Դիֆերենցիալ հավասարման կարգը և դրա լուծումը, Քոշիի խնդիրը: Երրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների գծային համակարգերի լուծման ալգորիթմ Գծային անհամասեռ հավասարումներ հաստատուն գործակիցներով

Այս հավասարման համար մենք ունենք.

; (5.22)

. (5.23)

Վերջին որոշիչը տալիս է պայմանը 3 > 0: Δ 2 > 0 պայմանը 0 > 0, 1 > 0 և 3 > 0 համար կարող է բավարարվել միայն 2 > 0-ի համար:

Հետևաբար, երրորդ կարգի հավասարման համար բնորոշ հավասարման բոլոր գործակիցների դրականությունն այլևս բավարար չէ։ Պահանջվում է նաև կատարել որոշակի հարաբերություն a 1 a 2 > a 0 a 3 գործակիցների միջև:

4. Չորրորդ կարգի հավասարում

Վերևում արվածի նման, մենք կարող ենք ստանալ, որ չորրորդ կարգի հավասարման համար, բացի բոլոր գործակիցների դրականությունից, պետք է բավարարվի հետևյալ պայմանը.

Հանրահաշվական չափանիշների էական թերությունը, ներառյալ Հուրվիցի չափանիշները, նաև այն է, որ բարձր կարգի հավասարումների դեպքում, լավագույն դեպքում, կարելի է պատասխան ստանալ, թե արդյոք ավտոմատ կառավարման համակարգը կայուն է, թե անկայուն: Ավելին, անկայուն համակարգի դեպքում չափանիշը չի պատասխանում, թե ինչպես պետք է համակարգի պարամետրերը փոխվեն, որպեսզի այն կայուն լինի։ Այս հանգամանքը հանգեցրեց այլ չափանիշների որոնմանը, որոնք ավելի հարմար կլինեն ինժեներական պրակտիկայում։

5.3. Միխայլովի կայունության չափանիշ

Առանձին դիտարկենք բնութագրիչ հավասարման ձախ կողմը (5.7), որը բնորոշ բազմանդամն է։

Եկեք այս բազմանդամի մեջ փոխարինենք զուտ երևակայական արժեքը p = j, որտեղ  ներկայացնում է տատանումների անկյունային հաճախականությունը, որը համապատասխանում է բնորոշ լուծման զուտ երևակայական արմատին: Այս դեպքում մենք ստանում ենք բնորոշ բարդույթ

որտեղ իրական մասը կպարունակի նույնիսկ հաճախականության ուժեր

իսկ երևակայականը՝ տարօրինակ աստիճաններհաճախականություններ

Ե

Բրինձ. 5.4. Միխայլովի հոդոգրաֆը

Եթե ​​տրված են բոլոր գործակիցները և որոշակի հաճախականության արժեքը, ապա համալիր հարթության վրա D(j) արժեքը կպատկերվի որպես U և V կոորդինատներով կետ կամ որպես այս կետը սկզբնակետին կապող վեկտոր: Եթե ​​հաճախականության արժեքը շարունակաբար փոխվում է զրոյից մինչև անվերջություն, ապա վեկտորը կփոխվի մեծության և ուղղության մեջ՝ իր ծայրով նկարագրելով որոշակի կոր (հոդոգրաֆ), որը կոչվում է. Միխայլովյան կոր (նկ. 5.4):

Գործնականում Միխայլովի կորը կառուցվում է կետ առ կետ, և նշվում են  հաճախականության տարբեր արժեքներ և U() և V() հաշվարկվում են (5.28), (5.29) բանաձևերով: Հաշվարկների արդյունքներն ամփոփված են աղյուսակում: 5.1.

Աղյուսակ 5.1

Միխայլովյան կորի կառուցում

Օգտագործելով այս աղյուսակը, կորը ինքնին կառուցվում է (նկ. 5.4):

Եկեք որոշենք, թե ինչին պետք է հավասար լինի D(j) վեկտորի  պտտման անկյունը, երբ  հաճախականությունը զրոյից փոխվում է անսահմանության: Դա անելու համար մենք գրում ենք բնորոշ բազմանդամը որպես գործակիցների արտադրյալ

որտեղ  1 –  n բնութագրիչ հավասարման արմատներն են:

Այնուհետև բնորոշ վեկտորը կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Յուրաքանչյուր փակագիծ ներկայացնում է բարդ թիվ: Հետևաբար, D(j) արտադրյալն է բարդ թվեր. Բազմապատկելիս գումարվում են բարդ թվերի արգումենտները։ Հետեւաբար, D(j) վեկտորի պտտման արդյունքում ստացված անկյունը կլինի գումարին հավասարԱռանձին գործոնների պտտման անկյունները (5.31), երբ հաճախականությունը փոխվում է զրոյից մինչև անվերջություն

Եկեք յուրաքանչյուր տերմին սահմանենք (5.31) առանձին: Խնդիրն ընդհանրացնելու համար հաշվի առեք տարբեր տեսակներարմատները.

1. Թող լինի որոշ արմատ, օրինակ  1 իրական և բացասական , այսինքն 1 = – 1: Այս արմատով որոշված ​​(5.31) արտահայտության գործակիցը կունենա ( 1 + j) ձևը: Եկեք կառուցենք այս վեկտորի հոդոգրաֆը բարդ հարթության վրա, քանի որ հաճախականությունը փոխվում է զրոյից մինչև անսահմանություն (նկ. 5.5, Ա) Երբ= 0, իրական մասը U= 1 է, իսկ երևակայական մասը՝ V= 0։ Սա համապատասխանում է իրական առանցքի վրա ընկած A կետին։ At0 վեկտորը կփոխվի այնպես, որ նրա իրական մասը դեռ հավասար կլինի-ին, իսկ երևակայական մասը V = (գրաֆիկի B կետ): Երբ հաճախականությունը մեծանում է մինչև անսահմանություն, վեկտորը գնում է դեպի անսահմանություն, և վեկտորի վերջը միշտ մնում է A կետով անցնող ուղղահայաց ուղիղ գծի վրա, և վեկտորը պտտվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ:

Բրինձ. 5.5. Իրական արմատներ

Ստացված վեկտորի պտտման անկյունը  1 = +( / 2):

2. Հիմա թող լինի  1 արմատը իրական և դրական , այսինքն 1 = + 1.Այնուհետև այս արմատով որոշված ​​(5.31) գործակիցը կունենա (– 1 + j) ձևը։ Նմանատիպ կոնստրուկցիաներ (նկ. 5.5, բ) ցույց տվեք, որ արդյունքում պտտման անկյունը կլինի 1 = –( / 2): Մինուս նշանը ցույց է տալիս, որ վեկտորը պտտվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ:

3. Թող լինեն երկու խոնարհված արմատներ, օրինակ  2 և  3. համալիր բացասական իրական մասով , այսինքն 2;3 = –±j: Նմանապես, արտահայտության (5.31) գործոնները, որոնք որոշվում են այս արմատներով, կունենան (–j + j) ( + j + j) ձևը:

Երբ = 0, երկու վեկտորների սկզբնական դիրքերը որոշվում են A 1 և A 2 կետերով (նկ. 5.6, Ա) Առաջին վեկտորը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտվում է իրական առանցքի նկատմամբ՝ arctg( / ) հավասար անկյան տակ, իսկ երկրորդ վեկտորը պտտվում է նույն անկյան տակ՝ հակառակ ուղղությամբ: -ի աստիճանական աճով զրոյից մինչև անվերջություն, երկու վեկտորների ծայրերը բարձրանում են մինչև անսահմանություն, և երկու վեկտորներն էլ ի վերջո միաձուլվում են երևակայական առանցքի հետ:

Ստացված առաջին վեկտորի պտտման անկյունը  2 = ( / 2) +  է: Ստացված երկրորդ վեկտորի պտտման անկյունը 3 = ( / 2) –: (–j + j)( + j + j) արտադրյալին համապատասխան վեկտորը կպտտվի 2 +  3 = 2 / 2 = անկյան միջով:

Բրինձ. 5.6. Բարդ արմատներ

4. Թող նույնը լինեն բարդ արմատները դրական իրական մաս ունեն , այսինքն 2;3 = +±j:

Նախկինում դիտարկված դեպքի նման շինարարությունը կատարելը (նկ. 5.6, բ), ստացված պտտման անկյունը 2 +  3 = –2 / 2 = –:

Այսպիսով, եթե բնորոշ հավասարումն ունի f արմատներ՝ դրական իրական մասով, ապա ինչպիսին էլ լինեն այդ արմատները (իրական կամ բարդ), դրանք կհամապատասխանեն պտտման անկյունների գումարին, որը հավասար է –f ( / 2): Բնորոշ հավասարման մյուս բոլոր (n – f) արմատները, որոնք ունեն բացասական իրական մասեր, կհամապատասխանեն +(n – f) ( / 2) հավասար պտույտի անկյունների գումարին։ Արդյունքում, D(j) վեկտորի պտտման ընդհանուր անկյունը, երբ հաճախականությունը փոխվում է զրոյից մինչև անվերջություն, ըստ (5.32) բանաձևի, կունենա ձև.

 = (n – f)( / 2) –f( / 2) = n ( / 2) –f . (5.33)

Այս արտահայտությունը որոշում է ցանկալի կապը Միխայլովյան կորի ձևի և բնորոշ հավասարման արմատների իրական մասերի նշանների միջև: 1936 թվականին Ա.Վ. Միխայլովը ձևակերպել է կայունության հետևյալ չափանիշը գծային համակարգերցանկացած պատվեր.

n-րդ կարգի համակարգի կայունության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ վեկտորը D(j  ), նկարագրելով Միխայլովյան կորը, երբ փոխվում է  ուներ զրոյից մինչև անսահման պտտման անկյուն  = n (  / 2).

Այս ձևակերպումը ուղղակիորեն հետևում է (5.33): Համակարգը կայուն լինելու համար անհրաժեշտ է, որ բոլոր արմատները ընկած լինեն ձախ կիսակառույցում: Այստեղից որոշվում է ստացված վեկտորի պտույտի անհրաժեշտ անկյունը։

Միխայլովի կայունության չափանիշը ձևակերպված է հետևյալ կերպ. Գծային ACS-ի կայունության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ Միխայլովյան հոդոգրաֆը, երբ հաճախականությունը փոխվում է զրոյից մինչև անվերջություն, սկսած դրական կես հարթությունից և առանց կոորդինատների սկզբնակետը հատելու, հաջորդաբար հատում է համալիրի նույնքան քառորդ. հարթությունը՝ որպես համակարգի բնորոշ հավասարման բազմանդամի կարգ։

ՄԱՍԻՆ

Բրինձ. 5.7. Դիմացկուն ԱԹՍ

թվում է, որ Միխայլովյան կորը կայուն համակարգերի համար միշտ ունի հարթ պարուրաձև ձև, և դրա վերջը բարդ հարթության այդ քառորդում հասնում է անսահմանության, որի թիվը հավասար է բնորոշ հավասարման աստիճանին (նկ. 5.7): Միխայլովյան կորը չի կարող անցնել ավելի քան n թվով քառորդների միջով։ Հետևաբար, համակարգի անկայունությունը միշտ կապված է այն բանի հետ, որ Միխայլովյան կորում խախտվում է քառակուսիների անցման հաջորդականությունը, ինչի արդյունքում D(j) վեկտորի պտտման անկյունը ավելի քիչ է ստացվում. քան n ( / 2) (նկ. 5.8):

Կայուն համակարգի համար Միխայլովյան կորն անցնում է բարդ հարթության հաջորդաբար n քառորդներով:

Բոլոր երեք տեսակների կայունության սահմանների առկայությունը կարելի է որոշել Միխայլովյան կորից հետևյալ կերպ.

Կայունության սահմանի առկայության դեպքում առաջին տեսակ (զրոյական արմատ) չկա n = 0 բնորոշ բազմանդամի ազատ տերմին, և Միխայլովյան կորը թողնում է սկզբնաղբյուրը (նկ. 5.9, կոր 1)

Բրինձ. 5.8. Անկայուն ԱԹՍ

Բրինձ. 5.9. Կայունության սահմանները

Կայունության սահմանին երկրորդ տեսակ (տատանողական կայունության սահման) բնութագրական հավասարման ձախ կողմը, այսինքն՝ բնորոշ բազմանդամը, անհետանում է p = j 0-ը փոխարինելիս։

D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)

Սա ենթադրում է երկու հավասարություն՝ X( 0) = 0; Y( 0) = 0. Սա նշանակում է, որ Միխայլովյան կորի  =  0 կետը ընկնում է կոորդինատների սկզբում (նկ. 5.9, կոր 2): Այս դեպքում  0 արժեքը համակարգի չամրացված տատանումների հաճախականությունն է։

Կայունության սահմանի համար երրորդ տեսակ (անսահման արմատ) Միխայլովյան կորի ծայրը (նկ. 5.9, կոր 3) մի քառորդից մյուսն է նետվում անսահմանության միջով։ Այս դեպքում բնորոշ բազմանդամի a 0 գործակիցը (5.7) կանցնի զրոյական արժեքի միջով՝ նշանը գումարածից մինուսի փոխելով։

Թվարկված են ավելի բարձր կարգի սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների հիմնական տեսակները, որոնք հնարավոր է լուծել: Դրանց լուծման մեթոդները համառոտ ներկայացված են: Տրվում են էջերի հղումներ լուծման մեթոդների մանրամասն նկարագրությամբ և օրինակներով:

Բովանդակություն

Տես նաեւ: Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ
Առաջին կարգի գծային մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ

Ավելի բարձր կարգերի դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք թույլ են տալիս կրճատել կարգը

Ուղղակի ինտեգրմամբ լուծված հավասարումներ

Դիտարկենք հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարումը.
.
Մենք ինտեգրում ենք n անգամ:
;
;
եւ այլն։ Կարող եք նաև օգտագործել բանաձևը.
.
Տես Դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք կարելի է ուղղակիորեն լուծել ինտեգրում >>>

Հավասարումներ, որոնք բացահայտորեն չեն պարունակում y կախված փոփոխականը

Փոխարինումը նվազեցնում է հավասարման կարգը մեկով: Ահա մի ֆունկցիա ից.
Տեսեք ավելի բարձր կարգերի դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք բացահայտորեն ֆունկցիա չեն պարունակում

Հավասարումներ, որոնք հստակորեն չեն ներառում x անկախ փոփոխականը

.
Մենք համարում ենք, որ դա ֆունկցիա է: Հետո
.
Նմանապես այլ ածանցյալների համար: Արդյունքում հավասարման կարգը կրճատվում է մեկով։
Տեսեք ավելի բարձր կարգերի դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք չեն պարունակում բացահայտ փոփոխական > > >

Միատարր հավասարումներ y, y′, y′′, ... նկատմամբ:

Այս հավասարումը լուծելու համար մենք կատարում ենք փոխարինում
,
որտեղ է ֆունկցիան: Հետո
.
Մենք նմանապես փոխակերպում ենք ածանցյալները և այլն: Արդյունքում հավասարման կարգը կրճատվում է մեկով։
Տես ավելի բարձր կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ, որոնք միատարր են ֆունկցիայի և նրա ածանցյալների նկատմամբ >>

Բարձրագույն կարգերի գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ

Եկեք դիտարկենք n-րդ կարգի գծային միատարր դիֆերենցիալ հավասարում:
(1) ,
որտեղ են անկախ փոփոխականի ֆունկցիաները: Թող լինի n գծային անկախ լուծում այս հավասարման համար: Հետո ընդհանուր որոշումհավասարումը (1) ունի ձև.
(2) ,
որտեղ են կամայական հաստատունները: Գործառույթներն իրենք են կազմում լուծումների հիմնարար համակարգ։
Հիմնարար լուծման համակարգ n-րդ կարգի գծային միատարր հավասարման այս հավասարման n գծային անկախ լուծումներ են:

Եկեք դիտարկենք n-րդ կարգի գծային անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարում:
.
Թող լինի այս հավասարման որոշակի (ցանկացած) լուծում: Այնուհետև ընդհանուր լուծումն ունի ձև.
,
որտեղ է միատարր հավասարման ընդհանուր լուծումը (1):

Գծային դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով և դրանց կրճատվող

Գծային միատարր հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով

Սրանք ձևի հավասարումներ են.
(3) .
Ահա իրական թվեր. Այս հավասարման ընդհանուր լուծում գտնելու համար մենք պետք է գտնենք n գծային անկախ լուծումներ, որոնք կազմում են լուծումների հիմնարար համակարգ: Այնուհետև ընդհանուր լուծումը որոշվում է բանաձևով (2).
(2) .

Մենք լուծում ենք փնտրում ձևով։ Մենք ստանում ենք բնորոշ հավասարում:
(4) .

Եթե ​​այս հավասարումն ունի տարբեր արմատներ, ապա լուծումների հիմնարար համակարգը ունի ձև.
.

Եթե ​​առկա է բարդ արմատ
,
ապա կա նաև բարդ զուգակցված արմատ. Այս երկու արմատները համապատասխանում են լուծումների և , որոնք մենք ներառում ենք հիմնարար համակարգում բարդ լուծումների փոխարեն և .

Բազմաթիվ արմատներԲազմապատկությունները համապատասխանում են գծային անկախ լուծումներին.

Բարդ արմատների բազմապատիկԲազմապատկությունները և դրանց բարդ զուգակցված արժեքները համապատասխանում են գծային անկախ լուծումներին.
.

Գծային անհամասեռ հավասարումներ հատուկ անհամասեռ մասով

Եկեք դիտարկենք ձևի հավասարումը
,
որտեղ են s աստիճանի բազմանդամները 1 և ս 2 ; - մշտական.

Սկզբում մենք փնտրում ենք միատարր հավասարման ընդհանուր լուծում (3): Եթե ​​բնորոշ հավասարումը (4) արմատ չի պարունակում, ապա մենք փնտրում ենք որոշակի լուծում հետևյալ ձևով.
,
Որտեղ
;
;
s - մեծագույն s 1 և ս 2 .

Եթե ​​բնորոշ հավասարումը (4) արմատ ունիբազմապատկություն, այնուհետև մենք փնտրում ենք որոշակի լուծում հետևյալ ձևով.
.

Դրանից հետո մենք ստանում ենք ընդհանուր լուծում.
.

Գծային անհամասեռ հավասարումներ՝ հաստատուն գործակիցներով

Այստեղ երեք հնարավոր լուծում կա.

1) Բեռնուլիի մեթոդ.
Նախ, մենք գտնում ենք միատարր հավասարման ցանկացած ոչ զրոյական լուծում
.
Այնուհետև մենք կատարում ենք փոխարինումը
,
որտեղ է x փոփոխականի ֆունկցիան: Մենք ստանում ենք u-ի դիֆերենցիալ հավասարում, որը պարունակում է միայն u-ի ածանցյալներ x-ի նկատմամբ: Կատարելով փոխարինումը, մենք ստանում ենք n հավասարումը - 1 -րդ կարգը.

2) Գծային փոխարինման մեթոդ.
Եկեք փոխարինում կատարենք
,
որտեղ է (4) բնորոշ հավասարման արմատներից մեկը: Արդյունքում մենք ստանում ենք գծային անհամասեռ հավասարում մշտական ​​կարգի գործակիցներով: Հետևողականորեն կիրառելով այս փոխարինումը, մենք սկզբնական հավասարումը նվազեցնում ենք առաջին կարգի հավասարման:

3) Լագրանժի հաստատունների փոփոխության մեթոդ.
Այս մեթոդով մենք նախ լուծում ենք միատարր հավասարումը (3): Նրա լուծումը նման է.
(2) .
Մենք այնուհետև ենթադրում ենք, որ հաստատունները x փոփոխականի ֆունկցիաներ են: Այնուհետև սկզբնական հավասարման լուծումն ունի ձև.
,
որտեղ կան անհայտ գործառույթներ: Փոխարինելով սկզբնական հավասարման մեջ և սահմանելով որոշ սահմանափակումներ՝ մենք ստանում ենք հավասարումներ, որոնցից կարող ենք գտնել ֆունկցիաների տեսակը։

Էյլերի հավասարումը

Դա իջնում ​​է գծային հավասարումմշտական ​​փոխարինման գործակիցներով.
.
Սակայն Էյլերի հավասարումը լուծելու համար նման փոխարինում կատարելու կարիք չկա։ Դուք կարող եք անմիջապես փնտրել միատարր հավասարման լուծումը ձևի մեջ
.
Արդյունքում մենք ստանում ենք նույն կանոնները, ինչ հաստատուն գործակիցներով հավասարման դեպքում, որտեղ փոփոխականի փոխարեն պետք է փոխարինել .

Հղումներ:
Վ.Վ. Ստեփանով, Դիֆերենցիալ հավասարումների դասընթաց, «LKI», 2015 թ.
Ն.Մ. Գյունթեր, Ռ.Օ. Կուզմին, Բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու, «Լան», 2003 թ.

Տես նաեւ:

Սովորական դիֆերենցիալ հավասարում հավասարում է, որը կապում է անկախ փոփոխականի, այս փոփոխականի անհայտ ֆունկցիայի և տարբեր կարգերի նրա ածանցյալների (կամ դիֆերենցիալների) հետ:

Որպեսզի դիֆերենցիալ հավասարում կոչվում է դրանում պարունակվող ամենաբարձր ածանցյալի կարգ։

Սովորականներից բացի ուսումնասիրվում են նաև մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումներ։ Սրանք անկախ փոփոխականներին առնչվող հավասարումներ են, այս փոփոխականների և դրանց մասնակի ածանցյալների անհայտ ֆունկցիան նույն փոփոխականների նկատմամբ: Բայց մենք միայն կքննարկենք սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ և, հետևաբար, հակիրճ լինելու համար բաց կթողնենք «սովորական» բառը։

Դիֆերենցիալ հավասարումների օրինակներ.

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Հավասարումը (1) չորրորդ կարգի է, հավասարումը (2) երրորդ կարգի, (3) և (4) հավասարումները երկրորդ կարգի, հավասարումը (5) առաջին կարգի:

Դիֆերենցիալ հավասարում nՊարտադիր չէ, որ այդ կարգը պարունակի բացահայտ ֆունկցիա՝ նրա բոլոր ածանցյալները՝ առաջինից մինչև n-րդ կարգը և անկախ փոփոխականը: Այն չի կարող բացահայտորեն պարունակել որոշակի կարգերի ածանցյալներ, ֆունկցիաներ կամ անկախ փոփոխականներ:

Օրինակ, (1) հավասարման մեջ ակնհայտորեն չկան երրորդ և երկրորդ կարգի ածանցյալներ, ինչպես նաև ֆունկցիա. (2) հավասարման մեջ՝ երկրորդ կարգի ածանցյալը և ֆունկցիան. (4) հավասարման մեջ՝ անկախ փոփոխական; (5) հավասարման մեջ՝ ֆունկցիաներ. Միայն (3) հավասարումը պարունակում է բացահայտորեն բոլոր ածանցյալները, ֆունկցիան և անկախ փոփոխականը:

Դիֆերենցիալ հավասարման լուծում յուրաքանչյուր ֆունկցիա կոչվում է y = f(x), երբ փոխարինվում է հավասարման մեջ, այն վերածվում է ինքնության։

Դիֆերենցիալ հավասարման լուծում գտնելու գործընթացը կոչվում է իր ինտեգրում.

Օրինակ 1.Գտեք դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը.

Լուծում. Եկեք այս հավասարումը գրենք ձևով. Լուծումը ֆունկցիան իր ածանցյալից գտնելն է: Սկզբնական ֆունկցիան, ինչպես հայտնի է ինտեգրալ հաշվարկից, հակաածանցյալ է, այսինքն.

Ահա թե ինչ է դա այս դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը . Փոխվում է դրա մեջ Գ, մենք կստանանք տարբեր լուծումներ։ Մենք պարզեցինք, որ առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման լուծումների անսահման քանակ կա:

Դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում nրդ կարգը դրա լուծումն է, որը հստակ արտահայտված է անհայտ ֆունկցիայի նկատմամբ և պարունակում է nանկախ կամայական հաստատուններ, այսինքն.

Օրինակ 1-ի դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը ընդհանուր է:

Դիֆերենցիալ հավասարման մասնակի լուծում կոչվում է լուծում, որում կամայական հաստատուններին տրվում են հատուկ թվային արժեքներ:

Օրինակ 2.Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը և կոնկրետ լուծումը .

Լուծում. Եկեք ինտեգրենք հավասարման երկու կողմերը մի քանի անգամ, որոնք հավասար են դիֆերենցիալ հավասարման կարգին:

,

.

Արդյունքում ստացանք ընդհանուր լուծում.

տրված երրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման։

Հիմա եկեք կոնկրետ լուծում գտնենք նշված պայմաններում: Դա անելու համար փոխարինեք դրանց արժեքները կամայական գործակիցների փոխարեն և ստացեք

.

Եթե, բացի դիֆերենցիալ հավասարումից, սկզբնական պայմանը տրված է ձևով, ապա այդպիսի խնդիր կոչվում է. Կոշի խնդիր . Փոխարինեք արժեքները և հավասարման ընդհանուր լուծման մեջ և գտեք կամայական հաստատունի արժեքը Գ, և այնուհետև գտնված արժեքի հավասարման որոշակի լուծում Գ. Սա է Քոշիի խնդրի լուծումը։

Օրինակ 3.Լուծեք Քոշիի խնդիրը օրինակ 1-ի դիֆերենցիալ հավասարման համար՝ առարկայից մինչև .

Լուծում. Եկեք փոխարինենք արժեքները սկզբնական վիճակից ընդհանուր լուծման մեջ y = 3, x= 1. Մենք ստանում ենք

Մենք գրում ենք Քոշիի խնդրի լուծումը այս առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարման համար.

Դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը, նույնիսկ ամենապարզը, պահանջում է լավ ինտեգրման և ածանցյալ հմտություններ, ներառյալ բարդ ֆունկցիաները: Սա կարելի է տեսնել հետևյալ օրինակում.

Օրինակ 4.Գտե՛ք դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումը:

Լուծում. Հավասարումը գրված է այնպես, որ դուք կարող եք անմիջապես ինտեգրել երկու կողմերը:

.

Մենք կիրառում ենք փոփոխականի փոփոխությամբ ինտեգրման մեթոդը (փոխարինում): Թող այդպես լինի:

Պահանջվում է վերցնել dxիսկ այժմ՝ ուշադրություն, մենք դա անում ենք ըստ բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնների, քանի որ xև կա բարդ գործառույթ(«խնձոր» - արդյունահանում քառակուսի արմատկամ, ինչ է նույնը, «մեկ կեսը», իսկ «աղացած միսը» իշխանության բարձրացումը հենց արմատի տակ արտահայտված արտահայտությունն է).

Մենք գտնում ենք ինտեգրալը.

Վերադառնալով փոփոխականին x, ստանում ենք.

.

Սա առաջին աստիճանի այս դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծումն է:

Ոչ միայն նախորդ բաժինների հմտությունները բարձրագույն մաթեմատիկակպահանջվեն դիֆերենցիալ հավասարումներ լուծելիս, բայց նաև հմտություններ տարրական, այսինքն՝ դպրոցական մաթեմատիկայից: Ինչպես արդեն նշվեց, ցանկացած կարգի դիֆերենցիալ հավասարման մեջ չի կարող լինել անկախ փոփոխական, այսինքն՝ փոփոխական x. Այս խնդիրը լուծելու համար կօգնեն դպրոցից չմոռացված (սակայն, նայած ով) գիտելիքները դպրոցից: Սա հաջորդ օրինակն է։

Ավելի խորը հասկանալու համար, թե ինչ է կատարվում այս հոդվածում, կարող եք կարդալ.

Դիտարկենք երրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների միատարր համակարգ

Այստեղ x(t), y(t), z(t) պահանջվող ֆունկցիաներն են (a, b) միջակայքում, իսկ ij (i, j =1, 2, 3) իրական թվեր են։

Եկեք գրենք սկզբնական համակարգը մատրիցային տեսքով
,
Որտեղ

Մենք կփնտրենք սկզբնական համակարգի լուծումը ձևով
,
Որտեղ , C 1 , C 2 , C 3 կամայական հաստատուններ են։

Լուծումների հիմնարար համակարգը գտնելու համար հարկավոր է լուծել այսպես կոչված բնութագրիչ հավասարումը

Այս հավասարումը երրորդ կարգի հանրահաշվական հավասարում է, հետևաբար այն ունի 3 արմատ։ Հնարավոր են հետևյալ դեպքերը.

1. Արմատները (սեփական արժեքները) իրական են և հստակ:

2. Արմատների (սեփական արժեքների) մեջ կան բարդ խոնարհվածներ, թող
- իրական արմատ
=

3. Արմատները (սեփական արժեքները) իրական են։ Արմատներից մեկը բազմապատիկ է։

Պարզելու համար, թե ինչպես վարվել այս դեպքերից յուրաքանչյուրում, մեզ անհրաժեշտ կլինի.
Թեորեմ 1.
Թող լինեն A մատրիցի զույգ առանձին սեփական արժեքները և թող լինեն դրանց համապատասխան սեփական վեկտորները: Հետո

ձևավորել սկզբնական համակարգի լուծումների հիմնարար համակարգ:

Մեկնաբանություն .
Թող լինի A մատրիցի իրական սեփական արժեքը (բնութագրական հավասարման իրական արմատը), իսկ համապատասխան սեփական վեկտորը:
= - A մատրիցի բարդ սեփական արժեքներ, - համապատասխան - սեփական վեկտոր: Հետո

(Re - իրական մաս, Im - երևակայական մաս)
ձևավորել սկզբնական համակարգի լուծումների հիմնարար համակարգ: (այսինքն և = միասին դիտարկված)

Թեորեմ 3.
Թող լինի 2-ի բազմակիության բնորոշ հավասարման արմատը: Այնուհետև սկզբնական համակարգը ունի ձևի 2 գծային անկախ լուծում.
,
որտեղ , վեկտորային հաստատուններ են: Եթե ​​բազմապատկությունը 3 է, ապա ձևի 3 գծային անկախ լուծում կա
.
Վեկտորները հայտնաբերվում են՝ փոխարինելով լուծումները (*) և (**) սկզբնական համակարգում:
(*) և (**) ձևի լուծումներ գտնելու մեթոդը ավելի լավ հասկանալու համար տե՛ս ստորև բերված բնորոշ օրինակները։

Այժմ եկեք ավելի մանրամասն նայենք վերը նշված դեպքերից յուրաքանչյուրին:

1. Լուծման ալգորիթմ միատարր համակարգերերրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ բնորոշ հավասարման տարբեր իրական արմատների դեպքում.
Հաշվի առնելով համակարգը

1) Մենք կազմում ենք բնորոշ հավասարում

- այս հավասարման 9 արմատների իրական և հստակ սեփական արժեքները):
2) Մենք կառուցում ենք որտեղ

3) Մենք կառուցում ենք որտեղ
- A մատրիցի սեփական վեկտորը, որը համապատասխանում է, այսինքն. - ցանկացած համակարգային լուծում

4) Մենք կառուցում ենք որտեղ
- A մատրիցի սեփական վեկտորը, որը համապատասխանում է, այսինքն. - ցանկացած համակարգային լուծում

5)

կազմում են լուծումների հիմնարար համակարգ: Հաջորդը ձևով գրում ենք սկզբնական համակարգի ընդհանուր լուծումը
,
այստեղ C 1, C 2, C 3 կամայական հաստատուններ են,
,
կամ կոորդինատային տեսքով

Դիտարկենք մի քանի օրինակ.
Օրինակ 1.




2) Գտեք


3) Մենք գտնում ենք


4) վեկտորային ֆունկցիաներ



կամ կոորդինատային նշումով

Օրինակ 2.

1) Կազմում և լուծում ենք բնորոշ հավասարումը.

2) Գտեք


3) Մենք գտնում ենք


4) Գտեք


5) վեկտորային ֆունկցիաներ

ձևավորել հիմնարար համակարգ. Ընդհանուր լուծումն ունի ձև

կամ կոորդինատային նշումով

2. Երրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների համասեռ համակարգերի լուծման ալգորիթմ բնորոշ հավասարման բարդ խոնարհված արմատների դեպքում։


- իրական արմատ,

2) Մենք կառուցում ենք որտեղ

3) Մենք կառուցում ենք

- A մատրիցի սեփական վեկտորը, որը համապատասխանում է, այսինքն. բավարարում է համակարգը

Այստեղ Re-ն իրական մասն է
Im - երևակայական մաս
4) կազմում են լուծումների հիմնարար համակարգ. Հաջորդը մենք գրում ենք սկզբնական համակարգի ընդհանուր լուծումը.
, Որտեղ
C 1, C 2, C 3 կամայական հաստատուններ են:

Օրինակ 1.

1) Կազմի՛ր և լուծի՛ր բնորոշ հավասարումը

2) Մենք կառուցում ենք

3) Մենք կառուցում ենք
, Որտեղ

Առաջին հավասարումը փոքրացնենք 2-ով, այնուհետև երկրորդ հավասարմանը գումարենք 2i-ով բազմապատկած առաջին հավասարումը, իսկ երրորդ հավասարումից հանենք 2-ով բազմապատկած առաջինը։

Հետագա

Հետևաբար,

4) - լուծումների հիմնարար համակարգ. Եկեք գրենք սկզբնական համակարգի ընդհանուր լուծումը.

Օրինակ 2.

1) Կազմում և լուծում ենք բնորոշ հավասարումը


2) Մենք կառուցում ենք

(այսինքն, և դիտարկվում են միասին), որտեղ

Երկրորդ հավասարումը բազմապատկել (1-i)-ով և կրճատել 2-ով:


Հետևաբար,

3)
Բնօրինակ համակարգի ընդհանուր լուծում

կամ

2. Երրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարումների համասեռ համակարգերի լուծման ալգորիթմ բնորոշ հավասարման բազմաթիվ արմատների դեպքում։
Կազմում և լուծում ենք բնորոշ հավասարումը

Երկու հնարավոր դեպք կա.

Դիտարկենք ա) 1 դեպքը), որտեղ

- A մատրիցի սեփական վեկտորը, որը համապատասխանում է, այսինքն՝ բավարարում է համակարգը

2) Անդրադառնանք 3-րդ թեորեմին, որից հետևում է, որ ձևի երկու գծային անկախ լուծում կա.
,
որտեղ , հաստատուն վեկտորներ են: Եկեք նրանց համար վերցնենք:
3) - լուծումների հիմնարար համակարգ. Հաջորդը մենք գրում ենք սկզբնական համակարգի ընդհանուր լուծումը.

Դիտարկենք դեպքը բ):
1) Անդրադառնանք 3-րդ թեորեմին, որից հետևում է, որ ձևի երեք գծային անկախ լուծում կա.
,
որտեղ , , հաստատուն վեկտորներ են: Եկեք նրանց համար վերցնենք:
2) - լուծումների հիմնարար համակարգ. Հաջորդը մենք գրում ենք սկզբնական համակարգի ընդհանուր լուծումը:

Ավելի լավ հասկանալու համար, թե ինչպես գտնել (*) ձևի լուծումները, հաշվի առեք մի քանի բնորոշ օրինակներ:

Օրինակ 1.

Կազմում և լուծում ենք բնորոշ հավասարումը.

Մենք ունենք դեպք ա)
1) Մենք կառուցում ենք
, Որտեղ

Երկրորդ հավասարումից հանում ենք առաջինը.

? Երրորդ տողը նման է երկրորդին, մենք այն հատում ենք։ Առաջին հավասարումից հանեք երկրորդը.

2) = 1 (2-ի բազմապատիկ)
Ըստ T.3-ի, այս արմատը պետք է համապատասխանի ձևի երկու գծային անկախ լուծումների:
Փորձենք գտնել բոլոր գծային անկախ լուծումները, որոնց համար, այսինքն. ձևի լուծումներ
.
Նման վեկտորը լուծում կլինի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե սեփական վեկտորը համապատասխանում է =1-ին, այսինքն.
, կամ
, երկրորդ և երրորդ տողերը նման են առաջինին, դուրս գցեք։

Համակարգը կրճատվել է մեկ հավասարման. Հետևաբար, կան երկու ազատ անհայտներ, օրինակ և . Եկեք նախ նրանց տանք 1, 0 արժեքները; ապա արժեքները 0, 1: Մենք ստանում ենք հետևյալ լուծումները.
.
Հետևաբար, .
3) - լուծումների հիմնարար համակարգ. Մնում է գրել սկզբնական համակարգի ընդհանուր լուծումը.
. .. Այսպիսով, ձևի միայն մեկ լուծում կա. Եկեք այս համակարգում փոխարինենք X 3-ը. խաչեք երրորդ տողը (այն նման է երկրորդին): Համակարգը հետևողական է (ունի լուծում) ցանկացած ք. Թող c=1.
կամ