է գտնել բանաձևով.

Մասնավորապես:

Պետք չէ կոնկրետ որևէ բան հիշել, քանի որ ինչքան շատ բանաձևեր գիտես, այնքան քիչ ես հասկանում։ Շատ ավելի օգտակար է ծանոթանալ Նյուտոնի երկանդամը, քանի որ Լայբնիցի բանաձեւը շատ ու շատ նման է դրան։ Դե, այն երջանիկները, ովքեր կստանան 7-րդ և ավելի բարձր պատվերների ածանցյալ (ինչն իսկապես քիչ հավանական է), ստիպված կլինի դա անել։ Այնուամենայնիվ, երբ հերթը հասնում է կոմբինատորիկա- ուրեմն դեռ պետք է =)

Գտնենք ֆունկցիայի երրորդ ածանցյալը. Մենք օգտագործում ենք Լայբնիցի բանաձևը.

IN այս դեպքում: . Ածանցյալները հեշտ է արտասանել բանավոր.

Այժմ զգույշ և զգույշ կատարեք փոխարինումը և պարզեցրեք արդյունքը.

Պատասխանել:

Նմանատիպ խնդիր անկախ լուծման համար.

Օրինակ 11

Գտեք առանձնահատկություններ

Եթե ​​նախորդ օրինակում «գլխավոր» լուծումը դեռ մրցում էր Լայբնիցի բանաձևի հետ, ապա այստեղ դա իսկապես տհաճ կլինի։ Եվ նույնիսկ ավելի տհաճ - ավելի բարձր կարգի ածանցյալի դեպքում.

Օրինակ 12

Գտեք նշված կարգի ածանցյալը

ԼուծումԱռաջին և նշանակալից դիտողությունն այն է, որ ձեզ հավանաբար պետք չէ այսպես որոշել =) =)

Գրենք ֆունկցիաները և գտնենք դրանց ածանցյալները մինչև 5-րդ կարգի ներառյալ։ Ենթադրում եմ, որ աջ սյունակի ածանցյալները ձեզ համար դարձել են բանավոր.

Ձախ սյունակում «կենդանի» ածանցյալները արագ «ավարտվեցին», և դա շատ լավ է. Լեյբնիցի բանաձևի երեք անդամները կզրոյացվեն.

Թույլ տվեք կրկին կանգ առնել երկընտրանքի վրա, որը հայտնվեց հոդվածում բարդ ածանցյալներՊե՞տք է պարզեցնել արդյունքը: Սկզբունքորեն, դուք կարող եք թողնել դա այսպես. ուսուցչի համար ավելի հեշտ կլինի ստուգել: Բայց նա կարող է պահանջել վերջնական տեսքի բերել որոշումը։ Մյուս կողմից, սեփական նախաձեռնությամբ պարզեցումը հղի է հանրահաշվական սխալներով։ Այնուամենայնիվ, մենք ունենք «պարզունակ» ձևով ստացված պատասխան =) (տե՛ս հղումը սկզբում)և հուսով եմ, որ դա ճիշտ է.

Հիանալի, ամեն ինչ հավաքվեց:

Պատասխանել:

Ուրախ խնդիր անկախ լուծման համար.

Օրինակ 13

Գործառույթի համար.
ա) գտնել ուղղակի տարբերակմամբ.
բ) գտնել Լայբնիցի բանաձևով.
գ) հաշվարկել.

Ոչ, ես ընդհանրապես սադիստ չեմ. «ա» կետն այստեղ բավականին պարզ է =)

Բայց եթե լուրջ, հաջորդական տարբերակմամբ «ուղղակի» լուծումն ունի նաև «կյանքի իրավունք». որոշ դեպքերում դրա բարդությունը համեմատելի է Լայբնիցի բանաձևի կիրառման բարդության հետ: Օգտագործեք, եթե նպատակահարմար եք գտնում, դա դժվար թե առաջադրանքը ձախողելու պատճառ լինի:

Կարճ լուծում և պատասխան դասի վերջում.

Վերջնական պարբերությունը բարձրացնելու համար դուք պետք է կարողանաք տարբերակել ենթադրյալ գործառույթները:

Անուղղակիորեն նշված ֆունկցիաների ավելի բարձր կարգի ածանցյալներ

Մեզանից շատերը մեր կյանքի երկար ժամեր, օրեր և շաբաթներ են անցկացրել սովորելու վրա շրջանակներ, պարաբոլաներ, հիպերբոլիա– և երբեմն դա նույնիսկ իսկական պատիժ էր թվում: Այսպիսով, եկեք վրեժխնդիր լինենք և ճիշտ տարբերակենք դրանք:

Սկսենք «դպրոցական» պարաբոլայից իր մեջ կանոնական դիրքորոշում:

Օրինակ 14

Տրված է հավասարումը. Գտնել.

ԼուծումԱռաջին քայլը ծանոթ է.

Այն փաստը, որ ֆունկցիան և նրա ածանցյալը անուղղակիորեն արտահայտված են, չի փոխում հարցի էությունը, երկրորդ ածանցյալը 1-ին ածանցյալի ածանցյալն է.

Այնուամենայնիվ, կան խաղի կանոններ՝ սովորաբար արտահայտվում են 2-րդ և ավելի բարձր կարգի ածանցյալներ միայն «X»-ի և «Y»-ի միջոցով. Հետևաբար, մենք փոխարինում ենք :-ը ստացված 2-րդ ածանցյալով.

Երրորդ ածանցյալը 2-րդ ածանցյալի ածանցյալն է.

Նմանապես, եկեք փոխարինենք.

Պատասխանել:

«Դպրոց» հիպերբոլը ներս կանոնական դիրքորոշում- Համար ինքնուրույն աշխատանք:

Օրինակ 15

Տրված է հավասարումը. Գտնել.

Կրկնում եմ, որ 2-րդ ածանցյալը և արդյունքը պետք է արտահայտել միայն «x»/«y» միջոցով:

Կարճ լուծում և պատասխան դասի վերջում.

Մանկական կատակներից հետո եկեք նայենք գերմանական պոռնոգրաֆիայի, ավելի շատ մեծահասակների օրինակներ, որոնցից կսովորենք մեկ այլ կարևոր լուծում.

Օրինակ 16

Էլիպսինքն իրեն։

Լուծումեկեք գտնենք 1-ին ածանցյալը.

Հիմա կանգ առնենք և վերլուծենք հաջորդ կետը. հիմա պետք է տարբերակել կոտորակը, որն ամենևին էլ հաճելի չէ: Այս դեպքում, իհարկե, պարզ է, բայց իրական կյանքի խնդիրներում նման նվերները շատ քիչ են և հեռու են: Կա՞ որևէ միջոց՝ խուսափելու դժվար ածանցյալը գտնելուց: Գոյություն ունի։ Մենք վերցնում ենք հավասարումը և օգտագործում ենք նույն տեխնիկան, ինչ 1-ին ածանցյալը գտնելիս. մենք «կախում ենք» հարվածները երկու կողմից.

Երկրորդ ածանցյալը պետք է արտահայտվի միայն և-ով, այնպես որ հիմա (հենց հիմա)Հարմար է ազատվել 1-ին ածանցյալից։ Դա անելու համար ստացված հավասարման մեջ փոխարինեք.

Ավելորդ տեխնիկական դժվարություններից խուսափելու համար եկեք երկու մասերը բազմապատկենք հետևյալով.

Եվ միայն վերջնական փուլում ենք ձևակերպում կոտորակը.

Այժմ մենք նայում ենք սկզբնական հավասարմանը և նկատում, որ ստացված արդյունքը կարելի է պարզեցնել.

Պատասխանել:

Ինչպես գտնել 2-րդ ածանցյալի արժեքը ցանկացած կետում (որը, իհարկե, պատկանում է էլիպսին), օրինակ, կետում ? Շատ հեշտ! Այս շարժառիթը արդեն հանդիպել է դասի մասին նորմալ հավասարում 2-րդ ածանցյալը պետք է փոխարինել արտահայտության մեջ :

Իհարկե, բոլոր երեք դեպքերում էլ կարելի է հստակորեն ստանալ նշված գործառույթներըև տարբերակել դրանք, բայց հետո հոգեպես պատրաստ եղիր աշխատելու արմատներ պարունակող երկու ֆունկցիաների հետ: Իմ կարծիքով, ավելի հարմար է լուծումն իրականացնել «անուղղակի ճանապարհով»։

Ինքնուրույն լուծելու վերջնական օրինակ.

Օրինակ 17

Գտեք անուղղակիորեն նշված գործառույթը

Տրված է Լայբնիցի բանաձևը n-րդ հաշվարկներըերկու ֆունկցիայի արտադրյալի ածանցյալ։ Դրա ապացույցը տրվում է երկու ձևով. Դիտարկվում է n-րդ կարգի ածանցյալի հաշվարկման օրինակ:

Բովանդակություն

Տես նաեւ: Երկու ֆունկցիայի արտադրյալի ածանցյալ

Լայբնիցի բանաձևը

Օգտագործելով Լայբնիցի բանաձևը, կարող եք հաշվարկել երկու ֆունկցիայի արտադրյալի n-րդ կարգի ածանցյալը։ Այն կարծես այսպիսին է.
(1) ,
Որտեղ
- երկանդամ գործակիցներ.

Երկանդամ գործակիցները երկանդամի հզորությունների ընդլայնման գործակիցներն են և.
.
Նաև թիվը n-ից k-ի համակցությունների թիվն է:

Լայբնիցի բանաձեւի ապացույց

Եկեք կիրառենք երկու ֆունկցիայի արտադրյալի ածանցյալի բանաձևը.
(2) .
Եկեք վերագրենք բանաձևը (2) հետևյալ ձևով.
.
Այսինքն՝ մենք համարում ենք, որ մի ֆունկցիան կախված է x փոփոխականից, իսկ մյուսը՝ y փոփոխականից։ Հաշվարկի վերջում մենք ենթադրում ենք. Այնուհետև նախորդ բանաձևը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
(3) .
Քանի որ ածանցյալը հավասար է տերմինների գումարին, և յուրաքանչյուր անդամ երկու ֆունկցիայի արտադրյալ է, ապա ավելի բարձր կարգի ածանցյալները հաշվարկելու համար կարելի է հետևողականորեն կիրառել կանոն (3):

Այնուհետև n-րդ կարգի ածանցյալի համար ունենք.

.
Հաշվի առնելով այն և, մենք ստանում ենք Լայբնիցի բանաձևը.
(1) .

Ապացույց ինդուկցիայի միջոցով

Ներկայացնենք Լայբնիցի բանաձևի ապացույցը մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով։

Եկեք ևս մեկ անգամ գրենք Լայբնիցի բանաձևը.
(4) .
n = 1-ի համար մենք ունենք.
.
Սա երկու ֆունկցիայի արտադրյալի ածանցյալի բանաձևն է։ Նա արդար է:

Ենթադրենք, որ բանաձևը (4) վավեր է n-րդ կարգի ածանցյալի համար։ Ապացուցենք, որ այն վավեր է n + ածանցյալի համար 1 -րդ կարգը.

Տարբերակենք (4).
;



.
Այսպիսով, մենք գտանք.
(5) .

Փոխարինենք (5)-ով և հաշվի առնենք, որ.

.
Սա ցույց է տալիս, որ բանաձևը (4) ունի նույն ձևը n + ածանցյալի համար 1 -րդ կարգը.

Այսպիսով, բանաձևը (4) վավեր է n =-ի համար 1 . Այն ենթադրությունից, որ այն պահպանվում է որոշ n = m թվի համար, հետևում է, որ այն գործում է n = m + համար: 1 .
Լայբնիցի բանաձեւն ապացուցված է.

Օրինակ

Հաշվիր ֆունկցիայի n-րդ ածանցյալը
.

Կիրառենք Լայբնիցի բանաձևը
(2) .
Մեր դեպքում
;
.

Ածանցյալների աղյուսակից ունենք.
.
Մենք կիրառում ենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունները.
.
Հետո
.
Սա ցույց է տալիս, որ սինուսային ֆունկցիայի տարբերակումը հանգեցնում է նրա տեղաշարժին . Հետո
.

Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալները:
;
;
;
, .

Քանի որ համար, ապա Լայբնիցի բանաձևում միայն առաջին երեք անդամներն են ոչ զրոյական: Երկանդամ գործակիցների որոնում.
;
.

Լայբնիցի բանաձևով մենք ունենք.

.

Տես նաեւ:

Կիրառական խնդիրների լուծումը հանգում է ինտեգրալի հաշվարկին, բայց դա միշտ չէ, որ հնարավոր է ճշգրիտ անել: Երբեմն անհրաժեշտ է իմանալ որոշակի ինտեգրալի արժեքը որոշակի աստիճանի ճշգրտությամբ, օրինակ՝ հազարերորդականի չափով։

Կան խնդիրներ, երբ անհրաժեշտ կլինի գտնել որոշակի ինտեգրալի մոտավոր արժեքը պահանջվող ճշգրտությամբ, այնուհետև օգտագործվում է թվային ինտեգրում, ինչպիսիք են Սիմպոսնիի մեթոդը, տրապեզոիդները և ուղղանկյունները: Ոչ բոլոր դեպքերն են թույլ տալիս հաշվարկել այն որոշակի ճշգրտությամբ։

Այս հոդվածը ուսումնասիրում է Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի կիրառումը։ Սա անհրաժեշտ է որոշակի ինտեգրալի ճշգրիտ հաշվարկի համար: Կտրվի մանրամասն օրինակներԴիտարկվում են որոշակի ինտեգրալում փոփոխականի փոփոխությունները և ըստ մասերի ինտեգրման ժամանակ գտնում ենք որոշակի ինտեգրալի արժեքները:

Նյուտոն-Լայբնից բանաձև

Սահմանում 1

Երբ y = y (x) ֆունկցիան շարունակական է [ a ; b ] , իսկ F (x) այս հատվածի ֆունկցիայի հակաածանցյալներից մեկն է, ապա Նյուտոն-Լայբնից բանաձևարդարացի համարվել: Գրենք այսպես՝ ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Այս բանաձեւըհաշվի առնել ինտեգրալ հաշվարկի հիմնական բանաձևը.

Այս բանաձևի ապացույց ստեղծելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել ինտեգրալի հասկացությունը հասանելի փոփոխական վերին սահմանով:

Երբ y = f (x) ֆունկցիան շարունակական է [ a ; b ], ապա x ∈ a փաստարկի արժեքը; b , իսկ ինտեգրալն ունի ∫ a x f (t) d t ձև և համարվում է վերին սահմանի ֆունկցիա։ Անհրաժեշտ է վերցնել այն ֆունկցիայի նշումը, որը կունենա ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , այն շարունակական է, և անհավասարություն ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x)-ը վավեր է դրա համար:

Եկեք ֆիքսենք, որ Φ (x) ֆունկցիայի աճը համապատասխանում է ∆ x արգումենտի աճին, անհրաժեշտ է օգտագործել որոշակի ինտեգրալի հինգերորդ հիմնական հատկությունը և ստանում ենք.

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x

որտեղ արժեքը c ∈ x; x + ∆ x .

Եկեք ֆիքսենք հավասարությունը Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) ձևով: Ֆունկցիայի ածանցյալի սահմանմամբ անհրաժեշտ է գնալ դեպի սահման ∆ x → 0, այնուհետև մենք ստանում ենք Φ" (x) = f (x) ձևի բանաձևը: Գտնում ենք, որ Φ (x) y = f (x) ձևի ֆունկցիայի հակաածանցյալներից մեկը, որը գտնվում է [a;b]-ում: Հակառակ դեպքում արտահայտությունը կարող է գրվել.

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, որտեղ C-ի արժեքը հաստատուն է:

Հաշվենք F (a)-ը՝ օգտագործելով որոշակի ինտեգրալի առաջին հատկությունը։ Հետո մենք ստանում ենք դա

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, հետևաբար մենք ստանում ենք, որ C = F (a): Արդյունքը կիրառելի է F (b)-ը հաշվարկելիս և ստանում ենք.

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), այլ կերպ ասած, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F. (ա) . Հավասարությունն ապացուցվում է Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Ֆունկցիայի աճը վերցնում ենք որպես F x a b = F (b) - F (a) . Օգտագործելով նշումը՝ Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը ստանում է ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) ձևը:

Բանաձևը կիրառելու համար անհրաժեշտ է իմանալ y = f (x) ինտեգրանդ ֆունկցիայի y = F (x) հակաածանցյալներից մեկը [a; b ], հաշվարկեք հակաածանցյալի աճն այս հատվածից: Դիտարկենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով հաշվարկների մի քանի օրինակ։

Օրինակ 1

Հաշվե՛ք ∫ 1 3 x 2 d x որոշակի ինտեգրալը՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձեւը։

Լուծում

Համարենք, որ y = x 2 ձևի ինտեգրանդը շարունակական է [1; 3 ], ապա այն ինտեգրելի է այս միջակայքում: Ըստ աղյուսակի անորոշ ինտեգրալներմենք տեսնում ենք, որ y = x 2 ֆունկցիան ունի հակաածանցյալների մի շարք x-ի բոլոր իրական արժեքների համար, ինչը նշանակում է x ∈ 1; 3-ը կգրվի որպես F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C: Անհրաժեշտ է հակաածանցյալը վերցնել C = 0-ով, այնուհետև մենք ստանում ենք, որ F (x) = x 3 3:

Մենք օգտագործում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը և գտնում ենք, որ որոշակի ինտեգրալի հաշվարկը ստանում է ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 ձևը:

Պատասխան.∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Օրինակ 2

Հաշվե՛ք ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x որոշակի ինտեգրալը Նյուտոն-Լայբնից բանաձեւով։

Լուծում

Տրված ֆունկցիան շարունակական է [-1; 2 ], ինչը նշանակում է, որ այն ինտեգրելի է դրա վրա: Անհրաժեշտ է գտնել ∫ x · e x 2 + 1 d x անորոշ ինտեգրալի արժեքը՝ օգտագործելով դիֆերենցիալ նշանի տակ հավաքելու մեթոդը, այնուհետև մենք ստանում ենք ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C.

Այսպիսով, մենք ունենք y = x · e x 2 + 1 ֆունկցիայի հակաածանցյալների մի շարք, որոնք վավեր են բոլոր x, x ∈ - 1-ի համար; 2.

Անհրաժեշտ է հակաածանցյալ ընդունել C = 0 և կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը: Այնուհետև մենք ստանում ենք ձևի արտահայտություն

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Պատասխան.∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Օրինակ 3

Հաշվի՛ր ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x և ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x ինտեգրալները:

Լուծում

Հատված - 4; - 1 2-ն ասում է, որ ինտեգրալ նշանի տակ գտնվող ֆունկցիան շարունակական է, ինչը նշանակում է, որ այն ինտեգրելի է: Այստեղից մենք գտնում ենք y = 4 x 3 + 2 x 2 ֆունկցիայի հակաածանցյալների բազմությունը։ Մենք դա հասկանում ենք

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Անհրաժեշտ է վերցնել հակաածանցյալ F (x) = 2 x 2 - 2 x, այնուհետև, կիրառելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, ստանում ենք ինտեգրալը, որը հաշվում ենք.

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Անցնում ենք երկրորդ ինտեգրալի հաշվարկին։

Սեգմենտից [-1; 1 ] ունենք, որ ինտեգրանդ ֆունկցիան համարվում է անսահմանափակ, քանի որ lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , ապա հետևում է, որ անհրաժեշտ պայմանինտեգրելիություն հատվածից: Ապա F (x) = 2 x 2 - 2 x հակաածանցյալ չէ y = 4 x 3 + 2 x 2 միջակայքից [ - 1 ; 1 ], քանի որ O կետը պատկանում է հատվածին, բայց ներառված չէ սահմանման տիրույթում։ Սա նշանակում է, որ կա որոշակի Ռիմանի և Նյուտոն-Լայբնիցի ինտեգրալ y = 4 x 3 + 2 x 2 [-1; 1 ] .

Պատասխան՝ ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,կա որոշակի Ռիմանի և Նյուտոն-Լայբնիցի ինտեգրալ y = 4 x 3 + 2 x 2 [-1; 1 ] .

Նյուտոն-Լայբնից բանաձևն օգտագործելուց առաջ պետք է հստակ իմանալ որոշակի ինտեգրալի գոյության մասին։

Փոփոխականի փոփոխություն որոշակի ինտեգրալում

Երբ y = f (x) ֆունկցիան սահմանված և շարունակական է [ a ; b], ապա հասանելի հավաքածուն [a; b] համարվում է x = g (z) ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը, որը սահմանված է α հատվածի վրա. β գոյություն ունեցող շարունակական ածանցյալով, որտեղ g (α) = a և g β = b, դրանից մենք ստանում ենք, որ ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

Այս բանաձևը օգտագործվում է, երբ անհրաժեշտ է հաշվարկել ∫ a b f (x) d x ինտեգրալը, որտեղ անորոշ ինտեգրալն ունի ∫ f (x) d x ձևը, մենք հաշվարկում ենք փոխարինման մեթոդով:

Օրինակ 4

Հաշվի՛ր ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x ձևի որոշակի ինտեգրալ։

Լուծում

Ինտեգրման ֆունկցիան համարվում է շարունակական ինտեգրման միջակայքում, ինչը նշանակում է, որ գոյություն ունի որոշակի ինտեգրալ։ Եկեք նշենք, որ 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2: x = 9 արժեքը նշանակում է, որ z = 2 9 - 9 = 9 = 3, իսկ x = 18-ի համար մենք ստանում ենք, որ z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, ապա g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18: Ստացված արժեքները ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z բանաձևի մեջ փոխարինելիս մենք ստանում ենք, որ

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Ըստ անորոշ ինտեգրալների աղյուսակի՝ ունենք, որ 2 z 2 + 9 ֆունկցիայի հակաածանցյալներից մեկն ընդունում է 2 3 a r c t g z 3 արժեքը։ Այնուհետև Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը կիրառելիս ստանում ենք այն

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 π4 π4:

Գտածոն կարելի է անել առանց ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .

Եթե ​​փոխարինման մեթոդով մենք օգտագործում ենք ∫ 1 x 2 x - 9 d x ձևի ինտեգրալ, ապա կարող ենք գալ արդյունքի ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C:

Այստեղից մենք կիրականացնենք հաշվարկներ՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը և կհաշվենք որոշակի ինտեգրալը։ Մենք դա հասկանում ենք

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 1 = : = π 18

Արդյունքները նույնն էին.

Պատասխան՝ ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Ինտեգրումն ըստ մասերի որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելիս

Եթե ​​հատվածի վրա [a; b ] u (x) և v (x) ֆունկցիաները սահմանված են և շարունակական, ապա դրանց առաջին կարգի ածանցյալները v "(x) · u (x) ինտեգրելի են, հետևաբար այս հատվածից ինտեգրելի ֆունկցիայի համար u" (x) · v ( x) ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x ճշմարիտ է:

Բանաձևը կարող է օգտագործվել այնուհետև, անհրաժեշտ է հաշվարկել ∫ a b f (x) d x ինտեգրալը, և ∫ f (x) d x անհրաժեշտ է փնտրել այն՝ օգտագործելով ինտեգրումը ըստ մասերի:

Օրինակ 5

Հաշվի՛ր որոշակի ինտեգրալը ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Լուծում

x · sin x 3 + π 6 ֆունկցիան ինտեգրելի է - π 2 միջակայքում; 3 π 2, ինչը նշանակում է, որ այն շարունակական է:

Թող u (x) = x, ապա d (v (x)) = v "(x) d x = sin x 3 + π 6 d x, և d (u (x)) = u "(x) d x = d x, և v (x) = - 3 cos π 3 + π 6: ∫ a b v "(x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u "(x) · v (x) d x մենք ստանում ենք, որ

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - մեղք - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Օրինակը կարելի է լուծել այլ կերպ.

Գտե՛ք x · sin x 3 + π 6 ֆունկցիայի հակաածանցյալների բազմությունը՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով մասերի ինտեգրումը.

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x, v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Պատասխան՝ ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter