Մշտական ​​թիվ Ականչեց սահման հաջորդականություններ(x n), եթե որևէ կամայականորեն փոքր դրական թվի համարε > 0 կա N թիվ, որն ունի բոլոր արժեքները x n, որի համար n>N-ը բավարարում է անհավասարությունը

|x n - a|< ε. (6.1)

Գրի՛ր այն հետևյալ կերպ՝ կամ x n →ա.

Անհավասարությունը (6.1) համարժեք է կրկնակի անհավասարություն

ա- է< x n < a + ε, (6.2)

ինչը նշանակում է, որ միավորները x n, սկսած ինչ-որ n>N թվից, ընկած է միջակայքի ներսում (a-ε, a+ ε ), այսինքն. ընկնել ցանկացած փոքրε - կետի հարևանություն Ա.

Սահման ունեցող հաջորդականությունը կոչվում է կոնվերգենտ, հակառակ դեպքում - տարբերվող.

Ֆունկցիայի սահման հասկացությունը հաջորդականության սահման հասկացության ընդհանրացումն է, քանի որ հաջորդականության սահմանը կարելի է համարել որպես ամբողջ թվային արգումենտի x n = f(n) ֆունկցիայի սահման։ n.

Թող տրվի f(x) ֆունկցիան և թող ա - սահմանային կետԱյս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը D(f), այսինքն. այնպիսի կետ, որի ցանկացած հարևանություն պարունակում է D(f) բազմության կետեր, բացի ա. Կետ ակարող է պատկանել կամ չպատկանել D(f) բազմությանը:

Սահմանում 1.Կոչվում է հաստատուն A թիվը սահման գործառույթները f(x) ժամը x→a, եթե ցանկացած հաջորդականության համար (x n) արգումենտների արժեքները հակված են Ա, համապատասխան հաջորդականությունները (f(x n)) ունեն նույն սահմանագիծը A.

Այս սահմանումը կոչվում է սահմանելով ֆունկցիայի սահմանը՝ ըստ Հայնեի,կամ " հաջորդական լեզվով”.

Սահմանում 2. Կոչվում է հաստատուն A թիվը սահման գործառույթները f(x) ժամը x→ա, եթե, նշելով կամայականորեն փոքր դրական ε, կարելի է գտնել այդպիսի δ>0 (կախված ε), որը բոլորի համար է x, պառկածε- թվի հարևանություններ Ա, այսինքն. Համար x, բավարարելով անհավասարությունը
0 < x-a< ε , f(x) ֆունկցիայի արժեքները կլինենε- A թվի հարևանությունը, այսինքն.|f(x)-A|< ε.

Այս սահմանումը կոչվում է Կոշիի համաձայն ֆունկցիայի սահմանը սահմանելով,կամ «լեզվով ε - δ “.

1 և 2 սահմանումները համարժեք են: Եթե ​​f(x) ֆունկցիան որպես x →ա ունի սահման, հավասար է A-ին, սա գրված է ձևով

. (6.3)

Այն դեպքում, երբ (f(x n)) հաջորդականությունը մեծանում է (կամ նվազում) առանց որևէ սահմանափակման մոտարկման որևէ մեթոդի. xձեր սահմանին Ա, ապա կասենք, որ f(x) ֆունկցիան ունի անսահման սահման,և գրիր այն ձևով.

Այն փոփոխականը (այսինքն՝ հաջորդականությունը կամ ֆունկցիան), որի սահմանը զրո է, կոչվում է անսահման փոքր:

Այն փոփոխականը, որի սահմանը հավասար է անսահմանության, կոչվում է անսահման մեծ.

Գործնականում սահմանը գտնելու համար օգտագործվում են հետևյալ թեորեմները.

Թեորեմ 1 . Եթե ​​ամեն սահման գոյություն ունի

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Մեկնաբանություն. 0/0 նման արտահայտություններ, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - անորոշ են, օրինակ, երկու անվերջ փոքր կամ անսահման մեծ քանակությունների հարաբերակցությունը, և այս տեսակի սահման գտնելը կոչվում է «բացահայտող անորոշություններ»:

Թեորեմ 2. (6.7)

դրանք. կարելի է հասնել սահմանագծին՝ հիմնվելով հաստատուն ցուցիչով հզորության վրա, մասնավորապես. ;

(6.8)

(6.9)

Թեորեմ 3.

(6.10)

(6.11)

Որտեղ ե » 2.7 - բնական լոգարիթմի հիմք: Բանաձևերը (6.10) և (6.11) կոչվում են առաջին հրաշալի սահմանև երկրորդ ուշագրավ սահմանը.

Գործնականում կիրառվում են նաև բանաձևի (6.11) հետևանքները.

(6.12)

(6.13)

(6.14)

մասնավորապես սահմանը,

Եթե ​​x → a և միևնույն ժամանակ x > a, ապա գրի՛ր x→a + 0. Եթե, մասնավորապես, a = 0, ապա 0+0 նշանի փոխարեն գրել +0։ Նմանապես, եթե x→a և միևնույն ժամանակ x ա-0. Թվեր և կոչվում են համապատասխանաբար ճիշտ սահմանըԵվ ձախ սահմանը գործառույթները f(x) կետում Ա. Որպեսզի լինի f(x) ֆունկցիայի սահման՝ x→ա-ն անհրաժեշտ և բավարար է, որպեսզի . Կանչվում է f(x) ֆունկցիան շարունակական կետում x 0, եթե սահմանը

. (6.15)

Պայման (6.15) կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

,

այսինքն՝ ֆունկցիայի նշանով անցում դեպի սահման հնարավոր է, եթե այն շարունակական է տվյալ կետում։

Եթե ​​հավասարությունը (6.15) խախտված է, ուրեմն ասում ենք ժամը x = x o ֆունկցիան f(x) Այն ունի բացըԴիտարկենք y = 1/x ֆունկցիան: Այս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը բազմությունն է Ռ, բացառությամբ x = 0-ի: x = 0 կետը D(f) բազմության սահմանային կետն է, քանի որ դրա ցանկացած հարևանությամբ, այ. 0 կետը պարունակող ցանկացած բաց միջակայքում կան D(f) կետեր, բայց այն ինքնին չի պատկանում այս բազմությանը: f(x o)= f(0) արժեքը սահմանված չէ, ուստի x o = 0 կետում ֆունկցիան ունի դադար:

Կանչվում է f(x) ֆունկցիան շարունակական աջ կողմում կետում x o եթե սահմանը

,

Եվ շարունակական ձախ կողմում կետում x o, եթե սահմանը

.

Գործառույթի շարունակականությունը մի կետում x oհամարժեք է իր շարունակականությանը այս կետում և՛ աջ, և՛ ձախ:

Որպեսզի ֆունկցիան մի կետում շարունակական լինի x o, օրինակ, աջ կողմում անհրաժեշտ է, որ նախ լինի վերջավոր սահման, և երկրորդը, որ այդ սահմանը հավասար լինի f(x o): Հետևաբար, եթե այս երկու պայմաններից գոնե մեկը չկատարվի, ապա ֆունկցիան կունենա դադար։

1. Եթե սահմանը գոյություն ունի և հավասար չէ f(x o-ին), ապա ասում են ֆունկցիան f(x) կետում x o ունի առաջին տեսակի խզում,կամ ցատկ.

2. Եթե սահմանն է+∞ կամ -∞ կամ գոյություն չունի, ապա ասում են, որ ներս կետ x o ֆունկցիան ունի դադար երկրորդ տեսակ.

Օրինակ՝ y ֆունկցիան = cot x x-ում→ +0-ն ունի +∞-ի հավասար սահման, ինչը նշանակում է, որ x=0 կետում ունի երկրորդ տեսակի ընդհատում։ y ֆունկցիան = E(x) (ի ամբողջական մասը x) ամբողջ աբսցիսներով կետերում ունի առաջին տեսակի ընդհատումներ կամ թռիչքներ:

Այն ֆունկցիան, որը շարունակական է միջակայքի յուրաքանչյուր կետում, կոչվում է շարունակականՎ . Շարունակական ֆունկցիան ներկայացված է ամուր կորով:

Որոշ քանակի շարունակական աճի հետ կապված բազմաթիվ խնդիրներ հանգեցնում են երկրորդ ուշագրավ սահմանին։ Նման խնդիրներն, օրինակ, ներառում են՝ ավանդների աճ՝ ըստ բարդ տոկոսների օրենքի, երկրի բնակչության աճ, ռադիոակտիվ նյութերի քայքայում, բակտերիաների տարածում և այլն։

Եկեք դիտարկենք Ya. I. Perelman-ի օրինակ, տալով թվի մեկնաբանություն եբարդ տոկոսադրույքի խնդրի մեջ։ Թիվ եսահման կա . Խնայբանկերում տարեկան տոկոսադրույքը ավելացվում է հիմնական կապիտալին: Եթե ​​միացումը կատարվում է ավելի հաճախ, ապա կապիտալն ավելի արագ է աճում, քանի որ ավելի մեծ գումար է ներգրավված տոկոսների ձևավորման մեջ։ Բերենք զուտ տեսական, շատ պարզեցված օրինակ։ Թող 100 ժխտող բանկում պահվի։ միավորներ տարեկան 100% հիման վրա: Եթե ​​տոկոսագումարը հիմնական կապիտալին ավելացվում է միայն մեկ տարի հետո, ապա այս ժամանակահատվածում 100 դեն. միավորներ կվերածվի 200 դրամական միավորի։ Հիմա տեսնենք, թե ինչի կվերածվի 100 դենիզը։ միավորներ, եթե յուրաքանչյուր վեց ամիսը մեկ տոկոսային գումար է ավելացվում հիմնական կապիտալին: Վեց ամիս հետո 100 դ. միավորներ կաճի մինչև 100× 1,5 = 150, և ևս վեց ամիս հետո՝ 150-ին× 1,5 = 225 (դեն. միավոր): Եթե ​​միացումը կատարվում է տարվա 1/3-ը մեկ, ապա մեկ տարի հետո 100 դեն. միավորներ կվերածվի 100-ի× (1 +1/3) 3" 237 (դենտ. միավոր). Տոկոսագումարի ավելացման ժամկետները կավելացնենք մինչև 0,1 տարի, մինչև 0,01 տարի, մինչև 0,001 տարի և այլն: Հետո 100 դենից. միավորներ մեկ տարի հետո կլինի.

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (դենտ. միավոր),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (դենտ. միավոր),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (դեն. միավոր).

Տոկոսների ավելացման ժամկետների անսահմանափակ կրճատման դեպքում կուտակված կապիտալը չի ​​աճում անորոշ ժամանակով, այլ մոտենում է որոշակի սահմանի, որը հավասար է մոտավորապես 271-ի: Տարեկան 100% ավանդադրված կապիտալը չի ​​կարող աճել ավելի քան 2,71 անգամ, նույնիսկ եթե հաշվեգրված տոկոսները: ամեն վայրկյան ավելանում էին մայրաքաղաքին, քանի որ սահման

Օրինակ 3.1.Օգտագործելով թվային հաջորդականության սահմանի սահմանումը, ապացուցեք, որ x n =(n-1)/n հաջորդականությունն ունի 1-ի հավասար սահման։

Լուծում.Մենք պետք է դա ապացուցենք, անկախ ամեն ինչիցε > 0, անկախ նրանից, թե ինչ ենք վերցնում, նրա համար կա այնպիսի բնական թիվ N, որ բոլոր n N-ի համար անհավասարությունը պահպանվում է|x n -1|< ε.

Վերցնենք ցանկացած e > 0: Քանի որ ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, ապա N գտնելու համար բավական է լուծել 1/n անհավասարությունը.< ե. Հետևաբար n>1/ e և, հետևաբար, N-ը կարող է ընդունվել որպես 1/-ի ամբողջական մաս e , N = E(1/ e ) Մենք դրանով ապացուցել ենք, որ սահմանը.

Օրինակ 3.2 . Գտի՛ր ընդհանուր անդամով տրված հաջորդականության սահմանը .

Լուծում.Կիրառենք գումարի թեորեմի սահմանը և գտնենք յուրաքանչյուր անդամի սահմանը։ Երբ n→ ∞ Յուրաքանչյուր անդամի համարիչն ու հայտարարը հակված են դեպի անվերջություն, և մենք չենք կարող ուղղակիորեն կիրառել քանորդի սահմանային թեորեմը: Հետևաբար, նախ մենք փոխակերպում ենք x n, առաջին անդամի համարիչն ու հայտարարը բաժանելով n 2, իսկ երկրորդը վրա n. Այնուհետև, կիրառելով քանորդի և գումարի թեորեմի սահմանը, գտնում ենք.

.

Օրինակ 3.3. . Գտնել.

Լուծում. .

Այստեղ մենք օգտագործեցինք աստիճանի թեորեմի սահմանը՝ աստիճանի սահմանը հավասար է հիմքի սահմանի աստիճանին։

Օրինակ 3.4 . Գտնել ( ).

Լուծում.Անհնար է կիրառել տարբերության սահմանի թեորեմը, քանի որ ունենք ձևի անորոշություն ∞-∞ . Եկեք փոխակերպենք ընդհանուր տերմինի բանաձևը.

.

Օրինակ 3.5 . Տրված է f(x)=2 1/x ֆունկցիան։ Ապացուցեք, որ սահման չկա։

Լուծում.Օգտագործենք ֆունկցիայի սահմանի 1 սահմանումը հաջորդականության միջոցով։ Վերցնենք ( x n ) հաջորդականությունը, որը համընկնում է 0-ի, այսինքն. Եկեք ցույց տանք, որ f(x n)= արժեքը տարբեր հաջորդականությունների համար տարբեր կերպ է վարվում: Թող x n = 1/n: Ակնհայտ է, ապա սահմանը Եկեք հիմա ընտրենք որպես x nհաջորդականություն ընդհանուր տերմինով x n = -1/n, որը նույնպես հակված է զրոյի: Հետևաբար սահման չկա։

Օրինակ 3.6 . Ապացուցեք, որ սահման չկա։

Լուծում.Թող x 1 , x 2 ,..., x n ,... լինի հաջորդականություն, որի համար
. Ինչպե՞ս է (f(x n)) = (sin x n) հաջորդականությունն իրեն պահում տարբեր x n → ∞

Եթե ​​x n = p n, ապա sin x n = մեղք p n = 0 բոլորի համար nիսկ սահմանը Եթե
x n =2 p n+ p /2, ապա sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 բոլորի համար nև հետևաբար սահմանը: Այսպիսով, այն գոյություն չունի:

Վիջեթ՝ առցանց սահմանաչափերի հաշվարկման համար

Վերին պատուհանում sin(x)/x-ի փոխարեն մուտքագրեք այն ֆունկցիան, որի սահմանը ցանկանում եք գտնել։ Ներքևի պատուհանում մուտքագրեք այն թիվը, որին ձգտում է x-ը և սեղմեք Հաշվի կոճակը, ստացեք ցանկալի սահմանաչափը: Իսկ եթե արդյունքի պատուհանում սեղմեք Ցույց տալ քայլերը վերին աջ անկյունում, ապա մանրամասն լուծում կստանաք։

Ֆունկցիաների մուտքագրման կանոններ՝ sqrt(x) - քառակուսի արմատ, cbrt(x) - խորանարդ արմատ, exp(x) - ցուցիչ, ln(x) - բնական լոգարիթմ, sin(x) - սինուս, cos(x) - կոսինուս, tan (x) - շոշափող, cot(x) - կոտանգենս, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, actan(x) - արկտանգենս: Նշաններ՝ * բազմապատկում, / բաժանում, ^ հզորացում, փոխարենը անսահմանությունԱնսահմանություն. Օրինակ՝ ֆունկցիան մուտքագրվում է որպես sqrt(tan(x/2)):

Գործառույթ y = f (x)օրենք է (կանոն), ըստ որի X բազմության յուրաքանչյուր x տարր կապված է Y բազմության մեկ և միայն մեկ տարրի y-ի հետ։

X տարր ∈ Xկանչեց ֆունկցիայի փաստարկկամ անկախ փոփոխական.
Տարր y ∈ Յկանչեց ֆունկցիայի արժեքըկամ կախյալ փոփոխական.

X բազմությունը կոչվում է ֆունկցիայի տիրույթը.
Տարրերի բազմություն y ∈ Յ, որոնք X բազմության մեջ ունեն նախապատկերներ, կոչվում է տարածքը կամ ֆունկցիայի արժեքների հավաքածուն.

Փաստացի ֆունկցիան կոչվում է վերևից սահմանափակված (ներքևից), եթե կա M այնպիսի թիվ, որ անհավասարությունը պահպանվի բոլորի համար.
.
Թվային ֆունկցիան կոչվում է սահմանափակ, եթե կա M այնպիսի թիվ, որ բոլորի համար՝
.

Վերին եզրկամ ճշգրիտ վերին սահմանըԻրական ֆունկցիան կոչվում է ամենափոքր թիվը, որը սահմանափակում է նրա արժեքների շրջանակը վերևից: Այսինքն՝ սա s թիվ է, որի համար բոլորի և ցանկացածի համար կա արգումենտ, որի ֆունկցիայի արժեքը գերազանցում է s′-ը:
Ֆունկցիայի վերին սահմանը կարող է նշանակվել հետևյալ կերպ.
.

Համապատասխանաբար ստորին եզրկամ ստույգ ստորին սահմանըԻրական ֆունկցիան կոչվում է ամենամեծ թիվը, որը սահմանափակում է դրա արժեքների միջակայքը ներքևից: Այսինքն՝ սա i թիվ է, որի համար բոլորի և ցանկացածի համար կա արգումենտ, որի ֆունկցիայի արժեքը փոքր է i′-ից:
Ֆունկցիայի infimum-ը կարող է նշանակվել հետևյալ կերպ.
.

Ֆունկցիայի սահմանի որոշում

Ֆունկցիայի սահմանի որոշումը ըստ Քոշիի

Վերջնական կետերում ֆունկցիայի վերջավոր սահմանները

Թող ֆունկցիան սահմանվի վերջնակետի ինչ-որ հարևանությամբ, հնարավոր բացառությամբ հենց կետի: մի կետում, եթե որևէ մեկի համար կա այդպիսի բան, կախված նրանից, որ բոլոր x-ի համար, որոնց համար անհավասարությունը պահպանվում է
.
Ֆունկցիայի սահմանը նշվում է հետևյալ կերպ.
.
Կամ ժամը.

Օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները՝ ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
.

Միակողմանի սահմաններ.
Ձախ սահմանը մի կետում (ձախ կողմի սահման).
.
Աջ սահմանը մի կետում (աջակողմյան սահման).
.
Ձախ և աջ սահմանները հաճախ նշվում են հետևյալ կերպ.
; .

Անսահմանության կետերում ֆունկցիայի վերջավոր սահմանները

Անսահմանության կետերի սահմանները որոշվում են նույն կերպ:
.
.
.
Դրանք հաճախ կոչվում են.
; ; .

Օգտագործելով կետի հարևանություն հասկացությունը

Եթե ​​ներդնենք կետի ծակված հարևանության հասկացությունը, ապա կարող ենք վերջավոր և անսահման հեռավոր կետերում ֆունկցիայի վերջավոր սահմանի միասնական սահմանում տալ.
.
Այստեղ վերջնակետերի համար
; ;
.
Անսահմանության կետերի ցանկացած հարևանություն ծակվում է.
; ; .

Անսահման ֆունկցիայի սահմաններ

Սահմանում
Թող ֆունկցիան սահմանվի կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ (վերջավոր կամ անվերջության վրա): Ֆ ֆունկցիայի սահմանը f (x)ինչպես x → x 0 հավասար է անսահմանության, եթե որևէ կամայական մեծ թվի համար Մ > 0 , կա δ Մ թիվ > 0 , կախված M-ից, որ բոլոր x-ի համար, որոնք պատկանում են ծակված δ M - կետի հարևանությանը. , գործում է հետևյալ անհավասարությունը.
.
Անսահման սահմանը նշվում է հետևյալ կերպ.
.
Կամ ժամը.

Օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները՝ ֆունկցիայի անսահման սահմանի սահմանումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
.

Կարող եք նաև ներկայացնել որոշակի նշանների անսահման սահմանների սահմանումներ, որոնք հավասար են և.
.
.

Ֆունկցիայի սահմանի համընդհանուր սահմանում

Օգտագործելով կետի հարևանություն հասկացությունը՝ մենք կարող ենք տալ ֆունկցիայի վերջավոր և անվերջ սահմանի համընդհանուր սահմանում, որը կիրառելի է ինչպես վերջավոր (երկկողմանի և միակողմանի), այնպես էլ անսահման հեռավոր կետերի համար.
.

Ֆունկցիայի սահմանի որոշումը ըստ Հայնեի

Թող ֆունկցիան սահմանվի X:
a թիվը կոչվում է ֆունկցիայի սահմանկետում:
,
եթե x-ին համընկնող որևէ հաջորդականության համար 0 :
,
որի տարրերը պատկանում են X բազմությանը.
.

Եկեք գրենք այս սահմանումը` օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները.
.

Եթե ​​x կետի ձախակողմյան հարեւանությունը վերցնենք որպես X բազմություն 0 , ապա մենք ստանում ենք ձախ սահմանի սահմանումը: Եթե ​​աջակողմյան է, ապա ստանում ենք ճիշտ սահմանի սահմանումը։ Եթե ​​անսահմանության կետի հարևանությունը վերցնենք որպես X բազմություն, ապա կստանանք ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը անվերջության մեջ:

Թեորեմ
Ֆունկցիայի սահմանի Կոշիի և Հայնեի սահմանումները համարժեք են։
Ապացույց

Ֆունկցիայի սահմանի հատկությունները և թեորեմները

Այնուհետև, մենք ենթադրում ենք, որ դիտարկվող գործառույթները սահմանված են կետի համապատասխան հարևանությամբ, որը վերջավոր թիվ է կամ նշաններից մեկը. Այն կարող է լինել նաև միակողմանի սահմանային կետ, այսինքն՝ ունենալ ձև կամ . Հարեւանությունը երկկողմանի սահմանի համար երկկողմանի է, իսկ միակողմանի սահմանի համար՝ միակողմանի։

Հիմնական հատկություններ

Եթե ​​ֆունկցիայի արժեքները f (x)փոխել (կամ դարձնել անորոշ) x կետերի վերջավոր թիվը 1, x 2, x 3, ... x n, ապա այս փոփոխությունը չի ազդի կամայական x կետում ֆունկցիայի սահմանի գոյության և արժեքի վրա 0 .

Եթե ​​կա վերջավոր սահման, ապա կա x կետի ծակված հարևանություն 0 , որի վրա ֆունկցիան f (x)սահմանափակ՝
.

Թող ֆունկցիան ունենա x կետում 0 վերջավոր ոչ զրոյական սահման.
.
Այնուհետև, c միջակայքից ցանկացած c թվի համար կա x կետի նման ծակված հարևանություն 0 , ինչի համար ,
, Եթե ;
, Եթե .

Եթե ​​կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ ,-ը հաստատուն է, ապա .

Եթե ​​կան վերջավոր սահմաններ և և x կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ 0
,
որ .

Եթե ​​, և կետի ինչ-որ հարևանությամբ
,
որ .
Մասնավորապես, եթե ինչ-որ կետի հարեւանությամբ
,
ապա եթե , ապա եւ ;
եթե , ապա եւ .

Եթե ​​x կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ 0 :
,
և կան վերջավոր (կամ որոշակի նշանի անսահման) հավասար սահմաններ.
, Դա
.

Հիմնական հատկությունների ապացույցները տրված են էջում
«Ֆունկցիայի սահմանների հիմնական հատկությունները».

Ֆունկցիայի սահմանի թվաբանական հատկությունները

Թող գործառույթները և սահմանվեն կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ: Եվ թող լինեն սահմանափակ սահմաններ.
Եվ .
Եվ թող C լինի հաստատուն, այսինքն՝ տրված թիվ։ Հետո
;
;
;
, Եթե .

Եթե, ապա.

Էջում տրված են թվաբանական հատկությունների ապացույցներ
«Ֆունկցիայի սահմանների թվաբանական հատկությունները».

Կոշիի չափանիշը ֆունկցիայի սահմանի առկայության համար

Թեորեմ
Որպեսզի սահմանվի x վերջավոր կամ անվերջության կետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա սահմանված ֆունկցիա 0 , այս կետում ուներ վերջավոր սահման, անհրաժեշտ է և բավարար, որ ցանկացած ε > 0 x կետի նման ծակված հարևանություն կար 0 , որ ցանկացած կետի և այս հարևանության համար գործում է հետևյալ անհավասարությունը.
.

Բարդ ֆունկցիայի սահմանը

Սահմանային թեորեմ բարդ գործառույթ
Թող ֆունկցիան ունենա սահման, և կետի ծակված հարևանությունը գծագրվի կետի ծակված հարևանության վրա: Թող գործառույթը սահմանվի այս հարևանությամբ և սահման ունենա դրա վրա:
Ահա վերջնական կամ անսահման հեռավոր կետերը. Հարևանները և դրանց համապատասխան սահմանները կարող են լինել ինչպես երկկողմանի, այնպես էլ միակողմանի:
Այնուհետև կա բարդ ֆունկցիայի սահման, և այն հավասար է.
.

Կոմպլեքս ֆունկցիայի սահմանային թեորեմը կիրառվում է, երբ ֆունկցիան որոշված ​​չէ մի կետում կամ ունի սահմանից տարբերվող արժեք։ Այս թեորեմը կիրառելու համար պետք է լինի այն կետի ծակված հարևանությունը, որտեղ ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը չի պարունակում կետը.
.

Եթե ​​ֆունկցիան անընդմեջ է կետում, ապա սահմանային նշանը կարող է կիրառվել փաստարկի վրա շարունակական գործառույթ:
.
Հետևյալը այս դեպքին համապատասխան թեորեմ է.

Ֆունկցիայի շարունակական ֆունկցիայի սահմանի թեորեմ
Թող լինի g ֆունկցիայի սահմանը (t)ինչպես t → t 0 , և այն հավասար է x-ի 0 :
.
Ահա t կետը 0 կարող է լինել վերջավոր կամ անսահման հեռավոր.
Եվ թող ֆունկցիան f (x) x կետում շարունակական է 0 .
Այնուհետև կա f կոմպլեքս ֆունկցիայի սահման (g(t)), և այն հավասար է f (x0):
.

Թեորեմների ապացույցները տրված են էջում
«Բարդ ֆունկցիայի սահմանը և շարունակականությունը».

Անսահման փոքր և անսահման մեծ ֆունկցիաներ

Անսահման փոքր ֆունկցիաներ

Սահմանում
Ֆունկցիան կոչվում է անվերջ փոքր, եթե
.

Գումար, տարբերություն և արտադրանքվերջավոր թվով անվերջ փոքր ֆունկցիաների ժամը անվերջ փոքր ֆունկցիա է .

Սահմանափակված ֆունկցիայի արտադրյալկետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա անվերջ փոքր-ի համար ժամը անվերջ փոքր ֆունկցիան է:

Որպեսզի ֆունկցիան ունենա վերջավոր սահման, անհրաժեշտ և բավարար է, որ
,
որտեղ է անվերջ փոքր ֆունկցիան:

«Անվերջ փոքր ֆունկցիաների հատկությունները».

Անսահման մեծ գործառույթներ

Սահմանում
Ֆունկցիան համարվում է անսահման մեծ, եթե
.

Սահմանափակված ֆունկցիայի գումարը կամ տարբերությունը կետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա և անսահման մեծ ֆունկցիայի գումարը կամ տարբերությունը ժամը անսահման մեծ ֆունկցիա է:

Եթե ​​ֆունկցիան անսահման մեծ է , և ֆունկցիան սահմանափակված է կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ, ապա
.

Եթե ​​ֆունկցիան, կետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա, բավարարում է անհավասարությունը.
,
և ֆունկցիան անվերջ փոքր է՝
, և (կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ), ապա
.

Հատկությունների ապացույցները ներկայացված են բաժնում
«Անսահման մեծ ֆունկցիաների հատկությունները».

Անսահման մեծ և անվերջ փոքր ֆունկցիաների կապը

Նախորդ երկու հատկություններից հետևում է անսահման մեծ և անվերջ փոքր ֆունկցիաների կապը։

Եթե ​​ֆունկցիան անսահման մեծ է ժամը , ապա ֆունկցիան անվերջ փոքր է ժամը .

Եթե ​​ֆունկցիան անվերջ փոքր է , and-ի համար, ապա ֆունկցիան անսահման մեծ է համարի համար:

Անվերջ փոքրի և անսահման մեծ ֆունկցիայի միջև կապը կարող է արտահայտվել խորհրդանշականորեն.
, .

Եթե ​​անվերջ փոքր ֆունկցիան ունի որոշակի նշան , այսինքն՝ այն դրական է (կամ բացասական) կետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա, ապա այս փաստը կարող է արտահայտվել հետևյալ կերպ.
.
Նույն կերպ, եթե անսահման մեծ ֆունկցիան ունի որոշակի նշան , ապա գրում են.
.

Այնուհետև անսահման փոքր և անսահման մեծ ֆունկցիաների միջև խորհրդանշական կապը կարող է համալրվել հետևյալ հարաբերություններով.
, ,
, .

Անսահմանության նշաններին վերաբերող լրացուցիչ բանաձևեր կարելի է գտնել էջում
«Կետերը անսահմանության վրա և դրանց հատկությունները»:

Միապաղաղ ֆունկցիաների սահմանները

Սահմանում
Կանչվում է X իրական թվերի որոշ բազմության վրա սահմանված ֆունկցիա խիստ աճող, եթե բոլորի համար գործում է հետևյալ անհավասարությունը.
.
Համապատասխանաբար, համար խիստ նվազումգործում է հետևյալ անհավասարությունը.
.
Համար չնվազող:
.
Համար չաճող:
.

Դրանից բխում է, որ խիստ աճող ֆունկցիան նույնպես չի նվազում։ Խիստ նվազող ֆունկցիան նույնպես չաճող է։

Ֆունկցիան կոչվում է միապաղաղ, եթե այն չի նվազում կամ չի աճում։

Թեորեմ
Թող ֆունկցիան չնվազի այն միջակայքում, որտեղ .
Եթե ​​այն վերևում սահմանափակված է M թվով, ապա կա վերջավոր սահման: Եթե ​​վերևից չի սահմանափակվում, ապա .
Եթե ​​ներքևից այն սահմանափակվում է m թվով, ապա կա վերջավոր սահման: Եթե ​​չի սահմանափակվում ներքևից, ապա .

Եթե ​​a և b կետերը գտնվում են անվերջության վրա, ապա արտահայտություններում սահմանային նշանները նշանակում են, որ .
Այս թեորեմը կարելի է ավելի կոմպակտ ձևակերպել։

Թող ֆունկցիան չնվազի այն միջակայքում, որտեղ . Այնուհետև a և b կետերում կան միակողմանի սահմաններ.
;
.

Նմանատիպ թեորեմ չաճող ֆունկցիայի համար։

Թող ֆունկցիան չմեծանա այն միջակայքում, որտեղ . Այնուհետև կան միակողմանի սահմաններ.
;
.

Թեորեմի ապացույցը ներկայացված է էջում
«Միոտոն ֆունկցիաների սահմանները».

Հղումներ:
Լ.Դ. Կուդրյավցև. Մաթեմատիկական վերլուծության դասընթաց. Հատոր 1. Մոսկվա, 2003 թ.
ՍՄ. Նիկոլսկին. Մաթեմատիկական վերլուծության դասընթաց. Հատոր 1. Մոսկվա, 1983 թ.

Սահմանների տեսությունը մաթեմատիկական վերլուծության ճյուղերից է։ Սահմանների լուծման հարցը բավականին ծավալուն է, քանի որ կան սահմանների լուծման տասնյակ մեթոդներ տարբեր տեսակներ. Կան տասնյակ նրբերանգներ ու հնարքներ, որոնք թույլ են տալիս լուծել այս կամ այն ​​սահմանը։ Այնուամենայնիվ, մենք դեռ կփորձենք հասկանալ սահմանների հիմնական տեսակները, որոնք առավել հաճախ հանդիպում են գործնականում:

Սկսենք հենց սահմանի հայեցակարգից: Բայց նախ՝ համառոտ պատմական նախապատմություն։ 19-րդ դարում ապրում էր ֆրանսիացի Օգյուստեն Լուի Կոշին, ով դրեց մաթեմատիկական վերլուծության հիմքերը և տվեց խիստ սահմանումներ, մասնավորապես սահմանի սահմանում։ Պետք է ասել, որ այս նույն Քոշին եղել է, կա և կլինի ֆիզիկամաթեմատիկական բոլոր ուսանողների մղձավանջներում, քանի որ նա ապացուցեց մաթեմատիկական անալիզի հսկայական թվով թեորեմներ, և յուրաքանչյուր թեորեմ ավելի զզվելի է, քան մյուսը: Այս առումով մենք չենք դիտարկի սահմանի խիստ սահմանումը, այլ կփորձենք անել երկու բան.

1. Հասկացեք, թե ինչ է սահմանը:
2. Սովորեք լուծել սահմանների հիմնական տեսակները:

Ներողություն եմ խնդրում որոշ ոչ գիտական ​​բացատրությունների համար, կարևոր է, որ նյութը հասկանալի լինի նույնիսկ թեյնիկին, ինչը, ըստ էության, նախագծի խնդիրն է։

Այսպիսով, ո՞րն է սահմանը:

Եվ միայն մի օրինակ, թե ինչու պետք է խեղճ տատիկին…

Ցանկացած սահմանափակում բաղկացած է երեք մասից:

1) Սահմանի հայտնի պատկերակը:
2) Սահմանի պատկերակի տակ գտնվող գրառումները՝ in այս դեպքում. Մուտքում գրված է «X-ը հակված է մեկին»: Ամենից հաճախ `ճիշտ, չնայած «X»-ի փոխարեն գործնականում կան այլ փոփոխականներ: Գործնական առաջադրանքներում մեկի տեղը կարող է լինել բացարձակապես ցանկացած թիվ, ինչպես նաև անսահմանություն ():
3) Գործառույթները սահմանային նշանի ներքո, այս դեպքում.

Ներառումն ինքնին կարդում է այսպես. «գործառույթի սահմանը, քանի որ x-ը ձգտում է միասնության»:

Դիտարկենք հաջորդ կարևոր հարցը՝ ի՞նչ է նշանակում «x» արտահայտությունը: ձգտում էմեկին»? Իսկ ի՞նչ է նույնիսկ նշանակում «ձգտել»։
Սահմանի հասկացությունը հասկացություն է, այսպես ասած, դինամիկ. Կառուցենք հաջորդականություն՝ սկզբում, հետո, ,…, , ….
Այսինքն՝ «x ձգտում էմեկին» պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ. «x»-ը հետևողականորեն ընդունում է արժեքները որոնք մոտենում են միասնությանը անսահմանորեն մոտ և գործնականում համընկնում են դրան.

Ինչպե՞ս լուծել վերը նշված օրինակը: Ելնելով վերը նշվածից, դուք պարզապես պետք է մեկը փոխարինեք սահմանային նշանի տակ գտնվող ֆունկցիայի մեջ.

Այսպիսով, առաջին կանոնը. Երբ տրվում է որևէ սահմանափակում, նախ մենք պարզապես փորձում ենք թիվը միացնել ֆունկցիային.

Մենք դիտարկել ենք ամենապարզ սահմանը, բայց դրանք նույնպես տեղի են ունենում գործնականում, և ոչ այնքան հազվադեպ:

Օրինակ անսահմանության հետ.

Եկեք պարզենք, թե ինչ է դա: Սա այն դեպքն է, երբ այն մեծանում է առանց սահմանի, այսինքն՝ նախ, հետո, հետո, հետո և այլն անվերջ։

Ի՞նչ է տեղի ունենում ֆունկցիայի հետ այս պահին:
, , , …

Այսպիսով, եթե , ապա ֆունկցիան հակված է մինուս անսահմանությանը:

Կոպիտ ասած, մեր առաջին կանոնի համաձայն, «X»-ի փոխարեն մենք անսահմանությունը փոխարինում ենք ֆունկցիայի մեջ և ստանում պատասխանը։

Մեկ այլ օրինակ անսահմանության հետ.

Կրկին մենք սկսում ենք աճել մինչև անսահմանություն և դիտել գործառույթի վարքագիծը.

Եզրակացություն․ երբ ֆունկցիան մեծանում է առանց սահմանի:

Եվ ևս մեկ օրինակների շարք.

Խնդրում ենք, փորձեք մտավոր վերլուծել հետևյալը ինքներդ ձեզ համար և հիշեք սահմանների ամենապարզ տեսակները.

, , , , , , , , ,
Եթե ​​ինչ-որ տեղ կասկածներ ունեք, կարող եք վերցնել հաշվիչը և մի փոքր պարապել։
Այն դեպքում, երբ փորձեք կառուցել հաջորդականությունը , , . Եթե, ապա , , .

Նշում․ խստորեն ասած՝ մի քանի թվերի հաջորդականություն կառուցելու այս մոտեցումը սխալ է, բայց ամենապարզ օրինակները հասկանալու համար այն բավականին հարմար է։

Ուշադրություն դարձրեք նաև հետևյալին. Նույնիսկ եթե սահմանը տրված է մեծ թվով վերևում, կամ նույնիսկ միլիոնով, ապա միեւնույն է. , քանի որ վաղ թե ուշ «X»-ը կընդունի այնպիսի հսկա արժեքներ, որ նրանց համեմատ մեկ միլիոնը իսկական միկրոբ կլինի։

Ի՞նչ է պետք հիշել և հասկանալ վերը նշվածից:

1) Երբ տրվում է որևէ սահմանափակում, նախ մենք պարզապես փորձում ենք թիվը փոխարինել ֆունկցիայի մեջ:

2) Դուք պետք է հասկանաք և անմիջապես լուծեք ամենապարզ սահմանները, ինչպիսիք են , և այլն:

Այժմ մենք կդիտարկենք սահմանների խումբը, երբ , և ֆունկցիան կոտորակ է, որի համարիչը և հայտարարը պարունակում են բազմանդամներ

Օրինակ:

Հաշվարկել սահմանաչափը

Մեր կանոնի համաձայն՝ մենք կփորձենք անսահմանությունը փոխարինել ֆունկցիայի մեջ։ Ի՞նչ ենք մենք ստանում վերևում: Անսահմանություն. Իսկ ի՞նչ է կատարվում ստորև։ Նաև անսահմանություն։ Այսպիսով, մենք ունենք այն, ինչ կոչվում է տեսակների անորոշություն: Կարելի է մտածել, որ, և պատասխանը պատրաստ է, բայց ընդհանուր դեպքում դա ամենևին էլ այդպես չէ, և անհրաժեշտ է կիրառել լուծման որոշ տեխնիկա, որը մենք հիմա կքննարկենք։

Ինչպե՞ս լուծել այս տեսակի սահմանները:

Սկզբում մենք նայում ենք համարիչին և գտնում ենք ամենաբարձր հզորությունը.

Համարիչի առաջատար ուժը երկուսն է։

Այժմ մենք նայում ենք հայտարարին և նաև գտնում ենք այն ամենաբարձր հզորությամբ.

Հայտարարի ամենաբարձր աստիճանը երկուսն է:

Այնուհետև ընտրում ենք համարիչի և հայտարարի ամենաբարձր հզորությունը. այս օրինակում դրանք նույնն են և հավասար են երկուսի:

Այսպիսով, լուծման մեթոդը հետևյալն է՝ անորոշությունը բացահայտելու համար անհրաժեշտ է համարիչը և հայտարարը բաժանել ամենաբարձր հզորության վրա։

Ահա, պատասխանը, և ամենևին էլ ոչ անսահմանություն։

Ի՞նչն է սկզբունքորեն կարևոր որոշման ձևավորման մեջ:

Նախ, մենք նշում ենք անորոշությունը, եթե այդպիսիք կան:

Երկրորդ, նպատակահարմար է ընդհատել լուծումը միջանկյալ բացատրությունների համար: Ես սովորաբար օգտագործում եմ նշանը, այն ոչ մի մաթեմատիկական իմաստ չունի, այլ նշանակում է, որ լուծումն ընդհատվում է միջանկյալ բացատրության համար։

Երրորդ, սահմանի մեջ նպատակահարմար է նշել, թե ինչ է գնում: Երբ աշխատանքը կազմվում է ձեռքով, ավելի հարմար է դա անել այսպես.

Նշումների համար ավելի լավ է օգտագործել պարզ մատիտ։

Իհարկե, սրանից որևէ մեկը պետք չէ անել, բայց հետո, հավանաբար, ուսուցիչը մատնանշի լուծման թերությունները կամ կսկսի լրացուցիչ հարցեր տալ առաջադրանքի վերաբերյալ: Ձեզ դա պե՞տք է։

Օրինակ 2

Գտեք սահմանը
Կրկին համարիչում և հայտարարում մենք գտնում ենք ամենաբարձր աստիճանում.

Համարիչի առավելագույն աստիճանը՝ 3
Առավելագույն աստիճանը հայտարարում` 4
Ընտրեք մեծագույնարժեքը, այս դեպքում չորս.
Մեր ալգորիթմի համաձայն՝ անորոշությունը բացահայտելու համար համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք .
Ամբողջական առաջադրանքը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Բաժանի՛ր համարիչն ու հայտարարը

Օրինակ 3

Գտեք սահմանը
«X»-ի առավելագույն աստիճանը համարիչում՝ 2
«X»-ի առավելագույն աստիճանը հայտարարում՝ 1 (կարելի է գրել որպես)
Անորոշությունը բացահայտելու համար անհրաժեշտ է համարիչը և հայտարարը բաժանել . Վերջնական լուծումը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Բաժանի՛ր համարիչն ու հայտարարը

Նշումը չի նշանակում բաժանում զրոյի (չես կարող բաժանել զրոյի), այլ բաժանում անվերջ փոքր թվի վրա։

Այսպիսով, բացահայտելով տեսակների անորոշությունը, մենք կարող ենք դա անել վերջնական համարը, զրո կամ անսահմանություն։

Սահմանափակումներ՝ դրանց լուծման տեսակի և մեթոդի անորոշությամբ

Սահմանների հաջորդ խումբը որոշ չափով նման է նոր դիտարկված սահմաններին. համարիչն ու հայտարարը պարունակում են բազմանդամներ, բայց «x»-ն այլևս հակված չէ դեպի անվերջություն, այլ վերջավոր թիվ.

Օրինակ 4

Լուծել սահմանը
Նախ փորձենք -1-ը փոխարինել կոտորակի մեջ.

Այս դեպքում ստացվում է այսպես կոչված անորոշություն։

Ընդհանուր կանոն Եթե ​​համարիչը և հայտարարը պարունակում են բազմանդամներ, և կա ձևի անորոշություն, ապա բացահայտեք այն պետք է հաշվի առնել համարիչը և հայտարարը.

Դա անելու համար ամենից հաճախ անհրաժեշտ է լուծել քառակուսի հավասարում և/կամ օգտագործել կրճատված բազմապատկման բանաձևեր: Եթե ​​այս բաները մոռացվել են, ապա այցելեք էջը Մաթեմատիկական բանաձևեր և աղյուսակներև ստուգիր մեթոդական նյութ Թեժ բանաձեւեր դպրոցական դասընթացմաթեմատիկոսներ. Ի դեպ, ավելի լավ է այն տպել, դա շատ հաճախ է պահանջվում, և թղթից ինֆորմացիան ավելի լավ է կլանվում։

Այսպիսով, եկեք լուծենք մեր սահմանը

Գործոնավորեք համարիչը և հայտարարը

Համարիչը գործոնավորելու համար հարկավոր է լուծել քառակուսի հավասարումը.

Նախ մենք գտնում ենք տարբերակիչ.

Եվ դրա քառակուսի արմատը.

Եթե ​​դիսկրիմինանտը մեծ է, օրինակ 361, մենք օգտագործում ենք հաշվիչը՝ արդյունահանման ֆունկցիան քառակուսի արմատհասանելի է ամենապարզ հաշվիչով:

! Եթե ​​արմատն ամբողջությամբ չի հանվում (ստորակետով կոտորակային թիվ է ստացվում), ապա շատ հավանական է, որ դիսկրիմինանտը սխալ է հաշվարկվել կամ առաջադրանքի մեջ տառասխալ է եղել։

Հաջորդը մենք գտնում ենք արմատները.

Այսպիսով.

Բոլորը. Համարիչը գործոնացված է:

Հայտարար. Հայտարարն արդեն ամենապարզ գործոնն է, և այն պարզեցնելու տարբերակ չկա։

Ակնհայտ է, որ այն կարող է կրճատվել հետևյալ կերպ.

Այժմ մենք փոխարինում ենք -1 արտահայտության մեջ, որը մնում է սահմանային նշանի տակ.

Բնականաբար, ներս թեստային աշխատանք, թեստի կամ քննության ժամանակ լուծումը երբեք այդքան մանրամասն դուրս չի գրվում։ Վերջնական տարբերակում դիզայնը պետք է նման լինի.

Եկեք ֆակտորիզացնենք համարիչը։

Օրինակ 5

Հաշվարկել սահմանաչափը

Նախ, լուծման «վերջնական» տարբերակը

Գործոնավորենք համարիչն ու հայտարարը։

Համարիչ:
Հայտարար:



,

Ի՞նչն է կարևոր այս օրինակում:
Նախ, դուք պետք է լավ հասկանաք, թե ինչպես է բացահայտվում համարիչը, նախ փակագծերից հանեցինք 2-ը, այնուհետև օգտագործեցինք քառակուսիների տարբերության բանաձևը։ Սա այն բանաձևն է, որը դուք պետք է իմանաք և տեսնեք:

Սահմանների լուծման մեթոդներ. Անորոշություններ.
Ֆունկցիայի աճի կարգը. Փոխարինման մեթոդ

Օրինակ 4

Գտեք սահմանը

Սա ավելի պարզ օրինակ է անկախ որոշում. Առաջարկվող օրինակում կրկին անորոշություն (ավելին բարձր կարգբարձրությունը, քան արմատը):

Եթե ​​«x»-ը հակված է «մինուս անսահմանությանը»

Այս հոդվածում երկար ժամանակ սավառնում է «մինուս անսահմանության» ուրվականը: Դիտարկենք այն սահմանները բազմանդամներով, որոնցում . Լուծման սկզբունքներն ու մեթոդները կլինեն ճիշտ նույնը, ինչ դասի առաջին մասում, բացառությամբ մի շարք նրբերանգների:

Դիտարկենք 4 հնարք, որոնք կպահանջվեն գործնական առաջադրանքներ լուծելու համար.

1) Հաշվել սահմանը

Սահմանաչափի արժեքը կախված է միայն ժամկետից, քանի որ այն ունի աճի ամենաբարձր կարգը: Եթե, ապա անսահման մեծ մոդուլով բացասական թիվՀԱՆԳՍՏԻ աստիճանի, այս դեպքում – չորրորդում հավասար է «գումարած անսահմանության»՝ . Constant («երկու») դրական, Ահա թե ինչու:

2) Հաշվել սահմանը

Ահա նորից ավագ դիպլոմը նույնիսկ, Ահա թե ինչու: . Բայց դրա դիմաց կա «մինուս» ( բացասականհաստատուն –1), հետևաբար.

3) Հաշվել սահմանը

Սահմանային արժեքը կախված է միայն . Ինչպես հիշում եք դպրոցից, «մինուսը» «դուրս է թռչում» կենտ աստիճանի տակից, ուրեմն անսահման մեծ մոդուլովբացասական թիվ մինչև տարօրինակ ուժհավասար է «մինուս անսահմանություն», այս դեպքում՝ .
Constant («չորս») դրական, Նշանակում է.

4) Հաշվել սահմանը

Գյուղի առաջին տղան էլի ունի տարօրինակաստիճանը, բացի այդ, ծոցում բացասականհաստատուն, ինչը նշանակում է.
.

Օրինակ 5

Գտեք սահմանը

Օգտագործելով վերը նշված կետերը՝ գալիս ենք այն եզրակացության, որ այստեղ անորոշություն կա։ Համարիչն ու հայտարարը աճի նույն կարգի են, ինչը նշանակում է, որ սահմանում արդյունքը կլինի վերջավոր թիվ։ Եկեք պարզենք պատասխանը՝ դեն նետելով բոլոր տապակները.

Լուծումը չնչին է.

Օրինակ 6

Գտեք սահմանը

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Եվ հիմա, թերևս, ամենանուրբ դեպքերը.

Օրինակ 7

Գտեք սահմանը

Հաշվի առնելով առաջատար տերմինները՝ գալիս ենք այն եզրակացության, որ այստեղ անորոշություն կա։ Համարիչը աճի ավելի բարձր կարգի է, քան հայտարարը, ուստի անմիջապես կարող ենք ասել, որ սահմանը հավասար է անսահմանության։ Բայց ինչպիսի՞ անսահմանություն, «գումարած» կամ «մինուս»: Տեխնիկան նույնն է. եկեք ազատվենք համարիչի և հայտարարի մանրուքներից.

Մենք որոշում ենք.

Բաժանի՛ր համարիչն ու հայտարարը

Օրինակ 15

Գտեք սահմանը

Սա ձեզ համար օրինակ է ինքնուրույն լուծելու համար։ Վերջնական ձևավորման մոտավոր նմուշ դասի վերջում:

Փոփոխական փոխարինման թեմայի վերաբերյալ ևս մի քանի հետաքրքիր օրինակ.

Օրինակ 16

Գտեք սահմանը

Միասնությունը սահմանի մեջ փոխարինելիս ստացվում է անորոշություն: Փոփոխականի փոփոխությունն արդեն ինքն իրեն հուշում է, բայց նախ՝ բանաձևով փոխակերպում ենք շոշափողը։ Իսկապես, ինչի՞ն է մեզ անհրաժեշտ շոշափողը:

Նկատի ունեցեք, որ հետևաբար. Եթե ​​դա ամբողջովին պարզ չէ, նայեք սինուսային արժեքներին եռանկյունաչափական աղյուսակ. Այսպիսով, մենք անմիջապես ազատվում ենք բազմապատկիչից, բացի այդ, ստանում ենք ավելի ծանոթ 0:0 անորոշությունը։ Լավ կլիներ, որ մեր սահմանը ձգվեր զրոյի:

Փոխարինենք.

Եթե, ապա

Կոսինուսի տակ ունենք «x», որը նույնպես պետք է արտահայտվի «te»-ի միջոցով։
Փոխարինումից մենք արտահայտում ենք.

Մենք լրացնում ենք լուծումը.

(1) Մենք իրականացնում ենք փոխարինումը

(2) Բացեք փակագծերը կոսինուսի տակ:

(4) կազմակերպել առաջին հրաշալի սահմանը, արհեստականորեն բազմապատկեք համարիչը և փոխադարձ թիվը։

Անկախ լուծման առաջադրանք.

Օրինակ 17

Գտեք սահմանը

Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Սրանք պարզ առաջադրանքներ էին իրենց դասարանում, գործնականում ամեն ինչ կարող է ավելի վատ լինել, և, բացի այդ նվազեցման բանաձևեր, դուք պետք է օգտագործեք մի շարք եռանկյունաչափական բանաձևեր, ինչպես նաև այլ հնարքներ։ Համալիր սահմաններ հոդվածում ես նայեցի մի քանի իրական օրինակ =)

Տոնի նախօրեին մենք վերջնականապես կպարզենք իրավիճակը մեկ այլ ընդհանուր անորոշությամբ.

Անորոշության վերացում «մեկը դեպի անսահմանության ուժը»

Այս անորոշությունը «մատուցվում է» երկրորդ հրաշալի սահմանը, և այդ դասի երկրորդ մասում մենք մանրամասնորեն նայեցինք լուծումների ստանդարտ օրինակներին, որոնք շատ դեպքերում կիրառում են գործնականում: Այժմ ցուցիչներով նկարը կավարտվի, բացի այդ, դասի վերջնական առաջադրանքները կնվիրվեն «կեղծ» սահմաններին, որոնցում ԹՎԱԾ է, որ անհրաժեշտ է կիրառել 2-րդ հրաշալի սահմանը, թեև դա ամենևին էլ այն չէ. գործ.

2-րդ ուշագրավ սահմանի երկու աշխատանքային բանաձևերի թերությունն այն է, որ փաստարկը պետք է ձգտի դեպի «գումարած անսահմանություն» կամ զրոյի: Բայց ի՞նչ, եթե փաստարկը հակված է այլ թվի:

Օգնության է գալիս ունիվերսալ բանաձևը (որն իրականում երկրորդ ուշագրավ սահմանի հետևանք է).

Անորոշությունը կարելի է վերացնել՝ օգտագործելով բանաձևը.

Ինչ-որ տեղ, կարծում եմ, արդեն բացատրել եմ, թե ինչ են նշանակում քառակուսի փակագծերը: Ոչ մի առանձնահատուկ բան, փակագծերը պարզապես փակագծեր են: Դրանք սովորաբար օգտագործվում են մաթեմատիկական նշումներն ավելի հստակ ընդգծելու համար:

Եկեք առանձնացնենք բանաձևի հիմնական կետերը.

1) Խոսքը վերաբերում է միայն անորոշության մասին և ուրիշ ոչինչ.

2) «x» փաստարկը կարող է հակված լինել կամայական արժեք(և ոչ միայն զրոյի կամ), մասնավորապես, «մինուս անսահմանության» կամ մինչև որևէ մեկինվերջավոր թիվ.

Օգտագործելով այս բանաձևը, կարող եք լուծել դասի բոլոր օրինակները: Հրաշալի սահմաններ, որոնք պատկանում են 2-րդ ուշագրավ սահմանին։ Օրինակ, եկեք հաշվարկենք սահմանը.

Այս դեպքում , և ըստ բանաձևի :

Ճիշտ է, ես խորհուրդ չեմ տալիս դա անել, ավանդույթն այն է, որ դեռ օգտագործեք լուծման «սովորական» դիզայնը, եթե այն հնարավոր է կիրառել: Այնուամենայնիվ օգտագործելով բանաձեւը շատ հարմար է ստուգել«դասական» օրինակներ 2-րդ ուշագրավ սահմանին.

Նրանց համար, ովքեր ցանկանում են սովորել, թե ինչպես գտնել սահմաններ, այս հոդվածում մենք ձեզ կպատմենք այդ մասին: Մենք չենք խորանա տեսության մեջ, ուսուցիչները սովորաբար դա դասախոսություններ են տալիս: Այսպիսով, «ձանձրալի տեսությունը» պետք է գրանցվի ձեր նոթատետրերում: Եթե ​​դա այդպես չէ, ապա կարող եք կարդալ գրադարանից փոխառված դասագրքեր։ ուսումնական հաստատությունկամ այլ ինտերնետային ռեսուրսների վրա:

Այսպիսով, սահման հասկացությունը բավականին կարևոր է դասընթացն ուսումնասիրելիս բարձրագույն մաթեմատիկա, հատկապես, երբ դուք հանդիպում եք ինտեգրալ հաշվարկին և հասկանում եք սահմանի և ինտեգրալի միջև կապը: Ընթացիկ նյութում մենք կքննարկենք պարզ օրինակներ, ինչպես նաև դրանց լուծման ուղիները։

Լուծումների օրինակներ

Օրինակ 1

Հաշվեք a) $ \lim_(x \մինչև 0) \frac(1)(x) $; բ)$ \lim_(x \մինչև \infty) \frac(1)(x) $

Լուծում

ա) $$ \lim \limits_(x \մինչև 0) \frac(1)(x) = \infty $$ բ)$$ \lim_(x \մինչև \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Մարդիկ հաճախ մեզ ուղարկում են այս սահմանափակումները՝ խնդրելով օգնել լուծել դրանք: Մենք որոշեցինք դրանք առանձնացնել որպես առանձին օրինակ և բացատրել, որ այդ սահմանները, որպես կանոն, պարզապես պետք է հիշել։ Եթե ​​դուք չեք կարող լուծել ձեր խնդիրը, ապա ուղարկեք այն մեզ: Մենք կտրամադրենք մանրամասն լուծում։ Դուք կկարողանաք դիտել հաշվարկի առաջընթացը և տեղեկատվություն ստանալ: Սա կօգնի ձեզ ժամանակին ստանալ ձեր գնահատականը ձեր ուսուցչից:

Պատասխանել

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1) )(x) = 0 $$

Ինչ անել ձևի անորոշության դեպքում. $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Օրինակ 3

Լուծել $ \lim \limits_(x \մինչև -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Լուծում

Ինչպես միշտ, մենք սկսում ենք $ x $ արժեքը փոխարինելով սահմանային նշանի տակ դրված արտահայտությամբ: $$ \lim \limits_(x \մինչև -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Ի՞նչ է հաջորդը հիմա: Ի՞նչ պետք է լինի ի վերջո։ Քանի որ սա անորոշություն է, սա դեռ պատասխան չէ, և մենք շարունակում ենք հաշվարկը։ Քանի որ մենք ունենք բազմանդամ համարիչներում, մենք այն կգործադրենք՝ օգտագործելով դպրոցից բոլորին ծանոթ բանաձևը $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$: Հիշում ես? Հիանալի Այժմ շարունակեք և օգտագործեք այն երգի հետ :) Մենք գտնում ենք, որ $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ համարիչը Մենք շարունակում ենք լուծել՝ հաշվի առնելով վերը նշված վերափոխումը. $$ \lim \limits_(x \մինչև -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \մինչև -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \սահմաններ_(x \մինչև -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Պատասխանել

$$ \lim \limits_(x \մինչև -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Եկեք վերջին երկու օրինակների սահմանը հասցնենք անսահմանության և դիտարկենք անորոշությունը՝ $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Օրինակ 5

Հաշվարկել $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Լուծում

$ \lim \limits_(x \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ինչ անել? Ինչ պետք է անեմ? Խուճապի մի մատնվեք, քանի որ անհնարինը հնարավոր է։ Հարկավոր է հանել x-ը և՛ համարիչում, և՛ հայտարարի մեջ, ապա փոքրացնել այն։ Սրանից հետո փորձեք հաշվարկել սահմանը։ Արի փորձենք... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Օգտագործելով օրինակ 2-ի սահմանումը և անսահմանությունը փոխարինելով x-ով, մենք ստանում ենք. $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Պատասխանել

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Սահմանաչափերի հաշվարկման ալգորիթմ

Այսպիսով, եկեք համառոտ ամփոփենք օրինակները և ստեղծենք սահմանները լուծելու ալգորիթմ.

1. X կետը փոխարինի՛ր սահմանային նշանին հաջորդող արտահայտությամբ: Եթե ​​ստացվում է որոշակի թիվ կամ անսահմանություն, ապա սահմանն ամբողջությամբ լուծված է։ Հակառակ դեպքում մենք ունենք անորոշություն՝ «զրո բաժանված զրոյի» կամ «անսահմանությունը՝ բաժանված անսահմանության վրա» և անցնել հրահանգների հաջորդ քայլերին։
2. «Զրո բաժանված զրոյի» անորոշությունը վերացնելու համար պետք է հաշվի առնել համարիչը և հայտարարը: Նվազեցրեք նմանատիպերը: Փոխարինեք x կետը սահմանային նշանի տակ դրված արտահայտության մեջ:
3. Եթե ​​անորոշությունը «անվերջությունը բաժանված է անվերջության վրա», ապա մենք հանում ենք և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը x-ի առավելագույն աստիճանով: Մենք կրճատում ենք X-երը: Սահմանի տակից x-ի արժեքները փոխարինում ենք մնացած արտահայտության մեջ:

Այս հոդվածում դուք սովորեցիք սահմանների լուծման հիմունքները, որոնք հաճախ օգտագործվում են դասընթացում: Մաթեմատիկական վերլուծություն. Իհարկե, սրանք բոլոր տեսակի խնդիրներ չեն, որոնք առաջարկվում են քննողների կողմից, այլ միայն ամենապարզ սահմանները: Առաջիկա հոդվածներում մենք կխոսենք այլ տեսակի առաջադրանքների մասին, բայց նախ դուք պետք է սովորեք այս դասը, որպեսզի առաջ շարժվեք: Եկեք քննարկենք, թե ինչ անել, եթե կան արմատներ, աստիճաններ, ուսումնասիրենք անվերջ փոքր համարժեք ֆունկցիաներ, ուշագրավ սահմաններ, L'Hopital-ի կանոն:

Եթե ​​դուք ինքներդ չեք կարողանում պարզել սահմանները, խուճապի մի մատնվեք: Մենք միշտ ուրախ ենք օգնել: