Գործառույթների սահմանաչափ. Ինչպե՞ս լուծել խաբեբաների սահմանները: 1 հաշվարկել սահմանները

Առաջին ուշագրավ սահմանը հետևյալ հավասարությունն է.

\ սկիզբ (հավասարում)\lim_(\ալֆա\ դեպի (0))\frac(\sin\ալֆա)(\ալֆա)=1 \վերջ (հավասարում)

Քանի որ $\alpha\to(0)$-ի համար մենք ունենք $\sin\alpha\to(0)$, նրանք ասում են, որ առաջին ուշագրավ սահմանը բացահայտում է $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշությունը։ Ընդհանուր առմամբ, բանաձևում (1) $\alpha$ փոփոխականի փոխարեն ցանկացած արտահայտություն կարող է տեղադրվել սինուսի նշանի տակ և հայտարարի մեջ, քանի դեռ երկու պայման կա.

1. Սինուսի նշանի տակ և հայտարարի արտահայտությունները միաժամանակ հակված են զրոյի, այսինքն. $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշություն կա։
2. Սինուսի նշանի տակ և հայտարարում արտահայտությունները նույնն են:

Հաճախ օգտագործվում են նաև առաջին ուշագրավ սահմանի հետևանքները.

\սկիզբ(հավասարում) \lim_(\ալֆա\ to(0))\frac(\tg\ալֆա)(\ալֆա)=1 \վերջ (հավասարում) \սկիզբ (հավասարում) \lim_(\ալֆա\ դեպի (0) )\frac(\arcsin\ալֆա)(\ալֆա)=1 \վերջ (հավասարում) \սկիզբ(հավասարում) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\ալֆա)(\ալֆա)=1 \վերջ (հավասարում)

Տասնմեկ օրինակ լուծված է այս էջում։ Օրինակ թիվ 1 նվիրված է (2)-(4) բանաձևերի ապացուցմանը։ Թիվ 2, թիվ 3, թիվ 4 և 5 օրինակները պարունակում են լուծումներ՝ մանրամասն մեկնաբանություններով։ Թիվ 6-10 օրինակները պարունակում են գործնականում առանց մեկնաբանությունների լուծումներ, քանի որ մանրամասն բացատրությունները տրվել են նախորդ օրինակներում: Լուծումը օգտագործում է մի քանիսը եռանկյունաչափական բանաձևերորը կարելի է գտնել:

Նշում եմ, որ ներկայությունը եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ$\frac (0) (0)$ անորոշության հետ զուգորդված դեռ չի նշանակում առաջին նշանակալի սահմանաչափի պարտադիր կիրառում: Երբեմն բավական են պարզ եռանկյունաչափական փոխակերպումները, օրինակ՝ տե՛ս.

Օրինակ թիվ 1

Ապացուցեք, որ $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$:

ա) Քանի որ $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, ապա.

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\աջ| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Քանի որ $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ և $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, Դա.

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\ալֆա))(\ալֆա))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

բ) Կատարենք $\alpha=\sin(y)$ փոփոխությունը։ Քանի որ $\sin(0)=0$, ուրեմն $\alpha\to(0)$ պայմանից ունենք $y\to(0)$։ Բացի այդ, կա զրոյի հարևանություն, որում $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, այսպես.

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\աջ| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1: $$

Ապացուցված է $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ հավասարությունը։

գ) Կատարենք $\alpha=\tg(y)$ փոխարինումը։ Քանի որ $\tg(0)=0$, ուրեմն $\alpha\to(0)$ և $y\to(0)$ պայմանները համարժեք են։ Բացի այդ, կա զրոյի հարևանություն, որտեղ $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, հետևաբար, a կետի արդյունքների հիման վրա կունենանք.

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\աջ| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1: $$

$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ հավասարությունն ապացուցված է։

a), b), c) հավասարումները հաճախ օգտագործվում են առաջին ուշագրավ սահմանի հետ մեկտեղ:

Օրինակ թիվ 2

Հաշվեք սահմանաչափը $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.

Քանի որ $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ և $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, այսինքն. և կոտորակի համարիչը և հայտարարը միաժամանակ հակված են զրոյի, ապա այստեղ գործ ունենք $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշության հետ, այսինքն. կատարած. Բացի այդ, պարզ է, որ սինուս նշանի և հայտարարի տակ արտահայտությունները համընկնում են (այսինքն և բավարարված է).

Այսպիսով, էջի սկզբում թվարկված երկու պայմաններն էլ բավարարված են։ Այստեղից հետևում է, որ բանաձևը կիրառելի է, այսինքն. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\աջ))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Պատասխանել$\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\աջ))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Օրինակ թիվ 3

Գտեք $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$:

Քանի որ $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ և $\lim_(x\to(0))x=0$, ուրեմն գործ ունենք $\frac ձևի անորոշության հետ։ (0)(0)$, այսինքն. կատարած. Սակայն սինուսի նշանի տակ և հայտարարում արտահայտությունները չեն համընկնում։ Այստեղ դուք պետք է հարմարեցնեք արտահայտությունը հայտարարի ցանկալի ձևին: Մեզ անհրաժեշտ է, որ $9x$ արտահայտությունը լինի հայտարարի մեջ, ապա այն կդառնա ճշմարիտ: Ըստ էության, հայտարարում բացակայում է $9$ գործակիցը, որն այնքան էլ դժվար չէ մուտքագրել. պարզապես հայտարարի արտահայտությունը բազմապատկեք $9$-ով: Բնականաբար, 9$-ով բազմապատկելը փոխհատուցելու համար դուք պետք է անմիջապես բաժանեք $9$-ով.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\ձախ|\frac(0)(0)\աջ| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x)) (9x)$$

Այժմ հայտարարի և սինուսի նշանի տակ արտահայտությունները համընկնում են։ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ սահմանաչափի երկու պայմաններն էլ բավարարված են: Հետևաբար, $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$: Իսկ սա նշանակում է, որ.

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9: $$

Պատասխանել$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$:

Օրինակ թիվ 4

Գտեք $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$:

Քանի որ $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ և $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, այստեղ գործ ունենք ձևի անորոշության հետ. $\frac(0)(0)$. Սակայն խախտված է առաջին ուշագրավ սահմանի ձեւը. $\sin(5x)$ պարունակող համարիչը պահանջում է $5x$ հայտարար: Այս իրավիճակում ամենահեշտ ձևը համարիչը բաժանելն է $5x$-ով և անմիջապես բազմապատկել $5x$-ով։ Բացի այդ, հայտարարի հետ մենք կկատարենք նմանատիպ գործողություն՝ բազմապատկելով և բաժանելով $\tg(8x)$-ը $8x$-ով.

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\ձախ|\frac(0)(0)\աջ| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Նվազեցնելով $x$-ով և դուրս բերելով $\frac(5)(8)$ հաստատունը սահմանային նշանից, մենք ստանում ենք.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Նկատի ունեցեք, որ $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ լիովին բավարարում է առաջին նշանակալի սահմանաչափի պահանջները։ $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ գտնելու համար կիրառելի է հետևյալ բանաձևը.

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8): $$

Պատասխանել$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$:

Օրինակ թիվ 5

Գտեք $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$:

Քանի որ $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (հիշեք, որ $\cos(0)=1$) և $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, ապա գործ ունենք $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշության հետ։ Այնուամենայնիվ, առաջին ուշագրավ սահմանը կիրառելու համար պետք է ազատվել համարիչի կոսինուսից՝ անցնելով սինուսներին (այնուհետև բանաձևը կիրառելու համար) կամ շոշափողներին (այնուհետև բանաձևը կիրառելու համար)։ Դա կարելի է անել հետևյալ փոխակերպմամբ.

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\աջ)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Վերադառնանք սահմանին.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\ձախ|\frac(0)(0)\աջ| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\աջ) $$

$\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ կոտորակն արդեն մոտ է առաջին նշանակալի սահմանի համար պահանջվող ձևին: Եկեք մի փոքր աշխատենք $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ կոտորակի հետ՝ այն հարմարեցնելով առաջին ուշագրավ սահմանին (նկատի ունեցեք, որ համարիչի և սինուսի տակի արտահայտությունները պետք է համընկնեն).

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\աջ)^2$$

Վերադառնանք խնդրո առարկա սահմանին.

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\աջ) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\աջ)^2\աջ)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\աջ)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$:

Օրինակ թիվ 6

Գտեք $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$ սահմանաչափը:

Քանի որ $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ և $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, ապա մենք գործ ունենք $\frac(0)(0)$ անորոշության հետ։ Բացահայտենք այն առաջին ուշագրավ սահմանի օգնությամբ։ Դա անելու համար եկեք կոսինուսներից անցնենք սինուսների: Քանի որ $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, ապա.

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Անցնելով սինուսներին տրված սահմանում կունենանք.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\ձախ|\frac(0)(0)\աջ| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))(3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\ձախ(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\աջ)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\աջ)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$:

Օրինակ թիվ 7

Հաշվեք $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ սահմանաչափը, որը ենթակա է $\alpha\neq \ բետա$.

Ավելի վաղ տրվել էին մանրամասն բացատրություններ, բայց այստեղ մենք պարզապես նշում ենք, որ կրկին $\frac(0)(0)$ անորոշություն կա: Կոսինուսներից անցնենք սինուսների՝ օգտագործելով բանաձևը

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Օգտագործելով այս բանաձևը, մենք ստանում ենք.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\ալֆա(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\ձախ|\frac(0)( 0)\իրավունք| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ բետա(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\ալֆա+\բետա )(2)\աջ)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\ալֆա-\բետա)(2)\աջ)) (x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\ալֆա-\բետա)(2)\աջ))(x)\աջ)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\ալֆա-\բետա)(2)\աջ))(x\cdot\frac(\ալֆա-\բետա)(2))\cdot\frac(\ալֆա- \բետա)(2)\աջ)=\\ =-\frac((\ալֆա+\բետա)\cdot(\ալֆա-\բետա))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\ալֆա-\բետա)(2)\աջ))(x\cdot\frac(\ալֆա-\բետա)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2): $$

Պատասխանել$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\ալֆա(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ ալֆա^2)(2)$.

Օրինակ թիվ 8

Գտեք $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$ սահմանաչափը:

Քանի որ $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (հիշեք, որ $\sin(0)=\tg(0)=0$) և $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, ապա այստեղ գործ ունենք $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշության հետ։ Եկեք այն բաժանենք հետևյալ կերպ.

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\ձախ|\frac(0)(0)\աջ| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\աջ))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\աջ))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\աջ)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Պատասխանել$\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$:

Օրինակ թիվ 9

Գտեք $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2)) $ սահմանաչափը:

Քանի որ $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ և $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, ապա կա $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշություն։ Նախքան դրա ընդլայնմանը անցնելը, հարմար է փոփոխականի փոփոխություն կատարել այնպես, որ նոր փոփոխականը հակվի զրոյի (նկատի ունեցեք, որ բանաձևերում $\alpha / 0$ փոփոխականը): Ամենահեշտ ձևը $t=x-3$ փոփոխականի ներմուծումն է։ Այնուամենայնիվ, հետագա փոխակերպումների հարմարության համար (այս առավելությունը կարելի է տեսնել ստորև ներկայացված լուծման ընթացքում), արժե կատարել հետևյալ փոխարինումը. $t=\frac(x-3)(2)$: Ես նշում եմ, որ երկու փոխարինումները կիրառելի են այս դեպքում, պարզապես երկրորդ փոխարինումը թույլ կտա ավելի քիչ աշխատել կոտորակների հետ։ Քանի որ $x\to(3)$, ապա $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\ձախ|\frac (0)(0)\աջ| =\ձախ|\սկիզբ(հավասարեցված)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\դեպի(0)\վերջ(հավասարեցված)\աջ| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\աջ) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$:

Օրինակ թիվ 10

Գտեք $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $.

Կրկին գործ ունենք $\frac(0)(0)$ անորոշության հետ։ Նախքան դրա ընդլայնմանը անցնելը, հարմար է փոփոխականի փոփոխություն կատարել այնպես, որ նոր փոփոխականը հակվի զրոյի (նկատի ունեցեք, որ բանաձևերում փոփոխականը $\alpha\to(0)$ է)։ Ամենահեշտ ձևը $t=\frac(\pi)(2)-x$ փոփոխականի ներմուծումն է: Քանի որ $x\to\frac(\pi)(2)$, ապա $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\աջ)^2) =\ձախ|\frac(0)(0)\աջ| =\ձախ|\սկիզբ(հավասարեցված)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\վերջ(հավասարեցված)\աջ| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\աջ)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Պատասխանել$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\աջ)^2) =\frac(1)(2)$:

Օրինակ թիվ 11

Գտեք $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) սահմանները \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$:

Այս դեպքում մենք չպետք է օգտագործենք առաջին հրաշալի սահմանը։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ և՛ առաջին, և՛ երկրորդ սահմանները պարունակում են միայն եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ և թվեր: Հաճախ նման օրինակներում հնարավոր է պարզեցնել սահմանային նշանի տակ գտնվող արտահայտությունը։ Ավելին, վերը նշված որոշ գործոնների պարզեցումից և կրճատումից հետո անորոշությունը վերանում է։ Ես այս օրինակը բերեցի միայն մեկ նպատակով՝ ցույց տալու, որ սահմանային նշանի տակ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների առկայությունը պարտադիր չէ, որ նշանակի առաջին ուշագրավ սահմանի օգտագործումը։

Քանի որ $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (հիշեք, որ $\sin\frac(\pi)(2)=1$) և $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (հիշեցնեմ, որ $\cos\frac(\pi)(2)=0$), ապա մենք ունենք գործ ունենալով $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշության հետ: Սակայն դա չի նշանակում, որ մեզ անհրաժեշտ կլինի օգտագործել առաջին հրաշալի սահմանը։ Անորոշությունը բացահայտելու համար բավական է հաշվի առնել, որ $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\ձախ|\frac(0)(0)\աջ| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2): $$

Նման լուծում կա Դեմիդովիչի լուծումների գրքում (թիվ 475): Ինչ վերաբերում է երկրորդ սահմանին, ինչպես այս բաժնի նախորդ օրինակներում, մենք ունենք $\frac(0)(0)$ ձևի անորոշություն։ Ինչու՞ է այն առաջանում: Այն առաջանում է $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ և $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$: Մենք օգտագործում ենք այս արժեքները համարիչի և հայտարարի արտահայտությունները փոխակերպելու համար: Մեր գործողությունների նպատակը համարիչի և հայտարարի գումարը որպես արտադրյալ գրելն է: Ի դեպ, հաճախ նմանատիպ տիպի շրջանակներում հարմար է փոխել փոփոխականը, որը կազմված է այնպես, որ նոր փոփոխականը հակվի զրոյի (տե՛ս, օրինակ, թիվ 9 կամ թիվ 10 օրինակները այս էջում)։ Այնուամենայնիվ, այս օրինակում փոխարինելու իմաստ չկա, չնայած ցանկության դեպքում $t=x-\frac(2\pi)(3)$ փոփոխականը փոխարինելը դժվար չէ իրականացնել։

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ դեպի\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\աջ )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \ձախ(x-\frac(2\pi)(3)\աջ))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\աջ))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac) (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\աջ)\cdot\left( -\frac(1)(2)\աջ)) =-\frac(4)(\sqrt(3)): $$

Ինչպես տեսնում եք, մենք ստիպված չենք եղել կիրառել առաջին հրաշալի սահմանը։ Իհարկե, դուք կարող եք դա անել, եթե ցանկանում եք (տես ստորև նշված նշումը), բայց դա անհրաժեշտ չէ:

Ո՞րն է լուծումը՝ օգտագործելով առաջին ուշագրավ սահմանը: ցույց տալ/թաքցնել

Օգտագործելով առաջին ուշագրավ սահմանը, մենք ստանում ենք.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\աջ))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ աջ))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\աջ) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\աջ)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)): $$

Պատասխանել$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3)\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.

Նրանց համար, ովքեր ցանկանում են սովորել, թե ինչպես գտնել սահմաններ, այս հոդվածում մենք ձեզ կպատմենք այդ մասին: Մենք չենք խորանա տեսության մեջ, ուսուցիչները սովորաբար դա դասախոսություններ են տալիս: Այսպիսով, «ձանձրալի տեսությունը» պետք է գրանցվի ձեր նոթատետրերում: Եթե ​​դա այդպես չէ, ապա կարող եք կարդալ գրադարանից փոխառված դասագրքեր։ ուսումնական հաստատությունկամ այլ ինտերնետային ռեսուրսների վրա:

Այսպիսով, սահման հասկացությունը բավականին կարևոր է բարձրագույն մաթեմատիկայի ուսումնասիրության մեջ, հատկապես, երբ հանդիպում ես ինտեգրալ հաշվարկի և հասկանում ես սահմանի և ինտեգրալի միջև կապը: Ընթացիկ նյութում մենք կքննարկենք պարզ օրինակներ, ինչպես նաև դրանց լուծման ուղիները։

Լուծումների օրինակներ

Ինչ անել ձևի անորոշության դեպքում. $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Եկեք վերջին երկու օրինակների սահմանը հասցնենք անսահմանության և դիտարկենք անորոշությունը՝ $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Սահմանաչափերի հաշվարկման ալգորիթմ

Այսպիսով, եկեք համառոտ ամփոփենք օրինակները և ստեղծենք սահմանները լուծելու ալգորիթմ.

1. X կետը փոխարինի՛ր սահմանային նշանին հաջորդող արտահայտությամբ: Եթե ​​ստացվում է որոշակի թիվ կամ անսահմանություն, ապա սահմանն ամբողջությամբ լուծված է։ Հակառակ դեպքում մենք ունենք անորոշություն՝ «զրո բաժանված զրոյի» կամ «անսահմանությունը՝ բաժանված անսահմանության վրա» և անցնել հրահանգների հաջորդ քայլերին։
2. «Զրո բաժանված զրոյի» անորոշությունը վերացնելու համար պետք է հաշվի առնել համարիչը և հայտարարը: Նվազեցրեք նմանատիպերը: Փոխարինեք x կետը սահմանային նշանի տակ դրված արտահայտության մեջ:
3. Եթե ​​անորոշությունը «անվերջությունը բաժանված է անվերջության վրա», ապա մենք հանում ենք և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը x-ի առավելագույն աստիճանով: Մենք կրճատում ենք X-երը: Սահմանի տակից x-ի արժեքները փոխարինում ենք մնացած արտահայտության մեջ:

Այս հոդվածում դուք սովորեցիք սահմանների լուծման հիմունքները, որոնք հաճախ օգտագործվում են դասընթացում: Մաթեմատիկական վերլուծություն. Իհարկե, սրանք բոլոր տեսակի խնդիրներ չեն, որոնք առաջարկվում են քննողների կողմից, այլ միայն ամենապարզ սահմանները: Առաջիկա հոդվածներում մենք կխոսենք այլ տեսակի առաջադրանքների մասին, բայց նախ դուք պետք է սովորեք այս դասը, որպեսզի առաջ շարժվեք: Եկեք քննարկենք, թե ինչ անել, եթե կան արմատներ, աստիճաններ, ուսումնասիրենք անվերջ փոքր համարժեք ֆունկցիաներ, ուշագրավ սահմաններ, L'Hopital-ի կանոն:

Եթե ​​դուք ինքներդ չեք կարողանում պարզել սահմանները, խուճապի մի մատնվեք: Մենք միշտ ուրախ ենք օգնել:

Գործառույթների սահմանաչափ- թիվ ակլինի որոշ փոփոխական մեծության սահմանը, եթե դրա փոփոխման գործընթացում այս փոփոխական մեծությունը անորոշ ժամանակով մոտենա. ա.

Կամ այլ կերպ ասած՝ թիվը Աֆունկցիայի սահմանն է y = f(x)կետում x 0, եթե ֆունկցիայի սահմանման տիրույթից կետերի որևէ հաջորդականության համար, ոչ հավասար x 0, և որը համընկնում է կետին x 0 (lim x n = x0), համապատասխան ֆունկցիայի արժեքների հաջորդականությունը համընկնում է թվին Ա.

Գործառույթի գրաֆիկը, որի սահմանը, տրվելով դեպի անսահմանություն ձգվող արգումենտ, հավասար է Լ:

Իմաստը Աէ ֆունկցիայի սահմանային (սահմանային արժեքը): f(x)կետում x 0կետերի ցանկացած հաջորդականության դեպքում , որը համընկնում է x 0, բայց որը չի պարունակում x 0որպես դրա տարրերից մեկը (այսինքն՝ ծակված մոտակայքում x 0), ֆունկցիայի արժեքների հաջորդականությունը համընկնում է Ա.

Կոշի ֆունկցիայի սահմանը:

Իմաստը Ակլինի ֆունկցիայի սահմանը f(x)կետում x 0եթե նախապես վերցված որևէ ոչ բացասական թվի համար ε կգտնվի համապատասխան ոչ բացասական թիվը δ = δ(ε) այնպես, որ յուրաքանչյուր փաստարկի համար x, բավարարելով պայմանը 0 < | x - x0 | < δ , անհավասարությունը կբավարարվի | f(x)A |< ε .

Դա շատ պարզ կլինի, եթե հասկանաք սահմանի էությունը և այն գտնելու հիմնական կանոնները։ Ո՞րն է ֆունկցիայի սահմանը զ (x)ժամը xձգտելով ահավասար է Ա, գրված է այսպես.

Ավելին, այն արժեքը, որին ձգտում է փոփոխականը x, կարող է լինել ոչ միայն թիվ, այլև անվերջություն (∞), երբեմն +∞ կամ -∞, կամ կարող է ընդհանրապես սահման չունենալ։

Հասկանալու համար, թե ինչպես գտնել ֆունկցիայի սահմանները, լավագույնն է լուծումների օրինակները նայել:

Անհրաժեշտ է գտնել ֆունկցիայի սահմանները զ (x) = 1/xժամը՝

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Եկեք լուծում գտնենք առաջին սահմանին: Դա անելու համար դուք կարող եք պարզապես փոխարինել xայն թիվը, որին ձգտում է, այսինքն. 2, մենք ստանում ենք.

Գտնենք ֆունկցիայի երկրորդ սահմանը. Այստեղ փոխարինեք մաքուր 0-ի փոխարեն xդա անհնար է, քանի որ Դուք չեք կարող բաժանել 0-ի: Բայց մենք կարող ենք զրոյի մոտ արժեքներ վերցնել, օրինակ՝ 0.01; 0,001; 0,0001; 0,00001 և այլն, և ֆունկցիայի արժեքը զ (x)կավելանա՝ 100; 1000; 10000; 100000 և այլն: Այսպիսով, կարելի է հասկանալ, որ երբ x→ 0 ֆունկցիայի արժեքը, որը գտնվում է սահմանային նշանի տակ, կաճի առանց սահմանի, այսինքն. ձգտել դեպի անսահմանություն. Ինչը նշանակում է:

Երրորդ սահմանի վերաբերյալ. Նույն իրավիճակը, ինչպես նախորդ դեպքում, անհնար է փոխարինել ∞ իր ամենամաքուր տեսքով: Պետք է դիտարկել անսահմանափակ աճի դեպքը x. Մենք հերթով փոխարինում ենք 1000-ը; 10000; 100000 և այլն, մենք ունենք այդ ֆունկցիայի արժեքը զ (x) = 1/xկնվազի` 0,001; 0,0001; 0,00001; և այլն՝ հակված զրոյի: Ահա թե ինչու:

Անհրաժեշտ է հաշվարկել ֆունկցիայի սահմանը

Սկսելով լուծել երկրորդ օրինակը՝ մենք տեսնում ենք անորոշություն։ Այստեղից մենք գտնում ենք համարիչի և հայտարարի ամենաբարձր աստիճանը՝ սա է x 3, այն հանում ենք համարիչի և հայտարարի փակագծերից, այնուհետև կրճատում ենք հետևյալով.

Պատասխանել

Առաջին քայլը գտնելով այս սահմանը, փոխարենը փոխարինեք 1 արժեքը x, ինչը հանգեցնում է անորոշության: Այն լուծելու համար եկեք գործոնացնենք համարիչը և դա անենք՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու մեթոդը x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Այսպիսով, համարիչը կլինի.

Պատասխանել

Սա նրա հատուկ արժեքի կամ որոշակի տարածքի սահմանումն է, որտեղ ֆունկցիան ընկնում է, որը սահմանափակվում է սահմանաչափով:

Սահմանները լուծելու համար հետևեք կանոններին.

Հասկանալով էությունն ու հիմնականը սահմանը լուծելու կանոններ, դուք կստանաք հիմնական հասկացողություն, թե ինչպես լուծել դրանք:

Սովորաբար երկրորդ ուշագրավ սահմանը գրվում է այս ձևով.

\սկիզբ (հավասարում) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\վերջ (հավասարում)

Հավասարության (1) աջ կողմում նշված $e$ թիվը իռացիոնալ է։ Այս թվի մոտավոր արժեքն է՝ $e\ approx(2(,)718281828459045)$։ Եթե ​​մենք փոխարինում ենք $t=\frac(1)(x)$, ապա բանաձևը (1) կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

\սկիզբ(հավասարում) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\վերջ (հավասարում)

Ինչ վերաբերում է առաջին ուշագրավ սահմանին, ապա կարևոր չէ, թե որ արտահայտությունն է կանգնած $x$ փոփոխականի փոխարեն (1) բանաձևում կամ $t$ փոփոխականի փոխարեն (2): Հիմնական բանը երկու պայմանի կատարումն է.

1. Աստիճանի հիմքը (այսինքն՝ (1) և (2) բանաձևերի փակագծերում արտահայտությունը) պետք է հակված լինի միասնությանը.
2. Ցուցանիշը (այսինքն՝ $x$ (1) բանաձևում կամ $\frac(1)(t)$ (2)) պետք է ձգվի դեպի անսահմանություն։

Նշվում է, որ երկրորդ ուշագրավ սահմանը բացահայտում է $1^\infty$-ի անորոշությունը: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ բանաձևում (1) մենք չենք նշում, թե որ անսահմանության ($+\infty$ կամ $-\infty$) մասին է խոսքը։ Այս դեպքերից որևէ մեկում (1) բանաձևը ճիշտ է: Բանաձևում (2) $t$ փոփոխականը կարող է զրոյի թեքվել ինչպես ձախ, այնպես էլ աջ կողմում:

Նշում եմ, որ երկրորդ ուշագրավ սահմանից կան նաև մի քանի օգտակար հետևանքներ. Երկրորդ ուշագրավ սահմանի կիրառման օրինակները, ինչպես նաև դրա հետևանքները շատ տարածված են ստանդարտ ստանդարտ հաշվարկների և թեստերի կազմողների շրջանում:

Օրինակ թիվ 1

Հաշվեք $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$ սահմանաչափը:

Անմիջապես նշենք, որ աստիճանի հիմքը (այսինքն $\frac(3x+1)(3x-5)$) հակված է միասնության.

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\աջ| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

Այս դեպքում ցուցիչը ($4x+7$ արտահայտություն) ձգտում է դեպի անսահմանություն, այսինքն. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$:

Աստիճանի հիմքը հակված է միասնության, ցուցիչը՝ դեպի անսահմանություն, այսինքն. մենք գործ ունենք անորոշության հետ $1^\infty$. Եկեք կիրառենք այս անորոշությունը բացահայտելու բանաձևը. Բանաձևի հզորության հիմքում $1+\frac(1)(x)$ արտահայտությունն է, իսկ մեր դիտարկած օրինակում հզորության հիմքն է՝ $\frac(3x+1)(3x-։ 5) դոլար: Հետևաբար, առաջին գործողությունը կլինի $\frac(3x+1)(3x-5)$ արտահայտության պաշտոնական ճշգրտումը $1+\frac(1)(x)$ ձևին: Նախ, գումարեք և հանեք մեկը.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\աջ)^(4x+7) $$

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ դուք չեք կարող պարզապես միավոր ավելացնել: Եթե ​​մեզ ստիպում են ավելացնել մեկը, ապա պետք է նաև հանենք այն, որպեսզի չփոխենք ամբողջ արտահայտության արժեքը։ Լուծումը շարունակելու համար մենք հաշվի ենք առնում, որ

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1- 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5): $$

Քանի որ $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$, ապա.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ ձախ (1+\frac(6)(3x-5)\աջ)^(4x+7) $$

Շարունակենք ճշգրտումը։ Բանաձևի $1+\frac(1)(x)$ արտահայտության մեջ կոտորակի համարիչը 1 է, իսկ մեր $1+\frac(6)(3x-5)$ համարիչը $6$ է։ Համարիչում $1$ ստանալու համար թողեք $6$ հայտարարի մեջ՝ օգտագործելով հետևյալ փոխարկումը.

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

Այսպիսով,

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\աջ)^(4x+7) $$

Այսպիսով, աստիճանի հիմքը, այսինքն. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$, հարմարեցված բանաձևում պահանջվող $1+\frac(1)(x)$ ձևին: Հիմա եկեք սկսենք աշխատել ցուցիչի հետ: Նկատի ունեցեք, որ բանաձևում ցուցիչների և հայտարարի արտահայտությունները նույնն են.

Սա նշանակում է, որ մեր օրինակում ցուցանիշը և հայտարարը պետք է կրճատվեն մինչև նույն ձևը. Ցուցանիշում $\frac(3x-5)(6)$ արտահայտությունը ստանալու համար մենք ուղղակի չափանիշը բազմապատկում ենք այս կոտորակի վրա: Բնականաբար, նման բազմապատկումը փոխհատուցելու համար դուք ստիպված կլինեք անմիջապես բազմապատկել փոխադարձ կոտորակով, այսինքն. $\frac(6)(3x-5)$-ով: Այսպիսով, մենք ունենք.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\աջ)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5) )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\աջ)^(\ frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

Եկեք առանձին դիտարկենք $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ կոտորակի սահմանը, որը գտնվում է հզորության մեջ.

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\աջ| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\աջ))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ ֆրակ (4) (3) =8. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9)) $.

Օրինակ թիվ 4

Գտեք $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$ սահմանաչափը:

Քանի որ $x>0$-ի համար մենք ունենք $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$, ապա.

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ ձախ (\frac(x+1)(x)\աջ)\աջ) $$

$\frac(x+1)(x)$ կոտորակն ընդարձակելով $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ կոտորակների գումարի մեջ՝ ստանում ենք.

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\ձախ (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\right)^x\right) =\ln(e) =1. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$:

Օրինակ թիվ 5

Գտեք $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$ սահմանաչափը:

Քանի որ $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ և $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$, ապա գործ ունենք $1^\infty$ ձևի անորոշության հետ։ Մանրամասն բացատրությունները տրված են թիվ 2 օրինակում, բայց այստեղ մենք կսահմանափակվենք կարճ լուծում. Կատարելով $t=x-2$ փոխարինումը, մենք ստանում ենք.

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\ձախ|\սկիզբ (հավասարեցված)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(հավասարեցված)\աջ| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\աջ)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

Այս օրինակը կարող եք լուծել այլ կերպ՝ օգտագործելով փոխարինումը. $t=\frac(1)(x-2)$: Իհարկե, պատասխանը կլինի նույնը.

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\ձախ|\սկիզբ (հավասարեցված)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(հավասարեցված)\աջ| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\աջ)^(\frac(t)(3))\right)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$:

Օրինակ թիվ 6

Գտեք $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $ սահմանաչափը:

Եկեք պարզենք, թե ինչի է ձգտում $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ արտահայտությունը $x\to\infty$ պայմանով:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\աջ| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

Այսպիսով, տրված սահմանում մենք գործ ունենք $1^\infty$ ձևի անորոշության հետ, որը մենք կբացահայտենք՝ օգտագործելով երկրորդ ուշագրավ սահմանը.

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\աջ)^(3x)=\\ =\lim_(x\to \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\աջ)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\աջ)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\աջ)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

Պատասխանել$\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\աջ)^(3x)=1$:

Սահմանափակումները մաթեմատիկայի բոլոր ուսանողներին շատ դժվարություններ են պատճառում: Սահմանը լուծելու համար երբեմն պետք է շատ հնարքներ գործածել և լուծման տարբեր մեթոդներից ընտրել հենց այն, ինչը հարմար է կոնկրետ օրինակի համար:

Այս հոդվածում մենք չենք օգնի ձեզ հասկանալ ձեր հնարավորությունների սահմանները կամ հասկանալ վերահսկողության սահմանները, բայց մենք կփորձենք պատասխանել այն հարցին, թե ինչպես հասկանալ սահմանները: բարձրագույն մաթեմատիկա? Հասկանալը գալիս է փորձի հետ, ուստի միևնույն ժամանակ մենք կտանք մի քանիսը մանրամասն օրինակներսահմանների լուծումներ՝ բացատրություններով.

Սահմանի հայեցակարգը մաթեմատիկայի մեջ

Առաջին հարցը հետևյալն է՝ ո՞րն է այս սահմանը և ինչի՞ սահմանը։ Կարելի է խոսել թվային հաջորդականությունների և ֆունկցիաների սահմանների մասին։ Մեզ հետաքրքրում է ֆունկցիայի սահմանի հայեցակարգը, քանի որ սա այն է, ինչին առավել հաճախ հանդիպում են ուսանողները: Բայց առաջինը `առավելագույնը ընդհանուր սահմանումսահման:

Ենթադրենք, կա որոշակի փոփոխական արժեք: Եթե ​​փոփոխության գործընթացում այս արժեքը անսահմանափակ կերպով մոտենում է որոշակի թվի ա , Դա ա - այս արժեքի սահմանը.

Որոշակի միջակայքում սահմանված ֆունկցիայի համար f(x)=y այդպիսի թիվը կոչվում է սահման Ա , որին ֆունկցիան հակված է երբ X , ձգտելով որոշակի կետի Ա . Կետ Ա պատկանում է այն միջակայքին, որի վրա սահմանված է ֆունկցիան:

Ծանր է հնչում, բայց շատ պարզ է գրված.

Լիմ- անգլերենից սահման- սահման.

Գոյություն ունի նաև սահմանը որոշելու երկրաչափական բացատրություն, բայց այստեղ մենք չենք խորանա տեսության մեջ, քանի որ մեզ ավելի շատ հետաքրքրում է հարցի գործնական, այլ ոչ թե տեսական կողմը։ Երբ մենք ասում ենք, որ X հակված է ինչ-որ արժեքի, սա նշանակում է, որ փոփոխականը չի ընդունում թվի արժեքը, այլ մոտենում է անսահմանորեն մոտ:

Եկեք տանք կոնկրետ օրինակ. Խնդիրը սահմանը գտնելն է։

Այս օրինակը լուծելու համար մենք փոխարինում ենք արժեքը x=3 ֆունկցիայի մեջ։ Մենք ստանում ենք.

Ի դեպ, եթե ձեզ հետաքրքրում են հիմնական գործողություններ մատրիցների վրա, կարդացեք առանձին հոդվածայս թեմայի շուրջ.

Օրինակներում X կարող է ձգտել ցանկացած արժեքի: Դա կարող է լինել ցանկացած թիվ կամ անսահմանություն: Ահա մի օրինակ, երբ X ձգտում է դեպի անսահմանություն.

Ինտուիտիվորեն, որքան մեծ է թիվը հայտարարի մեջ, այնքան փոքր կլինի ֆունկցիան: Այսպիսով, անսահմանափակ աճով X իմաստը 1/x կնվազի և կմոտենա զրոյին։

Ինչպես տեսնում եք, սահմանը լուծելու համար պարզապես անհրաժեշտ է ֆունկցիայի մեջ փոխարինել այն արժեքը, որին ձգտում եք X . Այնուամենայնիվ, սա ամենապարզ դեպքն է։ Հաճախ սահմանը գտնելն այնքան էլ ակնհայտ չէ։ Սահմաններում կան տիպի անորոշություններ 0/0 կամ անսահմանություն/անսահմանություն . Ի՞նչ անել նման դեպքերում: Դիմեք հնարքներին.

Անորոշություններ ներսում

Անվերջություն/անսահմանություն ձևի անորոշություն

Թող լինի սահման.

Եթե ​​փորձենք անվերջությունը փոխարինել ֆունկցիայի մեջ, ապա կստանանք անվերջություն և՛ համարիչում, և՛ հայտարարում։ Ընդհանրապես, արժե ասել, որ նման անորոշությունները լուծելու մեջ կա արվեստի որոշակի տարր՝ պետք է նկատել, թե ինչպես կարող ես ֆունկցիան այնպես վերափոխել, որ անորոշությունը վերանա։ Մեր դեպքում համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք X ավագ աստիճանում։ Ի՞նչ է լինելու։

Վերևում արդեն քննարկված օրինակից մենք գիտենք, որ հայտարարում x պարունակող տերմինները հակված են զրոյի: Այնուհետև սահմանի լուծումը հետևյալն է.

Տիպի անորոշությունները լուծելու համար անսահմանություն/անսահմանությունհամարիչն ու հայտարարը բաժանիր Xամենաբարձր աստիճանի։

Իմիջայլոց! Մեր ընթերցողների համար այժմ գործում է 10% զեղչ ցանկացած տեսակի աշխատանք

Անորոշության մեկ այլ տեսակ՝ 0/0

Ինչպես միշտ, արժեքները փոխարինելով ֆունկցիայի մեջ x=-1 տալիս է 0 համարիչի և հայտարարի մեջ։ Մի փոքր ավելի ուշադիր նայեք և դա կնկատեք մեր համարիչում քառակուսի հավասարում. Գտնենք արմատները և գրենք.

Նվազեցնենք և ստանանք.

Այսպիսով, եթե դուք բախվում եք տիպային անորոշության հետ 0/0 - գործակցի համարիչը և հայտարարը:

Օրինակներ լուծելը ձեզ համար հեշտացնելու համար մենք ներկայացնում ենք աղյուսակ՝ որոշ գործառույթների սահմաններով.

L'Hopital-ի կանոնը ներսում

Երկու տեսակի անորոշությունը վերացնելու ևս մեկ հզոր միջոց: Ո՞րն է մեթոդի էությունը:

Եթե ​​սահմանում անորոշություն կա, վերցրեք համարիչի և հայտարարի ածանցյալը, մինչև անորոշությունը վերանա:

L'Hopital-ի կանոնն ունի հետևյալ տեսքը.

Կարևոր կետ Սահմանը, որում պետք է գոյություն ունենա համարիչի և հայտարարի ածանցյալները համարիչի և հայտարարի փոխարեն:

Եվ հիմա - իրական օրինակ.

Տիպիկ անորոշություն կա 0/0 . Վերցնենք համարիչի և հայտարարի ածանցյալները.

Voila, անորոշությունը լուծվում է արագ և նրբագեղ:

Հուսով ենք, որ դուք կկարողանաք օգտակար կիրառել այս տեղեկատվությունը գործնականում և գտնել «ինչպես լուծել սահմանները բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ» հարցի պատասխանը: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել հաջորդականության սահմանը կամ ֆունկցիայի սահմանը մի կետում, և բացարձակապես ժամանակ չկա այս աշխատանքի համար, դիմեք պրոֆեսիոնալ ուսանողական ծառայությանը՝ արագ և մանրամասն լուծման համար: