Զուգահեռագիծը խնդիրների մեջ. Ինչպես գտնել զուգահեռագծի, եռանկյունի, տրապիզոիդ տարածքը Զուգահեռագծի մակերեսը կենտրոնական գծի միջով

Ինչպես էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ կետը և ուղիղ գիծը հարթությունների տեսության հիմնական տարրերն են, այնպես էլ զուգահեռագիծը ուռուցիկ քառանկյունների առանցքային պատկերներից է։ Դրանից, ինչպես գնդակից թելերը, հոսում են «ուղղանկյուն», «քառակուսի», «ռոմբ» և այլ երկրաչափական մեծություններ հասկացությունները։

հետ շփման մեջ

Զուգահեռագծի սահմանում

ուռուցիկ քառանկյուն,բաղկացած հատվածներից, որոնցից յուրաքանչյուր զույգ զուգահեռ է, երկրաչափության մեջ հայտնի է որպես զուգահեռագիծ։

Ինչ տեսք ունի դասական զուգահեռագիծը, պատկերված է ABCD քառանկյունով: Կողմերը կոչվում են հիմքեր (AB, BC, CD և AD), ցանկացած գագաթից այս գագաթին հակառակ կողմին գծված ուղղահայացը կոչվում է բարձրություն (BE և BF), AC և BD ուղիղները կոչվում են անկյունագծեր:

Ուշադրություն.Քառակուսին, ռոմբը և ուղղանկյունը զուգահեռագծի հատուկ դեպքեր են:

Կողմերն ու անկյունները՝ հարաբերությունների առանձնահատկությունները

Հիմնական հատկությունները, մեծ հաշվով, կանխորոշված ​​է հենց նշանակմամբ, դրանք ապացուցված են թեորեմով։ Այս բնութագրերը հետևյալն են.

1. Հակառակ կողմերը զույգերով նույնական են։
2. Իրար հակառակ անկյունները զույգերով հավասար են։

Ապացույց. Դիտարկենք ∆ABC և ∆ADC, որոնք ստացվում են ABCD քառանկյունը AC ուղիղ գծի հետ բաժանելով: ∠BCA=∠CAD և ∠BAC=∠ACD, քանի որ AC-ը նրանց համար սովորական է (համապատասխանաբար BC||AD և AB||CD-ի ուղղահայաց անկյունները): Այստեղից բխում է՝ ∆ABC = ∆ADC (եռանկյունների հավասարության երկրորդ նշանը)։

∆ABC-ում AB և BC հատվածները զույգերով համապատասխանում են ∆ADC-ի CD և AD տողերին, ինչը նշանակում է, որ դրանք նույնական են՝ AB = CD, BC = AD: Այսպիսով, ∠B-ն համապատասխանում է ∠D-ին և դրանք հավասար են: Քանի որ ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, որոնք նույնպես զույգերով նույնական են, ապա ∠A = ∠C: Սեփականությունն ապացուցված է։

Ֆիգուրի անկյունագծերի բնութագրերը

Հիմնական առանձնահատկությունըզուգահեռագծի այս ուղիղներից. հատման կետը դրանք կիսում է կիսով չափ:

Ապացույց. Այսինքն՝ լինի ABCD նկարի AC և BD անկյունագծերի հատման կետը: Նրանք կազմում են երկու համաչափ եռանկյունիներ՝ ∆ABE և ∆CDE:

AB=CD, քանի որ դրանք հակադիր են: Ըստ տողերի և սեկանտի՝ ∠ABE = ∠CDE և ∠BAE = ∠DCE:

Հավասարության երկրորդ չափանիշով՝ ∆ABE = ∆CDE: Սա նշանակում է, որ ∆ABE և ∆CDE տարրերը՝ AE = CE, BE = DE և միևնույն ժամանակ AC և BD-ի համամասնական մասեր են։ Սեփականությունն ապացուցված է։

Հարակից անկյունների առանձնահատկությունները

Հարակից կողմերն ունեն 180°-ի հավասար անկյունների գումար, քանի որ դրանք ընկած են զուգահեռ գծերի և լայնակի միևնույն կողմում: ABCD քառանկյունի համար.

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Բիսեկտորի հատկությունները.

1. , իջեցված մի կողմից, ուղղահայաց են;
2. հակառակ գագաթներն ունեն զուգահեռ կիսիչներ;
3. կիսաչափ գծելով ստացված եռանկյունը հավասարաչափ կլինի:

Զուգահեռագծի բնորոշ հատկանիշների որոշումը թեորեմի միջոցով

Այս գործչի բնութագրերը բխում են նրա հիմնական թեորեմից, որտեղ ասվում է հետևյալը. քառանկյունը համարվում է զուգահեռագիծայն դեպքում, երբ նրա անկյունագծերը հատվում են, և այս կետը դրանք բաժանում է հավասար հատվածների:

Ապացույց. թող ABCD քառանկյան AC և BD ուղիղները հատվեն, այսինքն. Քանի որ ∠AED = ∠BEC, և AE+CE=AC BE+DE=BD, ապա ∆AED = ∆BEC (եռանկյունների հավասարության առաջին չափանիշով): Այսինքն՝ ∠EAD = ∠ԵԿԲ: Դրանք նաև AC հատվածի ներքին խաչաձև անկյուններն են AD և BC գծերի համար: Այսպիսով, զուգահեռության սահմանմամբ - AD || Ք.ա. Ստացված է նաև BC և CD տողերի նմանատիպ հատկությունը։ Թեորեմն ապացուցված է.

Նկարի մակերեսի հաշվարկ

Այս գործչի տարածքը հայտնաբերվել է մի քանի մեթոդներովամենապարզներից մեկը՝ բազմապատկելով այն բարձրությունը և հիմքը, որին այն գծված է:

Ապացույց. B և C գագաթներից նկարեք BE և CF ուղղահայացները: ∆ABE և ∆DCF հավասար են, քանի որ AB = CD և BE = CF: ABCD-ն իր չափերով հավասար է EBCF ուղղանկյունին, քանի որ դրանք բաղկացած են համաչափ թվերից՝ S ABE և S EBCD, ինչպես նաև S DCF և S EBCD: Սրանից հետևում է, որ սրա տարածքը երկրաչափական պատկերգտնվում է այնպես, ինչպես ուղղանկյունը.

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD:

Որոշելու համար ընդհանուր բանաձեւԶուգահեռագծի մակերեսը բարձրությամբ նշվում է որպես hb, և կողք - բ. Համապատասխանաբար.

Տարածք գտնելու այլ եղանակներ

Տարածքի հաշվարկներ զուգահեռագծի և անկյան կողմերի միջով, որը նրանք ձևավորում են, երկրորդ հայտնի մեթոդն է։

,

Spr-ma - տարածք;

a և b-ն նրա կողմերն են

α-ն անկյունն է a և b հատվածների միջև:

Այս մեթոդը գործնականում հիմնված է առաջինի վրա, բայց այն դեպքում, երբ այն անհայտ է։ միշտ կտրում է ուղղանկյուն եռանկյուն, որոնց պարամետրերը հայտնաբերվում են եռանկյունաչափական նույնականությամբ, այսինքն՝ . Փոխակերպելով հարաբերությունը, մենք ստանում ենք. Առաջին մեթոդի հավասարման մեջ մենք բարձրությունը փոխարինում ենք այս արտադրյալով և ստանում այս բանաձևի վավերականության ապացույց։

Զուգահեռագծի և անկյան անկյունագծերի միջով,որը նրանք ստեղծում են, երբ հատվում են, կարող ես գտնել նաև տարածքը:

Ապացույց. AC-ը և BD-ն հատվում են՝ ձևավորելով չորս եռանկյուններ՝ ABE, BEC, CDE և AED: Դրանց գումարը հավասար է այս քառանկյան մակերեսին։

Այս ∆ներից յուրաքանչյուրի մակերեսը կարելի է գտնել արտահայտությամբ, որտեղ a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB: Քանի որ , հաշվարկները օգտագործում են մեկ սինուսային արժեք: Այն է . Քանի որ AE+CE=AC= d 1 և BE+DE=BD= d 2, տարածքի բանաձևը կրճատվում է հետևյալի.

.

Կիրառում վեկտորային հանրահաշիվում

Այս քառանկյան բաղկացուցիչ մասերի հատկանիշները կիրառություն են գտել վեկտորային հանրահաշիվում, այն է՝ երկու վեկտորների գումարում։ Զուգահեռագծի կանոնը նշում է, որ եթե տրված են վեկտորներԵվՈչհամագիծ են, ապա դրանց գումարը հավասար կլինի այս թվի անկյունագծին, որի հիմքերը համապատասխանում են այս վեկտորներին։

Ապացույց՝ կամայականորեն ընտրված սկզբից, այսինքն. - կառուցել վեկտորներ և. Այնուհետև մենք կառուցում ենք OASV զուգահեռագիծ, որտեղ OA և OB հատվածները կողմեր ​​են: Այսպիսով, ՕՀ-ն ընկած է վեկտորի կամ գումարի վրա:

Զուգահեռագծի պարամետրերի հաշվարկման բանաձևեր

Ինքնությունը տրվում է հետևյալ պայմաններով.

1. a և b, α - կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը.
2. d 1 և d 2, γ - անկյունագծեր և դրանց հատման կետում;
3. h a և h b - բարձրություններ, որոնք իջեցվել են a և b կողմերին;

Պարամետր	Բանաձև
Գտնելով կողմերը
անկյունագծերի և նրանց միջև անկյան կոսինուսի երկայնքով
անկյունագծերի և կողմերի երկայնքով
բարձրության և հակառակ գագաթի միջոցով
Գտեք շեղանկյունների երկարությունը
կողմերի վրա և դրանց միջև եղած գագաթի չափը
կողմերի երկայնքով և անկյունագծերից մեկը	 Եզրակացություն Զուգահեռագիծը, որպես երկրաչափության առանցքային պատկերներից մեկը, օգտագործվում է կյանքում, օրինակ՝ շինարարության մեջ՝ տեղանքի տարածքը կամ այլ չափումներ հաշվարկելիս։ Հետևաբար, գիտելիքների մասին տարբերակիչ հատկանիշներև դրա տարբեր պարամետրերը հաշվարկելու եղանակները կարող են օգտակար լինել կյանքի ցանկացած ժամանակ:

Ի՞նչ է զուգահեռագիծը: Զուգահեռագիծը այն քառանկյունն է, որի հակառակ կողմերը զույգերով զուգահեռ են:

1. Զուգահեռագծի մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով.

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

Որտեղ:
a-ն զուգահեռագծի կողմն է,
h a – այս կողմ գծված բարձրություն:

2. Եթե հայտնի են զուգահեռագծի երկու կից կողմերի երկարությունները և նրանց միջև եղած անկյունը, ապա զուգահեռագծի մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով.

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Եթե զուգահեռագծի անկյունագծերը տրված են, և նրանց միջև անկյունը հայտնի է, ապա զուգահեռագծի մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով.

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Զուգահեռագծի հատկությունները

Զուգահեռագրում հակառակ կողմերը հավասար են՝ \(AB = CD\), \(BC = AD\)

Զուգահեռագրում հակառակ անկյունները հավասար են՝ \(\անկյուն A = \անկյուն C\), \(\անկյուն B = \անկյուն D\)

Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատման կետում բաժանված են կիսով չափ \(AO = OC\) , \(BO = OD\)

Զուգահեռագծի անկյունագիծը այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների։

Մի կողմին կից զուգահեռագծի անկյունների գումարը 180 o է.

\(\անկյուն A + \անկյուն B = 180^(o)\), \(\անկյուն B + \անկյուն C = 180^(o)\)

\(\անկյուն C + \անկյուն D = 180^(o)\), \(\անկյուն D + \անկյուն A = 180^(o)\)

Զուգահեռագծի անկյունագծերը և կողմերը կապված են հետևյալ հարաբերությամբ.

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

Զուգահեռագրում բարձրությունների միջև անկյունը հավասար է նրա սուր անկյունին. \(\անկյուն K B H =\անկյուն A\) .

Զուգահեռագծի մի կողմին կից անկյունների կիսադիրները փոխադարձաբար ուղղահայաց են:

Զուգահեռագծի երկու հակադիր անկյունների կիսադիրները զուգահեռ են:

Զուգահեռագծի նշաններ

Քառանկյունը կլինի զուգահեռագիծ, եթե.

\(AB = CD\) և \(AB || CD\)

\(AB = CD\) և \(BC = AD\)

\(AO = OC\) և \(BO = OD\)

\(\անկյուն A = \անկյուն C\) և \(\անկյուն B = \անկյուն D\)

Զուգահեռագծի սահմանում

Զուգահեռագիծքառանկյուն է, որի հակառակ կողմերը հավասար են և զուգահեռ:

Առցանց հաշվիչ

Զուգահեռագիծը որոշ չափով ունի օգտակար հատկություններ, որոնք պարզեցնում են այս գործչի հետ կապված խնդիրների լուծումը։ Օրինակ, հատկություններից մեկն այն է, որ զուգահեռագծի հակառակ անկյունները հավասար են:

Դիտարկենք մի քանի մեթոդներ և բանաձևեր, որոնց հետևում են պարզ օրինակներ:

Զուգահեռագծի մակերեսի բանաձև՝ հիմնված դրա հիմքի և բարձրության վրա

Տարածքը գտնելու այս մեթոդը, հավանաբար, ամենահիմնականներից է և պարզ, քանի որ այն գրեթե նույնական է մի քանի բացառություններով եռանկյունի տարածքը գտնելու բանաձևին: Նախ, եկեք նայենք ընդհանրացված դեպքին՝ առանց թվեր օգտագործելու։

Թող տրվի հիմքով կամայական զուգահեռագիծ ա ա ա, կողմ բ բ բև բարձրությունը ժ ժ հ, տարվել է մեր բազա։ Այնուհետև այս զուգահեռագծի տարածքի բանաձևը հետևյալն է.

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=ա ⋅հ

Ա ա ա- հիմք;
ժ ժ հ- բարձրություն.

Եկեք նայենք մեկ հեշտ խնդրի՝ բնորոշ խնդիրներ լուծելու համար:

Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը, որի հիմքը հայտնի է 10 (սմ), իսկ բարձրությունը՝ 5 (սմ):

Լուծում

A = 10 a = 10 ա =1 0
h = 5 h=5 h =5

Մենք այն փոխարինում ենք մեր բանաձևով: Մենք ստանում ենք.
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (տես քառ.)

Պատասխան՝ 50 (տես քառ.)

Երկու կողմերի վրա հիմնված զուգահեռագծի տարածքի և նրանց միջև եղած անկյան բանաձևը

Այս դեպքում պահանջվող արժեքը հայտնաբերվում է հետևյալ կերպ.

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\ալֆա)S=ա ⋅բ ⋅մեղք (α)

Ա, բ ա, բ ա, բ- զուգահեռագծի կողմերը;
α\ալֆա α - կողմերի միջև անկյուն ա ա աԵվ բ բ բ.

Այժմ լուծենք մեկ այլ օրինակ և օգտագործենք վերը նկարագրված բանաձևը։

Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը, եթե կողմը հայտնի է ա ա ա, որը հիմքն է և 20 (սմ) երկարությամբ և պարագծով p p էջ, թվայինորեն հավասար է 100 (սմ), անկյունը հարակից կողմերի միջև ( ա ա աԵվ բ բ բ) հավասար է 30 աստիճանի։

Լուծում

A = 20 a = 20 ա =2 0
p = 100 p=100 p =1 0 0
α = 3 0 ∘ \ալֆա=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Պատասխանը գտնելու համար մեզ հայտնի է միայն այս քառանկյան երկրորդ կողմը։ Եկեք գտնենք նրան: Զուգահեռագծի պարագիծը տրվում է բանաձևով.
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p =ա+ա+բ+բ
100 = 20 + 20 + բ + բ 100=20+20+բ+բ1 0 0 = 2 0 + 2 0 + բ+բ
100 = 40 + 2բ 100=40+2բ 1 0 0 = 4 0 + 2 բ
60 = 2բ 60=2բ 6 0 = 2 բ
b = 30 b=30 բ =3 0

Ամենադժվարն ավարտված է, մնում է մեր արժեքները փոխարինել կողմերի և նրանց միջև եղած անկյունով.
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ մեղք (3 0 ∘ ) = 3 0 0 (տես քառ.)

Պատասխան՝ 300 (տես քառ.)

Զուգահեռագծի տարածքի բանաձևը, որը հիմնված է անկյունագծերի և նրանց միջև անկյան վրա

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\ալֆա)S=2 1 ​ ⋅ D⋅դ⋅մեղք (α)

Դ Դ Դ- մեծ շեղանկյուն;
դ դ դ- փոքր անկյունագծով;
α\ալֆա α - սուր անկյուն անկյունագծերի միջև:

Տրված են զուգահեռագծի անկյունագծերը, որոնք հավասար են 10 (սմ) և 5 (սմ): Նրանց միջև անկյունը 30 աստիճան է: Հաշվիր նրա տարածքը:

Լուծում

D=10 D=10 D=1 0
d = 5 d=5 դ =5
α = 3 0 ∘ \ալֆա=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ մեղք (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (տես քառ.)

Մինչ կսովորենք, թե ինչպես գտնել զուգահեռագծի տարածքը, մենք պետք է հիշենք, թե ինչ է զուգահեռագիծը և ինչ է կոչվում դրա բարձրությունը: Զուգահեռագիծը այն քառանկյունն է, որի հակառակ կողմերը զույգ-զույգ զուգահեռ են (պառկած են զուգահեռ ուղիղների վրա): Հակառակ կողմի կամայական կետից այս կողմը պարունակող ուղղին գծված ուղղահայացը կոչվում է զուգահեռագծի բարձրություն:

Քառակուսին, ուղղանկյունը և ռոմբը զուգահեռագծի հատուկ դեպքեր են:

Զուգահեռագծի մակերեսը նշվում է որպես (S):

Զուգահեռագծի տարածքը գտնելու բանաձևեր

S=a*h, որտեղ a-ն հիմքն է, h-ն այն բարձրությունն է, որը ձգվում է դեպի հիմքը:

S=a*b*sinα, որտեղ a-ն և b-ը հիմքերն են, իսկ α-ն՝ a և b հիմքերի միջև ընկած անկյունը:

S =p*r, որտեղ p-ը կիսաշրջագիծն է, r-ը շրջանագծի շառավիղն է, որը ներգծված է զուգահեռագծի մեջ:

Զուգահեռագրի մակերեսը, որը ձևավորվում է a և b վեկտորներով, հավասար է տվյալ վեկտորների արտադրյալի մոդուլին, այն է՝

Դիտարկենք թիվ 1 օրինակը. Տրվում է զուգահեռագիծ, որի կողմը 7 սմ է, իսկ բարձրությունը՝ 3 սմ։ Ինչպես գտնել զուգահեռագծի մակերեսը, մեզ անհրաժեշտ է լուծման բանաձև։

Այսպիսով S= 7x3: S=21. Պատասխան՝ 21 սմ 2։

Դիտարկենք օրինակ թիվ 2. Տրված հիմքերը 6 և 7 սմ են, ինչպես նաև հիմքերի միջև 60 աստիճանի անկյուն: Ինչպե՞ս գտնել զուգահեռագծի մակերեսը: Բանաձև, որն օգտագործվում է լուծելու համար.

Այսպիսով, նախ մենք գտնում ենք անկյան սինուսը: Սինուս 60 = 0,5, համապատասխանաբար S = 6*7*0,5=21 Պատասխան՝ 21 սմ 2։

Հուսով եմ, որ այս օրինակները կօգնեն ձեզ լուծել խնդիրները: Եվ հիշեք, որ գլխավորը բանաձևերի իմացությունն ու ուշադիր լինելն է

Այս թեմայով խնդիրներ լուծելիս, բացառությամբ հիմնական հատկությունները զուգահեռագիծև համապատասխան բանաձևերը, կարող եք հիշել և կիրառել հետևյալը.

1. Զուգահեռագծի ներքին անկյան կիսորդը նրանից կտրում է հավասարաչափ եռանկյունին
2. Զուգահեռագծի կողմերից մեկին կից ներքին անկյունների կիսադիրները փոխադարձաբար ուղղահայաց են
3. Զուգահեռագծի հակադիր ներքին անկյուններից բիսեկտորները զուգահեռ են միմյանց կամ ընկած են նույն ուղիղ գծի վրա
4. Զուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է նրա կողմերի քառակուսիների գումարին
5. Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է անկյունագծերի և նրանց միջև անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին

Եկեք քննարկենք խնդիրները, որոնցում օգտագործվում են այս հատկությունները:

Առաջադրանք 1.

ABCD զուգահեռագծի C անկյան կիսորդը հատում է AD կողմը M կետում և AB կողմի շարունակությունը A կետից այն կողմ E կետում: Գտե՛ք զուգահեռագծի պարագիծը, եթե AE = 4, DM = 3:

Լուծում.

1. CMD եռանկյունը հավասարաչափ է: (Գույք 1): Հետեւաբար, CD = MD = 3 սմ:

2. EAM եռանկյունը հավասարաչափ է:
Հետեւաբար, AE = AM = 4 սմ:

3. AD = AM + MD = 7 սմ:

4. Պարագիծ ABCD = 20 սմ:

Պատասխանել. 20 սմ.

Առաջադրանք 2.

Անկյունագծերը գծված են ուռուցիկ քառանկյուն ABCD-ում: Հայտնի է, որ ABD, ACD, BCD եռանկյունների մակերեսները հավասար են։ Ապացուցեք, որ այս քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

Լուծում.

1. Թող BE լինի ABD եռանկյան բարձրությունը, CF՝ ACD եռանկյան բարձրությունը: Քանի որ, ըստ խնդրի պայմանների, եռանկյունների մակերեսները հավասար են և ունեն ընդհանուր AD հիմք, ապա այդ եռանկյունների բարձրությունները հավասար են։ BE = CF:

2. BE, CF-ն ուղղահայաց են AD-ին: B և C կետերը գտնվում են AD ուղիղ գծի նկատմամբ նույն կողմում: BE = CF: Ուստի ուղիղ գիծ մ.թ.ա. || ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ. (*)

3. Թող AL լինի ACD եռանկյան բարձրությունը, BK՝ BCD եռանկյան բարձրությունը: Քանի որ, ըստ խնդրի պայմանների, եռանկյունների մակերեսները հավասար են և ունեն ընդհանուր հիմք CD, ապա այդ եռանկյունների բարձրությունները հավասար են։ AL = BK.

4. AL-ը և BK-ն ուղղահայաց են CD-ին: B և A կետերը գտնվում են ուղիղ գծի CD-ի նկատմամբ նույն կողմում: AL = BK. Ուստի ուղիղ AB || CD (**)

5. (*), (**) պայմաններից հետևում է, որ ABCD-ը զուգահեռագիծ է։

Պատասխանել. Ապացուցված է. ABCD-ն զուգահեռագիծ է:

Առաջադրանք 3.

ABCD զուգահեռագծի BC և CD կողմերի վրա համապատասխանաբար M և H կետերը նշված են այնպես, որ BM և HD հատվածները հատվում են O կետում;<ВМD = 95 о,