Ներկայացրե՛ք 2 թիվը եռանկյունաչափական տեսքով Բարդ թվի եռանկյունաչափական և էքսպոնենցիալ ձևերը։ Կոմպլեքս թվեր եռանկյունաչափական ձևով

Գործողություններ կոմպլեքս թվերի վրա գրված հանրահաշվական ձև

Կոմպլեքս թվի հանրահաշվական ձև z =(ա,բ).կոչվում է ձևի հանրահաշվական արտահայտություն

զ = ա + երկ.

Թվաբանական գործողություններ կոմպլեքս թվերի վրա զ 1 = ա 1 + բ 1 եսԵվ զ 2 = ա 2 + բ 2 ես, գրված հանրահաշվական ձևով, կատարվում են հետևյալ կերպ.

1. Կոմպլեքս թվերի գումարը (տարբերությունը):

զ 1 ± z 2 = (ա 1 ± ա 2) + (բ 1 ±բ 2)∙ ես,

դրանք. գումարումը (հանումը) կատարվում է համանման անդամների կրճատմամբ բազմանդամների գումարման կանոնի համաձայն։

2. Կոմպլեքս թվերի արտադրյալ

զ 1 ∙զ 2 = (ա 1 ∙ա 2 - բ 1 ∙բ 2) + (ա 1 ∙բ 2 +a 2 ∙բ 1)∙ ես,

դրանք. Բազմապատկումն իրականացվում է բազմանդամների բազմապատկման սովորական կանոնով՝ հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ ես 2 = 1.

3. Երկու կոմպլեքս թվերի բաժանումն իրականացվում է հետեւյալ կանոնով.

, (զ 2 ≠ 0),

դրանք. բաժանումն իրականացվում է շահաբաժինն ու բաժանարարը բաժանարարի խոնարհ թվով բազմապատկելով։

Կոմպլեքս թվերի աստիճանականացումը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

Հեշտ է դա ցույց տալ

Օրինակներ.

1. Գտի՛ր կոմպլեքս թվերի գումարը զ 1 = 2 – եսԵվ զ 2 = – 4 + 3ես.

զ 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ ես)+ (–4 + 3ես) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) ես = –2+2ես.

2. Գտի՛ր բարդ թվերի արտադրյալը զ 1 = 2 – 3եսԵվ զ 2 = –4 + 5ես.

= (2 – 3ես) ∙ (–4 + 5ես) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3ես)+ 2∙5ես– 3ես∙ 5ես = 7+22ես.

3. Գտի՛ր գործակիցը զբաժանումից զ 1 = 3 – 2na զ 2 = 3 – ես.

z = .

4. Լուծե՛ք հավասարումը. xԵվ y Î Ռ.

(2x+y) + (x+y)ես = 2 + 3ես.

Կոմպլեքս թվերի հավասարության շնորհիվ ունենք.

որտեղ x =–1 , y= 4.

5. Հաշվել. ես 2 ,ես 3 ,ես 4 ,ես 5 ,ես 6 ,ես -1 , ես -2 .

6. Հաշվե՛ք, եթե .

.

7. Հաշվի՛ր թվի փոխադարձությունը զ=3-ի.

Կոմպլեքս թվեր եռանկյունաչափական ձևով

Կոմպլեքս ինքնաթիռկոչվում է դեկարտյան կոորդինատներով ինքնաթիռ ( x, y), եթե յուրաքանչյուր կետ ունի կոորդինատներ ( ա, բ) կապված է բարդ թվի հետ z = a + bi. Այս դեպքում աբսցիսային առանցքը կոչվում է իրական առանցք, իսկ օրդինատների առանցքը երևակայական. Հետո ամեն կոմպլեքս թիվ ա+բիերկրաչափորեն պատկերված է հարթության վրա որպես կետ Ա (ա, բ) կամ վեկտոր:

Հետեւաբար, կետի դիրքորոշումը Ա(և, հետևաբար, բարդ թիվ զ) կարելի է ճշտել վեկտորի երկարությամբ | | = rև անկյուն ժ, առաջացած վեկտորի | | իրական առանցքի դրական ուղղությամբ։ Վեկտորի երկարությունը կոչվում է կոմպլեքս թվի մոդուլև նշվում է | զ |=ր, և անկյունը ժկանչեց բարդ թվի արգումենտև նշանակված է ժ = արգ զ.

Հասկանալի է, որ | զ| ³ 0 և | z | = 0 Û z = 0.

Սկսած Նկ. 2 պարզ է, որ.

Կոմպլեքս թվի արգումենտը որոշվում է ոչ միանշանակ, բայց 2 ճշտությամբ pk, kÎ Զ.

Սկսած Նկ. 2 պարզ է նաև, որ եթե z=a+biԵվ j=արգ զ,Դա

cos j =, մեղք j =, տգ ժ =.

Եթե zÎՌԵվ z> 0, ապա arg z = 0 +2pk;

Եթե z ՕՌԵվ զ< 0, ապա arg z = p + 2pk;

Եթե z = 0,արգ զանորոշ.

Փաստարկի հիմնական արժեքը որոշվում է 0-ի միջակայքում £ արգ զ£2 p,

կամ -էջ£ արգ զ £ պ.

Օրինակներ.

1. Գտի՛ր կոմպլեքս թվերի մոդուլը զ 1 = 4 – 3եսԵվ զ 2 = –2–2ես.

2. Սահմանել բարդ հարթության վրա պայմաններով սահմանված տարածքները.

1) | z | = 5; 2) | զ| £6; 3) | զ – (2+ես) | £3; 4) £6 | զ – ես| £ 7.

Լուծումներ և պատասխաններ.

1) | զ| = 5 Û Û - 5 շառավղով և սկզբնակետում կենտրոն ունեցող շրջանագծի հավասարում:

2) 6 շառավղով շրջան՝ սկզբնամասում կենտրոնով:

3) 3 շառավղով շրջան՝ կենտրոնով կետում z 0 = 2 + ես.

4) Օղակ, որը սահմանափակված է 6 և 7 շառավղով շրջաններով, որոնց կենտրոնը մի կետում է զ 0 = ես.

3. Գտե՛ք թվերի մոդուլը և արգումենտը՝ 1) ; 2) .

1) ; Ա = 1, բ = Þ ,

Þ j 1 = .

2) զ 2 = –2 – 2ես; ա =–2, բ =-2 Þ ,

.

Հուշում. Հիմնական փաստարկը որոշելիս օգտագործեք բարդ հարթությունը:

Այսպիսով. զ 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .

2.3. Բարդ թվերի եռանկյունաչափական ձև

Թող վեկտորը որոշվի բարդ հարթության վրա թվով:

Ֆ-ով նշենք դրական կիսաառանցքի Ox-ի և վեկտորի անկյունը (ֆ անկյունը համարվում է դրական, եթե այն չափվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, իսկ հակառակ դեպքում՝ բացասական):

Վեկտորի երկարությունը նշանակենք r-ով։ Հետո . Նշում ենք նաև

Ոչ զրոյական կոմպլեքս z թիվը ձևով գրելը

կոչվում է z բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև։ r թիվը կոչվում է z կոմպլեքս թվի մոդուլ, իսկ φ թիվը՝ այս կոմպլեքս թվի արգումենտ և նշանակվում է Arg z-ով։

Բարդ թվեր գրելու եռանկյունաչափական ձև - (Էյլերի բանաձև) - բարդ թիվ գրելու էքսպոնենցիոնալ ձև.

Կոմպլեքս z թիվը ունի անսահման շատ արգումենտներ. եթե φ0-ը z թվի որևէ արգումենտ է, ապա մնացած բոլորը կարելի է գտնել բանաձևի միջոցով:

Կոմպլեքս թվի համար արգումենտը և եռանկյունաչափական ձևը սահմանված չեն:

Այսպիսով, ոչ զրոյական բարդ թվի փաստարկը հավասարումների համակարգի ցանկացած լուծում է.

(3)

Z կոմպլեքս թվի փաստարկի φ արժեքը, որը բավարարում է անհավասարությունները, կոչվում է հիմնական արժեք և նշանակվում է arg z-ով։

Arg z և arg z արգումենտները կապված են ըստ

, (4)

Բանաձևը (5) (3) համակարգի հետևանք է, հետևաբար բարդ թվի բոլոր փաստարկները բավարարում են հավասարությունը (5), բայց (5) հավասարման ոչ բոլոր φ լուծումներն են z թվի արգումենտներ։

Ոչ զրոյական կոմպլեքս թվի փաստարկի հիմնական արժեքը հայտնաբերվում է ըստ բանաձևերի.

Եռանկյունաչափական ձևով բարդ թվերը բազմապատկելու և բաժանելու բանաձևերը հետևյալն են.

. (7)

Կոմպլեքս թիվը բնական հզորության բարձրացնելիս օգտագործվում է Moivre բանաձևը.

Բարդ թվի արմատը հանելիս օգտագործվում է բանաձևը.

, (9)

որտեղ k=0, 1, 2, …, n-1:

Խնդիր 54. Հաշվիր որտեղ .

Ներկայացնենք լուծում տրված արտահայտությունըբարդ թիվ գրելու էքսպոնենցիալ ձևով՝ .

Եթե, ապա.

Հետո, . Հետեւաբար, ուրեմն Եվ , Որտեղ.

Պատասխան. , ժամը .

Խնդիր 55. Կոմպլեքս թվերը գրի՛ր եռանկյունաչափական տեսքով.

Ա) ; բ) ; V) ; G) ; դ) ; ե) ; և) .

Քանի որ բարդ թվի եռանկյունաչափական ձևը հետևյալն է.

ա) Կոմպլեքս թվով.

,

Ահա թե ինչու

բ) , Որտեղ ,

է) , Որտեղ ,

ե) .

և) , Ա , Դա .

Ահա թե ինչու

Պատասխան. ; 4; ; ; ; ; .

Խնդիր 56. Գտե՛ք բարդ թվի եռանկյունաչափական ձևը

.

Թող, .

Հետո, , .

Քանի որ և , , ապա , եւ

Հետևաբար, հետևաբար

Պատասխան. , Որտեղ.

Խնդիր 57. Օգտագործելով կոմպլեքս թվի եռանկյունաչափական ձևը՝ կատարե՛ք հետևյալ գործողությունները.

Պատկերացնենք թվերը և եռանկյունաչափական ձևով.

1), որտեղ Հետո

Գտեք հիմնական փաստարկի արժեքը.

Փոխարինենք արժեքները և արտահայտության մեջ՝ ստանում ենք

2) , որտեղ ապա

Հետո

3) Գտնենք գործակիցը

Ենթադրելով k=0, 1, 2, մենք ստանում ենք ցանկալի արմատի երեք տարբեր արժեքներ.

Եթե, ապա

Եթե, ապա

Եթե, ապա .

Պատասխան՝ :

:

: .

Խնդիր 58. Թողեք , , , տարբեր կոմպլեքս թվեր և . Ապացուցեք դա

թիվ վավեր է դրական թիվ;

բ) հավասարությունը գործում է.

ա) Ներկայացնենք այս բարդ թվերը եռանկյունաչափական տեսքով.

Որովհետեւ .

Եկեք ձևացնենք, որ. Հետո

.

Վերջին արտահայտությունը դրական թիվ է, քանի որ սինուսային նշանները պարունակում են թվեր միջակայքից:

համարից սկսած իրական և դրական: Իսկապես, եթե a-ն և b-ը բարդ թվեր են և իրական են և մեծ են զրոյից, ապա .

Բացի այդ,

հետեւաբար ապացուցված է պահանջվող հավասարությունը։

Խնդիր 59. Թիվը գրի՛ր հանրահաշվական տեսքով .

Ներկայացնենք թիվը եռանկյունաչափական ձևով և հետո գտնենք նրա հանրահաշվական ձևը: Մենք ունենք . Համար մենք ստանում ենք համակարգը.

Սա ենթադրում է հավասարություն. .

Կիրառելով Moivre-ի բանաձևը.

մենք ստանում ենք

Գտնված է տրված թվի եռանկյունաչափական ձևը։

Այժմ այս թիվը գրենք հանրահաշվական ձևով.

.

Պատասխան. .

Խնդիր 60. Գտե՛ք գումարը , ,

Դիտարկենք գումարը

Կիրառելով Moivre-ի բանաձեւը՝ մենք գտնում ենք

Այս գումարը հայտարարի հետ երկրաչափական պրոգրեսիայի n անդամների գումարն է և առաջին անդամը .

Կիրառելով նման պրոգրեսիայի պայմանների գումարի բանաձևը, մենք ունենք

Վերջին արտահայտության մեջ առանձնացնելով երևակայական մասը՝ գտնում ենք

Մեկուսացնելով իրական մասը՝ մենք նույնպես ստանում ենք հետեւյալ բանաձեւը: , , .

Խնդիր 61. Գտե՛ք գումարը.

Ա) ; բ) .

Ըստ Նյուտոնի հզորացման բանաձևի՝ ունենք

Օգտագործելով Moivre-ի բանաձևը, մենք գտնում ենք.

Հավասարեցնելով ստացված արտահայտությունների իրական և երևակայական մասերը , մենք ունենք.

Եվ .

Այս բանաձևերը կարելի է կոմպակտ ձևով գրել հետևյալ կերպ.

,

, Որտեղ - ամբողջ մասըթվեր ա.

Խնդիր 62. Գտիր բոլորը, որոնց համար .

Քանի որ , ապա՝ օգտագործելով բանաձևը

, Արմատները հանելու համար մենք ստանում ենք ,

Հետևաբար, , ,

, .

Թվերին համապատասխան կետերը գտնվում են 2 շառավղով շրջանագծի մեջ ներգծված քառակուսու գագաթներում, որի կենտրոնը գտնվում է (0;0) կետում (նկ. 30):

Պատասխան. , ,

, .

Խնդիր 63. Լուծե՛ք հավասարումը , .

Ըստ պայմանի; հետևաբար, այս հավասարումը արմատ չունի, և հետևաբար այն համարժեք է հավասարմանը:

Որպեսզի z թիվը լինի տրված հավասարման արմատը, թիվը պետք է լինի n-րդ արմատաստիճաններ թիվ 1-ից:

Այստեղից մենք եզրակացնում ենք, որ սկզբնական հավասարումը ունի հավասարություններից որոշված ​​արմատներ

,

Այսպիսով,

,

այսինքն. ,

Պատասխան. .

Խնդիր 64. Լուծե՛ք բարդ թվերի բազմության հավասարումը:

Քանի որ թիվը այս հավասարման արմատը չէ, ուրեմն այս հավասարման համար համարժեք է հավասարմանը.

Այսինքն՝ հավասարումը։

Այս հավասարման բոլոր արմատները ստացվում են բանաձևից (տես խնդիրը 62).

; ; ; ; .

Խնդիր 65. Կոմպլեքս հարթության վրա գծե՛ք անհավասարությունները բավարարող կետերի բազմություն. . (45-րդ խնդիրը լուծելու 2-րդ եղանակ)

Թող .

Նույնական մոդուլներ ունեցող բարդ թվերը համապատասխանում են հարթության կետերին, որոնք ընկած են սկզբնակետում կենտրոնացած շրջանագծի վրա, հետևաբար անհավասարությունը բավարարել բաց օղակի բոլոր կետերը, որոնք սահմանափակված են սկզբնամասում ընդհանուր կենտրոնով և շառավղով շրջաններով և (նկ. 31): Թող բարդ հարթության ինչ-որ կետ համապատասխանի w0 թվին: Թիվ , ունի w0 մոդուլից մի քանի անգամ փոքր մոդուլ, իսկ w0 արգումենտից մեծ արգումենտ։ ՀԵՏ երկրաչափական կետՏեսանկյունից w1-ին համապատասխան կետը կարելի է ստանալ՝ օգտագործելով համասեռությունը կենտրոնի սկզբնամասում և գործակիցով, ինչպես նաև սկզբնակետի նկատմամբ պտույտ՝ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ հակառակ անկյան միջոցով: Այս երկու փոխակերպումները օղակի կետերում կիրառելու արդյունքում (նկ. 31) վերջինս կվերածվի օղակի, որը սահմանափակված է նույն կենտրոնով և 1 և 2 շառավղով շրջաններով (նկ. 32):

Փոխակերպում իրականացվում է վեկտորին զուգահեռ փոխանցման միջոցով: Կենտրոնով օղակը տեղափոխելով նշված վեկտորին՝ ստանում ենք նույն չափի օղակ, որի կենտրոնը գտնվում է կետում (նկ. 22):

Առաջարկվող մեթոդը, որն օգտագործում է ինքնաթիռի երկրաչափական փոխակերպումների գաղափարը, հավանաբար ավելի քիչ հարմար է նկարագրելու համար, բայց շատ էլեգանտ է և արդյունավետ:

Խնդիր 66. Գտե՛ք, եթե .

Թող , ապա եւ . Սկզբնական հավասարությունը կընդունի ձևը . Երկու կոմպլեքս թվերի հավասարության պայմանից ստանում ենք , , որից , . Այսպիսով, .

Z թիվը գրենք եռանկյունաչափական ձևով.

, Որտեղ , . Ըստ Moivre-ի բանաձևի, մենք գտնում ենք.

Պատասխան՝ 64.

Խնդիր 67. Կոմպլեքս թվի համար գտե՛ք բոլոր բարդ թվերն այնպես, որ , և .

Ներկայացնենք թիվը եռանկյունաչափական ձևով.

. Այստեղից, . Մեր ստացած թվի համար կարող է հավասար լինել կամ .

Առաջին դեպքում , երկրորդում

.

Պատասխան՝ .

Խնդիր 68. Գտե՛ք այնպիսի թվերի գումարը, որ . Խնդրում ենք նշել այս թվերից մեկը։

Նկատի ունեցեք, որ խնդրի հենց ձևակերպումից կարելի է հասկանալ, որ հավասարման արմատների գումարը կարելի է գտնել առանց իրենց արմատները հաշվարկելու: Իրոք, հավասարման արմատների գումարը -ի գործակիցն է, վերցված հակառակ նշանով (ընդհանրացված Վիետայի թեորեմ), այսինքն.

Սովորողներ, դպրոցական փաստաթղթեր, եզրակացություններ արեք յուրացման աստիճանի վերաբերյալ այս հայեցակարգը. Ամփոփեք մաթեմատիկական մտածողության առանձնահատկությունների ուսումնասիրությունը և բարդ թվի հասկացության ձևավորման գործընթացը: Մեթոդների նկարագրություն. Ախտորոշում. I փուլ. Զրույցն անցկացվեց մաթեմատիկայի ուսուցչի հետ, ով դասավանդում է 10-րդ դասարանում հանրահաշիվ և երկրաչափություն։ Զրույցը կայացել է սկզբից որոշ ժամանակ անց...

ռեզոնանս» (!)), որը ներառում է նաև սեփական վարքի գնահատում: 4. Իրավիճակի (կասկածների) սեփական ըմբռնման քննադատական ​​գնահատում 5. Վերջապես, առաջարկությունների օգտագործումը. իրավական հոգեբանություն(փաստաբանը հաշվի է առնում կատարված մասնագիտական ​​գործողությունների հոգեբանական կողմերը՝ մասնագիտական ​​և հոգեբանական պատրաստվածություն): Այժմ դիտարկենք իրավական փաստերի հոգեբանական վերլուծությունը: ...

Եռանկյունաչափական փոխարինման մաթեմատիկա և մշակված դասավանդման մեթոդիկայի արդյունավետության ստուգում. Աշխատանքի փուլերը՝ 1. «Եռանկյունաչափական փոխարինման կիրառում հանրահաշվական խնդիրների լուծման համար» թեմայով ընտրովի դասընթացի մշակում դասարաններում սովորողների հետ. խորը ուսումնասիրությունՄաթեմատիկա. 2. Մշակված ընտրովի դասընթացի անցկացում. 3. Ախտորոշիչ հետազոտություն իրականացնելու...

Ճանաչողական առաջադրանքները նախատեսված են միայն լրացնելու առկա ուսումնական միջոցները և պետք է համապատասխան համակցված լինեն բոլոր ավանդական միջոցների և տարրերի հետ։ ուսումնական գործընթաց. Տարբերություն կրթական առաջադրանքներդասավանդման մեջ հումանիտար գիտություններճշգրիտից, սկսած մաթեմատիկական խնդիրներՄիակ խնդիրն այն է, որ պատմական խնդիրներում բացակայում են բանաձևերը, խիստ ալգորիթմները և այլն, ինչը բարդացնում է դրանց լուծումը։ ...

3.1. Բևեռային կոորդինատներ

Հաճախ օգտագործվում է ինքնաթիռում բևեռային կոորդինատային համակարգ . Այն սահմանվում է, եթե տրված է O կետ, կոչվում է բեւեռև բևեռից բխող ճառագայթը (մեզ համար սա առանցքն է Եզ) – բևեռային առանցք: M կետի դիրքը ամրագրված է երկու թվով. շառավիղը (կամ շառավիղի վեկտորը) և φ անկյունը բևեռային առանցքի և վեկտորի միջև:Ֆ անկյունը կոչվում է բևեռային անկյուն; չափվում է ռադիաններով և հաշվվում բևեռային առանցքից ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ:

Բևեռային կոորդինատային համակարգում կետի դիրքը տրվում է դասավորված թվերի զույգով (r; φ): Բևեռում r = 0,իսկ φ սահմանված չէ։ Մնացած բոլոր կետերի համար r > 0,և φ սահմանվում է մինչև 2π-ի բազմապատիկ տերմինը: Այս դեպքում թվերի զույգերը (r; φ) և (r 1; φ 1) կապված են նույն կետի հետ, եթե .

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի համար xOyԿետի դեկարտյան կոորդինատները հեշտությամբ արտահայտվում են նրա բևեռային կոորդինատներով հետևյալ կերպ.

3.2. Կոմպլեքս թվի երկրաչափական մեկնաբանություն

Եկեք դիտարկենք հարթության վրա դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը xOy.

Ցանկացած կոմպլեքս թիվ z=(a, b) կապված է հարթության մի կետի հետ՝ կոորդինատներով ( x, y), որտեղ կոորդինատ x = a, այսինքն. կոմպլեքս թվի իրական մասը, իսկ y = bi կոորդինատը երևակայական մասն է:

Այն հարթությունը, որի կետերը բարդ թվեր են, բարդ հարթություն է:

Նկարում կոմպլեքս թիվը z = (a, b)համապատասխանում է մի կետի M(x, y).

Զորավարժություններ.Կոմպլեքս թվեր գծե՛ք կոորդինատային հարթության վրա.

3.3. Բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև

Հարթության վրա կոմպլեքս թիվը ունի կետի կոորդինատներ M(x;y). Որտեղ:

Կոմպլեքս թիվ գրելը - բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև.

կոչվում է r թիվը մոդուլ համալիր համարը զև նշանակված է. Մոդուլը ոչ բացասական իրական թիվ է: Համար .

Մոդուլը զրո է, եթե և միայն եթե z = 0, այսինքն. a = b = 0.

Ֆ թիվը կոչվում է փաստարկ z և նշանակված է. Z արգումենտը սահմանվում է երկիմաստորեն, ինչպես բևեռային անկյունը բևեռային կոորդինատային համակարգում, մասնավորապես մինչև տերմինը, որը 2π-ի բազմապատիկ է:

Այնուհետև մենք ընդունում ենք՝ , որտեղ φ փաստարկի ամենափոքր արժեքն է։ Ակնհայտ է, որ

.

Թեման ավելի խորը ուսումնասիրելիս ներմուծվում է օժանդակ փաստարկ φ*, այնպիսին, որ

Օրինակ 1. Գտե՛ք բարդ թվի եռանկյունաչափական ձևը:

Լուծում. 1) հաշվի առեք մոդուլը.

2) փնտրում է φ: ;

3) եռանկյունաչափական ձև.

Օրինակ 2.Գտե՛ք բարդ թվի հանրահաշվական ձևը .

Այստեղ բավական է փոխարինել արժեքները եռանկյունաչափական ֆունկցիաներև փոխակերպել արտահայտությունը.

Օրինակ 3.Գտե՛ք բարդ թվի մոդուլը և արգումենտը;

1) ;

2) ; φ – 4 եռամսյակում.

3.4. Գործողություններ բարդ թվերի հետ եռանկյունաչափական ձևով

· Գումարում և հանումԱվելի հարմար է անել կոմպլեքս թվերով հանրահաշվական ձևով.

· Բազմապատկում– պարզ եռանկյունաչափական փոխակերպումների միջոցով կարելի է ցույց տալ, որ Բազմապատկելիս թվերի մոդուլները բազմապատկվում են, իսկ արգումենտները գումարվում են. ;

Դասախոսություն

Բարդ թվի եռանկյունաչափական ձև

Պլանավորել

1. Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական պատկերը.

2. Կոմպլեքս թվերի եռանկյունաչափական նշում.

3. Գործողություններ կոմպլեքս թվերի վրա եռանկյունաչափական տեսքով:

Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական ներկայացում:

ա) Կոմպլեքս թվերը ներկայացված են հարթության վրա գտնվող կետերով՝ համաձայն հետևյալ կանոնի. ա + երկ = Մ ( ա ; բ ) (նկ. 1):

Նկար 1

բ) Կոմպլեքս թիվը կարող է ներկայացվել վեկտորով, որը սկսվում է կետիցՄԱՍԻՆ և վերջը տվյալ կետում (նկ. 2):

Նկար 2

Օրինակ 7. Կառուցեք բարդ թվեր ներկայացնող կետեր.1; - ես ; - 1 + ես ; 2 – 3 ես (նկ. 3):

Նկար 3

Բարդ թվերի եռանկյունաչափական նշում.

Կոմպլեքս համարըզ = ա + երկ կարելի է ճշտել՝ օգտագործելով շառավիղի վեկտորը կոորդինատներով( ա ; բ ) (նկ. 4):

Նկար 4

Սահմանում . Վեկտորի երկարությունը , որը ներկայացնում է բարդ թիվզ , կոչվում է այս թվի մոդուլ և նշվում կամr .

Ցանկացած բարդ թվի համարզ դրա մոդուլըr = | զ | որոշվում է եզակի բանաձևով .

Սահմանում . Իրական առանցքի դրական ուղղության և վեկտորի միջև անկյան մեծությունը , որը ներկայացնում է բարդ թիվ, կոչվում է այս բարդ թվի արգումենտ և նշվումԱ rg զ կամφ .

Համալիր թվի փաստարկզ = 0 անորոշ. Համալիր թվի փաստարկզ≠ 0 - բազմարժեք մեծություն և որոշվում է ժամկետում2 πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Արգ զ = արգ զ + 2 πk , Որտեղարգ զ – միջակայքում պարունակվող փաստարկի հիմնական արժեքը(-π; π] , այն է-π < արգ զ ≤ π (երբեմն ինտերվալին պատկանող արժեքը վերցվում է որպես փաստարկի հիմնական արժեք .

Այս բանաձեւը, երբr =1 հաճախ կոչվում է Moivre-ի բանաձևը.

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Օրինակ 11. Հաշվել(1 + ես ) 100 .

Գրենք բարդ թիվ1 + ես եռանկյունաչափական ձևով.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + ես մեղք եմ գործում )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + ես մեղք եմ գործում ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) արդյունահանում քառակուսի արմատկոմպլեքս թվից։

Բարդ թվի քառակուսի արմատ վերցնելիսա + երկ ունենք երկու դեպք.

Եթեբ >օ , Դա ;

ՀԱՄԱԼԻՐ ԹՎԵՐ XI

§ 256. Կոմպլեքս թվերի եռանկյունաչափական ձև

Թող կոմպլեքս թիվ a + bi համապատասխան վեկտոր Օ.Ա.> կոորդինատներով ( ա, բ ) (տես նկ. 332):

Նշենք այս վեկտորի երկարությունը ըստ r , և անկյունը, որը կազմում է առանցքի հետ X , միջոցով φ . Սինուսի և կոսինուսի սահմանմամբ.

ա / r =cos φ , բ / r = մեղք φ .

Ահա թե ինչու Ա = r cos φ , բ = r մեղք φ . Բայց այս դեպքում կոմպլեքս թիվը a + bi կարելի է գրել այսպես.

a + bi = r cos φ + ir մեղք φ = r (cos φ + ես մեղք φ ).

Ինչպես հայտնի է, ցանկացած վեկտորի երկարության քառակուսին գումարին հավասարնրա կոորդինատների քառակուսիները: Ահա թե ինչու r 2 = ա 2 + բ 2, որտեղից r = √ ա 2 + բ 2

Այսպիսով, ցանկացած բարդ թիվ ա + բի կարող է ներկայացվել ձևով :

a + bi = r (cos φ + ես մեղք φ ), (1)

որտեղ r = √ ա 2 + բ 2 և անկյունը φ որոշվում է պայմանից.

Բարդ թվեր գրելու այս ձևը կոչվում է եռանկյունաչափական.

Թիվ r բանաձևում (1) կոչվում է մոդուլ, և անկյունը φ - փաստարկ, կոմպլեքս թիվ ա + բի .

Եթե ​​բարդ թիվ ա + բի հավասար չէ զրոյի, ապա դրա մոդուլը դրական է. եթե ա + բի = 0, ապա ա = բ = 0 և հետո r = 0.

Ցանկացած բարդ թվի մոդուլը եզակիորեն որոշվում է:

Եթե ​​բարդ թիվ ա + բի հավասար չէ զրոյի, ապա դրա արգումենտը որոշվում է բանաձևերով (2) հաստատճշգրիտ անկյան վրա, որը բաժանվում է 2-ի π . Եթե ա + բի = 0, ապա ա = բ = 0. Այս դեպքում r = 0. Բանաձևից (1) հեշտ է հասկանալ, որ որպես փաստարկ φ Վ այս դեպքումԴուք կարող եք ընտրել ցանկացած անկյուն, ի վերջո, ցանկացած φ

0 (cos φ + ես մեղք φ ) = 0.

Հետևաբար, զրոյական արգումենտը որոշված ​​չէ:

Կոմպլեքս թվի մոդուլ r երբեմն նշվում է | զ |, իսկ փաստարկը արգ զ . Դիտարկենք բարդ թվերը եռանկյունաչափական ձևով ներկայացնելու մի քանի օրինակ:

Օրինակ. 1. 1 + ես .

Եկեք գտնենք մոդուլը r և փաստարկ φ այս թիվը.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Ուստի մեղք φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, որտեղից φ = π / 4 + 2nπ .

Այսպիսով,

1 + ես = √ 2 ,

Որտեղ Պ - ցանկացած ամբողջ թիվ: Սովորաբար, կոմպլեքս թվի արգումենտի արժեքների անսահման շարքից ընտրվում է մեկը, որը գտնվում է 0-ից 2-ի միջև: π . Այս դեպքում այս արժեքն է π / 4 . Ահա թե ինչու

1 + ես = √ 2 (cos π / 4 + ես մեղք π / 4)

Օրինակ 2.Գրի՛ր կոմպլեքս թիվը եռանկյունաչափական տեսքով √ 3 - ես . Մենք ունենք:

r = √ 3 + 1 = 2, կոս φ = √ 3 / 2, մեղք φ = - 1 / 2

Հետևաբար, մինչև 2-ի բաժանվող անկյունը π , φ = 11 / 6 π ; հետևաբար,

√ 3 - ես = 2 (cos 11 / 6 π + ես մեղք 11/6 π ).

Օրինակ 3Գրի՛ր կոմպլեքս թիվը եռանկյունաչափական տեսքով ես.

Կոմպլեքս համարը ես համապատասխան վեկտոր Օ.Ա.> , ավարտվում է առանցքի A կետում ժամը 1-ին օրդինատով (նկ. 333): Նման վեկտորի երկարությունը 1 է, իսկ x առանցքի հետ կազմած անկյունը հավասար է π / 2. Ահա թե ինչու

ես =cos π / 2 + ես մեղք π / 2 .

Օրինակ 4. 3 կոմպլեքս թիվը գրի՛ր եռանկյունաչափական տեսքով:

Համալիր թիվ 3 համապատասխանում է վեկտորին Օ.Ա. > X abscissa 3 (նկ. 334):

Նման վեկտորի երկարությունը 3 է, իսկ x առանցքի հետ նրա կազմած անկյունը՝ 0։ Հետևաբար

3 = 3 (cos 0 + ես մեղք 0),

Օրինակ 5.-5 կոմպլեքս թիվը գրի՛ր եռանկյունաչափական տեսքով:

-5 կոմպլեքս թիվը համապատասխանում է վեկտորի Օ.Ա.> ավարտվում է առանցքի կետով X աբսցիսով -5 (նկ. 335): Նման վեկտորի երկարությունը 5 է, իսկ x առանցքի հետ նրա կազմած անկյունը հավասար է π . Ահա թե ինչու

5 = 5 (cos π + ես մեղք π ).

Զորավարժություններ

2047. Այս կոմպլեքս թվերը գրի՛ր եռանկյունաչափական տեսքով՝ սահմանելով դրանց մոդուլներն ու արգումենտները.

1) 2 + 2√3 ես , 4) 12ես - 5; 7).3ես ;

2) √3 + ես ; 5) 25; 8) -2ես ;

3) 6 - 6ես ; 6) - 4; 9) 3ես - 4.

2048. Հարթության վրա նշել բարդ թվեր ներկայացնող կետերի մի շարք, որոնց մոդուլները r և φ արգումենտները բավարարում են պայմանները.

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Կարո՞ղ են թվերը միաժամանակ լինել բարդ թվի մոդուլ: r Եվ - r ?

2050. Կոմպլեքս թվի արգումենտը կարո՞ղ է միաժամանակ լինել անկյուններ: φ Եվ - φ ?

Ներկայացրե՛ք այս բարդ թվերը եռանկյունաչափական տեսքով՝ սահմանելով դրանց մոդուլներն ու փաստարկները.

2051*. 1 + cos α + ես մեղք α . 2054*։ 2 (20° - ես մեղք 20°):

2052*։ մեղք φ + ես cos φ . 2055*. 3 (- cos 15° - ես մեղք 15°):