Ամենապարզ հոսքերը Մարկովյան գործընթացներն են և լուծման շղթաները: Հերթերի տեսության տարրեր. Այս գործընթացի մոդելավորում
Դաշնային գործակալությունկրթության վերաբերյալ Ռուսաստանի Դաշնությունում
FGOU SPO «Պերևոզսկու շինարարական քոլեջ»
ըստ կարգապահության» Մաթեմատիկական մեթոդներ»
«SMO սահմանափակ սպասման ժամանակով. Փակ QS»
Ներածություն ..................................................... .......................................................... ............. ....... 2
1. Հերթի տեսության հիմունքները................................ ................................ 3
1.1 Պատահական գործընթացի հայեցակարգը ...................................... ................................... 3
1.2 Մարկովյան պատահական գործընթաց .............................................. ................................ 4
1.3 Իրադարձությունների հոսքեր ...................................... ...................................................................... ............. 6
1.4 Կոլմոգորովի հավասարումներ պետական հավանականությունների համար. Վերջնական վիճակի հավանականությունները ..................................................... ...................................................... ................................... 9
1.5 Հերթերի տեսության հիմնախնդիրները .............................................. ....... .. 13
1.6 Հերթագրման համակարգերի դասակարգում................................... ..... 15
2. Հերթագրման համակարգեր՝ սպասելով .............................................. ........ 16
2.1 Սպասմամբ մեկ ալիք QS ...................................... ......... ............ 16
2.2 Բազմալիքային QS սպասմամբ ...................................... ......... ......... 25
3. Փակ QS................................................. .......................................................... ... 37
Խնդրի լուծումը ...................................................... ................................................... 45
Եզրակացություն ..................................................... ...................................................... ...... 50
Մատենագիտություն ...................................................... ................................ 51
Այս դասընթացի ընթացքում մենք կանդրադառնանք տարբեր հերթերի համակարգերին (QS) և հերթագրման ցանցերին (Queuing):
Հերթագրման համակարգը (QS) հասկացվում է որպես դինամիկ համակարգ, որը նախագծված է արդյունավետորեն սպասարկելու հարցումների հոսքը (ծառայության պահանջները) համակարգի ռեսուրսների սահմանափակումների ներքո:
QS մոդելները հարմար են ժամանակակից հաշվողական համակարգերի առանձին ենթահամակարգերը նկարագրելու համար, ինչպիսիք են պրոցեսորային ենթահամակարգը` հիմնական հիշողությունը, մուտքային-ելքային ալիքը և այլն: Հաշվողական համակարգը որպես ամբողջություն փոխկապակցված ենթահամակարգերի մի շարք է, որոնց փոխազդեցությունը հավանական է: Հաշվարկային համակարգ մուտք գործող որոշակի խնդիր լուծելու հավելվածն անցնում է հաշվման փուլերի հաջորդականությամբ, արտաքին պահեստավորման սարքեր մուտք գործելու և մուտքային-ելքային սարքերով: Նման փուլերի որոշակի հաջորդականությունն ավարտելուց հետո, որոնց քանակն ու տևողությունը կախված է ծրագրի բարդությունից, հարցումը համարվում է սպասարկված և դուրս է գալիս համակարգչային համակարգից։ Այսպիսով, հաշվողական համակարգը որպես ամբողջություն կարող է ներկայացվել QS-ի մի շարքով, որոնցից յուրաքանչյուրն արտացոլում է առանձին սարքի կամ համանման սարքերի խմբի գործունեության գործընթացը, որոնք համակարգի մաս են կազմում:
Փոխկապակցված QS-ների բազմությունը կոչվում է հերթային ցանց (ստոխաստիկ ցանց):
Սկզբից մենք կանդրադառնանք QS-ի տեսության հիմունքներին, այնուհետև կանցնենք մանրամասն բովանդակությամբ ծանոթանալու QS-ին ակնկալիքով և փակ QS-ով: Դասընթացը ներառում է նաև գործնական մաս, որտեղ մենք մանրամասն կսովորենք, թե ինչպես կարելի է կիրառել տեսությունը գործնականում։
Հերթի տեսությունը հավանականությունների տեսության ճյուղերից է։ Այս տեսությունը համարում է հավանականխնդիրներ և մաթեմատիկական մոդելներ (մինչ այդ մենք դիտարկում էինք դետերմինիստական մաթեմատիկական մոդելներ): Հիշեցնենք, որ.
Դետերմինիստական մաթեմատիկական մոդելարտացոլում է օբյեկտի (համակարգի, գործընթացի) վարքագիծը տեսանկյունից լիակատար վստահություններկայում և ապագայում։
Հավանական մաթեմատիկական մոդելհաշվի է առնում պատահական գործոնների ազդեցությունը օբյեկտի (համակարգի, գործընթացի) վարքագծի վրա և, հետևաբար, գնահատում է ապագան որոշակի իրադարձությունների հավանականության տեսանկյունից:
Նրանք. այստեղ, ինչպես, օրինակ, խաղերի տեսության մեջ դիտարկվում են խնդիրները պայմաններում անորոշություն .
Եկեք նախ դիտարկենք որոշ հասկացություններ, որոնք բնութագրում են «ստոխաստիկ անորոշությունը», երբ խնդրի մեջ ներառված անորոշ գործոնները պատահական փոփոխականներ են (կամ. պատահական գործառույթներ), որոնց հավանականական բնութագրերը կա՛մ հայտնի են, կա՛մ կարելի է ձեռք բերել փորձից։ Նման անորոշությունը կոչվում է նաև «բարենպաստ», «բարեխիղճ»:
Խստորեն ասած, պատահական խանգարումները բնորոշ են ցանկացած գործընթացի: Ավելի հեշտ է բերել պատահական գործընթացի օրինակներ, քան «ոչ պատահական»: Նույնիսկ, օրինակ, ժամացույցի գործարկման գործընթացը (կարծես թե խիստ չափորոշված աշխատանք է. «աշխատում է ժամացույցի պես») ենթարկվում է պատահական փոփոխությունների (առաջ շարժվել, հետ մնալ, կանգ առնել): Բայց քանի դեռ այս խանգարումները աննշան են և քիչ են ազդում մեզ հետաքրքրող պարամետրերի վրա, մենք կարող ենք անտեսել դրանք և գործընթացը համարել դետերմինիստական, ոչ պատահական:
Թող ինչ-որ համակարգ լինի Ս (տեխնիկական սարք, նման սարքերի խումբ, տեխնոլոգիական համակարգ՝ մեքենա, տեղամաս, արտադրամաս, ձեռնարկություն, արդյունաբերություն և այլն)։ Համակարգում Սարտահոսքեր պատահական գործընթաց, եթե այն փոխում է իր վիճակը ժամանակի ընթացքում (անցնում է մի վիճակից մյուսը), ընդ որում՝ նախկինում անհայտ պատահական եղանակով։
Օրինակներ.
1. Համակարգ Ս– տեխնոլոգիական համակարգ (մեքենայական հատված): Մեքենաները ժամանակ առ ժամանակ փչանում են և վերանորոգվում։ Այս համակարգում տեղի ունեցող գործընթացը պատահական է։
2. Համակարգ Ս- ինքնաթիռ, որը թռչում է որոշակի բարձրության վրա որոշակի երթուղու երկայնքով: Անհանգստացնող գործոններ՝ եղանակային պայմաններ, անձնակազմի սխալներ և այլն, հետևանքներ՝ խորդուբորդություն, չվացուցակի խախտում և այլն։
Համակարգում տեղի ունեցող պատահական գործընթացը կոչվում է Մարկովսկին, եթե ցանկացած պահի տԱպագայում գործընթացի 0 հավանականական բնութագրերը կախված են միայն դրա վիճակից տվյալ պահին տ 0 և կախված չեն նրանից, թե երբ և ինչպես է համակարգը հասել այս վիճակին:
Թող համակարգը գտնվի որոշակի վիճակում t 0 պահին Ս 0 . Մենք գիտենք համակարգի վիճակի բնութագրերը ներկայում և այն ամենը, ինչ տեղի է ունեցել դրա ընթացքում տ <տ 0 (գործընթացի պատմություն): Կարո՞ղ ենք կանխատեսել (կանխատեսել) ապագան, այսինքն. ինչ կլինի երբ տ >տ 0 ? Ոչ ճշգրիտ, բայց ապագայում կարելի է գտնել գործընթացի որոշ հավանականական բնութագրեր: Օրինակ, հավանականությունը, որ որոշ ժամանակ անց համակարգը Սկկարողանան Ս 1 կամ կմնա վիճակում Ս 0 և այլն:
Օրինակ. Համակարգ Ս- մի խումբ ինքնաթիռներ, որոնք մասնակցում են օդային մարտ. Թող x- «կարմիր» ինքնաթիռների քանակը, y- «կապույտ» ինքնաթիռների քանակը. Ըստ ժամանակի տ 0 ողջ մնացած (չխփված) ինքնաթիռներ, համապատասխանաբար. x 0 , y 0 . Մեզ հետաքրքրում է հավանականությունը, որ մի պահ թվային առավելությունը կլինի «կարմիրների» կողմը։ Այս հավանականությունը կախված է նրանից, թե այդ ժամանակ ինչ վիճակում է եղել համակարգը տ 0, և ոչ թե մինչ այս պահը, թե երբ և ինչ հաջորդականությամբ են զոհվել գնդակահարվածները տ 0 ինքնաթիռ.
Գործնականում Մարկովյան գործընթացներըսովորաբար չեն հայտնաբերվում իրենց մաքուր տեսքով: Բայց կան գործընթացներ, որոնց համար կարելի է անտեսել «նախապատմության» ազդեցությունը։ Իսկ նման գործընթացներն ուսումնասիրելիս կարելի է օգտագործել Մարկովի մոդելները (հերթի տեսությունը չի դիտարկում Մարկովյան հերթագրման համակարգերը, սակայն դրանք նկարագրող մաթեմատիկական ապարատը շատ ավելի բարդ է)։
Գործառնությունների հետազոտության մեջ մեծ նշանակությունունեն Մարկովյան պատահական գործընթացներ՝ դիսկրետ վիճակներով և շարունակական ժամանակով։
Գործընթացը կոչվում է դիսկրետ պետական գործընթաց, եթե դրա հնարավոր վիճակները Ս 1 , Ս 2, ... կարելի է նախօրոք որոշել, և համակարգի անցումը վիճակից վիճակ տեղի է ունենում «ցատկումով», գրեթե ակնթարթորեն:
Գործընթացը կոչվում է շարունակական ժամանակի գործընթաց, եթե վիճակից վիճակ հնարավոր անցումների պահերը նախապես ամրագրված չեն, այլ անորոշ են, պատահական և կարող են առաջանալ ցանկացած պահի։
Օրինակ. Տեխնոլոգիական համակարգ (բաժին) Սբաղկացած է երկու մեքենաներից, որոնցից յուրաքանչյուրը կարող է խափանվել (խափանվել) ժամանակի պատահական պահին, որից հետո անմիջապես սկսվում է ագրեգատի վերանորոգումը, որը նույնպես շարունակվում է անհայտ, պատահական ժամանակով։ Համակարգի հետևյալ վիճակները հնարավոր են.
Ս 0 - երկու մեքենաներն էլ աշխատում են;
Ս 1 - առաջին մեքենան վերանորոգվում է, երկրորդն աշխատում է;
Ս 2 - երկրորդ մեքենան վերանորոգվում է, առաջինն աշխատում է;
Ս 3 - երկու մեքենաներն էլ վերանորոգվում են։
Համակարգային անցումներ Սվիճակից վիճակ տեղի է ունենում գրեթե ակնթարթորեն, պատահական պահերին, երբ որոշակի մեքենան խափանում է կամ ավարտվում է վերանորոգումը:
Դիսկրետ վիճակներով պատահական գործընթացները վերլուծելիս հարմար է օգտագործել երկրաչափական սխեմա. վիճակի գրաֆիկ. Գրաֆիկի գագաթները համակարգի վիճակներն են: Գրաֆիկի կամարները վիճակից վիճակ հնարավոր անցումներ են: Մեր օրինակի համար վիճակի գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 1.
Բրինձ. 1. Համակարգի վիճակի գրաֆիկ
Նշում. Անցում պետությունից Ս 0 դյույմ Ս 3-ը նշված չէ նկարում, քանի որ ենթադրվում է, որ մեքենաները խափանում են միմյանցից անկախ։ Մենք անտեսում ենք երկու մեքենաների միաժամանակյա խափանման հնարավորությունը:
Միջոցառումների հոսք– միատարր իրադարձությունների հաջորդականություն, որոնք հաջորդում են մեկը մյուսի հետևից որոշ պատահական պահերին:
Նախորդ օրինակում սա խափանումների հոսք է և վերականգնումների հոսք: Այլ օրինակներ՝ զանգերի հոսք հեռախոսակայանում, հաճախորդների հոսք խանութում և այլն:
Իրադարձությունների հոսքը տեսողականորեն կարող է ներկայացվել ժամանակի առանցքի մի շարք կետերով Օ տ- բրինձ. 2.
Բրինձ. 2. Իրադարձությունների հոսքի պատկերը ժամանակի առանցքի վրա
Յուրաքանչյուր կետի դիրքը պատահական է, և այստեղ պատկերված է հոսքի միայն մեկ իրականացում:
Իրադարձությունների հոսքի ինտենսիվությունը ( ) ժամանակի միավորի համար իրադարձությունների միջին թիվն է:
Դիտարկենք իրադարձությունների հոսքերի որոշ հատկություններ (տեսակներ):
Իրադարձությունների հոսքը կոչվում է ստացիոնար, եթե դրա հավանականական բնութագրերը կախված չեն ժամանակից։
Մասնավորապես, անշարժ հոսքի ինտենսիվությունը հաստատուն է։ Իրադարձությունների հոսքն անխուսափելիորեն ունենում է խտացումներ կամ հազվադեպություններ, բայց դրանք կանոնավոր բնույթ չեն կրում, և իրադարձությունների միջին թիվը մեկ միավորի համար հաստատուն է և կախված չէ ժամանակից։
Իրադարձությունների հոսքը կոչվում է հոսք առանց հետևանքների, եթե ժամանակի որևէ երկու չհամընկնող հատվածների համար և (տես նկ. 2) իրադարձությունների թիվը, որոնք ընկնում են դրանցից մեկի վրա, կախված չէ նրանից, թե քանի իրադարձություն է ընկնում մյուսի վրա: Այսինքն՝ սա նշանակում է, որ հոսքը կազմող իրադարձությունները հայտնվում են ժամանակի որոշակի կետերում միմյանցից անկախև յուրաքանչյուրն առաջանում է իր պատճառներով:
Իրադարձությունների հոսքը կոչվում է սովորական, եթե իրադարձությունները հայտնվում են նրանում մեկ առ մեկ, այլ ոչ թե միանգամից մի քանի հոգանոց խմբերով։
Իրադարձությունների հոսքը կոչվում է ամենապարզ (կամ անշարժ Poisson),եթե այն ունի միանգամից երեք հատկություն.
1) ստացիոնար;
2) սովորական;
3) ոչ մի հետևանք.
Ամենապարզ հոսքն ունի ամենապարզ մաթեմատիկական նկարագրությունը: Այն նույն հատուկ դերն է խաղում հոսքերի մեջ, ինչ օրենքը: նորմալ բաշխումբաշխման այլ օրենքների շարքում։ Մասնավորապես, երբ կիրառվում է, բավական է մեծ թիվանկախ, անշարժ և սովորական հոսքերը (ինտենսիվությամբ համեմատելի են միմյանց հետ) հանգեցնում են ամենապարզին մոտ հոսքի:
Ինտենսիվության միջակայքով ամենապարզ հոսքի համար Տհարեւան իրադարձությունների միջեւ ունի այսպես կոչված էքսպոնենցիալ բաշխումխտությամբ:
որտեղ է էքսպոնենցիալ օրենքի պարամետրը:
Համար պատահական փոփոխական Տ, որն ունի էքսպոնենցիալ բաշխում, ակնկալվող արժեքըպարամետրի փոխադարձությունն է, իսկ ստանդարտ շեղումը հավասար է մաթեմատիկական ակնկալիքին.
Հաշվի առնելով Մարկովյան գործընթացները դիսկրետ վիճակներով և շարունակական ժամանակով, ենթադրվում է, որ համակարգի բոլոր անցումները. Սվիճակից վիճակ տեղի են ունենում պարզ իրադարձությունների հոսքերի ազդեցության տակ (զանգերի հոսքեր, ձախողման հոսքեր, վերականգնման հոսքեր և այլն): Եթե բոլոր իրադարձությունների հոսքերը փոխանցեն համակարգը Սպետությունից պետություն ամենապարզը, ապա համակարգում տեղի ունեցող գործընթացը կլինի մարկովյան։
Այսպիսով, պետության վրա գտնվող համակարգի վրա ազդում է իրադարձությունների պարզ հոսքը: Հենց որ հայտնվում է այս հոսքի առաջին իրադարձությունը, համակարգը «ցատկում» է վիճակից վիճակ (սլաքի երկայնքով գտնվող վիճակի գրաֆիկի վրա):
Պարզության համար համակարգի վիճակի գրաֆիկի վրա յուրաքանչյուր աղեղի համար նշվում է իրադարձությունների հոսքի ինտենսիվությունը, որը շարժում է համակարգը այս աղեղով (սլաքով): - իրադարձությունների հոսքի ինտենսիվությունը, որը համակարգը տեղափոխում է վիճակից դեպի . Նման գրաֆիկը կոչվում է նշված. Մեր օրինակի համար պիտակավորված գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 3.
Բրինձ. 3. Նշված համակարգի վիճակի գրաֆիկը
Այս նկարում - ձախողման հոսքի ինտենսիվությունը. - վերականգնման հոսքի ինտենսիվությունը.
Մենք ենթադրում ենք, որ մեքենայի վերանորոգման միջին ժամանակը կախված չէ նրանից, թե մեկ մեքենան վերանորոգված է, թե երկուսը միանգամից: Նրանք. Յուրաքանչյուր մեքենա վերանորոգվում է առանձին մասնագետի կողմից։
Թող համակարգը լինի պետության մեջ Ս 0 . Նահանգում Ս 1 այն թարգմանվում է առաջին մեքենայի խափանումների հոսքով: Դրա ինտենսիվությունը հավասար է.
որտեղ է առաջին մեքենայի միջին անսարքության ժամանակը:
Պետությունից Ս 1 դյույմ Ս 0 համակարգը փոխանցվում է առաջին մեքենայի «վերանորոգման ավարտի» հոսքով: Դրա ինտենսիվությունը հավասար է.
որտեղ է առաջին մեքենայի վերանորոգման միջին ժամանակը:
Իրադարձությունների հոսքերի ինտենսիվությունը, որը համակարգը փոխանցում է գրաֆիկի բոլոր կամարների երկայնքով, հաշվարկվում է նույն կերպ: Մեր տրամադրության տակ ունենալով համակարգի վիճակների պիտակավորված գրաֆիկ՝ մենք կառուցում ենք մաթեմատիկական մոդելայս գործընթացից։
Թող դիտարկվող համակարգը Սունի - հնարավոր վիճակներ. Երրորդ վիճակի հավանականությունը այն հավանականությունն է, որ տվյալ պահին համակարգը կլինի վիճակում: Ակնհայտ է, որ ցանկացած պահի բոլոր պետական հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի.
Գտնել վիճակների բոլոր հավանականությունները՝ որպես ժամանակի ֆունկցիաներ, կազմել և լուծել Կոլմոգորովի հավասարումները – հատուկ տեսակհավասարումներ, որոնցում անհայտ ֆունկցիաները վիճակների հավանականություններն են: Այս հավասարումները կազմելու կանոնն այստեղ ներկայացված է առանց ապացույցի։ Բայց նախքան այն ներկայացնելը, եկեք բացատրենք հայեցակարգը վիճակի վերջնական հավանականությունը .
Ի՞նչ է լինելու պետական հավանականությունների հետ. Նրանք կձգտե՞ն ինչ-որ սահմանի։ Եթե այդ սահմանները գոյություն ունեն և կախված չեն համակարգի սկզբնական վիճակից, ապա դրանք կոչվում են վերջնական վիճակի հավանականությունները .
որտեղ է համակարգի վիճակների վերջավոր թիվը:
Վերջնական վիճակի հավանականությունները– սրանք այլևս փոփոխական մեծություններ չեն (ժամանակի ֆունկցիաներ), այլ հաստատուն թվեր: Ակնհայտ է, որ.
Վերջնական վիճակի հավանականությունըէապես միջին հարաբերական ժամանակն է, երբ համակարգը մնում է այս վիճակում:
Օրինակ՝ համակարգը Սունի երեք նահանգ Ս 1 , Ս 2 և Ս 3. Նրանց վերջնական հավանականությունները համապատասխանաբար 0,2 են; 0.3 և 0.5: Սա նշանակում է, որ սահմանափակող անշարժ վիճակում գտնվող համակարգը միջինում ծախսում է իր ժամանակի 2/10-ը նահանգում Ս 1, 3/10 – կարող Ս 2 և 5/10 – ունակ Ս 3 .
Կոլմոգորովյան հավասարումների համակարգը կազմելու կանոնը: համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման մեջ ձախ կողմումտվյալ վիճակի վերջնական հավանականությունն է՝ բազմապատկված բոլոր հոսքերի ընդհանուր ինտենսիվությամբ, տանող այս պետությունից, Ա իր աջ կողմում մասեր- բոլոր հոսքերի ինտենսիվության արտադրյալների գումարը, մեջ ներառված -րդ նահանգ, այն պետությունների հավանականությունների վրա, որտեղից գալիս են այդ հոսքերը։
Օգտագործելով այս կանոնը, մենք գրում ենք հավասարումների համակարգ մեր օրինակի համար :
.
Չորս անհայտներով չորս հավասարումների այս համակարգը, թվում է, կարելի է ամբողջությամբ լուծել: Բայց այս հավասարումները միատարր են (ազատ տերմին չունեն), և, հետևաբար, անհայտները որոշում են միայն մինչև կամայական գործոն։ Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք օգտագործել նորմալացման պայմանը. 
և օգտագործել այն համակարգը լուծելու համար: Այս դեպքում հավասարումներից մեկը (ցանկացած) կարող է հրաժարվել (դա հետևում է մյուսների հետևանքով):
Օրինակի շարունակությունը. Թող հոսքի ինտենսիվությունը հավասար լինի.
Մենք հրաժարվում ենք չորրորդ հավասարումից և դրա փոխարեն ավելացնում ենք նորմալացման պայման.
.
Նրանք. սահմանափակող, ստացիոնար ռեժիմում համակարգը Սմիջինում ժամանակի 40%-ը կանցկացվի վիճակում Ս 0 (երկու մեքենաներն էլ աշխատում են), 20% - լավ վիճակում Ս 1 (առաջին մեքենան վերանորոգված է, երկրորդը աշխատում է), 27% - վիճակում Ս 2 (երկրորդ մեքենան վերանորոգված է, առաջինն աշխատում է), 13% - վիճակում Ս 3 (երկու մեքենաներն էլ գտնվում են վերանորոգման փուլում): Այս վերջնական հավանականությունների իմացությունը կարող է օգնել գնահատել համակարգի միջին արդյունավետությունը և վերականգնող օրգանների ծանրաբեռնվածությունը:
Թող համակարգը Սկարող Ս 0 (լիովին գործառնական) բերում է 8 պայմանական միավորի եկամուտ մեկ միավորի համար, կարող է Ս 1 – եկամուտ 3 պայմանական միավոր, կարող Ս 2 – եկամուտ 5 պայմանական միավոր, կարող Ս 3 – եկամուտ չի ստեղծում: Այնուհետև սահմանափակող, անշարժ ռեժիմում միջին եկամուտը ժամանակի միավորի համար հավասար կլինի՝ պայմանական միավորներին։
Մեքենան 1-ը վերանորոգվում է ժամանակի մի մասում, որը հավասար է. Մեքենան 2-ը վերանորոգվում է ժամանակի մի մասում, որը հավասար է. Առաջանում է օպտիմալացման խնդիր. Թեև մենք կարող ենք նվազեցնել առաջին կամ երկրորդ մեքենայի (կամ երկուսի) վերանորոգման միջին ժամանակը, դա մեզ որոշակի գումար կարժենա: Հարցն այն է, արդյո՞ք ավելի արագ վերանորոգման հետ կապված ավելացված եկամուտը կվճարի վերանորոգման ավելացված ծախսերը: Դուք պետք է լուծեք չորս անհայտով չորս հավասարումների համակարգ:
Հերթի սպասարկման համակարգերի (QS) օրինակներ. հեռախոսակայաններ, վերանորոգման խանութներ, տոմսարկղեր, տեղեկատվական սեղաններ, հաստոցներ և այլ տեխնոլոգիական համակարգեր, ճկուն կառավարման համակարգեր արտադրական համակարգերև այլն:
Յուրաքանչյուր QS բաղկացած է որոշակի թվով սպասարկման ստորաբաժանումներից, որոնք կոչվում են սպասարկման ալիքներ(դրանք մեքենաներ են, տրանսպորտային սայլակներ, ռոբոտներ, կապի գծեր, գանձապահներ, վաճառողներ և այլն): Յուրաքանչյուր QS նախատեսված է ինչ-որ տեսակի սպասարկելու համար դիմումների հոսք(պահանջներ), որոնք հասնում են ժամանակի որոշ պատահական պահերին:
Հարցման սպասարկումը շարունակվում է որոշ, ընդհանուր առմամբ, պատահական ժամանակով, որից հետո ալիքն ազատվում է և պատրաստ է ստանալու հաջորդ հարցումը: Հայտերի հոսքի և սպասարկման ժամանակի պատահական բնույթը հանգեցնում է նրան, որ որոշ ժամանակաշրջաններում չափազանց մեծ թվով դիմումներ են կուտակվում QS-ի մուտքագրման մոտ (նրանք կա՛մ հերթ են կանգնում, կա՛մ թողնում են QS-ն չսպասարկված): Այլ ժամանակաշրջաններում համակարգը կաշխատի թերբեռնվածությամբ կամ ամբողջովին պարապուրդի կմատնվի:
QS գործառնական գործընթացը պատահական գործընթաց է՝ դիսկրետ վիճակներով և շարունակական ժամանակով: QS-ի վիճակը կտրուկ փոխվում է, երբ տեղի են ունենում որոշակի իրադարձություններ (նոր հավելվածի ժամանումը, ծառայության ավարտը, այն պահը, երբ սպասելուց հոգնած դիմումը հեռանում է հերթից):
Հերթերի տեսության առարկա- շինարարություն մաթեմատիկական մոդելներ, կապելով QS-ի տվյալ գործառնական պայմանները (ալիքների քանակը, դրանց արտադրողականությունը, գործառնական կանոնները, հարցումների հոսքի բնույթը) մեզ հետաքրքրող բնութագրիչների հետ՝ QS-ի արդյունավետության ցուցանիշները: Այս ցուցանիշները նկարագրում են CMO-ի կարողությունը՝ հաղթահարելու դիմումների հոսքը: Դրանք կարող են լինել. QS-ի կողմից սպասարկվող հայտերի միջին թիվը ժամանակի միավորի համար. զբաղված ալիքների միջին թիվը; հերթում գտնվող դիմումների միջին քանակը; սպասարկման միջին ժամանակը և այլն:
Մաթեմատիկական վերլուծություն QS-ի աշխատանքը մեծապես դյուրացվում է, եթե այս աշխատանքի գործընթացը մարկովյան է, այսինքն. Իրադարձությունների հոսքերը, որոնք համակարգը փոխանցում են պետությունից պետություն, ամենապարզն են: Հակառակ դեպքում գործընթացի մաթեմատիկական նկարագրությունը դառնում է շատ բարդ, և հազվադեպ է հնարավոր այն բերել կոնկրետ վերլուծական կախվածությունների: Գործնականում ոչ Մարկովյան գործընթացները մոտավորությամբ կրճատվում են մինչև Մարկովյան գործընթացներ։ Հետևյալ մաթեմատիկական ապարատը նկարագրում է Մարկովի գործընթացները.
Առաջին բաժանումը (հերթերի առկայության հիման վրա).
1. Խափանումներով QS;
2. Հերթագրել հերթով։
QS-ում ձախողումներովդիմումը, որը ստացվել է այն ժամանակ, երբ բոլոր ալիքները զբաղված են, մերժվում է, դուրս է գալիս QS-ից և ապագայում չի սպասարկվում:
SMO-ում հերթովհավելվածը, որը գալիս է այն պահին, երբ բոլոր ալիքները զբաղված են, չի հեռանում, այլ հերթ է կանգնում և սպասում սպասարկվելու հնարավորությանը։
Հերթերով QS-ները բաժանվում ենվրա տարբեր տեսակներկախված նրանից, թե ինչպես է կազմակերպվում հերթը. սահմանափակ կամ անսահմանափակ. Սահմանափակումները կարող են վերաբերել ինչպես հերթի երկարությանը, այնպես էլ սպասման ժամանակին, «ծառայողական կարգապահությանը»:
Այսպիսով, օրինակ, դիտարկվում են հետևյալ QS-ները.
· CMO անհամբեր հարցումներով (հերթի տևողությունը և սպասարկման ժամանակը սահմանափակ են);
· QS առաջնահերթ սպասարկմամբ, այսինքն. որոշ դիմումներ ընթացք են ստանում ոչ հերթից և այլն։
Բացի այդ, QS-ները բաժանվում են բաց QS-ների և փակ QS-ների:
Բաց QS-ումհարցումների հոսքի բնութագրերը կախված չեն հենց QS-ի վիճակից (քանի ալիք է զբաղված): Փակ QS-ում- կախված. Օրինակ, եթե մեկ աշխատող սպասարկում է մեքենաների խումբ, որոնք ժամանակ առ ժամանակ պահանջում են ճշգրտում, ապա մեքենաներից «պահանջների» հոսքի ինտենսիվությունը կախված է նրանից, թե դրանցից քանիսն արդեն գործում են և սպասում են ճշգրտման:
SMO-ի դասակարգումը հեռու է վերը նշված սորտերով սահմանափակվելուց, բայց դա բավարար է:
Դիտարկենք սպասման հետ կապված ամենապարզ QS-ը` մեկ ալիքային համակարգ (n-1), որը ստանում է հարցումների հոսք ինտենսիվությամբ. ծառայության ինտենսիվությունը (այսինքն՝ միջինում շարունակաբար զբաղված ալիքը կտրամադրի սպասարկվող հարցումներ մեկ միավորի (ժամանակի համար): Հարցումը, որը ստացվել է այն պահին, երբ ալիքը զբաղված է, հերթագրված է և սպասում է ծառայությանը:
Համակարգ սահմանափակ հերթի երկարությամբ: Նախ ենթադրենք, որ հերթում տեղերի քանակը սահմանափակված է m թվով, այսինքն. եթե հավելվածը հասնում է այն ժամանակ, երբ հերթում արդեն կան m-հավելվածներ, այն թողնում է համակարգը չսպասարկված: Հետագայում, m-ն ուղղելով դեպի անսահմանություն, մենք կստանանք մեկ ալիք QS-ի բնութագրերը՝ առանց հերթի երկարության սահմանափակումների։
Մենք կհամարակալենք QS-ի վիճակները՝ ըստ համակարգում առկա հավելվածների քանակի (ինչպես սպասարկվում են, այնպես էլ սպասարկում են).
Ալիքն անվճար է;
Ալիքը զբաղված է, հերթ չկա;
Ալիքը զբաղված է, մեկ հավելված հերթագրված է.
Ալիքը զբաղված է, k-1 հավելվածները հերթագրված են;
Ալիքը զբաղված է, դիմումները հերթագրված են։
GSP-ն ներկայացված է Նկ. 4. Իրադարձությունների հոսքերի բոլոր ինտենսիվությունները, որոնք շարժվում են դեպի համակարգ սլաքների երկայնքով ձախից աջ, հավասար են, իսկ աջից ձախ՝ -ի: Իրոք, հարցումների հոսքը համակարգը տեղափոխում է սլաքների երկայնքով ձախից աջ (հենց որ հարցումը հասնում է, համակարգը գնում է հաջորդ վիճակին), մինչդեռ աջից ձախ կա զբաղված ալիքի «արձակումների» հոսք։ , որն ունի ինտենսիվություն (հենց հաջորդ հարցումը սպասարկվի, ալիքը կա՛մ կդառնա անվճար, կա՛մ կնվազի հերթագրված հավելվածների թիվը):
Բրինձ. 4. Սպասմամբ միալիք QS
Ցուցադրված է Նկ. 4 դիագրամը վերարտադրության և մահվան դիագրամ է: Գրենք վիճակների սահմանափակող հավանականությունների արտահայտություններ.
(5)
կամ օգտագործելով՝ :
(6)
(6)-ի վերջին տողը պարունակում է երկրաչափական պրոգրեսիա առաջին անդամ 1-ով և p հայտարարով, որից ստանում ենք.
(7)
որի կապակցությամբ սահմանափակող հավանականությունները ձև են ստանում.
(8).
Արտահայտությունը (7) վավեր է միայն< 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m+2, и в этом случае:
Եկեք որոշենք QS-ի բնութագրերը՝ ձախողման հավանականություն, հարաբերական թողունակություն q, բացարձակ թողունակություն A, հերթի միջին երկարություն, համակարգի հետ կապված հավելվածների միջին քանակը, հերթում սպասման միջին ժամանակը, QS-ում հավելվածի ծախսած միջին ժամանակը: .
Անհաջողության հավանականությունը. Ակնհայտ է, որ դիմումը մերժվում է միայն այն դեպքում, եթե ալիքը զբաղված է, և հերթի բոլոր t-տեղերը նույնպես զբաղված են.
(9).
Հարաբերական թողունակություն:
(10).
Հերթի միջին երկարությունը: Եկեք գտնենք հերթում հայտերի միջին թիվը որպես դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք՝ R-հերթում հայտերի քանակը.
Հավանականությամբ հերթում կա մեկ հայտ, հավանականությամբ՝ երկու հայտ, ընդհանրապես հավանականությամբ հերթում կան k-1 հավելվածներ և այլն, որոնցից.
(11).
Քանի որ (11)-ի գումարը կարող է մեկնաբանվել որպես երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի ածանցյալ.
Փոխարինող այս արտահայտությունը(11)-ում և օգտագործելով (8-ից), մենք վերջապես ստանում ենք.
(12).
Համակարգում հայտերի միջին թիվը: Այնուհետև մենք ստանում ենք համակարգի հետ կապված հարցումների միջին քանակի բանաձև (ինչպես հերթում կանգնած, այնպես էլ սպասարկվող): Քանի որ որտեղ է սպասարկվող դիմումների միջին թիվը, և k-ն հայտնի է, մնում է որոշել: Քանի որ կա միայն մեկ ալիք, սպասարկվող հարցումների թիվը կարող է լինել 0 (հավանականությամբ ) կամ 1 (1- ի հավանականությամբ), որից.
.
և QS-ի հետ կապված դիմումների միջին թիվը հետևյալն է.
(13).
Հերթում հայտի սպասման միջին ժամանակը: Նշենք այն; եթե հարցումը մտնում է համակարգ ժամանակի ինչ-որ պահի, ապա, ամենայն հավանականությամբ, սպասարկման ալիքը զբաղված չի լինի, և այն ստիպված չի լինի սպասել հերթում (սպասման ժամանակը զրոյական է): Ամենայն հավանականությամբ, նա կմտնի համակարգ, քանի դեռ ինչ-որ հարցում է սպասարկվում, բայց նրա առջև հերթ չի մնա, և հարցումը կսպասի սպասարկման մեկնարկին որոշակի ժամանակահատված (մեկը սպասարկելու միջին ժամանակը. խնդրանք): Հավանականություն կա, որ հայտի քննարկումից առաջ հերթում կլինի մեկ այլ հայտ, և սպասման միջին ժամանակը հավասար կլինի և այլն։
Եթե k=m+1, այսինքն. երբ նոր ժամանած հարցումը գտնում է, որ սպասարկման ալիքը զբաղված է և m-խնդրում է հերթում (հավանականությունը), ապա այս դեպքում հարցումը չի հերթագրվում (և չի սպասարկվում), ուստի սպասման ժամանակը զրո է: Սպասման միջին ժամանակը կլինի.
Եթե այստեղ (8) հավանականությունները փոխարինենք արտահայտություններով, կստանանք.
(14).
Այստեղ մենք օգտագործում ենք հարաբերությունները (11), (12) (երկրաչափական առաջընթացի ածանցյալ), ինչպես նաև (8): Համեմատելով այս արտահայտությունը (12)-ի հետ՝ մենք նշում ենք, որ այլ կերպ ասած՝ սպասման միջին ժամանակը հավասար է հերթում հայտերի միջին թվին, որը բաժանված է դիմումի հոսքի ինտենսիվության վրա։
(15).
Հավելվածի համակարգում մնալու միջին ժամանակը: Եկեք նշենք պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը որպես QS-ում հարցումը մնալու ժամանակ, որը հերթում սպասման միջին ժամանակի և սպասարկման միջին ժամանակի գումարն է: Եթե համակարգի բեռնվածությունը 100% է, ակնհայտ է, հակառակ դեպքում.
.
Օրինակ 1. Բենզալցակայանը (բենզալցակայանը) մեկ սպասարկման ալիքով (մեկ պոմպ) ունեցող սպասարկման կայան է:
Կայանի տարածքը թույլ է տալիս միաժամանակ լիցքավորման համար հերթ կանգնել ոչ ավելի, քան երեք մեքենա (մ = 3): Եթե հերթում արդեն երեք մեքենա կա, ապա կայարան ժամանած հաջորդ մեքենան հերթին չի միանում։ Վառելիքի լիցքավորման ժամանող մեքենաների հոսքը ունի ինտենսիվություն = 1 (մեքենա րոպեում): Վառելիքի լիցքավորման գործընթացը տեւում է միջինը 1,25 րոպե։
Սահմանել.
ձախողման հավանականությունը;
գազալցակայանների հարաբերական և բացարձակ հզորությունը.
մեքենաների միջին քանակը, որոնք սպասում են լիցքավորմանը.
բենզալցակայանում մեքենաների միջին քանակը (ներառյալ սպասարկվողները).
հերթում կանգնած մեքենայի միջին սպասման ժամանակը;
միջին ժամանակը, որը մեքենան ծախսում է բենզալցակայանում (ներառյալ սպասարկումը):
Այլ կերպ ասած, միջին սպասման ժամանակը հավասար է հերթում առկա դիմումների միջին քանակին, որը բաժանված է դիմումի հոսքի ինտենսիվության վրա:
Մենք նախ գտնում ենք կիրառությունների հոսքի նվազեցված ինտենսիվությունը՝ =1/1.25=0.8; =1/0.8=1.25.
Ըստ բանաձևերի (8):
Ձախողման հավանականությունը 0,297 է:
QS-ի հարաբերական հզորությունը՝ q=1-=0,703:
QS-ի բացարձակ թողունակությունը՝ A==0,703 մեքենա րոպեում:
Մենք գտնում ենք հերթում մեքենաների միջին թիվը՝ օգտագործելով բանաձևը (12).
դրանք. Բենզալցակայանի լիցքավորման համար հերթում սպասող մեքենաների միջին թիվը 1,56 է։
Այս արժեքին ավելացնելով սպասարկվող տրանսպորտային միջոցների միջին թիվը.
մենք ստանում ենք բենզալցակայանի հետ կապված մեքենաների միջին թիվը:
Հերթում մեքենայի սպասման միջին ժամանակը ըստ բանաձևի (15).
Այս արժեքին գումարելով՝ մենք ստանում ենք այն միջին ժամանակը, որը մեքենան ծախսում է բենզալցակայանում.
Անսահմանափակ սպասման համակարգեր: Նման համակարգերում m-ի արժեքը սահմանափակված չէ և, հետևաբար, հիմնական բնութագրերը կարելի է ստանալ՝ անցնելով նախկինում ստացված արտահայտությունների սահմանին (5), (6) և այլն։
Նկատի ունեցեք, որ վերջին բանաձևում (6) հայտարարը երկրաչափական պրոգրեսիայի անսահման թվով անդամների գումարն է: Այս գումարը համընկնում է, երբ առաջընթացն անվերջ նվազում է, այսինքն. ժամը<1.
Դա կարելի է ապացուցել<1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.
Եթե, ապա հարաբերությունները (8) ստանում են ձևը.
(16).
Եթե հերթի երկարության սահմանափակումներ չկան, համակարգ մտնող յուրաքանչյուր հավելված կսպասարկվի, հետևաբար q=1, 
.
Մենք հերթում հայտերի միջին թիվը ստանում ենք (12)-ից՝
Համակարգում հայտերի միջին թիվը՝ համաձայն (13) բանաձևի.
.
Սպասման միջին ժամանակը ստացվում է բանաձևից (14) հետևյալով.
.
Վերջապես, դիմումի QS-ում մնալու միջին ժամանակը հետևյալն է.
Համակարգ սահմանափակ հերթի երկարությամբ: Դիտարկենք սպասող QS ալիքը, որն ինտենսիվությամբ ստանում է հարցումների հոսք. ծառայության ինտենսիվությունը (մեկ ալիքի համար); հերթում տեղերի քանակը.
Համակարգի վիճակները համարակալվում են ըստ համակարգի հետ կապված հարցումների քանակի.
հերթ չկա.
Բոլոր ալիքներն անվճար են;
Մեկ ալիքը զբաղված է, մնացածը՝ անվճար;
-ալիքները զբաղված են, մնացածը՝ ոչ;
Բոլոր ալիքները զբաղված են, անվճար ալիքներ չկան.
հերթ կա.
Բոլոր n-ալիքները զբաղված են; մեկ դիմում հերթում է.
Բոլոր n-ալիքները, r- հարցումները հերթում զբաղված են;
Բոլոր n-ալիքները, r- հարցումները հերթում զբաղված են:
GSP-ն ներկայացված է Նկ. 17. Յուրաքանչյուր սլաք նշվում է իրադարձությունների հոսքերի համապատասխան ինտենսիվությամբ: Ձախից աջ սլաքների երկայնքով համակարգը միշտ փոխանցվում է հարցումների նույն հոսքով՝ ինտենսիվությամբ.
Բրինձ. 17. Բազմաալիք QS սպասմամբ
Գրաֆիկը բնորոշ է վերարտադրության և մահվան գործընթացներին, որոնց համար լուծումը նախկինում ստացվել է։ Գրենք վիճակների սահմանափակող հավանականությունների արտահայտություններ՝ օգտագործելով նշումը.
Այսպիսով, բոլոր պետական հավանականությունները գտնվել են։
Եկեք որոշենք համակարգի կատարողական բնութագրերը:
Անհաջողության հավանականությունը. Մուտքային հարցումը մերժվում է, եթե հերթի բոլոր n-ալիքները և բոլոր m-տեղերը զբաղեցված են.
(18)
Հարաբերական թողունակությունը լրացնում է ձախողման հավանականությունը մեկին.
QS-ի բացարձակ թողունակությունը.
(19)
Զբաղված ալիքների միջին թիվը: Մերժումներով QS-ի համար այն համընկավ համակարգում հայտերի միջին քանակի հետ։ Հերթով QS-ի համար զբաղված ալիքների միջին թիվը չի համընկնում համակարգի հավելվածների միջին քանակի հետ. վերջին արժեքը տարբերվում է առաջինից հերթում առկա հավելվածների միջին քանակով:
Զբաղված ալիքների միջին թիվը նշանակենք . Յուրաքանչյուր զբաղված ալիք սպասարկում է միջինը A-հավակնություններ մեկ միավորի ժամանակի համար, իսկ QS-ն որպես ամբողջություն սպասարկում է միջին A-հայտերի մեկ միավոր ժամանակի համար: Մեկը մյուսի վրա բաժանելով՝ ստանում ենք.
Հերթում հարցումների միջին թիվը կարող է ուղղակիորեն հաշվարկվել որպես դիսկրետ պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք.
(20)
Այստեղ կրկին (փակագծերի արտահայտությունը) տեղի է ունենում երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի ածանցյալը (տե՛ս վերևում (11), (12) - (14)), օգտագործելով դրա առնչությունը, մենք ստանում ենք.
Համակարգում դիմումների միջին քանակը.
Հերթում հայտի սպասման միջին ժամանակը: Դիտարկենք մի շարք իրավիճակներ, որոնք տարբերվում են այն վիճակից, որում նոր ժամանած հարցումը կգտնի համակարգը և որքան ժամանակ այն պետք է սպասի ծառայությանը:
Եթե հարցումը չի գտնում, որ բոլոր ալիքները զբաղված են, այն ընդհանրապես ստիպված չի լինի սպասել (մաթեմատիկական ակնկալիքի համապատասխան պայմանները հավասար են զրոյի): Եթե հարցումը գալիս է այն ժամանակ, երբ բոլոր n-ալիքները զբաղված են և հերթ չկա, այն պետք է սպասի միջինը հավասար ժամանակ (քանի որ -ալիքների «ազատման հոսքը» ինտենսիվություն ունի): Եթե հարցումը գտնում է, որ բոլոր ալիքները զբաղված են, իսկ դիմացի մեկ հարցումը հերթում է, այն պետք է սպասի միջինը որոշակի ժամանակահատված (յուրաքանչյուր հարցման դիմաց) և այլն: Եթե հարցումը հայտնվում է հերթում. խնդրանքներով, այն միջինը պետք է սպասի ժամանակին Եթե նոր ժամանած հարցումը գտնում է m- հարցումներ արդեն հերթում, ապա այն ընդհանրապես չի սպասի (բայց չի սպասարկվի): Մենք գտնում ենք սպասման միջին ժամանակը՝ այս արժեքներից յուրաքանչյուրը բազմապատկելով համապատասխան հավանականություններով.
(21)
Ինչպես սպասման հետ մեկ ալիքով QS-ի դեպքում, մենք նշում ենք, որ այս արտահայտությունը տարբերվում է միջին հերթի երկարության արտահայտությունից (20) միայն գործակցով, այսինքն.
.
Հարցման միջին բնակության ժամանակը համակարգում, ինչպես նաև մեկ ալիք QS-ի համար, տարբերվում է սպասման միջին ժամանակից միջին սպասարկման ժամանակով՝ բազմապատկած հարաբերական թողունակությամբ.
.
Անսահմանափակ հերթի երկարությամբ համակարգեր: Մենք դիտարկեցինք QS ալիքը սպասող, երբ ոչ ավելի, քան m- հարցումները կարող են միաժամանակ լինել հերթում:
Ինչպես նախկինում, առանց սահմանափակումների համակարգեր վերլուծելիս անհրաժեշտ է դիտարկել ստացված հարաբերությունները .
Բանաձևերից մենք ստանում ենք վիճակների հավանականությունները՝ անցնելով սահմանին (at): Նկատի ունեցեք, որ համապատասխան երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը համընկնում է և շեղվում է >1-ում: Ենթադրելով, որ<1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:
(22)
Անհաջողության հավանականությունը, հարաբերական և բացարձակ թողունակությունը: Քանի որ յուրաքանչյուր հարցում վաղ թե ուշ սպասարկվելու է, QS թողունակության բնութագրերը կլինեն.
Հերթում հայտերի միջին թիվը ստացվում է (20):
,
իսկ միջին սպասման ժամանակը (21):
.
Զբաղված ալիքների միջին թիվը, ինչպես նախկինում, որոշվում է բացարձակ թողունակության միջոցով.
.
QS-ի հետ կապված հայտերի միջին թիվը սահմանվում է որպես հերթում առկա հավելվածների միջին թիվը՝ գումարած սպասարկվող հավելվածների միջին թիվը (զբաղված ալիքների միջին թիվը).
Օրինակ 2. Երկու պոմպերով (n = 2) գազալցակայանը սպասարկում է =0,8 ինտենսիվությամբ մեքենաների հոսք (ավտոմեքենաներ րոպեում): Մեկ մեքենայի սպասարկման միջին ժամանակը.
Տարածքում այլ գազալցակայան չկա, ուստի բենզալցակայանի դիմաց մեքենաների շարքը կարող է գրեթե անսահմանափակ աճել։ Գտեք QS-ի բնութագրերը:
Քանի որ<1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:
և այլն:
Մենք կգտնենք զբաղված ալիքների միջին թիվը՝ բաժանելով QS A = = 0.8 բացարձակ հզորությունը ծառայության ինտենսիվության վրա = 0.5:
Բենզալցակայանում հերթեր չլինելու հավանականությունը կլինի.
Հերթում կանգնած մեքենաների միջին քանակը.
Մեքենաների միջին թիվը գազալցակայաններում.
Հերթում սպասման միջին ժամանակը.
Բենզալցակայանում մեքենայի ծախսած միջին ժամանակը.
QS սահմանափակ սպասման ժամանակով: Նախկինում մենք դիտարկում էինք միայն հերթի երկարությամբ սահմանափակված սպասող համակարգերը (հերթում միաժամանակյա m- հարցումների քանակը): Նման QS-ում հերթում մեծացած հավելվածը չի թողնում այն մինչև սպասարկվի: Գործնականում կան QS-ի այլ տեսակներ, որոնցում հավելվածը որոշ ժամանակ սպասելուց հետո կարող է հեռանալ հերթից (այսպես կոչված՝ «անհամբեր» հավելվածներ):
Դիտարկենք այս տիպի QS՝ ենթադրելով, որ սպասման ժամանակի սահմանափակումը պատահական փոփոխական է։
Ենթադրենք, որ կա սպասման n-ալիք QS, որտեղ հերթում տեղերի թիվն անսահմանափակ է, բայց այն ժամանակը, երբ հարցումը մնում է հերթում, ինչ-որ պատահական փոփոխական է՝ միջին արժեքով, հետևաբար, յուրաքանչյուր հարցում հերթում. հերթը ենթակա է մի տեսակ Պուասոնի «խնամքի հոսքի» ինտենսիվությամբ.
Եթե այս հոսքը Պուասոն է, ապա QS-ում տեղի ունեցող գործընթացը կլինի մարկովյան: Գտնենք դրա համար պետական հավանականությունները։ Համակարգի վիճակների համարակալումը կապված է համակարգում առկա հավելվածների քանակի հետ՝ և՛ սպասարկվող, և՛ հերթում կանգնած.
հերթ չկա.
Բոլոր ալիքներն անվճար են;
Մեկ ալիքը զբաղված է.
Երկու ալիք զբաղված է.
Բոլոր n-ալիքները զբաղված են;
հերթ կա.
Բոլոր n-ալիքները զբաղված են, մեկ հարցումը հերթում է.
Բոլոր n-ալիքները զբաղված են, r- հարցումները հերթում են և այլն:
Համակարգի վիճակների և անցումների գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 23.
Բրինձ. 23. QS սահմանափակ սպասման ժամանակով
Եկեք նշենք այս գրաֆիկը, ինչպես նախկինում; ձախից աջ տանող բոլոր սլաքները ցույց կտան հավելվածների հոսքի ինտենսիվությունը: Հերթ չունեցող պետությունների համար նրանցից աջից ձախ տանող սլաքները, ինչպես նախկինում, ցույց կտան բոլոր զբաղեցրած ալիքները սպասարկող հոսքի ընդհանուր ինտենսիվությունը: Ինչ վերաբերում է հերթով նահանգներին, ապա դրանցից աջից ձախ տանող սլաքները կունենան բոլոր n-ալիքների սպասարկման հոսքի ընդհանուր ինտենսիվությունը՝ գումարած հերթից հեռանալու հոսքի համապատասխան ինտենսիվությունը: Եթե հերթում կան r-հավելումներ, ապա մեկնումների հոսքի ընդհանուր ինտենսիվությունը հավասար կլինի .
Ինչպես երևում է գրաֆիկից, կա վերարտադրության և մահվան օրինաչափություն. օգտագործելով ընդհանուր արտահայտություններ այս սխեմայում վիճակների սահմանափակող հավանականությունների համար (օգտագործելով կրճատ նշումներ, մենք գրում ենք.
(24)
Եկեք նկատենք QS-ի որոշ առանձնահատկություններ՝ սահմանափակ սպասման դեպքում՝ համեմատած նախկինում դիտարկված «հիվանդների» հարցումներով QS-ի հետ:
Եթե հերթի երկարությունը սահմանափակված չէ, և հարցումները «համբերատար» են (հերթը մի թողեք), ապա անշարժ սահմանային ռեժիմը գործում է միայն այն դեպքում (ժամը, համապատասխան անսահման երկրաչափական առաջընթացը տարբերվում է, ինչը ֆիզիկապես համապատասխանում է անսահմանափակ աճին. հերթի ժամը):
Ընդհակառակը, QS-ում, որտեղ «անհամբեր» հարցումները վաղ թե ուշ հեռանում են հերթից, սպասարկման հաստատված ռեժիմը միշտ ձեռք է բերվում՝ անկախ հարցումների հոսքի կրճատված ինտենսիվությունից: Սա բխում է այն փաստից, որ (24) բանաձևի հայտարարի շարքը համընկնում է և .-ի ցանկացած դրական արժեքի համար:
«Անհամբեր» հարցումներով QS-ի համար «ձախողման հավանականություն» հասկացությունն իմաստ չունի. յուրաքանչյուր հարցում հերթ է մտնում, բայց կարող է չսպասել ծառայությանը՝ ժամանակից շուտ հեռանալով:
Հարաբերական թողունակությունը, հերթում հարցումների միջին քանակը: Նման QS-ի հարաբերական հզորությունը q կարող է հաշվարկվել հետևյալ կերպ. Ակնհայտ է, որ բոլոր դիմումները կսպասարկվեն, բացառությամբ նրանց, որոնք ժամանակից շուտ հերթ են թողնում։ Եկեք հաշվարկենք այն դիմումների միջին թիվը, որոնք վաղաժամ թողնում են հերթը։ Դա անելու համար մենք հաշվարկում ենք հերթում առկա դիմումների միջին քանակը.
Այս դիմումներից յուրաքանչյուրը ենթակա է «մեկնումների հոսքի»՝ ինտենսիվությամբ: Սա նշանակում է, որ հերթում հայտնված դիմումների միջին քանակից, միջինում, - դիմումները կմեկնեն առանց սպասարկման, - դիմումները մեկ միավորի համար և ընդհանուր առմամբ մեկ միավորի համար, միջինը - դիմումները կսպասարկվեն: QS-ի հարաբերական հզորությունը կլինի.
Մենք դեռ ստանում ենք զբաղեցրած ալիքների միջին թիվը՝ բաժանելով A բացարձակ թողունակությունը հետևյալի վրա.
(26)
Հերթագրված դիմումների միջին թիվը: Հարաբերությունը (26) թույլ է տալիս հաշվարկել հերթում հայտերի միջին քանակը՝ առանց անվերջ շարքը (25) գումարելու: (26)-ից մենք ստանում ենք.
և այս բանաձևում ներառված զբաղված ալիքների միջին թիվը կարելի է գտնել որպես պատահական Z փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիք՝ վերցնելով 0, 1, 2,..., n արժեքները հավանականություններով ,.
Եզրափակելով, մենք նշում ենք, որ եթե (24) բանաձևերում մենք գնանք սահմանաչափին (կամ, ինչ նույնն է, ժամը), ապա կստացվեն (22) բանաձևերը, այսինքն՝ «անհամբեր» դիմումները կդառնան «համբերատար»։
Մինչ այժմ մենք դիտարկել ենք համակարգեր, որոնցում մուտքային հոսքը ոչ մի կերպ կապված չէ ելքային հոսքի հետ: Նման համակարգերը կոչվում են բաց հանգույց: Որոշ դեպքերում սպասարկվող հարցումները կրկին ստացվում են մուտքագրում ուշացումից հետո: Նման QS-ները կոչվում են փակ: Տվյալ տարածքը սպասարկող կլինիկան, մեքենաների խմբին նշանակված աշխատողների թիմը փակ համակարգերի օրինակներ են:
Փակ QS-ում շրջանառվում է պոտենցիալ պահանջների նույն վերջավոր թիվը: Քանի դեռ հնարավոր պահանջը չի իրականացվել որպես ծառայության հարցում, այն համարվում է հետաձգման բլոկում: Իրականացման պահին այն ինքնին մտնում է համակարգ։ Օրինակ, աշխատողները պահպանում են մեքենաների խումբ: Յուրաքանչյուր մեքենա պոտենցիալ պահանջ է, որն իր խափանման պահին վերածվում է իրականի: Մինչ մեքենան աշխատում է, այն գտնվում է հետաձգման բլոկում, և խափանման պահից մինչև վերանորոգման ավարտը գտնվում է հենց համակարգում։ Յուրաքանչյուր աշխատող սպասարկման ալիք է:
Թող n- սպասարկման ալիքների քանակը, ս- հնարավոր հայտերի քանակը, n <ս , - յուրաքանչյուր պոտենցիալ պահանջի համար դիմումների հոսքի ինտենսիվությունը, μ - սպասարկման ինտենսիվությունը.
Համակարգի խափանումների հավանականությունը որոշվում է բանաձևով
Ռ
0
= 
.
Համակարգի վերջնական հավանականությունները հետևյալն են.
Պկ= ժամը կ
Զբաղված կապուղիների միջին թիվը արտահայտվում է այս հավանականությունների միջոցով
=Պ 1 + 2Պ 2 +…+n(P n +P n+ 1 +…+P s)կամ
=Պ 1 + 2Պ 2 +…+ (n- 1) Pn- 1 +n( 1-Պ 0 -Պ 1 -…-Պ n-1 ).
Օգտագործելով սա, մենք գտնում ենք համակարգի բացարձակ թողունակությունը.
ինչպես նաև համակարգում հայտերի միջին թիվը
Մ=s- =s- .
Օրինակ 1. Երեք ալիքով QS-ի մուտքագրումը ձախողումներով ստանում է հարցումների հոսք՝ ինտենսիվությամբ =4 հարցում րոպեում, մեկ ալիքով հարցումը սպասարկելու ժամանակը տ obs =1/μ =0.5 ր. QS հզորության տեսանկյունից ձեռնտու է արդյոք ստիպել բոլոր երեք ալիքներին միանգամից սպասարկել հարցումները, իսկ սպասարկման միջին ժամանակը երեք անգամ կրճատվել է: Ինչպե՞ս դա կանդրադառնա CMO-ում հայտի ծախսած միջին ժամանակի վրա:
Լուծում.Մենք գտնում ենք եռալիք QS-ի անգործության հավանականությունը՝ օգտագործելով բանաձևը
ρ = /μ =4/2=2, n=3,
P 0 = = = 0,158.
Անհաջողության հավանականությունը որոշվում է բանաձևով.
P բաց = P n ==
Պբաց = 0,21:
Համակարգի հարաբերական թողունակությունը.
R obsl = 1-R բաց 1-0,21=0,79.
Համակարգի բացարձակ թողունակությունը.
A= P obsl 3,16.
Զբաղված ալիքների միջին թիվը որոշվում է բանաձևով.
1.58, սպասարկմամբ զբաղեցրած կապուղիների բաժինը,
ք = 0,53.
Դիմումի QS-ում մնալու միջին ժամանակը հայտնաբերվում է որպես ծառայության ընդունման հավանականություն՝ բազմապատկած ծառայության միջին ժամանակի վրա. t SMO 0,395 րոպե.
Միավորելով բոլոր երեք ալիքները մեկում, մենք ստանում ենք մեկ ալիքային համակարգ՝ պարամետրերով μ= 6, ρ= 2/3. Մեկ ալիքային համակարգի համար պարապուրդի հավանականությունը հետևյալն է.
Ռ 0 = = =0,6,
ձախողման հավանականությունը.
P բաց =ր P 0 = = 0,4,
հարաբերական թողունակություն.
R obsl = 1-R բաց =0,6,
բացարձակ թողունակություն.
A=P obs =2.4.
t SMO =P obsl= =0.1 րոպե.
Ալիքները մեկի մեջ միավորելու արդյունքում համակարգի թողունակությունը նվազեց, քանի որ խափանման հավանականությունը մեծանում էր: Համակարգում հավելվածի ծախսած միջին ժամանակը նվազել է։
Օրինակ 2. Երեք ալիք QS-ի մուտքագրումը անսահմանափակ հերթով ստանում է հարցումների հոսք՝ ինտենսիվությամբ =4 դիմում ժամում, մեկ դիմում սպասարկելու միջին ժամանակը տ=1/μ=0.5 ժ Գտեք համակարգի կատարողականի ցուցանիշները:
Դիտարկվող համակարգի համար n =3, =4, μ=1/0.5=2, ρ= /μ=2, ρ/ n =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:
P= 
.
Պ
0
= 
=1/9.
Մենք հերթում գտնում ենք դիմումների միջին թիվը՝ օգտագործելով բանաձևը.
Լ
=
.
Լ = = .
Մենք հաշվարկում ենք հերթում հայտի սպասման միջին ժամանակը՝ օգտագործելով բանաձևը.
տ= = 0,22 ժամ:
Հավելվածի համակարգում մնալու միջին ժամանակը.
T=t+ 0,22+0,5=0,72.
Օրինակ 3. Վարսավիրանոցում աշխատում է 3 վարսահարդար, իսկ սպասասրահում կա 3 աթոռ։ Հաճախորդների հոսքն ունի ինտենսիվություն = 12 հաճախորդ ժամում: Սպասարկման միջին ժամանակը տ obsl = 20 րոպե. Որոշեք համակարգի հարաբերական և բացարձակ թողունակությունը, զբաղեցրած աթոռների միջին քանակը, հերթի միջին երկարությունը, հաճախորդի վարսավիրանոցում անցկացրած միջին ժամանակը:
Այս առաջադրանքի համար n =3, մ =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/n=4/3. Անգործության հավանականությունը որոշվում է բանաձևով.
Ռ
0
=
.
Պ
0
= 
0,012.
Ծառայությունից հրաժարվելու հավանականությունը որոշվում է բանաձևով
P բաց =P n+m = .
Պ բացել =Պ ն + մ 0,307.
Համակարգի հարաբերական հզորությունը, այսինքն. սպասարկման հավանականությունը.
P obsl =1-P բաց 1-0,307=0,693.
Բացարձակ թողունակություն.
A= P obsl 12 .
Զբաղված ալիքների միջին քանակը.
.
Հերթի միջին երկարությունը որոշվում է բանաձևով.
Լ
=
L= 
1,56.
Հերթում սպասարկման միջին սպասման ժամանակը.
տ= ժ.
Միջին թվով դիմումների CMO:
M=L + .
Միջին ժամանակը, երբ դիմումը մնում է CMO-ում.
T=M/ 0.36 ժամ
Օրինակ 4. Աշխատում է 4 մեքենա. Յուրաքանչյուր մեքենա ձախողվում է ինտենսիվությամբ =0,5 խափանումներ ժամում, միջին վերանորոգման ժամանակ t rem=1/μ=0.8 ժ Որոշել համակարգի թողունակությունը.
Այս խնդիրը համարում է փակ QS, μ =1,25, ρ=0,5/1,25=0,4: Աշխատողի պարապուրդի հավանականությունը որոշվում է բանաձևով.
Ռ
0
=
.
Պ
0
= 
.
Աշխատողի զբաղվածության հավանականությունը Ռ զան = 1-P 0 . Ա=( 1-Պ 0 )μ =0.85μ մեքենաներ ժամում:
Առաջադրանք.
Երկու աշխատող աշխատում է չորս մեքենաներից բաղկացած խումբ: Աշխատանքային մեքենայի կանգառները տեղի են ունենում միջինում 30 րոպե հետո: Կարգավորման միջին ժամանակը 15 րոպե է: Գործողության և տեղադրման ժամանակը բաշխվում է ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի:
Գտեք յուրաքանչյուր աշխատողի ազատ ժամանակի միջին մասնաբաժինը և մեքենայի միջին աշխատանքային ժամանակը:
Գտեք նույն բնութագրերը մի համակարգի համար, որտեղ.
ա) յուրաքանչյուր աշխատողի նշանակվում է երկու մեքենա.
բ) երկու աշխատող միշտ սպասարկում են մեքենան միասին և կրկնակի ինտենսիվությամբ.
գ) միակ անսարք մեքենան սպասարկվում է երկու աշխատողների կողմից միանգամից (կրկնակի ինտենսիվությամբ), և երբ հայտնվում է ևս մեկ անսարք մեքենա, նրանք սկսում են աշխատել առանձին՝ յուրաքանչյուրը սպասարկում է մեկ մեքենա (նախ նկարագրեք համակարգը՝ ըստ գործընթացների. մահ և ծնունդ):
Լուծում:
Հնարավոր են S համակարգի հետևյալ վիճակները.
S 0 - բոլոր մեքենաները գործում են.
S 1 – 1 մեքենան վերանորոգված է, մնացածը գտնվում են լավ վիճակում;
S 2 – 2 մեքենան վերանորոգվում է, մնացածը գտնվում են աշխատունակ վիճակում;
S 3 – 3 մեքենան վերանորոգված է, մնացածը գտնվում են աշխատունակ վիճակում;
S 4 – 4 մեքենան վերանորոգվում է, մնացածը գտնվում են լավ վիճակում;
S 5 – (1, 2) մեքենաները վերանորոգվում են, մնացածը գտնվում են լավ վիճակում;
S 6 – (1, 3) մեքենաները վերանորոգվում են, մնացածը գտնվում են աշխատանքային վիճակում;
S 7 – (1, 4) մեքենաները վերանորոգվում են, մնացածը գտնվում են լավ վիճակում;
S 8 – (2, 3) մեքենաները վերանորոգվում են, մնացածը գտնվում են լավ վիճակում;
S 9 – (2, 4) մեքենաները վերանորոգվում են, մնացածը գտնվում են լավ վիճակում;
S 10 – (3, 4) մեքենաները վերանորոգվում են, մնացածը գտնվում են լավ վիճակում;
S 11 – (1, 2, 3) մեքենաներ վերանորոգվում են, 4 մեքենա շահագործվում է;
S 12 – (1, 2, 4) մեքենաներ վերանորոգվում են, 3 մեքենա շահագործվում է;
S 13 – (1, 3, 4) մեքենաները վերանորոգվում են, մեքենա 2-ը գործում է;
S 14 – (2, 3, 4) մեքենաներ վերանորոգվում են, 1 մեքենա շահագործվում է;
S 15 – Բոլոր մեքենաները վերանորոգված են։
Համակարգի վիճակի գրաֆիկ...
Այս S համակարգը փակ համակարգի օրինակ է, քանի որ յուրաքանչյուր մեքենա պոտենցիալ պահանջ է, որը վերածվում է իրականի իր խափանման պահին: Մինչ մեքենան աշխատում է, այն գտնվում է հետաձգման բլոկում, և խափանման պահից մինչև վերանորոգման ավարտը գտնվում է հենց համակարգում։ Յուրաքանչյուր աշխատող սպասարկման ալիք է:
Եթե աշխատողը զբաղված է, ապա նա տեղադրում է μ-մեքենաներ մեկ միավոր ժամանակում, համակարգի հզորությունը.
Պատասխան.
Յուրաքանչյուր աշխատողի համար ազատ ժամանակի միջին մասնաբաժինը ≈ 0,09 է:
Մեքենայի միջին աշխատանքային ժամանակը ≈ 3.64.
ա) Յուրաքանչյուր աշխատողի նշանակվում է երկու մեքենա.
Աշխատողի պարապուրդի հավանականությունը որոշվում է բանաձևով.
Աշխատողի աշխատանքի հավանականությունը.
Եթե աշխատողը զբաղված է, ապա նա տեղադրում է μ-մեքենաներ մեկ միավոր ժամանակում, համակարգի հզորությունը.
Պատասխան.
Յուրաքանչյուր աշխատողի համար ազատ ժամանակի միջին մասնաբաժինը ≈ 0,62 է:
Մեքենայի միջին աշխատանքային ժամանակը ≈ 1.52:
բ) Երկու աշխատող միշտ սպասարկում են մեքենան միասին և կրկնակի ինտենսիվությամբ:
գ) Միակ անսարք մեքենան սպասարկվում է երկու աշխատողների կողմից միանգամից (կրկնակի ինտենսիվությամբ), և երբ հայտնվում է ևս մեկ անսարք մեքենա, նրանք սկսում են աշխատել առանձին՝ յուրաքանչյուրը սպասարկում է մեկ մեքենա (նախ նկարագրեք համակարգը՝ ըստ գործընթացների. մահ և ծնունդ):
5 պատասխանների համեմատություն.
Մեքենաներում աշխատողներին կազմակերպելու ամենաարդյունավետ միջոցը կլինի առաջադրանքի նախնական տարբերակը:
Ամենապարզ հերթերի համակարգերի (QS) օրինակները քննարկվել են վերևում: «Նախակենդանի» տերմինը չի նշանակում «տարրական»։ Այս համակարգերի մաթեմատիկական մոդելները կիրառելի են և հաջողությամբ կիրառվում գործնական հաշվարկներում։
Որոշումների տեսության կիրառման հնարավորությունը հերթագրման համակարգերում որոշվում է հետևյալ գործոններով.
1. Համակարգում (որը համարվում է QS) դիմումների թիվը պետք է լինի բավականին մեծ (զանգվածային):
2. QS-ի մուտքագրմամբ ստացված բոլոր դիմումները պետք է լինեն նույն տեսակի:
3. Բանաձևերի միջոցով հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ այն օրենքները, որոնք որոշում են դիմումների ստացումը և դրանց մշակման ինտենսիվությունը: Ավելին, պատվերի հոսքերը պետք է լինեն Poisson:
4. QS-ի կառուցվածքը, այսինքն. մուտքային պահանջների շարքը և դիմումի մշակման հաջորդականությունը պետք է խստորեն ամրագրվեն:
5. Անհրաժեշտ է սուբյեկտներին բացառել համակարգից կամ բնութագրել որպես մշտական մշակման ինտենսիվությամբ պահանջներ:
Վերը թվարկված սահմանափակումներին մենք կարող ենք ավելացնել ևս մեկը, որն ուժեղ ազդեցություն ունի մաթեմատիկական մոդելի չափի և բարդության վրա:
6. Օգտագործված առաջնահերթությունների թիվը պետք է լինի նվազագույն: Դիմումների առաջնահերթությունները պետք է լինեն մշտական, այսինքն. դրանք չեն կարող փոխվել QS-ում մշակման ընթացքում:
Աշխատանքի ընթացքում ձեռք է բերվել հիմնական նպատակը՝ ուսումնասիրվել է «QS սահմանափակ սպասման ժամանակով» և «Փակ QS»-ի հիմնական նյութը, որը սահմանել է ակադեմիական կարգի ուսուցիչը։ Ծանոթացանք նաև ձեռք բերված գիտելիքների կիրառմանը գործնականում, այսինքն. համախմբեց ծածկված նյութը:
1) http://www.5ballov.ru.
2) http://www.studentport.ru.
3) http://vse5ki.ru.
4) http://հեղափոխություն..
5) Ֆոմին Գ.Պ. Մաթեմատիկական մեթոդներ և մոդելներ առևտրային գործունեության մեջ: Մ. Ֆինանսներ և վիճակագրություն, 2001 թ.
6) Գմուրման Վ.Է. Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն. M: Բարձրագույն դպրոց, 2001 թ.
7) Սովետով Բ.Ա., Յակովլև Ս.Ա. Համակարգերի մոդելավորում. Մ. Բարձրագույն դպրոց, 1985 թ.
8) Լիֆշից Ա.Լ. QS-ի վիճակագրական մոդելավորում. Մ., 1978։
9) Վենցել Է.Ս. Գործառնությունների հետազոտություն. M: Nauka, 1980 թ.
10) Վենցել Է.Ս., Օվչարով Լ.Ա. Հավանականությունների տեսությունը և դրա ինժեներական կիրառությունները: M: Nauka, 1988 թ.
QS գործընթացը պատահական գործընթաց է: Պատահական (հավանական կամ ստոխաստիկ) գործընթացը հասկացվում է որպես ժամանակի ընթացքում համակարգի վիճակի փոփոխման գործընթաց՝ հավանականական օրենքներին համապատասխան:
Գործընթացը կոչվում է դիսկրետ վիճակներով պրոցես, եթե դրա հնարավոր S1, S2, S3... վիճակները կարող են նախապես թվարկվել, և համակարգի անցումները վիճակից վիճակ տեղի են ունենում ակնթարթորեն (ցատկ): Գործընթացը կոչվում է շարունակական ժամանակով գործընթաց, եթե համակարգի հնարավոր անցումների պահերը վիճակից վիճակ նախապես ֆիքսված չեն, այլ պատահական են։
QS գործառնական գործընթացը պատահական գործընթաց է՝ դիսկրետ վիճակներով և շարունակական ժամանակով:
Պատահական պրոցեսը կոչվում է Մարկով կամ պատահական առանց հետևանքների, եթե ժամանակի ցանկացած պահի t0 գործընթացի հավանականական բնութագրերը ապագայում կախված են միայն նրա վիճակից տվյալ պահին t0 և կախված չեն նրանից, թե երբ և ինչպես է համակարգը: եկել է այս վիճակին.
Մարկովյան գործընթացի օրինակ. S համակարգը տաքսիմետր է: Համակարգի վիճակը t պահին բնութագրվում է մինչև այս պահը մեքենայի անցած կիլոմետրերի քանակով։ Թող հաշվիչը ցույց տա S0 t0 ժամանակին: Հավանականությունը, որ t>t0 պահին հաշվիչը ցույց կտա այս կամ այն կիլոմետրերի քանակը (ավելի ճիշտ՝ համապատասխան քանակությամբ ռուբլի) S1 կախված է S0-ից, բայց կախված չէ նրանից, թե ժամանակի որ կետերում են փոխվել հաշվիչների ցուցումները մինչև պահ t0.
Որոշ դեպքերում դիտարկվող գործընթացների նախապատմությունը պարզապես կարելի է անտեսել, և դրանք ուսումնասիրելու համար օգտագործել Մարկովի մոդելները։
Դիսկրետ վիճակներով պատահական գործընթացները վերլուծելիս հարմար է օգտագործել երկրաչափական սխեման՝ այսպես կոչված վիճակի գրաֆիկը։ Սովորաբար, համակարգի վիճակները պատկերվում են ուղղանկյուններով (շրջաններով), իսկ վիճակից վիճակ հնարավոր անցումները պատկերվում են վիճակները միացնող սլաքներով (կողմնորոշված աղեղներ) (նկ. 1):
Նկար 1 - Պետական գրաֆիկ
Մարկովյան պատահական գործընթացի մաթեմատիկական նկարագրության համար դիսկրետ վիճակներով և QS-ում հոսող շարունակական ժամանակով մենք կծանոթանանք հավանականությունների տեսության կարևոր հասկացություններից մեկին՝ իրադարձությունների հոսքի հայեցակարգին։
Իրադարձությունների հոսքը հասկացվում է որպես միատարր իրադարձությունների հաջորդականություն, որոնք մեկը մյուսի հետևից հետևում են ժամանակի որոշ պատահական պահերին:
Օրինակները կարող են լինել.
- - զանգերի հոսք հեռախոսակայանում.
- - կենցաղային էլեկտրական ցանցում սարքերի միացման հոսքը.
- - երկաթուղային կայարան ժամանող բեռնատար գնացքների հոսքը.
- - համակարգչային անսարքությունների (խափանումների) հոսք;
- - թիրախին ուղղված կրակոցների հոսք:
Հոսքը բնութագրվում է n ինտենսիվությամբ - իրադարձությունների առաջացման հաճախականությամբ կամ QS մուտք գործող իրադարձությունների միջին քանակով մեկ միավոր ժամանակում:
Իրադարձությունների հոսքը կոչվում է կանոնավոր, եթե իրադարձությունները հաջորդում են միմյանց որոշակի ընդմիջումներով: Նման հոսքը գործնականում համեմատաբար հազվադեպ է, բայց որպես ծայրահեղ դեպք որոշակի հետաքրքրություն է ներկայացնում:
Իրադարձությունների հոսքը կոչվում է անշարժ, եթե դրա հավանականական բնութագրերը կախված չեն ժամանակից։ Մասնավորապես, անշարժ հոսքի ինտենսիվությունը հաստատուն արժեք է.
Իրադարձությունների հոսքը կոչվում է առանց հետևանքների հոսք, եթե ժամանակի և _ երկու չհամընկնվող հատվածների համար դրանցից մեկի վրա տեղի ունեցող իրադարձությունների թիվը կախված չէ մյուսների վրա ընկած իրադարձությունների քանակից: Օրինակ՝ մետրո մտնող ուղեւորների հոսքը գործնականում ոչ մի ազդեցություն չունի։ Եվ, ասենք, գնումներով վաճառասեղանից դուրս եկող հաճախորդների հոսքն արդեն ունի հետևանքներ (եթե միայն այն պատճառով, որ առանձին հաճախորդների միջև ժամանակային միջակայքը չի կարող պակաս լինել նրանցից յուրաքանչյուրի սպասարկման նվազագույն ժամանակից):
Իրադարձությունների հոսքը կոչվում է սովորական, եթե փոքր (տարրական) ժամանակային միջակայքում երկու կամ ավելի իրադարձությունների հավանականությունը չնչին է մեկ իրադարձության հավանականության համեմատ: Այլ կերպ ասած, իրադարձությունների հոսքը սովորական է, եթե իրադարձությունները նրա մեջ հայտնվում են առանձին-առանձին, ոչ թե խմբերով:
Իրադարձությունների հոսքը համարվում է ամենապարզը (կամ անշարժ Պուասոն), եթե այն միաժամանակ անշարժ է, սովորական և անհետևանք:
Ամենապարզ հոսքը, որպես սահման, առաջանում է պատահական պրոցեսների տեսության մեջ, բնականաբար, ինչպես հավանականության տեսության մեջ, նորմալ բաշխումը ստացվում է բավական մեծ թվով n անկախ, անշարժ և սովորական հոսքերի (միմյանց հետ համեմատելի) սուպերպոզիցիայով (գերդիրքով) ինտենսիվություն), արդյունքը l ինտենսիվությամբ ամենապարզին մոտ հոսք է, որը հավասար է մուտքային հոսքերի ինտենսիվությունների գումարին.
Եկեք դիտարկենք ժամանակի առանցքի վրա իրադարձությունների ամենապարզ հոսքը որպես պատահական կետերի անսահմանափակ հաջորդականություն: (նկ. 2)
Նկար 2 - Իրադարձությունների հոսք
Կարելի է ցույց տալ, որ ամենապարզ հոսքի համար կամայական φ ժամանակային հատվածի վրա ընկած իրադարձությունների (կետերի) քանակը բաշխվում է Պուասոնի օրենքի համաձայն։
որի համար պատահական փոփոխականի մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է դրա շեղմանը.
Մասնավորապես, հավանականությունը, որ φ (m = 0) ժամանակի ընթացքում որևէ իրադարձություն տեղի չի ունենա, հավասար է
Եկեք գտնենք T ժամանակային միջակայքի բաշխումը ամենապարզ հոսքի կամայական երկու հարևան իրադարձությունների միջև:
Բանաձևի համաձայն, հավանականությունը, որ t տևողությամբ ժամանակահատվածում հետագա իրադարձություններից ոչ մեկը տեղի չի ունենա, հավասար է.
և հակառակ իրադարձության հավանականությունը, այսինքն. T պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան է
Պատահական փոփոխականի հավանականության խտությունը նրա բաշխման ֆունկցիայի ածանցյալն է.
Հավանականության խտության կամ բաշխման ֆունկցիայի կողմից տրված բաշխումը կոչվում է էքսպոնենցիալ (կամ էքսպոնենցիալ): Այսպիսով, երկու հարևան կամայական իրադարձությունների միջև ժամանակային ընդմիջումն ունի էքսպոնենցիալ բաշխում, որի համար մաթեմատիկական ակնկալիքը հավասար է պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղմանը:
եւ հակառակը՝ ըստ լ–ի հոսքի ինտենսիվության։
Էքսպոնենցիալ բաշխման ամենակարևոր հատկությունը (բնորոշ է միայն էքսպոնենցիալ բաշխմանը) հետևյալն է. եթե էքսպոնենցիալ օրենքի համաձայն բաշխված ժամանակահատվածը արդեն տևել է որոշ ժամանակ φ, ապա դա որևէ կերպ չի ազդում բաշխման օրենքի վրա։ ինտերվալի մնացած մասի (T-φ)՝ այն նույնն է լինելու, ինչպես նաև ամբողջ Տ միջակայքի բաշխման օրենքը։
Այլ կերպ ասած, T ժամանակային միջակայքի համար հոսքի երկու հաջորդական հարևան իրադարձությունների միջև, որն ունի էքսպոնենցիալ բաշխում, ցանկացած տեղեկություն այն մասին, թե որքան է տևել այս ինտերվալը, չի ազդում մնացած մասի բաշխման օրենքի վրա:
l ինտենսիվությամբ ամենապարզ հոսքի համար տարրական (փոքր) ժամանակային միջակայքում առնվազն մեկ հոսքի իրադարձության հավանականությունը հավասար է.
Ուսումնասիրության հարցեր.
Մարկովյան գործընթացների հիմնական հասկացությունները.
Իրադարձությունների հոսքեր.
Պուասոնի հոսք.
Դիսկրետ Մարկովյան շղթաներ.
Էրգոդիկ և ներծծող շղթաներ:
Շարունակական Մարկովյան շղթաներ.
Մարկովյան գործընթացների կիրառությունները.
Մարկովյան պատահական գործընթացների տեսություն.
Հավանականությունների տեսությունը շատ հետաքրքիր պատմություն ունի։ Գիտության արմատները շատ հեռու են դարերով, ամենահին պետություններում՝ Չինաստան, Հնդկաստան, Եգիպտոս, Հունաստան, հավանականության տեսության որոշ տարրեր օգտագործվել են բնակչության մարդահամարների և նույնիսկ թշնամու զորքերի թիվը որոշելու համար:
Տեսության հիմնադիրը համարվում է մաթեմատիկոս, ֆիզիկոս և փիլիսոփա Բ.Պասկալը։ Նա սկզբում ընդունեց հավանականության տեսությունը ֆրանսիական արքունիքի պալատականներից մեկի՝ Շևալիե դե Մերեի՝ փայլուն ջենթլմենի, փիլիսոփայի, արվեստաբան և խաղամոլի կողմից առաջադրված հարցերի ազդեցության տակ: Բայց խաղը նաև խորը մտորումների առիթ էր։ Դե Մերը Բ.Պասկալին ուղղեց երկու հայտնի հարց.
1. Քանի՞ անգամ է անհրաժեշտ երկու զառ նետել, որպեսզի երկու վեցակի միանգամից ընկնելու թիվը գերազանցի նետումների ընդհանուր թվի կեսը:
2. Ինչպե՞ս արդարացիորեն բաժանել գումարի խաղադրույքը երկու խաղացողների վրա, եթե նրանք ինչ-ինչ պատճառներով ժամանակից շուտ դադարեցրել են խաղը:
Այս խնդիրները ծառայեցին որպես «մաթեմատիկական ակնկալիք» հասկացության սկզբնական ներդրման և հավանականությունների գումարման և բազմապատկման հիմնական թեորեմների ձևակերպման պատճառ։ Շուտով բացահայտվեցին գործնական կիրառությունները՝ ապահովագրություն, ժողովրդագրություն և այլն։
Յակոբ Բեռնուլին հայտնաբերեց մեծ թվերի օրենքը, որը հնարավորություն տվեց կապ հաստատել ցանկացած պատահական իրադարձության հավանականության և դրա առաջացման հաճախականության միջև, որը դիտվում է անմիջապես փորձից:
Հավանականությունների տեսության զարգացման հետագա առաջընթացները կապված են Պ.Լապլասի, Կ.Գաուսի, Ս.Պուասոնի և այլոց հետ։
Ռուսաստանում մաթեմատիկոս Վ.Յա. Բունյակովսկին 19-րդ դարի սկզբին. գրել է հավանականությունների տեսության առաջին դասագիրքը և մշակել դրա տերմինաբանությունը ժամանակակից ձևով: Պ.Ա. Չեբիշև, Ա.Ա. Մարկովը և Ա.Մ. Լյապունովը ներկայացրեց «պատահական փոփոխականի» հայեցակարգը, որով սկսեց զարգանալ հավանականության տեսության նոր ճյուղ՝ պատահական գործընթացների տեսությունը։
Մարկովյան գործընթացների հիմնական հասկացությունները
Տարբեր համակարգերի գործունեությունը մի վիճակից մյուսին անցումների հաջորդականությունն է: Եթե ժամանակի ընթացքում համակարգի վիճակը պատահականորեն փոխվում է, ապա վիճակների հաջորդականությունը կարելի է դիտարկել որպես պատահական գործընթաց։
Համակարգը կոչվում է դիսկրետ պետական համակարգ, եթե նրա վիճակների բազմությունը վերջավոր է, և մի վիճակից մյուսին անցումները կատարվում են կտրուկ։
Անցումային գործընթացը կոչվում է շղթա.
Մարկովյան շղթայի սահմանում
Որոշ ֆիզիկական համակարգ կա, որն ունի վերջավոր թիվ TO
բոլոր հնարավոր փուլային վիճակները: Թող, կախված պատահական միջամտությունից, համակարգը քայլ առ քայլ (ժամանակի պահերին t 0
որտեղ է հնարավոր պետական տարածություններից մեկը։
M-քայլում անցման հավանականությունը (պայմանական հավանականություն).
Այսպիսով, համատեղ հավանականությունները հաշվարկելու համար Р(Q 0, ..,Q n)անհրաժեշտ է սահմանել համակարգի սկզբնական վիճակը և նշել վիճակների փոփոխության ֆիզիկական մեխանիզմը, որը թույլ է տալիս հաշվարկել անցումային հավանականությունները։
1. Մարկովյան շղթայի հատուկ (դեգեներատ) դեպք. Բոլոր վիճակների փոփոխությունը տեղի է ունենում ինքնուրույն, այսինքն՝ մ-րդ քայլում որևէ վիճակի հավանականությունը կախված չէ նրանից, թե ինչ վիճակներում է եղել համակարգը նախորդ ժամանակներում։
- անկախ թեստերի հաջորդականություն:
2. Պարամետրի փուլային վիճակի հավանականությունը Քնժամանակի մի կետում tnկախված է միայն այն վիճակից, որում համակարգը գտնվում էր ժամանակի անմիջապես նախորդ պահին tn-1, և կախված չէ նրանից, թե ինչ վիճակներում է եղել համակարգը ավելի վաղ ժամանակներում t 0,…,t n-2.
3. Մարկովյան կարգի շղթա, եթե նոր պետության հավանականությունը կախված է միայն մդրան անմիջապես նախորդող համակարգի վիճակները.
Համակարգի որոշակի վիճակում մնալու ժամանակը կարող է լինել կամ դիսկրետ կամ շարունակական: Կախված դրանից՝ առանձնանում են դիսկրետ կամ շարունակական ժամանակով համակարգեր։
Պատահական գործընթացի ամենապարզ հավանականական բնութագիրը վիճակների հավանականությունների շարքն է P 1 (t), P 2 (t), ... P n (t),Որտեղ P i (t)– համակարգի վիճակին անցնելու հավանականությունը Ս իժամանակի մի կետում տ. Նորմալացման պայման P 1 +P 2 +...+P n =1.
Եթե շահագործման ընթացքում համակարգը գտնվում է վիճակում Ս ի, ապա դրա վիճակին անցնելու հավանականությունը Սջընդհանրապես դա կախված է ոչ միայն պետությունից Ս ի, այլեւ նախկին վիճակից։
Համակարգում տեղի ունեցող պատահական գործընթացը կոչվում է Մարկովսկին(գործընթաց առանց հետևանքների), եթե ցանկացած պահի t 0ապագայում համակարգի վիճակի հավանականությունը (հետ t>t 0) կախված է միայն ներկա վիճակից (հետ t=t 0) և կախված չէ նրանից, թե ինչպես և ինչ ձևով է համակարգը հասել այս վիճակին (այսինքն՝ կախված չէ նախորդ պատմությունից):
Իրադարձությունների հոսքեր
Համակարգի անցումը որոշակի վիճակի է իրադարձություն.
Համակարգի անցումների հաջորդականությունը վիճակին Ս իներկայացնում է իրադարձությունների հոսք։
Իրադարձությունների հոսքը կոչվում է սովորական, եթե դրա մեջ իրադարձությունը տեղի է ունենում մեկ առ մեկ։
Ժամանակային ընդմիջումներ t 1, t 2, ... t nսովորական հոսքը կարող է լինել նույնը կամ տարբեր, դիսկրետ կամ շարունակական, պատահական կամ ոչ պատահական:
Եթե ժամանակային ընդմիջումներով t 1, t 2, ... t nոչ պատահական արժեքներ են, ապա հոսքը կոչվում է կանոնավոր կամ որոշիչ, և այս հոսքը նկարագրվում է արժեքները նշելով. T 1,T 2, ... T n.
Եթե T 1,T 2, ... T nպատահական են, ապա հոսքը կոչվում է պատահականև այն բնութագրվում է մեծությունների բաշխման օրենքով Տ 1 ,Տ 2 ,... Տ ն.
Գործնականում հաճախ կան համակարգեր, որոնցում T i- շարունակական պատահական փոփոխական: Այս դեպքերում համակարգը կարելի է նկարագրել հավանականության խտությամբ f(t 1, t 2, ... t n), Որտեղ t i- պատահական փոփոխականի հատուկ արժեքը T i.
Հոսքը կոչվում է ստացիոնար, եթե դրա հավանականական բնութագրերը ժամանակի ընթացքում չեն փոխվում, այսինքն. որոշակի թվով իրադարձությունների առաջացման հավանականությունը մժամանակի առանցքի մի հատվածին t¢ + tկախված է միայն t հատվածի երկարությունից և կախված չէ այն բանից, թե ժամանակի առանցքի որտեղ է ընտրված հատվածը:
Իրադարձությունների հոսքի ինտենսիվությունը (խտությունը) (միջոցառումների միջին թիվը մեկ միավոր ժամանակում) հաստատուն է։
Եթե ժամանակային միջակայքը t iմիատարր պատահական փոփոխական է, ապա այդպիսի հոսք կոչվում է հետֆեկտի հոսքիսկ նրա վիճակը հավանականական կախվածության մեջ է նախորդ վիճակից։
Եթե պատահական փոփոխականներ t iանկախ, ապա այդպիսի հոսքը կոչվում է հոսքը սահմանափակ հետևանքովև այս հոսքի հավանականության խտությունը հավասար է հավանականության խտությունների արտադրյալին.
f(t 1,t 2, ...t n) = f 1 (t 1) f 2 (t 2) ... f n (t n)(6.5)
Սահմանափակ հետևանքով հոսքը կարող է ժամանակի ընթացքում լինել անշարժ և միատեսակ: Այս դեպքում հարակից իրադարձությունների միջև բոլոր միջակայքերը ունեն բաշխման նույն օրենքը.
f i (t i) = f (t i)(6.6)
Առանց հետևանքների հոսքը կոչվում էպատահական հոսք, եթե որևէ չհամընկնող ժամանակային հատվածի համար դրանցից մեկի վրա ընկած իրադարձությունների թիվը կախված չէ նրանից, թե քանի իրադարձություն է ընկնում այլ հատվածների վրա:
Պուասոնի հոսք
Պատահական իրադարձությունների հոսքերը կոչվում են Poisson, եթե թեմայի իրադարձությունների քանակը մ,ընկնում է ցանկացած տարածքի վրա տ,բաշխված է Պուասոնի օրենքի համաձայն
P m = e - a , (6.7)
Որտեղ Ա- տարածքում գտնվող իրադարձությունների միջին թիվը տ.
Պուասոնի հոսքը անշարժ է, եթե իրադարձության խտությունը լհաստատուն է, ապա իրադարձությունների միջին թիվը լ, հակառակ դեպքում հոսքը կլինի անկայուն։
Իրադարձությունների պատահական հոսքը, որն ունի կայունության, սովորականության հատկություն և չունի հետևանք, կոչվում է ամենապարզը և անշարժ Poisson հոսքը.
Մաղված առվակներ
Դիսկրետ գործառնական ժամանակով համակարգի անցումների գործընթացը կարելի է համարել որպես իրադարձությունների դիսկրետ հոսքի ազդեցություն, որը բնութագրվում է նրանով, որ t 1, t 2, ..., t n դեպքերը տեղի են ունենում P հավանականությամբ։ ես. Նման հոսքի բաշխման ֆունկցիան հետևյալն է.
Իրադարձությունների հոսքի միջով մաղելը S 1, S 2, ... S n,որոնք տեղի են ունենում ժամանակի որոշակի կետերում՝ հավանականություններով p 1 , p 2 , ... p n, նշանակում է վերափոխել այս հավանականությունները , , ..., . Եթե հոսքը անշարժ է, ապա այս հավանականությունները հավասար են՝ = =...=1-p.
Այս դեպքում p-ն մաղող հաստատուն է, որը որոշվում է կա՛մ ապակայունացնող գործոնի ազդեցությամբ, կա՛մ որոշվում է համակարգի վիճակների բազմությունից որևէ իրադարձությունների բացառմամբ։
Սահմանափակ հետևանքով հոսքերի օրինակներ են Erlang հոսքերը: Դրանք ձևավորվում են ամենապարզ հոսքի կանոնավոր մաղման միջոցով, մինչդեռ սովորական մաղումը հասկացվում է որպես ընթացակարգ, որը հանգեցնում է սկզբնական հոսքի մի քանի հաջորդ իրադարձությունների բացառմանը: Եթե ամեն տարօրինակ իրադարձություն վերացվում է ամենապարզ հոսքում, ապա մնացած իրադարձությունները կազմում են երկրորդ կարգի Էրլանգի հոսք: Նման հոսքում հարևան իրադարձությունների միջև ընկած ժամանակահատվածը անկախ պատահական փոփոխականների գումարն է և , բաշխված ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի ( = + ):
Եթե ամենապարզ հոսքում պահվում է միայն յուրաքանչյուր երրորդ իրադարձությունը, ապա մենք ստանում ենք երրորդ կարգի Erlang հոսք և այլն։ Ընդհանուր առմամբ, Էրլանգի հոսք կ- մասինբացառությամբ արտադրված ամենապարզ հոսքը կոչվում է (k- 1) իրադարձություններ և խնայողություն կ-րդ իրադարձությունը.
Դիսկրետ Մարկովյան շղթաներ
Մարկովյան պատահական գործընթացը դիսկրետ վիճակներով և դիսկրետ գործառնական ժամանակով նկարագրում է համակարգը Սվերջավոր թվով վիճակներով։ Այս դեպքում անցումները հնարավոր են ֆիքսված ժամանակներում t 1, t 2, ..., t k. Այս համակարգում տեղի ունեցող գործընթացը կարող է ներկայացվել որպես պատահական իրադարձությունների շղթա
S 1 (0) ® S 2 (1) ® ... ® S i (n) ® ... ® S n (k).
Այս հաջորդականությունը կոչվում է դիսկրետ Մարկովյան շղթա, եթե յուրաքանչյուր քայլի համար n=1,2, ... kցանկացած վիճակից անցումների հավանականությունը (S i ®S j)կախված չէ նրանից, թե ինչպես է համակարգը հասել պետությանը Ս ի. Համակարգի յուրաքանչյուր անցում համապատասխանում է պայմանական հավանականությանը
Պ. (6.9)
Յուրաքանչյուր քայլի համարի համար nհնարավոր անցումների ձևը միջոցառումների ամբողջական խումբ.
միատարր, եթե անցման հավանականությունները կախված չեն քայլի թվից։ Նման շղթայի ամբողջական նկարագրությունը կարող է լինել անցումային հավանականությունների քառակուսի մատրիցա
| Պ 11 | Պ 12 | ... | P 1n | |
| P ij = | Պ 21 | Պ 22 | ... | P2n |
| ... | ... | ... | ... | |
| Pn1 | Pn2 | ... | Pnn |
և ժամանակի բոլոր վիճակների սկզբնական հավանականության բաշխման վեկտորը t=0.
= . (6.10)
Անհնարին անցումներին համապատասխանող անցումային հավանականությունները հավասար են 0-ի, իսկ հիմնական անկյունագծով հավանականությունները համապատասխանում են այն փաստին, որ համակարգը չի փոխել իր վիճակը։
Դիսկրետ Մարկովի շղթան կոչվում է տարասեռ, եթե անցման հավանականությունները փոխվում են քայլի համարով։ Նման սխեմաները նկարագրելու համար անհրաժեշտ է սահմանել կանցումային հավանականության մատրիցներ Պ իջ (կ- դիտարկված քայլերի քանակը): Մարկովյան գործընթացների վերլուծության հիմնական խնդիրն է որոշել համակարգի բոլոր վիճակների հավանականությունը ցանկացած քայլից հետո: Ավելին, եթե հայտնի են անցումային հավանականությունների մատրիցը և սկզբնական բաշխման վեկտորը, ապա յուրաքանչյուր քայլից հետո համակարգի վիճակների հավանականությունները որոշվում են ընդհանուր հավանականության բանաձևով.
P(A) = P(B i)*P(A/B i)(6.11)
Առաջին քայլից հետո հավանականությունը P iկարելի է սահմանել հետևյալ կերպ.
P i (1) = P j (0)P ji , (6.12)
Որտեղ Պջ(0) – սկզբնական վիճակների վեկտոր,
Պ ջի– պայմանական հավանականությունների մատրիցայի տող:
P i (2) = P j (1)P ji = P j (0)P ji (1)(6.13)
հետո կքայլեր.
P i (k) = P j (k-1) P ji = P j (0) P ji (k),(6.14)
Որտեղ Pji(k)– վիճակից համակարգի անցումների հավանականությունները Ս իՎ Սջհետևում կքայլերը.
Եթե հնարավոր է անցում պետությունից Ս իմի վիճակում Սջհետևում կքայլերը, ապա արժեքը P ji (k)>0. Եթե հակադարձ անցումը հնարավոր է նույն քանակությամբ քայլերով, ապա վիճակը Ս իկանչեց վերադարձելի. Համակարգի վիճակից դուրս գալու հավանականությունը Ս իև համար կքայլերը կվերադառնան դրան՝ հավասար 1-ի՝ վերադարձի վիճակների համար:
Պետություն Ս ի - անդառնալի, եթե այս հավանականությունը տարբերվում է 1-ից:
նահանգներ Ս իԵվ Սջկոչվում են շփվելով, եթե հնարավոր է անցում S i ®S jվերջավոր թվով քայլերով:
Նախորդ դասախոսությունների ժամանակ մենք սովորեցինք, թե ինչպես կարելի է մոդելավորել պատահական իրադարձությունների առաջացումը: Այսինքն՝ մենք կարող ենք խաղալ որըհնարավոր իրադարձությունների տեղի կունենան և որի մեջքանակ. Դա որոշելու համար դուք պետք է իմանաք իրադարձությունների առաջացման վիճակագրական բնութագրերը, օրինակ, նման արժեքը կարող է լինել իրադարձության հավանականությունը կամ տարբեր իրադարձությունների հավանականության բաշխումը, եթե կան այդ իրադարձությունների անսահման շատ տեսակներ:
Բայց հաճախ կարևոր է նաև իմանալ Երբայս կամ այն իրադարձությունը կոնկրետ տեղի կունենա ժամանակի ընթացքում:
Երբ իրադարձությունները շատ են, և դրանք հաջորդում են միմյանց, ձևավորվում են հոսքը. Նշենք, որ իրադարձությունները պետք է լինեն միատարր, այսինքն՝ ինչ-որ չափով նման լինեն միմյանց։ Օրինակ՝ բենզալցակայաններում վարորդների հայտնվելը, ովքեր ցանկանում են լիցքավորել իրենց մեքենան։ Այսինքն՝ միատարր իրադարձությունները որոշակի շարք են կազմում։ Այս դեպքում ենթադրվում է, որ տրված է այս երեւույթի վիճակագրական բնութագիրը (իրադարձությունների հոսքի ինտենսիվությունը)։ Իրադարձությունների հոսքի ինտենսիվությունը ցույց է տալիս, թե քանիսն են միջիննման իրադարձությունները տեղի են ունենում ժամանակի միավորի վրա: Բայց կոնկրետ երբ տեղի կունենա յուրաքանչյուր կոնկրետ իրադարձություն, պետք է որոշվի՝ օգտագործելով մոդելավորման մեթոդները: Կարևոր է, որ երբ մենք գեներացնում ենք, օրինակ, 1000 իրադարձություն 200 ժամում, դրանց թիվը մոտավորապես հավասար կլինի իրադարձությունների առաջացման միջին ինտենսիվությանը 1000/200 = 5 իրադարձություն ժամում, որը վիճակագրական արժեք է, որը բնութագրում է այս հոսքը որպես ամբողջ.
Հոսքի ինտենսիվությունը ինչ-որ առումով միավոր ժամանակում իրադարձությունների քանակի մաթեմատիկական ակնկալիքն է: Բայց իրականում կարող է պարզվել, որ մեկ ժամում ի հայտ է գալիս 4 իրադարձություն, մյուսում՝ 6, չնայած միջինում ժամում լինում է 5 իրադարձություն, ուստի մեկ արժեքը բավարար չէ հոսքը բնութագրելու համար։ Երկրորդ մեծությունը, որը բնութագրում է, թե որքան մեծ է իրադարձությունների տարածումը մաթեմատիկական ակնկալիքի համեմատ, նախկինի պես ցրվածություն է: Փաստորեն, հենց այս արժեքն է որոշում իրադարձության առաջացման պատահականությունը, դրա առաջացման պահի թույլ կանխատեսելիությունը։ Այս արժեքի մասին կխոսենք հաջորդ դասախոսության ժամանակ։
Իրադարձությունների հոսքը միատարր իրադարձությունների հաջորդականությունն է, որոնք տեղի են ունենում մեկը մյուսի հետևից պատահական ընդմիջումներով: Ժամանակի առանցքի վրա այս իրադարձությունները նման են Նկ. 28.1.
Իրադարձությունների հոսքի օրինակ է այն պահերի հաջորդականությունը, երբ օդանավակայան ժամանող ինքնաթիռները դիպչում են թռիչքուղուն:
Հոսքի ինտենսիվությունը λ սա ժամանակի միավորի համար իրադարձությունների միջին թիվն է: Հոսքի ինտենսիվությունը կարող է փորձարարական հաշվարկվել՝ օգտագործելով բանաձևը. λ = Ն/Տ n, Որտեղ ՆԴիտարկման ընթացքում տեղի ունեցած իրադարձությունների քանակը Տ n.
Եթե իրադարձությունների միջև ընկած ժամանակահատվածը τ ժհավասար է հաստատունի կամ որոշվում է ինչ-որ բանաձևով հետևյալ ձևով. տ ժ = զ(տ ժ 1), ապա հոսքը կոչվում է դետերմինիստական. Հակառակ դեպքում հոսքը կոչվում է պատահական:
Կան պատահական հոսքեր.
- սովորական. երկու կամ ավելի իրադարձությունների միաժամանակյա առաջացման հավանականությունը զրոյական է.
- ստացիոնար՝ իրադարձությունների առաջացման հաճախականություն λ (տ) = const ( տ) ;
- առանց հետևանքներիՊատահական իրադարձության հավանականությունը կախված չէ նախորդ իրադարձությունների առաջացման պահից:
Պուասոնի հոսք
Մոդելավորման մեջ ընդունված է ընդունել Պուասոնի հոսքը որպես հոսքի ստանդարտ:.
Պուասոնի հոսքսա սովորական հոսք է առանց էֆեկտի:
Ինչպես նախկինում ասվեց, հավանականությունը, որ ժամանակային ընդմիջումով (տ 0 , տ 0 + τ ) կկատարվի միրադարձությունները որոշվում են Պուասոնի օրենքով.
Որտեղ աՊուասոնի պարամետր.
Եթե λ (տ) = const ( տ) , այն է անշարժ Poisson հոսքը(ամենապարզ): Այս դեպքում ա = λ · տ . Եթե λ = var ( տ) , այն է Պուասոնի անկայուն հոսք.
Ամենապարզ հոսքի համար՝ առաջացման հավանականությունը մընթացքում իրադարձություններ τ հավասար է.
Չառաջանալու հավանականությունը (այսինքն՝ ոչ մի, մ= 0) իրադարձությունները ժամանակի ընթացքում τ հավասար է.
Բրինձ. 28.2-ը ցույց է տալիս կախվածությունը Պժամանակից 0: Ակնհայտ է, որ որքան երկար լինի դիտարկման ժամանակը, այնքան քիչ հավանական է, որ որևէ իրադարձություն տեղի չունենա: Ընդ որում, որքան բարձր է արժեքը λ , որքան ավելի կտրուկ է ընթանում գրաֆիկը, այսինքն՝ հավանականությունն ավելի արագ է նվազում։ Սա համապատասխանում է այն փաստին, որ եթե իրադարձությունների առաջացման ինտենսիվությունը մեծ է, ապա իրադարձության արագ չկայանալու հավանականությունը դիտարկման ժամանակի հետ նվազում է։
Առնվազն մեկ իրադարձության հավանականությունը ( ՊХБ1С) հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.
որովհետեւ Պ HB1S + Պ 0 = 1 (կամ գոնե մեկ իրադարձություն կհայտնվի, կամ ոչ մեկը չի հայտնվի, մյուսը տրված չէ):
Նկ.-ի գրաֆիկից: 28.3 Հասկանալի է, որ գոնե մեկ իրադարձության առաջացման հավանականությունը ժամանակի ընթացքում հակված է միասնության, այսինքն՝ իրադարձության համապատասխան երկարաժամկետ դիտարկմամբ դա անպայման տեղի կունենա վաղ թե ուշ։ Որքան երկար ենք դիտում իրադարձությունը (այնքան ավելի շատ տ), այնքան մեծ է հավանականությունը, որ իրադարձությունը տեղի կունենա, ֆունկցիայի գրաֆիկը միապաղաղ մեծանում է:
Որքան մեծ է իրադարձության առաջացման ինտենսիվությունը (այնքան ավելի λ ), որքան արագ է տեղի ունենում այս իրադարձությունը, և այնքան ավելի արագ է գործառույթը հակված միասնության: Պարամետրը գծապատկերում λ ներկայացված է գծի կտրուկությամբ (շոշափողի թեքությամբ):
Եթե ավելացնեք λ , այնուհետև միևնույն ժամանակ որևէ իրադարձություն դիտարկելիս τ , մեծանում է իրադարձության տեղի ունենալու հավանականությունը (տե՛ս նկ. 28.4): Ակնհայտ է, որ գրաֆիկը սկսվում է 0-ից, քանի որ եթե դիտարկման ժամանակը անվերջ փոքր է, ապա հավանականությունը, որ իրադարձությունը տեղի կունենա այս ընթացքում, աննշան է: Եվ հակառակը, եթե դիտարկման ժամանակը անսահման երկար է, ապա իրադարձությունը անպայման տեղի կունենա առնվազն մեկ անգամ, ինչը նշանակում է, որ գրաֆիկը հակված է 1-ի հավանականության արժեքի։
Ուսումնասիրելով օրենքը, դուք կարող եք որոշել, որ. մ x = 1/λ , σ = 1/λ , այսինքն՝ ամենապարզ հոսքի համար մ x = σ . Մաթեմատիկական ակնկալիքի հավասարությունը ստանդարտ շեղմանը նշանակում է, որ այս հոսքը հոսք է առանց հետևանքների: Նման հոսքի դիսպերսիան (ավելի ճիշտ՝ ստանդարտ շեղումը) մեծ է։ Ֆիզիկապես սա նշանակում է, որ իրադարձության տեղի ունենալու ժամանակը (իրադարձությունների միջև հեռավորությունը) վատ կանխատեսելի է, պատահական և գտնվում է միջակայքում։ մ x σ < τ ժ < մ x + σ . Թեև պարզ է, որ միջինում այն մոտավորապես հավասար է. τ ժ = մ x = Տ n/ Ն . Իրադարձությունը կարող է տեղի ունենալ ցանկացած պահի, բայց այս պահի սահմաններում τ ժհամեմատաբար մ xդեպի [ σ ; +σ ] (հետևանքների մեծությունը): Նկ. Նկար 28.5-ը ցույց է տալիս իրադարձության 2-ի հնարավոր դիրքերը տվյալ ժամանակի առանցքի նկատմամբ σ . Այս դեպքում ասում են, որ առաջին իրադարձությունը չի ազդում երկրորդի վրա, երկրորդը չի ազդում երրորդի վրա, և այսպես շարունակ, այսինքն՝ հետֆեկտ չկա։
-ի իմաստով Պհավասար է r(տես դասախոսություն 23. Պատահական իրադարձության մոդելավորում. անհամատեղելի իրադարձությունների ամբողջական խմբի մոդելավորում), հետևաբար, արտահայտելով. τ բանաձևից (*) Վերջապես, երկու պատահական իրադարձությունների միջև ընկած միջակայքերը որոշելու համար մենք ունենք.
τ = 1/ λ Ln( r) ,
Որտեղ r 0-ից 1-ը հավասարաչափ բաշխված պատահական թիվ, որը վերցված է RNG-ից, τ պատահական իրադարձությունների միջև ընդմիջում (պատահական փոփոխական τ ժ ).
Օրինակ 1. Դիտարկենք տեխնոլոգիական գործողության հասնող ապրանքների հոսքը: Ապրանքները պատահականորեն ժամանում են օրական միջինը ութ կտոր (հոսքի արագություն λ = 8/24 [միավոր/ժամ]) Անհրաժեշտ է նմանեցնել այս գործընթացը ներսում Տ n = 100 ժամ: մ = 1/λ = 24/8 = 3 , այսինքն՝ միջինը երեք ժամում մեկ մաս։ նկատել, որ σ = 3. Նկ. Նկար 28.6-ը ներկայացնում է մի ալգորիթմ, որը առաջացնում է պատահական իրադարձությունների հոսք:
Նկ. Նկար 28.7-ում ներկայացված է ալգորիթմի արդյունքը. ժամանակի այն պահերը, երբ մասերը ժամանել են գործողության: Ինչպես երեւում է, ընդամենը ժամանակահատվածում Տ n = 100 արտադրական միավոր մշակված Ն= 33 ապրանք: Եթե նորից գործարկենք ալգորիթմը, ապա Նկարող է հավասար լինել, օրինակ՝ 34, 35 կամ 32։ Բայց միջին հաշվով՝ համար Կալգորիթմն աշխատում է Նհավասար կլինի 33,33-ի Եթե հաշվարկեք իրադարձությունների միջև եղած հեռավորությունները տՀետ եսև ժամանակային կետերը սահմանվում են որպես 3 ես, ապա միջինում արժեքը հավասար կլինի σ = 3 .
Իրադարձությունների արտասովոր հոսքերի մոդելավորում
Եթե հայտնի է, որ հոսքը սովորական չէ, ապա պետք է մոդելավորել, բացի իրադարձության առաջացման պահից, նաև այն իրադարձությունների քանակը, որոնք կարող են հայտնվել այս պահին։ Օրինակ՝ մեքենաները պատահական ժամանակներում հասնում են երկաթուղային կայարան՝ որպես գնացքի մաս (գնացքի կանոնավոր հոսք): Բայց միևնույն ժամանակ գնացքը կարող է ունենալ տարբեր (պատահական) թվով վագոններ։ Այս դեպքում վագոնների հոսքի մասին խոսվում է որպես արտասովոր իրադարձությունների հոսքի մասին։
Ենթադրենք, որ Մ կ = 10 , σ = 4 (այսինքն միջին հաշվով 100-ից 68 դեպքում գնացքում 6-ից 14 վագոն կա) և դրանց թիվը բաշխվում է նորմալ օրենքով։ Նախորդ ալգորիթմի (*) նշված տեղում (տե՛ս նկ. 28.6) անհրաժեշտ է տեղադրել Նկ. 28.8.
Օրինակ 2. Արտադրության մեջ շատ օգտակար է հետեւյալ խնդրի լուծումը. Որքա՞ն է տեխնոլոգիական հանգույցի սարքավորումների միջին օրական պարապուրդը, եթե հանգույցը մշակում է յուրաքանչյուր արտադրանք պատահական ժամանակով, որը նշված է պատահական իրադարձությունների հոսքի ինտենսիվությամբ: λ 2? Միևնույն ժամանակ, փորձնականորեն հաստատվել է, որ արտադրանքը վերամշակման է բերվում նաև հոսքով սահմանված պատահական ժամանակներում. λ 1 հատ 8 կտորից բաղկացած խմբաքանակից, և խմբաքանակի չափը տատանվում է պատահականորեն՝ համաձայն սովորական օրենքի մ = 8 , σ = 2 (տես դասախոսություն 25): Մոդելավորումից առաջ Տ= 0 պահեստում ապրանք չկար: Անհրաժեշտ է նմանեցնել այս գործընթացը ներսում Տ n = 100 ժամ:
Նկ. Նկար 28.9-ում ներկայացված է ալգորիթմ, որը պատահականորեն առաջացնում է վերամշակման համար ապրանքների խմբաքանակների ժամանումների հոսք և վերամշակումից արտադրանքի խմբաքանակների ելքի պատահական իրադարձությունների հոսք:
Նկ. Նկար 28.10-ը ցույց է տալիս ալգորիթմի արդյունքը. ժամանակի պահերը, երբ մասերը հասան գործողությանը, և ժամանակի պահերը, երբ մասերը հեռացան գործողությունից: Երրորդ տողը ցույց է տալիս, թե քանի մաս է եղել մշակման հերթում (հանգույցի պահեստում) ժամանակի տարբեր կետերում:
Նշելով վերամշակող հանգույցի համար այն ժամանակները, երբ նա անգործության էր սպասում հաջորդ մասին (տես Նկար 28.10-ում կարմիրով ընդգծված ժամանակի հատվածները), մենք կարող ենք հաշվարկել հանգույցի ընդհանուր պարապուրդը ամբողջ դիտարկման ժամանակի համար, այնուհետև հաշվարկել օրվա ընթացքում միջին պարապուրդը: Այս իրականացման համար այս ժամանակը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.
Տև այլն Չրք. = 24 · ( տ 1 պող.+ տ 2 պող.+ տ 3 պող.+ տ 4 պող + + տ Նև այլն)/ Տ n.
Վարժություն 1. Փոխելով արժեքը σ , տեղադրել կախվածություն Տև այլն Չրք. ( σ ) . Հանգույցի պարապուրդի արժեքը սահմանելով 100 եվրո/ժամ, որոշեք ձեռնարկության տարեկան կորուստները մատակարարների աշխատանքում անկանոնությունից: Առաջարկել մատակարարների հետ ձեռնարկության պայմանագրի «Տուգանքի չափը ապրանքների առաքման ուշացման համար» կետի ձևակերպումը:
Առաջադրանք 2. Փոփոխելով պահեստի սկզբնական լցման քանակը՝ որոշեք, թե ինչպես կփոխվեն ձեռնարկության տարեկան կորուստները մատակարարների աշխատանքում անկանոնությունից՝ կախված ձեռնարկությունում ընդունված պաշարների քանակից:
Իրադարձությունների ոչ ստացիոնար հոսքերի մոդելավորում
Որոշ դեպքերում հոսքի ինտենսիվությունը կարող է փոխվել ժամանակի ընթացքում λ (տ) . Նման հոսքը կոչվում է անկայուն: Օրինակ, մեկ ժամվա ընթացքում շտապօգնության մեքենաների միջին թիվը, որոնք հեռանում են կայանից՝ ի պատասխան մեծ քաղաքի բնակչության կանչերի, կարող է տարբեր լինել օրվա ընթացքում: Հայտնի է, որ, օրինակ, զանգերի ամենամեծ թիվը բաժին է ընկնում առավոտյան 23-ից 01-ը և 05-ից 07-ը ընդմիջումներին, մինչդեռ մնացած ժամերին այն կիսով չափ է (տե՛ս նկ. 28.11):
Այս դեպքում բաշխումը λ (տ) կարող է սահմանվել կամ գրաֆիկով, բանաձևով կամ աղյուսակով: Իսկ Նկ.-ում ներկայացված ալգորիթմում: 28.6, (**) նշված տեղում ձեզ հարկավոր է տեղադրել Նկ. 28.12.
Սղագրություն
1 AN Moiseev AA Nazarov Բարձր ինտենսիվության կիսամարկովյան հոսքի ասիմպտոտիկ վերլուծություն 9 UDC 5987 AN Moiseev AA Nazarov Իրադարձությունների բարձր ինտենսիվության կիսամարկովյան հոսքի ասիմպտոտիկ վերլուծություն Իրադարձությունների բարձր ինտենսիվության կիսամարկովյան հոսքի ուսումնասիրություն է. Ներկայացված է: Ցույց է տրվում, որ դիտարկվող հոսքի համար ֆիքսված ժամանակային միջակայքում տեղի ունեցող իրադարձությունների քանակի հավանականության բաշխումը, որը ենթակա է հոսքի ինտենսիվության անսահմանափակ աճի, կարող է մոտավորվել նորմալ բաշխմամբ: Այս բաշխումը ստացվել է աշխատանքում Բանալի բառեր՝ իրադարձությունների բարձր ինտենսիվ հոսք, կիսամարկովյան հոսք, ասիմպտոտիկ վերլուծություն: Հերթագրման համակարգերի և ցանցերի հիմնական տարրերից մեկը հարցումների մուտքային հոսքն է: Ժամանակակից հեռահաղորդակցության ցանցեր և բաշխված տեղեկատվության մշակում Համակարգերը պահանջում են տեղեկատվության փոխանցման ալիքների բարձր թողունակություն։Այսպիսով, այդ համակարգերում տվյալների փաթեթների քանակը, որոնք հասնում են մշակման ժամանակի մեկ միավորի համար, շատ մեծ է։Հերթերի տեսության առումով՝ նման դեպքերում նրանք խոսում են մուտքային հոսքի բարձր ինտենսիվության մասին։ Մասնավորապես, աշխատանքում օգտագործվում է բարձր ինտենսիվության հոսքի մոդելը բազմաֆազ բաշխված տվյալների մշակման համակարգի մուտքային հաղորդագրությունների հոսքը մոդելավորելու համար: Աշխատանքները ուսումնասիրել են բարձր ինտենսիվության կրկնվող MMPP- և MAP-հոսքերի հատկությունները: Բարձր ինտենսիվության կիսամարկովյան (կիսամարկովյան կամ SM-) հոսքի հատկությունների վերլուծություն՝ որպես իրադարձությունների հոսքերի ամենաընդհանուր մոդել Մաթեմատիկական մոդել Դիտարկենք միատարր իրադարձությունների կիսամարկովյան հոսքը, որը նշված է հետևյալ կերպ Թող (ξ n τ n ) անշարժ երկչափ Մարկովի պրոցեսը դիսկրետ ժամանակով Այստեղ ξ n-ը դիսկրետ բաղադրիչ է, որը արժեքներ է վերցնում մինչև K τn-ը շարունակական բաղադրիչ է, որը վերցնում է ոչ բացասական արժեքներ: Մենք կենթադրենք, որ գործընթացի էվոլյուցիան որոշվում է տարրերով: այսպես կոչված կիսամարկովյան մատրիցը A (x) = ( Ak ν ) k ν= հետևյալ կերպ K. x Akν (x) = P ξ n+ =ν τ n+.< ξ n = k N Здесь N некоторая большая величина которая введена искусственно чтобы явным образом подчеркнуть малость величин τ n В теоретических исследованиях будем полагать N и таким образом τ n На практике полученные результаты можно использовать для аппроксимации соответствующих величин при достаточно больших значениях N (в условии высокой интенсивности потока) Пусть в момент времени t = произошло изменение состояния процесса {ξ n τ n } Последовательность моментов времени t n определяемая рекуррентным выражением tn+ = tn+τ n+ для n = называется полумарковским потоком случайных событий определяемым полумарковской матрицей A(x) Процесс ξ n =ξ(t n) называют вложенной в полумарковский поток цепью Маркова Поскольку средняя длина интервалов τ n обратно пропорциональна N то при N интенсивность наступления событий в таком потоке будет неограниченно расти Такой поток событий будем называть высокоинтенсивным полумарковским или HISM-потоком (от High-Intensive Semi- Markovian) Ставится задача нахождения числа событий m(t) наступивших в этом потоке в течение интервала времени (t) Вывод уравнений Колмогорова Пусть z(t) длина интервала времени от момента t до момента наступления следующего события в потоке; k(t) случайный процесс значения которого на каждом из интервалов = () Отсюда получаем матричное дифференциальное уравнение относительно функции R(z): R (z) = R ()[ I A (z) ] (3) граничное условие для которого при z имеет вид R () = λr (4) где λ некоторый коэффициент вектор-строка r есть стационарное распределение состояний вложенной цепи Маркова Этот вектор является решением уравнения Колмогорова r= r P где P= lim A (z) есть стохастическая матрица определяющая вероятности переходов вложенной цепи z Маркова Таким образом решение уравнения (3) имеет вид z R() z = R ()[ I A () x ] dx (5) Пусть R= R () есть стационарное распределение значений полумарковского процесса k(t) тогда при z из (5) получаем R= R ()[ I A(x) ] dx=λ r[ I A(x) ] dx=λr [ P A(x) ] dx=λra (6) где A матрица с элементами Akν = [ Pkν Akν(x) ] dx Умножая левую и правую части равенства (6) на единичный вектор-столбец E получим RE = =λrae откуда находим значение коэффициента λ: λ= (7) rae Доклады ТУСУРа 3 (9) сентябрь 3
3 AN Moiseev AA Nazarov Բարձր ինտենսիվության կիսամարկովյան հոսքի ասիմպտոտիկ վերլուծություն Եկեք ներկայացնենք Hkuzt () = e Pkmzt () նշումը, որտեղ j = երևակայական միավոր, իսկ u-ն որոշ փոփոխական է՝ բազմապատկելով () e jum-ով և գումարելով m-ից: ստանալու համար m= Hkuzt () Hkuzt ( ) Hku (t) K ju Hku (t) = + e Aν k (z) N ν= Հաշվի առնելով տողի վեկտորային նշումը H(u z t) = (H(u z t) H. (K u z t)), այս հավասարումը ընդունում է H(uzt) H(uzt) H(u t) ju = + e A(z) I (8) N Դիֆերենցիալ մատրիցային հավասարումը (8) կլուծենք ասիմպտոտիկ մեթոդով. որպես N առաջին կարգի ասիմպտիկա դիտարկվող կիսամարկովյան հոսքի λn անսահմանափակ աճող ինտենսիվության պայմանով Ներկայացնենք N =ε u= ε w H(uzt) = F (wzt ε) (8)-ից ստանում ենք. F(wzt ε) F(wzt ε) F(w t ε) jwε ε = + e A(z) I (9) Թեորեմ (9) հավասարման F(wzt) = lim F (wzt ε) ասիմպտոտիկ լուծումը ունի. ձեւ ε () () jw λ F wzt = R ze t () որտեղ R(z)-ը որոշվում է (5) արտահայտությամբ Ապացույց Եկեք դա անենք (9)-ում, անցնելով ε սահմանին, ստանում ենք F(wzt) հավասարումը: F(w t) = + [ A(z) I ] որն ունի ()-ի նման ձև, հետևաբար, F ֆունկցիան (w z t) կարող է ներկայացվել որպես F(wzt) = R (z) Φ(wt) () որտեղ Φ (w t) ինչ-որ սկալյար ֆունկցիա է: Եկեք անցնենք z սահմանին (9) և ամփոփենք այս հավասարման բոլոր բաղադրիչները (դա անելու համար մենք աջ կողմի երկու կողմերը բազմապատկում ենք միավորի սյունակի վեկտորով E) Ստանում ենք F. (w t ε) F (w t ε) ε E= e P I E Փոխարինեք այստեղ () արտահայտությունը օգտագործեք ընդլայնումը e = + jε w+ O(ε) երկու կողմերը բաժանեք ε-ի և անցեք մինչև ε սահմանը՝ Φ(wt) RE = jwr () PE Φ(wt) որտեղից, հաշվի առնելով (4) Ֆ (w t) ֆունկցիայի դիֆերենցիալ հավասարում ենք ստանում. Φ(wt) = jwλφ (wt) Այս հավասարումը լուծելով սկզբնական Φ (w) պայմանով ) = ստանում ենք լուծումը jwλt Φ (wt) = e Փոխարինեք այս արտահայտությունը ( )-ում, մենք ստանում ենք () Թեորեմն ապացուցված է ju Nt Երկրորդ կարգի ասիմպտոտիկներ Եկեք կատարենք փոխարինումը H(uzt) = H (uzte) λ ()-ում () 8): H(uzt) H(uzt) H(u t) ju + juλ H(u z t) = + e A(z) I () N Ներկայացնենք N =ε u= ε w H(uzt) = նշումը. F (wzt ε) (3) TUSUR հաշվետվություններ 3 (9) սեպտեմբերի 3
4 ԿԱՌԱՎԱՐՄԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳՉԱՅԻՆ ՏԵԽՆԻԿԱ ԵՎ ՏԵՂԵԿԱՏՎԱԿԱՆ ԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆ Այնուհետև () կվերագրվի որպես F(wzt ε) F(wzt ε) F(w t ε) ε + λf (wzt ε) = + e A(z) I (4) Թեորեմ Ասիմպտոտիկ լուծում. F( wzt) = lim F (wzt ε) հավասարումը (4) ունի ε (jw) F (wzt) = R (z)exp (λ+κ) t (5), որտեղ R(z) որոշվում է արտահայտությունը (5) κ= fe (6) տողի վեկտորը f բավարարում է գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգ f I P =λ rp R λ a (7) f AE= a = rae A = x da (x) Ապացույց Անցնենք. ε սահմանը (4)-ում մենք ստանում ենք F(wzt) F(w t) = + [ A(z) I ] հավասարումը, որն ունի ()-ի նման ձև, հետևաբար, F ֆունկցիան (w z t) կարող է ներկայացվել որպես F(wzt): ) = R (z) Φ(wt) (8) որտեղ Φ (w t) որոշ սկալային ֆունկցիա (4) հավասարման լուծումը կփնտրվի ընդլայնման F(wzt ε) =Φ (wt) R(z) + jε wf (z) + O(ε) (9), որտեղ f(z) որոշ վեկտորային ֆունկցիա (տող) Այս արտահայտությունը փոխարինելով (4)-ով և կիրառելով e = + jε w+ O(ε) ընդլայնումը որոշ փոխակերպումներից հետո։ ստանում ենք ( ) λφ (wt) R() z=φ (wt) R() z+ f () z+ R() A() z I + R() A() z+ f () A() z I+ A () z + O(ε) Հաշվի առնելով (3) (4) երկու կողմերը բաժանելով jεw-ով և չեղարկելով Φ ( w t) մենք ստանում ենք λ R(z) = f (z) + λ ra(z) + f () [ A(z) I ] + O(ε) Այստեղից ε-ի համար մենք ստանում ենք անհայտ վեկտորային ֆունկցիայի դիֆերենցիալ հավասարում f(z) f ( z) = f ()[ I A(z) ] λ[ ra( z) R (z) ] ինտեգրելով, որը սկզբնական պայմանով f() = ստանում ենք z f(z) = ( f ()[ I A(x) ] λ [ ra(x) R (x) ]) dx ( ) Մենք կփնտրենք f(z) lim ( f ()[ I A(x) ] պայմանը բավարարող ֆունկցիաների դասում λ[ ra(x) R (x) ]) = x Այստեղից ստանում ենք f ()[ I P] λ[ rp R ] = () Այս հավասարության ձախ կողմը հանելով ինտեգրանդից () հաշվի առնելով (6) մենք ստանում ենք f() = f () A+λrA λ [ R R (x) ] dx () Կարելի է ցույց տալ, որ [ R R (x) ] dx= λ ra, որտեղ A = x da (x) Հաշվի առնելով դա՝ աջ կողմի երկու կողմերը () բազմապատկելով E միավոր վեկտորով, մենք ստանում ենք TUSUR հաշվետվություններ 3 (9) սեպտեմբերի. 3
5 AN Moiseev AA Nazarov Բարձր ինտենսիվության կիսամարկովի հոսքի ասիմպտոտիկ վերլուծություն 3 λ a [ f () A f()] E = (3) որտեղ a = rae Ենթադրելով, որ f() E = եւ նշանակում է f = f () () և (3)-ից ստանում ենք հավասարումների համակարգը (7) Եկեք անցնենք (4)-ի z սահմանին և հավասարման երկու կողմերը բազմապատկենք աջ կողմում գտնվող E-ով, կստանանք F(w t ε) F(w t): ε) jw (w t) jw jw (w t) ε ε e F ε ε E+ ε λf ε E= P I E= E (e) () 3 Փոխարինեք այստեղ (9) և կիրառեք e = + jε w+ + O(ε) ընդլայնումը. ) մենք ստանում ենք Φ(wt) (jεw) 3 ε RE+ λφ (wt) RE = Φ (wt)[ R () + f ()] E jw ε + + O(ε) Նվազեցնելով նմանատիպ կրճատումները ε՝ օգտագործելով նշումը (6): ) և անցնելով ε-ի սահմանին, մենք ստանում ենք հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարումը Φ (w t) անհայտ ֆունկցիայի համար. (w) = մենք ստանում ենք Φ (wt) = exp (λ+κ) t Փոխարինելով այս արտահայտությունը (8)-ում մենք ստանում ենք (5) Թեորեմն ապացուցված է HISM հոսքում տեղի ունեցող իրադարձությունների քանակի բաշխման մոտարկում Փոփոխություններ կատարելը. (5) հակադարձ (3)-ում և վերադառնալով H(u z t) ֆունկցիային մենք ստանում ենք (ju) H(u z t) R (z)exp juλ Nt + (λ+κ) Nt Այսպիսով, թվի բնորոշ ֆունկցիան. իրադարձությունները, որոնք տեղի են ունենում բարձր ինտենսիվության կիսամարկովյան հոսքում t ժամանակի ընթացքում, բավարարում են (ju) hut () = H(u t) E exp juλ Nt+ (λ+κ) Nt Այսինքն, բավական մեծ արժեքների համար թվի N բաշխում. t ժամանակի ընթացքում HISM հոսքում տեղի ունեցող իրադարձությունները կարող են մոտավորվել նորմալ բաշխմամբ մաթեմատիկական ակնկալիքով λnt և շեղում (λ + κ)nt, որտեղ λ և κ որոշվում են (7) և (6) արտահայտություններով: Թվային արդյունքները որպես օրինակ. Թվային հաշվարկներ Եկեք դիտարկենք իրադարձությունների մոդելավորման խնդիրը բարձր ինտենսիվության կիսամարկովյան հոսքում, որը նշված է երրորդ կարգի կիսամարկովյան մատրիցով A(x) գրված A(x) = P * G(x) ձևով, որտեղ P-ն է. ստոխաստիկ մատրիցա; G(x)-ը բաշխման որոշ ֆունկցիաներից կազմված մատրից է. գործողություն * Hadamard-ի մատրիցների արտադրյալը Մենք կդիտարկենք օրինակ, երբ G(x) մատրիցի տարրերը համապատասխանում են գամմա բաշխման ֆունկցիաներին α kν ձևի պարամետրերով և β kν k ν = 3 մասշտաբով, որը մենք կներկայացնենք մատրիցների տեսքով: α և β, համապատասխանաբար: Մենք կընտրենք հետևյալ հատուկ պարամետրային արժեքները. P = 3 5 α = 5 4 β = Հաշվարկների արդյունքում ստացվել են հետևյալ պարամետրերի արժեքները. λ 99; κ 96 Այս խնդրի համար իրականացվել է հոսքի մոդելավորում N = 3 արժեքների համար և կառուցվել են իրադարձությունների թվի էմպիրիկ բաշխումներ t = երկարության միջակայքերում: Էմպիրիկ տվյալների բաշխումների շարքը և համապատասխան մոտավորությունները N = և N = են: գրաֆիկորեն ներկայացված Նկարում (N-ի այլ արժեքների համար գրաֆիկները գրեթե համընկնում են և դառնում են անտարբեր նկարում) TUSUR-ը հաղորդում է 3 (9) սեպտեմբերի 3
6 4 4 ԿԱՌԱՎԱՐՄԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳՉԱՅԻՆ ՏԵԽՆԻԿԱ ԵՎ ՏԵՂԵԿԱՏՎԱԿԱՆ ԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆ 5 8 N = N = Նկ. Կոլմոգորովի հեռավորությունը Dq = sup Fq(x) F(x) Այստեղ F q (x) էմպիրիկ բաշխման ֆունկցիա F(x) նորմալ պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիա x վերը նշված բնութագրերով Աղյուսակը ցույց է տալիս որակի կախվածությունը N N δ արժեքի մոտավոր հարաբերական սխալները մաթեմատիկական a δ D D q 8% 6% 464 ակնկալիքներ δ a և δ D շեղում, ինչպես նաև Կոլմոգորովի հեռավորությունը D q դիտարկված դեպքերի համար 9% 7% % 5% Նկարը ցույց է տալիս. գրաֆիկ, որը ցույց է տալիս % 4% 44 Կոլմոգորովի հեռավորության նվազումը էմպիրիկ և 8% % վերլուծական (նորմալ) բաշխումների միջև N D q-ի աճող արժեքներով Դուք կարող եք նկատել, որ արդեն 5 N > 3-ում բավականաչափ բարձր որակ է Gaussian. Դիտարկվող բարձր ինտենսիվության կիսամարկովյան հոսքում իրադարձությունների թվի մոտարկումը ձեռք է բերվել (Կոլմոգորովի հեռավորությունը չի գերազանցում) 3 Նկ. Կոլմոգորովի հեռավորության փոփոխություն D q կախված հոսքի ինտենսիվությունից (լոգարիթմական սանդղակը N-ով) N Եզրակացություն աշխատանքը ներկայացնում է իրադարձությունների բարձր ինտենսիվության կիսամարկովյան հոսքի ուսումնասիրություն: Ցույց է տրված, որ դրա ինտենսիվության անսահմանափակ աճի պայմաններում ֆիքսված երկարության ժամանակային միջակայքում տվյալ հոսքում տեղի ունեցող իրադարձությունների քանակի բաշխումը կարող է. մոտավոր լինի նորմալ բաշխմամբ: Այս բաշխման պարամետրերը ստացված են աշխատանքում: Դիտարկված թվային օրինակները ցույց են տալիս ստացված ասիմպտոտիկ արդյունքների կիրառելիությունը HISM-իրադարձությունների հոսքերի համար: Նման արդյունքներ ավելի վաղ ստացվել են բարձր ինտենսիվ հոսքերի այլ տեսակների համար. կրկնվող MMPP MAP TUSUR Հաշվետվություններ 3 (9) սեպտեմբերի 3
7 AN Moiseev AA Nazarov Բարձր ինտենսիվության կիսամարկովի հոսքի ասիմպտոտիկ վերլուծություն 5 Հղումներ Gnedenko BV Հերթագրման տեսության ներածություն / BV Gnedenko IN Kovalenko 4th Ed. տվյալների մշակման համակարգ / VV Grachev AN Moiseev AA Nazarov VZ Yampolsky // TUSUR report (6) h C Moiseev A Investigation of High Intensive General Flow / A Moiseev A Nazarov // Proc of the IV International Conference «Problems of Cybernetics and Informatics» ( PCI) Բաքու. IEEE P Moiseev A Intensive Markov-Modulated Poisson Process / A Moiseev A Nazarov // Տնտեսության և կրթության մեջ տեղեկատվական և հաղորդակցական տեխնոլոգիաների և վիճակագրության կիրառման միջազգային կոնֆերանսի նիստ (ICAICTSEE-) Սոֆիա. Համալսարան Ազգային և համաշխարհային տնտեսություն Պ. Մոիսեև Ա.Ն. Բարձր ինտենսիվության Քարտեզի հոսքի ուսումնասիրություն / Ա.Ն. Մոիսեև Ա.Ա. Նազարով գործընթացներ. դասագիրք / Ա.Ա. Նազարով Ա.Ֆ. Terpugov-e izd ispr Tomsk: NTL Publishing House 4 p 8 Nazarov AA Asymptotic վերլուծության մեթոդ հերթերի տեսության մեջ / AA Nazarov SP Moiseeva Tomsk: NTL Publishing House 6 p 9 Korn G ձեռնարկ մաթեմատիկոսների համար ինժեներներ / G Korn T Korn M. Գիտություն Rykov VV-ի հետ Մաթեմատիկական վիճակագրություն և փորձարարական պլանավորում. դասագիրք / VV Rykov VY Itkin M: MAKS Press 38 հետ Մոիսեև Ալեքսանդր Նիկոլաևիչ Տեխնիկական գիտությունների թեկնածու, դոցենտ, Տոմսկի պետական համալսարանի ծրագրային ճարտարագիտության ամբիոն (TSU) ) Հեռ՝ 8 (38-) Էլ. Նազարով Անատոլի Անդրեևիչ Տեխ. - Մարկովյան ժամանման գործընթաց Բարձր ինտենսիվ կիսամարկովյան ժամանման գործընթացի ուսումնասիրությունը ներկայացված է աշխատության մեջ: Ցույց է տրված, որ գործընթացում ժամանողների թվի բաշխումը որոշակի ժամանակահատվածում գործընթացի արագության անսահման աճի ասիմպտոտիկ պայմաններում կարող է լինել. մոտավոր նորմալ բաշխմամբ Ստացված են նաև մոտարկման բնութագրերը: Վերլուծական արդյունքները հաստատվում են թվային օրինակներով Բանալի բառեր.
ՄԱՏԵՆԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ. Բալասանյան Ս.Շ. Բազմաթիվ պետությունների հետ բարդ տեխնոլոգիական համակարգերի գործունեության արդյունավետության գնահատման և վերլուծության շերտավորված մոդել // Տոմսկի պոլիտեխնիկական նորություններ
ASYMPTOTIC ANALYSIS OF AN OPEN LOOP NON-MARKOV QESTION NETWORK HIMMPP (GI) K A. Nazarov, A. Moiseev Tomsk State University Tomsk, Russia [էլփոստը պաշտպանված է]Աշխատանքը ներկայացնում է
ՏՈՄՍԿԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆԻ ԲՈՒԼԵՏԻՆ 2008 Համակարգչային գիտության և տեղեկատվական գիտության ամբիոն 3(4) UDC 6239; 592 Ս.Վ.
Ս.Ա. Մատվեև, Ա.Ն. Մոիսեև, Ա.Ա. Նազարովը. Սկզբնական մոմենտների մեթոդի կիրառում 9 UDC 59.87 S.A. Մատվեև, Ա.Ն. Մոիսեև, Ա.Ա. Նազարով Բազմաֆազ համակարգի ուսումնասիրության սկզբնական պահերի մեթոդի կիրառում
ՏՈՄՍԿԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆԻ ԲՈՒԼԵՏԻՆ 7 Համակարգչային տեխնոլոգիաների և տեղեկատվական գիտության կառավարում UDC 5987 Տ.Ա. Կարլիխանովա ՍԻՖՏ ՀՈՍՔԻ ՄԵԹՈԴ ՀԱՄԱՐ GI/GI/ SYSTEM ՈՒՍՈՒՄՆԱՍԻՐԵԼՈՒ Հերթագրման համակարգի համար.
UDC 6.39.; 59. Ս.Վ. Լոպուխովա Ա.Ա. Նազարով ՄԱՐ-ՀՈՍՔԻ ՈՒՍՈՒՄՆԱՍԻՐՈՒԹՅՈՒՆԸ N-ԵՐՐՈՐԴ ԿԱՐԳԻ ԱՍԻՄՊՏՈՏԱԿԱՆ ՎԵՐԼՈՒԾՄԱՆ ՄԵԹՈԴՈՎ ՄԱՐ-հոսքը դիտարկվում է. Այս հոսքը ուսումնասիրվել է ասիմպտոտիկ մեթոդով:
ՏՈՄՍԿԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆԻ Տեղեկագիր 8 Համակարգչային տեխնոլոգիաների և տեղեկատվական գիտությունների կառավարում 4(5) ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՄՈԴԵԼԻՉ UDC 59.87 Վ.Ա. Վավիլով Ա.Ա. Նազարով ԱՆԿԱՅՈՒՆԻ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՄՈԴԵԼՈՒՄ
Կեմերովոյի պետական համալսարանի մասնաճյուղ Անժերո-Սուդժենսկի ազգային հետազոտական Տոմսկի պետական համալսարան Կեմերովոյի պետական համալսարանի կառավարման խնդիրների ինստիտուտ
ՏՈՄՍԿԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆԻ ԲՈՒԼԵՏԻՆ Համակարգչային տեխնոլոգիաների և տեղեկատվական գիտությունների կառավարում 3() UDC 59.87 I.A. Իվանովսկայա Ս.Պ. Մոիսեևա ԲԱԶՄԱԿԱՆ ՊԱՏՎԵՐՆԵՐԻ Զուգահեռ ՍՊԱՍԱՐԿՄԱՆ ՄՈԴԵԼԻ ՀԵՏԱԶՈՏՈՒԹՅՈՒՆ
ՏՈՄՍԿԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆԻ ԲՈՒԼԵՏԻՆ 2011 Կառավարում, համակարգչային տեխնիկա և տեղեկատվական գիտություն 3(16) ՏԵՂԵԿԱՏՎՈՒԹՅԱՆ ՄՇԱԿՈՒՄԸ UDC 519.872 I.L. Լապատին, Ա.Ա. Նազարով ՄԱՐԿՈՎԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ ԲՆՈՒԹԱԳԻՐՆԵՐԸ
Ա.Ա. Նազարով Ի.Ա. Սեմենովը։ Ասիմպտոտիկ և նախնական բնութագրերի համեմատություն 187 UDC 4.94:519.872 Ա.Ա. Նազարով Ի.Ա. Սեմենովա MAP/M/ համակարգի ասիմպտոտիկ և նախնական բնութագրերի համեմատություն
Կեմերովոյի պետական համալսարանի մասնաճյուղ Անժերո-Սուդժենսկի ազգային հետազոտական Տոմսկի պետական համալսարան Կեմերովոյի պետական համալսարանի կառավարման խնդիրների ինստիտուտ
Վիճակագրական ռադիոֆիզիկա և տեղեկատվության տեսություն Դասախոսություն 7 8. Շարունակական ժամանակի Մարկովյան շղթաներ Շարունակական ժամանակի Մարկովյան շղթաները Մարկովյան X t պատահական գործընթաց են, որը բաղկացած է.
ՏՈՄՍԿԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆԻ ԲՈՒԼԵՏԻՆ 9 Համակարգչային տեխնոլոգիաների և տեղեկատվական գիտությունների կառավարում (7) ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՄՈԴԵԼԻՆԳ UDC 5987 Վ.Ա.
ԳԼՈՒԽ 5. ՄԱՐԿՈՎԻ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՆԵՐԸ ՇԱՐՈՒՆԱԿԱՆ ԺԱՄԱՆԱԿՈՎ ԵՎ ԴԻՍԿՐԵՏ ՎԻՃԱԿՆԵՐՈՎ Այս գլխի ուսումնասիրության արդյունքում ուսանողները պետք է.
Որպես ձեռագիր Զադիրանովա Լյուբով Ալեքսանդրովնա ՀՈՍՔԻ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՄՈԴԵԼՆԵՐԻ ՀԵՏԱԶՈՏՈՒԹՅՈՒՆ ԱՆՎԵՐՋ ԳԾԱՅԻՆ QS-ՈՒՄ ՊԱՀԱՆՋՆԵՐԻ ԿՐԿՆՎԱԾ ՍՊԱՍԱՐԿՄԱՆ ՀԵՏ 05.13.18 Մաթեմատիկական մոդելավորում, թվային.
ՏՈՄՍԿԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆԻ ԲՈՒԼԵՏԻՆ 7 Համակարգչային տեխնոլոգիաների և տեղեկատվական գիտությունների կառավարում UDC 59 NV Ստեփանովա Ա.Ֆ. Տերպուգով ԳՆԵՐԻ ԿԱՌԱՎԱՐՈՒՄ ՓԱՍԱՆԱՑՄԱՆ ԱՊՐԱՆՔՆԵՐԻ ՎԱՃԱՌՔՈՒՄ Կառավարումը համարվում է.
ՏՈՄՍԿԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆԻ ԲՈՒԼԵՏԻՆ Կառավարում, համակարգչային տեխնիկա և տեղեկատվական գիտություն () UDC 59.865 K.I. Լիվշից, Յա.Ս. Բագել ԱՊԱՀՈՎԱԳՐԱԿԱՆ ԸՆԿԵՐՈՒԹՅԱՆ ԿՈՆԿՏԱՑՄԱՆ ՀԱՎԱՆԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ ԿՐԿՆԱԿԻ ՍՏՈԽԱՍՏԻՑ
UDC 6-5 Գծային ֆունկցիոնալների սպեկտրային բնութագրերը և դրանց կիրառությունները ստոխաստիկ կառավարման համակարգերի վերլուծության և սինթեզի համար K.A. Ռիբակով Հոդվածում ներկայացվում է գծի սպեկտրային բնութագրերի հայեցակարգը
Որպես ձեռագիր Լապատին Իվան Լեոնիդովիչ ԱՆՍԱՀՄԱՆԱՓԱԿ ԹԻՎ ՍԱՐՔԵՐՈՎ ՀԵՐԹԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ ԱՐԴՅՈՒՆԱԿԱՆ ՀՈՍՔԻ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՄՈԴԵԼՆԵՐԻ ՀԵՏԱԶՈՏՈՒԹՅՈՒՆ 05.13.18 Մաթեմատիկական մոդելավորում, թվային.
Բովանդակություն Գլուխ Պատահական գործընթացներ Պարզ միատարր Մարկովյան շղթա Մարկովյան հավասարում Պարզ միատարր Մարկովյան շղթա 4 Անցումային մատրիցայի հատկությունները 5 Թվային փորձ. հավանականությունների բաշխման կայունացում
ՀԱՇՎԱՐԿԱԿԱՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԵՐԿՐԱՖԻԶԻԿԱՅԻ ԻՆՍՏԻՏՈՒՏ ՌՈՒՍԱՍՏԱՆԻ ԳԻՏՈՒԹՅԱՆ ԱԿԱԴԵՄԻԱՅԻ ՍԻԲԻՐԻ ՄԱՍՆԱՃՅՈՒՂ ՄԱՐՉՈՒԿՈՎԻ ԳԻՏԱԿԱՆ ԸՆԹԵՐՑՈՒՄՆԵՐ 017 հունիսի 5 14 հուլիսի, 017թ.
RQ-SYSTEM M GI 1 ԱՍԻՄՊՏՈՏԱԿԱՆ ՎԵՐԼՈՒԾՄԱՆ ՄԵԹՈԴՈՎ ՈՒՍՈՒՄՆԱՍԻՐՈՒԹՅՈՒՆ ԾԱՆՐ ԲԵՌՆԱՐԿՎԱԾ ՊԱՅՄԱՆՆԵՐՈՎ Է. Մոիսեևա, Ա. Նազարով Տոմսկի պետական համալսարան Տոմսկ, Ռուսաստան [էլփոստը պաշտպանված է]Աշխատանքը համարում է
UDC 6-5:59 NS Դեմին Ս.Վ. Ռոժկովա Օ.Վ.
Թվային մեթոդներ Թեմա 2 Interpolation V I Velikodny 2011 2012 ուսումնական տարի 1 Ինտերպոլացիայի հայեցակարգը Ինտերպոլացիան հայտնի անհատական արժեքներից որևէ արժեք մոտավորապես կամ ճշգրիտ գտնելու մեթոդ է
Ուկրաինական մաթեմատիկական ամսագիր հատոր 5 (28), 3, 293 34 Մատրիցային գործակիցներով սովորական դիֆերենցիալ օպերատորի սահմանային խնդիրների մասին Աննա Վ Ագիբալովա (Ներկայացրել է Մ. Մ. Մալամուդ) Աբստրակտ
Դասախոսություն 2. Առաջին տիպի վիճակագրություն. Նշված գնահատականները և դրանց հատկությունները Bure V.M., Grauer L.V. ShAD Սանկտ Պետերբուրգ, 2013 Bure V.M., Grauer L.V. (ՇԱԴ) Դասախոսություն 2. Առաջին տիպի վիճակագրություն. Կետավոր Սանկտ Պետերբուրգ,
Համակարգչային տեխնոլոգիաների և տեղեկատվական գիտության կառավարում UDC 6-5:59 ՀԻՇԱՏԱԿԱՆ ՀԻՇՈՂՈՎ ԴԻՍԿՐԵՏ ԴԻՏՈՐԴԱԿԱՆ ալիքի արդյունավետության հետազոտություն Ն.Ս. Դեմին Օ.Վ. Ռոժկովա* Տոմսկի պետական համալսարան
Վիճակագրական ռադիոֆիզիկա և տեղեկատվության տեսություն Դասախոսություն 6 7. Մարկով* պատահական գործընթացներ և Մարկովյան շղթաներ. *Մարկով Անդրեյ Անդրեևիչ (ծն. 1890) ռուս մաթեմատիկոս, ակադեմիկոս Մարկով պատահական գործընթաց
Սիբիրյան մաթեմատիկական ամսագիր հուլիս օգոստոս, 2003թ. հատոր 44, 4 UDC 51921+5192195 ԳՈՐԾՈՆԱՑՄԱՆ ԲԱՑԱԿԱՌՆԵՐԻ ՄԱՍԻՆ ՆԵՐԿԱՅԱՑՈՒՑՄԱՆ ԲԱՑԱԿԱՑՈՒԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ ԿԻՍԱՇԱՐՈՒՆԱԿԱՆ ՊԱՏԱՀԱԿԱՆ ԶԲՈԼՈՎՆԵՐԻ ԲԱՆԴՈՒՄ ՍԼՈՒԳԱՅՈՒՄ
Որպես ձեռագիր Գորբատենկո Աննա Եվգենիևնա ՀԵՐԹԱԿԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ ՀԵՏԱԶՈՏՈՒԹՅՈՒՆ ՀԱՏՈՒԿ ՍԱՀՄԱՆԱՓԱԿԱՆ ՊԱՅՄԱՆՆԵՐՈՎ 05.13.18 Մաթեմատիկական մոդելավորում, թվային մեթոդներ
Համակարգչային տեխնոլոգիաների և տեղեկատվական գիտության կառավարում UDC 59. ՏԵՂԵԿԱՏՎԱԿԱՆ ԱՍՊԵԿՏԸ ՇԱՐՈՒՆԱԿԱԿԱՆ-ԴԻՍԿՐԵՏ ՖԻՏՐՄԱՆ ԵՎ ԻՆՏԵՐՊՈԼԱՑՄԱՆ ՀԱՄԱՏԵՂ ԽՆԴԻՐՈՒՄ. ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆ Ս.Վ. Ռոժկովա Օ.Վ. Ռոժկովա Տոմսկի պոլիտեխնիկ
Սիբիրյան մաթեմատիկական ամսագիր հուլիս, օգոստոս, 2005թ.: Հատոր 46, 4 UDC 519.21 ՄԱՐԿՈՎԻ Շղթայի վրա նշված պատահական զբոսանքների սահմանային խնդիրներում ֆակտորիզացիայի ներկայացուցիչների մասին. V. I. Lotova, N. G.
Դասախոսություն 3 Համակարգի հավասարակշռության և շարժման կայունություն Հաստատուն շարժումները դիտարկելիս մենք գրում ենք խաթարված շարժման հավասարումները d dt A Y ձևով, որտեղ սյունակի վեկտորը հաստատուն գործակիցների քառակուսի մատրից է։
Գլուխ 1 Դիֆերենցիալ հավասարումներ 1.1 Դիֆերենցիալ հավասարման հայեցակարգ 1.1.1 Դիֆերենցիալ հավասարումներ տանող խնդիրներ: Դասական ֆիզիկայում յուրաքանչյուր ֆիզիկական մեծություն կապված է
Դասախոսություն ԴԱՍԱԽՈՍՈՒԹՅԱՆ ԲՆՈՒԹԱԳԻՐԱԿԱՆ ՖՈՒՆԿՑԻԱ ԴԱՍԱԽՈՍՈՒԹՅԱՆ ՆՊԱՏԱԿԸ. Կառուցել պատահական փոփոխականների ֆունկցիաների գծայինացման մեթոդ; ներկայացնել բարդ պատահական փոփոխականի հայեցակարգը և ստանալ դրա թվային բնութագրերը. որոշել բնութագիրը
Մոդելավորման համակարգեր՝ օգտագործելով Մարկովի պատահական գործընթացները Մարկովյան գործընթացների հիմնական հասկացությունները X(t) ֆունկցիան կոչվում է պատահական, եթե դրա արժեքը ցանկացած t արգումենտի համար պատահական փոփոխական է:
1. ՎԵՐՋԱԿԱՆ ՀԱՄԱՍԵՆ ՄԱՐԿՈՎԻ Շղթաներ Դիտարկենք ξ n, n 0, 1,... պատահական փոփոխականների հաջորդականությունը, որոնցից յուրաքանչյուրը բաշխված է դիսկրետով և ընդունում է արժեքներ նույն բազմությունից (x 1,...,
Գլուխ 6 Կայունության տեսության հիմունքները Դասախոսության խնդրի ձևակերպում Հիմնական հասկացություններ Նախկինում ցույց էր տրվել, որ նորմալ համակարգի համար Կոշիի խնդրի լուծումը ODE = f, () շարունակաբար կախված է սկզբնական պայմաններից.
Sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Այս կերպ հայտնաբերված լուծումները կազմում են լուծումների հիմնարար համակարգ և հետևաբար համակարգի ընդհանուր լուծումն ունի ձևը կամ, ավելի մանրամասն, sin cos sin cos cos cos sin sin:
Կառուցվածքային հուսալիություն. Տեսություն և պրակտիկա Կաշտանով Վ.Ա. ԿԱՌՈՒՑՎԱԾՔՆԵՐԻ ՎԵՐԱՀՍԿՈՂՈՒԹՅՈՒՆԸ ՀԵՐԹՈՒՄ ԵՎ ՀԱՎԱՍՏՈՒԹՅԱՆ ՄՈԴԵԼՆԵՐՈՒՄ Օգտագործելով վերահսկվող կիսամարկովյան գործընթացները՝ օպտիմալ
ԱՊԱՀՈՎԱԳՐԱԿԱՆ ԸՆԿԵՐՈՒԹՅԱՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՄՈԴԵԼԸ ՍՊԱՍԱՐԿՄԱՆ ՀԵՐԹԱԿԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ՁԵՎՈՎ M M I. Sinyakova, S. Moiseeva National Research Tomsk State University Tomsk, Ռուսաստան [էլփոստը պաշտպանված է]
UDC 59. ԲԱԺԱՆՄԱՆ ԹԵՈՐԵՄ ՀԻՇՈՂՈՒԹՅԱՆ ՀԵՏ ԴԻՏԱՐԿՄԱՆ ԴԵՊՔՈՒՄ Ն.Ս. Դեմին, Ս.Վ. Ռոժկովա Տոմսկի պետական համալսարան Տոմսկի պոլիտեխնիկական համալսարան Էլ. [էլփոստը պաշտպանված է]Տրվում է ապացույց
L B թեորեմի պայմաններով (m) Այնուհետև, L օպերատորի գծայինության պատճառով մենք ունենք.
Հղումներ Կալաշնիկովա TV Izvekov NU Պահանջարկի կողմնորոշման մեթոդի ինտեգրում մանրածախ ցանցի գնագոյացման համակարգում // Տոմսկի պոլիտեխնիկական համալսարանի նորություններ T 3 6 S 9 3 Fomin
ՀԱՇՎԱՐԿԱԿԱՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԵՐԿՐԱՖԻԶԻԿԱՅԻ ԻՆՍՏԻՏՈՒՏ ՌՈՒՍԱՍՏԱՆԻ ԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԱԿԱԴԵՄԻԱՅԻ ՍԻԲԻՐԻ ՄԱՍՆԱՃՅՈՒՂ ՄԱՐՉՈՒԿՈՎԻ ԳԻՏԱԿԱՆ ԸՆԹԵՐՑՈՒՄՆԵՐ 217 Հունիսի 25 Հուլիսի 14, 217 Գործավարություն Ակադեմիական Խմբագրական խորհուրդ
ԹԵՄԱ 7. Պատահական գործընթացներ. 7-րդ թեմայի բովանդակության նպատակն է նախնական հասկացություններ տալ պատահական գործընթացների և մասնավորապես Մարկովյան շղթաների մասին. ուրվագծել տնտեսական խնդիրների շրջանակը, որոնք մոդելներն օգտագործում են դրանց լուծման համար,
Դասախոսություն 4. Վստահության ինտերվալներ Bure V.M., Grauer L.V. ShAD Սանկտ Պետերբուրգ, 2013 Bure V.M., Grauer L.V. (SHAD) Դասախոսություն 4. Վստահության միջակայքեր Սանկտ Պետերբուրգ, 2013 1 / 49 Բովանդակություն Բովանդակություն 1 Վստահության միջակայքեր.
Siberian Mathematical Journal January Փետրվար, 2. Volume 41, 1 UDC 517.948 ASYMPTOTICS OF SOLUTIONS TO SINGULARly PERTURBED NONLINEAR INTEGRODIFERENTIAL EQUATIONS M. K. Dauylbaev Abstract.
Դասախոսություն Մոդելավորման համակարգեր՝ օգտագործելով Մարկովի պատահական գործընթացները Մարկովյան գործընթացների հիմնական հասկացությունները X(t) ֆունկցիան կոչվում է պատահական, եթե դրա արժեքը ցանկացած t արգումենտի համար պատահական է։
7 (), 9 Գ. Վ. Բոյկովան աշխարհի աշխարհի մասին Աբստրակտ. երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման համար գտնվել է լուծում, որը ներկայացնում է.
ԲՆԱԿԱՆ ԵՎ ՃՇՇՏ ԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ UDC 57977 ՓՈՔՐ ՈՒՇԱՑՄԱՆՈՎ ԳԾԱՅԻՆ ՍԻՆԳՈՒԼԱՐ ԽԱՆԹԱՑՎԱԾ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ ՎԵՐԱՀՍԿՈՂՈՒԹՅԱՆ ՄԱՍԻՆ Ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների թեկնածու, դոցենտ ԿՈՊԵՅԿԻՆԱ Թ Բ ԳՈՒՍԵԻՆՈՎԱ Ազգային տեխ.
Համակարգչային մոդելավորում. SMO. Դասախոսություն 2 1 Բովանդակություն Գլուխ 2. QS-ի ներկայացում Մարկովյան պատահական գործընթացով... 1 I. QS-ի դասակարգումն ըստ Քենդալի... 1 II. Մարկովյան պատահական գործընթաց... 2 III. Մարկովսկին
48 Vestnik RAU Series ֆիզիկա, մաթեմատիկական և բնական գիտություններ, 1, 28, 48-59 UDC 68136 ՀԵՌԱԿԱՅՈՒԹՅԱՆ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐԻ ՀԱՎԱՍՏՈՒԹՅԱՆ ԳՆԱՀԱՏՈՒՄ ՄԱՍ 2 Հ.Վ.
Տարբերության սխեմաների տեսության հիմնական հասկացությունները. Սկզբնական-սահմանային արժեքի խնդիրների համար տարբերությունների սխեմաների կառուցման օրինակներ: Ֆիզիկայի և տեխնիկայի մեծ թվով խնդիրներ հանգեցնում են սահմանային արժեքի կամ նախնական սահմանային արժեքի խնդիրների գծային
4 (0) 00 Բայեսյան վերլուծություն, երբ գնահատված պարամետրը պատահական նորմալ գործընթաց է: Դիտարկվում է անհայտ միջին արժեքների հաջորդականության բայեսյան գնահատման խնդիրը q q... q...
ՌՈՒՍԱՍՏԱՆԻ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ ՄԻՐԵԱ ԲԱՐՁՐԱԳՈՒՅՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԼՐԱՑՈՒՑԻՉ ԳԼՈՒԽՆԵՐ ԳԼՈՒԽ 3. ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ Աշխատանքը նվիրված է տարրերի օգտագործմամբ դինամիկ համակարգերի մոդելավորմանը.
Հաստատուն գործակիցներով ԳԾԱՅԻՆ ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՎԱՍԱՐՄԱՆՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳՆԵՐ Կրճատում մինչև մեկ-րդ կարգի հավասարման Գործնական տեսանկյունից շատ կարևոր են հաստատուն գործակիցներով գծային համակարգերը.
1 Փաստաթղթի անվանումը Ovsyannikov A.V. ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ԳՆԱՀԱՏԱԿԱՆ ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ԳԵՐԿԱՆՈՆԱՎՈՐ ՎԻՃԱԿԱԳՐԱԿԱՆ ՓՈՐՁԱՐԿՈՒՄՆԵՐՈՒՄ // West National Academy of Sciences Belarus, 009. Ser fz-mat. նավուկ. Պ.106-110
UDC 59 EV Novitskaya AF Terpugov Դիտարկված է ապրանքների խմբաքանակի օպտիմալ ծավալի որոշման խնդիրը.
Մոսկվայի պետական տեխնիկական համալսարան Ն.Ե. Բաումանի անվան հիմնարար գիտությունների ֆակուլտետի մաթեմատիկական մոդելավորման ամբիոն Ա.
Math-Net.Ru Համառուսական մաթեմատիկական պորտալ Ա. եւ տելեմեխ., 213, թիվ 7, 89 11 Օգտագործում
ՌՈՒՍԱՍՏԱՆԻ ԴԱՇՆՈՒԹՅԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ՆԱԽԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ ԿՐԱՍՆՈՅԱՐՍԿԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ UDC BBK Կազմող՝ Ն.Ա. Պինկինա ԲԱՐՁՐԱԳՈՒՅՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԲԱԺԻՆ Գծային հանրահաշիվ. Տիպիկ օրինակների լուծում. Փորձարկման տարբերակներ
Դասախոսություն 2 Գծային հավասարումների համակարգերի լուծում. 1. Քրամերի մեթոդով 3 գծային հավասարումների համակարգերի լուծում։ Սահմանում. 3 գծային հավասարումների համակարգը ձևի համակարգ է Այս համակարգում պահանջվող մեծություններն են
Բեռնվում է...