Դասեր COMPASS ծրագրի վերաբերյալ.

Դաս թիվ 12. Շրջանակների կառուցում Compass 3D-ում:
Շրջանակներ, որոնք շոշափում են կորերին, շրջան, որը հիմնված է երկու կետերի վրա:

Compass 3D-ն ունի շոշափող շրջանակներ կառուցելու մի քանի եղանակ.

• շրջան, որը շոշափում է 1-ին կորին;
• շրջանակը շոշափում է 2 կորի;
• շրջանակը շոշափում է 3 կորի;

Կորին շոշափող շրջանակ կառուցելու համար սեղմեք կոճակը «1 կորի շոշափող շրջան»կոմպակտ վահանակում կամ վերևի ընտրացանկում հաջորդաբար սեղմեք հրամանները «Գործիքներ» - «Երկրաչափություն» - «Շրջանակներ» - «1 կորի շոշափող շրջան»:

Կուրսորը օգտագործելով՝ նախ նշում ենք այն կորը, որով անցնելու է շրջանագիծը, ապա նշում ենք այս շրջանագծի 1-ին և 2-րդ կետերը (կետերի կոորդինատները կարելի է մուտքագրել հատկությունների վահանակում)։

Էկրանի վրա կցուցադրվեն բոլոր հնարավոր շրջանակների տարբերակների ֆանտոմները: Օգտագործելով կուրսորը, ընտրեք մեզ անհրաժեշտները և ուղղեք դրանք՝ սեղմելով «Ստեղծել օբյեկտ» կոճակը: Մենք ավարտում ենք շինարարությունը՝ սեղմելով «Վերջացնել հրամանը» կոճակը:

Նախքան երկրորդ կետը նշելը, կարող եք մուտքագրել շառավիղ կամ տրամագծի արժեքը սեփականության վահանակի համապատասխան դաշտում: Այդպիսի շրջան միշտ չէ, որ կկառուցվի։ Սա կախված է տրված շառավղից կամ տրամագծից: Կառուցման անհնարինության մասին կնշվի շառավիղի արժեքը մուտքագրելուց հետո ֆանտոմի անհետացումը։

Եթե ​​շրջանագծի կենտրոնական կետը հայտնի է, այն կարող է սահմանվել նաև հատկությունների վահանակում:

Երկու կորերին շոշափող շրջանակ կառուցելու համար սեղմեք կոճակը «Կլոր շոշափող 2 կորի»կոմպակտ վահանակի մեջ: Կամ վերևի ընտրացանկում հաջորդաբար սեղմեք հրամանները «Գործիքներ» - «Երկրաչափություն» - «Շրջանակներ» - «Շոշափող շրջան 2 կորի».

Օգտագործելով կուրսորը, մենք նշում ենք այն առարկաները, որոնց շրջանակը պետք է դիպչի: Էկրանի վրա կցուցադրվեն բոլոր հնարավոր շինարարական տարբերակների ֆանտոմները:

Եթե ​​շրջանագծին պատկանող կետի դիրքը հայտնի է, ապա այն պետք է նշվի կուրսորի միջոցով, կամ կոորդինատները պետք է մուտքագրվեն հատկությունների վահանակում։ Դուք կարող եք նաև մուտքագրել շառավիղի կամ տրամագծի արժեքներ հատկությունների վահանակում: Կառուցումն ավարտելու համար ընտրեք ցանկալի ֆանտոմը և հաջորդաբար սեղմեք կոճակները «Ստեղծել օբյեկտ»Եվ «Վերջացնել հրամանը».

Երեք կորերին շոշափող շրջանակ կառուցելու համար սեղմեք կոճակը «3 կորի շոշափող շրջան»կոմպակտ վահանակի մեջ: Կամ վերևի ընտրացանկում հաջորդաբար սեղմեք հրամանները «Գործիքներ» - «Երկրաչափություն» - «Շրջանակներ» - «Շոշափող շրջանակը 3 կորերին»:

Կոնստրուկցիաները նման են նախորդներին, այնպես որ արեք դրանք ինքներդ, արդյունքը ներկայացված է ստորև նկարում:

Կենտրոնը գտնելու մեկ այլ եղանակ (օրինակ՝ շրջված ապրանքների)՝ օգտագործելով հատուկ գործիք՝ «կենտրոնի որոնիչ», հիմնված է այսպես կոչված հատկությունների վրա: շոշափող գծեր. Շրջանակին շոշափող ցանկացած ուղիղ գիծ է, որը շրջանագծին հանդիպելու կետում ուղղահայաց է այս կետին գծված շառավղին: Օրինակ՝ դժոխք։ 174 ուղիղ Ա Բ Գ ԴԵվ Է.Ֆ.- շրջանագծի շոշափողներ ACE. Միավորներ A, C, Eկոչվում են «շոշափման կետեր»: Շոշափող ուղիղի առանձնահատկությունն այն է, որ այն ունի շրջանագիծ միայն մեկ ընդհանուր կետով: Իսկապես, եթե շոշափողը ԱԲ(նկ. 175) եղել է շրջանով, բացի սրանից կա ևս մեկ ընդհանուր կետ, օրինակ. ՀԵՏ, այնուհետև այն միացնելով կենտրոնին՝ կստանայինք հավասարաչափ եռանկյունի SOAերկու ուղիղ անկյուններով SA,և սա, գիտենք, անհնար է (ինչու՞):

Մենք բավականին հաճախ հանդիպում ենք շրջանակի վրա շոշափող գծերի գործնական կյանք. Բլոկի վրայով նետված պարանն իր լարված մասերում վերցնում է բլոկի շրջանագծին շոշափող գծերի դիրքը։ Վերելակների գոտիները (մի քանի բլոկների համակցություններ, նկ. 176) գտնվում են անիվների շրջագծի ընդհանուր շոշափումների գծի երկայնքով: Ճախարակների փոխանցման գոտիները նույնպես զբաղեցնում են ընդհանուր շոշափողների դիրքը «արտաքին» շոշափողների ճախարակների շրջանակներին այսպես կոչված. բաց փոխանցում և «ներքին»՝ փակ փոխանցման մեջ:

Ինչպե՞ս գծել դրա շոշափողը շրջանագծից դուրս տրված կետի միջով: Այլ կերպ ասած՝ ինչպես կետի միջով Ա(գծ. 177) ուղիղ գիծ քաշիր ԱԲդեպի անկյուն ABOուղիղ էր? Դա արվում է հետևյալ կերպ. Միացնել Ակենտրոնով ՄԱՍԻՆ(գծանկար 178): Ուղիղ գիծը բաժանված է կիսով չափ և իր կեսի շուրջ IN, որպես կենտրոն, նկարագրեք շառավղով շրջան IN. Այլ կերպ ասած, վրա ՕԱկառուցիր շրջան, ինչպես տրամագծի վրա: Խաչմերուկի կետեր ՀԵՏԵվ Դերկու շրջանակները միացված են Աուղիղ գծեր. դրանք կլինեն շոշափողներ:

Սա հաստատելու համար եկեք կենտրոնից գծենք դեպի կետերը ՀԵՏԵվ Դօժանդակ գծեր ՕՀԵվ ՕԴ. Անկյուններ WASPԵվ ODA- ուղիղ, քանի որ դրանք մակագրված են կիսաշրջանով: Իսկ սա նշանակում է, որ ՕՀԵվ Օ.Դ.- շոշափողներ շրջանագծին:

Հաշվի առնելով մեր կառուցումը, մենք, ի թիվս այլ բաների, տեսնում ենք, որ շրջանագծից դուրս գտնվող յուրաքանչյուր կետից մենք կարող ենք երկու շոշափող նկարել դրան: Հեշտ է ստուգել, ​​որ այս երկու շոշափողներն էլ ունեն նույն երկարությունը, այսինքն՝ դա A.C.= ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ. Իրոք, ժամանակաշրջան ՄԱՍԻՆհավասարապես հեռու անկյան կողմերից Ա; Միջոցներ ՕԱհամաչափ է, հետևաբար՝ եռանկյուն OASԵվ OADհավասար ( ՍՈՒՍ).

Ճանապարհին մենք պարզեցինք, որ ուղիղ գիծը, որը կիսում է անկյունը երկու շոշափողների միջև, անցնում է շրջանագծի կենտրոնով: Սա հիմք է սարքի նախագծման համար շրջված արտադրանքի կենտրոնը գտնելու համար՝ որոնիչի կենտրոնը (նկ. 179): Այն բաղկացած է երկու տողից ԱԲԵվ AC, ամրագրված է անկյան տակ, իսկ երրորդ քանոնը ԲԴ, որի եզրը ԲԴկիսում է եզրերի միջև եղած անկյունը

առաջին երկու տողերը. Սարքը կիրառվում է կլոր արտադրանքի վրա, որպեսզի դրան հարող քանոնների եզրերը ԱԲԵվ Արևշփվել է արտադրանքի շրջագծի հետ: Այս դեպքում եզրերը շրջանագծի հետ կունենան միայն մեկ ընդհանուր կետ, ուստի քանոնի եզրը, ըստ շոշափողների այժմ նշված հատկության, պետք է անցնի շրջանագծի կենտրոնով։ Քանոնի միջոցով արտադրանքի վրա շրջանագծի տրամագիծը գծելով, կենտրոնի որոնիչը կիրառեք արտադրանքի վրա այլ դիրքով և գծեք այլ տրամագիծ: Ցանկալի կենտրոնը կլինի երկու տրամագծերի խաչմերուկում:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է երկու շրջանագծի ընդհանուր շոշափող գծել, այսինքն՝ գծեք ուղիղ գիծ, ​​որը միաժամանակ կդիպչի երկու շրջանակների, ապա շարունակեք հետևյալ կերպ. Մեկ շրջանագծի կենտրոնի մոտ, օրինակ, մոտ IN(նկ. 180), նկարագրեք օժանդակ շրջան, որի շառավիղը հավասար է երկու շրջանագծերի շառավիղների տարբերությանը: Հետո կետից Անկարել շոշափողներ ACԵվ ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆայս օժանդակ շրջանակին: Միավորներից ԱԵվ INուղղահայաց գծեր գծեք ACԵվ ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ, մինչև կետերով հատվեն տրված շրջանակների հետ Ե, Ֆ, ՀԵվ Գ. Միացնող ուղիղ գծեր ԵՀետ Ֆ, ԳՀետ Հ, այս շրջանակներին կլինեն ընդհանուր շոշափողներ, քանի որ դրանք ուղղահայաց են շառավղներին AE, CF, AGԵվ Դ.Հ..

Բացի նոր գծված երկու շոշափողներից, որոնք կոչվում են արտաքին, հնարավոր է նաև գծել երկու այլ շոշափողներ, որոնք գտնվում են դժոխքի նման։ 181 (ներքին շոշափողներ): Այս շինարարությունը կատարելու համար նկարագրեք այս շրջանակներից մեկի կենտրոնի շուրջը, օրինակ՝ շուրջը IN– օժանդակ շրջան, որի շառավիղը հավասար է երկու շրջանագծերի շառավիղների գումարին: Կետից Անկարեք այս օժանդակ շրջանագծի շոշափողներ: Ընթերցողներն իրենք կկարողանան պարզել շինարարության հետագա ընթացքը։

Կրկնել հարցերը

Ի՞նչ է կոչվում շոշափողը: Քանի՞ ընդհանուր կետ ունեն շոշափողը և շրջանագիծը: - Ինչպե՞ս շոշափել շրջանագծին շրջանագծից դուրս գտնվող կետի միջով: - Քանի՞ նման շոշափող կարելի է գծել: - Ի՞նչ է ցենտրիֆուգը: – Ինչի՞ վրա է հիմնված դրա սարքը: - Ինչպե՞ս գծել երկու շրջանագծի ընդհանուր շոշափող: - Քանի՞ շոշափող կա:

Երկրաչափական կոնստրուկցիաներ

Շրջանակներին շոշափողների կառուցում

Դիտարկենք այն խնդիրը, որի հիմքում ընկած է շրջանագծերին շոշափողներ գծելու հետ կապված այլ խնդիրների լուծումը:

Թողեք կետիցԱ(նկ. 1) անհրաժեշտ է շոշափել շրջանագծին, որի կենտրոնը գտնվում է կետումՄԱՍԻՆ.

Շոշափողներ ճշգրիտ կառուցելու համար անհրաժեշտ է որոշել գծերի շոշափման կետերը շրջանագծին: Այս կետի համարԱպետք է միացնել կարովՄԱՍԻՆև բաժանել հատվածըՕԱկիսով չափ. Այս հատվածի կեսից - միավորներՀԵՏ, ինչպես կենտրոնից, նկարագրեք մի շրջան, որի տրամագիծը պետք է հավասար լինի հատվածինՕԱ. ՄիավորներTO1 ԵվTO2 մի կետի վրա կենտրոնացած շրջանագծերի խաչմերուկՀԵՏև կենտրոնով կետումՄԱՍԻՆուղիղների շոշափման կետերն ենԱ.Կ1 ԵվԱ.Կ2 տրված շրջանակին:

Խնդրի լուծման ճիշտությունը հաստատվում է նրանով, որ շփման կետին գծված շրջանագծի շառավիղը ուղղահայաց է շրջանագծի շոշափողին։ Անկյուններլավ1 ԱԵվլավ2 Աուղիղ են, քանի որ հենվում են տրամագծի վրաԲԸշրջան՝ կենտրոնով կետումՀԵՏ.

Բրինձ. 1.

Երկու շրջանագծի վրա շոշափողներ կառուցելիս առանձնանում են շոշափողներներքինԵվարտաքին. Եթե ​​տվյալ շրջանագծերի կենտրոնները գտնվում են շոշափողի մի կողմում, ապա այն համարվում է արտաքին, իսկ եթե շրջանագծերի կենտրոնները գտնվում են շոշափողի հակառակ կողմերում, ապա՝ ներքին։

ՄԱՍԻՆ1 ԵվՄԱՍԻՆ2 Ռ1 ԵվՌ2 . Պահանջվում է գծել տրված շրջանակներին արտաքին շոշափողներ:

Ճշգրիտ կառուցման համար անհրաժեշտ է որոշել ուղիղ գծերի և տրված շրջանագծերի շոշափող կետերը։ Եթե ​​կենտրոններով շրջանակների շառավիղներըՄԱՍԻՆ1 ԵվՄԱՍԻՆ2 սկսեք հաջորդաբար նվազել նույն արժեքով, այնուհետև կարող եք ստանալ ավելի փոքր տրամագծերի համակենտրոն շրջանակների շարք: Ընդ որում, շառավիղը նվազեցնելու յուրաքանչյուր դեպքում ավելի փոքր շրջանակների շոշափումները զուգահեռ կլինեն ցանկալիին։ Երկու շառավիղներն էլ փոքր շառավղի չափով փոքրացնելուց հետոՌ2 շրջան կենտրոնովՄԱՍԻՆ2 վերածվում է կետի, իսկ շրջանը՝ կենտրոնովՄԱՍԻՆ1 կվերածվի շառավղով համակենտրոն շրջանագծիՌ3 , հավասար է շառավիղների տարբերությանըՌ1 ԵվՌ2 .

Օգտագործելով նախկինում նկարագրված մեթոդը, կետիցՄԱՍԻՆ2 նկարել արտաքին շոշափողներ շառավղով շրջանագծի վրաՌ3 , միացրեք կետերըՄԱՍԻՆ1 ԵվՄԱՍԻՆ2 , բաժանել կետովՀԵՏգծի հատվածՄԱՍԻՆ1 ՄԱՍԻՆ2 կիսով չափ և գծեք շառավիղCO1 աղեղ, որի հատումը տրված շրջանագծի հետ կորոշի ուղիղների շոշափման կետերըՄԱՍԻՆ2 TO1 ԵվՄԱՍԻՆ2 TO2 .

ԿետԱ1 ԵվԱ2 պահանջվող ուղիղ գծերի շոշափումն ավելի մեծ շրջանով գտնվում է ուղիղ գծերի շարունակության վրաՄԱՍԻՆ1 TO1 ԵվՄԱՍԻՆ1 TO2 . ՄիավորներIN1 ԵվIN2 փոքր շրջանի շոշափող գծերը գտնվում են հիմքի վրա ուղղահայացՄԱՍԻՆ2 համապատասխանաբար օժանդակ շոշափողներինՄԱՍԻՆ2 TO1 ԵվՄԱՍԻՆ2 TO2 . Տեղադրելով շփման կետերը, կարող եք գծել ցանկալի ուղիղ գծերըԱ1 IN1 ԵվԱ2 IN2 .

Բրինձ. 2.

Թող տրվեն կետերում կենտրոններով երկու շրջանՄԱՍԻՆ1 ԵվՄԱՍԻՆ2 (նկ. 2), համապատասխանաբար ունենալով շառավիղներՌ1 ԵվՌ2 . Պահանջվում է ներքին շոշափողներ գծել տրված շրջանակներին:

Ուղիղ գծերի և շրջանագծերի շոշափման կետերը որոշելու համար մենք օգտագործում ենք նախորդ խնդիրը լուծելիս տրված նման հիմնավորումը: Եթե ​​դուք նվազեցնում եք շառավիղըՌ2 զրոյի, ապա կենտրոնով շրջանըՄԱՍԻՆ2 գնալ կետին. Այնուամենայնիվ, այս դեպքում պահպանել ցանկալի շառավղով օժանդակ շոշափողների զուգահեռությունըՌ1 պետք է ավելացվի մեկ չափովՌ2 և գծիր շառավղով շրջանՌ3 , գումարին հավասարշառավիղներՌ1 ԵվՌ2 .

ԿետիցՄԱՍԻՆ2 շառավղով շրջանագծի վրա շոշափելՌ3 , ինչու միացնել կետերըՄԱՍԻՆ1 ԵվՄԱՍԻՆ2 , բաժանել կետովՀԵՏգծի հատվածՄԱՍԻՆ1 ՄԱՍԻՆ2 կիսով չափ և գծեք շրջանագծի աղեղ, որի կենտրոնը գտնվում է կետումՀԵՏև շառավիղըCO1 . Շառավիղով շրջանագծի հետ աղեղի հատումՌ3 կորոշի կետերի դիրքըTO1 ԵվTO2 օժանդակ գծերի շոշափումՄԱՍԻՆ2 TO1 ԵվՄԱՍԻՆ2 TO2 .

ԿետԱ1 ԵվԱ2 Ռ1 գտնվում է հատվածի հետ այս շրջանագծի հատման կետումՄԱՍԻՆ1 TO1 ԵվՄԱՍԻՆ1 TO2 . Կետերը սահմանելու համար1-ումԵվ2-ումշառավղով շրջանով պահանջվող ուղիղ գծերի շոշափումՌ2 բխում է կետիցO2վերականգնել ուղղանկյունները օժանդակ գծերինO2K1ԵվO2K2մինչև այն հատվի տրված շրջանագծի հետ: Ունենալով շոշափման կետեր ցանկալի գծերի և տրված շրջանագծերի միջև՝ գծում ենք ուղիղ գծերA1B1ԵվA2B2.

Բրինձ. 3.

Այս գլխում մենք վերադառնում ենք հիմնականներից մեկին երկրաչափական ձևեր- դեպի շրջան: Կապացուցվեն շրջանագծերի հետ կապված տարբեր թեորեմներ, այդ թվում՝ այս թվերի շուրջ եռանկյունի, քառանկյուն և շրջագծված շրջանակների մասին թեորեմներ։ Բացի այդ, եռանկյան ուշագրավ կետերի մասին կհաստատվեն երեք պնդումներ՝ եռանկյան կիսատների հատման կետը, նրա բարձրությունների հատման կետը և եռանկյան կողմերին ուղղահայաց կիսորդների հատման կետը: Առաջին երկու պնդումները ձևակերպվել են դեռևս 7-րդ դասարանում, և այժմ մենք կարող ենք դրանք ապացուցել։

Եկեք պարզենք, թե քանի ընդհանուր կետ կարող է ունենալ ուղիղ գիծն ու շրջանագիծը՝ կախված դրանց հարաբերական դիրքից։ Հասկանալի է, որ եթե գիծն անցնում է շրջանագծի կենտրոնով, ապա այն հատում է շրջանագիծը երկու կետով՝ այս գծի վրա ընկած տրամագծի ծայրերը։

Թող p ուղիղը չանցնի r շառավղով շրջանագծի O կենտրոնով: Եկեք ուղղահայաց OH գծենք p ուղիղին և դ տառով նշենք այս ուղղահայաց երկարությունը, այսինքն՝ հեռավորությունը կենտրոնից: այս շրջանագիծը դեպի ուղիղ գիծ (նկ. 211):

Բրինձ. 211

Եկեք ուսումնասիրենք փոխադարձ պայմանավորվածությունգիծ և շրջան՝ կախված d-ի և r-ի հարաբերություններից։ Հնարավոր է երեք դեպք.

1) դ< r. На прямой р от точки Н отложим два отрезка НА и НВ, длины которых равны (рис. 211, а). По теореме Пифагора

Հետևաբար, A և B կետերը ընկած են շրջանագծի վրա և, հետևաբար, p ուղիղ գծի և տրված շրջանագծի ընդհանուր կետերն են։

Փաստենք, որ p ուղիղը և տրված շրջանագիծն այլ ընդհանուր կետեր չունեն։ Ենթադրենք, որ նրանք ունեն ևս մեկ ընդհանուր կետ C: Այնուհետև O AC հավասարաչափ եռանկյան միջին OD-ը, որը գծված է դեպի AC հիմքը, այս եռանկյան բարձրությունն է, հետևաբար OD ⊥ p. OD և OH հատվածները չեն համընկնում, քանի որ AC հատվածի D միջնակետը չի համընկնում H կետի հետ՝ AB հատվածի միջնակետը: Մենք գտանք, որ O կետից երկու ուղղահայաց (OH և OD հատվածներ) գծված են ուղիղ p, ինչը անհնար է:

Այսպիսով, եթե շրջանագծի կենտրոնից ուղիղ գիծ հեռավորությունը փոքր է շրջանագծի շառավղից (դ< r), то прямая и окружность имеют две общие точки . Այս դեպքում ուղիղ գիծը կոչվում է սեկենտ շրջանագծի նկատմամբ։

2) d = r. Այս դեպքում OH = r, այսինքն՝ H կետը գտնվում է շրջանագծի վրա և, հետևաբար, ուղիղի և շրջանագծի ընդհանուր կետն է (նկ. 211.6): Ուղիղ p-ը և շրջանագիծը չունեն այլ ընդհանուր կետեր, քանի որ p ուղիղ գծի ցանկացած կետի համար, որը տարբերվում է H կետից, OM > OH = r (թեք OM-ն ավելի մեծ է, քան ուղղահայաց OH-ը), և, հետևաբար, , M կետը շրջանագծի վրա չէ։

Այսպիսով, եթե շրջանագծի կենտրոնից ուղիղ գիծ հեռավորությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին, ապա ուղիղ գիծն ու շրջանագիծը ունեն միայն մեկ ընդհանուր կետ։

3) դ > ռ. Այս դեպքում OH > r, հետևաբար, r OM ≥ OH > r ուղղի ցանկացած M կետի համար (նկ. 211, գ): Հետևաբար, M կետը չի ընկած շրջանագծի վրա:

Այսպիսով, եթե շրջանագծի կենտրոնից ուղիղ գիծ հեռավորությունը մեծ է շրջանագծի շառավղից, ապա ուղիղ գիծն ու շրջանագիծը չունեն ընդհանուր կետեր։

Շոշափող շրջանագծին

Մենք ապացուցել ենք, որ ուղիղը և շրջանագիծը կարող են ունենալ մեկ կամ երկու ընդհանուր կետ և չունենալ ընդհանուր կետեր:

Ուղղագիծը, որն ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ, կոչվում է շրջանագծի շոշափող, իսկ նրանց ընդհանուր կետը կոչվում է ուղիղի և շրջանագծի շոշափող կետ: Նկար 212-ում p ուղիղ գիծը շոշափում է O կենտրոնով շրջանագիծը, A-ն շոշափման կետն է:

Եկեք ապացուցենք թեորեմը շրջանագծի շոշափողի հատկության մասին:

Թեորեմ

Ապացույց

Թող p լինի O կենտրոնով շրջանագծի շոշափողը, A շոշափման կետը (տես նկ. 212): Փաստենք, որ p շոշափողը ուղղահայաց է OA շառավղին:

Բրինձ. 212

Ենթադրենք, որ դա այդպես չէ։ Այնուհետև OA շառավիղը թեքված է դեպի r ուղիղ գիծ: Քանի որ O կետից դեպի p ուղիղ գծված ուղղահայացը փոքր է թեքված OA-ից, շրջանագծի O կենտրոնից մինչև p ուղիղ գիծը փոքր է շառավղից: Հետևաբար, p ուղիղը և շրջանագիծը ունեն երկու ընդհանուր կետ։ Բայց սա հակասում է պայմանին. p ուղիղ գիծը շոշափելի է:

Այսպիսով, ուղիղ գիծը p ուղղահայաց է OA շառավղին: Թեորեմն ապացուցված է.

Դիտարկենք O կենտրոն ունեցող շրջանագծի երկու շոշափողներ, որոնք անցնում են A կետով և շոշափում շրջանագիծը B և C կետերում (նկ. 213): Անվանենք AB և AC հատվածները կետից գծված շոշափող հատվածներԱ. Նրանք ունեն հետևյալ գույքը.

Բրինձ. 213

Այս պնդումն ապացուցելու համար դիմենք Նկար 213-ին։ Համաձայն շոշափող հատկության թեորեմի՝ 1 և 2 անկյուններն ուղղանկյուն են, հետևաբար ABO և ACO եռանկյունները ուղղանկյուն են։ Նրանք հավասար են, քանի որ ունեն ընդհանուր հիպոթենուզ OA և հավասար OB և OS ոտքեր: Հետևաբար, AB = AC և ∠3 = ∠4, ինչը պետք է ապացուցվեր:

Այժմ ապացուցենք թեորեմը շոշափող հատկության թեորեմի հակառակը (շոշափող հատկություն):

Թեորեմ

Ապացույց

Թեորեմի պայմաններից հետևում է, որ այս շառավիղը ուղղահայաց է, որը գծված է շրջանագծի կենտրոնից դեպի տվյալ ուղիղը։ Հետևաբար, շրջանագծի կենտրոնից ուղիղ գիծ հեռավորությունը հավասար է շառավղին, և, հետևաբար, ուղիղ գիծն ու շրջանագիծն ունեն միայն մեկ ընդհանուր կետ։ Բայց սա նշանակում է, որ այս ուղիղը շոշափում է շրջանագծին: Թեորեմն ապացուցված է.

Շոշափող գծի կառուցման հետ կապված խնդիրների լուծումը հիմնված է այս թեորեմի վրա: Եկեք լուծենք այս խնդիրներից մեկը.

Առաջադրանք

O կենտրոնով շրջանագծի տրված A կետի միջով այս շրջանագծին շոշափեք:

Լուծում

Եկեք գծենք O A ուղիղ գիծ, ​​այնուհետև կառուցենք ուղիղ գիծ, ​​որն անցնում է A կետով, որն ուղղահայաց է O A-ին: Ըստ շոշափողի չափանիշի՝ p ուղիղը ցանկալի շոշափողն է:

Առաջադրանքներ

631. Թող d լինի r շառավղով շրջանագծի կենտրոնից մինչև r ուղիղ գիծ հեռավորությունը։ Որքա՞ն է r ուղիղ գծի և շրջանագծի հարաբերական դիրքը, եթե՝ ա) r = 16 սմ, d = 12 սմ; բ) r = 5 սմ, d = 4,2 սմ; գ) r = 7,2 դմ, (2 = 3,7 դմ; դ) r = 8 սմ, դ = 1,2 դմ; ե) r = 5 սմ, դ = 50 մմ:

632. A կետից մինչև շրջանագծի կենտրոն հեռավորությունը փոքր է շրջանագծի շառավղից: Ապացուցեք, որ A կետով անցնող ցանկացած ուղիղ հատված է տվյալ շրջանագծի նկատմամբ:

633. Տրվում է O ABC քառակուսի, որի կողմը 6 սմ է, և շրջան, որի կենտրոնը O կետում 5 սմ շառավղով է, OA, AB, BC և AC ուղիղներից որո՞նք են կտրված այս շրջանագծի նկատմամբ:

634. O կենտրոնով շրջանագծի OM շառավիղը կիսում է AB ակորդը: Ապացուցեք, որ M կետով գծված շոշափողը զուգահեռ է AB ակորդին:

635. Շրջանակի A կետով գծված են շոշափող և շրջանագծի շառավղին հավասար ակորդ: Գտեք նրանց միջև եղած անկյունը:

636. AB ակորդի ծայրերով գծված են երկու շոշափողներ, որոնք հավասար են շրջանագծի շառավղին, որոնք հատվում են C կետում, գտե՛ք AC B անկյունը։

637. AB տրամագծի և AC ակորդի միջև անկյունը 30° է։ C կետով գծվում է շոշափող և D կետում հատում AB ուղիղը: Ապացուցե՛ք, որ ACD եռանկյունը հավասարաչափ է:

638. AB ուղիղը B կետում դիպչում է R շառավղով O կենտրոնով շրջանագծին: Գտե՛ք AB, եթե OA = 2 սմ և r = 1,5 սմ:

639. AB ուղիղը B կետում դիպչում է R շառավղով O կենտրոնով շրջանագծին: Գտե՛ք AB, եթե ∠AOB = 60° և r = 12 սմ:

640. Տրվում է 4,5 սմ շառավղով O կենտրոնով շրջանագիծ և A կետ, A կետով գծված են շրջանագծի երկու շոշափողներ: Գտեք նրանց միջև եղած անկյունը, եթե OA = 9 սմ:

641. AB և AC հատվածները A կետից գծված O կենտրոնով շրջանագծի շոշափող հատվածներ են: Գտե՛ք BAC անկյունը, եթե AO հատվածի միջնակետը ընկած է շրջանագծի վրա:

642. Նկար 213-ում OB = 3cm, CM. = 6 սմ Գտեք AB, AC, ∠3 և ∠4:

643. AB և AC ուղիղները B և C կետերում դիպչում են O կենտրոնով շրջանագծին: Գտե՛ք BC, եթե ∠OAB = 30°, AB = 5 սմ:

644. MA և MB ուղիղները A և B կետերում հպվում են O կենտրոնով շրջանագծին: C կետը սիմետրիկ է O կետի նկատմամբ B կետի նկատմամբ: Ապացուցեք, որ ∠AMC = 3∠BMC:

645. Տրված շրջանագծի AB տրամագծի ծայրերից AA 1 և BB 1 ուղղահայացները գծված են AB տրամագծին ոչ ուղղահայաց շոշափողին: Ապացուցեք, որ շոշափման կետը A 1 B 1 հատվածի միջնակետն է:

646. ABC եռանկյան մեջ B անկյունն ուղիղ է: Ապացուցեք, որ ա) BC ուղիղը շոշափում է AB շառավղով A կենտրոն ունեցող շրջանագծին. բ) AB ուղիղ գիծը շոշափում է CB շառավղով C կենտրոն ունեցող շրջանագիծը. գ) ուղիղ AC-ը շոշափում է B կենտրոնով և BA և BC շառավղներով շրջանագծերը:

647. AN հատվածը A կետից 3 սմ շառավղով շրջանագծի O կենտրոնով անցնող ուղիղ ուղղագիծ է, AN ուղիղը շոշափում է շրջանագծին, եթե՝ ա) CM. = 5 սմ, AN = 4 սմ; բ) ∠HAO = 45 °, CM = 4 սմ; գ) ∠HAO = 30°, O A = 6 սմ:

648. Կառուցե՛ք O կենտրոն ունեցող շրջանագծի շոշափում. ա) տրված ուղիղին զուգահեռ. բ) տրված ուղղին ուղղահայաց.

Խնդիրների պատասխանները

Ուղիղ ( MN), ունենալով միայն մեկ ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ ( Ա), կանչեց շոշափող դեպի շրջան.

Ընդհանուր կետը կոչվում է այս դեպքում շփման կետ.

Գոյության հնարավորությունը շոշափող, և, ավելին, գծված ցանկացած կետի միջով շրջան, որպես շոշափելի կետ, ապացուցված է հետևյալ կերպ թեորեմա.

Թող պահանջվի իրականացնել շրջանկենտրոնով Օ շոշափողկետի միջոցով Ա. Դա անելու համար կետից Ա,ինչպես կենտրոնից, մենք նկարագրում ենք աղեղշառավիղը Ա.Օ., և կետից Օ, որպես կենտրոն, մենք հատում ենք այս աղեղը կետերում ԲԵվ ՀԵՏկողմնացույցի լուծույթ, որը հավասար է տվյալ շրջանագծի տրամագծին:

Հետո ծախսելուց հետո ակորդներ Օ.Բ.Եվ ՕՀ, միացրեք կետը Ակետերով ԴԵվ Ե, որի դեպքում այս ակորդները հատվում են տրված շրջանագծի հետ։ Ուղղակի ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆԵվ Ա.Է. - շրջանագծի շոշափողներ Օ. Իսկապես, շինարարությունից պարզ է դառնում, որ եռանկյուններ ԱՕԲԵվ ՀՕԿ հավասարաչափ(AO = AB = AC) հիմքերով Օ.Բ.Եվ ՕՀ, հավասար է շրջանագծի տրամագծին Օ.

Որովհետեւ Օ.Դ.Եվ Օ.Է.- շառավիղներ, ուրեմն Դ - միջին Օ.Բ., Ա Ե- միջին ՕՀ, Նշանակում է ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆԵվ Ա.Է. - միջինները, գծված հավասարաչափ եռանկյունների հիմքերին և հետևաբար՝ ուղղահայաց այս հիմքերին։ Եթե ​​ուղիղ Դ.Ա.Եվ Է.Ա.շառավիղներին ուղղահայաց Օ.Դ.Եվ Օ.Է., հետո նրանք - շոշափողներ.

Հետևանք.

Մի կետից շրջան գծված երկու շոշափողներ հավասար են և հավասար անկյուններ են կազմում այս կետը կենտրոնին միացնող ուղիղ գծով.

Այսպիսով AD=AEև ∠ OAD = ∠OAEորովհետեւ ուղղանկյուն եռանկյուններ AODԵվ ԱՕԷ, ունենալով ընդհանուր հիպոթենուզա Ա.Օ.և հավասար ոտքերը Օ.Դ.Եվ Օ.Է.(որպես շառավիղներ), հավասար են։ Նշենք, որ այստեղ «շոշափող» բառը իրականում նշանակում է « շոշափող հատված«տվյալ կետից շփման կետ: