Երկարությունների և մակերեսների բանաձևերի պլանաչափական հաշվարկ: Երկրաչափություն. Թեորեմներ քառանկյունների մասին
Դրեմովա Օ.Ն. (, MBOU միջնակարգ դպրոց «Աննինսկու ճեմարան»)
1. Երկրաչափություն 7-9 դասարաններ՝ դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատություններ / Ա.Վ. Պոգորելով. – 10-րդ հրատ. – Մ.: Կրթություն, 2016. – 240 էջ.
2. http://ru.solverbook.com
3. http://ege-study.ru
4. https://reshyege.ru/
5. http:// www.fmclass.ru/math.phpid = 4850e0880794e
6. http://tehtab.ru
7. https://ege.sdamgia.ru/problemid = 50847
8. http://alexlarin.net/ege17.html
Այս հոդվածը հիմնական աշխատանքի վերացական ներկայացումն է: Գիտական աշխատանքի ամբողջական տեքստը, հավելվածները, նկարազարդումները և այլ հավելյալ նյութեր հասանելի են «Սկսիր գիտության մեջ» ուսանողների գիտական հետազոտությունների և ստեղծագործական աշխատանքների IV միջազգային մրցույթի կայքում՝ https://school-science: ru/1017/7/770.
Վարկած, համապատասխանություն, նպատակ, նախագծի նպատակներ, հետազոտության օբյեկտ և առարկա, արդյունքներ
ԹիրախԲացահայտել և ապացուցել երկրաչափության քիչ հայտնի թեորեմներն ու հատկությունները:
Հետազոտության նպատակները.
1. Ուսումնասիրել ուսումնական և տեղեկատու գրականություն.
2. Հավաքել քիչ հայտնի տեսական նյութ, որն անհրաժեշտ է պլանաչափական խնդիրների լուծման համար:
3. Հասկացեք քիչ հայտնի թեորեմների և հատկությունների ապացույցները:
4. Գտնել և լուծել պետական միասնական քննության ԿԻՄ-ների խնդիրները՝ օգտագործելով այս քիչ հայտնի թեորեմներն ու հատկությունները:
Համապատասխանություն. Մաթեմատիկայի առաջադրանքների միասնական պետական քննության ժամանակ հաճախ հանդիպում են երկրաչափության խնդիրներ, որոնց լուծումը որոշակի դժվարություններ է առաջացնում և ստիպում է շատ ժամանակ վատնել: Նման խնդիրներ լուծելու կարողությունը էական պայման է մաթեմատիկայի պրոֆիլային մակարդակով միասնական պետական քննությունը հաջողությամբ հանձնելու համար: Բայց այս խնդրի լուծումը կա, այս խնդիրների մի մասը հեշտությամբ կարելի է լուծել՝ օգտագործելով թեորեմներ, հատկություններ, որոնք քիչ հայտնի են և ուշադրություն չեն դարձնում դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացին: Իմ կարծիքով, սա կարող է բացատրել իմ հետաքրքրությունը հետազոտական թեմայի և դրա արդիականության նկատմամբ:
Ուսումնասիրության օբյեկտ.Պետական միասնական քննության ԿԻՄ-ների երկրաչափական խնդիրները.
Ուսումնասիրության առարկա.Պլանաչափության քիչ հայտնի թեորեմներն ու հատկությունները։
Վարկած.Կան երկրաչափության քիչ հայտնի թեորեմներ և հատկություններ, որոնց իմացությունը կհեշտացնի USE CIM-ների պլանաչափական որոշ խնդիրների լուծումը։
Հետազոտության մեթոդներ.
1) տեսական վերլուծություն և քիչ հայտնի թեորեմների և հատկությունների մասին տեղեկատվության որոնում.
2) թեորեմների և հատկությունների ապացույց
3) Որոնել և լուծել խնդիրները՝ օգտագործելով այս թեորեմներն ու հատկությունները
Մաթեմատիկայի և ընդհանրապես երկրաչափության մեջ կան հսկայական թվով տարբեր թեորեմներ և հատկություններ: Պլանաչափական խնդիրների լուծման համար կան բազմաթիվ թեորեմներ և հատկություններ, որոնք այսօր էլ արդիական են, բայց քիչ հայտնի են և շատ օգտակար խնդիրներ լուծելու համար։ Այս առարկան ուսումնասիրելիս սովորում են միայն երկրաչափական խնդիրների լուծման հիմնական, հայտնի թեորեմներն ու մեթոդները։ Բայց բացի սրանից, կան բավականին մեծ թվով տարբեր հատկություններ և թեորեմներ, որոնք պարզեցնում են այս կամ այն խնդրի լուծումը, սակայն քչերն ընդհանրապես գիտեն դրանց մասին։ Միասնական պետական քննության KIM-ներում երկրաչափության խնդիրների լուծումը կարող է շատ ավելի հեշտ լինել, եթե իմանաք այս քիչ հայտնի հատկություններն ու թեորեմները: CMM-ներում երկրաչափության խնդիրները հանդիպում են 8, 13, 15 և 16 թվերում: Քիչ հայտնի թեորեմներն ու հատկությունները, որոնք նկարագրված են իմ աշխատանքում, մեծապես պարզեցնում են պլանաչափական խնդիրների լուծումը:
Եռանկյունի անկյան բիսեկտորի թեորեմ
Թեորեմ. Եռանկյան անկյան կիսորդը հակառակ կողմը բաժանում է եռանկյան կից կողմերին համաչափ հատվածների:
Ապացույց.
Դիտարկենք ABC եռանկյունը և նրա B անկյան կիսորդը: Եկեք C գագաթով C գծով ուղիղ գծենք BC կիսորդին զուգահեռ, մինչև այն հատվի M կետում AB կողմի շարունակության հետ: Քանի որ VC-ն ABC անկյան կիսորդն է, ապա ∠АВК = ∠КВС: Այնուհետև, ∠АВК = ∠ВСМ, որպես զուգահեռ ուղիղների համապատասխան անկյուններ, և ∠КВС = ∠ВСМ, որպես զուգահեռ ուղիղների խաչաձև անկյուններ: Ուստի ∠ВСМ = ∠ВМС, և հետևաբար ВСМ եռանկյունը հավասարաչափ է, որտեղից էլ ВС = ВМ։ Անկյան կողմերը հատող զուգահեռ ուղիղների մասին թեորեմով մենք ունենք AK՝ KS = AB: VM = AB: BC, ինչը պետք է ապացուցվեր:
Դիտարկենք խնդիրները, որոնցում օգտագործվում է եռանկյունի կիսատների հատկությունը:
Խնդիր թիվ 1. ABC եռանկյան մեջ AH կիսորդը BC կողմը բաժանում է հատվածների, որոնց երկարությունները 28 և 12 են։ Գտե՛ք ABC եռանկյան պարագիծը, եթե AB - AC = 18։
ABC - եռանկյուն
ԱՀ - կիսաչափ
Թող AC = X, ապա AB = X + 18
Անկյունի բիսեկտորի ալֆայի հատկության համաձայն՝ AB·HC = BH·AC;
28 X = 12 (x + 18)x = 13,5,
նշանակում է AC = 13.5, որտեղից
AB = 13,5 + 18 = մ.թ.ա 31,5 = 28 + 12 = 40,
P = AB + BC + AC = 85
Եռանկյունի միջին թեորեմ
Թեորեմ. Եռանկյան միջինները հատվում են մի կետում և այնտեղ բաժանվում են 2:1 հարաբերությամբ՝ հաշվելով գագաթից:
Ապացույց. A BC եռանկյան մեջ մենք գծում ենք AA1 և CC1 միջնագիծը և նրանց հատման կետը նշում ենք որպես M:
C1 կետով մենք AA1-ին զուգահեռ ուղիղ ենք գծում և BC-ի հետ նրա հատման կետը նշանակում ենք D:
Ապա D-ն BA1-ի միջնակետն է, հետևաբար CA1:A1D = 2:1:
Ըստ Թալեսի թեորեմի՝ CM:MC1 = 2:1: Այսպիսով, միջին AA1-ը հատում է միջին CC1-ը M կետում, որը բաժանում է միջին CC1-ը 2:1 հարաբերակցությամբ:
Նմանապես, միջին BB1-ը հատում է միջին CC1-ը մի կետում, որը բաժանում է միջին CC1-ը 2:1 հարաբերակցությամբ, այսինքն. կետ Մ.
Խնդիր թիվ 1. Ապացուցեք, որ եռանկյան միջնագիծն ավելի մոտ է ավելի երկար կողմին, այսինքն. եթե ABC եռանկյունում, AC>BC, ապա ACC1 անհավասարությունը գործում է միջին CC1-ի համար< BCC1.
Շարունակենք միջին CC1-ը և մի կողմ դնենք C1B հատվածը, որը հավասար է AC1-ին: AC1D եռանկյունը հավասար է BC1C եռանկյունին երկու կողմերի երկայնքով և նրանց միջև եղած անկյունին: Հետեւաբար, AD = BC, ADC1 = BCC1: Եռանկյունում ACD AC> AD. Քանի որ ավելի մեծ անկյունը գտնվում է եռանկյան ավելի մեծ կողմի դիմաց, ADC1>ACD: Հետևաբար, անհավասարությունը ACC1 Խնդիր թիվ 2. ABC եռանկյան մակերեսը հավասար է 1-ի: Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը, որի կողմերը հավասար են տվյալ եռանկյան միջիններին: ABC եռանկյունի Եկեք AA1, BB1, CC1 լինեն M կետում հատվող ABC եռանկյան միջնորդները: Շարունակենք CC1 միջնագիծը և գծենք C1D հատվածը, որը հավասար է MC1-ին: BMC եռանկյան մակերեսը 1/3 է, իսկ կողմերը՝ սկզբնական եռանկյան միջինների 2/3-ը։ Հետևաբար, եռանկյան մակերեսը, որի կողմերը հավասար են տվյալ եռանկյան միջիններին, հավասար է 3/4-ի։ Եկեք ստացենք մի բանաձև, որն արտահայտում է եռանկյան միջիններն ըստ կողմերի։ Թող ABC եռանկյան կողմերը լինեն a, b, c: Միջին CD-ի պահանջվող երկարությունը մենք նշում ենք mc: Կոսինուսների թեորեմով մենք ունենք. Գումարելով այս երկու հավասարությունները և հաշվի առնելով, որ cosADC = -cosBDC, մենք ստանում ենք հավասարություն, որից մենք գտնում ենք. Թեորեմ եռանկյան միջին գծերի մասին Թեորեմ. եռանկյան երեք միջին ուղիղները բաժանում են այն 4 հավասար եռանկյունների, որոնք նման են այս եռանկյունին, որի նմանության գործակիցը ½ է։ Ապացույց: Թող ABC-ն լինի եռանկյուն: C1-ը AB-ի միջինն է, A1-ը BC-ի միջինն է, B1-ը AC-ի միջինն է: Փաստենք, որ AC1B1, BC1A1, A1B1C, C1B1A1 եռանկյունները հավասար են։ Քանի որ C1 A1 B1 միջին կետերն են, ապա AC1 = C1B, BA1 = A1C, AB1 = B1C: Մենք օգտագործում ենք միջին տողի հատկությունը. С1А1 = 1/2 · AC = 1/2 · (АВ1 + В1C) = 1/2 · (АВ1 + АВ1) = АВ1 Նմանապես, C1B1 = A1C, A1B1 = AC1: Այնուհետև AC1B1, BA1C1, A1B1C, C1B1A1 եռանկյունիներում AC1 = BC1 = A1B1 = A1B1 AB1 = C1A1 = B1C = C1A1 C1B1 = BA1 = A1C = C1B1 Սա նշանակում է, որ եռանկյունները երեք կողմերից հավասար են, հետևում է, որ A1/B1 = A1C1/AC = B1C1/BC = ½ Թեորեմն ապացուցված է. Դիտարկենք խնդիրների լուծումը՝ օգտագործելով եռանկյան միջին գծերի հատկությունը։ Խնդիր թիվ 1. Տրվում է 9,4 և 7 կողմերով ABC եռանկյունը։ Գտե՛ք C1A1B1 եռանկյան պարագիծը, որի գագաթները այս կողմերի միջնակետերն են։ Տրված է՝ եռանկյուն - ABC Եռանկյան 9,4,7 կողմերը Եռանկյունների նմանության հատկության համաձայն՝ եռանկյան 3 միջին գծերը այն բաժանում են 4 հավասար եռանկյունների՝ նման եռանկյունու 1/2 գործակցով։ C1A1 = 9/2 = 4,5 A1B1 = 4/2 = 2 C1B1 = 7/2 = 3,5 հետեւաբար պարագիծը = 4,5 + 2 + 3,5 = 10 Շրջանակի շոշափողի հատկությունը Թեորեմ. շոշափողի քառակուսին հավասար է սեկանտի և նրա արտաքին մասի արտադրյալին: Ապացույց. Նկարենք AK և BK հատվածները, AKM և BKM եռանկյունները նման են, քանի որ ունեն M ընդհանուր անկյուն: Իսկ AKM և B անկյունները հավասար են, քանի որ դրանցից յուրաքանչյուրը չափվում է AK աղեղի կեսով: Հետեւաբար, MK/MA = MB/MK, կամ MK2 = MA·MB: Խնդիրների լուծման օրինակներ. Խնդիր թիվ 1. Շրջանակից դուրս A կետից գծվում է 12 սմ երկարությամբ և շոշափող հատված, որի երկարությունը 2 անգամ փոքր է շրջանագծի ներսում գտնվող հատվածի հատվածից։ գտե՛ք շոշափողի երկարությունը. ACD հատված Եթե մի կետից շրջանագծի վրա շոշափվում են շոշափողը և հատվածը, ապա ամբողջ կտրվածքի և նրա արտաքին մասի արտադրյալը հավասար է շոշափողի քառակուսուին, այսինքն՝ AD·AC = AB2: OrAD·(AD-2AB) = AB2: Մենք փոխարինում ենք հայտնի արժեքները՝ 12(12-2AB) = AB2 կամ AB2 + 24 AB-144: AB = -12 + 12v2 = 12 (v2-1) Շրջապատ քառանկյունի կողմերի հատկությունը Թեորեմ. շրջանով շրջագծված քառանկյունի համար հակառակ կողմերի երկարությունների գումարները հավասար են Ապացույց: AP = AQ, DP = DN, CN = CM և BQ = BM շոշափող հատկությամբ մենք գտնում ենք, որ AB + CD = AQ + BQ + CN + DNiBC + + AD = BM + CM + AP + DP: Ուստի AB + CD = BC + AD Դիտարկենք խնդրի լուծման օրինակներ։ Խնդիր թիվ 1. Շրջանի շուրջը շրջագծված քառանկյան երեք կողմերը հարաբերությամբ (հաջորդական կարգով) են 1:2:3: Գտե՛ք այս քառանկյան ամենաերկար կողմը, եթե հայտնի է, որ նրա պարագիծը 32 է։ ABCD - քառանկյուն AB:BC:CD = 1:2:3 Թող AB կողմը = x, ապա AD = 2x և DC = 3x: Ըստ նկարագրված քառանկյան հատկության՝ հակառակ կողմերի գումարները հավասար են, հետևաբար x + 3x = BC + 2x, որտեղից BC = 2x, ապա քառանկյունի պարագիծը 8X է։ Մենք ստանում ենք, որ x = 4, իսկ ավելի մեծ կողմը 12 է: Խնդիր թիվ 2. Տրապիզը շրջագծված է շրջանագծի շուրջը, որի պարագիծը 40 է։Գտի՛ր նրա միջնագիծը։ ABCD-trapezoid, l - միջին գիծ Լուծում. Trapezoid-ի միջին գիծը հավասար է հիմքերի գումարի կեսին: Թող trapezoid-ի հիմքերը լինեն a և c, իսկ կողմերը b և d: Սահմանված քառանկյան հատկությամբ a + c = b + d, ինչը նշանակում է պարագիծը 2(a + c): Մենք ստանում ենք, որ a + c = 20, որտեղից L = 10 Փիկի բանաձեւը Պիկի թեորեմ. բազմանկյան մակերեսը հետևյալն է. որտեղ Г-ը բազմանկյունի սահմանին վանդակավոր հանգույցների թիվն է B-ն բազմանկյունի ներսում վանդակավոր հանգույցների թիվն է: Օրինակ, նկարում ներկայացված քառանկյունի մակերեսը հաշվարկելու համար մենք համարում ենք. G = 7, V = 23, որտեղից S = 7:2 + 23 - 1 = 25.5: Վանդակավոր թղթի վրա գծված ցանկացած բազմանկյունի մակերեսը հեշտությամբ կարելի է հաշվարկել՝ այն ներկայացնելով որպես ուղղանկյուն եռանկյունների և ուղղանկյունների մակերեսների գումար կամ տարբերություն, որոնց կողմերը հետևում են գծված եռանկյան գագաթներով անցնող ցանցային գծերին: Որոշ դեպքերում նույնիսկ հնարավոր է կիրառել պատրաստի բանաձև եռանկյան կամ քառանկյունի տարածքի համար: Բայց որոշ դեպքերում այդ մեթոդները կամ անհնար է կիրառել, կամ դրանց կիրառման գործընթացը աշխատատար է և անհարմար: Նկարում ներկայացված բազմանկյունի մակերեսը հաշվարկելու համար, օգտագործելով Pick-ի բանաձևը, ունենք՝ S = 8/2 + 19-1 = 22: Եզրակացություն Հետազոտությունը հաստատեց այն վարկածը, որ երկրաչափության մեջ կան դպրոցական դասընթացից քիչ հայտնի թեորեմներ և հատկություններ, որոնք պարզեցնում են որոշ պլանաչափական խնդիրների լուծումը, այդ թվում՝ միասնական պետական քննության KIM-ի խնդիրները: Ինձ հաջողվեց գտնել նման թեորեմներ և հատկություններ և կիրառել դրանք խնդիրների լուծման մեջ և ապացուցել, որ դրանց կիրառումը մի քանի րոպեում մի քանի խնդիրների հսկայական լուծումները վերածում է լուծումների։ Իմ աշխատանքում նկարագրված թեորեմների և հատկությունների օգտագործումը որոշ դեպքերում թույլ է տալիս լուծել խնդիրը անմիջապես և բանավոր, և թույլ է տալիս ավելի շատ ժամանակ խնայել միասնական պետական քննության վրա և պարզապես դրանք դպրոցում լուծելիս: Կարծում եմ, որ իմ հետազոտության նյութերը կարող են օգտակար լինել շրջանավարտներին մաթեմատիկայի միասնական պետական քննություն հանձնելիս: Այս էջը պարունակում է պլանաչափության թեորեմներ, որոնք մաթեմատիկայի դասախոսը կարող է օգտագործել ունակ ուսանողին լուրջ քննության նախապատրաստելիս. Տնտեսագիտության բարձրագույն դպրոցը, Ֆինանսական ակադեմիայում և MIPT-ում օլիմպիադայի համար: Այս փաստերի իմացությունը մեծ հնարավորություններ է բացում դասավանդողի համար մրցակցային խնդիրներ կազմելու համար: Բավական է թվերի վերաբերյալ նշված թեորեմներից մի քանիսը «խաղացնել» կամ դրանց տարրերը լրացնել այլ մաթեմատիկական առարկաների հետ պարզ հարաբերություններով, և դուք կստանաք օլիմպիադայի բավականին պատշաճ խնդիր։ Շատ հատկություններ առկա են ուժեղ դպրոցական դասագրքերում՝ որպես ապացույցի խնդիրներ և հատուկ ներառված չեն պարբերությունների վերնագրերում և բաժիններում: Փորձեցի շտկել այս թերությունը։ Մաթեմատիկան հսկայական առարկա է, և փաստերի թիվը, որոնք կարելի է նույնացնել որպես թեորեմներ, անվերջ են: Մաթեմատիկայի դասախոսը ֆիզիկապես չի կարող ամեն ինչ իմանալ և հիշել: Հետևաբար, երկրաչափական առարկաների միջև որոշ բարդ հարաբերություններ ամեն անգամ նորովի են բացահայտվում ուսուցչի համար: Բոլորը միանգամից մեկ էջում հավաքելը ֆիզիկապես անհնար է։ Հետևաբար, ես էջը կլրացնեմ աստիճանաբար, քանի որ ես օգտագործում եմ թեորեմները իմ դասերում: Մաթեմատիկայի սկսնակ դասավանդողներին խորհուրդ եմ տալիս զգույշ լինել լրացուցիչ տեղեկատու նյութեր օգտագործելիս, քանի որ ուսանողները չգիտեն այս փաստերի մեծ մասը: 1) Եռանկյան կողմին ուղղահայաց կիսորդը հատվում է տվյալ եռանկյան շրջանագծի վրա նրան հակառակ անկյան կիսաչափի հետ: Սա բխում է այն աղեղների հավասարությունից, որոնց մեջ ուղղահայաց կիսորդը բաժանում է ստորին աղեղը, և ներգծված անկյան մասին թեորեմից՝ շրջանագծի մեջ։ 2) 3) 4) 5) 6) Այսինքն՝ գործում է հետևյալ հավասարությունը 7) 8) 9) Բայց հետո ուսանողին խնդրեցին ապացուցել, որ եռանկյան անկյունների գումարը 180° է: Աշակերտը անդրադարձավ զուգահեռ ուղիղների հատկություններին. Բայց զուգահեռ ուղիղների նշանների հիման վրա նա սկսեց ապացուցել հենց զուգահեռ ուղիղների հատկությունները։ Շրջանակը փակ է։ Ուստի տեսությունը կրկնելիս եղեք հետևողական և ուշադիր։ Թեորեմի ապացույցը կարդալիս հատուկ ուշադրություն դարձրեք, թե որտեղ են ապացուցման մեջ օգտագործվում թեորեմի պայմանները և ինչ նախկինում ապացուցված թեորեմներ են օգտագործվել։ Եթե երկու զուգահեռ ուղիղները հատվում են երրորդ գծով, ապա ներքին խաչաձեւ անկյունները հավասար են, իսկ ներքին միակողմանի անկյունների գումարը 180° է (նկ. 58): Զուգահեռ գծերի նշաններ. Եթե, երբ երկու ուղիղները հատում են երրորդը, ստացված ներքին միակողմանի անկյունների գումարը հավասար է 180°-ի, ապա ուղիղները զուգահեռ են (նկ. 60). Եթե, երբ երկու ուղիղները հատում են երրորդը, ստացված համապատասխան անկյունները հավասար են, ապա ուղիղները զուգահեռ են (նկ. 61): Թեորեմներ ուղիղին ուղղահայաց գոյության և եզակիության մասին. Գծի յուրաքանչյուր կետի միջով կարող եք գծել դրան ուղղահայաց գիծ և միայն մեկ (նկ. 62): b ուղիղը միակ ուղիղն է, որն անցնում է A կետով a-ին ուղղահայաց։ Զուգահեռության և ուղղահայացության հարաբերությունը: Եթե ուղիղը ուղղահայաց է զուգահեռ ուղիղներից մեկին, ապա այն նույնպես ուղղահայաց է մյուսին (նկ. 65): Բրինձ. 65. Հավասարաչափ եռանկյան անկյունների հատկությունները. Հավասարաչափ եռանկյունում հիմքի անկյունները հավասար են: Ճիշտ է նաև հակառակ թեորեմը՝ եթե եռանկյան երկու անկյունները հավասար են, ապա այն հավասարաչափ է (նկ. 67): Թեորեմ եռանկյան անկյունների գումարի մասին. Թեորեմ ուռուցիկ n-անկյունի անկյունների գումարի մասին. Օրինակ՝ ?1 + ?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 180°?(5–2) = 540°: Թեորեմ եռանկյան արտաքին անկյան մասին. Թեորեմ շրջանագծի մեջ ներգծված անկյան չափի մասին. Բրինձ. 71. ABC = ?A1B1C1, քանի որ AB = A1B1, AC = A1C1 և?A = ?A1: ABC = ?A1B1C1, քանի որ AC = A1C1, ?A = ?A1, ?C = ?C1: Եթե մի եռանկյան երեք կողմերը համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան երեք կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են (նկ. 74): ABC = ?A1B1C1, քանի որ AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1: Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության նշաններ. ABC = ?A1B1C1 քանի որ ?A = ?A1 = 90°; BC = B1C1; AB = A1B1. ABC = ?A1B1C1, քանի որ AB = A1B1, ?A = ?A1 a ?C = ?C1 = 90°: Հավասարաչափ եռանկյան միջնագծի հատկությունը. (AB = BC, AM = MS) ? (?AVM = ?MVS, ?AMV = ?BMC = 90°): Եռանկյան միջին գծի հատկությունը. EF||AC, EF = 1/2AC, քանի որ AE = EB և BF = FC: Սինուսների թեորեմա. Բրինձ. 79. A2= b2+ c2– 2bc cos?. C2= a2+ b2. (AB = BC, AA1||BB1||CC1) ? A1B1 = В1С1, q և р – անկյուն կազմող ճառագայթներ. Թեորեմ համամասնական հատվածների մասին (Թալեսի թեորեմի ընդհանրացում). Բրինձ. 83. Կամ Եթե? = ?, ապա Կամ ABC և A1B1C1 եռանկյունները նման են, քանի որ. = ?1 և? = ?1. ABC և A1B1C1 եռանկյունները նման են, քանի որ ԵՎ = ?1. ABC և A1B1C1 եռանկյունները նման են, քանի որ Եռանկյունի անհավասարություն. Եռանկյունի կողմերի չափերի և անկյունների չափերի հարաբերությունները: Բրինձ. 90. AK = AT, որտեղ A-ն բիսեկտորի ցանկացած կետ է: MA = MB, որտեղ M-ը կամայական կետ է AB հատվածի ուղղահայաց կիսագծի վրա: O կետը հավասար է շրջանագծի կետերից: Եռանկյան շրջանագծի կենտրոնի գտնվելու վայրը. A, B, C շրջանագծի վրա ընկած եռանկյան գագաթներն են: Եռանկյունով գծագրված շրջանագծի կենտրոնի գտնվելու վայրը: ABC-ում AT և SC հատվածները բիսեկտորներ են: AB = CD, BC = AD, ?BAD = ?BCD, ?ABC = ?ADC, AO = OC, BO = OD: Զուգահեռագծի նշաններ. BC||AD, BC = AD ? ABCD-ն զուգահեռագիծ է: Եթե քառանկյունի անկյունագծերը հատվում են և կիսով չափ կիսվում են հատման կետով, ապա այս քառանկյունը զուգահեռագիծ է (նկ. 98): AO = OS, VO = OD? ABCD-ն զուգահեռագիծ է: Ուղղանկյունի հատկությունները. Ուղղանկյուն նշան. Ռոմբի հատկությունները. AC? BD, ?ABD = ?DBC = ?CDB = ?BDA, ?BAC = ?CAD = ?BCA = ?DCA: Ադամանդի նշան. Քառակուսու հատկությունները. Քառակուսի նշան. Trapezoid-ի միջին գծի հատկությունը. Բրինձ. 101. Եթե շրջանագիծը կարելի է մակագրել քառանկյունի, ապա նրա հակառակ կողմերի գումարները հավասար են (նկ. 103): Բրինձ. 103. Եթե S կետից շրջանագիծ գծված են երկու հատված, որոնք շրջանագիծը հատում են համապատասխանաբար A, B և C, D կետերում, ապա AS ? BS = CS? DS (նկ. 105): Թիվ?. Բրինձ. 106. Թեորեմ վեկտորների սկալյար արտադրյալի վերաբերյալ. Բրինձ. 108. Բրինձ. 109. Որտեղ a, b, c եռանկյան կողմերն են. - եռանկյան կիսաշրջագիծ. Բրինձ. 110։ Քառանկյունների համար. Որտեղ a, b են հիմքերի երկարությունները; Զուգահեռագծի մակերեսը a, b և անկյունով: նրանց միջև հաշվարկվում է S = ab sin? բանաձևով: Կարող եք նաև օգտագործել բանաձևը. Որտեղ d1, d2 են անկյունագծերի երկարությունները, ? – նրանց միջև եղած անկյունը (կամ S = aha, որտեղ հա բարձրությունն է): Սովորական n-gon-ի համար՝ (R-ը և r-ը շրջագծված և ներգծված շրջանագծերի շառավիղներն են, аn-ը կանոնավոր n-անկյունի կողմի երկարությունն է): Բրինձ. 112. Իսկ 1\2R2?, եթե? արտահայտված ռադիաններով։ AB տողի հավասարումը. Հեշտությամբ կրճատվում է ax +-ով + c = 0 ձևով, որտեղ n = (a, b) վեկտորը ուղղահայաց է: ax + by + c1 = 0 և ax + by + c2 = 0 զուգահեռ ուղիղների միջև հեռավորությունը հավասար է. a1x + Blу + c1 = 0 և a2x + b2y + c2 = 0 ուղիղների միջև անկյունը հաշվարկվում է բանաձևով. O(x0, y0) կետում կենտրոն ունեցող շրջանագծի հավասարումը և R:(x – xo)2+ (y – yo)2= R2. 1. ա) Ուղղահայաց անկյունների ի՞նչ հատկություն գիտեք: (1) Որտեղ? - անկյունը վեկտորների միջև: Հավասար է 2R-ի, որտեղ R-ն եռանկյունով շրջագծված շրջանագծի շառավիղն է: (1) Որտեղ a, b, c եռանկյան կողմերի երկարություններն են. Թեորեմներ և ընդհանուր տեղեկություններ
Ի.
Երկրաչափություն II.
Պլանաչափություն առանց բանաձևերի.
Երկու անկյունները կոչվում են հարակից,եթե նրանք ունեն մեկ ընդհանուր կողմ, իսկ այս անկյունների մյուս երկու կողմերը լրացուցիչ կիսագծեր.
1. Կից անկյունների գումարը 180 է °
. Երկու անկյունները կոչվում են ուղղահայաց, եթե մի անկյան կողմերը մյուսի կողերի կիսագծերն են: 2.
Ուղղահայաց անկյունները հավասար են: Անկյունը հավասար է 90-ի °
, կանչեց Աջ անկյունը. Ուղիղ անկյան տակ հատվող ուղիղները կոչվում են ուղղահայաց. 3.
Ուղիղ գծի յուրաքանչյուր կետի միջով հնարավոր է գծել միայն մեկ ուղղահայաց ուղիղ: 90-ից պակաս անկյուն °
, կանչեց սուր. 90-ից մեծ անկյուն °
, կանչեց հիմար. 4.
Եռանկյունների հավասարության նշաններ. -
երկու կողմերում և նրանց միջև եղած անկյունը; -
կողքի և երկու հարակից անկյունների երկայնքով; -
երեք կողմից. Եռանկյունը կոչվում է հավասարաչափ, եթե նրա երկու կողմերը հավասար են։ Միջինեռանկյան այն հատվածն է, որը կապում է եռանկյան գագաթը հակառակ կողմի կեսին: ԲիսեկտորԵռանկյունը ուղիղ գծի հատված է գագաթի և հակառակ կողմի հետ նրա հատման կետի միջև, որը կիսում է անկյունը: Բարձրությունեռանկյան ուղղահայաց հատված է, որը գծված է եռանկյան գագաթից դեպի հակառակ կողմը կամ նրա շարունակությունը: Եռանկյունը կոչվում է ուղղանկյունեթե այն ունի ուղիղ անկյուն. Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ կոչվում է ուղիղ անկյան հակառակ կողմը հիպոթենուզա. Մնացած երկու կողմերը կոչվում են ոտքերը.
5. Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի և անկյունների հատկությունները. -
ոտքերին հակառակ անկյունները սուր են. -
հիպոթենուսը ավելի մեծ է, քան ցանկացած ոտք; -
ոտքերի գումարն ավելի մեծ է, քան հիպոթենուսը: 6.
Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության նշաններ. -
ոտքի և սուր անկյան երկայնքով; -
երկու ոտքերի վրա; -
հիպոթենուսի և ոտքի երկայնքով; -
հիպոթենուսի և սուր անկյան երկայնքով: 7.
Հավասարաչափ եռանկյունու հատկությունները. -
հավասարաչափ եռանկյունում հիմքի անկյունները հավասար են. -
եթե եռանկյան երկու անկյունները հավասար են, ապա այն հավասարաչափ է. Հավասարասրուն եռանկյունում հիմքի վրա գծված միջնագիծը կիսորդն է և բարձրությունը. -
Եթե եռանկյան մեջ որևէ գագաթից գծված միջնագիծն ու կիսանկյունը (կամ բարձրությունն ու կիսանկյունը, կամ միջինն ու բարձրությունը) համընկնում են, ապա այդպիսի եռանկյունը հավասարաչափ է։ 8. Եռանկյան մեջ ավելի մեծ անկյունը գտնվում է ավելի մեծ կողմի հակառակ կողմում, իսկ մեծ կողմը գտնվում է ավելի մեծ անկյան դիմաց: 9. (Եռանկյունի անհավասարություն). Յուրաքանչյուր եռանկյուն ունի երրորդ կողմից մեծ երկու կողմերի գումար: Արտաքին անկյուն A գագաթին ABC եռանկյան A գագաթին գտնվող եռանկյան անկյան հարակից անկյունն է: 10. Եռանկյան ներքին անկյունների գումարը. Եռանկյան ցանկացած երկու անկյունների գումարը 180-ից փոքր է °
; Յուրաքանչյուր եռանկյուն ունի երկու սուր անկյուն; Եռանկյան արտաքին անկյունն ավելի մեծ է, քան ցանկացած ներքին անկյուն, որը կից չէ նրան. Եռանկյան անկյունների գումարը 180 է °
; Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է նրան ոչ կից երկու այլ անկյունների գումարին: Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90 է °
. Եռանկյան կողային կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է եռանկյան միջին գիծ.
11. Եռանկյան միջին գիծն ունի այն հատկությունը, որ այն զուգահեռ է եռանկյան հիմքին և հավասար է կեսին։ 12. Կտրված գծի երկարությունը ոչ պակաս է նրա ծայրերը միացնող հատվածի երկարությունից։ 13. Հատվածի ուղղահայաց կիսադիրի հատկությունները. Ուղղահայաց կիսագծի վրա ընկած կետը հավասարապես հեռու է հատվածի ծայրերից. Հատվածի ծայրերից հավասարապես հեռու գտնվող ցանկացած կետ գտնվում է ուղղահայաց կիսագծի վրա: 14. Անկյունի կիսադիրի հատկությունները. Անկյան կիսագծի վրա ընկած ցանկացած կետ հավասարապես հեռու է անկյան կողմերից. Անկյունի կողմերից հավասարապես հեռու գտնվող ցանկացած կետ գտնվում է անկյան կիսագծի վրա: 15. Եռանկյան շրջանագծի առկայությունը. Եռանկյան բոլոր երեք ուղղահայաց կիսորդները հատվում են մեկ կետում և այս կետը շրջանագծի կենտրոնն է: Եռանկյան շրջագիծը միշտ գոյություն ունի և եզակի է. Ուղղանկյուն եռանկյան շրջկենտրոնը հիպոթենուսի միջնակետն է: 16. Եռանկյունով ներգծված շրջանագծի առկայությունը. Եռանկյան բոլոր երեք կիսադիրները հատվում են մեկ կետում և այս կետը շրջանագծի կենտրոնն է: Եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագիծը միշտ գոյություն ունի և եզակի է: 17. Զուգահեռ ուղիղների նշաններ. Թեորեմներ ուղիղների զուգահեռության և ուղղահայացության մասին. Երրորդին զուգահեռ երկու ուղիղները զուգահեռ են. Եթե, երբ երկու ուղիղները հատում են երրորդը, ներքին (արտաքին) խաչաձև անկյունները հավասար են, կամ ներքին (արտաքին) միակողմանի անկյունները գումարվում են մինչև 180: °
, ապա այս տողերը զուգահեռ են; Եթե զուգահեռ ուղիղները հատվում են երրորդ գծով, ապա խաչաձև ընկած ներքին և արտաքին անկյունները հավասար են, իսկ ներքին և արտաքին միակողմանիանկյունները գումարվում են մինչև 180 °
; Նույն գծին ուղղահայաց երկու ուղիղները զուգահեռ են. Երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկին ուղղահայաց ուղիղ է նաև երկրորդին: Շրջանակ- հարթության բոլոր կետերի բազմությունը, որոնք հավասար են մեկ կետից: Ակորդ- շրջանագծի երկու կետերը միացնող հատված: Տրամագիծը– կենտրոնով անցնող ակորդ: Շոշափող– ուղիղ գիծ, որն ունի մեկ ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ: Կենտրոնական անկյուն- անկյուն, որի գագաթը գտնվում է շրջանագծի կենտրոնում: Ներգրված անկյուն– գագաթ ունեցող անկյուն շրջանագծի վրա, որի կողմերը հատում են շրջանագիծը: 18. Շրջանի հետ կապված թեորեմներ. Շոշափող կետին գծված շառավիղը շոշափողին ուղղահայաց է. Լարի միջով անցնող տրամագիծը ուղղահայաց է դրան; Շոշափողի երկարության քառակուսին հավասար է կտրվածքի և դրա արտաքին մասի երկարության արտադրյալին. Կենտրոնական անկյունը չափվում է աղեղի աստիճանի չափով, որի վրա այն հենվում է. Ներգրված անկյունը չափվում է այն աղեղի կեսով, որի վրա այն հենվում է, կամ կեսից մինչև 180-ի լրացում: °
; Մի կետից շրջանագծի վրա գծված շոշափողները հավասար են. Սեկանտի և նրա արտաքին մասի արտադրյալը հաստատուն արժեք է. Զուգահեռագիծքառանկյուն է, որի հակառակ կողմերը զույգերով զուգահեռ են։ 19. Զուգահեռագծի նշաններ. Զուգահեռագծի հատկությունները. Հակառակ կողմերը հավասար են. Հակառակ անկյունները հավասար են. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են հատման կետով. Անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է նրա բոլոր կողմերի քառակուսիների գումարին. Եթե ուռուցիկ քառանկյունում հակառակ կողմերը հավասար են, ապա այդպիսի քառանկյունը զուգահեռագիծ է. Եթե ուռուցիկ քառանկյունում հակառակ անկյունները հավասար են, ապա այդպիսի քառանկյունը զուգահեռագիծ է. Եթե ուռուցիկ քառանկյունում անկյունագծերը հատվում են հատման կետով, ապա այդպիսի քառանկյունը զուգահեռագիծ է. Ցանկացած քառանկյան կողմերի միջնակետերը զուգահեռագծի գագաթներն են: Այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր կողմերը հավասար են, կոչվում է ադամանդ 20. Ռոմբի լրացուցիչ հատկությունները և բնութագրերը. Ռոմբի անկյունագծերը փոխադարձաբար ուղղահայաց են. Ռոմբի անկյունագծերը նրա ներքին անկյունների կիսորդներն են. Եթե զուգահեռագծի անկյունագծերը փոխադարձաբար ուղղահայաց են, կամ համապատասխան անկյունների կիսորդներ են, ապա այս զուգահեռագիծը ռոմբ է։ Այն զուգահեռագիծը, որի անկյունները բոլորն ուղիղ են, կոչվում է ուղղանկյուն. 21. Ուղղանկյան լրացուցիչ հատկություններ և բնութագրեր. Ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են. Եթե զուգահեռագծի անկյունագծերը հավասար են, ապա այդպիսի զուգահեռագիծը ուղղանկյուն է. Ուղղանկյան կողմերի միջնակետերը ռոմբի գագաթներն են. Ռոմբի կողմերի միջնակետերը ուղղանկյան գագաթներն են: Բոլոր կողմերից հավասար ուղղանկյուն կոչվում է քառակուսի. 22. Քառակուսու լրացուցիչ հատկություններ և բնութագրեր. Քառակուսու անկյունագծերը հավասար են և ուղղահայաց; Եթե քառանկյան անկյունագծերը հավասար են և ուղղահայաց, ապա քառանկյունը քառակուսի է։ Այն քառանկյունը, որի երկու կողմերը զուգահեռ են, կոչվում է trapezoid. Տրապիզոնի կողային կողմերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է trapezoid-ի միջին գիծը.
23.
Trapezoid հատկությունները: -
isosceles trapezoid-ում հիմքի անկյունները հավասար են. -
Տրապիզոնի անկյունագծերի միջնակետերը միացնող հատվածը հավասար է տրապեզի հիմքերի տարբերության կեսին։ 24. Տրապիզոնի միջին գիծն ունի այն հատկությունը, որ այն զուգահեռ է տրապեյզի հիմքերին և հավասար է դրանց կիսագումարին։ 25. Նշաններ նմանություններեռանկյուններ: Երկու անկյուններում; Երկու համամասնական կողմերի վրա և նրանց միջև եղած անկյունը. Երեք համամասնական կողմերում. 26. Ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության նշաններ. Սուր անկյան վրա; Ըստ համամասնական ոտքերի; Ըստ համամասնականոտքը և հիպոթենուսը: 27. Հարաբերությունները բազմանկյուններում. Բոլոր կանոնավոր բազմանկյունները նման են միմյանց. Ցանկացած ուռուցիկ բազմանկյան անկյունների գումարը 180 է °
(n-2); Ցանկացած ուռուցիկ բազմանկյունի արտաքին անկյունների գումարը, յուրաքանչյուր գագաթին մեկ վերցված, 360 է: °
. Նմանատիպ բազմանկյունների պարագծերը կապված են այնպես, ինչպես կան համանմանկողմերը, և այս հարաբերակցությունը հավասար է նմանության գործակցին. Նմանատիպ բազմանկյունների մակերեսները կապված են որպես նրանց նման կողմերի քառակուսիներ, և այս հարաբերակցությունը հավասար է նմանության գործակցի քառակուսուն. Պլանաչափության ամենակարևոր թեորեմները. 28. Թալեսի թեորեմ. Եթե զուգահեռ գծերը, որոնք հատում են անկյան կողմերը, կտրում են մի կողմից հավասար հատվածներ, ապա այս ուղիղները կտրում են նաև մյուս կողմից հավասար հատվածներ։ 29. Պյութագորասի թեորեմ. Ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին. 30. Կոսինուսների թեորեմ. Ցանկացած եռանկյունում կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, առանց դրանց կրկնակի արտադրյալի՝ նրանց միջև անկյան կոսինուսի կողմից. 31. Սինուսների թեորեմ. Եռանկյան կողմերը համաչափ են հակառակ անկյունների սինուսներին. 32. Եռանկյան երեք միջնագիծը հատվում է մի կետում, որը յուրաքանչյուր միջինը բաժանում է 2:1 հարաբերությամբ՝ հաշվելով եռանկյան գագաթից: 33. Եռանկյան բարձրություններ պարունակող երեք ուղիղները հատվում են մի կետում: 34. Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա կողմերից մեկի արտադրյալին և այս կողմ իջեցված բարձրությանը (կամ կողմերի և նրանց միջև անկյան սինուսի արտադրյալին): 35. Եռանկյան մակերեսը հավասար է կողմի արտադրյալի կեսին և այս կողմն ընկած բարձրությանը (կամ կողմերի և նրանց միջև անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին): 36. Տրապիզոնի մակերեսը հավասար է հիմքերի և բարձրության գումարի կեսի արտադրյալին: 37. Ռոմբի մակերեսը հավասար է նրա անկյունագծերի արտադրյալի կեսին: 38. Ցանկացած քառանկյան մակերեսը հավասար է նրա անկյունագծերի և նրանց միջև անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին: 39. Եռանկյան մի կողմը կիսորդը բաժանում է նրա մյուս երկու կողմերին համաչափ հատվածների: 40. Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ հիպոթենուսի վրա գծված միջնագիծը եռանկյունը բաժանում է երկու հավասար եռանկյունների: 41. Հավասարաչափ տրապեզիի մակերեսը, որի անկյունագծերը փոխադարձաբար ուղղահայաց են, հավասար է բարձրության քառակուսուն. 42. Շրջանակով գծված քառանկյան հակառակ անկյունների գումարը 180 է. °
. 43. Շրջանի շուրջ քառանկյունը կարելի է նկարագրել, եթե հակառակ կողմերի երկարությունների գումարները հավասար են: III.Պլանաչափության հիմնական բանաձևերը. 1.
Կամայական եռանկյուն.- կողքից; - նրանց հակառակ անկյունները; - կիսաշրջագծային; - շրջագծված շրջանագծի շառավիղը; - ներգծված շրջանագծի շառավիղը; - քառակուսի; - կողքի գծված բարձրությունը. Թեք եռանկյունների լուծում. Կոսինուսների թեորեմ. Սինուսների թեորեմ. Եռանկյան միջնագծի երկարությունը արտահայտվում է բանաձևով. Եռանկյան կողմի երկարությունը միջինների միջով արտահայտվում է բանաձևով. Եռանկյան կիսաչափի երկարությունը արտահայտվում է բանաձևով. Ուղղանկյուն եռանկյուն.- աթետային; - հիպոթենուզա; - ոտքերի ելքերը հիպոթենուսի վրա. Պյութագորասի թեորեմ. Ուղղանկյուն եռանկյունների լուծում. 2.
Հավասարակողմ եռանկյուն: 3.
Ցանկացած ուռուցիկ քառանկյուն: - անկյունագծեր; - նրանց միջև եղած անկյունը; - քառակուսի. 4.
Զուգահեռագիծ: - հարակից կողմերը; - նրանց միջև եղած անկյունը; - կողքից գծված բարձրություն; - քառակուսի. 5.
Ռոմբուս: 6.
Ուղղանկյուն: 7.
Քառակուսի: 8.
Trapezoid:- հիմքեր; - նրանց միջև բարձրությունը կամ հեռավորությունը. - trapezoid-ի միջին գիծ.
9.
Շրջված բազմանկյուն(- կիսաշրջագիծ; - ներգծված շրջանագծի շառավիղ).
10.
Կանոնավոր բազմանկյուն(- աջ կողմը -
քառակուսի; - շրջագծված շրջանագծի շառավիղը; - ներգծված շրջանագծի շառավիղը):
11.
Շրջանակ, շրջան(- շառավիղ; - շրջագիծ; - շրջանագծի տարածք). 12.
Ոլորտ(- հատվածը սահմանափակող աղեղի երկարությունը, - կենտրոնական անկյան աստիճանի չափումը, - կենտրոնական անկյան ճառագայթային չափումը). Առաջադրանք 1.Եռանկյունի մակերեսը ABC-ն հավասար է 30 սմ 2. Կողքի վրա AC-ն վերցված է D կետում այնպես, որ AD՝ DC =2:3. Ուղղահայաց երկարությունDE-ն անցավ մ.թ.ա, հավասար է 9 սմ Գտե՛քՔ.ա. ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ: DC=2:3,
որտեղ Առաջադրանք 2.Հավասարաչափ եռանկյունում դեպի հիմքը և դեպի կողմը գծված բարձրությունները համապատասխանաբար 10 և 12 սմ են։ Գտեք հիմքի երկարությունը: Սկզբից եկեք նշենք տարբեր տեսակի անկյունների մի քանի հիմնական հատկություններ. Այժմ անցնենք եռանկյունու հատկություններին։ Թող լինի կամայական եռանկյուն. Հետո, եռանկյան անկյունների գումարը: Հիշեք նաև դա Եռանկյան ցանկացած երկու կողմերի գումարը միշտ ավելի մեծ է, քան երրորդ կողմը. Եռանկյան մակերեսը, որը չափվում է երկու կողմերով և նրանց միջև եղած անկյունը. Եռանկյան մակերեսը մի կողմի միջով և դրա վրա իջած բարձրությունը. Եռանկյան կիսաշրջագիծը գտնում ենք հետևյալ բանաձևով. Հերոնի բանաձեւըեռանկյան մակերեսի համար. Եռանկյան մակերեսը շրջապատի առումով. Միջին բանաձևը (մեդիանը գծ է, որը գծված է որոշակի գագաթի և հակառակ կողմի կեսի միջով եռանկյունու մեջ). Միջինների հատկությունները. Բիսեկտորի հատկությունը (կիսեկտորը այն ուղիղն է, որը որոշակի անկյունը բաժանում է երկու հավասար անկյունների, այսինքն՝ կիսով չափ). Կարևոր է իմանալ. Եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է կիսադիրների հատման կետում(բոլոր երեք բիսեկտորները հատվում են այս մեկ կետում): Բիսեկտորի բանաձևերը. Եռանկյան բարձրությունների հիմնական հատկությունը (եռանկյան բարձրությունը հակառակ կողմին ուղղահայաց եռանկյան որոշ գագաթով անցնող ուղիղ է). Եռանկյան բոլոր երեք բարձրությունները հատվում են մեկ կետում: Խաչմերուկի կետի դիրքը որոշվում է եռանկյունու տեսակով. Եռանկյունի բարձրությունների մեկ այլ օգտակար հատկություն. Կոսինուսների թեորեմ: Սինուսների թեորեմա: Եռանկյան շրջագծի կենտրոնը գտնվում է ուղղահայաց կիսորդների հատման կետում:Բոլոր երեք ուղղահայաց կիսորդները հատվում են այս մեկ կետում: Ուղղահայաց բիսեկտորը մի գիծ է, որը գծված է նրան ուղղահայաց եռանկյան կողմի միջով: Կանոնավոր եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը. Հավասարակողմ եռանկյունով շրջագծված շրջանագծի շառավիղը. Կանոնավոր եռանկյունու մակերեսը. Պյութագորասի թեորեմուղղանկյուն եռանկյունու համար ( գ- հիպոթենուզա, աԵվ բ- ոտքեր): Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը. Ուղղանկյուն եռանկյան շուրջը շրջագծված շրջանագծի շառավիղը. Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը ( հ- բարձրությունը իջեցված մինչև հիպոթենուս): Ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսին իջեցված բարձրության հատկությունները. Նմանատիպ եռանկյուններ- եռանկյուններ, որոնցում անկյունները համապատասխանաբար հավասար են, իսկ մեկի կողմերը համամասնական են մյուսի նման կողմերին: Նմանատիպ եռանկյուններում համապատասխան ուղիղները (բարձրություններ, միջնամասեր, կիսատներ և այլն) համաչափ են։ Նմանություններնմանատիպ եռանկյուններ - հավասար անկյունների հակառակ կողմեր: Նմանության գործակիցը- թիվ կ, հավասար է միանման եռանկյունների միանման կողմերի հարաբերությանը։ Նմանատիպ եռանկյունների պարագծերի հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակցին։ Կիսեկտորների, միջինների, բարձրությունների և ուղղահայաց կիսորդների երկարությունների հարաբերակցությունը հավասար է նմանության գործակցին: Նմանատիպ եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակցի քառակուսուն։ Եռանկյունների նմանության նշաններ. Trapezoid- քառանկյուն ուղիղ մեկ զույգ հակառակ կողմերով զուգահեռ: Trapezoid միջին գծի երկարությունը: Trapezoid տարածք: Trapezoids- ի որոշ հատկություններ. Զուգահեռագիծքառանկյուն է, որի հակառակ կողմերը զույգերով զուգահեռ են, այսինքն՝ ընկած են զուգահեռ ուղիղների վրա։ Կողքի միջով զուգահեռագծի մակերեսը և դրա վրա իջեցված բարձրությունը. Երկու կողմերի միջով զուգահեռագծի մակերեսը և նրանց միջև եղած անկյունը. Զուգահեռագծի որոշ հատկություններ. Քառակուսի- քառանկյուն, որի բոլոր կողմերը հավասար են, և բոլոր անկյունները հավասար են 90 աստիճանի: Քառակուսու մակերեսը իր կողմի երկարությամբ. Քառակուսու մակերեսը իր անկյունագծի երկարությամբ. Քառակուսու հատկությունները- սրանք զուգահեռագծի, ռոմբի և ուղղանկյան բոլոր հատկություններն են միաժամանակ: Ռոմբուսզուգահեռագիծ է, որի բոլոր կողմերը հավասար են: Ռոմբի մակերեսը (առաջին բանաձևը երկու անկյունագծով է, երկրորդը՝ կողմի երկարությամբ և կողմերի միջև անկյան միջով). Ռոմբի հատկությունները. Ուղղանկյունզուգահեռագիծ է, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են (հավասար 90 աստիճանի)։ Ուղղանկյունի մակերեսը երկու հարակից կողմերի միջով. Ուղղանկյունի հատկություններ. Կամայական ուռուցիկ քառանկյունի տարածքերկու անկյունագծերի և նրանց միջև եղած անկյան միջոցով. Կամային գործչի մակերեսի, նրա կիսաշրջագծի և ներգծված շրջանագծի շառավիղի միջև կապը(Ակնհայտ է, որ բանաձևը վավեր է միայն այն թվերի համար, որոնց մեջ կարելի է մակագրել շրջան, այսինքն. ցանկացած եռանկյունի): Ընդհանրացված Թալեսի թեորեմ.Զուգահեռ գծերը կտրում են հատվածների համաչափ հատվածները: Անկյունների գումարը n-գոն: Ճիշտի կենտրոնական անկյուն n-գոն: Քառակուսի ճիշտ n-գոն: Համամասնական ակորդի հատվածների թեորեմ. Շոշափող և սականտի թեորեմ. Թեորեմ երկու սեկանտների մասին. Կենտրոնական և ներգծված անկյան թեորեմ(կենտրոնական անկյան մեծությունը երկու անգամ մեծ է ներգծված անկյան մեծությունից, եթե դրանք հենվում են ընդհանուր աղեղի վրա). Ներգծված անկյունների հատկությունը (ընդհանուր աղեղի վրա հիմնված բոլոր ներգծված անկյունները հավասար են միմյանց). Կենտրոնական անկյունների և ակորդների հատկությունը. Կենտրոնական անկյունների և հատվածների հատկությունը. Շրջագիծ: Շրջանաձև աղեղի երկարությունը. Շրջանի տարածքը: Ոլորտի տարածքը: Օղակաձեւ տարածք. Շրջանաձև հատվածի մակերեսը. Այս երեք կետերի հաջող, ջանասիրաբար և պատասխանատու իրականացումը թույլ կտա Ձեզ ցույց տալ գերազանց արդյունք ՀՏ-ում՝ առավելագույնը, ինչի ընդունակ եք: Եթե կարծում եք, որ սխալ եք գտել ուսումնական նյութերում, խնդրում ենք գրել այդ մասին էլ. Դուք կարող եք նաև սխալի մասին հաղորդել սոցիալական ցանցում (): Նամակում նշեք թեման (ֆիզիկա կամ մաթեմատիկա), թեմայի կամ թեստի անվանումը կամ համարը, խնդրի համարը կամ տեքստի (էջի) այն տեղը, որտեղ, ըստ Ձեզ, կա սխալ։ Նաև նկարագրեք, թե որն է կասկածելի սխալը: Ձեր նամակն աննկատ չի մնա, սխալը կա՛մ կուղղվի, կա՛մ ձեզ կբացատրեն, թե ինչու այն սխալ չէ։
.
Մատենագիտական հղում
Խվորով Ի.Ի. ՊԼԱՆԻՄԵՏՐԻԱՅԻ ՔԻՉ ՀԱՅՏՏԵՈՐԵՄՆԵՐԸ // Միջազգային դպրոցական գիտական տեղեկագիր. – 2018. – Թիվ 3-2. – էջ 184-188;
URL՝ http://school-herald.ru/ru/article/view?id=544 (մուտքի ամսաթիվ՝ 01/02/2020): Մաթեմատիկայի դասավանդող երկրաչափական ձևերի հատկությունների մասին
Եթե եռանկյան մեկ գագաթից բիսեկտորը, միջինը m և h բարձրությունը գծված են, ապա կիսորդը կգտնվի երկու այլ հատվածների միջև, և բոլոր հատվածների երկարությունները ենթարկվում են կրկնակի անհավասարությանը:
Կամայական եռանկյունում նրա ցանկացած գագաթից մինչև ուղղանկյուն (բարձրությունների հատման կետ) հեռավորությունը 2 անգամ ավելի մեծ է, քան այս եռանկյունիով շրջագծված շրջանագծի կենտրոնից մինչև այս գագաթին հակառակ կողմը: Դա ապացուցելու համար կարող եք ուղիղ գծեր գծել եռանկյան գագաթների միջով՝ նրա բարձրություններին զուգահեռ: Այնուհետև օգտագործեք բնօրինակի և ստացված եռանկյունու նմանությունը:
Ցանկացած եռանկյան M միջնագծերի հատման կետը (նրա ծանրության կենտրոնը) H եռանկյան ուղղանկյունի և շրջանագծի կենտրոնի հետ միասին (կետ O) գտնվում են նույն պրիմայի վրա, և . Սա բխում է նախորդ հատկությունից և միջնամասերի հատման կետի հատկությունից:
Երկու հատվող շրջանների ընդհանուր ակորդի երկարացումը նրանց ընդհանուր շոշափողի հատվածը բաժանում է երկու հավասար մասերի։ Այս հատկությունը ճշմարիտ է անկախ այս խաչմերուկի բնույթից (այսինքն՝ շրջանագծերի կենտրոնների գտնվելու վայրը)։ Դա ապացուցելու համար կարելի է օգտագործել շոշափող հատվածի քառակուսու հատկությունը:
Եթե եռանկյունը պարունակում է իր անկյան կիսորդը, ապա նրա քառակուսին հավասար է անկյան կողմերի արտադրյալների և այն հատվածների տարբերությանը, որոնց մեջ կիսորդը բաժանում է հակառակ կողմը։
Ծանո՞թ եք այն իրավիճակին, երբ ուղիղ անկյան գագաթից բարձրությունը գծված է դեպի հիպոթենուս: Իհարկե. Գիտեի՞ք, որ ստացված բոլոր եռանկյունները նման են: Անշուշտ գիտես. Այնուհետև դուք հավանաբար չգիտեք, որ այս եռանկյունների որևէ համապատասխան տարր կազմում է հավասարություն, որը կրկնում է Պյութագորասի թեորեմը, այսինքն, օրինակ, որտեղ և են փոքր եռանկյունների ներգծված շրջանակների շառավիղները և ներգծված շրջանագծի շառավիղն է։ մեծ եռանկյունու մեջ:
Եթե դուք հանդիպեք կամայական քառանկյունի բոլոր հայտնի կողմերից a, b, c և d, ապա դրա մակերեսը հեշտությամբ կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով Հերոնի բանաձևը հիշեցնող բանաձևը.
, որտեղ x քառանկյան ցանկացած երկու հակադիր անկյունների գումարն է։ Եթե տրված քառանկյունը մակագրված է շրջանագծի մեջ, ապա բանաձևը ստանում է ձևը.
և կոչվում է Բրահմագուպտայի բանաձեւը
Եթե ձեր քառանկյունը շրջագծված է շրջանով (այսինքն՝ շրջանագիծը մակագրված է դրան), ապա քառանկյունի մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով. 
Այս բաժնում թեորեմների ձևակերպումները տրված են ըստ Ա.Վ.Պոգորելովի «Երկրաչափություն. 7–9 դասարաններ»։Պլանաչափության հիմնական թեորեմները և դրանց հետևանքները
1. Թեորեմներ ուղիղների վերաբերյալ (զուգահեռություն և ուղղահայացություն հարթության վրա)
Զուգահեռ ուղիղների հատկությունները.
Երրորդին զուգահեռ երկու ուղիղները զուգահեռ են (նկ. 57):
(ա||գ, բ||գ) ? ա||բ.
ա||բ ? = ?
? + ? = 180 °: 
Եթե, երբ երկու ուղիղները հատում են երրորդը, ձևավորված հատվող ներքին անկյունները հավասար են, ապա ուղիղները զուգահեռ են (նկ. 59):
Արդյո՞ք միմյանց վրա գտնվող ներքին անկյունները հավասար են: ա||բ. 
ա||բ. 
ա||բ. 
Տրված գծի վրա չպառկած ցանկացած կետից կարող եք իջեցնել այս գծին ուղղահայաց, և միայն մեկին (նկ. 63): 
Երրորդին ուղղահայաց երկու ուղիղ զուգահեռ են (նկ. 64):
(ա? գ, բ? գ) ? ա||բ. 
(ա? բ, բ||գ) ? Ա. Հետ. 
2 Թեորեմներ անկյունների մասին. Անկյուններ եռանկյունու մեջ. Անկյուններ, որոնք գրված են շրջանագծի մեջ
Ուղղահայաց անկյունների հատկությունը.
Ուղղահայաց անկյունները հավասար են (նկ. 66):
? = ?.
AB = մ.թ.ա. ?A = ?C. 
Եռանկյան ներքին անկյունների գումարը 180° է (նկ. 68):
? + ? + ? = 180 °: 
Ուռուցիկ n-անկյունի անկյունների գումարը 180° է (n – 2) (նկ. 69): 
Եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է նրան ոչ կից երկու ներքին անկյունների գումարին (նկ. 70).
? = ? + ?.
Շրջանակով ներգծված անկյունը հավասար է q համապատասխան կենտրոնական անկյան կեսին (նկ. 71). 
3. Հիմնական թեորեմներ եռանկյունների մասին
Եռանկյունների հավասարության նշաններ. Եթե մեկ եռանկյան երկու կողմերը և նրանց միջև եղած անկյունը համապատասխանաբար հավասար են երկու կողմերին և մեկ այլ եռանկյան անկյունին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են (նկ. 72): 
Եթե մի եռանկյան կողմը և հարակից անկյունները համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան կողքին և հարակից անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են (նկ. 73): 
Եթե մի եռանկյան հիպոթենուսը և ոտքը համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան հիպոթենուսին և ոտքին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են (նկ. 75): 
Եթե մի եռանկյան հիպոթենուսը և սուր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մեկ այլ եռանկյան հիպոթենուզային և սուր անկյուններին, ապա այդպիսի եռանկյունները համահունչ են (նկ. 76): 
Հավասարասրուն եռանկյունում դեպի հիմքը գծված միջնագիծը կիսորդն է և բարձրությունը (նկ. 77): 
Այս երկու կողմերի միջնակետերը միացնող եռանկյան միջին գիծը զուգահեռ է երրորդ կողմին և հավասար է նրա կեսին (նկ. 78)։ 
Եռանկյան կողմերը համաչափ են հակառակ անկյունների սինուսներին (նկ. 79): 
Կոսինուսների թեորեմ.
Եռանկյան ցանկացած կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին, առանց այս կողմերի արտադրյալի երկու անգամ նրանց միջև եղած անկյան կոսինուսի կողմից (նկ. 80): 
Պյութագորասի թեորեմ (կոսինուսների թեորեմի հատուկ դեպք).
Ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին (նկ. 81): 
4. Համաչափություն և նմանություն ինքնաթիռում
Թալեսի թեորեմ.
Եթե անկյան կողմերը հատող զուգահեռ գծերը կտրում են մի կողմից հավասար հատվածներ, ապա մյուս կողմից կտրում են հավասար հատվածներ (նկ. 82): 
a, b, c – ուղիղ գծեր, որոնք հատում են անկյան կողմերը:
Անկյունի կողմերը հատող զուգահեռ ուղիղ գծերը կտրում են անկյան կողմերից համաչափ հատվածներ (նկ. 83): 
Եռանկյան կիսադիրի հատկությունը.
Եռանկյան անկյան կիսանդրին հակառակ կողմը բաժանում է մյուս երկու կողմերին համաչափ հատվածների (նկ. 84): 
Եռանկյունների նմանության նշաններ.
Եթե մի եռանկյան երկու անկյունները հավասար են մեկ այլ եռանկյան երկու անկյունների, ապա այդպիսի եռանկյունները նման են (նկ. 85): 
Եթե մի եռանկյան երկու կողմերը համաչափ են մեկ այլ եռանկյան երկու կողմերին, և այդ կողմերից կազմված անկյունները հավասար են, ապա եռանկյունները նման են (նկ. 86): 
Եթե մի եռանկյան կողմերը համաչափ են մյուս եռանկյան կողմերին, ապա այդպիսի եռանկյունները նման են (նկ. 87): 
5. Հիմնական երկրաչափական անհավասարություններ
Թեքի և ուղղահայաց երկարությունների հարաբերակցությունը:
Եթե մի կետից ուղղահայաց և թեք ուղիղ գծված են, ապա ցանկացած թեք մեծ է ուղղահայացից, հավասար թեքերն ունեն հավասար ելուստներ, իսկ երկու թեքներից մեծ է մեծ ելուստ ունեցողը (նկ. 88):
Ա.Ա.< АВ < АС; если А"С >A"B, ապա AC > AB: 
Ինչ էլ որ լինեն երեք կետերը, այս կետերից որևէ երկուսի միջև հեռավորությունը մեծ չէ նրանցից մինչև երրորդ կետ հեռավորությունների գումարից: Հետևում է, որ ցանկացած եռանկյունում յուրաքանչյուր կողմ փոքր է մյուս երկու կողմերի գումարից (նկ. 89).
AC< АВ + ВС.
Եռանկյան մեջ ավելի մեծ կողմը գտնվում է ավելի մեծ անկյան դիմաց, իսկ ավելի մեծ անկյունը գտնվում է ավելի մեծ կողմի դիմաց (նկ. 90):
(Ք.ա.< AB < AC) ? (?А < ?С < ?В).
6. Ինքնաթիռի կետերի հիմնական երկրաչափական դիրքերը
Անկյունի կողմերից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթության կետերի երկրաչափական դիրքը կլինի տվյալ անկյան կիսորդը (նկ. 91): 
Տրված երկու կետերից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի երկրաչափական տեղանքը կլինի այս կետերը միացնող և դրա միջով անցնող հատվածին ուղղահայաց ուղիղ գիծ (նկ. 92): 
Տրված կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող հարթ կետերի երկրաչափական տեղանքը կլինի այս կետում կենտրոն ունեցող շրջան (նկ. 93): 
Եռանկյունով շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը այս կողմերի միջնակետերով գծված եռանկյան կողմերին ուղղահայացների հատման կետն է (նկ. 94): 
AM = MV և AK = KS:
M և K կետերը համապատասխանաբար AB և AC կողմերին ուղղահայաց հիմքերն են:
Եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի կենտրոնը նրա կիսատների հատման կետն է (նկ. 95): 
7. Թեորեմներ քառանկյունների մասին
Զուգահեռագծի հատկությունները.
Զուգահեռագիծն ունի հակառակ կողմեր, որոնք հավասար են: Զուգահեռագրում հակառակ անկյունները հավասար են:
Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են և կիսով չափ կիսվում են հատման կետում (նկ. 96): 
Եթե քառանկյունն ունի երկու կողմ զուգահեռ և հավասար, ապա այն զուգահեռագիծ է (նկ. 97): 
Ուղղանկյունն ունի զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները (ուղղանկյունի կողմերը հավասար են, ուղղանկյունի անկյունները հավասար են (90°), ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են և կիսվում են հատման կետով):
Ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են (նկ. 99):
AC = BD: 
Եթե զուգահեռագիծն ունի բոլոր հավասար անկյունները, ապա այն ուղղանկյուն է:
Ռոմբը բնութագրվում է զուգահեռագծի բոլոր հատկություններով (ռոմբը ունի հակադիր կողմերը հավասար. ընդհանուր առմամբ, բոլոր կողմերը ըստ սահմանման հավասար են, ռոմբը ունի հակառակ անկյունները հավասար; ռոմբի անկյունագծերը հատվում են և կիսով չափ բաժանվում են հատման կետով): կետ):
Ռոմբի անկյունագծերը հատվում են ուղիղ անկյան տակ։
Ռոմբի անկյունագծերը նրա անկյունների կիսորդներն են (նկ. 100): 
Եթե զուգահեռագիծն ունի ուղղահայաց անկյունագծեր, ապա այն ռոմբ է:
Քառակուսին ունի ուղղանկյան և ռոմբի հատկություններ:
Եթե ուղղանկյան անկյունագծերը հատվում են ուղիղ անկյան տակ, ապա այն քառակուսի է։
Տրապիզոնի միջնագիծը զուգահեռ է հիմքերին և հավասար է դրանց կիսագումարին (նկ. 101): 
Ներգրված և շրջագծված քառանկյունների չափանիշները.
Եթե շրջանագիծը կարելի է նկարագրել քառանկյան շուրջ, ապա դրա հակառակ անկյունների գումարը հավասար է 180°-ի (նկ. 102):
?A + ?C = ?B + ?D = 180°: 
AB + CD = AD + BC. 
8. Շրջանների թեորեմներ
Ակորդների և սեկանտների հատկություն.
Եթե շրջանագծի AB և CD ակորդները հատվում են S կետում, ապա AS? BS = CS? DS (նկ. 104): 
Շրջանակի շրջագծի և տրամագծի հարաբերակցությունը կախված չէ շրջանագծի շառավղից, այսինքն՝ նույնն է ցանկացած երկու շրջանագծի համար։ Արդյո՞ք այս թիվը հավասար է: (նկ. 106): 
9. Վեկտորներ
Հիմքի նկատմամբ վեկտորի տարրալուծման թեորեմ.
Եթե հարթության վրա տրված են երկու ոչ գծային վեկտորներ a և b և ցանկացած այլ c վեկտոր, ապա կան այնպիսի եզակի թվեր n և m, որ c = na + mb (նկ. 107):
Որտեղ 
Վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար է նրանց բացարձակ q արժեքների (երկարությունների) արտադրյալին նրանց միջև անկյան կոսինուսով (նկ. 108):
OA? OB = OA? Օ.Բ. cos?. 
Պլանաչափության հիմնական բանաձևերը
Եռանկյունու համար (նկ. 109): 
?, ?, ? - նրանց հակառակ անկյունները;
r-ը և R-ը ներգծված և շրջագծված շրջանագծերի շառավիղներն են.
ha, ma, la – բարձրությունը, միջինը և կիսադիրը գծված է դեպի a կողմը;
S - եռանկյունու տարածք; 
Եռանկյան միջնամասերը բաժանվում են հատման կետով 2:1 հարաբերությամբ՝ հաշվելով գագաթից (նկ. 110): 
h – trapezoid-ի բարձրությունը:
կամայական ուռուցիկ քառանկյունի համար (նկ. 111): 
Շրջանի և շրջանագծի համար (նկ. 112): 
Ssegment = Ssector – Striangle.Անալիտիկ պլանաչափության բանաձևեր
Եթե տրված են A(x1; y1) և B(x2; y2) կետերը, ապա 
Հեռավորությունը A(x1; y1) կետից մինչև ուղիղ գիծ ax + by + c = 0 է 
3.2. Ինքնաթեստի հարցեր
2. ա) Ձևակերպե՛ք երկու կողմերի երկայնքով եռանկյունների և նրանց միջև անկյան հավասարության չափանիշ: (1)
3. ա) Ձևակերպե՛ք մի կողմի և երկու անկյունների երկայնքով եռանկյունների հավասարության չափանիշ: (1)
բ) Ապացուցեք այս նշանը. (1)
4. ա) Թվարկե՛ք հավասարաչափ եռանկյան հիմնական հատկությունները. (1)
գ) Ապացուցե՛ք հավասարաչափ եռանկյունու թեստը: (1)
5. ա) Ձևակերպե՛ք երեք կողմերի եռանկյունների հավասարության չափանիշ. (1)
բ) Ապացուցեք այս նշանը. (1)
6. Ապացուցե՛ք, որ երրորդին զուգահեռ երկու ուղիղները զուգահեռ են: (2)
7. ա) Ձևակերպի՛ր ուղիղների զուգահեռության նշանները. (1)
գ) Ապացուցե՛ք հակադարձ թեորեմները: (1)
8. Ապացուցե՛ք եռանկյան անկյունների գումարի թեորեմը: (1)
9. Ապացուցեք, որ եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար է երկու ներքին անկյունների գումարին, որոնք կից չեն նրան: (1)
10. ա) Ձևակերպե՛ք ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության չափանիշները. (1)
բ) Ապացուցել հիպոթենուսի և ոտքի երկայնքով ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության չափանիշները. հիպոթենուսի և սուր անկյան երկայնքով: (1)
11. ա) Ապացուցեք, որ տվյալ ուղիղի վրա չգտնվող կետից կարող է ուղղահայաց ընկնել այս ուղիղի վրա: (1)
բ) Ապացուցեք, որ տրված ուղիղի վրա ընկած կետի միջով հնարավոր է գծել տրվածին ուղղահայաց եզակի ուղիղ. (1)
12. ա) Որտե՞ղ է գտնվում եռանկյան շրջագծի կենտրոնը: (1)
13. ա) Որտե՞ղ է գտնվում եռանկյան ներգծված շրջանագծի կենտրոնը: (1)
բ) Ապացուցե՛ք համապատասխան թեորեմը. (1)
14. Ապացուցե՛ք շրջանագծին շոշափողի հատկությունը: (1)
15. ա) Զուգահեռագծի ի՞նչ հատկություններ գիտեք: (1)
բ) Ապացուցեք այս հատկությունները: (1)
16. ա) Զուգահեռագծի ի՞նչ նշաններ գիտեք։ (1)
բ) Ապացուցե՛ք այս նշանները. (1)
17. ա) Ուղղանկյան ի՞նչ հատկություններ և բնութագրեր գիտեք: (1)
18. ա) Ռոմբի ի՞նչ հատկություններ և նշաններ գիտեք: (1)
բ) Ապացուցե՛ք այս հատկություններն ու նշանները. (1)
19. ա) Քառակուսու ի՞նչ հատկություններ և նշաններ գիտեք: (1)
բ) Ապացուցե՛ք այս հատկություններն ու նշանները. (1)
20. ա) Նշեք Թալեսի թեորեմը. (1)
բ) Ապացուցեք այս թեորեմը. (1)
21. ա) Ձևակերպե՛ք Թալեսի ընդհանրացված թեորեմը (թեորեմ համամասնական հատվածների մասին). (1)
բ) Ապացուցեք այս թեորեմը. (2)
22. ա) Եռանկյան միջին գծի ի՞նչ հատկություններ գիտեք: (1)
բ) Ապացուցեք այս հատկությունները: (1)
23. ա) Ի՞նչ հատկություններ գիտեք տրապիզոնի միջնագծի մասին: (1)
բ) Ապացուցեք այս հատկությունները: (1)
24. ա) Նշի՛ր Պյութագորասի թեորեմը. (1)
բ) Ապացուցե՛ք Պյութագորասի թեորեմը. (1)
գ) Ձևակերպե՛ք և ապացուցե՛ք հակադարձ թեորեմը: (2)
25. Ապացուցե՛ք, որ ցանկացած թեք մեծ է ուղղահայացից, իսկ երկու թեքից՝ ավելի մեծ ելուստ ունեցողը: (1)
26. ա) Ձևակերպի՛ր եռանկյան անհավասարությունը. (1)
բ) Ապացուցե՛ք եռանկյան անհավասարությունը. (2)
27. Տրված են A(x1; y1) և B(x2; y2) կետերի կոորդինատները.
ա) Ի՞նչ բանաձևով է հաշվարկվում AB հատվածի երկարությունը: (1)
բ) Ստացեք այս բանաձևը. (1)
28. Ստացրե՛ք A(x0; y0) կետում կենտրոն ունեցող շրջանագծի հավասարումը և R շառավիղը (1):
29. Ապացուցե՛ք, որ x, y դեկարտյան կոորդինատներում ցանկացած ուղիղ ունի ax + by + c = 0 ձևի հավասարում։ (2)
30. Գրի՛ր A(x1; y1) և B(x2; y2) կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը: Պատասխան՝ հիմնավորիր։ (2)
31. Ապացուցե՛ք, որ y = kx + b ուղիղ գծի հավասարման մեջ k թիվը ուղիղ գծի թեքության անկյան շոշափումն է x առանցքի դրական ուղղությանը: (2)
32. ա) Շարժումների ո՞ր հիմնական հատկությունները գիտեք: (2)
բ) Ապացուցեք այս հատկությունները: (3)
33. Ապացուցեք, որ.
ա) կետի նկատմամբ համաչափության փոխակերպումը շարժում է. (3)
բ) ուղիղ գծի նկատմամբ համաչափության փոխակերպումը շարժում է. (3)
գ) զուգահեռ թարգմանությունը շարժում է: (3)
34. Ապացուցե՛ք զուգահեռ փոխանցման գոյության և եզակիության թեորեմը: (3)
35. Ապացուցե՛ք, որ ka վեկտորի բացարձակ արժեքը հավասար է |k|-ի ? |ա|, մինչդեռ վեկտորի ka-ի ուղղությունը a? O-ն համընկնում է a վեկտորի ուղղության հետ, եթե k > 0, և հակառակ է a վեկտորի ուղղությանը, եթե k< 0. (1)
36. Ապացուցեք, որ ցանկացած a վեկտոր կարող է ընդարձակվել b և c վեկտորների (երեք վեկտորներն էլ գտնվում են նույն հարթության վրա): (1)
37. Տրված վեկտորները a = (a1; a2) և b = (BL; b2): Ապացուցեք դա 
38. ա) Ի՞նչ հատկություններ գիտեք վեկտորների սկալյար արտադրյալի մասին: (1)
բ) Ապացուցեք այս հատկությունները: (2)
39. Ապացուցե՛ք, որ համասեռությունը նմանության փոխակերպում է: (1)
40. ա) Նմանության փոխակերպման ի՞նչ հատկություններ գիտեք: (1)
բ) Ապացուցեք, որ նմանության փոխակերպումը պահպանում է ճառագայթների միջև եղած անկյունները: (2)
41. ա) Ձևակերպե՛ք երկու անկյան տակ գտնվող եռանկյունների նմանության թեստ. (1)
42. ա) Ձևակերպե՛ք եռանկյունների նմանության չափանիշ՝ հիմնված երկու կողմերի և նրանց միջև անկյան վրա. (1)
բ) Ապացուցեք այս նշանը. (1)
43. ա) Ձևակերպե՛ք երեք կողմերի եռանկյունների նմանության չափանիշ. (1)
բ) Ապացուցեք այս նշանը. (2)
44. ա) Նշի՛ր եռանկյան կիսադիրի հատկությունը. (1)
բ) Ապացուցեք, որ եռանկյան կիսադիրը հակառակ կողմը բաժանում է մյուս երկու կողմերին համաչափ հատվածների: (1)
45. ա) Նշե՛ք շրջանագծով գծված անկյան հատկությունը. (1)
բ) Ապացուցեք այս հատկությունը. (1)
46. ա) Ապացուցե՛ք, որ եթե շրջանագծի AB և CD ակորդները հատվում են S կետում, ապա AS. BS = CS? Դ.Ս. (1)
բ) Ապացուցեք, որ եթե S կետից շրջանագիծ գծված են երկու հատված, որոնք շրջանագիծը հատում են համապատասխանաբար A, B և C, D կետերում, ապա AS ? BS = CS? Դ.Ս. (1)
47. ա) Նշի՛ր եռանկյան կոսինուսի թեորեմը: (1)
բ) Ապացուցեք այս թեորեմը. (1)
48. ա) Նշի՛ր սինուսների թեորեմը. (1)
բ) Ապացուցեք այս թեորեմը. (1)
գ) Ապացուցեք, որ սինուսների թեորեմում երեք հարաբերություններից յուրաքանչյուրը. 
49. Ապացուցե՛ք, որ եռանկյան մեջ ավելի մեծ անկյունը գտնվում է ավելի մեծ կողմի դիմաց, իսկ ավելի մեծ կողմը՝ ավելի մեծ անկյան դիմաց: (2)
50. ա) Որքա՞ն է ուռուցիկ n-անկյունի անկյունների գումարը. (1)
բ) Բացի՛ր ուռուցիկ n-անկյունի անկյունների գումարի բանաձևը. (1)
51. ա) Ապացուցե՛ք, որ շրջանագիծը կարելի է մակագրել կանոնավոր բազմանկյան մեջ: (1)
բ) Ապացուցեք, որ շրջանագիծը կարելի է շրջագծել կանոնավոր բազմանկյունի շուրջը: (1)
52. Տրվում է a կողով կանոնավոր n-անկյուն: Ստացեք բանաձևեր.
ա) ներգծված և շրջագծված շրջանակների շառավիղներ. (1)
բ) n-gon տարածքը. (1)
գ) գագաթային անկյուն: (1)
53. Ապացուցեք, որ շրջանագծի շրջագծի և տրամագծի հարաբերությունը կախված չէ շրջանագծի չափից: (3)
54. Ինչպե՞ս անկյունները աստիճաններից վերածել ռադիանիների և հակառակը: (1)
55. Ապացուցե՛ք, որ ուղղանկյան մակերեսը հավասար է ուղղանկյան երկարության և լայնության արտադրյալին: (3)
56. ա) Ի՞նչ բանաձևով է հաշվարկվում զուգահեռագծի մակերեսը: (1)
բ) Ստացեք այս բանաձևը. (1)
57. ա) Ի՞նչ բանաձևով է հաշվարկվում եռանկյան մակերեսը: (հիմքի և բարձրության միջոցով): (1)
բ) Ստացեք այս բանաձևը. (1)
գ) Ստացե՛ք Հերոնի բանաձևը. (1)
58. ա) Ի՞նչ բանաձևով է հաշվարկվում տրապիզոնի մակերեսը: (1)
բ) Ստացեք այս բանաձևը. (1)
59. Ստացե՛ք բանաձևերը. 
S - դրա տարածքը;
R-ը և r-ը շրջագծված և ներգծված շրջանագծերի շառավիղներն են: (1)
60. Թող F1-ը և F2-ը լինեն նույնականության k գործակցով երկու նման թվեր: Ինչպե՞ս են կապված այս թվերի տարածքները: Պատասխան՝ հիմնավորիր։ (1)
61. ա) Ի՞նչ բանաձևով է հաշվարկվում շրջանագծի մակերեսը: (1)
բ) Ստացեք այս բանաձևը. (3)
62. Ստացե՛ք շրջանաձև հատվածի մակերեսի բանաձևը: (2)
63. Ստացե՛ք շրջանաձև հատվածի մակերեսի բանաձևը: (2)
64. ա) Ապացուցե՛ք, որ եռանկյան կիսադիրները հատվում են մի կետում: (2)
բ) Ապացուցեք, որ եռանկյան միջինները հատվում են մի կետում: (2)
գ) Ապացուցեք, որ եռանկյան (կամ դրանց երկարացումների) բարձրությունները հատվում են մեկ կետում: (2)
դ) Ապացուցեք, որ եռանկյան կողմերին ուղղահայաց կիսորդները հատվում են մեկ կետում: (1)
65. Ապացուցե՛ք, որ եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա երկու կողմերի և նրանց միջև անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին։ (1)
66. ա) Նշեք Սևայի թեորեմը. (3)
բ) Ապացուցեք այս թեորեմը. (3)
67. ա) Նշեք Մենլայի թեորեմը. (3)
բ) Ապացուցեք այս թեորեմը. (3)
գ) Ձևակերպե՛ք և ապացուցե՛ք հակադարձ թեորեմը: (3)
68. ա) Ապացուցեք, որ եթե մի անկյան կողմերը զուգահեռ են մյուս անկյան կողմերին, ապա այդպիսի անկյունները կամ հավասար են կամ 180°։ (2) 
, որտեղ է այս եռանկյունու շուրջ շրջագծված շրջանագծի շառավիղը:
.
.
.
,
.
Լուծում.Եկեք անցկացնենք ԲԴ (տես նկ. 1.); եռանկյուններ ABD և BDC ունեն ընդհանուր հասակԲ.Ֆ. ; հետևաբար, դրանց տարածքները կապված են հիմքերի երկարությունների հետ, այսինքն.
18 սմ 2.Մյուս կողմից
, կամ , որից BC =4 սմ Պատասխան՝ BC =4 սմ.
Լուծում. IN ABCմենք ունենք ԱԲ=
Ք.ա.,
ԲԴ^
A.C.,
Ա.Է.^
DC,
ԲԴ=10 սմ և Ա.Է.=12 սմ (տես նկ. 2): Թող ուղղանկյուն եռանկյուններըA.E.C.
Եվ BDCնմանատիպ (անկյուն Գընդհանուր); հետևաբար, կամ 10:12=5:6: Կիրառելով Պյութագորասի թեորեմը BDC, ունենք, այսինքն. .
Trapezoid
Զուգահեռագիծ
Քառակուսի
Ադամանդ և ուղղանկյուն
Ազատ ձևեր
Շրջանակ
Սխա՞լ եք գտել:
Բեռնվում է...