Գործնական դաս «ածանցյալների հաշվարկ». Գործնական դաս «Ածանցյալների հաշվառում» Գտե՛ք y ֆունկցիայի ածանցյալը

Դասի նպատակները.

Ուսումնական- տիրապետել տարբերակման բանաձևերին. տարբերակման կանոններ;
բարդ ֆունկցիայի տարբերակում; ածանցյալի ֆիզիկական և երկրաչափական նշանակությունը;
ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը.

Զարգացնող -կարողանալ գտնել ֆունկցիաների ածանցյալներ; խնդիրներ լուծել ֆիզիկական իմաստով, երկրաչափական իմաստով; գտնել մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը. մաթեմատիկորեն ճիշտ բացատրել և հիմնավորել կատարված գործողությունները.

Ուսումնական –զարգացնել անկախություն, պատասխանատվություն, արտացոլում:

Դասերի ժամանակ

I. Կազմակերպչական պահ.

II. Տնային առաջադրանքների ստուգում
(ընդմիջումների ժամանակ խորհրդատուները ստուգում են (ուսանողներին) և գնահատականներ տալիս):

III. Նպատակի ձևավորում և մոտիվացիա

Ուսուցիչը տեղեկացնում է ուսանողներին, որ այս դասը վերջին դասն է «Ածանցյալների հաշվառում» թեմայով և հրավիրում է նրանց ձևակերպել սեփական նպատակները:

Ուսուցիչ. «Մեծ փիլիսոփա Կոնֆուցիուսը մի անգամ ասել է. «Երեք ճանապարհներ տանում են դեպի գիտելիք. մտորումների ճանապարհը ամենաազնիվ ճանապարհն է, ընդօրինակման ճանապարհը ամենահեշտ ճանապարհն է, և փորձի ճանապարհը ամենադառը ճանապարհն է»: Այսպիսով, այսօր դասարանում ձեզանից յուրաքանչյուրը կորոշի, թե այս թեմայի իմացության որ ճանապարհին է նա գնում»:

Աշակերտներին հանձնարարվում է դրսևորել իրենց գիտելիքներն ու հմտությունները ածանցյալների հաշվարկման հարցում և տրվում է դասի պլան:

I փուլ.Առաջադրանքը կատարելը օգտագործելով «Հիշել» քարտը:
(բանաձևերի և տարբերակման կանոնների իմացության ստուգում):

II փուլ:Բանավոր ճակատային աշխատանք գիտելիքների կրկնության և ընդհանրացման վերաբերյալ.

III փուլ:«Թեստային կանխատեսում» (այս առաջադրանքը կատարելիս ընդունելի է խորհրդատուների օգնությունը):

ԻՓուլ V:Գործնական խնդրի լուծում.

Փուլ V:Անկախ աշխատանք

Գնահատվում են աշխատանքի և տնային աշխատանքների I, III, V փուլերը: Խորհրդատուները ստուգում և արդյունքները մուտքագրում են գնահատման աղյուսակում:

Գնահատման չափանիշներ. «5»- 19-20 միավոր;
«4»- 15-18 միավոր;
«3»- 10-14 միավոր:

Ճանապարհներ դեպի գիտելիք

Տեղեկատվական գիտելիքների վերարտադրում և ուղղում

I փուլ.

Թիրախ:հսկողություն, բանաձևերի և տարբերակման կանոնների իմացության ինքնատիրապետում

Հիշիր. Ֆ.Ի. _________________________________________________
	Ածանցյալ


գ, գ - դեմ տ









	զ«(x)+ է«(x)
զ(x)* է(x)

Այս առաջադրանքի վերջում կատարվում է ինքնափորձարկում՝ օգտագործելով «Ածանցյալների աղյուսակը»: Քարտերը հանձնվում են խորհրդատուներին՝ ստուգման համար (քարտերի վրա ուղղումներ չեն թույլատրվում):

V. Գիտելիքների ընդհանրացում և համակարգում
II փուլ.

1. Բանավոր ճակատային աշխատանք.

Ա.Ստեղծեք առաջադրանք այս պայմանի համար և լուծեք այն:

1. Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը t = 3 կետում (Պատասխան՝ 21.)

2. Ստեղծի՛ր t = 3 կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը (Պատասխան՝ y = 21x-45.):

3. Գտե՛ք մարմնի արագությունը և արագացումը t=3c պահին, եթե շարժման օրենքը տրված է բանաձևով. (Պատասխան՝ 21 մ/վ, 16 մ/վ²):

4. Գտե՛ք t = 3 կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողի անկյունային գործակիցը (Պատասխան՝ 21.):

5. Գտեք t = 3 կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքության անկյան շոշափողը և որոշեք Ox առանցքի շոշափողի և դրական ուղղության անկյան տեսակը: (Պատասխան՝ tgα, α անկյունը սուր է)

Բ. Գտե՛ք ֆունկցիաների ածանցյալները

2. III փուլ«Թեստային կանխատեսում»

Այս առաջադրանքի ավարտին վերջնական պատասխանների հիման վրա կատարվում է ինքնաթեստ, և թեստերը հանձնվում են խորհրդատուներին: (քարտերի ուղղումները չեն թույլատրվում):
Պատասխանները:


1 տարբերակ
Տարբերակ 2

Խնդրի լուծումը

ԻՓուլ V
Առաջադեմ մակարդակի խնդրի ճակատային լուծում (լուծումն իրականացնում են խորհրդատուները դասարանի հետ միասին):

Առաջադրանք

Պարամետրերի ինչ արժեքներով աֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողներ

գծված X առանցքի հետ իր հատման կետերում, իրար միջև 60° անկյուն են կազմում:

Գրաֆիկը պարաբոլա է՝ վերև ճյուղերով, որոնք հատում են X առանցքը երկու կետով (դեպքը ա=0-ը չի բավարարում խնդրի իմաստը):

IX. Ամփոփում և գնահատում

1. Հարցեր՝ ա) դասի նպատակը հասա՞վ:
բ) Ո՞ր փուլն էր թվում ամենադժվարը:
գ) Ո՞րն էր ամենահետաքրքիրը:

2. Խորհրդատուները հայտարարում են արդյունքները (ճանապարհին գտնվող ուսանողների թիվը և անունները
իմիտացիա, արտացոլման ուղիներ և փորձի ձևեր):

Գործնական աշխատանք

Մաթեմատիկա

1. Գտնել ֆունկցիայի սահմանը. Առաջինն ու երկրորդը հրաշալի սահմաններ են։

2. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ: Մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի ուսումնասիրություն և գծապատկերներ:

3. Թեստ «Դիֆերենցիալ հաշվարկի կիրառումը ֆունկցիաների ուսումնասիրության մեջ»:

4. Գտնել անորոշ ինտեգրալներ. Որոշակի ինտեգրալների հաշվարկ.

5. Դետերմինանտների հաշվարկ.

6. Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում Կրամերի մեթոդով։ Փորձարկում.

7. «Կոմպլեկտներ» թեմայով խնդիրների լուծում. Տրամաբանական հանրահաշվի բանաձևեր.

8. Պատահական իրադարձությունների հավանականությունների հաշվարկ. Ընդհանուր հավանականության բանաձև.

9. Թվային բնութագրերի հաշվարկ.

10. Թեստ «Հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության հիմունքներ»

11. Կոմպլեքս թվի եռանկյունաչափական ձև.

12. Կոմպլեքս թվերով գործողություններ տարբեր ձևերով:

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ ՑՈՒՑԱՆԻՆԵՐ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅՈՒՄ ԳՈՐԾՆԱԿԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ ՀԱՄԱՐ.

ԴԱՍԸՆԹԱՑ 2

Գործնական դասը ուսումնական գործընթացի կազմակերպման ձև է, որը ներառում է ուսանողների կողմից առաջադրանքով և ուսուցչի ղեկավարությամբ մեկ կամ մի քանի գործնական աշխատանք:

Այսպիսով, մաթեմատիկայի գործնական պարապմունքներին աշակերտների մոտ ձևավորվում է խնդիրներ լուծելու կարողություն, որը հետագայում պետք է օգտագործվի հատուկ առարկաների մասնագիտական խնդիրներ լուծելու համար:

Գործնական աշխատանքի ընթացքում ուսանողները տիրապետում են տեղեկատվական աղբյուրներից օգտվելու, կարգավորող փաստաթղթերի և ուսումնական նյութերի, տեղեկատու գրքերի, գծագրերի, դիագրամների, աղյուսակների, տարբեր տեսակի խնդիրներ լուծելու, հաշվարկներ կատարելու կարողություններին:

Խնդիրներ, որոնք լուծվում են մաթեմատիկայի գործնական պարապմունքների ժամանակ.

1) դասախոսությունների ընթացքում ձեռք բերված մաթեմատիկայի տեսական գիտելիքների ընդլայնում և համախմբում.

2) ուսանողների մեջ զարգացնել մաթեմատիկայի խնդիրները հաջողությամբ լուծելու համար անհրաժեշտ գործնական հմտություններ և կարողություններ.

3) մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում սովորողների ինքնակրթության և գիտելիքների ու հմտությունների կատարելագործման անհրաժեշտության զարգացում.

4) մաթեմատիկայի ուսումնասիրման գործընթացում ստեղծագործական վերաբերմունքի և հետազոտական մոտեցման ձևավորում.

5) ապագա մասնագետի մասնագիտական նշանակալի որակների և մասնագիտական ոլորտում ձեռք բերված գիտելիքները կիրառելու հմտությունների ձևավորում:

Գործնական դաս թիվ 1.Ֆունկցիայի սահմանաչափերի հաշվարկ: Առաջինն ու երկրորդը հրաշալի սահմաններ են։

Առարկա : Ֆունկցիայի սահմանաչափերի հաշվարկ:

Թիրախ: մաթեմատիկայի հիմնարար ճյուղերի ոլորտում հիմնարար գիտելիքների ձեռքբերում . Գործառույթների սահմանները հաշվարկելու վերաբերյալ գիտելիքների յուրացման փորձարկում. Կրկնել և համակարգել գիտելիքներն այս թեմայի վերաբերյալ:

Առաջադրանքներ.

Ստեղծագործական մասնագիտական մտածողության զարգացում;

Գիտության լեզվի տիրապետում, գործառնական հասկացությունների հմտություններ;

Խնդիրներ դնելու և լուծելու հմտությունների տիրապետում;

Տեսական և գործնական ուսուցման խորացում;

Ուսանողների նախաձեռնողականության և անկախության զարգացում.

հաշվողական հմտությունների ամրապնդում;

Շարունակեք աշխատել մաթեմատիկական խոսքի վրա:

ինքնուրույն աշխատանքի, դասագրքի հետ աշխատելու հմտությունների ձևավորում, ինքնուրույն գիտելիքներ ձեռք բերելու հմտություններ.

Տեքստի հետ աշխատելիս հիմնականը ընդգծելու ունակության զարգացում.

Անկախ մտածողության ձևավորում, մտավոր գործողություններ՝ համեմատություն, վերլուծություն, սինթեզ, ընդհանրացում, անալոգիա;

Ուսանողներին ցույց տալ համակարգված աշխատանքի դերը գիտելիքների ուժը խորացնելու և բարձրացնելու, առաջադրանքների կատարման մշակույթի վրա.

Սովորողների ստեղծագործական կարողությունների զարգացում.

Գործնական աշխատանքի տրամադրում.

Գործնական աշխատանքի մեթոդական առաջարկությունների տեսական նյութ.

Մաթեմատիկա, – Սերիա՝ Միջին մասնագիտական կրթություն. - Դոնի Ռոստով «Ֆենիքս», էջ.

Գործնական դասի առաջընթաց.

1.Դասի թեմայի ձևակերպում, թեմայի կապի բացատրություն ակադեմիական առարկայի այլ թեմաների հետ;

2. Ստուգել ուսանողների պատրաստվածությունը դասին.

3. Բուն դասի անցկացում ըստ թեմայի և կարգապահության աշխատանքային ծրագրին համապատասխան.

Ուսումնասիրեք տեսական նյութ «Ֆունկցիաների սահմանների հաշվարկը» թեմայով:

Դիտարկենք բնորոշ առաջադրանքների լուծման օրինակներ:

Անկախ աշխատանք կատարեք ֆունկցիաների սահմանները հաշվարկելու վրա՝ օգտագործելով առաջին և երկրորդ ուշագրավ սահմանները։

Պատասխանել անվտանգության հարցերին.

Տեսական տեղեկատվություն և մեթոդական առաջարկություններ

խնդիրների լուծման վերաբերյալ։

1. Տեսական նյութի ներկայացում.

Մի կետում ֆունկցիայի սահմանաչափը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է.

1) x փոփոխականի փոխարեն փոխարինի՛ր այն, ինչին ձգտում է x-ը:

2) Եթե 1-ին քայլն ավարտելուց հետո մենք ստանում ենք ձևի անորոշություն https://pandia.ru/text/78/405/images/image003_6.png" width="19" height="22 src=">և փոխարինում մինուսով սլաքը (x-a):

3) Եթե 1-ին քայլն ավարտելուց հետո մենք ստանում ենք ձևի անորոշություն https://pandia.ru/text/78/405/images/image002_13.png" width="18" height="31 src="> կապված եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների հետ, մենք պետք է օգտագործենք առաջին ուշագրավ սահմանը:

Սահմանում.Առաջին ուշագրավ սահմանը կոչվում է սահման

https://pandia.ru/text/78/405/images/image007_4.png" alt="$\displaystyle \lim_(x\to0)\dfrac(\sin x)(x)=1. $" width="102" height="52">!}

5) Սահմանում:Երկրորդ ուշագրավ սահմանըկոչվում է սահմանաչափ

Այս սահմանով տրված թիվը շատ կարևոր դեր է խաղում ինչպես մաթեմատիկական վերլուծության, այնպես էլ մաթեմատիկայի այլ ճյուղերում։ Համարը կոչվում է բնական լոգարիթմների հիմքը ( https://pandia.ru/text/78/405/images/image009_4.png" alt="$ e$" width="11" height="14">показывает, что -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:!}

2. Ուսումնասիրված նյութի համախմբում.

Օրինակ 1

https://pandia.ru/text/78/405/images/image015_1.png" width="28" height="30 src=">= -4

Մենք օգտագործեցինք կանոն 1) և x-ի փոխարեն փոխարինեցինք այն, ինչին x-ը պետք է ձգտի, այսինքն՝ x=2:

Օրինակ 2

https://pandia.ru/text/78/405/images/image017_1.png" width="154" height="32 src=">.png" width="21" height="30 src=">= 5

Օրինակ 3

https://pandia.ru/text/78/405/images/image021_1.png" width="199" height="37 src=">.png" width="137" height="35 src=">: png" width="138" height="24 src=">=3+3=6

Օրինակ 4

https://pandia.ru/text/78/405/images/image004_7.png" width="22" height="31 src=">.png" width="104" height="46 src=">։ png" height="30 src=">

Օրինակ 5

https://pandia.ru/text/78/405/images/image032_0.png" width="61" height="46 src=">.png" height="30 src=">=2

Օրինակ 6

https://pandia.ru/text/78/405/images/image036_0.png" width="18" height="28 src=">

բ)

3. Գիտելիքների, հմտությունների և կարողությունների համախմբում:

Կատարել անկախ աշխատանք ֆունկցիաների սահմանները հաշվարկելու ուղղությամբ։

Գործնական աշխատանք թիվ 1.

Տարբերակ 1

Հաշվարկել ֆունկցիայի սահմանը.

1. .

2. .

3. .

10. .

Գործնական աշխատանք թիվ 1.

Տարբերակ 2

Հաշվարկել ֆունկցիայի սահմանը.

1. .

2. .

3. .

10.

Գործնական աշխատանք թիվ 2.

Առարկա Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը: Մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի ուսումնասիրություն և գրաֆիկի գծում:

Թիրախ Գործնականում փորձարկեք ֆունկցիայի ածանցյալ հասկացության իմացությունը, տարրական ֆունկցիաների ածանցյալներ, բարդ ֆունկցիաներ, հակադարձ ֆունկցիաներ գտնելու կարողություն, օգտագործելով ածանցյալների աղյուսակը և տարբերակման կանոնները, բարդ և հակադարձ ֆունկցիայի հայեցակարգը, կարողությունը: ֆունկցիաները ուսումնասիրելու համար օգտագործել ածանցյալ:

Գործնական աշխատանքի ապահովում:

Դասագիրք. "Մաթեմատիկա". - Մ.: Բուստարդ, 2010:

Մաթեմատիկա. M: Forum-Infa 2008 թ.

Անհատական բացիկներ՝ գործնական աշխատանքի տարբերակով։

1. Ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու տեսական նյութ և օրինակներ.

Սահմանում: f(x) (f"(x)) ֆունկցիայի ածանցյալը x կետում ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանն է փաստարկի աճին, երբ արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի.

https://pandia.ru/text/78/405/images/image061_0.png" width="209 height=235" height="235">

Տարբերակման կանոններ.

Եթե f(x) և g(x) ֆունկցիաները ունեն ածանցյալներ, ապա

2. (u+v)′=u′+v′

3. (uv)′=u′v+v′u

4. (C u)′=C u′, որտեղ C=կոնստ

5..png" width="49" height="54 src=">

6. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ.

f′(g(x))=f′(g) g′(x)

2. Օրինակներ.

1..png" width="61" height="41 src=">.png" width="20" height="41 src=">.png" width="20" height="41 src="> .png" width="69" height="41 src=">+4):

Ֆունկցիան երկու գործոնի արտադրյալ է՝ u=https://pandia.ru/text/78/405/images/image071_0.png" width="72" height="41 src=">.png" width=" 64" height="41 src=">.png" width="19" height="41 src=">.png" width="45" height="51 src=">:

Ֆունկցիան երկու արտահայտությունների քանորդն է՝ u=https://pandia.ru/text/78/405/images/image079.png" width="52" height="41 src=">..png" width= "215" " height="57 src=">.png" width="197 height=36" height="36">

Լուծում. Գտնենք այս ֆունկցիայի ածանցյալը՝ օգտագործելով բարդ ֆունկցիաների տարբերակման կանոնը (բանաձև 6).

5. Եթե , ապա

6. y = x 3 – 3x 2 + 5x+ 2. Եկեք գտնենք y "(–1).

y " = 3x 2 – 6x+ 5. Հետևաբար, y "(–1) = 14.

7. Եթե y= մատյան x cos x, Դա y« = (ln x) «կոս x+ln x(cos x) " =1/x∙cos x- ln xմեղք x.

Թող տրվի ֆունկցիա։ Այն ուսումնասիրելու համար անհրաժեշտ է.

1) Գտեք դրա սահմանման տիրույթը: Եթե դա շատ դժվար չէ, ապա օգտակար է գտնել նաև շրջանակը: (Սակայն, շատ դեպքերում, գտնելու հարցը հետաձգվում է այնքան ժամանակ, մինչև հայտնաբերվի ֆունկցիայի ծայրահեղությունը):

2) Պարզեք ֆունկցիայի ընդհանուր հատկությունները, որոնք կօգնեն որոշել նրա վարքագիծը՝ ֆունկցիան զույգ է, թե կենտ, պարբերական է։

3) Պարզեք, թե ինչպես է իրեն պահում ֆունկցիան, երբ արգումենտը մոտենում է սահմանման տիրույթի սահմանային կետերին, եթե կան այդպիսի սահմանային կետեր: Եթե ֆունկցիան ունի անջատման կետեր, ապա այդ կետերը նույնպես պետք է ստուգվեն ֆունկցիայի ուղղահայաց ասիմպտոտների առկայության համար: Գտեք թեք ասիմպտոտներ:

4) Գտեք գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքներով, որը բաղկացած է ֆունկցիայի արժեքի ուղղակի հաշվարկից՝ պայմանով.

OX առանցքով՝ y=0;

OY առանցքով՝ x=0:

Առանցքի հետ հատման կետերը գտնելը կարող է հանգեցնել բարդ հանրահաշվական հավասարման լուծման անհրաժեշտության, ինչը, հնարավոր է, կարելի է անել միայն մոտավորապես: Գտնելով ֆունկցիայի արմատները և անջատման կետերը՝ մենք կարող ենք որոշել ֆունկցիայի նշանը այս կետերի միջև ընկած ընդմիջումներից յուրաքանչյուրում։ Դա կարելի է անել կամ ինտերվալի ցանկացած կետում ֆունկցիայի արժեքը հաշվարկելով, կամ ինտերվալ մեթոդի կիրառմամբ։

5) Գտե՛ք միապաղաղության միջակայքերը. Դա անելու համար գտե՛ք ածանցյալը և լուծե՛ք անհավասարությունը.

https://pandia.ru/text/78/405/images/image089.png" width="49" height="19 src=">, ֆունկցիան նվազում է։

Գտնելով միապաղաղության միջակայքերը, մենք կարող ենք անմիջապես որոշել տեղական ծայրահեղության կետերը. որտեղ աճը փոխարինվում է նվազմամբ, տեղային մաքսիմումներն են տեղակայվում, իսկ որտեղ նվազումը փոխարինվում է աճով, տեղային նվազագույնները։

6) Ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը գտնելն իրականացվում է երկրորդ ածանցյալի միջոցով..png" width="39" height="19 src="> ընդմիջումներով.

եթե https://pandia.ru/text/78/405/images/image090.png" width="39" height="19 src=">‹0, ապա ֆունկցիայի գրաֆիկի կորը ուռուցիկ է:

Միևնույն ժամանակ, մենք ճկման կետերը սահմանում ենք որպես այն կետերը, որոնցում ֆունկցիան փոխում է ուռուցիկության ուղղությունը (և շարունակական է):

7) Գրաֆիկի հատման կետերի գտնել ասիմպտոտի և լրացուցիչ կետերի հետ. Այս կետը պարտադիր չէ, սակայն նման կետեր գտնելը դարձնում է ֆունկցիայի և դրա գրաֆիկի ուսումնասիրությունը ամբողջական և ամբողջական։

Նկատի ունեցեք, որ օգտակար է անմիջապես գծագրել կետերը կոորդինատների առանցքների և գրաֆիկի վրա, որոնք ստացվում են գծագրի վրա ֆունկցիաների ուսումնասիրության ժամանակ: Սա օգնում է հասկանալ գրաֆիկի տեսքը ճանապարհին:

3. Արեք ինքներդ.

տարբերակ	Գտե՛ք y ֆունկցիայի ածանցյալը.	տարբերակ	Գտե՛ք y ֆունկցիայի ածանցյալը.
	1.y=6-		1. y=-6- 5.y=
	1. y=-7-1		1. y=-7-1
	1.y=4x-3tgx+6x-8		1.y=-5x+2ctgx+3x-2

Գործնական դաս

Առարկա:Ածանցյալների որոնում. Ածանցյալի կիրառումը ֆունկցիաների ուսումնասիրության և գրաֆիկների գծագրման համար:

Թիրախ: Վարպետեք ածանցյալների հաշվարկը, սովորեք ուսումնասիրել ֆունկցիան՝ օգտագործելով ածանցյալը

Կրթության միջոցներ.նոթատետրեր գործնական պարապմունքների համար, թեմայի վերաբերյալ պրեզենտացիաներ, ինտերնետային ռեսուրսներ.

1. Դիտարկենք տեսական նյութ՝ «Ածանցյալների հաշվարկման կանոններ», «Ֆունկցիայի ծայրահեղություն», «Ուռուցիկություն, գոգավորություն» թեմաներով: Թեքման կետը»:

2. Վերանայեք առաջադրանքների նմուշները:

3. Լրացրեք թիվ 1 թեստային առաջադրանքը.

Վերահսկիչ հարցեր.

1. Սահմանել ֆունկցիայի առավելագույնը (նվազագույնը) կետում: Ի՞նչ կարելի է ասել առավելագույն (նվազագույն) կետի բավականին փոքր հարևանությամբ ֆունկցիայի աճի նշանի մասին։

2. Որո՞նք են ֆունկցիայի էքստրեմումի գոյության անհրաժեշտ պայմանները: Ո՞րն է դրանց երկրաչափական նշանակությունը:

3. Ո՞րն է սեգմենտի վրա ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները գտնելու կանոնը:

4. Սահմանել կորի ուռուցիկությունը (գոգավորությունը) միջակայքի վրա:

5. Ո՞րն է կորի ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը գտնելու կանոնը:

6. Կորի թեքման կետը. Ինչպե՞ս գտնել նրան:

7. Ո՞րն է ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցման ալգորիթմը:

Ածանցյալ գործիքների հաշվարկման կանոններ

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ։

Եթե ժամը=ƒ( Եվ), u=φ(x), ապա ժամը¢ ( X)=ƒ¢ (i)·φ¢ (X).

Գումարի ածանցյալ.

Եթե ժամը(X)=Եվ(X)+v (X), դա ժամը¢ (X)=Եվ¢ (X)+v ¢ (X)

Արտադրանքի ածանցյալ.

Եթե y(x)=u(X)· v (X), դա ժամը¢ = Եվ¢ · v + u · v ¢ .

Մասնավորապես, ( Հետ· Եվ)¢ = գ· Եվ¢, այսինքն՝ հաստատուն գործոնը հանվում է ածանցյալ նշանի տակից։ Հեշտ է դա հաստատել

(u 2 ) ¢ = 2 u·u ¢ , (u 3 ) ¢ = 3u 2 u ¢ , …, (u n ) ¢ =n·u n–1 u ¢ .

քանորդի ածանցյալ.

Եթե, ապա
.

Ածանցյալների աղյուսակ

1. (Հետ)¢ =0

Բարդ ֆունկցիայի համար՝ եթե u=u(x), Դա:

2. (X)¢ =1

3. (X α )¢ = α · Xα–1, Ա- ցանկացած իրական թիվ:

4. (Ա X ) ¢ =ա X · ln Ա

5. (գերան ա x) ¢ =

6. (մեղք x)¢ =cos x

7. (cos x)¢ = – sin x

8. (tg x)¢ =

9. (ctg x)¢ =

10.

11.

12.

13.

Վերանայման օրինակներ

Օրինակ 1.

y=(3–2 մեղք 5x ) 4 | Մենք կիրառում ենք ածանցյալ բանաձևեր Եվ α , մեղք u |

y ¢ =4·(3–2·sin5x) 3·(3–2sin5x) ¢ =4·(3–2·sin5x) 3 ·(0–2·cos5x·5) = –40·(3–2·sin5x) 3 .

Օրինակ 2.

Օրինակ 3.

Օրինակ 4.

Օրինակ 5.

Ֆունկցիայի ծայրահեղություն

Էքստրեմումում ֆունկցիայի ուսումնասիրությունը ածանցյալների ամենակարևոր կիրառություններից է։ Եկեք նայենք նվազագույնի և առավելագույնի սահմանմանը և ինչպես գտնել դրանք:

Թողեք ֆունկցիան ƒ( X) որոշվում և տարբերվում է որոշակի բազմության և կետի վրա X 0-ը դրա ներսում մի կետ է:

Սահմանում.Գործառույթ ƒ (X) կետում X 0 ունի առավելագույնը(նվազագույնը), եթե կա կետի նման հարևանություն X 0, որը բոլորի համար է Xայս տարածքից ƒ (X) < ƒ (X 0 ) (ƒ (X) > ƒ (X 0 )).

Կետ X 0-ն այնուհետև կոչվում է կետ առավելագույնը(նվազագույնը):

Բրինձ. 1.

Ցուցադրված է մի ֆունկցիայի գրաֆիկ, որն ունի երկու առավելագույն միավոր ( X 1 և X 3) և երկու նվազագույն միավոր ( X 2 և X 4), իսկ առավելագույն արժեքը կարող է փոքր լինել նվազագույնից ( ƒ (X 1 ) < ƒ (X 4)): Սա ընդգծում է այն փաստը, որ մենք բնութագրում ենք ֆունկցիայի եզակիությունը միայն որոշակի կետի մոտ:

Առավելագույն և նվազագույն կետերում ֆունկցիայի արժեքները կոչվում են ծայրահեղ արժեքներ կամ ծայրահեղություններ. Վերոնշյալ գրաֆիկը ցույց է տալիս, որ ծայրահեղ կետերը ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4) որոշել ֆունկցիայի միապաղաղության միջակայքերը, որոնցից յուրաքանչյուրում ածանցյալը պահպանում է որոշակի նշան. Ծայրահեղ կետերում, իհարկե, ածանցյալը գնում է զրոյի: Եկեք ձևակերպենք թեորեմ դրա մասին անհրաժեշտ պայման ծայրահեղության առկայությունը.

Թեորեմ.Եթե ֆունկցիան ƒ (X) կետում X 0-ն ունի ծայրահեղություն, ապա ֆունկցիայի ածանցյալն այս կետում հավասար է զրոյի, այսինքն՝ ƒ¢ ( X 0)=0.

Անմիջապես նշենք, որ այս պայմանը բավարար չէ, այսինքն՝ հակառակ պնդումը միշտ չէ, որ ճիշտ է։ Հավասարությունից ƒ ¢ ( X 0)= 0-ն անպայմանորեն չի նշանակում, որ այդ կետում X 0 կա ծայրահեղություն.

Սա հաստատվում է ֆունկցիայի օրինակով ƒ (X)=x 3 .

Մենք կգտնենք ƒ ¢ ( X)= 3X 2 . Կետում X=0 ƒ ¢ (0)=0 . Բայց ինչքան կուզեք՝ մոտ կետին X=0 մենք կգտնենք X> 0, որտեղ ƒ (X)=x 3 > 0, մենք կգտնենք X< 0, где ¦ (X)=X 3 < 0. Т. е. не существует какая-либо малая окрестность точки X=0, որտեղ բոլորի համար Xֆունկցիայի արժեքը մի կետում X=0 կլինի ամենամեծը կամ ամենափոքրը: Հետևաբար նշեք X=0-ը ծայրահեղ կետ չէ:

Կարելի է վիճել այլ կերպ. Քանի որ ածանցյալ ƒ ¢ (x)=3x 2 , ապա ֆունկցիան ƒ(x)=x 3 աճում է ցանկացած իրական x-ի համար և չունի ծայրահեղություն:

Կետեր, որոնց դեպքում բավարարվում է անհրաժեշտ ծայրահեղ պայմանը (ƒ ¢ (x)=0)կոչվում են քննադատական .

Ակնհայտորեն, ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողը այն կետերում, որտեղ ƒ ¢ (x)=0, x առանցքի Ox-ին զուգահեռ .

Բավարար պայմանծայրահեղությունը տրված է հետևյալ թեորեմներում.

Թեորեմ 1.Եթե X 0-ը ֆունկցիայի կրիտիկական կետն է և դրա միջով անցնելիս ածանցյալը փոխում է նշանը, ապա X 0-ը ծայրահեղ կետ է, այսինքն, եթե ածանցյալը նշանը փոխում է գումարածից մինուսի, դա առավելագույն կետ է, իսկ եթե այն փոխում է նշանը մինուսից պլյուս, դա նվազագույն կետ է:

Նկատի ունեցեք, որ մի կետում ծայրահեղություն չկա, եթե ածանցյալը չի փոխում նշանը: Առաջին ածանցյալով էքստրեմում սովորելու կանոնը հայտնի է դպրոցական դասընթացից։ Երբեմն ավելի հարմար է ծայրահեղության համար բավարար պայման ձևակերպել՝ օգտագործելով երկրորդ ածանցյալը։

Թողեք ֆունկցիան ƒ( X) երկու անգամ տարբերելի է որոշ տիրույթում (այսինքն ƒ( X) ունի ƒ¢ ( X) Եվ ƒ ¢¢ ( X)).

Թեորեմ 2.Եթե X 0 - ֆունկցիայի կրիտիկական կետ ƒ(x)և ƒ ¢¢ (X 0 ) > 0 , Դա X 0 – նվազագույն միավոր, եթե ƒ ¢¢ (X 0 ) < 0, то X 0 - առավելագույն միավոր:

Երկրորդ ածանցյալի միջոցով որոշվում է ֆունկցիայի գրաֆիկի ուռուցիկությունը կամ գոգավորությունը։

Գոգավորություն, գոգավորություն։ Թեքման կետ.

Կոր y=ƒ(X) կոչվում է ուռուցիկրդ ստորևնրանից որևէ մեկը շոշափող

ƒ ¢¢ ( X) < 0.

Կոր y=ƒ(X) կոչվում է գոգավոր ինտերվալի վրա, եթե կորի բոլոր կետերը գտնվում են ավելի բարձր նրանից որևէ մեկը շոշափող այս միջակայքում: Այնուհետեւ այս ընդմիջումով

ƒ ¢¢ (x) > 0

Սահմանում. Թեքման կետ Կորը այն կետն է, որտեղ մի կողմից կորը ուռուցիկ է, իսկ մյուս կողմից՝ գոգավոր։

Թեքման կետում ƒ ¢¢ ( X)=0.

Այսպիսով, երկրորդ ածանցյալի նշանը (ինչպես նաև բուն ֆունկցիայի և նրա առաջին ածանցյալի նշանը) ցույց է տալիս ֆունկցիայի գրաֆիկի առանձնահատկությունները։ Եկեք նորից նայենք նրանց:

Եթե բոլորի համար Xընդմիջումով ( Ա, բ) ƒ (X) > 0 (ƒ (X) < 0), ապա գրաֆիկը գտնվում է x առանցքի վերևում (ներքևում):

Եթե բոլորի համար Xընդմիջումով ( Ա, բ) ƒ ¢ ( X) > 0 (ƒ ¢ ( X) < 0), то функция на (Ա, բ) մեծանում (նվազում է).

Եթե բոլորի համար Xընդմիջումով ( Ա, բ) ƒ ¢¢ ( X) > 0 (ƒ ¢¢ ( X) < 0), то график на (Ա, բ) գոգավոր (ուռուցիկ).

Հավասարում ƒ( X)=0-ը սահմանում է ֆունկցիայի «զրոները», այսինքն՝ գրաֆիկի հատման կետերը Ox առանցքի հետ։

Հավասարումը ƒ ¢ ( X)=0 սահմանում է կրիտիկական կետեր:

Հավասարումը ƒ ¢¢ ( X)=0 սահմանում է հնարավոր թեքման կետերը:

Ֆունկցիայի ուսումնասիրության սխեմա

Ֆունկցիան ուսումնասիրելու համար ƒ (X) և դավադրություն y=ƒ(X) պետք է գտնել.

1) ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը և գրաֆիկի հատման կետը կոորդինատային առանցքների հետ.

2) միապաղաղության միջակայքերը.

3) այս կետերում ծայրահեղության և ֆունկցիայի արժեքների կետերը.

4) գրաֆիկի ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը.

5) գրաֆիկի թեքության կետերը.

6) Դեկեկարտյան կոորդինատային համակարգում կառուցիր ստացված բոլոր կետերը (երբեմն գրաֆիկը պարզաբանելու համար լրացուցիչ միավորներ են ստացվում) և հենց գրաֆիկը։

Սեգմենտի վրա ֆունկցիայի ամենափոքր և ամենամեծ արժեքները

Օպտիմալացման մեթոդի որոշ խնդիրներ լուծելիս կարևոր է որոշակի հատվածի վրա գտնել ֆունկցիայի ամենափոքր կամ ամենամեծ արժեքները: Ֆունկցիան հասնում է այս արժեքներին կամ կրիտիկական կետերում կամ հատվածի ծայրերում:

Որոնման սխեմաֆունկցիայի ամենափոքր և ամենամեծ արժեքները ƒ (X) հատվածում [ Ա, բ].

1.Գտի՛ր ֆունկցիայի ածանցյալը ƒ ¢ ( X).

2. Հավասարումից գտե՛ք կրիտիկական կետերը ƒ ¢ ( X)=0.

3. Ընտրեք այն կրիտիկական կետերը, որոնք պատկանում են այս հատվածին [ Ա, բ] և գտնել ֆունկցիայի արժեքը ƒ (X) յուրաքանչյուր այդպիսի կետում:

4. Հաշվել ֆունկցիայի արժեքները ƒ (X) հատվածի ծայրերում՝ ƒ( Ա) և ƒ( բ).

5. Ստացված ֆունկցիայի արժեքներից ընտրել ամենամեծը (ամենամեծը) և ամենափոքրը (ամենափոքրը):

Օրինակ 2.

Գտեք ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները ƒ(x)=X 3 - 9x 2 +24х–10հատվածի վրա։

1. ƒ ¢ ( X)= 3X 2 – 9·2 X 2 + 24.

2. ƒ ¢ ( X)=0, 3(X 2 –6X+8)=0, X 1 =2, X 2 =4.

3. x 2 =4 կետը չի պատկանում հատվածին: Հետևաբար, մենք հաշվում ենք ֆունկցիայի արժեքը միայն կետում X 1 =2

ƒ(2)=2 3 –9·2 2 +24·2–10=10.

4. Ֆունկցիայի արժեքները հատվածի ծայրերում՝ ƒ(0)= –10, ƒ(3)=3 3 –9·3 2 +24·3–10, ƒ(3)=8:

5. Ստացված արժեքներ.

ƒ(2)=10, ƒ(0)= –10, ƒ(3)=8:

Ամենաբարձր արժեքը 10 է և հասնում է կետին X=2. Ամենափոքրը հավասար է –10-ի և ստացվում է կետում X=0.

Օրինակ 3.

Գտե՛ք կորի ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը և թեքման կետերը y=x+36X 2 –2X 3 –X 4 .

Այս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է, այսինքն. XЄ(–∞, +∞).

Գտնենք երկրորդ ածանցյալը։

ժամը¢ =1+72 X–6X 2 –4X 3 .

ժամը¢¢ =72–12 X–12X 2 = –12(X 2 +X–6).

From Eq. ժամը¢¢ =0 մենք ստանում ենք թեքության կետի աբսցիսա.

–12(X 2 +X–6)=0 X 1 = –3; X 2 =2.

Եկեք սահմանենք նշանը ժամը¢¢ ընդմիջումներով

(–∞; –3), (–3; 2), (2, +∞).

(–∞, –3)

(–3; 2)

(2; +∞)

ժամը¢¢

կորի ձևը

ուռուցիկ

թեքում

գոգավոր

թեքում

ուռուցիկ

Գտնենք թեքման կետերի օրդինատները.

ժամը(–3)=726; Մ 1 (–3; 726) – թեքության կետ

ժամը(2)=114; Մ 2 (2; 114) – թեքության կետ:

(–3; 2) միջակայքում կորը գոգավոր է: (–∞; –3) և (2; +∞) ընդմիջումներով – ուռուցիկ:

Առաջադրանքների նմուշներ

Առաջադրանք թիվ 1.

Գտե՛ք ֆունկցիայի ընդմիջման կետերը և գծե՛ք գրաֆիկը

Գործառույթ ƒ (X) սահմանվում է բոլոր իրական համար Xև շարունակական է նշված ինտերվալներից յուրաքանչյուրում՝ (–∞; –1), [–1; 0], (0, +∞): Եկեք ուսումնասիրենք գործառույթը ƒ (X) կետերում շարունակականության համար X= –1 և X=0.

Դա անելու համար մենք այս կետերից յուրաքանչյուրում կգտնենք միակողմանի սահմաններ:

Քանի որ միակողմանի սահմանները տարբեր են, ուրեմն X = –1 – առաջին տեսակի անջատման կետ.

Միակողմանի սահմանները հավասար են, այսինքն x=0 կետում կա ֆունկցիայի սահման և

Եկեք համեմատենք այս սահմանը կետում գտնվող ֆունկցիայի արժեքի հետ.

Որովհետեւ
ապա ներս x=0-ում ƒ(x) ֆունկցիան շարունակական է:

Եկեք գծենք ƒ ֆունկցիան (X), հաշվի առնելով, որ

1)
- ուղիղ գծի հավասարում,

2)
– վերին կիսաշրջանի հավասարումը
սկզբում կենտրոնով և միասնությանը հավասար շառավղով, իսկ պայմանով՝ 1 £ X£ 0 հավասարում
սահմանում է քառորդ շրջան:

3) համար X > 0 գրաֆիկը տրված է հավասարմամբ
. Հավասարումից մենք գտնում ենք այս կորի հատման կետերը Ox առանցքի հետ
համար x > 0. x= π n, Որտեղ n =1, 2, 3, 4,

Բրինձ. 2.

Առաջադրանք թիվ 2.

Գրի՛ր տողի շոշափողների հավասարումներ
այն կետերում, որտեղ X=0 և X=4. Գտե՛ք շոշափողների հատման կետը և նրանց միջև եղած անկյունը: Կատարեք նկարչություն:

Ուղղի շոշափողի հավասարումը y=ƒ(x)նման է

Որտեղ ժամը 0 =ƒ( X 0).

Կետում X=0 ժամը(0)=ƒ(0)=5.

ժամը¢ =ƒ ¢ (X)=X–3 ƒ¢ (0)= –3.

Մ 1 (0, 5) ունի ձև y– 5= –3(X-0) կամ

y= –3X+5.

Կետում X=4 ժամը(4)=ƒ(4)=1. ƒ¢ (4)=4–3=1.

Մի կետում շոշափողի հավասարումը Մ 2 (4, 1) ունի ձև y– 1=X-4 կամ

y=x–3.

Համակարգը լուծելով ստանում ենք շոշափողների հատման կետը

Խաչմերուկի կետ Մ 3 (2, –1).

Անկյուն φ շոշափողների միջև մենք գտնում ենք բանաձևից.

Որտեղ կ 1 = –3; կ 2 =1 – շոշափողների անկյունային գործակիցներ:

Անկյուն φ =arctg 2.

Եկեք կառուցենք այս գիծը
– պարաբոլա՝ գագաթով այն կետում, որտեղ X=3, քանի որ ժամը¢ =0 ժամը X=3. Մենք կգտնենք
. Կետ Մ 4 (3; ) պարաբոլայի գագաթն է։

Ռ

է. 3.

Առաջադրանք թիվ 3.

Ուսումնասիրել գործառույթը
և գծագրիր այն:

1. Այս ֆունկցիան բազմանդամ է (կարող եք բացել փակագծերը, ստանում ենք երրորդ աստիճանի բազմանդամ), հետևաբար այն սահմանված է, շարունակական և տարբերվող ցանկացածի համար։ X.

2. Գտնենք ածանցյալը։

From Eq. ժամը¢ =0 եկեք գտնենք կրիտիկական կետերը՝ 3 X·( X–2)=0, X 1 =0, X 2 =2.

Եկեք ուսումնասիրենք դրանք:

(–∞, 0)

(0; 2)

(2; +∞)

ժամը ¢

ժամը

3. Այսպիսով, ֆունկցիան մեծանում է (–∞, 0) և (2, +∞) միջակայքում, նվազում է (0; 2), ունի առավելագույն x=0 և նվազագույնը՝ x=2-ում:

ժամը առավելագույնը = ժամը(0)=4; ժամը min = ժամը(2)=0.

4. Գտնենք երկրորդ ածանցյալը.

ժամը¢¢ = 6 · ( X-1).

Այնտեղ կորը ուռուցիկ է ժամը¢¢ < 0, т. е. 6·(X–1) < 0, X < 1.

Կորը գոգավոր է, որտեղ ժամը¢¢ > 0, այսինքն. X > 1.

Այսպիսով, (–∞, 1) միջակայքում կորը ուռուցիկ է. իսկ (1, +∞) միջակայքում գոգավոր է։

5. Հավասարումից գտնում ենք թեքության կետը ժամը¢¢ =0. Այսպիսով, X=1 – թեքության կետի աբսցիսա, քանի որ այս կետը առանձնացնում է կորի ուռուցիկության և գոգավորության միջակայքերը: Թեքման կետի օրդինատ. ժամը(1)=2.

Ֆունկցիայի գրաֆիկ ժամը=(X+1)·( X–2) 2 հատում է Ox առանցքը ժամը ժամը=0, այսինքն երբ X= –1 և X=2;

հատում է Oy առանցքը ժամը X=0, այսինքն երբ ժամը=4. Մենք վաստակեցինք երեք միավոր՝ (–1; 0), (2; 0), (0; 4): Ստացված բոլոր միավորները մուտքագրելու ենք աղյուսակ՝ ավելացնելով դրանց հարակիցները։

–2

–1