Վեկտորների նախագծում առանցքների վրա: Վեկտորի պրոյեկցիան (երկրաչափական, հանրահաշվական) առանցքի վրա։ Կանխատեսումների հատկությունները. Կանխատեսումների տեսակները ըստ սահմանման վեկտորային պրոյեկցիայի

Պրոյեկցիաառանցքի վրա վեկտորը վեկտոր է, որը ստացվում է այս առանցքի վրա վեկտորի սկալյար պրոյեկցիան և այս առանցքի միավոր վեկտորը բազմապատկելով: Օրինակ, եթե x- սկալյար պրոյեկցիավեկտոր Ադեպի X առանցք, ապա x ես- դրա վեկտորային պրոյեկցիան այս առանցքի վրա:

Նշենք վեկտորային պրոյեկցիա նույնը, ինչ ինքնին վեկտորը, բայց առանցքի ցուցիչով, որի վրա նախագծված է վեկտորը: Այսպիսով, վեկտորի վեկտորային պրոյեկցիան Ա X առանցքի վրա, որը մենք նշում ենք Ա x ( ճարպտառ, որը ցույց է տալիս վեկտորը և առանցքի անվան ենթակետը) կամ (վեկտորը նշող ոչ թավ տառ, բայց վերևում գտնվող սլաքով (!) և առանցքի անվան ենթատեքստ):

Սկալյար պրոյեկցիամեկ առանցքի վեկտորը կոչվում է թիվ, որի բացարձակ արժեքը հավասար է առանցքի հատվածի երկարությանը (ընտրված սանդղակի վրա), որը պարփակված է սկզբնակետի և վեկտորի վերջնակետի կանխատեսումների միջև։ Սովորաբար արտահայտության փոխարեն սկալյար պրոյեկցիանրանք պարզապես ասում են. պրոյեկցիա. Պրոյեկցիան նշվում է նույն տառով, ինչ նախագծված վեկտորը (նորմալ, ոչ թավ գրությամբ), ավելի ցածր ցուցիչով (որպես կանոն) այն առանցքի անվանման, որի վրա նախագծված է այս վեկտորը։ Օրինակ, եթե վեկտորը նախագծված է X առանցքի վրա Ա,ապա դրա պրոյեկցիան նշվում է x-ով: Նույն վեկտորը մեկ այլ առանցքի վրա նախագծելիս, եթե առանցքը Y է, ապա դրա պրոյեկցիան կնշանակվի y:

Պրոյեկցիան հաշվարկելու համար վեկտորառանցքի վրա (օրինակ, X առանցքը), անհրաժեշտ է հանել մեկնարկային կետի կոորդինատը դրա վերջնակետի կոորդինատից, այսինքն.
a x = x k − x n.
Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա թիվ է։Ավելին, պրոյեկցիան կարող է լինել դրական, եթե x k արժեքը մեծ է x n արժեքից,

բացասական, եթե x k արժեքը փոքր է x n արժեքից

և հավասար է զրոյի, եթե x k-ը հավասար է x n-ի:

Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա կարելի է գտնել նաև՝ իմանալով վեկտորի մոդուլը և այն անկյունը, որը կազմում է այս առանցքի հետ:

Նկարից պարզ է դառնում, որ a x = a Cos α

այսինքն՝ վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա հավասար է վեկտորի մոդուլի և առանցքի ուղղության և անկյան կոսինուսի արտադրյալին։ վեկտորի ուղղություն. Եթե ​​անկյունը սուր է, ապա
Cos α > 0 և a x > 0, իսկ եթե բութ է, ապա բութ անկյան կոսինուսը բացասական է, և վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա նույնպես բացասական կլինի:

Անկյունները, որոնք չափվում են առանցքից ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, համարվում են դրական, իսկ առանցքի երկայնքով չափված անկյունները՝ բացասական: Այնուամենայնիվ, քանի որ կոսինուսը զույգ ֆունկցիա է, այսինքն՝ Cos α = Cos (− α), կանխատեսումները հաշվարկելիս անկյունները կարելի է հաշվել և՛ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, և՛ հակառակ ուղղությամբ։

Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա գտնելու համար այս վեկտորի մոդուլը պետք է բազմապատկվի առանցքի ուղղության և վեկտորի ուղղության միջև ընկած անկյան կոսինուսով:

Վեկտորային կոորդինատներ— ընտրված կոորդինատային համակարգում բազային վեկտորների միակ հնարավոր գծային համակցության գործակիցները, որոնք հավասար են տվյալ վեկտորին:

որտեղ են վեկտորի կոորդինատները:

Scalar արտադրանքվեկտորներ

Վեկտորների սկալյար արտադրյալ[- վերջավոր չափերով վեկտորային տարածությունսահմանվում է որպես միանման բաղադրիչների բազմապատկվող արտադրյալների գումար վեկտորներ.

Օրինակ, S.p.v. ա = (ա 1 , ..., a n) Եվ բ = (բ 1 , ..., b n):

(ա , բ ) = ա 1 բ 1 + ա 2 բ 2 + ... + ա ն բ ն

Ա. A կետի պրոյեկցիան PQ առանցքի վրա (նկ. 4) հանդիսանում է տվյալ կետից տվյալ առանցքի վրա ընկած ուղղահայաց հիմքը: Այն առանցքը, որի վրա մենք նախագծում ենք, կոչվում է պրոյեկցիոն առանցք:

բ. Թող տրվեն երկու առանցք և A B վեկտոր, որը ցույց է տրված Նկ. 5.

Այն վեկտորը, որի սկիզբը սկզբի պրոյեկցիան է, իսկ վերջը՝ այս վեկտորի վերջի պրոյեկցիան, կոչվում է A B վեկտորի պրոյեկցիա PQ առանցքի վրա, գրված է այսպես.

Երբեմն PQ ցուցիչը գրված չէ ներքևում, դա արվում է այն դեպքերում, երբ, բացի PQ-ից, չկա այլ ՕՀ, որի վրա այն կարող է նախագծվել:

Հետ. Թեորեմ I. Մեկ առանցքի վրա ընկած վեկտորների մեծությունները կապված են ցանկացած առանցքի վրա դրանց ելքերի մեծությունների հետ:

Թող տրվեն նկար 6-ում նշված առանցքները և վեկտորները: Եռանկյունների նմանությունից պարզ է դառնում, որ վեկտորների երկարությունները կապված են ինչպես դրանց ելուստների երկարությունները, այսինքն.

Քանի որ գծագրում վեկտորներն ուղղված են տարբեր ուղղություններով, դրանց մեծություններն ունեն տարբեր նշաններ, հետևաբար.

Ակնհայտ է, որ կանխատեսումների մեծությունները նույնպես ունեն տարբեր նշաններ.

փոխարինելով (2)-ը (3)-ով (1), մենք ստանում ենք

Նշանները հակադարձելով՝ մենք ստանում ենք

Եթե ​​վեկտորները հավասարապես ուղղված են, ապա դրանց կանխատեսումները նույնպես կլինեն նույն ուղղությամբ. (2) և (3) բանաձևերում մինուս նշաններ չեն լինի: Փոխարինելով (2) և (3) հավասարությունը (1), մենք անմիջապես ստանում ենք հավասարություն (4): Այսպիսով, թեորեմն ապացուցված է բոլոր դեպքերի համար։

դ. Թեորեմ II. Վեկտորի պրոյեկցիայի մեծությունը ցանկացած առանցքի վրա հավասար է վեկտորի մեծությանը, բազմապատկված պրոյեկցիաների առանցքի և վեկտորի առանցքի միջև անկյան կոսինուսով: Թող առանցքները տրվեն որպես վեկտոր, ինչպես ցույց է տրված Նկ. . 7. Կառուցենք իր առանցքի նույն ուղղությամբ վեկտոր և գծագրենք, օրինակ, առանցքների հատման կետից: Թող դրա երկարությունը հավասար լինի մեկի: Հետո դրա մեծությունը

Սահմանում 1. Հարթության վրա A կետի զուգահեռ ելքը l առանցքի վրա կետ է. l առանցքի հատման կետը A կետով գծված ուղիղ գծով, որը գծված է վեկտորին զուգահեռ, որը սահմանում է նախագծման ուղղությունը:

Սահմանում 2. Վեկտորի զուգահեռ պրոյեկցիան l առանցքի վրա (վեկտորի նկատմամբ) վեկտորի կոորդինատն է հիմքի նկատմամբ։ առանցք l, որտեղ կետերը և A և B կետերի զուգահեռ ելքերը համապատասխանաբար l առանցքի վրա են (նկ. 1):

Մեր ունեցած սահմանման համաձայն

Սահմանում 3. եթե և l առանցքի հիմքը Դեկարտյան, այսինքն՝ վեկտորի պրոյեկցիան l առանցքի վրա կոչվում է ուղղանկյուն (նկ. 2):

Տիեզերքում ուժի մեջ է մնում առանցքի վրա վեկտորային պրոյեկցիայի սահմանումը 2, միայն պրոյեկցիայի ուղղությունը նշված է երկու ոչ գծային վեկտորներով (նկ. 3):

Վեկտորի՝ առանցքի վրա պրոյեկցիայի սահմանումից հետևում է, որ վեկտորի յուրաքանչյուր կոորդինատ այս վեկտորի պրոյեկցիան է համապատասխան հիմքի վեկտորով սահմանված առանցքի վրա։ Այս դեպքում նախագծման ուղղությունը նշվում է երկու այլ հիմքի վեկտորներով, եթե նախագիծն իրականացվում է (դիտարկվում է) տարածության մեջ, կամ մեկ այլ հիմքի վեկտորով, եթե նախագիծը դիտարկվում է հարթության վրա (նկ. 4):

Թեորեմ 1. Վեկտորի ուղղանկյուն պրոյեկցիան l առանցքի վրա հավասար է վեկտորի մոդուլի և l առանցքի դրական ուղղության միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին և, այսինքն.

Մյուս կողմից

Մենք գտնում ենք

Փոխարինելով AC-ը հավասարությամբ (2), մենք ստանում ենք

Քանի որ թվերը xև նույն նշանը երկու դեպքում էլ քննարկվող ((նկ. 5, ա) ; (նկ. 5, բ), ապա հավասարությունից (4) հետևում է.

Մեկնաբանություն. Հետևյալում մենք կդիտարկենք միայն վեկտորի ուղղանկյուն պրոյեկցիան առանցքի վրա և, հետևաբար, «ort» (ուղղանկյուն) բառը կբացակայվի նշումից:

Ներկայացնենք մի շարք բանաձևեր, որոնք հետագայում օգտագործվում են խնդիրներ լուծելիս։

ա) վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա.

Եթե, ապա ուղղանկյուն պրոյեկցիան վեկտորի վրա ըստ (5) բանաձևի ունի ձև

գ) Հեռավորությունը կետից մինչև հարթություն.

Թող b լինի նորմալ վեկտորով տրված հարթություն, M՝ տրված կետ,

d-ն M կետից մինչև b հարթություն հեռավորությունն է (նկ. 6):

Եթե ​​N-ը b հարթության կամայական կետն է, և M և N կետերի ելքերը առանցքի վրա են, ապա

• է) Հատվող գծերի միջև հեռավորությունը:

Թող a-ին և b-ին տրվեն հատվող գծեր, լինեն վեկտոր՝ ուղղահայաց, A-ն և B-ն լինեն համապատասխանաբար a և b ուղիղների կամայական կետեր (նկ. 7), և լինեն A և B կետերի կանխատեսումներ, ապա

ե) Կետից մինչև ուղիղ հեռավորություն.

Թող լ- ուղղության վեկտորով տրված ուղիղ գիծ, ​​M - տրված կետ,

N - դրա պրոյեկցիան գծի վրա լ, ապա - պահանջվող հեռավորությունը (նկ. 8):

Եթե ​​A-ն կամայական կետ է ուղիղի վրա լ, ապա ներս ուղղանկյուն եռանկյուն MNA, hypotenuse MA-ն և ոտքերը կարող են հայտնաբերվել: Նշանակում է,

զ) Ուղիղ գծի և հարթության անկյունը.

Թող լինի այս ուղղի ուղղության վեկտորը լ, - տրված հարթության նորմալ վեկտոր b, - ուղիղ գծի պրոյեկցիա լ b հարթության վրա (նկ. 9):

Ինչպես հայտնի է, անկյունը մ ուղիղ գծի միջև լիսկ դրա պրոյեկցիան b հարթության վրա կոչվում է գծի և հարթության անկյուն։ Մենք ունենք

Բերենք վեկտոր-կոորդինատ մեթոդով մետրային խնդիրների լուծման օրինակներ:

Թող երկու վեկտոր և տրվի տարածության մեջ: Եկեք կամայական կետից հետաձգենք Օվեկտորներ և. Անկյունվեկտորների միջև կոչվում է անկյուններից ամենափոքրը: Նշանակված է .

Դիտարկենք առանցքը լև դրա վրա գծեք միավոր վեկտոր (այսինքն՝ վեկտոր, որի երկարությունը հավասար է մեկի):

Վեկտորի և առանցքի միջև անկյան տակ լհասկանալ վեկտորների և .

Ուրեմն թող լինչ-որ առանցք է և վեկտոր է:

Նշենք ըստ Ա 1Եվ Բ 1կանխատեսումներ առանցքի վրա լհամապատասխանաբար միավորներ ԱԵվ Բ. Եկեք այդպես ձևացնենք Ա 1ունի կոորդինատ x 1, Ա Բ 1- համակարգել x 2առանցքի վրա լ.

Հետո պրոյեկցիավեկտորը մեկ առանցքի վրա լկոչվում է տարբերություն x 1 – x 2վեկտորի վերջի և սկզբի պրոյեկցիաների կոորդինատների միջև այս առանցքի վրա:

Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա լմենք կնշենք.

Հասկանալի է, որ եթե վեկտորի և առանցքի միջև ընկած անկյունը լկծու ապա x 2> x 1, և պրոյեկցիա x 2 – x 1> 0; եթե այս անկյունը բութ է, ապա x 2< x 1և պրոյեկցիա x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси լ, Դա x 2= x 1Եվ x 2– x 1=0.

Այսպիսով, վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա լհատվածի երկարությունն է A 1 B 1, վերցված որոշակի նշանով. Հետևաբար, վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա թիվ է կամ սկալար։

Նմանապես որոշվում է մի վեկտորի պրոյեկցիան մյուսի վրա: Այս դեպքում հայտնաբերվում են այս վեկտորի ծայրերի կանխատեսումները այն գծի վրա, որի վրա ընկած է 2-րդ վեկտորը:

Եկեք նայենք մի քանի հիմնական կանխատեսումների հատկությունները.

ԳԾԱՅԻՆ ԿԱԽՎԱԾ ԵՎ ԳԾԱՅԻՆ ԱՆԿԱԽ ՎԵԿՏՈՐԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ

Դիտարկենք մի քանի վեկտոր.

Գծային համադրությունայս վեկտորներից ցանկացած ձևի վեկտոր է, որտեղ կան որոշ թվեր: Թվերը կոչվում են գծային համակցության գործակիցներ։ Ասում են նաև, որ այս դեպքում այն ​​գծայինորեն արտահայտվում է այս վեկտորների միջոցով, ի. դրանցից ստացվում է գծային գործողությունների միջոցով։

Օրինակ, եթե տրված են երեք վեկտորներ, ապա դրանց գծային համակցություն կարող են համարվել հետևյալ վեկտորները.

Եթե ​​վեկտորը ներկայացված է որպես որոշ վեկտորների գծային համակցություն, ապա ասում են դրվածայս վեկտորների երկայնքով:

Վեկտորները կոչվում են գծային կախված, եթե կան թվեր, ոչ բոլորը հավասար են զրոյի, այնպես, որ . Հասկանալի է, որ տրված վեկտորները գծային կախված կլինեն, եթե այս վեկտորներից որևէ մեկը գծային արտահայտված լինի մյուսների տեսքով:

Հակառակ դեպքում, այսինքն. երբ հարաբերակցությունը կատարվում է միայն այն ժամանակ, երբ , այս վեկտորները կոչվում են գծային անկախ.

Թեորեմ 1.Ցանկացած երկու վեկտոր գծային կախված է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանք համագիծ են:

Ապացույց:

Նմանապես կարելի է ապացուցել հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ 2.Երեք վեկտորներ գծային կախված են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանք համահարթակ են:

Ապացույց.

ՀԻՄՔ

Հիմքոչ զրոյական գծային անկախ վեկտորների հավաքածու է։ Հիմքի տարրերը կնշանակենք .

Նախորդ պարբերությունում մենք տեսանք, որ հարթության վրա երկու ոչ գծային վեկտորները գծային անկախ են: Հետևաբար, նախորդ պարբերության 1-ին թեորեմի համաձայն, հարթության վրա հիմք է հանդիսանում այս հարթության վրա գտնվող ցանկացած երկու ոչ գծային վեկտոր:

Նմանապես, ցանկացած երեք ոչ համահավասար վեկտորներ գծայինորեն անկախ են տարածության մեջ: Հետևաբար, մենք երեք ոչ համահունչ վեկտորներ անվանում ենք հիմք տարածության մեջ:

Հետևյալ պնդումը ճիշտ է.

Թեորեմ.Թող հիմք տրվի տարածության մեջ։ Այնուհետև ցանկացած վեկտոր կարող է ներկայացվել որպես գծային համակցություն , Որտեղ x, y, զ- որոշ թվեր. Սա միակ տարրալուծումն է։

Ապացույց.

Այսպիսով, հիմքը թույլ է տալիս յուրաքանչյուր վեկտորին եզակիորեն կապված լինել թվերի եռակի հետ՝ այս վեկտորի ընդլայնման գործակիցները բազային վեկտորների մեջ. Ճիշտ է նաև հակառակը՝ յուրաքանչյուր երեք թվի համար x, y, zօգտագործելով հիմքը, կարող եք համեմատել վեկտորը, եթե գծային համադրություն եք անում .

Եթե ​​հիմքը և , ապա թվերը x, y, zկոչվում են կոորդինատներըվեկտորը տվյալ հիմքում: Վեկտորի կոորդինատները նշանակվում են .

ԿԱՐՏԵԶՅԱՆ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Թող մի կետ տրվի տարածության մեջ Օև երեք ոչ համահունչ վեկտորներ:

Դեկարտյան կոորդինատային համակարգտարածության մեջ (հարթության վրա) կետի և հիմքի հավաքածուն է, այսինքն. այս կետից բխող կետի և երեք ոչ համահունչ վեկտորների (2 ոչ գծային վեկտորների) մի շարք:

Կետ Օկոչվում է ծագում; Ուղիղ գծերը, որոնք անցնում են կոորդինատների սկզբնակետով հիմնական վեկտորների ուղղությամբ, կոչվում են կոորդինատային առանցքներ՝ աբսցիսա, օրդինատ և կիրառական առանցք: Կոորդինատային առանցքներով անցնող հարթությունները կոչվում են կոորդինատային հարթություններ:

Դիտարկենք կամայական կետ ընտրված կոորդինատային համակարգում Մ. Ներկայացնենք կետերի կոորդինատների հասկացությունը Մ. Վեկտորը, որը կապում է ծագումը մի կետի Մ. կանչեց շառավղով վեկտորմիավորներ Մ.

Ընտրված հիմքում գտնվող վեկտորը կարող է կապված լինել եռակի թվերի հետ՝ դրա կոորդինատները. .

Կետի շառավիղի վեկտորի կոորդինատները Մ. կոչվում են Մ կետի կոորդինատները. դիտարկվող կոորդինատային համակարգում։ M(x,y,z). Առաջին կոորդինատը կոչվում է աբսցիսա, երկրորդը օրդինատ է, իսկ երրորդը՝ կիրառական։

Դեկարտյան կոորդինատները հարթության վրա որոշվում են նույն կերպ։ Այստեղ կետն ունի ընդամենը երկու կոորդինատ՝ աբսցիսսա և օրդինատ։

Հեշտ է տեսնել, որ տվյալ կոորդինատային համակարգի համար յուրաքանչյուր կետ ունի որոշակի կոորդինատներ։ Մյուս կողմից, թվերի յուրաքանչյուր եռակի համար կա եզակի կետ, որն ունի այս թվերը որպես կոորդինատներ:

Եթե ​​ընտրված կոորդինատային համակարգում որպես հիմք ընդունված վեկտորները ունեն միավորի երկարություն և զույգ-զույգ ուղղահայաց են, ապա կոորդինատային համակարգը կոչվում է. Դեկարտյան ուղղանկյուն:

Հեշտ է դա ցույց տալ։

Վեկտորի ուղղության կոսինուսները լիովին որոշում են նրա ուղղությունը, բայց ոչինչ չեն ասում դրա երկարության մասին:

Շարժման վեկտորային նկարագրությունը օգտակար է, քանի որ մեկ գծագրում դուք միշտ կարող եք պատկերել բազմաթիվ տարբեր վեկտորներ և ձեր աչքի առաջ ստանալ շարժման տեսողական «նկար»: Այնուամենայնիվ, վեկտորների հետ գործողություններ կատարելու համար ամեն անգամ քանոն և անկյունաչափ օգտագործելը շատ աշխատատար է: Հետևաբար, այդ գործողությունները վերածվում են դրական և բացասական թվեր- վեկտորների կանխատեսումներ.

Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրակոչվում է սկալյար մեծություն, որը հավասար է նախագծված վեկտորի մոդուլի և վեկտորի ուղղությունների և ընտրված կոորդինատային առանցքի միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին:

Ձախ գծագրում պատկերված է տեղաշարժի վեկտոր, որի մոդուլը 50 կմ է, և ձևավորվում է դրա ուղղությունը բութ անկյուն X առանցքի ուղղությամբ 150°: Օգտագործելով սահմանումը, մենք գտնում ենք տեղաշարժի պրոյեկցիան X առանցքի վրա.

sx = s cos(α) = 50 կմ cos(150°) = –43 կմ

Քանի որ առանցքների միջև անկյունը 90° է, հեշտ է հաշվարկել, որ շարժման ուղղությունը Y առանցքի ուղղության հետ կազմում է 60° սուր անկյուն: Օգտագործելով սահմանումը, մենք գտնում ենք տեղաշարժի նախագծումը Y առանցքի վրա.

sy = s cos(β) = 50 կմ cos(60°) = +25 կմ

Ինչպես տեսնում եք, եթե վեկտորի ուղղությունը առանցքի ուղղության հետ կազմում է սուր անկյուն, ապա պրոյեկցիան դրական է. եթե վեկտորի ուղղությունը բութ անկյուն է կազմում առանցքի ուղղության հետ, ապա պրոյեկցիան բացասական է:

Ճիշտ գծագրում պատկերված է արագության վեկտոր, որի մոդուլը 5 մ/վ է, իսկ ուղղությունը X առանցքի ուղղության հետ կազմում է 30° անկյուն։Գտնենք կանխատեսումները.

υx = υ · cos(α) = 5 մ/վ · cos( 30°) = +4,3 մ/վ
υy = υ · cos(β) = 5 մ/վ · cos( 120°) = –2,5 մ/վ

Շատ ավելի հեշտ է առանցքների վրա վեկտորների կանխատեսումներ գտնելը, եթե նախագծված վեկտորները զուգահեռ կամ ուղղահայաց են ընտրված առանցքներին: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ զուգահեռության դեպքում հնարավոր է երկու տարբերակ՝ վեկտորը համակողմանի է դեպի առանցքը, իսկ վեկտորը հակառակ է առանցքին, իսկ ուղղահայացության դեպքում կա միայն մեկ տարբերակ։

Առանցքին ուղղահայաց վեկտորի պրոյեկցիան միշտ զրոյական է (ձախ գծագրում տես sy և ay, իսկ աջ գծագրում՝ sx և υx): Իրոք, առանցքին ուղղահայաց վեկտորի համար նրա և առանցքի միջև անկյունը 90° է, հետևաբար կոսինուսը զրո է, ինչը նշանակում է, որ պրոյեկցիան զրո է:

Առանցքի հետ վեկտորի համակողմանի պրոյեկցիան դրական է և հավասար է դրա բացարձակ արժեքին, օրինակ՝ sx = +s (տե՛ս ձախ նկարը): Իրոք, առանցքի հետ միակողմանի վեկտորի համար նրա և առանցքի միջև անկյունը զրո է, իսկ կոսինուսը «+1», այսինքն՝ պրոյեկցիան հավասար է վեկտորի երկարությանը. sx = x – xo = +: ս.

Առանցքին հակառակ վեկտորի պրոյեկցիան բացասական է և հավասար է նրա մոդուլին, որը վերցված է մինուս նշանով, օրինակ՝ sy = –s (տե՛ս աջ նկարը): Իրոք, առանցքին հակառակ վեկտորի համար նրա և առանցքի միջև անկյունը 180° է, իսկ կոսինուսը՝ «–1», այսինքն՝ պրոյեկցիան հավասար է բացասական նշանով վերցված վեկտորի երկարությանը. = y – yo = –s :

Երկու գծագրերի աջ կողմերը ցույց են տալիս այլ դեպքեր, երբ վեկտորները զուգահեռ են վեկտորներից մեկին կոորդինատային առանցքներև մյուսին ուղղահայաց։ Հրավիրում ենք ինքներդ համոզվելու, որ այս դեպքերում ևս պահպանվում են նախորդ պարբերություններում ձևակերպված կանոնները։