Ֆունկցիայի սահմանը հավասար է անսահմանության սահմանմանը: Գործառույթների սահմանաչափ

(x) x կետում 0 :
,
Եթե
1) կա x կետի նման ծակված հարևանություն 0
2) ցանկացած հաջորդականության համար (xn), համընկնում է x-ին 0 :
, որի տարրերը պատկանում են հարևանությանը,
հաջորդականություն (f(xn))համընկնում է մի.
.

Այստեղ x 0 իսկ a-ն կարող է լինել կամ վերջավոր թվեր կամ կետեր անսահմանության վրա: Հարեւանությունը կարող է լինել ինչպես երկկողմանի, այնպես էլ միակողմանի:

.

Ֆունկցիայի սահմանի երկրորդ սահմանումը (ըստ Քոշիի)

a թիվը կոչվում է f ֆունկցիայի սահման (x) x կետում 0 :
,
Եթե
1) կա x կետի նման ծակված հարևանություն 0 , որի վրա սահմանված է ֆունկցիան;
2) ցանկացած դրական թվի համար > 0 կա այդպիսի դ ε > 0 , կախված ε-ից, որ բոլոր x-ի համար, որոնք պատկանում են ծակված δ ε - x կետի հարևանությամբ 0 :
,
ֆունկցիայի արժեքները f (x)պատկանում են ա կետի ε-հարևանությանը.
.

Միավոր x 0 իսկ a-ն կարող է լինել կամ վերջավոր թվեր կամ կետեր անսահմանության վրա: Հարևանությունը կարող է լինել նաև երկկողմանի կամ միակողմանի:

Եկեք գրենք այս սահմանումը` օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները.
.

Այս սահմանումը օգտագործում է հավասար հեռավոր ծայրերով թաղամասեր: Համարժեք սահմանում կարելի է տալ՝ օգտագործելով կետերի կամայական հարևանությունները:

Սահմանում կամայական թաղամասերի օգտագործմամբ
a թիվը կոչվում է f ֆունկցիայի սահման (x) x կետում 0 :
,
Եթե
1) կա x կետի նման ծակված հարևանություն 0 , որի վրա սահմանված է ֆունկցիան;
2) ցանկացած U թաղամասի համար (ա) a կետում կա x կետի նման ծակված հարևանություն 0 որ բոլոր x-ի համար, որոնք պատկանում են x կետի ծակված հարևանությանը 0 :
,
ֆունկցիայի արժեքները f (x)պատկանում են U թաղամասին (ա)կետեր ա:
.

Օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները, այս սահմանումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
.

Միակողմանի և երկկողմանի սահմաններ

Վերոնշյալ սահմանումները համընդհանուր են այն առումով, որ դրանք կարող են օգտագործվել ցանկացած տեսակի թաղամասի համար: Եթե ​​մենք օգտագործենք որպես վերջնակետի ձախակողմյան ծակված հարևանություն, մենք ստանում ենք ձախակողմյան սահմանի սահմանում: Եթե ​​որպես հարևանություն օգտագործենք անվերջության կետի հարևանությունը, ապա կստանանք անսահմանության սահմանի սահմանումը:

Հայնեի սահմանը որոշելու համար սա հանգում է նրան, որ լրացուցիչ սահմանափակում է դրվում կամայական հաջորդականության վրա, որը համընկնում է դեպի . նրա տարրերը պետք է պատկանեն կետի համապատասխան ծակված հարևանությանը:

Կոշիի սահմանը որոշելու համար յուրաքանչյուր դեպքում անհրաժեշտ է արտահայտությունները վերածել անհավասարությունների՝ օգտագործելով կետի հարևանության համապատասխան սահմանումները։
Տե՛ս «Կետի հարևանություն»:

Այդ a կետի որոշումը ֆունկցիայի սահմանը չէ

Հաճախ անհրաժեշտ է դառնում օգտագործել այն պայմանը, որ a կետը ֆունկցիայի սահմանը չէ: Եկեք կառուցենք վերը նշված սահմանումների ժխտումները: Դրանցում ենթադրում ենք, որ ֆ ֆունկցիան (x)սահմանվում է x կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ 0 . a և x կետերը 0 կարող են լինել կամ վերջավոր թվեր կամ անսահման հեռավոր: Ստորև նշված ամեն ինչ վերաբերում է ինչպես երկկողմ, այնպես էլ միակողմանի սահմաններին:

Ըստ Հայնեի.
Համար ա չէ f ֆունկցիայի սահմանը (x) x կետում 0 : ,
եթե այդպիսի հաջորդականություն կա (xn), համընկնում է x-ին 0 :
,
որի տարրերը պատկանում են հարևանությանը,
որն է հաջորդականությունը (f(xn))չի համընկնում մի.
.
.

Ըստ Քոշիի.
Համար ա չէ f ֆունկցիայի սահմանը (x) x կետում 0 :
,
եթե կա այդպիսի դրական ε > 0 , ուրեմն ցանկացած դրական թվի համար δ > 0 , գոյություն ունի x, որը պատկանում է x կետի ծակված δ-հարեւանությանը 0 :
,
որ f ֆունկցիայի արժեքը (x)ա կետի ε հարևանությանը չի պատկանում.
.
.

Իհարկե, եթե a կետը ֆունկցիայի սահմանը չէ , դա չի նշանակում, որ այն սահման չի կարող ունենալ։ Կարող է սահման լինել, բայց դա հավասար չէ a-ին. Հնարավոր է նաև, որ ֆունկցիան սահմանված է կետի ծակված հարևանությամբ, բայց չունի սահման:

Գործառույթ f(x) = մեղք (1/x)չունի սահման x → 0:

Օրինակ, ֆունկցիան սահմանված է , բայց սահմանափակում չկա: Դա ապացուցելու համար վերցնենք հաջորդականությունը. Այն համընկնում է մի կետի 0 : Որովհետև, ուրեմն.
Վերցնենք հաջորդականությունը. Այն նաև համընկնում է կետին 0 : Բայց այդ ժամանակից ի վեր.
Այդ դեպքում սահմանը չի կարող հավասար լինել որևէ թվի a. Իսկապես, համար, կա մի հաջորդականություն, որով . Հետևաբար, ցանկացած ոչ զրոյական թիվ սահման չէ: Բայց դա նաև սահման չէ, քանի որ կա մի հաջորդականություն, որով .

Սահմանի Հայնեի և Կոշիի սահմանումների համարժեքությունը

Թեորեմ
Ֆունկցիայի սահմանի Հայնեի և Կոշիի սահմանումները համարժեք են։

Ապացույց

Ապացույցում մենք ենթադրում ենք, որ ֆունկցիան սահմանվում է կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ (վերջավոր կամ անվերջության վրա): a կետը կարող է լինել նաև վերջավոր կամ անվերջության վրա:

Հայնեի ապացույցը ⇒ Քոշիի

Թող ֆունկցիան ունենա a սահման՝ ըստ առաջին սահմանման (ըստ Հայնեի): Այսինքն՝ կետի հարևանությանը պատկանող և սահման ունեցող ցանկացած հաջորդականության համար
(1) ,
հաջորդականության սահմանը հետևյալն է.
(2) .

Եկեք ցույց տանք, որ ֆունկցիան մի կետում ունի Կոշիի սահման: Այսինքն՝ բոլորի համար կա մի բան, որը բոլորի համար է։

Ենթադրենք հակառակը. Թող (1) և (2) պայմանները բավարարվեն, բայց ֆունկցիան չունի Կոշիի սահման: Այսինքն՝ կա մի բան, որը գոյություն ունի ցանկացածի համար, ուրեմն
.

Վերցնենք, որտեղ n-ը բնական թիվ է: Հետո կա, և
.
Այսպիսով, մենք կառուցել ենք հաջորդականություն, որը համընկնում է դեպի , բայց հաջորդականության սահմանը հավասար չէ a-ին: Սա հակասում է թեորեմի պայմաններին։

Առաջին մասը ապացուցված է.

Քոշիի ապացույցը ⇒ Հայնեի

Թող ֆունկցիան ունենա a սահման՝ ըստ երկրորդ սահմանման (ըստ Քոշիի): Այսինքն՝ ցանկացածի համար դա կա
(3) բոլորի համար .

Եկեք ցույց տանք, որ ֆունկցիան ունի a սահման՝ ըստ Հայնեի:
Վերցնենք կամայական թիվ. Համաձայն Քոշիի սահմանման՝ թիվը գոյություն ունի, ուստի (3)-ն է։

Եկեք վերցնենք կամայական հաջորդականություն, որը պատկանում է ծակված թաղամասին և համընկնում է . Կոնվերգենտ հաջորդականության սահմանմամբ ցանկացածի համար գոյություն ունի այդպիսին
ժամը .
Այնուհետեւ (3)-ից հետեւում է, որ
ժամը .
Քանի որ սա վերաբերում է ցանկացածին, ուրեմն
.

Թեորեմն ապացուցված է.

Հղումներ:
Լ.Դ. Կուդրյավցև. Մաթեմատիկական վերլուծության դասընթաց. Հատոր 1. Մոսկվա, 2003 թ.

Սահմանում 1. Թող Ե- անսահման թիվ. Եթե ​​որևէ հարևանություն պարունակում է բազմության կետեր Ե, տարբերվում է կետից Ա, Դա Ականչեց վերջնական հավաքածուի կետը Ե.

Սահմանում 2. (Հենրիխ Հայնե (1821-1881)): Թողեք գործառույթը
սահմանված է նկարահանման հրապարակում XԵվ Ականչեց սահման գործառույթները
կետում (կամ երբ
, եթե արգումենտների արժեքների որևէ հաջորդականության համար
, համընկնում է , ֆունկցիայի արժեքների համապատասխան հաջորդականությունը համընկնում է թվին Ա. Նրանք գրում են:
.

Օրինակներ. 1) գործառույթ
ունի հավասար սահման Հետ, թվային գծի ցանկացած կետում:

Իրոք, ցանկացած կետի համար և արգումենտների արժեքների ցանկացած հաջորդականություն
, համընկնում է և բաղկացած այլ թվերից, քան , ֆունկցիայի արժեքների համապատասխան հաջորդականությունն ունի ձևը
, և մենք գիտենք, որ այս հաջորդականությունը համընկնում է Հետ. Ահա թե ինչու
.

2) ֆունկցիայի համար

.

Սա ակնհայտ է, քանի որ եթե
, ապա
.

3) Դիրիխլեի ֆունկցիա
ոչ մի կետում սահման չունի:

Իսկապես, թող
Եվ
, եւ բոլորը - ռացիոնալ թվեր. Հետո
բոլորի համար n, Ահա թե ինչու
. Եթե
և վերջ իռացիոնալ թվեր են, ուրեմն
բոլորի համար n, Ահա թե ինչու
. Մենք տեսնում ենք, որ 2-րդ սահմանման պայմանները բավարարված չեն, հետևաբար
գոյություն չունի.

4)
.

Իսկապես, եկեք կամայական հաջորդականություն վերցնենք
, համընկնում է

թիվ 2. Հետո . Ք.Ե.Դ.

Սահմանում 3. (Կոշի (1789-1857)): Թողեք գործառույթը
սահմանված է նկարահանման հրապարակում XԵվ այս հավաքածուի սահմանային կետն է: Թիվ Ականչեց սահման գործառույթները
կետում (կամ երբ
, եթե որևէ մեկի համար
կլինի
, այնպես, որ փաստարկի բոլոր արժեքների համար X, բավարարելով անհավասարությունը

,

անհավասարությունը ճիշտ է

.

Նրանք գրում են:
.

Կոշիի սահմանումը կարող է տրվել նաև թաղամասերի միջոցով, եթե նկատենք, որ a.

թող գործի
սահմանված է նկարահանման հրապարակում XԵվ այս հավաքածուի սահմանային կետն է: Թիվ Ակոչվում է սահմանաչափ գործառույթները
կետում , եթե որևէ մեկի համար - կետի հարևանություն Ա
կա պիրսինգ - կետի հարևանություն
,այնպիսին է, որ
.

Օգտակար է այս սահմանումը նկարազարդել գծանկարով:

Օրինակ 5.
.

Իսկապես, եկեք վերցնենք
պատահականորեն և գտնել
, այնպիսին, որ բոլորի համար X, բավարարելով անհավասարությունը
անհավասարությունը պահպանվում է
. Վերջին անհավասարությունը համարժեք է անհավասարությանը
, ուրեմն տեսնում ենք, որ բավական է վերցնել
. Հայտարարությունն ապացուցված է.

Արդար

Թեորեմ 1. Ֆունկցիայի սահմանի սահմանումները ըստ Հայնեի և ըստ Քոշիի համարժեք են։

Ապացույց. 1) Թող
ըստ Քոշիի. Փաստենք, որ նույն թիվը նույնպես սահման է ըստ Հայնեի։

Վերցնենք
կամայականորեն։ Ըստ սահմանման 3-ի՝ կա
, այնպիսին, որ բոլորի համար
անհավասարությունը պահպանվում է
. Թող
– կամայական հաջորդականություն այնպիսին, որ
ժամը
. Հետո կա մի թիվ Նայնպիսին, որ բոլորի համար
անհավասարությունը պահպանվում է
, Ահա թե ինչու
բոլորի համար
, այսինքն.

ըստ Հայնեի.

2) Թող հիմա
ըստ Հայնեի. Ապացուցենք դա
և ըստ Քոշիի.

Ենթադրենք հակառակը, այսինքն. Ինչ
ըստ Քոշիի. Հետո կա
այնպիսին, որ որևէ մեկի համար
կլինի
,
Եվ
. Դիտարկենք հաջորդականությունը
. Նշվածի համար
և ցանկացած nգոյություն ունի

Եվ
. Դա նշանակում է որ
, Չնայած նրան
, այսինքն. թիվ Ասահմանը չէ
կետում ըստ Հայնեի. Մենք հակասություն ենք ձեռք բերել, որն ապացուցում է հայտարարությունը։ Թեորեմն ապացուցված է.

Թեորեմ 2 (սահմանի եզակիության մասին): Եթե ​​մի կետում կա ֆունկցիայի սահման , ուրեմն նա միակն է։

Ապացույց. Եթե ​​սահմանը սահմանվում է ըստ Հայնեի, ապա դրա եզակիությունը բխում է հաջորդականության սահմանի եզակիությունից։ Եթե ​​սահմանը սահմանվում է ըստ Քոշիի, ապա դրա եզակիությունը բխում է սահմանի սահմանումների համարժեքությունից՝ ըստ Քոշիի և ըստ Հայնեի։ Թեորեմն ապացուցված է.

Հերթականությունների համար Քոշիի չափանիշի նման, գործում է ֆունկցիայի սահմանի գոյության Քոշի չափանիշը: Մինչև այն ձևակերպելը, եկեք տանք

Սահմանում 4. Ասում են, որ ֆունկցիան
կետում բավարարում է Քոշիի պայմանը , եթե որևէ մեկի համար
գոյություն ունի

, այնպիսին է, որ
Եվ
, անհավասարությունը պահպանվում է
.

Թեորեմ 3 (Կոշիի չափանիշը սահմանի առկայության համար): Գործառույթի համար
ուներ կետում վերջավոր սահման, անհրաժեշտ և բավարար է, որ այս պահին ֆունկցիան բավարարի Կոշիի պայմանը։

Ապացույց.Անհրաժեշտություն. Թող
. Մենք պետք է դա ապացուցենք
կետում բավարարում է Կոշի վիճակ.

Վերցնենք
կամայականորեն եւ դրեց
. համար սահմանաչափի սահմանմամբ գոյություն ունի
, այնպիսին, որ ցանկացած արժեքի համար
, բավարարելով անհավասարությունները
Եվ
, անհավասարությունները բավարարված են
Եվ
. Հետո

Անհրաժեշտությունն ապացուցված է.

Համարժեքություն. Թողեք գործառույթը
կետում բավարարում է Կոշի վիճակ. Մենք պետք է ապացուցենք, որ այն ունի կետում վերջնական սահմանը.

Վերցնենք
կամայականորեն։ Ըստ սահմանման կա 4
, այնպիսին, որ անհավասարություններից
,
հետևում է դրան
- սա տրված է:

Եկեք նախ ցույց տանք դա ցանկացած հաջորդականության համար
, համընկնում է , հաջորդականություն
ֆունկցիայի արժեքները համընկնում են: Իսկապես, եթե
, ապա, հաջորդականության սահմանի սահմանման ուժով, տրվածի համար
մի թիվ կա Ն, այնպիսին, որ ցանկացածի համար

Եվ
. Քանի որ
կետում բավարարում է Քոշիի պայմանը, ունենք
. Այնուհետև, հաջորդականությունների համար Կոշի չափանիշով, հաջորդականությունը
համընկնում է. Եկեք ցույց տանք, որ բոլոր նման հաջորդականությունները
համընկնել նույն սահմանին: Ենթադրենք հակառակը, այսինքն. ինչ են հաջորդականությունները
Եվ
,
,
, այնպիսին է, որ. Դիտարկենք հաջորդականությունը. Պարզ է, որ այն համընկնում է հետևաբար, վերևում ապացուցվածով, հաջորդականությունը զուգակցվում է, ինչը անհնար է, քանի որ հաջորդականությունները.
Եվ
ունեն տարբեր սահմաններ Եվ . Ստացված հակասությունը ցույց է տալիս, որ =. Հետևաբար, Հայնեի սահմանմամբ, ֆունկցիան ունի կետում վերջնական սահմանը. Բավարարությունն ու հետևաբար թեորեմն ապացուցված է։

Գործառույթ y = f (x)օրենք է (կանոն), ըստ որի X բազմության յուրաքանչյուր x տարր կապված է Y բազմության մեկ և միայն մեկ տարրի y-ի հետ։

X տարր ∈ Xկանչեց ֆունկցիայի փաստարկկամ անկախ փոփոխական.
Տարր y ∈ Յկանչեց ֆունկցիայի արժեքըկամ կախյալ փոփոխական.

X բազմությունը կոչվում է ֆունկցիայի տիրույթը.
Տարրերի բազմություն y ∈ Յ, որոնք X բազմության մեջ ունեն նախապատկերներ, կոչվում է տարածքը կամ ֆունկցիայի արժեքների հավաքածուն.

Փաստացի ֆունկցիան կոչվում է վերևից սահմանափակված (ներքևից), եթե կա M այնպիսի թիվ, որ անհավասարությունը պահպանվի բոլորի համար.
.
Թվային ֆունկցիան կոչվում է սահմանափակ, եթե կա M այնպիսի թիվ, որ բոլորի համար՝
.

Վերին եզրկամ ճշգրիտ վերին սահմանըԻրական ֆունկցիան կոչվում է ամենափոքր թիվը, որը սահմանափակում է նրա արժեքների շրջանակը վերևից: Այսինքն՝ սա s թիվ է, որի համար բոլորի և ցանկացածի համար կա արգումենտ, որի ֆունկցիայի արժեքը գերազանցում է s′-ը:
Ֆունկցիայի վերին սահմանը կարող է նշանակվել հետևյալ կերպ.
.

Համապատասխանաբար ստորին եզրկամ ստույգ ստորին սահմանըԻրական ֆունկցիան կոչվում է ամենամեծ թիվը, որը սահմանափակում է դրա արժեքների միջակայքը ներքևից: Այսինքն՝ սա i թիվ է, որի համար բոլորի և ցանկացածի համար կա արգումենտ, որի ֆունկցիայի արժեքը փոքր է i′-ից:
Ֆունկցիայի infimum-ը կարող է նշանակվել հետևյալ կերպ.
.

Ֆունկցիայի սահմանի որոշում

Ֆունկցիայի սահմանի որոշումը ըստ Քոշիի

Վերջնական կետերում ֆունկցիայի վերջավոր սահմանները

Թող ֆունկցիան սահմանվի վերջնակետի ինչ-որ հարևանությամբ, հնարավոր բացառությամբ հենց կետի: մի կետում, եթե որևէ մեկի համար կա այդպիսի բան, կախված նրանից, որ բոլոր x-ի համար, որոնց համար անհավասարությունը պահպանվում է
.
Ֆունկցիայի սահմանը նշվում է հետևյալ կերպ.
.
Կամ ժամը.

Օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները՝ ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
.

Միակողմանի սահմաններ.
Ձախ սահմանը մի կետում (ձախ կողմի սահման).
.
Աջ սահմանը մի կետում (աջակողմյան սահման).
.
Ձախ և աջ սահմանները հաճախ նշվում են հետևյալ կերպ.
; .

Անսահմանության կետերում ֆունկցիայի վերջավոր սահմանները

Անսահմանության կետերի սահմանները որոշվում են նույն կերպ:
.
.
.
Դրանք հաճախ կոչվում են.
; ; .

Օգտագործելով կետի հարևանություն հասկացությունը

Եթե ​​ներդնենք կետի ծակված հարևանության հասկացությունը, ապա կարող ենք վերջավոր և անսահման հեռավոր կետերում ֆունկցիայի վերջավոր սահմանի միասնական սահմանում տալ.
.
Այստեղ վերջնակետերի համար
; ;
.
Անսահմանության կետերի ցանկացած հարևանություն ծակվում է.
; ; .

Անսահման ֆունկցիայի սահմաններ

Սահմանում
Թող ֆունկցիան սահմանվի կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ (վերջավոր կամ անվերջության վրա): Ֆ ֆունկցիայի սահմանը f (x)ինչպես x → x 0 հավասար է անսահմանության, եթե որևէ կամայական մեծ թվի համար Մ > 0 , կա δ Մ թիվ > 0 , կախված M-ից, որ բոլոր x-ի համար, որոնք պատկանում են ծակված δ M - կետի հարևանությանը. , գործում է հետևյալ անհավասարությունը.
.
Անսահման սահմանը նշվում է հետևյալ կերպ.
.
Կամ ժամը.

Օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները՝ ֆունկցիայի անսահման սահմանի սահմանումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
.

Կարող եք նաև ներկայացնել որոշակի նշանների անսահման սահմանների սահմանումներ, որոնք հավասար են և.
.
.

Ֆունկցիայի սահմանի համընդհանուր սահմանում

Օգտագործելով կետի հարևանություն հասկացությունը՝ մենք կարող ենք տալ ֆունկցիայի վերջավոր և անվերջ սահմանի համընդհանուր սահմանում, որը կիրառելի է ինչպես վերջավոր (երկկողմանի և միակողմանի), այնպես էլ անսահման հեռավոր կետերի համար.
.

Ֆունկցիայի սահմանի որոշումը ըստ Հայնեի

Թող ֆունկցիան սահմանվի X:
a թիվը կոչվում է ֆունկցիայի սահմանկետում:
,
եթե x-ին համընկնող որևէ հաջորդականության համար 0 :
,
որի տարրերը պատկանում են X բազմությանը.
.

Եկեք գրենք այս սահմանումը` օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները.
.

Եթե ​​x կետի ձախակողմյան հարեւանությունը վերցնենք որպես X բազմություն 0 , ապա մենք ստանում ենք ձախ սահմանի սահմանումը: Եթե ​​աջակողմյան է, ապա ստանում ենք ճիշտ սահմանի սահմանումը։ Եթե ​​անսահմանության կետի հարևանությունը վերցնենք որպես X բազմություն, ապա կստանանք ֆունկցիայի սահմանի սահմանումը անվերջության մեջ:

Թեորեմ
Ֆունկցիայի սահմանի Կոշիի և Հայնեի սահմանումները համարժեք են։
Ապացույց

Ֆունկցիայի սահմանի հատկությունները և թեորեմները

Այնուհետև, մենք ենթադրում ենք, որ դիտարկվող գործառույթները սահմանված են կետի համապատասխան հարևանությամբ, որը վերջավոր թիվ է կամ նշաններից մեկը. Այն կարող է լինել նաև միակողմանի սահմանային կետ, այսինքն՝ ունենալ ձև կամ . Հարեւանությունը երկկողմանի սահմանի համար երկկողմանի է, իսկ միակողմանի սահմանի համար՝ միակողմանի։

Հիմնական հատկություններ

Եթե ​​ֆունկցիայի արժեքները f (x)փոխել (կամ դարձնել անորոշ) x կետերի վերջավոր թիվը 1, x 2, x 3, ... x n, ապա այս փոփոխությունը չի ազդի կամայական x կետում ֆունկցիայի սահմանի գոյության և արժեքի վրա 0 .

Եթե ​​կա վերջավոր սահման, ապա կա x կետի ծակված հարևանություն 0 , որի վրա ֆունկցիան f (x)սահմանափակ՝
.

Թող ֆունկցիան ունենա x կետում 0 վերջավոր ոչ զրոյական սահման.
.
Այնուհետև, c միջակայքից ցանկացած c թվի համար կա x կետի նման ծակված հարևանություն 0 , ինչի համար ,
, Եթե ;
, Եթե .

Եթե ​​կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ ,-ը հաստատուն է, ապա .

Եթե ​​կան վերջավոր սահմաններ և և x կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ 0
,
որ .

Եթե ​​, և կետի ինչ-որ հարևանությամբ
,
որ .
Մասնավորապես, եթե ինչ-որ կետի հարեւանությամբ
,
ապա եթե , ապա եւ ;
եթե , ապա եւ .

Եթե ​​x կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ 0 :
,
և կան վերջավոր (կամ որոշակի նշանի անսահման) հավասար սահմաններ.
, Դա
.

Հիմնական հատկությունների ապացույցները տրված են էջում
«Ֆունկցիայի սահմանների հիմնական հատկությունները».

Ֆունկցիայի սահմանի թվաբանական հատկությունները

Թող գործառույթները և սահմանվեն կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ: Եվ թող լինեն սահմանափակ սահմաններ.
Եվ .
Եվ թող C լինի հաստատուն, այսինքն՝ տրված թիվ։ Հետո
;
;
;
, Եթե .

Եթե, ապա.

Էջում տրված են թվաբանական հատկությունների ապացույցներ
«Ֆունկցիայի սահմանների թվաբանական հատկությունները».

Կոշիի չափանիշը ֆունկցիայի սահմանի առկայության համար

Թեորեմ
Որպեսզի սահմանվի x վերջավոր կամ անվերջության կետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա սահմանված ֆունկցիա 0 , այս կետում ուներ վերջավոր սահման, անհրաժեշտ է և բավարար, որ ցանկացած ε > 0 x կետի նման ծակված հարևանություն կար 0 , որ ցանկացած կետի և այս հարևանության համար գործում է հետևյալ անհավասարությունը.
.

Բարդ ֆունկցիայի սահմանը

Թեորեմ բարդ ֆունկցիայի սահմանի մասին
Թող ֆունկցիան ունենա սահման, և կետի ծակված հարևանությունը գծագրվի կետի ծակված հարևանության վրա: Թող գործառույթը սահմանվի այս հարևանությամբ և սահման ունենա դրա վրա:
Ահա վերջնական կամ անսահման հեռավոր կետերը. Հարևանները և դրանց համապատասխան սահմանները կարող են լինել ինչպես երկկողմանի, այնպես էլ միակողմանի:
Այնուհետև կա բարդ ֆունկցիայի սահման, և այն հավասար է.
.

Կոմպլեքս ֆունկցիայի սահմանային թեորեմը կիրառվում է, երբ ֆունկցիան որոշված ​​չէ մի կետում կամ ունի սահմանից տարբերվող արժեք։ Այս թեորեմը կիրառելու համար պետք է լինի այն կետի ծակված հարևանությունը, որտեղ ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը չի պարունակում կետը.
.

Եթե ​​ֆունկցիան անընդմեջ է կետում, ապա սահմանային նշանը կարող է կիրառվել շարունակական ֆունկցիայի փաստարկի վրա.
.
Հետևյալը այս դեպքին համապատասխան թեորեմ է.

Ֆունկցիայի շարունակական ֆունկցիայի սահմանի թեորեմ
Թող լինի g ֆունկցիայի սահմանը (t)ինչպես t → t 0 , և այն հավասար է x-ի 0 :
.
Ահա t կետը 0 կարող է լինել վերջավոր կամ անսահման հեռավոր.
Եվ թող ֆունկցիան f (x) x կետում շարունակական է 0 .
Այնուհետև կա f կոմպլեքս ֆունկցիայի սահման (g(t)), և այն հավասար է f (x0):
.

Թեորեմների ապացույցները տրված են էջում
«Բարդ ֆունկցիայի սահմանը և շարունակականությունը».

Անսահման փոքր և անսահման մեծ ֆունկցիաներ

Անսահման փոքր ֆունկցիաներ

Սահմանում
Ֆունկցիան կոչվում է անվերջ փոքր, եթե
.

Գումար, տարբերություն և արտադրանքվերջավոր թվով անվերջ փոքր ֆունկցիաների ժամը անվերջ փոքր ֆունկցիա է .

Սահմանափակված ֆունկցիայի արտադրյալկետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա անվերջ փոքր-ի համար ժամը անվերջ փոքր ֆունկցիան է:

Որպեսզի ֆունկցիան ունենա վերջավոր սահման, անհրաժեշտ և բավարար է, որ
,
որտեղ է անվերջ փոքր ֆունկցիան:

«Անվերջ փոքր ֆունկցիաների հատկությունները».

Անսահման մեծ գործառույթներ

Սահմանում
Ֆունկցիան համարվում է անսահման մեծ, եթե
.

Սահմանափակված ֆունկցիայի գումարը կամ տարբերությունը կետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա և անսահման մեծ ֆունկցիայի գումարը կամ տարբերությունը ժամը անսահման մեծ ֆունկցիա է:

Եթե ​​ֆունկցիան անսահման մեծ է , և ֆունկցիան սահմանափակված է կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ, ապա
.

Եթե ​​ֆունկցիան, կետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա, բավարարում է անհավասարությունը.
,
և ֆունկցիան անվերջ փոքր է՝
, և (կետի ինչ-որ ծակված հարևանությամբ), ապա
.

Հատկությունների ապացույցները ներկայացված են բաժնում
«Անսահման մեծ ֆունկցիաների հատկությունները».

Անսահման մեծ և անվերջ փոքր ֆունկցիաների կապը

Նախորդ երկու հատկություններից հետևում է անսահման մեծ և անվերջ փոքր ֆունկցիաների կապը։

Եթե ​​ֆունկցիան անսահման մեծ է ժամը , ապա ֆունկցիան անվերջ փոքր է ժամը .

Եթե ​​ֆունկցիան անվերջ փոքր է , and-ի համար, ապա ֆունկցիան անսահման մեծ է համարի համար:

Անվերջ փոքրի և անսահման մեծ ֆունկցիայի միջև կապը կարող է արտահայտվել խորհրդանշականորեն.
, .

Եթե ​​անվերջ փոքր ֆունկցիան ունի որոշակի նշան , այսինքն՝ այն դրական է (կամ բացասական) կետի ինչ-որ ծակված հարևանության վրա, ապա այս փաստը կարող է արտահայտվել հետևյալ կերպ.
.
Նույն կերպ, եթե անսահման մեծ ֆունկցիան ունի որոշակի նշան , ապա գրում են.
.

Այնուհետև անսահման փոքր և անսահման մեծ ֆունկցիաների միջև խորհրդանշական կապը կարող է համալրվել հետևյալ հարաբերություններով.
, ,
, .

Անսահմանության նշաններին վերաբերող լրացուցիչ բանաձևեր կարելի է գտնել էջում
«Կետերը անսահմանության վրա և դրանց հատկությունները»:

Միապաղաղ ֆունկցիաների սահմանները

Սահմանում
Կանչվում է X իրական թվերի որոշ բազմության վրա սահմանված ֆունկցիա խիստ աճող, եթե բոլորի համար գործում է հետևյալ անհավասարությունը.
.
Համապատասխանաբար, համար խիստ նվազումգործում է հետևյալ անհավասարությունը.
.
Համար չնվազող:
.
Համար չաճող:
.

Դրանից բխում է, որ խիստ աճող ֆունկցիան նույնպես չի նվազում։ Խիստ նվազող ֆունկցիան նույնպես չաճող է։

Ֆունկցիան կոչվում է միապաղաղ, եթե այն չի նվազում կամ չի աճում։

Թեորեմ
Թող ֆունկցիան չնվազի այն միջակայքում, որտեղ .
Եթե ​​այն վերևում սահմանափակված է M թվով, ապա կա վերջավոր սահման: Եթե ​​վերևից չի սահմանափակվում, ապա .
Եթե ​​ներքևից այն սահմանափակվում է m թվով, ապա կա վերջավոր սահման: Եթե ​​չի սահմանափակվում ներքևից, ապա .

Եթե ​​a և b կետերը գտնվում են անվերջության վրա, ապա արտահայտություններում սահմանային նշանները նշանակում են, որ .
Այս թեորեմը կարելի է ավելի կոմպակտ ձևակերպել։

Թող ֆունկցիան չնվազի այն միջակայքում, որտեղ . Այնուհետև a և b կետերում կան միակողմանի սահմաններ.
;
.

Նմանատիպ թեորեմ չաճող ֆունկցիայի համար։

Թող ֆունկցիան չմեծանա այն միջակայքում, որտեղ . Այնուհետև կան միակողմանի սահմաններ.
;
.

Թեորեմի ապացույցը ներկայացված է էջում
«Միոտոն ֆունկցիաների սահմանները».

Հղումներ:
Լ.Դ. Կուդրյավցև. Մաթեմատիկական վերլուծության դասընթաց. Հատոր 1. Մոսկվա, 2003 թ.
ՍՄ. Նիկոլսկին. Մաթեմատիկական վերլուծության դասընթաց. Հատոր 1. Մոսկվա, 1983 թ.

Սահմանափակումները մաթեմատիկայի բոլոր ուսանողներին շատ դժվարություններ են պատճառում: Սահմանը լուծելու համար երբեմն պետք է շատ հնարքներ գործածել և լուծման տարբեր մեթոդներից ընտրել հենց այն, ինչը հարմար է կոնկրետ օրինակի համար:

Այս հոդվածում մենք ձեզ չենք օգնի հասկանալ ձեր հնարավորությունների սահմանները կամ ըմբռնել վերահսկողության սահմանները, բայց մենք կփորձենք պատասխանել հարցին՝ ինչպե՞ս հասկանալ սահմանները բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ: Հասկանալը գալիս է փորձից, ուստի միևնույն ժամանակ մենք բացատրություններով սահմանները լուծելու մի քանի մանրամասն օրինակներ կտանք։

Սահմանի հայեցակարգը մաթեմատիկայի մեջ

Առաջին հարցը հետևյալն է՝ ո՞րն է այս սահմանը և ինչի՞ սահմանը։ Կարելի է խոսել թվային հաջորդականությունների և ֆունկցիաների սահմանների մասին։ Մեզ հետաքրքրում է ֆունկցիայի սահմանի հայեցակարգը, քանի որ սա այն է, ինչին առավել հաճախ հանդիպում են ուսանողները: Բայց նախ սահմանի ամենաընդհանուր սահմանումը.

Ենթադրենք, կա որոշակի փոփոխական արժեք: Եթե ​​փոփոխության գործընթացում այս արժեքը անսահմանափակ կերպով մոտենում է որոշակի թվի ա , Դա ա - այս արժեքի սահմանը.

Որոշակի միջակայքում սահմանված ֆունկցիայի համար f(x)=y այդպիսի թիվը կոչվում է սահման Ա , որին ֆունկցիան հակված է երբ X , ձգտելով որոշակի կետի Ա . Կետ Ա պատկանում է այն միջակայքին, որի վրա սահմանված է ֆունկցիան:

Ծանր է հնչում, բայց շատ պարզ է գրված.

Լիմ- անգլերենից սահման- սահման.

Գոյություն ունի նաև սահմանը որոշելու երկրաչափական բացատրություն, բայց այստեղ մենք չենք խորանա տեսության մեջ, քանի որ մեզ ավելի շատ հետաքրքրում է հարցի գործնական, այլ ոչ թե տեսական կողմը։ Երբ մենք ասում ենք, որ X հակված է ինչ-որ արժեքի, սա նշանակում է, որ փոփոխականը չի ընդունում թվի արժեքը, այլ մոտենում է անսահմանորեն մոտ:

Բերենք կոնկրետ օրինակ. Խնդիրը սահմանը գտնելն է։

Այս օրինակը լուծելու համար մենք փոխարինում ենք արժեքը x=3 ֆունկցիայի մեջ։ Մենք ստանում ենք.

Ի դեպ, եթե ձեզ հետաքրքրում է, կարդացեք այս թեմայով առանձին հոդված:

Օրինակներում X կարող է ձգտել ցանկացած արժեքի: Դա կարող է լինել ցանկացած թիվ կամ անսահմանություն: Ահա մի օրինակ, երբ X ձգտում է դեպի անսահմանություն.

Ինտուիտիվորեն, որքան մեծ է թիվը հայտարարի մեջ, այնքան փոքր կլինի ֆունկցիան: Այսպիսով, անսահմանափակ աճով X իմաստը 1/x կնվազի և կմոտենա զրոյին։

Ինչպես տեսնում եք, սահմանը լուծելու համար պարզապես անհրաժեշտ է ֆունկցիայի մեջ փոխարինել այն արժեքը, որին ձգտում եք X . Այնուամենայնիվ, սա ամենապարզ դեպքն է։ Հաճախ սահմանը գտնելն այնքան էլ ակնհայտ չէ։ Սահմաններում կան տիպի անորոշություններ 0/0 կամ անսահմանություն/անսահմանություն . Ի՞նչ անել նման դեպքերում: Դիմեք հնարքներին.

Անորոշություններ ներսում

Անվերջություն/անսահմանություն ձևի անորոշություն

Թող լինի սահման.

Եթե ​​փորձենք անվերջությունը փոխարինել ֆունկցիայի մեջ, ապա կստանանք անվերջություն և՛ համարիչում, և՛ հայտարարում։ Ընդհանրապես, արժե ասել, որ նման անորոշությունները լուծելու մեջ կա արվեստի որոշակի տարր՝ պետք է նկատել, թե ինչպես կարող ես ֆունկցիան այնպես վերափոխել, որ անորոշությունը վերանա։ Մեր դեպքում համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք X ավագ աստիճանում։ Ի՞նչ է լինելու։

Վերևում արդեն քննարկված օրինակից մենք գիտենք, որ հայտարարում x պարունակող տերմինները հակված են զրոյի: Այնուհետև սահմանի լուծումը հետևյալն է.

Տիպի անորոշությունները լուծելու համար անսահմանություն/անսահմանությունհամարիչն ու հայտարարը բաժանիր Xամենաբարձր աստիճանի։

Իմիջայլոց! Մեր ընթերցողների համար այժմ գործում է 10% զեղչ

Անորոշության մեկ այլ տեսակ՝ 0/0

Ինչպես միշտ, արժեքները փոխարինելով ֆունկցիայի մեջ x=-1 տալիս է 0 համարիչի և հայտարարի մեջ։ Մի փոքր ավելի ուշադիր նայեք և կնկատեք, որ մենք ունենք քառակուսային հավասարում։ Գտնենք արմատները և գրենք.

Նվազեցնենք և ստանանք.

Այսպիսով, եթե դուք բախվում եք տիպային անորոշության հետ 0/0 - գործակցի համարիչը և հայտարարը:

Օրինակներ լուծելը ձեզ համար հեշտացնելու համար մենք ներկայացնում ենք աղյուսակ՝ որոշ գործառույթների սահմաններով.

L'Hopital-ի կանոնը ներսում

Երկու տեսակի անորոշությունը վերացնելու ևս մեկ հզոր միջոց: Ո՞րն է մեթոդի էությունը:

Եթե ​​սահմանում անորոշություն կա, վերցրեք համարիչի և հայտարարի ածանցյալը, մինչև անորոշությունը վերանա:

L'Hopital-ի կանոնն ունի հետևյալ տեսքը.

Կարևոր կետ Սահմանը, որում պետք է գոյություն ունենա համարիչի և հայտարարի ածանցյալները համարիչի և հայտարարի փոխարեն:

Եվ հիմա - իրական օրինակ.

Տիպիկ անորոշություն կա 0/0 . Վերցնենք համարիչի և հայտարարի ածանցյալները.

Voila, անորոշությունը լուծվում է արագ և նրբագեղ:

Հուսով ենք, որ դուք կկարողանաք օգտակար կիրառել այս տեղեկատվությունը գործնականում և գտնել «ինչպես լուծել սահմանները բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ» հարցի պատասխանը: Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել հաջորդականության սահմանը կամ ֆունկցիայի սահմանը մի կետում, և բացարձակապես ժամանակ չկա այս աշխատանքի համար, դիմեք պրոֆեսիոնալ ուսանողական ծառայությանը՝ արագ և մանրամասն լուծման համար:

Այստեղ մենք կանդրադառնանք հաջորդականության վերջավոր սահմանի սահմանմանը։ Անվերջությանը համընկնող հաջորդականության դեպքը քննարկվում է «Անսահման մեծ հաջորդականության սահմանում» էջում։

Սահմանում.
(xn), եթե որեւէ դրական թվի համար ε > 0 գոյություն ունի N ε բնական թիվ՝ կախված ε-ից այնպես, որ բոլոր բնական թվերի համար n > N ε անհավասարությունը
| x n - a|< ε .
Հերթականության սահմանը նշվում է հետևյալ կերպ.
.
Կամ ժամը.

Փոխակերպենք անհավասարությունը.
;
;
.

Բաց ինտերվալ (a - ε, a + ε) կոչվում է ε - a կետի հարեւանություն.

Այն հաջորդականությունը, որն ունի սահման, կոչվում է կոնվերգենտ հաջորդականություն. Ասվում է նաև, որ հաջորդականությունը համընկնում էդեպի ա. Այն հաջորդականությունը, որը սահման չունի, կոչվում է տարբերվող.

Սահմանումից հետևում է, որ եթե հաջորդականությունն ունի a սահման, անկախ նրանից, թե a կետի ε-հարևանությունը մենք ընտրում ենք, դրանից դուրս կարող է լինել միայն վերջավոր թվով տարրեր հաջորդականության կամ ընդհանրապես բացակայում է (դատարկ բազմություն) . Իսկ ցանկացած ε-հարեւանություն պարունակում է անսահման թվով տարրեր։ Փաստորեն, տալով ε որոշակի թիվ, մենք այդպիսով ունենք թիվը: Այսպիսով, թվերով հաջորդականության բոլոր տարրերը, ըստ սահմանման, գտնվում են a կետի ε - հարևանությամբ: Առաջին տարրերը կարող են տեղակայվել ցանկացած վայրում: Այսինքն, ε-հարեւանությունից դուրս չի կարող լինել ոչ ավելի, քան տարրեր, այսինքն՝ վերջավոր թիվ:

Մենք նաև նշում ենք, որ տարբերությունը պարտադիր չէ, որ միապաղաղ ձգվի զրոյի, այսինքն՝ անընդհատ նվազի։ Այն կարող է հակված լինել զրոյի ոչ միապաղաղ. այն կարող է կա՛մ աճել, կա՛մ նվազել՝ ունենալով տեղային մաքսիմումներ: Այնուամենայնիվ, այս մաքսիմալները, քանի որ n-ն մեծանում է, պետք է ձգտեն զրոյի (հնարավոր է նաև ոչ միապաղաղ):

Օգտագործելով գոյության և համընդհանուրության տրամաբանական խորհրդանիշները, սահմանի սահմանումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
(1) .

Որոշել, որ a-ն սահման չէ

Այժմ դիտարկենք հակառակ պնդումը, որ a թիվը հաջորդականության սահմանը չէ:

Համար ա հաջորդականության սահմանը չէ, եթե կա այնպիսին, որ ցանկացած n բնական թվի համար կա այդպիսի բնական m > n, Ինչ
.

Եկեք այս հայտարարությունը գրենք՝ օգտագործելով տրամաբանական նշաններ։
(2) .

Հայտարարություն, որ ա թիվը հաջորդականության սահմանը չէ, նշանակում է, որ
դուք կարող եք ընտրել այնպիսի ε - a կետի հարևանություն, որից դուրս կլինեն հաջորդականության անսահման թվով տարրեր..

Դիտարկենք մի օրինակ. Թող տրվի ընդհանուր տարրով հաջորդականություն
(3)
Կետի ցանկացած հարևանություն պարունակում է անսահման թվով տարրեր: Այնուամենայնիվ, այս կետը հաջորդականության սահմանը չէ, քանի որ կետի ցանկացած հարևանություն պարունակում է նաև անսահման թվով տարրեր: Վերցնենք ε - կետի հարևանություն ε =-ով 1 . Սա կլինի միջակայքը (-1, +1) . Բոլոր տարրերը, բացի առաջինից զույգ n-ով, պատկանում են այս միջակայքին: Բայց կենտ n-ով բոլոր տարրերը գտնվում են այս միջակայքից դուրս, քանի որ դրանք բավարարում են x n անհավասարությունը > 2 . Քանի որ կենտ տարրերի թիվն անսահման է, ընտրված թաղամասից դուրս անսահման թվով էլեմենտներ կլինեն: Հետևաբար, կետը հաջորդականության սահմանը չէ։

Այժմ մենք դա ցույց կտանք՝ խստորեն պահպանելով հայտարարությունը (2): Կետը (3) հաջորդականության սահմանը չէ, քանի որ գոյություն ունի այնպիսին, որ ցանկացած բնական n-ի համար կա կենտ, որի համար անհավասարությունը պահպանվում է:
.

Կարելի է նաև ցույց տալ, որ ցանկացած a կետ չի կարող լինել այս հաջորդականության սահմանը։ Մենք միշտ կարող ենք ընտրել a կետի ε - հարևանություն, որը չի պարունակում ոչ 0 կետ, ոչ էլ 2 կետ: Եվ այնուհետև ընտրված հարևանությունից դուրս կլինեն հաջորդականության անսահման թվով տարրեր:

Համարժեք սահմանում

Մենք կարող ենք տալ հաջորդականության սահմանի համարժեք սահմանում, եթե ընդլայնենք ε - հարևանություն հասկացությունը: Մենք կստանանք համարժեք սահմանում, եթե ε-հարևանության փոխարեն այն պարունակում է a կետի որևէ հարևանություն:

Կետի հարևանության որոշում
Ա կետի հարևանությունըԱյս կետը պարունակող ցանկացած բաց ինտերվալ կոչվում է: Մաթեմատիկորեն հարևանությունը սահմանվում է հետևյալ կերպ. , որտեղ ε 1 և ε 2 - կամայական դրական թվեր.

Այնուհետև սահմանաչափի սահմանումը կլինի հետևյալը.

Հերթականության սահմանի համարժեք սահմանում
a թիվը կոչվում է հաջորդականության սահման, եթե նրա որևէ հարևանության համար կա այնպիսի բնական թիվ N, որ թվերով հաջորդականության բոլոր տարրերը պատկանում են այս հարևանությանը։

Այս սահմանումը կարող է ներկայացվել նաև ընդլայնված ձևով։

a թիվը կոչվում է հաջորդականության սահման, եթե որևէ դրական թվի համար գոյություն ունի N բնական թիվ՝ կախված և այնպիսին, որ անհավասարությունները պահպանվեն բոլոր բնական թվերի համար
.

Սահմանումների համարժեքության ապացույց

Փաստենք, որ վերը ներկայացված հաջորդականության սահմանի երկու սահմանումները համարժեք են։

Թող a թիվը լինի հաջորդականության սահմանը ըստ առաջին սահմանման։ Սա նշանակում է, որ կա ֆունկցիա, այնպես որ ցանկացած դրական թվի համար ε բավարարվում են հետևյալ անհավասարությունները.
(4) ժամը .

Ցույց տանք, որ a թիվը հաջորդականության սահմանն է երկրորդ սահմանմամբ։ Այսինքն՝ մենք պետք է ցույց տանք, որ կա այնպիսի ֆունկցիա, որ ցանկացած դրական թվի համար ε 1 և ε 2 բավարարված են հետևյալ անհավասարությունները.
(5) ժամը .

Եկեք ունենանք երկու դրական թիվ՝ ε 1 և ε 2 . Եվ թող ε լինի դրանցից ամենափոքրը. Հետո; ; . Եկեք օգտագործենք սա (5):
.
Բայց անհավասարությունները բավարարվում են . Ապա անհավասարությունները (5) նույնպես բավարարվում են .

Այսինքն՝ մենք գտել ենք ֆունկցիա, որի համար (5) անհավասարությունները բավարարվում են ցանկացած դրական թվի համար. 1 և ε 2 .
Առաջին մասը ապացուցված է.

Հիմա թող a թիվը լինի հաջորդականության սահմանը ըստ երկրորդ սահմանման։ Սա նշանակում է, որ գոյություն ունի այնպիսի ֆունկցիա, որ ցանկացած դրական թվի համար ε 1 և ε 2 բավարարված են հետևյալ անհավասարությունները.
(5) ժամը .

Ցույց տանք, որ ա թիվը հաջորդականության սահմանն է առաջին սահմանմամբ։ Դա անելու համար հարկավոր է տեղադրել. Այնուհետև, երբ պահպանվում են հետևյալ անհավասարությունները.
.
Սա համապատասխանում է առաջին սահմանմանը:
Սահմանումների համարժեքությունն ապացուցված է։

Օրինակներ

Այստեղ մենք կանդրադառնանք մի քանի օրինակների, որոնցում մենք պետք է ապացուցենք, որ տրված a թիվը հաջորդականության սահմանն է: Այս դեպքում դուք պետք է նշեք կամայական դրական ε և սահմանեք ε-ի N ֆունկցիան այնպես, որ անհավասարությունը .

Օրինակ 1

Ապացուցեք դա.

(1) .
Մեր դեպքում;
.

.
Եկեք օգտագործենք անհավասարությունների հատկությունները. Հետո եթե և , ապա
.

.
Հետո
ժամը .
Սա նշանակում է, որ թիվը տվյալ հաջորդականության սահմանն է.
.

Օրինակ 2

Օգտագործելով հաջորդականության սահմանի սահմանումը, ապացուցեք, որ
.

Եկեք գրենք հաջորդականության սահմանի սահմանումը.
(1) .
Մեր դեպքում, ;
.

Մուտքագրեք դրական թվեր և.
.
Եկեք օգտագործենք անհավասարությունների հատկությունները. Հետո եթե և , ապա
.

Այսինքն, ցանկացած դրականի համար մենք կարող ենք վերցնել ցանկացած բնական թիվ, որը մեծ է կամ հավասար է.
.
Հետո
ժամը .
.

Օրինակ 3

.

Ներկայացնում ենք նշումը, .
Եկեք փոխենք տարբերությունը.
.
Համար բնական n = 1, 2, 3, ... մենք ունենք:
.

Եկեք գրենք հաջորդականության սահմանի սահմանումը.
(1) .
Մուտքագրեք դրական թվեր և.
.
Ապա եթե և , ապա
.

Այսինքն, ցանկացած դրականի համար մենք կարող ենք վերցնել ցանկացած բնական թիվ, որը մեծ է կամ հավասար է.
.
Որտեղ
ժամը .
Սա նշանակում է, որ թիվը հաջորդականության սահմանն է.
.

Օրինակ 4

Օգտագործելով հաջորդականության սահմանի սահմանումը, ապացուցեք, որ
.

Եկեք գրենք հաջորդականության սահմանի սահմանումը.
(1) .
Մեր դեպքում, ;
.

Մուտքագրեք դրական թվեր և.
.
Ապա եթե և , ապա
.

Այսինքն, ցանկացած դրականի համար մենք կարող ենք վերցնել ցանկացած բնական թիվ, որը մեծ է կամ հավասար է.
.
Հետո
ժամը .
Սա նշանակում է, որ թիվը հաջորդականության սահմանն է.
.

Հղումներ:
Լ.Դ. Կուդրյավցև. Մաթեմատիկական վերլուծության դասընթաց. Հատոր 1. Մոսկվա, 2003 թ.
ՍՄ. Նիկոլսկին. Մաթեմատիկական վերլուծության դասընթաց. Հատոր 1. Մոսկվա, 1983 թ.