Բաց դաս մաթեմատիկայի «Զրո թիվը բազմապատկելով զրոյով. Զրոյական բաժանում. Բաժանում զրոյի. Զվարճալի մաթեմատիկական գումարում 0 կանոնով

Շատ հաճախ շատերին հետաքրքրում է, թե ինչու բաժանումը զրոյի չի կարող օգտագործվել: Այս հոդվածում մենք շատ մանրամասն կխոսենք այն մասին, թե որտեղից է եկել այս կանոնը, ինչպես նաև այն մասին, թե ինչ գործողություններ կարելի է կատարել զրոյով:

հետ շփման մեջ

Զրոն կարելի է անվանել ամենահետաքրքիր թվերից մեկը։ Այս թիվը ոչ մի նշանակություն չունի, դա բառիս բուն իմաստով նշանակում է դատարկություն։ Այնուամենայնիվ, եթե որևէ թվի կողքին զրո դրվի, ապա այդ թվի արժեքը մի քանի անգամ ավելի մեծ կլինի:

Թիվն ինքնին շատ խորհրդավոր է։ Ես նորից օգտագործեցի հին մարդիկՄայա. Մայաների համար զրոն նշանակում էր «սկիզբ», իսկ օրացուցային օրերը նույնպես սկսվում էին զրոյից:

Շատ հետաքրքիր փաստայն է, որ զրոյական նշանը և անորոշության նշանը նման էին: Սրանով մայաները ցանկանում էին ցույց տալ, որ զրոն նույն նույն նշանն է, ինչ անորոշությունը։ Եվրոպայում զրոյական անվանումը համեմատաբար վերջերս է հայտնվել։

Շատերը գիտեն նաև զրոյի հետ կապված արգելքը։ Ցանկացած մեկը դա կասի չես կարող զրոյի բաժանել. Դա ասում են դպրոցի ուսուցիչները, և երեխաները սովորաբար ընդունում են իրենց խոսքը: Սովորաբար, երեխաները կամ պարզապես հետաքրքրված չեն դա իմանալով, կամ գիտեն, թե ինչ կլինի, եթե, լսելով կարևոր արգելք, անմիջապես հարցնեն. «Ինչո՞ւ չես կարող բաժանել զրոյի»: Բայց երբ մեծանում ես, հետաքրքրությունդ արթնանում է, և ուզում ես ավելին իմանալ այս արգելքի պատճառների մասին։ Այնուամենայնիվ, կան ողջամիտ ապացույցներ.

Գործողություններ զրոյով

Նախ պետք է որոշել, թե ինչ գործողություններ կարելի է կատարել զրոյով: Գոյություն ունի մի քանի տեսակի գործողություններ:

• Լրացում;
• Բազմապատկում;
• հանում;
• Բաժանում (զրո ըստ թվի);
• Էքսպոենտացիա.

Կարևոր.Եթե ​​գումարման ժամանակ որևէ թվի ավելացնեք զրո, ապա այս թիվը կմնա նույնը և չի փոխի իր թվային արժեքը։ Նույնը տեղի է ունենում, եթե ցանկացած թվից հանում եք զրո:

Բազմապատկելիս և բաժանելիս բաները մի փոքր տարբերվում են: Եթե ցանկացած թիվ բազմապատկել զրոյով, ապա արտադրանքը նույնպես կդառնա զրո։

Դիտարկենք օրինակ.

Որպես հավելում գրենք սա.

Ընդհանուր առմամբ հինգ զրո կա, այնպես որ ստացվում է

Փորձենք բազմապատկել մեկը զրոյով. Արդյունքը նույնպես զրո կլինի։

Զրոն կարելի է բաժանել նաև ցանկացած այլ թվի, որը հավասար չէ դրան։ Այս դեպքում արդյունքը կլինի , որի արժեքը նույնպես կլինի զրո։ Նույն կանոնը վերաբերում է բացասական թվերին։ Եթե ​​զրոն բաժանվի բացասական թիվ, ապա այն կլինի զրո։

Կարող եք նաև կառուցել ցանկացած թիվ զրոյական աստիճանի. Այս դեպքում արդյունքը կլինի 1: Կարևոր է հիշել, որ «զրո զրոյի ուժին» արտահայտությունը բացարձակապես անիմաստ է: Եթե ​​դուք փորձում եք զրո բարձրացնել ցանկացած հզորության, դուք ստանում եք զրո: Օրինակ:

Մենք օգտագործում ենք բազմապատկման կանոնը և ստանում ենք 0:

Այսպիսով, հնարավո՞ր է բաժանել զրոյի:

Այսպիսով, այստեղ մենք գալիս ենք հիմնական հարցին. Հնարավո՞ր է բաժանել զրոյի:ընդհանրապես? Իսկ ինչո՞ւ չենք կարող թիվը բաժանել զրոյի՝ հաշվի առնելով, որ զրոյով մնացած բոլոր գործողությունները կան և կիրառվում են։ Այս հարցին պատասխանելու համար անհրաժեշտ է դիմել բարձրագույն մաթեմատիկային։

Սկսենք հասկացության սահմանումից՝ ի՞նչ է զրոյականը։ Դպրոցի ուսուցիչներն ասում են, որ զրոն ոչինչ է։ Դատարկություն. Այսինքն, երբ ասում ես, որ ունես 0 բռնակ, նշանակում է ընդհանրապես բռնակներ չունես։

Բարձրագույն մաթեմատիկայում «զրո» հասկացությունն ավելի լայն է: Դա ամենևին էլ դատարկություն չի նշանակում։ Այստեղ զրոն կոչվում է անորոշություն, քանի որ եթե մենք մի փոքր ուսումնասիրենք, կստացվի, որ երբ զրոն բաժանում ենք զրոյի, կարող ենք վերջ տալ ցանկացած այլ թվի, որը կարող է անպայման զրո լինել:

Գիտե՞ք, որ դրանք պարզ են թվաբանական գործողություններոր դուք սովորել եք դպրոցում այդքան էլ հավասար չե՞ք միմյանց: Ամենատարրական գործողություններն են գումարում և բազմապատկում.

Մաթեմատիկոսների համար «» և «հանում» հասկացությունները գոյություն չունեն: Ենթադրենք, եթե հինգից հանեք երեքը, կմնաք երկուսով: Ահա թե ինչ տեսք ունի հանումը. Այնուամենայնիվ, մաթեմատիկոսները դա կգրեն այսպես.

Այսպիսով, պարզվում է, որ անհայտ տարբերությունը որոշակի թիվ է, որը պետք է գումարել 3-ին, որպեսզի ստանանք 5։ Այսինքն՝ պետք չէ որևէ բան հանել, պարզապես պետք է գտնել համապատասխան թիվը։ Այս կանոնը վերաբերում է ավելացմանը:

Գործերը մի փոքր այլ են բազմապատկման և բաժանման կանոնները.Հայտնի է, որ զրոյով բազմապատկելը հանգեցնում է զրոյական արդյունքի։ Օրինակ, եթե 3:0=x, ապա եթե դուք հակադարձում եք մուտքագրումը, կստանաք 3*x=0: Իսկ այն թիվը, որը բազմապատկվել է 0-ով, արդյունքի մեջ զրո կտա: Ստացվում է, որ չկա այնպիսի թիվ, որը զրոյից բացի որևէ այլ արժեք կտա զրոյով արտադրյալում։ Սա նշանակում է, որ զրոյի բաժանումն անիմաստ է, այսինքն՝ համապատասխանում է մեր կանոնին։

Բայց ի՞նչ կպատահի, եթե փորձես զրոն ինքն իրեն բաժանել։ Վերցնենք x-ը որպես ինչ-որ բան անորոշ թիվ. Ստացված հավասարումը 0*x=0 է։ Դա կարելի է լուծել։

Եթե ​​x-ի փոխարեն փորձենք վերցնել զրո, ապա կստանանք 0:0=0: Տրամաբանական կթվա՞: Բայց եթե x-ի փոխարեն փորձենք վերցնել ցանկացած այլ թիվ, օրինակ՝ 1, ապա կհայտնվենք 0:0=1: Նույն իրավիճակը կլինի, եթե վերցնենք ցանկացած այլ թիվ և միացրեք այն հավասարման մեջ.

Այս դեպքում ստացվում է, որ որպես գործոն կարող ենք վերցնել ցանկացած այլ թիվ։ Արդյունքը կլինի անսահման թվով տարբեր թվեր: Երբեմն բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ 0-ի բաժանումը դեռ իմաստ ունի, բայց հետո սովորաբար որոշակի պայման է հայտնվում, որի շնորհիվ մենք դեռ կարող ենք ընտրել մեկ հարմար թիվ: Այս գործողությունը կոչվում է «անորոշության բացահայտում»: Սովորական թվաբանության մեջ զրոյի բաժանումը կրկին կկորցնի իր նշանակությունը, քանի որ մենք չենք կարողանա բազմությունից ընտրել մեկ թիվ։

Կարևոր.Դուք չեք կարող զրոն բաժանել զրոյի:

Զրո և անսահմանություն

Անսահմանությունը շատ հաճախ կարելի է գտնել բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ: Քանի որ դպրոցականների համար պարզապես կարևոր չէ իմանալ, որ կան նաև մաթեմատիկական գործողություններ անսահմանության հետ, ուսուցիչները չեն կարող պատշաճ կերպով բացատրել երեխաներին, թե ինչու հնարավոր չէ բաժանել զրոյի:

Ուսանողները սկսում են սովորել հիմնական մաթեմատիկական գաղտնիքները միայն ինստիտուտի առաջին կուրսից: Բարձրագույն մաթեմատիկաապահովում է խնդիրների մեծ շարք, որոնք լուծում չունեն: Ամենահայտնի խնդիրները անսահմանության հետ կապված խնդիրներն են: Դրանք կարելի է լուծել՝ օգտագործելով մաթեմատիկական վերլուծություն.

Կարող է կիրառվել նաև անսահմանության վրա տարրական մաթեմատիկական գործողություններ.գումարում, բազմապատկում թվով. Սովորաբար նրանք օգտագործում են նաև հանում և բաժանում, բայց ի վերջո նրանք դեռ հանգում են երկու պարզ գործողության։

Բայց ինչ կլինի եթե փորձես:

• Անսահմանությունը բազմապատկած զրոյով: Տեսականորեն, եթե փորձենք ցանկացած թիվ բազմապատկել զրոյով, կստացվի զրո։ Բայց անսահմանությունը թվերի անորոշ բազմություն է։ Քանի որ մենք չենք կարող ընտրել մեկ թիվ այս բազմությունից, ∞*0 արտահայտությունը լուծում չունի և բացարձակապես անիմաստ է։
• Զրո բաժանված անսահմանության վրա: Այստեղ տեղի է ունենում նույն պատմությունը, ինչ վերևում։ Մենք չենք կարող ընտրել մեկ թիվ, ինչը նշանակում է, որ մենք չգիտենք, թե ինչի վրա բաժանենք: Արտահայտությունը իմաստ չունի.

Կարևոր.Անսահմանությունը մի փոքր տարբերվում է անորոշությունից: Անսահմանությունը անորոշության տեսակներից մեկն է։

Հիմա փորձենք անսահմանությունը բաժանել զրոյի: Թվում է, թե պետք է անորոշություն լինի։ Բայց եթե փորձենք բաժանումը փոխարինել բազմապատկմամբ, շատ հստակ պատասխան ենք ստանում։

Օրինակ՝ ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞:

Ստացվում է այսպես մաթեմատիկական պարադոքս.

Պատասխանը, թե ինչու չի կարելի բաժանել զրոյի

Մտածողության փորձ՝ փորձելով բաժանել զրոյի

Եզրակացություն

Այսպիսով, այժմ մենք գիտենք, որ զրոյին ենթարկվում են գրեթե բոլոր գործողությունները, որոնք կատարվում են, բացառությամբ մեկ եզակի: Չես կարող զրոյի բաժանել միայն այն պատճառով, որ արդյունքը անորոշություն է: Սովորեցինք նաև զրոյով և անսահմանությամբ գործողություններ կատարել։ Նման գործողությունների արդյունքը կլինի անորոշությունը։

Դասարան: 3

Ներկայացում դասի համար

Հետ առաջ

Ուշադրություն. Սլայդների նախադիտումները միայն տեղեկատվական նպատակներով են և կարող են չներկայացնել շնորհանդեսի բոլոր հատկանիշները: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք այս աշխատանքով, խնդրում ենք ներբեռնել ամբողջական տարբերակը:

Թիրախ:

1. Ներկայացրե՛ք 0-ով և 1-ով բազմապատկելու հատուկ դեպքեր:
2. Ամրացրե՛ք բազմապատկման և փոխադրման իմաստը բազմապատկման հատկություն, կիրառել հաշվողական հմտություններ։
3. Զարգացնել ուշադրությունը, հիշողությունը, մտավոր գործողությունները, խոսքը, ստեղծագործականությունը, հետաքրքրությունը մաթեմատիկայի նկատմամբ:

Սարքավորումներ:Սլայդի ներկայացում. Հավելված 1:

Դասերի ժամանակ

1. Կազմակերպչական պահ.

Այսօր մեզ համար անսովոր օր է։ Դասին ներկա են հյուրեր: Ուրախացրու ինձ, քո ընկերներին և հյուրերին քո հաջողություններով: Բացեք ձեր նոթատետրերը, գրեք համարը, մեծ աշխատանք։ Լուսանցքում նշեք ձեր տրամադրությունը դասի սկզբում։ Սլայդ 2.

Ամբողջ դասարանը բանավոր կրկնում է քարտերի բազմապատկման աղյուսակը՝ բարձրաձայն ասելով: (երեխաները ծափերով նշում են սխալ պատասխանները):

Ֆիզկուլտուրայի դաս («Ուղեղի մարմնամարզություն», «Մտածողության գլխարկ», շնչառություն):

2. Ուսումնական առաջադրանքի հայտարարություն.

2.1. Առաջադրանքներ ուշադրության զարգացման համար.

Գրատախտակի և սեղանի վրա երեխաները ունեն թվերով երկգույն նկար.

– Ի՞նչն է հետաքրքիր գրված թվերի մեջ: (Գրե՛ք տարբեր գույներով. բոլոր «կարմիր» թվերը զույգ են, իսկ «կապույտ» թվերը՝ կենտ):
- Ո՞ր թիվն է կենտ: (10-ը կլոր է, իսկ մնացածը` ոչ, 10-ը երկնիշ է, իսկ մնացածը` միանիշ, 5-ը կրկնվում է երկու անգամ, իսկ մնացածը` մեկ-մեկ):
– Կփակեմ 10 թիվը: Մնացած թվերի մեջ կա՞ հավելյալ: (3 – մինչև 10-ը նա զույգ չունի, բայց մնացածն ունեն):
– Գտե՛ք բոլոր «կարմիր» թվերի գումարը և գրե՛ք այն կարմիր քառակուսու վրա: (30.)
– Գտե՛ք բոլոր «կապույտ» թվերի գումարը և գրե՛ք այն կապույտ քառակուսու վրա: (23.)
- 30-ը 23-ից ինչքա՞ն ավելի է: (7-ին)
– Որքա՞ն է 23-ը 30-ից պակաս: (Նաև 7-ին)
– Ի՞նչ գործողություն եք օգտագործել որոնելու համար: (Հանում.) Սլայդ 3.

2.2. Հիշողության և խոսքի զարգացման առաջադրանքներ. Գիտելիքների թարմացում.

ա) – Կրկնեք ըստ հերթականության այն բառերը, որոնք ես կանվանեմ՝ ավելացնել, գումարել, գումարել, մինուենդ, ենթակետ, տարբերություն: (Երեխաները փորձում են վերարտադրել բառերի հերթականությունը):
– Գործողությունների ո՞ր բաղադրիչներն են անվանվել: (Գումարում և հանում):
-Ի՞նչ ակցիային եք դեռ ծանոթ: (Բազմապատկում, բաժանում):
– Անվանե՛ք բազմապատկման բաղադրիչները: (Բազմապատկիչ, բազմապատկիչ, արտադրյալ):
-Ի՞նչ է նշանակում առաջին գործոնը։ (Գումարի մեջ հավասար թվեր):
– Ի՞նչ է նշանակում երկրորդ գործոնը։ (Նման տերմինների թիվը):

Գրի՛ր բազմապատկման սահմանումը:

ա + ա+… + ա= ան

բ) – Նայեք գրառումներին: Ի՞նչ առաջադրանք եք կատարելու:

12 + 12 + 12 + 12 + 12
33 + 33 + 33 + 33
ա + ա + ա

(Գումարը փոխարինեք արտադրանքով):

Ի՞նչ է լինելու։ (Առաջին արտահայտությունն ունի 5 անդամ, որոնցից յուրաքանչյուրը հավասար է 12-ի, ուստի այն հավասար է 12 5-ի։ Նմանապես՝ 33 4 և 3)։

գ) – Անվանեք հակադարձ գործողությունը: (Արդյունքը փոխարինեք գումարով):

– Արտադրյալը փոխարինի՛ր արտահայտությունների գումարով. 99 2. 8 4. բ 3.(99 + 99, 8 + 8 + 8 + 8, բ + բ + բ). Սլայդ 4.

դ) Հավասարությունները գրատախտակին գրված են.

81 + 81 = 81 – 2
21 3 = 21 + 22 + 23
44 + 44 + 44 + 44 = 44 + 4
17 + 17 – 17 + 17 – 17 = 17 5

Նկարները տեղադրվում են յուրաքանչյուր հավասարման կողքին:

– Անտառային դպրոցի կենդանիները առաջադրանք էին կատարում։ Ճի՞շտ են արել։

Երեխաները պարզում են, որ փիղը, վագրը, նապաստակը և սկյուռը սխալվել են, և բացատրում են, թե որոնք են իրենց սխալները: Սլայդ 5.

ե) Համեմատե՛ք արտահայտությունները.

8 5... 5 8
5 6... 3 6
34 9… 31 2
ա 3... ա 2 + ա

(8 5 = 5 8, քանի որ գումարը չի փոխվում տերմինների վերադասավորումից.
5 6 > 3 6, քանի որ ձախ և աջ կողմում կա 6 տերմին, իսկ ձախում ավելի շատ տերմիններ կան.
34 9 > 31 2. քանի որ ձախ կողմում ավելի շատ տերմիններ կան, իսկ տերմիններն իրենք ավելի մեծ են.
a 3 = a 2 + a, քանի որ ձախ և աջ կողմում կա 3 անդամ, որը հավասար է a-ին:)

– Բազմապատկման ո՞ր հատկությունն է օգտագործվել առաջին օրինակում: (Կոմուտատիվ.) Սլայդ 6.

2.3. Խնդրի ձևակերպում. Նպատակի կարգավորում.

Ճի՞շտ են արդյոք հավասարությունները: Ինչո՞ւ։ (Ճիշտ է, քանի որ գումարը 5 + 5 + 5 = 15 է: Այնուհետև գումարը դառնում է ևս մեկ անդամ 5, իսկ գումարը մեծանում է 5-ով):

5 3 = 15
5 4 = 20
5 5 = 25
5 6 = 30

– Շարունակեք այս օրինակը դեպի աջ: (5 7 = 35; 5 8 = 40...)
- Շարունակեք այն հիմա դեպի ձախ: (5 2 = 10; 5 1=5; 5 0 = 0.)
- Ի՞նչ է նշանակում 5 1 արտահայտությունը: 50? (? Խնդիր!)

Քննարկման ամփոփում.

Այնուամենայնիվ, 5 1 և 5 0 արտահայտությունները իմաստ չունեն: Մենք կարող ենք համաձայնել այս հավասարությունները ճշմարիտ համարել: Բայց դա անելու համար մենք պետք է ստուգենք՝ կխախտե՞նք արդյոք բազմապատկման կոմուտատիվ հատկությունը։

Այսպիսով, մեր դասի նպատակն է որոշել, թե արդյոք մենք կարող ենք հաշվել հավասարություններ 5 1 = 5 և 5 0 = 0 ճի՞շտ է:

- Դասի խնդիր! Սլայդ 7.

3. Երեխաների կողմից նոր գիտելիքների «բացահայտում».

ա) – Հետևեք քայլերին՝ 1 7, 1 4, 1 5:

Երեխաները նոթատետրում և գրատախտակում մեկնաբանություններով օրինակներ են լուծում.

1 7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
1 4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
1 5 = 1 + 1 + 1 + 1 +1 = 5

– Եզրակացություն արեք՝ 1 ա – ? (1 ա = ա.)Քարտը ցուցադրվում է՝ 1 a = a

բ) – Արդյո՞ք իմաստ ունեն 7 1, 4 1, 5 1 արտահայտությունները: Ինչո՞ւ։ (Ոչ, քանի որ գումարը չի կարող ունենալ մեկ ժամկետ):

– Ինչի՞ պետք է հավասար լինեն, որ բազմապատկման կոմուտատիվ հատկությունը չխախտվի: (7 1-ը նույնպես պետք է հավասար լինի 7-ի, ուստի 7 1 = 7):

4 1 = 4 համարվում են նմանապես: 5 1 = 5.

– Եզրակացե՛ք՝ a 1 = ? (a 1 = ա.)

Քարտը ցուցադրվում է՝ a 1 = a. Առաջին քարտը դրվում է երկրորդի վրա՝ a 1 = 1 a = a:

– Մեր եզրակացությունը համընկնում է թվային տողում ստացածի հետ: (Այո):
– Թարգմանեք այս հավասարությունը ռուսերեն: (Երբ թիվը բազմապատկում եք 1-ով կամ 1-ով, ստանում եք նույն թիվը):
-Լավ արեցիր: Այսպիսով, մենք կենթադրենք՝ a 1 = 1 a = a. Սլայդ 8.

2) 0-ով բազմապատկելու դեպքը ուսումնասիրվում է նմանատիպ եղանակով.Եզրակացություն.

– Թիվը 0-ով կամ 0-ով բազմապատկելիս ստացվում է զրո՝ a 0 = 0 a = 0: Սլայդ 9.
– Համեմատե՛ք երկու հավասարությունները. ինչի՞ մասին են հիշեցնում 0-ն ու 1-ը:

Երեխաներն արտահայտում են իրենց տարբերակները. Դուք կարող եք նրանց ուշադրությունը հրավիրել պատկերների վրա.

1 – «հայելի», 0 – «սարսափելի գազան» կամ «անտեսանելի գլխարկ»:

Լավ արեցիր։ Այսպիսով, 1-ով բազմապատկելով՝ ստացվում է նույն թիվը (1 - «հայելի»), իսկ 0-ով բազմապատկելիս ստացվում է 0 ( 0 - «անտեսանելի գլխարկ»):

4. Ֆիզիկական դաստիարակություն (աչքերի համար՝ «շրջանակ», «վեր ու վար», ձեռքերի համար՝ «կողպեք», «բռունցք»):

5. Առաջնային համախմբում.

Գրատախտակին գրված օրինակներ.

23 1 =
1 89 =
0 925 =
364 1 =
156 0 =
0 1 =

Երեխաները դրանք լուծում են նոթատետրում և գրատախտակի վրա՝ բարձրաձայն արտասանելով ստացված կանոնները, օրինակ.

3 1 = 3, քանի որ երբ թիվը բազմապատկվում է 1-ով, ստացվում է նույն թիվը (1-ը «հայելի» է) և այլն։

ա) 145 x = 145; բ) x 437 = 437:

– 145-ը անհայտ թվով բազմապատկելիս ստացվեց 145։ Այսպիսով, նրանք բազմապատկեցին 1-ով։ x = 1. և այլն:

ա) 8 x = 0; բ) x 1= 0.

– 8-ը անհայտ թվով բազմապատկելիս ստացվում էր 0: Այսպիսով, բազմապատկվում է 0-ով x = 0-ով և այլն:

6. Անկախ աշխատանքդասարանում թեստով. Սլայդ 10.

Երեխաներն ինքնուրույն լուծում են գրավոր օրինակներ: Այնուհետեւ ըստ պատրաստի

Հետևելով օրինակին՝ նրանք ստուգում են իրենց պատասխանները՝ դրանք բարձրաձայն արտասանելով, պլյուսով նշում են ճիշտ լուծված օրինակները և ուղղում թույլ տրված սխալները։ Նրանք, ովքեր սխալվել են, ստանում են նմանատիպ առաջադրանք քարտի վրա և աշխատում են առանձին, մինչ դասարանը լուծում է կրկնության խնդիրներ:

7. Կրկնվող առաջադրանքներ. (Աշխատանք զույգերով). Սլայդ 11.

ա) – Ուզու՞մ եք իմանալ, թե ինչ է ձեզ սպասվում ապագայում: Ձայնագրությունը վերծանելով կիմանաք.

Գ – 49:7 Օ – 9 8 n – 9 9 Վ – 45:5 րդ – 6 6 դ – 7 8 ս – 24:3

-Ուրեմն ի՞նչ է մեզ սպասում: (Նոր Տարի.)

բ) - «Ես մտածեցի մի թիվ, դրանից հանեցի 7, գումարեցի 15, հետո գումարեցի 4 և ստացա 45: Ի՞նչ թիվ մտածեցի»:

Հակադարձ գործողությունները պետք է կատարվեն հակառակ հերթականությամբ՝ 45 – 4 – 15 + 7 = 31:

8. Դասի ամփոփում.Սլայդ 12.

Ի՞նչ նոր կանոններ եք պահպանել:
Ի՞նչն է ձեզ դուր եկել: Ի՞նչն էր դժվար:
Կարո՞ղ է այս գիտելիքը կիրառել կյանքում:
Լուսանցքներում կարող եք դասի վերջում արտահայտել ձեր տրամադրությունը։
Լրացրեք ինքնագնահատման աղյուսակը.

Ես ուզում եմ ավելին իմանալ
Լավ, բայց ես կարող եմ ավելի լավ անել
Ես դեռ դժվարություններ եմ ապրում

Շնորհակալություն ձեր աշխատանքի համար, դուք լավ աշխատանք եք կատարել:

9. Տնային աշխատանք

էջ 72–73 Կանոն, թիվ 6։

Ձեր կարծիքով, այս գումարներից ո՞րը կարող է փոխարինվել ապրանքով:

Եկեք այսպես մտածենք. Առաջին գումարում տերմինները նույնն են, հինգ թիվը կրկնվում է չորս անգամ։ Սա նշանակում է, որ մենք կարող ենք փոխարինել գումարումը բազմապատկմամբ: Առաջին գործոնը ցույց է տալիս, թե որ տերմինն է կրկնվում, երկրորդը ցույց է տալիս, թե քանի անգամ է կրկնվում այս տերմինը։ Գումարը փոխարինում ենք արտադրանքով։

Եկեք գրենք լուծումը.

Երկրորդ գումարում պայմանները տարբեր են, ուստի այն չի կարող փոխարինվել ապրանքով: Ավելացնում ենք պայմանները և ստանում պատասխանը 17։

Եկեք գրենք լուծումը.

Արդյո՞ք արտադրանքը կարող է փոխարինվել նույնական տերմինների գումարով:

Եկեք նայենք աշխատանքներին.

Գործողությունները կատարենք ու եզրակացություն անենք.

1*2=1+1=2

1*4=1+1+1+1=4

1*5=1+1+1+1+1=5

Կարող ենք եզրակացնել. Միավորների թիվը միշտ հավասար է այն թվին, որով բազմապատկվում է միավորը:

Նշանակում է, Երբ թիվը մեկ թվով բազմապատկեք, ստացվում է նույն թիվը:

1 * ա = ա

Եկեք նայենք աշխատանքներին.

Այս ապրանքները չեն կարող փոխարինվել գումարով, քանի որ գումարը չի կարող ունենալ մեկ ժամկետ:

Երկրորդ սյունակի արտադրանքները առաջին սյունակի արտադրանքներից տարբերվում են միայն գործոնների հերթականությամբ:

Սա նշանակում է, որ բազմապատկման կոմուտատիվ հատկությունը չխախտելու համար դրանց արժեքները նույնպես պետք է համապատասխանաբար հավասար լինեն առաջին գործոնին։

Եզրակացնենք. Երբ ցանկացած թիվ բազմապատկում եք մեկ թվով, ստանում եք այն թիվը, որը բազմապատկվել է:

Այս եզրակացությունը գրենք որպես հավասարություն.

ա * 1= ա

Օրինակներ լուծել.

Հուշում. Մի մոռացեք այն եզրակացությունների մասին, որոնք մենք արել ենք դասում:

Փորձեք ինքներդ:

Այժմ դիտարկենք այն ապրանքները, որտեղ գործոններից մեկը զրո է:

Դիտարկենք այն ապրանքները, որտեղ առաջին գործակիցը զրո է:

Արտադրանքը փոխարինենք նույնական տերմինների գումարով։ Գործողությունները կատարենք ու եզրակացություն անենք.

0*3=0+0+0=0

0*6=0+0+0+0+0+0=0

0*4=0+0+0+0=0

Զրո անդամների թիվը միշտ հավասար է այն թվին, որով բազմապատկվում է զրոն։

Նշանակում է, Երբ զրոն բազմապատկում եք թվով, ստանում եք զրո:

Այս եզրակացությունը գրենք որպես հավասարություն.

0 * a = 0

Դիտարկենք այն ապրանքները, որտեղ երկրորդ գործոնը զրո է:

Այս ապրանքները չեն կարող փոխարինվել գումարով, քանի որ գումարը չի կարող ունենալ զրո անդամ:

Համեմատենք ստեղծագործությունները և դրանց իմաստները։

0*4=0

Երկրորդ սյունակի արտադրյալները առաջին սյունակի արտադրյալներից տարբերվում են միայն գործակիցների հերթականությամբ։

Սա նշանակում է, որ բազմապատկման կոմուտատիվ հատկությունը չխախտելու համար դրանց արժեքները նույնպես պետք է հավասար լինեն զրոյի:

Եզրակացնենք. Երբ որևէ թիվ բազմապատկվում է զրոյով, ստացվում է զրո:

Այս եզրակացությունը գրենք որպես հավասարություն.

a * 0 = 0

Բայց դուք չեք կարող բաժանել զրոյի:

Օրինակներ լուծել.

Հուշում. Մի մոռացեք այն եզրակացությունների մասին, որոնք արել եք դասում: Երկրորդ սյունակի արժեքները հաշվարկելիս զգույշ եղեք գործողությունների հերթականությունը որոշելիս:

Փորձեք ինքներդ:

Այսօր դասարանում մենք հանդիպեցինք հատուկ դեպքեր 0-ով և 1-ով բազմապատկելը, 0-ով և 1-ով բազմապատկելը:

Մատենագիտություն

1. Մ.Ի. Մորո, Մ.Ա. Բանտովա և ուրիշներ Մաթեմատիկա՝ Դասագիրք. 3-րդ դասարան՝ 2 մասից, մաս 1. - Մ.՝ «Լուսավորություն», 2012 թ.
2. Մ.Ի. Մորո, Մ.Ա. Բանտովա և ուրիշներ Մաթեմատիկա՝ Դասագիրք. 3-րդ դասարան՝ 2 մասից, մաս 2. - Մ.՝ «Լուսավորություն», 2012 թ.
3. Մ.Ի. Մորո. Մաթեմատիկայի դասեր. Ուղեցույցներուսուցչի համար. 3-րդ դասարան. - Մ.: Կրթություն, 2012:
4. Կարգավորող փաստաթուղթ. Ուսուցման արդյունքների մոնիտորինգ և գնահատում. - Մ.: «Լուսավորություն», 2011 թ.
5. «Ռուսաստանի դպրոց». Ծրագրեր տարրական դպրոց. - Մ.: «Լուսավորություն», 2011 թ.
6. Ս.Ի. Վոլկովա. Մաթեմատիկա: Թեստային աշխատանք. 3-րդ դասարան. - Մ.: Կրթություն, 2012:
7. Վ.Ն. Ռուդնիցկայա. Թեստեր. - Մ.: «Քննություն», 2012 թ.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Տնային աշխատանք

1.Գտի՛ր արտահայտությունների իմաստները.

2. Գտի՛ր արտահայտությունների իմաստները:

3. Համեմատի՛ր արտահայտությունների իմաստները.

(56-54)*1 … (78-70)*1

4. Ձեր ընկերների համար դասի թեմայով հանձնարարություն ստեղծեք:

Եվգենի Շիրյաև, ուսուցիչ և Պոլիտեխնիկական թանգարանի մաթեմատիկայի լաբորատորիայի վարիչ, ասել է AiF.ru-ին զրոյի բաժանման մասին.

1. Հարցի իրավասությունը

Համաձայնեք, որ կանոնը հատկապես սադրիչ է դարձնում արգելքը։ Ինչպե՞ս դա չի կարելի անել: Ո՞վ է արգելել. Ինչ վերաբերում է մեր քաղաքացիական իրավունքներին:

Ոչ Ռուսաստանի Դաշնության Սահմանադրությունը, ոչ Քրեական օրենսգիրքը, ոչ էլ նույնիսկ ձեր դպրոցի կանոնադրությունը դեմ չեն մեզ հետաքրքրող ինտելեկտուալ գործողությանը։ Սա նշանակում է, որ արգելքը իրավական ուժ չունի, և ոչինչ չի խանգարում ձեզ փորձել ինչ-որ բան զրոյի բաժանել հենց այստեղ՝ AiF.ru-ի էջերում։ Օրինակ՝ հազար։

2. Եկեք բաժանենք այնպես, ինչպես սովորեցրել են

Հիշեք, երբ առաջին անգամ սովորեցիք, թե ինչպես բաժանել, առաջին օրինակները լուծվեցին՝ ստուգելով բազմապատկումը. Եթե ​​դա չէր համապատասխանում, նրանք չէին որոշում:

Օրինակ 1. 1000: 0 =...

Մի պահ մոռանանք արգելված կանոնի մասին ու մի քանի փորձ անենք պատասխանը գուշակելու։

Սխալները կկտրվեն չեկով։ Փորձեք հետևյալ տարբերակները՝ 100, 1, −23, 17, 0, 10,000: Նրանցից յուրաքանչյուրի համար ստուգումը կտա նույն արդյունքը.

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10000 0 = 0

Զրոն բազմապատկելով՝ ամեն ինչ վերածվում է ինքն իրեն և երբեք հազարի։ Եզրակացությունը հեշտ է ձևակերպել՝ ոչ մի թիվ թեստը չի անցնի։ Այսինքն՝ ոչ մի թիվ չի կարող լինել ոչ զրոյական թիվը զրոյի բաժանելու արդյունք։ Նման բաժանումն արգելված չէ, այլ պարզապես արդյունք չունի։

3. Նրբություն

Մենք գրեթե բաց թողեցինք արգելքը հերքելու մեկ հնարավորություն։ Այո, մենք ընդունում ենք, որ ոչ զրոյական թիվը չի կարող բաժանվել 0-ի: Բայց միգուցե 0-ն ինքը կարող է:

Օրինակ 2. 0: 0 = ...

Ի՞նչ առաջարկներ ունեք մասնավորի համար: 100? Խնդրում եմ՝ 100-ի գործակիցը բազմապատկված 0-ով հավասար է դիվիդենտի 0-ին:

Ավելի շատ տարբերակներ: 1? Տեղավորվում է նաև: Եվ −23, և 17, և վերջ։ Այս օրինակում թեստը դրական կլինի ցանկացած թվի համար: Եվ եթե անկեղծ լինենք, այս օրինակի լուծումը պետք է անվանել ոչ թե թիվ, այլ թվերի բազմություն։ Բոլորը։ Եվ երկար ժամանակ չի պահանջվում համաձայնել, որ Ալիսը ոչ թե Ալիսն է, այլ Մերի Էննը, և երկուսն էլ նապաստակի երազանք են:

4. Ինչ վերաբերում է բարձրագույն մաթեմատիկային:

Խնդիրը լուծված է, նրբությունները հաշվի են առնվել, կետերը դրվել են, ամեն ինչ պարզ է դարձել՝ զրոյի բաժանմամբ օրինակի պատասխանը չի կարող լինել մեկ թիվ։ Նման խնդիրների լուծումն անհույս ու անհնար է։ Ինչը նշանակում է․․․ հետաքրքիր։ Վերցրեք երկուսը:

Օրինակ 3. Պարզեք, թե ինչպես կարելի է 1000-ը բաժանել 0-ի:

Բայց ոչ մի կերպ: Բայց 1000-ը կարելի է հեշտությամբ բաժանել այլ թվերի։ Լավ, եկեք գոնե անենք այն, ինչ կարող ենք, նույնիսկ եթե փոխենք մեր առջեւ դրված խնդիրը։ Եվ հետո, տեսեք, մենք տարվում ենք, և պատասխանն ինքնին կհայտնվի։ Եկեք մեկ րոպե մոռանանք զրոյի մասին և բաժանենք հարյուրի.

Հարյուրը հեռու է զրոյից։ Եկեք մի քայլ անենք դրան՝ նվազեցնելով բաժանարարը.

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Դինամիկան ակնհայտ է՝ որքան բաժանարարը մոտ է զրոյին, այնքան մեծ է գործակիցը։ Միտումը կարելի է հետագայում դիտարկել՝ անցնելով կոտորակներին և շարունակելով կրճատել համարիչը.

Մնում է նշել, որ մենք կարող ենք զրոյին մոտենալ այնքան, որքան ցանկանում ենք՝ գործակիցը դարձնելով այնքան մեծ, որքան ցանկանում ենք:

Այս գործընթացում չկա զրո և չկա վերջին գործակից: Մենք ցույց տվեցինք շարժումը դեպի նրանց՝ թիվը փոխարինելով մեզ հետաքրքրող թվին համընկնող հաջորդականությամբ.

Սա ենթադրում է շահաբաժնի համանման փոխարինում.

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Իզուր չէ, որ սլաքները երկկողմանի են. որոշ հաջորդականություններ կարող են համընկնել թվերի: Այնուհետև մենք կարող ենք հաջորդականությունը կապել նրա թվային սահմանի հետ։

Դիտարկենք գործակիցների հաջորդականությունը.

Այն աճում է անսահմանափակ՝ չձգտելով որևէ թվի և գերազանցելով որևէ մեկին։ Մաթեմատիկոսները թվերին սիմվոլներ են ավելացնում ∞ կարողանալ նման հաջորդականության կողքին երկկողմանի սլաք դնել.

Սահմանափակում ունեցող հաջորդականությունների թվերի հետ համեմատությունը թույլ է տալիս մեզ լուծում առաջարկել երրորդ օրինակին.

Երբ տարրականորեն 1000-ին համընկնող հաջորդականությունը բաժանվում է հաջորդականության դրական թվեր 0-ին զուգակցելով, ստանում ենք ∞-ին համընկնող հաջորդականություն:

5. Եվ ահա երկու զրոյով երանգը

Ո՞րն է զրոյի զուգակցված դրական թվերի երկու հաջորդականությունը բաժանելու արդյունքը: Եթե ​​դրանք նույնն են, ապա միավորը նույնական է: Եթե ​​դիվիդենտային հաջորդականությունը ավելի արագ է զուգակցվում զրոյի, ապա քանորդում հաջորդականությունն ունի զրոյական սահման: Եվ երբ բաժանարարի տարրերը շատ ավելի արագ են նվազում, քան դիվիդենտի տարրերը, գործակիցի հաջորդականությունը մեծապես կաճի.

Անորոշ իրավիճակ. Եվ դա այն է, ինչ կոչվում է. տեսակի անորոշություն 0/0 . Երբ մաթեմատիկոսները տեսնում են հաջորդականություններ, որոնք համապատասխանում են նման անորոշությանը, նրանք չեն շտապում բաժանել երկու նույնական թվեր միմյանց վրա, այլ պարզում են, թե հաջորդականություններից որն է ավելի արագ հասնում զրոյի և ինչպես ճիշտ: Եվ յուրաքանչյուր օրինակ կունենա իր կոնկրետ պատասխանը:

6. Կյանքում

Օհմի օրենքը կապում է հոսանքի, լարման և դիմադրության միացումում: Հաճախ այս ձևով գրված է.

Եկեք թույլ տանք մեզ անտեսել կոկիկ ֆիզիկական ըմբռնումը և պաշտոնապես նայենք աջ կողմին որպես երկու թվերի գործակից: Պատկերացնենք, որ դպրոցի խնդիր ենք լուծում էլեկտրաէներգիայի վրա։ Վիճակը տալիս է լարումը վոլտով, իսկ դիմադրությունը՝ ohms-ով: Հարցն ակնհայտ է, լուծումը մեկ գործողության մեջ է.

Հիմա եկեք նայենք գերհաղորդականության սահմանմանը. սա որոշ մետաղների զրոյական էլեկտրական դիմադրություն ունենալու հատկությունն է:

Դե, եկեք լուծենք գերհաղորդիչ շղթայի խնդիրը: Պարզապես կարգավորեք այն R= 0 չի աշխատի, ֆիզիկան մի հետաքրքիր խնդիր է նետում, որի հետևում, ակնհայտորեն, կա գիտական ​​հայտնագործություն. Եվ ստացան այն մարդիկ, ովքեր այս իրավիճակում կարողացան զրոյի բաժանել Նոբելյան մրցանակ. Օգտակար է, որ կարողանաս շրջանցել ցանկացած արգելք:

Եթե ​​մենք կարողանանք հենվել թվաբանության այլ օրենքների վրա, ապա այս միակ փաստը կարելի է ապացուցել:

Ենթադրենք, որ կա x թիվ, որի համար x * 0 = x», իսկ x» -ը զրո չէ (պարզության համար մենք կենթադրենք, որ x» > 0)

Այնուհետև, մի կողմից, x * 0 = x», մյուս կողմից x * 0 = x * (1 - 1) = x - x

Ստացվում է, որ x - x = x», որտեղից x = x + x», այսինքն, x > x, որը չի կարող ճիշտ լինել:

Սա նշանակում է, որ մեր ենթադրությունը հանգեցնում է հակասության և չկա x թիվ, որի համար x * 0-ը հավասար չի լինի զրոյի:

ենթադրությունը չի կարող ճշմարիտ լինել, քանի որ դա պարզապես ենթադրություն է: ոչ ոք պարզ լեզվովչի կարող բացատրել կամ դժվարանում է: եթե 0 * x= 0, ապա 0 *x=(0+0)*x=0*x + 0*x և արդյունքում նրանք աջից ձախ կրճատեցին 0=0*x, սա նման է մաթեմատիկական ապացույցի: բայց այս զրոյով նման անհեթեթությունը ահավոր հակասական է ու իմ կարծիքով 0-ը ոչ թե թիվ պետք է լինի, այլ միայն վերացական հասկացություն! Որպեսզի այն փաստը, որ առարկաների ֆիզիկական ներկայությունը, երբ հրաշքով ոչնչով բազմապատկվում է, ոչինչ չի ծնում, ուղեղում վառվող սենսացիա չառաջացնի:

P/s, ինձ համար, ոչ մաթեմատիկոսի, այլ հասարակ մահկանացուի համար լիովին պարզ չէ, թե որտեղից եք դուք միավորներ ստացել ձեր հավասարում-պատճառաբանության մեջ (ինչպես, օրինակ, 0-ը նույնն է, ինչ 1-1-ը):

Ես խելագարվում եմ պատճառաբանելով, թե ինչ-որ X կա, և թող դա լինի ցանկացած թիվ

հավասարման մեջ կա 0, և երբ բազմապատկվում ենք դրանով, մենք զրոյացնում ենք բոլոր թվային արժեքները

հետևաբար X-ն է թվային արժեք, իսկ 0-ը X թվի վրա կատարված գործողությունների քանակն է (իսկ գործողություններն իրենց հերթին ցուցադրվում են նաև թվային ձևաչափով)

ՕՐԻՆԱԿ խնձորի վրա)):

Կոլյան ուներ 5 խնձոր, նա վերցրեց այս խնձորները և գնաց շուկա՝ իր կապիտալը մեծացնելու, բայց օրը անձրևոտ ստացվեց, առևտուրը չստացվեց, և հաշմանդամը տուն վերադարձավ առանց որևէ բանի։ Մաթեմատիկական լեզվով Կոլյայի և խնձորների մասին պատմությունն այսպիսի տեսք ունի

5 խնձոր * 0 վաճառք = ստացված 0 շահույթ 5*0=0

Շուկա գնալուց առաջ Կոլյան գնաց ծառից 5 խնձոր հավաքեց, իսկ վաղը գնաց քաղելու, բայց ինչ-ինչ պատճառներով այնտեղ չհասավ...

Խնձոր 5, ծառ 1, 5*1=5 (1-ին օրը Կոլյան հավաքեց 5 խնձոր)

Խնձոր 0, ծառ 1, 0*1=0 (իրականում Կոլյայի երկրորդ օրվա աշխատանքի արդյունքը)

Մաթեմատիկայի պատուհասը «Ենթադրենք» բառն է.

Պատասխանել

Իսկ եթե այլ կերպ, 5 խնձոր 0 խնձորի դիմաց = քանի խնձոր, ըստ մաթեմատիկայի այն պետք է լինի զրո, ուրեմն այստեղ է.

Իրականում, ցանկացած թվեր իմաստ ունեն միայն այն դեպքում, երբ դրանք կապված են նյութական առարկաների հետ, օրինակ՝ 1 կով, 2 կով կամ ինչ այլ բան, և հայտնվեց հաշվարկ՝ առարկաները հաշվելու համար և ոչ միայն այդպես, և կա պարադոքս, եթե ես դա անեմ։ «Կով չունես, իսկ հարևանը կով ունի, և մենք իմ բացակայությունը բազմապատկում ենք հարևանի կովով, այնուհետև նրա կովը պետք է անհետանա, բազմապատկումը սովորաբար հորինվել է մեծ քանակությամբ միանման առարկաների ավելացումը հեշտացնելու համար, երբ դրանք դժվար է հաշվել։ օգտագործելով գումարման մեթոդը, օրինակ, փողը ծալվում էր 10 մետաղադրամից բաղկացած սյունակների մեջ, այնուհետև սյունակների թիվը բազմապատկվում էր սյունակի մետաղադրամների քանակով, ինչը շատ ավելի հեշտ է, քան ավելացնելը: բայց եթե սյունակների թիվը բազմապատկվի զրոյական մետաղադրամով, ապա բնականաբար արդյունքը կլինի զրո, բայց եթե կան սյուներ և մետաղադրամներ, ապա ինչպես էլ դրանք բազմապատկես զրոյով, մետաղադրամները ոչ մի տեղ չեն գնա, քանի որ դրանք կան, և նույնիսկ եթե դա մեկ մետաղադրամ է, ապա սյունը բաղկացած է մեկ մետաղադրամից, ուստի դրա շուրջը շրջանցել չի լինում, բայց զրոյով բազմապատկելիս զրոն ստացվում է միայն որոշակի պայմաններում, այսինքն՝ նյութական բաղադրիչի բացակայության դեպքում, և եթե. Ես ունեմ 2 գուլպաներ, ինչքան էլ դրանք զրոյով բազմապատկես, դրանք ոչ մի տեղ չեն գնա: