Աղյուսակի հենց առաջին բանաձևը դուրս բերելիս մենք կսկսենք ածանցյալ ֆունկցիայի սահմանումը մի կետում: Եկեք վերցնենք որտեղ x- ցանկացած իրական թիվ, այսինքն. x– ֆունկցիայի սահմանման տիրույթից ցանկացած թիվ: Եկեք գրենք ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանը արգումենտի ավելացմանը հետևյալ հասցեով.

Հարկ է նշել, որ սահմանային նշանի տակ ստացվում է արտահայտությունը, որը զրոյի բաժանված անորոշությունը չէ, քանի որ համարիչը պարունակում է ոչ թե անվերջ փոքր արժեք, այլ ճշգրիտ զրո։ Այլ կերպ ասած, հաստատուն ֆունկցիայի աճը միշտ զրո է։

Այսպիսով, հաստատուն ֆունկցիայի ածանցյալհավասար է զրոյի ամբողջ սահմանման տիրույթում.

Հզորության ֆունկցիայի ածանցյալ:

Հզորության ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևն ունի ձև , որտեղ ցուցիչը էջ- ցանկացած իրական թիվ:

Եկեք նախ ապացուցենք բնական ցուցիչի բանաձևը, այսինքն՝ համար p = 1, 2, 3, ...

Մենք կօգտագործենք ածանցյալի սահմանումը: Եկեք գրենք ուժային ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանը փաստարկի ավելացմանը.

Համարիչի արտահայտությունը պարզեցնելու համար մենք դիմում ենք Նյուտոնի երկանդամ բանաձևին.

Հետևաբար,

Սա ապացուցում է բնական ցուցիչի հզորության ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևը:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ։

Ներկայացնում ենք ածանցյալ բանաձևի ածանցումը` հիմնված սահմանման վրա.

Մենք հասել ենք անորոշության. Այն ընդլայնելու համար մենք ներկայացնում ենք նոր փոփոխական, և ժամը . Հետո . Վերջին անցումում մենք օգտագործեցինք նոր լոգարիթմական բազայի անցնելու բանաձևը:

Եկեք փոխարինենք սկզբնական սահմանին.

Եթե ​​հիշենք երկրորդ ուշագրավ սահմանը, ապա կհասնենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևին.

Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ։

Եկեք ապացուցենք բոլորի համար լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևը xսահմանման տիրույթից և բազայի բոլոր վավեր արժեքներից ալոգարիթմ Ածանցյալի սահմանմամբ ունենք.

Ինչպես նկատեցիք, ապացուցման ընթացքում փոխակերպումները կատարվել են՝ օգտագործելով լոգարիթմի հատկությունները։ Հավասարություն ճշմարիտ է երկրորդ ուշագրավ սահմանի շնորհիվ:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ.

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալների բանաձևերը դուրս բերելու համար մենք ստիպված կլինենք հիշել եռանկյունաչափության որոշ բանաձևեր, ինչպես նաև առաջին ուշագրավ սահմանը:

Սինուսային ֆունկցիայի ածանցյալի սահմանմամբ մենք ունենք .

Եկեք օգտագործենք սինուսների տարբերության բանաձևը.

Մնում է դիմել առաջին ուշագրավ սահմանին.

Այսպիսով, ֆունկցիայի ածանցյալը մեղք xԿա cos x.

Կոսինուսի ածանցյալի բանաձևն ապացուցված է ճիշտ նույն կերպ.

Հետևաբար, ֆունկցիայի ածանցյալը cos xԿա - մեղք x.

Տանգենսի և կոտանգենսի ածանցյալների աղյուսակի բանաձևերը կբերենք՝ օգտագործելով տարբերակման ապացուցված կանոնները (կոտորակի ածանցյալ):

Հիպերբոլիկ ֆունկցիաների ածանցյալներ.

Տարբերակման կանոնները և էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևը ածանցյալների աղյուսակից թույլ են տալիս մեզ դուրս բերել հիպերբոլիկ սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի ածանցյալների բանաձևերը։

Հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալ.

Ներկայացման ընթացքում խառնաշփոթությունից խուսափելու համար եկեք ստորագրում նշենք այն ֆունկցիայի արգումենտը, որով կատարվում է տարբերակումը, այսինքն՝ այն ֆունկցիայի ածանցյալն է։ f(x)Ըստ x.

Հիմա ձեւակերպենք հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու կանոն.

Թողեք գործառույթները y = f(x)Եվ x = g(y)փոխադարձ հակադարձ, սահմանված ընդմիջումներով և համապատասխանաբար: Եթե ​​մի կետում կա ֆունկցիայի վերջավոր ոչ զրոյական ածանցյալ f(x), ապա կետում կա հակադարձ ֆունկցիայի վերջավոր ածանցյալ g(y), և . Մեկ այլ գրառման մեջ .

Այս կանոնը կարող է վերաձեւակերպվել ցանկացածի համար xմիջակայքից, ապա մենք ստանում ենք .

Եկեք ստուգենք այս բանաձեւերի վավերականությունը:

Գտնենք բնական լոգարիթմի հակադարձ ֆունկցիան (Այստեղ yֆունկցիա է, և x- փաստարկ): Այս հավասարումը լուծելով x, մենք ստանում ենք (այստեղ xֆունկցիա է, և y- նրա փաստարկը): Այն է, և փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաներ։

Ածանցյալների աղյուսակից տեսնում ենք, որ Եվ .

Եկեք համոզվենք, որ հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալները գտնելու բանաձևերը մեզ տանում են նույն արդյունքների.

Մաթեմատիկայում ֆիզիկական խնդիրների կամ օրինակների լուծումը լիովին անհնար է առանց ածանցյալի և դրա հաշվարկման մեթոդների իմացության: Ածանցյալը մաթեմատիկական վերլուծության ամենակարեւոր հասկացություններից մեկն է: Մենք որոշեցինք այսօրվա հոդվածը նվիրել այս հիմնարար թեմային: Ի՞նչ է ածանցյալը, ի՞նչ ֆիզիկական և երկրաչափական նշանակություն ունի, ինչպե՞ս հաշվարկել ֆունկցիայի ածանցյալը։ Այս բոլոր հարցերը կարելի է միավորել մեկի մեջ՝ ինչպե՞ս հասկանալ ածանցյալը:

Ածանցյալի երկրաչափական և ֆիզիկական նշանակությունը

Թող ֆունկցիա լինի f(x) , նշված է որոշակի ընդմիջումով (ա, բ) . Այս միջակայքին են պատկանում x և x0 կետերը: Երբ x-ը փոխվում է, ֆունկցիան ինքնին փոխվում է: Փաստարկի փոփոխություն՝ դրա արժեքների տարբերությունը x-x0 . Այս տարբերությունը գրված է այսպես դելտա x և կոչվում է արգումենտի ավելացում։ Ֆունկցիայի փոփոխությունը կամ աճը երկու կետում ֆունկցիայի արժեքների տարբերությունն է: Ածանցյալի սահմանում.

Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը տվյալ կետում ֆունկցիայի աճի հարաբերության սահմանն է փաստարկի աճին, երբ վերջինս հակված է զրոյի:

Հակառակ դեպքում կարելի է գրել այսպես.

Ի՞նչ իմաստ ունի նման սահման գտնելը։ Եվ ահա թե ինչ է դա.

Կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է OX առանցքի և տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող անկյան շոշափմանը:

Ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունը. ուղու ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ հավասար է ուղղագիծ շարժման արագությանը։

Իսկապես, դպրոցական օրերից բոլորը գիտեն, որ արագությունը որոշակի ճանապարհ է x=f(t) և ժամանակ տ . Միջին արագությունը որոշակի ժամանակահատվածում.

Ժամանակի ընթացքում շարժման արագությունը պարզելու համար t0 դուք պետք է հաշվարկեք սահմանը.

Կանոն առաջին. սահմանել հաստատուն

Հաստատունը կարելի է հանել ածանցյալ նշանից։ Ավելին, դա պետք է արվի։ Մաթեմատիկայում օրինակներ լուծելիս ընդունեք որպես կանոն. Եթե ​​դուք կարող եք պարզեցնել արտահայտությունը, համոզվեք, որ այն պարզեցրեք .

Օրինակ. Եկեք հաշվարկենք ածանցյալը.

Կանոն երկրորդ՝ ֆունկցիաների գումարի ածանցյալ

Երկու ֆունկցիաների գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների գումարին։ Նույնը վերաբերում է ֆունկցիաների տարբերության ածանցյալին։

Մենք չենք տա այս թեորեմի ապացույցը, այլ ավելի շուտ կդիտարկենք գործնական օրինակ:

Գտեք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Երրորդ կանոն՝ ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալ

Երկու տարբերակելի ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հաշվարկվում է բանաձևով.

Օրինակ՝ գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Լուծում:

Այստեղ կարևոր է խոսել բարդ ֆունկցիաների ածանցյալների հաշվարկման մասին։ Կոմպլեքս ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիայի ածանցյալի արտադրյալին միջանկյալ փաստարկի նկատմամբ և միջանկյալ փաստարկի ածանցյալին անկախ փոփոխականի նկատմամբ։

Վերոնշյալ օրինակում մենք հանդիպում ենք արտահայտության.

Այս դեպքում միջանկյալ արգումենտը 8x է հինգերորդ ուժին: Նման արտահայտության ածանցյալը հաշվարկելու համար մենք նախ հաշվարկում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը միջանկյալ արգումենտի նկատմամբ, այնուհետև բազմապատկում ենք բուն միջանկյալ փաստարկի ածանցյալով անկախ փոփոխականի նկատմամբ։

Չորրորդ կանոն՝ երկու ֆունկցիայի քանորդի ածանցյալ

Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալի որոշման բանաձև.

Մենք փորձեցինք խոսել զրոյից ածանցյալների մասին: Այս թեման այնքան էլ պարզ չէ, որքան թվում է, այնպես որ զգուշացե՛ք. օրինակներում հաճախ են որոգայթներ, ուստի զգույշ եղեք ածանցյալները հաշվարկելիս:

Այս և այլ թեմաների վերաբերյալ ցանկացած հարցով կարող եք կապվել ուսանողական ծառայության հետ: Կարճ ժամանակում մենք կօգնենք ձեզ լուծել ամենադժվար թեստը և հասկանալ առաջադրանքները, նույնիսկ եթե նախկինում երբեք չեք արել ածանցյալ հաշվարկներ։

Ածանցյալը գտնելու գործողությունը կոչվում է տարբերակում։

Ամենապարզ (և ոչ շատ պարզ) ֆունկցիաների ածանցյալներ գտնելու խնդիրների լուծման արդյունքում՝ ածանցյալը որպես փաստարկի աճի հարաբերակցության սահման սահմանելով, հայտնվեց ածանցյալների աղյուսակը և տարբերակման հստակ սահմանված կանոնները։ . Ածանցյալների որոնման ոլորտում առաջինն աշխատել են Իսահակ Նյուտոնը (1643-1727) և Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնիցը (1646-1716):

Հետևաբար, մեր ժամանակներում որևէ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ չէ հաշվարկել ֆունկցիայի աճի և փաստարկի աճի հարաբերակցության վերը նշված սահմանը, այլ անհրաժեշտ է օգտագործել միայն աղյուսակը. ածանցյալներ և տարբերակման կանոններ. Հետևյալ ալգորիթմը հարմար է ածանցյալը գտնելու համար.

Ածանցյալը գտնելու համար, ձեզ անհրաժեշտ է արտահայտություն՝ պարզ նշանի տակ պարզ գործառույթները բաժանել բաղադրիչներիև որոշել, թե ինչ գործողություններ (արտադրանք, գումար, գործակից)այս գործառույթները կապված են: Հաջորդը, մենք գտնում ենք տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները ածանցյալների աղյուսակում, իսկ արտադրանքի, գումարի և գործակիցի ածանցյալների բանաձևերը՝ տարբերակման կանոններում: Ածանցյալ աղյուսակը և տարբերակման կանոնները տրված են առաջին երկու օրինակներից հետո:

Օրինակ 1.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Տարբերակման կանոններից պարզում ենք, որ ֆունկցիաների գումարի ածանցյալը ֆունկցիաների ածանցյալների գումարն է, այսինքն.

Ածանցյալների աղյուսակից պարզում ենք, որ «x»-ի ածանցյալը հավասար է մեկի, իսկ սինուսի ածանցյալը՝ կոսինուսի։ Մենք այս արժեքները փոխարինում ենք ածանցյալների գումարով և գտնում ենք խնդրի պայմանով պահանջվող ածանցյալը.

Օրինակ 2.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Որպես ածանցյալ տարբերակում ենք այն գումարը, որում երկրորդ անդամն ունի հաստատուն գործակից, այն կարելի է հանել ածանցյալի նշանից.

Եթե ​​դեռ հարցեր են ծագում այն ​​մասին, թե որտեղից է գալիս ինչ-որ բան, դրանք սովորաբար պարզվում են ածանցյալների աղյուսակին և տարբերակման ամենապարզ կանոններին ծանոթանալուց հետո: Մենք հենց հիմա անցնում ենք դրանց:

Պարզ ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակ

1. Հաստատուն (թիվ) ածանցյալ. Ցանկացած թիվ (1, 2, 5, 200...), որը գտնվում է ֆունկցիայի արտահայտության մեջ։ Միշտ հավասար է զրոյի: Սա շատ կարևոր է հիշել, քանի որ դա շատ հաճախ է պահանջվում
2. Անկախ փոփոխականի ածանցյալ. Առավել հաճախ «X»: Միշտ մեկին հավասար: Սա նույնպես կարևոր է երկար հիշել
3. աստիճանի ածանցյալ. Խնդիրներ լուծելիս պետք է ոչ քառակուսի արմատները վերածել ուժերի։
4. Փոփոխականի ածանցյալը -1 հզորությանը
5. Քառակուսի արմատի ածանցյալ
6. Սինուսի ածանցյալ
7. Կոսինուսի ածանցյալ
8. Շոշափողի ածանցյալ
9. Կոտանգենսի ածանցյալ
10. Արքսինի ածանցյալ
11. Արկկոսինի ածանցյալ
12. Արկտանգենսի ածանցյալ
13. աղեղային կոտանգենսի ածանցյալ
14. Բնական լոգարիթմի ածանցյալ
15. Լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ
16. Ցուցանիշի ածանցյալ
17. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալ

Տարբերակման կանոններ

1. Գումարի կամ տարբերության ածանցյալ
2. Արտադրանքի ածանցյալ
2 ա. Արտահայտության ածանցյալը բազմապատկված է հաստատուն գործակցով
3. ածանցյալի
4. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ

Կանոն 1.Եթե ​​գործառույթները

ինչ-որ պահի տարբերվում են, ապա ֆունկցիաները տարբերվում են նույն կետում

և

դրանք. ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների հանրահաշվական գումարին։

Հետևանք. Եթե ​​երկու տարբերվող ֆունկցիաները տարբերվում են հաստատուն անդամով, ապա դրանց ածանցյալները հավասար են, այսինքն.

Կանոն 2.Եթե ​​գործառույթները

ինչ-որ պահի տարբերվում են, ապա նրանց արտադրանքը նույն կետում տարբերվում է

և

դրանք. Երկու ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի արտադրյալների գումարին և մյուսի ածանցյալին։

Եզրակացություն 1. Մշտական ​​գործոնը կարելի է հանել ածանցյալի նշանից:

Եզրակացություն 2. Մի քանի դիֆերենցիալ ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է յուրաքանչյուր գործոնի և բոլոր մյուսների ածանցյալի արտադրյալների գումարին։

Օրինակ, երեք բազմապատկիչների համար.

Կանոն 3.Եթե ​​գործառույթները

ինչ-որ պահի տարբերվող Եվ , ապա այս պահին նրանց քանորդը նույնպես տարբերելի էu/v , և

դրանք. երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը հավասար է կոտորակի, որի համարիչը հայտարարի արտադրյալների և համարիչի և հայտարարի ածանցյալի արտադրյալների տարբերությունն է, իսկ հայտարարը՝ քառակուսին։ նախկին համարիչը.

Որտեղ փնտրել բաներ այլ էջերում

Իրական խնդիրներում արտադրանքի ածանցյալը և գործակիցը գտնելիս միշտ անհրաժեշտ է կիրառել մի քանի տարբերակման կանոններ, ուստի հոդվածում այս ածանցյալների վերաբերյալ ավելի շատ օրինակներ կան.«Արդյունքների արտադրյալի և գործակիցների ածանցյալը».

Մեկնաբանություն.Պետք չէ շփոթել հաստատունը (այսինքն՝ թիվը) որպես գումարի անդամ և որպես հաստատուն գործոն: Տերմինի դեպքում նրա ածանցյալը հավասար է զրոյի, իսկ հաստատուն գործոնի դեպքում հանվում է ածանցյալների նշանից։ Սա տիպիկ սխալ է, որը տեղի է ունենում ածանցյալների ուսումնասիրության սկզբնական փուլում, բայց քանի որ միջին ուսանողը լուծում է մի քանի մեկ և երկու մասից բաղկացած օրինակներ, նա այլևս չի անում այս սխալը:

Իսկ եթե ապրանքը կամ գործակիցը տարբերակելիս ունեք տերմին u"v, որի մեջ u- թիվ, օրինակ՝ 2 կամ 5, այսինքն՝ հաստատուն, ապա այս թվի ածանցյալը հավասար կլինի զրոյի և, հետևաբար, ամբողջ անդամը հավասար կլինի զրոյի (այս դեպքը քննարկվում է օրինակ 10-ում)։

Մյուս տարածված սխալը բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի մեխանիկական լուծումն է որպես պարզ ֆունկցիայի ածանցյալ: Ահա թե ինչու բարդ ֆունկցիայի ածանցյալհատկացված է առանձին հոդված։ Բայց նախ մենք կսովորենք գտնել պարզ ֆունկցիաների ածանցյալներ։

Ճանապարհին դուք չեք կարող անել առանց արտահայտությունների փոխակերպման: Դա անելու համար ձեզ հարկավոր է բացել ձեռնարկը նոր պատուհաններում: Գործողություններ ուժերով և արմատներովԵվ Գործողություններ կոտորակներով .

Եթե ​​դուք լուծումներ եք փնտրում հզորություններով և արմատներով կոտորակների ածանցյալների համար, այսինքն, երբ ֆունկցիան նման է. , այնուհետև հետևեք «Հզորություններով և արմատներով կոտորակների գումարների ածանցյալ» դասին։

Եթե ​​ունեք այնպիսի առաջադրանք, ինչպիսին է , ապա կանցկացնեք «Պարզ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ» դասը։

Քայլ առ քայլ օրինակներ - ինչպես գտնել ածանցյալը

Օրինակ 3.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Մենք սահմանում ենք ֆունկցիայի արտահայտության մասերը. ամբողջ արտահայտությունը ներկայացնում է արտադրյալ, իսկ դրա գործակիցները գումարներ են, որոնցից երկրորդում տերմիններից մեկը պարունակում է հաստատուն գործակից։ Մենք կիրառում ենք արտադրանքի տարբերակման կանոնը. երկու ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի արտադրյալների գումարին մյուսի ածանցյալով.

Հաջորդիվ կիրառում ենք գումարի տարբերակման կանոնը՝ ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների հանրահաշվական գումարին։ Մեր դեպքում յուրաքանչյուր գումարում երկրորդ անդամն ունի մինուս նշան։ Յուրաքանչյուր գումարում տեսնում ենք և՛ անկախ փոփոխական, որի ածանցյալը հավասար է մեկի, և՛ հաստատուն (թիվ), որի ածանցյալը հավասար է զրոյի։ Այսպիսով, «X»-ը վերածվում է մեկի, իսկ մինուս 5-ը՝ զրոյի: Երկրորդ արտահայտության մեջ «x»-ը բազմապատկվում է 2-ով, ուստի մենք երկուսը բազմապատկում ենք նույն միավորով, ինչ «x»-ի ածանցյալը։ Մենք ստանում ենք հետևյալ ածանցյալ արժեքները.

Գտնված ածանցյալները փոխարինում ենք արտադրյալների գումարով և ստանում խնդրի պայմանով պահանջվող ամբողջ ֆունկցիայի ածանցյալը.

Օրինակ 4.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Մեզնից պահանջվում է գտնել քանորդի ածանցյալը: Մենք կիրառում ենք գործակիցը տարբերելու բանաձևը. երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալը հավասար է կոտորակի, որի համարիչը հայտարարի արտադրյալների և համարիչի ածանցյալի և համարիչի և ածանցյալի արտադրյալների տարբերությունն է։ հայտարարը, իսկ հայտարարը նախկին համարիչի քառակուսին է: Մենք ստանում ենք.

Օրինակ 2-ում մենք արդեն գտել ենք համարիչի գործակիցների ածանցյալը: Չմոռանանք նաև, որ արտադրյալը, որը ներկայիս օրինակում համարիչի երկրորդ գործոնն է, վերցված է մինուս նշանով.

Եթե ​​փնտրում եք խնդիրների լուծումներ, որոնցում պետք է գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը, որտեղ կա արմատների և հզորությունների շարունակական կույտ, ինչպիսին, օրինակ, , ապա բարի գալուստ դասի «Հզորություններով և արմատներով կոտորակների գումարների ածանցյալ» .

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է ավելին իմանալ սինուսների, կոսինուսների, տանգենտների և այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալների մասին, այսինքն՝ երբ ֆունկցիան նման է. , ապա դաս ձեզ համար «Պարզ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ածանցյալներ» .

Օրինակ 5.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Այս ֆունկցիայի մեջ մենք տեսնում ենք արտադրյալ, որի գործոններից մեկը անկախ փոփոխականի քառակուսի արմատն է, որի ածանցյալին ծանոթացանք ածանցյալների աղյուսակում։ Օգտագործելով արտադրյալը և քառակուսի արմատի ածանցյալի աղյուսակային արժեքը տարբերելու կանոնը՝ ստանում ենք.

Օրինակ 6.Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Լուծում. Այս ֆունկցիայի մեջ մենք տեսնում ենք մի քանորդ, որի դիվիդենտը անկախ փոփոխականի քառակուսի արմատն է։ Օգտագործելով քանորդների տարբերակման կանոնը, որը մենք կրկնեցինք և կիրառեցինք օրինակ 4-ում, և քառակուսի արմատի ածանցյալի աղյուսակային արժեքը՝ ստանում ենք.

Համարիչի կոտորակից ազատվելու համար համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք .

Ի՞նչ է ածանցյալը:

Ածանցյալների աղյուսակ.

Ածանցյալը բարձրագույն մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից է։ Այս դասում մենք կներկայացնենք այս հայեցակարգը: Ճանաչենք իրար՝ առանց խիստ մաթեմատիկական ձեւակերպումների ու ապացույցների։

Այս ծանոթությունը թույլ կտա.

Հասկանալ ածանցյալներով պարզ առաջադրանքների էությունը.

Հաջողությամբ լուծել այս ամենապարզ խնդիրները.

Պատրաստվեք ավելի լուրջ դասերի ածանցյալների վերաբերյալ:

Առաջինը՝ հաճելի անակնկալ։)

Ածանցյալի խիստ սահմանումը հիմնված է սահմանների տեսության վրա, և բանը բավականին բարդ է։ Սա տխրեցնում է: Բայց ածանցյալների գործնական կիրառումը, որպես կանոն, չի պահանջում այդքան ծավալուն և խորը գիտելիքներ։

Դպրոցում և համալսարանում առաջադրանքների մեծ մասը հաջողությամբ ավարտելու համար բավական է իմանալ ընդամենը մի քանի ժամկետ- հասկանալ առաջադրանքը, և ընդամենը մի քանի կանոն- լուծել այն: Այսքանը: Սա ինձ ուրախացնում է։

Սկսենք ծանոթանալ?)

Պայմաններ և նշանակումներ.

Տարրական մաթեմատիկայի մեջ կան շատ տարբեր մաթեմատիկական գործողություններ: Գումարում, հանում, բազմապատկում, հզորացում, լոգարիթմ և այլն: Եթե ​​այս գործողություններին ավելացնեք ևս մեկ գործողություն, տարրական մաթեմատիկան ավելի բարձր է դառնում: Այս նոր գործողությունը կոչվում է տարբերակում.Այս գործողության սահմանումն ու իմաստը կքննարկվեն առանձին դասերում:

Այստեղ կարևոր է հասկանալ, որ տարբերակումը պարզապես մաթեմատիկական գործողություն է ֆունկցիայի վրա: Մենք վերցնում ենք ցանկացած ֆունկցիա և, ըստ որոշակի կանոնների, վերափոխում ենք այն։ Արդյունքը կլինի նոր գործառույթ: Այս նոր ֆունկցիան կոչվում է. ածանցյալ.

Տարբերակում- գործողություն գործառույթի վրա:

Ածանցյալ- այս գործողության արդյունքը.

Ճիշտ այնպես, ինչպես, օրինակ, գումար- ավելացման արդյունքը. Կամ մասնավոր- բաժանման արդյունքը.

Տերմիններն իմանալով՝ կարող ես գոնե հասկանալ առաջադրանքները։) Ձևակերպումները հետևյալն են. գտնել ֆունկցիայի ածանցյալը; վերցնել ածանցյալը; տարբերակել գործառույթը; հաշվարկել ածանցյալըեւ այլն։ Այս ամենը նույնը.Իհարկե, կան նաև ավելի բարդ առաջադրանքներ, որտեղ ածանցյալը (տարբերակումը) գտնելը կլինի միայն խնդրի լուծման քայլերից մեկը։

Ածանցյալը նշվում է ֆունկցիայի վերևի աջ մասում գծիկով: Սրա նման: y"կամ f"(x)կամ S"(t)եւ այլն։

Ընթերցանություն igrek stroke, ef stroke x-ից, es stroke from te,լավ, հասկանում ես...)

Պարզը կարող է նաև ցույց տալ որոշակի ֆունկցիայի ածանցյալ, օրինակ. (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)"և այլն: Հաճախ ածանցյալները նշվում են դիֆերենցիալների միջոցով, բայց մենք այս դասում չենք դիտարկի նման նշումը:

Ենթադրենք, որ մենք սովորել ենք հասկանալ առաջադրանքները։ Մնում է սովորել, թե ինչպես լուծել դրանք:) Թույլ տվեք ևս մեկ անգամ հիշեցնել ձեզ. ածանցյալը գտնելը ֆունկցիայի փոխակերպումը որոշակի կանոնների համաձայն.Զարմանալիորեն, այս կանոններից շատ քիչ են:

Ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է իմանալ միայն երեք բան. Երեք սյուներ, որոնց վրա կանգնած է բոլոր տարբերակումները: Ահա դրանք այս երեք սյուները.

1. Ածանցյալների աղյուսակ (տարբերակման բանաձևեր).

3. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ:

Սկսենք հերթականությամբ։ Այս դասում մենք կանդրադառնանք ածանցյալների աղյուսակին:

Ածանցյալների աղյուսակ.

Աշխարհում կան անսահման թվով ֆունկցիաներ։ Այս հավաքածուի մեջ կան գործառույթներ, որոնք առավել կարևոր են գործնական օգտագործման համար: Այս գործառույթները հանդիպում են բնության բոլոր օրենքներում: Այս գործառույթներից, ինչպես աղյուսներից, կարող եք կառուցել բոլոր մյուսները: Ֆունկցիաների այս դասը կոչվում է տարրական գործառույթներ.Հենց այս ֆունկցիաներն են ուսումնասիրվում դպրոցում՝ գծային, քառակուսային, հիպերբոլային և այլն։

Գործառույթների տարբերակումը «զրոյից», այսինքն. Ելնելով ածանցյալի սահմանումից և սահմանների տեսությունից՝ սա բավականին աշխատատար բան է։ Եվ մաթեմատիկոսները նույնպես մարդիկ են, այո, այո): Այսպիսով նրանք պարզեցրել են իրենց (և մեզ) կյանքը: Նրանք մեզանից առաջ հաշվարկել են տարրական ֆունկցիաների ածանցյալները։ Արդյունքը ածանցյալների աղյուսակ է, որտեղ ամեն ինչ պատրաստ է։)

Ահա այն, այս ափսեը ամենահայտնի գործառույթների համար: Ձախ կողմում տարրական ֆունկցիա է, աջում՝ դրա ածանցյալը։

	Գործառույթ y	y ֆունկցիայի ածանցյալ y"
1	C (հաստատուն արժեք)	C" = 0
2	x	x» = 1
3	x n (n - ցանկացած թիվ)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	մեղք x	(մեղք x)» = cosx
	cos x	(cos x)» = - մեղք x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	ա x
	ե x
5	գերան ա x
	ln x ( a = e)

Ես խորհուրդ եմ տալիս ուշադրություն դարձնել այս ածանցյալների աղյուսակի գործառույթների երրորդ խմբին: Հզորության ֆունկցիայի ածանցյալը ամենատարածված բանաձևերից մեկն է, եթե ոչ ամենատարածվածը: Հասկանու՞մ եք հուշումը։) Այո, ցանկալի է անգիր իմանալ ածանցյալների աղյուսակը։ Ի դեպ, սա այնքան էլ դժվար չէ, որքան կարող է թվալ։ Փորձեք ավելի շատ օրինակներ լուծել, աղյուսակն ինքնին կհիշվի:)

Ածանցյալի աղյուսակի արժեքը գտնելը, ինչպես հասկանում եք, ամենադժվար խնդիրը չէ: Հետեւաբար, շատ հաճախ նման առաջադրանքներում կան լրացուցիչ չիպեր: Կամ առաջադրանքի ձևակերպման մեջ, կամ սկզբնական ֆունկցիայի մեջ, որը կարծես թե չկա աղյուսակում...

Դիտարկենք մի քանի օրինակ.

1. Գտե՛ք y = x ֆունկցիայի ածանցյալը 3

Աղյուսակում նման գործառույթ չկա։ Բայց կա ուժային ֆունկցիայի ածանցյալ ընդհանուր ձևով (երրորդ խումբ): Մեր դեպքում n=3: Այսպիսով, մենք փոխարինում ենք երեքը n-ի փոխարեն և զգուշորեն գրում արդյունքը.

(x 3) = 3 x 3-1 = 3x 2

վերջ։

Պատասխան. y" = 3x 2

2. Գտե՛ք y = sinx ֆունկցիայի ածանցյալի արժեքը x = 0 կետում։

Այս առաջադրանքը նշանակում է, որ նախ պետք է գտնել սինուսի ածանցյալը, այնուհետև փոխարինել արժեքը x = 0հենց այս ածանցյալի մեջ: Հենց այդ կարգով։Հակառակ դեպքում, պատահում է, որ նրանք անմիջապես փոխարինում են զրոյին սկզբնական ֆունկցիայի մեջ... Մեզ խնդրում են գտնել ոչ թե սկզբնական ֆունկցիայի արժեքը, այլ արժեքը։ դրա ածանցյալը.Ածանցյալը, հիշեցնեմ, նոր ֆունկցիա է։

Օգտագործելով պլանշետը, մենք գտնում ենք սինուսը և համապատասխան ածանցյալը.

y" = (sin x)" = cosx

Մենք զրոյին փոխարինում ենք ածանցյալով.

y"(0) = cos 0 = 1

Սա կլինի պատասխանը։

3. Տարբերակել ֆունկցիան.

Ի՞նչ է, ոգեշնչո՞ւմ է) Ածանցյալների աղյուսակում նման ֆունկցիա չկա։

Հիշեցնեմ, որ ֆունկցիան տարբերակելը պարզապես նշանակում է գտնել այս ֆունկցիայի ածանցյալը: Եթե ​​մոռանում եք տարրական եռանկյունաչափությունը, մեր ֆունկցիայի ածանցյալը փնտրելը բավականին անհանգիստ է: Սեղանը չի օգնում...

Բայց եթե տեսնենք, որ մեր գործառույթն է կրկնակի անկյան կոսինուս, ապա ամեն ինչ անմիջապես լավանում է:

Այո այո! Հիշեք, որ վերափոխելով բնօրինակ գործառույթը նախքան տարբերակումըմիանգամայն ընդունելի! Եվ դա շատ է հեշտացնում կյանքը: Օգտագործելով կրկնակի անկյան կոսինուսի բանաձևը.

Նրանք. մեր խրթին ֆունկցիան ոչ այլ ինչ է, քան y = cosx. Եվ սա սեղանի գործառույթ է: Մենք անմիջապես ստանում ենք.

Պատասխան. y» = - մեղք x.

Օրինակ առաջադեմ շրջանավարտների և ուսանողների համար.

4. Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Ածանցյալների աղյուսակում, իհարկե, նման ֆունկցիա չկա։ Բայց եթե հիշում եք տարրական մաթեմատիկա, հզորություններով գործողություններ... Ապա միանգամայն հնարավոր է պարզեցնել այս ֆունկցիան։ Սրա նման:

Իսկ x-ը տասներորդական հզորությամբ արդեն աղյուսակային ֆունկցիա է: Երրորդ խումբ, n=1/10. Մենք գրում ենք ուղղակիորեն ըստ բանաձևի.

Այսքանը: Սա կլինի պատասխանը։

Հուսով եմ, որ ամեն ինչ պարզ է տարբերակման առաջին սյունի՝ ածանցյալների աղյուսակի հետ կապված։ Մնում է զբաղվել երկու մնացած կետերով: Հաջորդ դասին մենք կսովորենք տարբերակման կանոնները:

Ցուցանիշի ածանցյալը հավասար է բուն ցուցանիշին (e-ի ածանցյալը x հզորությանը հավասար է e-ին x հզորությանը).
(1) (e x )′ = e x.

a հիմք ունեցող էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է այն ֆունկցիային, որը բազմապատկվում է a-ի բնական լոգարիթմով.
(2) .

Էքսպոնենցիալ ածանցյալի բանաձևի ածանցավորումը x հզորությանը

Էքսպոնենցիալը էքսպոնենցիալ ֆունկցիան է, որի հիմքը հավասար է e թվին, որը հետևյալ սահմանն է.
.
Այստեղ այն կարող է լինել ինչպես բնական, այնպես էլ իրական թիվ։ Հաջորդը, մենք բխում ենք (1) բանաձևը էքսպոնենցիալի ածանցյալի համար:

Էքսպոնենցիալ ածանցյալ բանաձևի ստացում

Դիտարկենք էքսպոնենցիալը e x հզորության նկատմամբ.
y = e x.
Այս գործառույթը սահմանված է բոլորի համար: Գտնենք դրա ածանցյալը x փոփոխականի նկատմամբ։ Ըստ սահմանման, ածանցյալը հետևյալ սահմանն է.
(3) .

Եկեք փոխակերպենք այս արտահայտությունը, որպեսզի այն վերածվի հայտնի մաթեմատիկական հատկությունների և կանոնների: Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ են հետևյալ փաստերը.
Ա)Ցուցանիշ հատկություն.
(4) ;
Բ)Լոգարիթմի հատկությունը.
(5) ;
IN)Լոգարիթմի շարունակականությունը և սահմանաչափերի հատկությունը շարունակական ֆունկցիայի համար.
(6) .
Ահա մի ֆունկցիա, որն ունի սահման, և այս սահմանը դրական է:
G)Երկրորդ ուշագրավ սահմանի իմաստը.
(7) .

Եկեք կիրառենք այս փաստերը մեր սահմանին (3): Մենք օգտագործում ենք գույք (4):
;
.

Եկեք փոխարինում կատարենք. Հետո; .
Էքսպոնենցիալության շարունակականության պատճառով,
.
Հետևաբար, երբ, . Արդյունքում մենք ստանում ենք.
.

Եկեք փոխարինում կատարենք. Հետո . ժամը , . Եվ մենք ունենք.
.

Եկեք կիրառենք լոգարիթմի հատկությունը (5).
. Հետո
.

Եկեք կիրառենք գույքը (6): Քանի որ կա դրական սահման, և լոգարիթմը շարունակական է, ուրեմն.
.
Այստեղ մենք օգտագործեցինք նաև երկրորդ ուշագրավ սահմանը (7): Հետո
.

Այսպիսով, մենք ստացանք (1) բանաձևը էքսպոնենցիալի ածանցյալի համար:

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևի ստացում

Այժմ մենք բխում ենք (2) բանաձևը էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ածանցյալի համար՝ a աստիճանի հիմքով: Մենք հավատում ենք, որ և. Այնուհետև էքսպոնենցիալ ֆունկցիան
(8)
Սահմանված է բոլորի համար:

Փոխակերպենք բանաձևը (8): Դա անելու համար մենք կօգտագործենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի և լոգարիթմի հատկությունները:
;
.
Այսպիսով, մենք (8) բանաձևը վերածեցինք հետևյալ ձևի.
.

e-ի ավելի բարձր կարգի ածանցյալներ x հզորությանը

Հիմա եկեք գտնենք ավելի բարձր կարգերի ածանցյալներ: Եկեք նախ նայենք ցուցիչին.
(14) .
(1) .

Մենք տեսնում ենք, որ (14) ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է ինքնին (14) ֆունկցիային։ Տարբերակելով (1)՝ մենք ստանում ենք երկրորդ և երրորդ կարգի ածանցյալներ.
;
.

Սա ցույց է տալիս, որ n-րդ կարգի ածանցյալը նույնպես հավասար է սկզբնական ֆունկցիային.
.

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի ավելի բարձր կարգի ածանցյալներ

Այժմ դիտարկենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիա՝ a աստիճանի հիմքով.
.
Մենք գտանք դրա առաջին կարգի ածանցյալը.
(15) .

Տարբերակելով (15)՝ մենք ստանում ենք երկրորդ և երրորդ կարգի ածանցյալներ.
;
.

Մենք տեսնում ենք, որ յուրաքանչյուր տարբերակում հանգեցնում է սկզբնական ֆունկցիայի բազմապատկմանը . Հետևաբար, n-րդ կարգի ածանցյալն ունի հետևյալ ձևը.
.