Ստուգեք, որ գծերը գտնվում են նույն հարթության վրա: Երկու ուղիղ գծերի նույն հարթությանը պատկանելու պայմանը. Հեռավորությունը կետից տող

Այս հոդվածը զուգահեռ գծերի և զուգահեռ գծերի մասին է։ Նախ տրված է հարթության վրա և տարածության մեջ զուգահեռ ուղիղների սահմանումը, ներկայացվում են նշումներ, տրվում են զուգահեռ ուղիղների օրինակներ և գրաֆիկական նկարազարդումներ։ Հաջորդիվ քննարկվում են գծերի զուգահեռության նշաններն ու պայմանները։ Եզրափակելով՝ ցույց են տրված ուղիղների զուգահեռության ապացուցման բնորոշ խնդիրների լուծումները, որոնք տրված են ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա և եռաչափ տարածության մեջ ուղիղի որոշակի հավասարումներով։

Էջի նավարկություն.

Զուգահեռ գծեր - հիմնական տեղեկատվություն:

Սահմանում.

Հարթության մեջ երկու տող են կոչվում զուգահեռ, եթե չունեն ընդհանուր կետեր։

Սահմանում.

Եռաչափ տարածության երկու տողերը կոչվում են զուգահեռ, եթե նրանք պառկած են նույն հարթության վրա և չունեն ընդհանուր կետեր։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ տարածության մեջ զուգահեռ ուղիղների սահմանման «եթե նրանք նույն հարթության մեջ են» դրույթը շատ կարևոր է: Եկեք պարզաբանենք այս կետը. եռաչափ տարածության երկու ուղիղները, որոնք չունեն ընդհանուր կետեր և չեն գտնվում նույն հարթության վրա, զուգահեռ չեն, այլ հատվում են:

Ահա զուգահեռ գծերի մի քանի օրինակ: Նոթատետրի թերթիկի հակառակ եզրերը գտնվում են զուգահեռ գծերի վրա: Ուղիղ գծերը, որոնց երկայնքով տան պատի հարթությունը հատում է առաստաղի և հատակի հարթությունները, զուգահեռ են։ Երկաթուղային ռելսերը հարթ գետնի վրա նույնպես կարող են դիտարկվել որպես զուգահեռ գծեր:

Զուգահեռ գծերը նշելու համար օգտագործեք «» նշանը: Այսինքն, եթե a և b ուղիղները զուգահեռ են, ապա կարող ենք համառոտ գրել a b:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. եթե a և b ուղիղները զուգահեռ են, ապա կարող ենք ասել, որ a ուղիղը զուգահեռ է b ուղղին, ինչպես նաև, որ b ուղիղը զուգահեռ է a ուղիղին:

Հնչեցնենք մի պնդում, որը կարևոր դեր է խաղում հարթության վրա զուգահեռ ուղիղների ուսումնասիրության մեջ. տվյալ գծի վրա չգտնվող կետով անցնում է տվյալին զուգահեռ միակ ուղիղը։ Այս պնդումն ընդունվում է որպես փաստ (դա չի կարող ապացուցվել պլանաչափության հայտնի աքսիոմների հիման վրա), և այն կոչվում է զուգահեռ ուղիղների աքսիոմ։

Տարածության դեպքում թեորեմը վավեր է. տարածության ցանկացած կետով, որը չի գտնվում տվյալ գծի վրա, անցնում է մեկ ուղիղ ուղիղ տվյալին զուգահեռ։ Այս թեորեմը հեշտությամբ ապացուցվում է՝ օգտագործելով զուգահեռ ուղիղների վերը նշված աքսիոմը (դրա ապացույցը կարող եք գտնել 10-11-րդ դասարանների երկրաչափության դասագրքում, որը նշված է հոդվածի վերջում՝ հղումների ցանկում):

Տարածության դեպքում թեորեմը վավեր է. տարածության ցանկացած կետով, որը չի գտնվում տվյալ գծի վրա, անցնում է մեկ ուղիղ ուղիղ տվյալին զուգահեռ։ Այս թեորեմը հեշտությամբ կարելի է ապացուցել՝ օգտագործելով վերը նշված զուգահեռ ուղիղների աքսիոմը։

Ուղիների զուգահեռություն - զուգահեռության նշաններ և պայմաններ:

Գծերի զուգահեռության նշանուղիղների զուգահեռ լինելու համար բավարար պայման է, այսինքն՝ պայման, որի կատարումը երաշխավորում է գծերի զուգահեռ լինելը։ Այսինքն, այս պայմանի կատարումը բավարար է գծերի զուգահեռ լինելու փաստը հաստատելու համար։

Կան նաև անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ հարթության վրա և եռաչափ տարածության մեջ ուղիղների զուգահեռության համար։

Բացատրենք «զուգահեռ գծերի համար անհրաժեշտ և բավարար պայման» արտահայտության իմաստը։

Մենք արդեն զբաղվել ենք զուգահեռ գծերի բավարար պայմանով։ Ո՞րն է «անհրաժեշտ պայմանը զուգահեռ գծերի համար»: «Անհրաժեշտ» անունից պարզ է դառնում, որ այս պայմանի կատարումն անհրաժեշտ է զուգահեռ գծերի համար։ Այսինքն, եթե գծերի զուգահեռ լինելու անհրաժեշտ պայմանը չկա, ապա ուղիղները զուգահեռ չեն։ Այսպիսով, անհրաժեշտ և բավարար պայման զուգահեռ գծերի համարպայման է, որի կատարումը և՛ անհրաժեշտ, և՛ բավարար է զուգահեռ գծերի համար։ Այսինքն՝ սա մի կողմից ուղիղների զուգահեռության նշան է, իսկ մյուս կողմից՝ սա մի հատկություն է, որն ունեն զուգահեռ ուղիղները։

Նախքան ուղիղների զուգահեռության համար անհրաժեշտ և բավարար պայման ձևակերպելը, նպատակահարմար է հիշել մի քանի օժանդակ սահմանումներ։

Հատված գիծմի ուղիղ է, որը հատում է տրված երկու չհամընկնող ուղիղները։

Երբ երկու ուղիղ գծերը հատվում են լայնակի հետ, ձևավորվում են ութ չմշակված: Այսպես կոչված խաչաձեւ պառկած, համապատասխանԵվ միակողմանի անկյուններ. Եկեք դրանք ցույց տանք գծագրում:

Թեորեմ.

Եթե ​​հարթության մեջ երկու ուղիղները հատվում են լայնակի միջոցով, ապա դրանց զուգահեռ լինելու համար անհրաժեշտ է և բավարար, որ հատվող անկյունները հավասար լինեն, կամ համապատասխան անկյունները հավասար լինեն, կամ միակողմանի անկյունների գումարը հավասար լինի 180-ի: աստիճաններ։

Եկեք ցույց տանք հարթության վրա գծերի զուգահեռության այս անհրաժեշտ և բավարար պայմանի գրաֆիկական նկարազարդումը:

Այս պայմանների ապացույցները կարող եք գտնել 7-9-րդ դասարանների երկրաչափության դասագրքերում ուղիղների զուգահեռության համար:

Նկատի ունեցեք, որ այս պայմանները կարող են օգտագործվել նաև եռաչափ տարածության մեջ. գլխավորն այն է, որ երկու ուղիղ գծերը և հատվածը գտնվում են նույն հարթության վրա:

Ահա ևս մի քանի թեորեմներ, որոնք հաճախ օգտագործվում են ուղիղների զուգահեռությունն ապացուցելու համար։

Թեորեմ.

Եթե ​​հարթության երկու ուղիղները զուգահեռ են երրորդ ուղղին, ապա դրանք զուգահեռ են: Այս չափանիշի ապացույցը բխում է զուգահեռ ուղիղների աքսիոմից։

Նմանատիպ պայման կա եռաչափ տարածության զուգահեռ գծերի համար։

Թեորեմ.

Եթե ​​տարածության մեջ երկու ուղիղ զուգահեռ են երրորդ գծին, ապա դրանք զուգահեռ են: Այս չափանիշի ապացույցը քննարկվում է 10-րդ դասարանի երկրաչափության դասերին։

Եկեք նկարագրենք նշված թեորեմները:

Ներկայացնենք ևս մեկ թեորեմ, որը թույլ է տալիս ապացուցել հարթության վրա ուղիղների զուգահեռությունը։

Թեորեմ.

Եթե ​​հարթության երկու ուղիղները ուղղահայաց են երրորդ գծին, ապա դրանք զուգահեռ են։

Տիեզերքում ուղիղների համար կա նմանատիպ թեորեմ:

Թեորեմ.

Եթե ​​եռաչափ տարածության երկու ուղիղները ուղղահայաց են նույն հարթությանը, ապա դրանք զուգահեռ են։

Եկեք նկարենք այս թեորեմներին համապատասխան նկարներ։

Վերը ձևակերպված բոլոր թեորեմները, չափանիշները և անհրաժեշտ ու բավարար պայմանները հիանալի են երկրաչափության մեթոդներով ուղիղների զուգահեռությունն ապացուցելու համար։ Այսինքն՝ երկու տրված ուղիղների զուգահեռությունն ապացուցելու համար պետք է ցույց տալ, որ դրանք զուգահեռ են երրորդ ուղղին, կամ ցույց տալ խաչաձև ընկած անկյունների հավասարությունը և այլն։ Ավագ դպրոցում երկրաչափության դասերին լուծվում են նմանատիպ բազմաթիվ խնդիրներ։ Այնուամենայնիվ, պետք է նշել, որ շատ դեպքերում հարմար է օգտագործել կոորդինատային մեթոդը՝ հարթության վրա կամ եռաչափ տարածության մեջ ուղիղների զուգահեռությունն ապացուցելու համար։ Ձևակերպենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում նշված ուղիղների զուգահեռության համար անհրաժեշտ և բավարար պայմանները։

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղների զուգահեռությունը:

Հոդվածի այս պարբերությունում մենք կձևակերպենք անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ զուգահեռ գծերի համարուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում՝ կախված այս ուղիղները սահմանող հավասարումների տեսակից, և մենք կտանք նաև բնորոշ խնդիրների մանրամասն լուծումներ։

Սկսենք Օքսի ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի հարթության վրա երկու ուղիղների զուգահեռության պայմանից։ Նրա ապացույցը հիմնված է գծի ուղղության վեկտորի սահմանման և հարթության վրա գծի նորմալ վեկտորի սահմանման վրա։

Թեորեմ.

Որպեսզի հարթության մեջ երկու չհամընկնող ուղիղները զուգահեռ լինեն, անհրաժեշտ է և բավարար, որ այս ուղիղների ուղղության վեկտորները լինեն համագիծ, կամ այս ուղիղների նորմալ վեկտորները լինեն համագիծ, կամ մեկ ուղիղի ուղղության վեկտորը ուղղահայաց լինի նորմալին։ երկրորդ տողի վեկտորը.

Ակնհայտ է, որ հարթության վրա երկու ուղիղների զուգահեռության պայմանը կրճատվում է մինչև (ուղիների ուղղության վեկտորներ կամ ուղիղների նորմալ վեկտորներ) կամ մինչև (մեկ ուղիղի ուղղության վեկտոր և երկրորդ տողի նորմալ վեկտոր): Այսպիսով, եթե և են a և b ուղիղների ուղղության վեկտորները, և Եվ համապատասխանաբար a և b ուղիղների նորմալ վեկտորներ են, ապա a և b ուղիղների զուգահեռության համար անհրաժեշտ և բավարար պայմանը կգրվի այսպես. , կամ , կամ, որտեղ t-ը իրական թիվ է: Իր հերթին, a և b ուղիղների ուղեցույցների և (կամ) նորմալ վեկտորների կոորդինատները հայտնաբերվում են ուղիղների հայտնի հավասարումների միջոցով:

Մասնավորապես, եթե ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում a ուղիղը Oxy-ը սահմանում է ձևի ընդհանուր ուղիղ հավասարումը. և ուղիղ գիծ բ - , ապա այս ուղիղների նորմալ վեկտորներն ունեն կոորդինատներ և համապատասխանաբար, իսկ a և b ուղիղների զուգահեռության պայմանը կգրվի որպես .

Եթե ​​a ուղիղը համապատասխանում է ձևի անկյունային գործակից ունեցող ուղիղի և b-ի հավասարմանը, ապա այս ուղիղների նորմալ վեկտորները ունեն կոորդինատներ և, և այդ ուղիղների զուգահեռության պայմանը ձև է ստանում. . Հետևաբար, եթե ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության գծերը զուգահեռ են և կարող են սահմանվել անկյունային գործակիցներով ուղիղների հավասարումներով, ապա ուղիղների անկյունային գործակիցները հավասար կլինեն։ Եվ հակառակը. եթե ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա չհամընկնող գծերը կարելի է ճշտել հավասար անկյունային գործակիցներով գծի հավասարումներով, ապա այդպիսի ուղիղները զուգահեռ են։

Եթե ​​ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում a և b ուղիղները որոշվում են ձևի հարթության վրա գծի կանոնական հավասարումներով. Եվ , կամ ձևի հարթության վրա ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ Եվ համապատասխանաբար, այս ուղիղների ուղղության վեկտորներն ունեն կոորդինատներ և , իսկ a և b ուղիղների զուգահեռության պայմանը գրվում է որպես .

Դիտարկենք մի քանի օրինակների լուծումներ:

Օրինակ.

Արդյո՞ք ուղիղները զուգահեռ են: Իսկ ?

Լուծում.

Եկեք վերաշարադրենք գծի հավասարումը հատվածներում՝ գծի ընդհանուր հավասարման տեսքով. . Այժմ մենք կարող ենք տեսնել, որ դա գծի նորմալ վեկտորն է , a-ն գծի նորմալ վեկտորն է։ Այս վեկտորները համագիծ չեն, քանի որ չկա t իրական թիվ, որի հավասարությունը ( ) Հետևաբար, հարթության վրա ուղիղների զուգահեռության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը բավարարված չէ, հետևաբար, տրված ուղիղները զուգահեռ չեն։

Պատասխան.

Ոչ, գծերը զուգահեռ չեն։

Օրինակ.

Արդյո՞ք ուղիղ գծերը զուգահեռ են:

Լուծում.

Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը իջեցնենք անկյունային գործակից ունեցող ուղիղ գծի հավասարմանը. Ակնհայտ է, որ ուղիղների հավասարումները և նույնը չեն (այս դեպքում տրված ուղիղները նույնը կլինեին) և ուղիղների անկյունային գործակիցները հավասար են, հետևաբար սկզբնական ուղիղները զուգահեռ են։

Ուղիղ գծերը ընկած են նույն հարթության վրա: եթե դրանք 1) հատվում են, 2) զուգահեռ են:

L 1 և L 2 ուղիղների համար պատկանել նույն հարթությանը  այնպես, որ վեկտորները Մ 1 Մ 2 =(x 2 -x 1 ;y 2 -y 1 ;z 2 -z 1 ), ք 1 =(l 1 ;m 1 ;n 1 ) և ք 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) եղել են համահարթակ: Այսինքն, ըստ երեք վեկտորների համակողմանիության պայմանի, խառը արտադրյալը Մ 1 Մ 2 ·ներ 1 ·ներ 2 =Δ==0 (8)

Որովհետեւ Երկու ուղիղների զուգահեռության պայմանն ունի ձև՝ այնուհետև L 1 և L 2  ուղիղների հատման համար, որպեսզի նրանք բավարարեն (8) պայմանը և այնպես, որ համամասնություններից գոնե մեկը խախտվի։

Օրինակ. Ուսումնասիրեք տողերի հարաբերական դիրքերը.

Ուղիղ գծի ուղղության վեկտոր L 1 – ք 1 =(1;3;-2): L 2 ուղիղը սահմանվում է որպես α 1 2 հարթությունների հատում. x-y-z+1=0; α 2՝ x+y+2z-2=0. Որովհետեւ L 2 ուղիղը երկու հարթություններում է, այնուհետև այն, և հետևաբար նրա ուղղության վեկտորը, ուղղահայաց են նորմալներին n 1 Եվ n 2 . Հետեւաբար, ուղղության վեկտորը ս 2 վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալն է n 1 Եվ n 2 , այսինքն. ք 2 =n 1 X n 2 ==-ես-3ժ+2կ.

Դա. ս 1 =-ս 2 , Սա նշանակում է, որ գծերը կամ զուգահեռ են կամ համընկնում:

Ստուգելու համար, թե արդյոք ուղիղները համընկնում են, M 0 (1;2;-1)L 1 կետի կոորդինատները փոխարինում ենք L 2 ընդհանուր հավասարումների մեջ՝ 1-2+2+1=0 - սխալ հավասարություններ, այսինքն. կետ M 0 L 2,

ուստի գծերը զուգահեռ են։

Հեռավորությունը կետից մինչև գիծ:

Հեռավորությունը M 1 կետից (x 1;y 1;z 1) մինչև L ուղիղ գիծը, որը տրված է կանոնական L հավասարմամբ: կարող է հաշվարկվել վեկտորի արտադրյալի միջոցով:

Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումից հետևում է, որ M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L կետը և ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը. ք=(l;m;n)

Կառուցենք զուգահեռագիծ՝ օգտագործելով վեկտորները քԵվ Մ 0 Մ 1 . Այնուհետեւ M 1 կետից L ուղիղ գիծ հեռավորությունը հավասար է այս զուգահեռագծի h բարձրությանը։ Որովհետեւ S=| ք x Մ 0 Մ 1 |=ը| ք|, ապա

h= (9)

Տիեզերքում երկու ուղիղ գծերի միջև հեռավորությունը:

L 1: և L 2:

1) L 1 L 2 .

դ=

2) L 1 և L 2 - հատում

դ=

Ուղիղ գծի և հարթության հարաբերական դիրքը տարածության մեջ:

Տիեզերքում ուղիղ գծի և հարթության տեղակայման համար հնարավոր է 3 դեպք.

ուղիղ գիծը և հարթությունը հատվում են մեկ կետում.

ուղիղ գիծը և հարթությունը զուգահեռ են.

ուղիղ գիծը գտնվում է հարթության մեջ:

Թող ուղիղ գիծը տրվի իր կանոնական հավասարմամբ, իսկ հարթությունը՝ ընդհանուրով

α՝ Ах+Бу+Сz+D=0

Ուղիղ գծի հավասարումները տալիս են M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L կետը և ուղղության վեկտորը ք=(l;m;n), իսկ հարթության հավասարումը նորմալ վեկտոր է n=(A;B;C):

1. Գծի և հարթության հատում.

Եթե ​​ուղիղը և հարթությունը հատվում են, ապա ուղիղի ուղղության վեկտորը քզուգահեռ չէ α հարթությանը և, հետևաբար, ուղղանկյուն չէ հարթության նորմալ վեկտորին n.Նրանք. դրանց կետային արտադրանքը nք≠0 կամ դրանց կոորդինատների միջոցով,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

Որոշենք M կետի կոորդինատները. L ուղիղ գծի և α հարթության հատման կետերը.

Ուղղի կանոնական հավասարումից անցնենք պարամետրայինին` , tR

Փոխարինենք այս հարաբերությունները հարթության հավասարման մեջ

A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0,z 0 – հայտնի են, եկեք գտնենք t պարամետրը.

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

եթե Am+Bn+Cp≠0, ապա հավասարումն ունի եզակի լուծում, որը որոշում է M կետի կոորդինատները.

t M = -→ (11)

Անկյուն ուղիղ գծի և հարթության միջև: Զուգահեռության և ուղղահայացության պայմանները.

L ուղիղ գծի միջև φ անկյուն :

ուղեցույց վեկտորով ք=(l;m;n) և հարթություն

՝ Ах+Ву+Сz+D=0 նորմալ վեկտորով n=(A;B;C) տատանվում է 0˚-ից (զուգահեռ ուղիղի և հարթության դեպքում) մինչև 90˚ (ուղղահայաց ուղիղի և հարթության դեպքում): (Վեկտորի միջև եղած անկյունը քև դրա պրոյեկցիան α հարթության վրա):

– վեկտորների միջև անկյուն քԵվ n.

Որովհետեւ L ուղիղ գծի և  հարթության միջև  անկյունը լրացնում է  անկյունը, ապա sin φ=sin(-)=cos =- (բացարձակ արժեքը համարվում է, քանի որ φ անկյունը սուր sin φ=sin( -) կամ sin φ =sin(+) կախված L ուղիղ գծի ուղղությունից)

Գլուխ IV. Ուղիղ գծեր և հարթություններ տիեզերքում: Պոլիեդրա

§ 46. Գծերի փոխադարձ դասավորությունը տարածության մեջ

Տիեզերքում երկու տարբեր գծեր կարող են կամ չեն կարող ընկած լինել նույն հարթության մեջ: Դիտարկենք համապատասխան օրինակներ։

Թող A, B, C կետերը չընկնեն նույն ուղիղ գծի վրա: Նրանց միջով գծենք ինքնաթիռ Ռև ընտրել S կետ, որը չի պատկանում հարթությանը Ռ(նկ. 130):

Այնուհետև AB և BC ուղիղները գտնվում են նույն հարթության վրա, մասնավորապես հարթության վրա Ռ, ուղիղ գծերը AS և CB չեն գտնվում նույն հարթության վրա: Իսկապես, եթե նրանք պառկեն նույն հարթության մեջ, ապա A, B, C, S կետերը նույնպես կլինեն այս հարթության մեջ, ինչը անհնար է, քանի որ S-ը չի գտնվում A, B, C կետերով անցնող հարթության մեջ։

Երկու տարբեր ուղիղներ, որոնք գտնվում են նույն հարթության վրա և չեն հատվում, կոչվում են զուգահեռ: Համընկնող ուղիղները կոչվում են նաև զուգահեռ: Եթե ​​ուղիղ 1 1 և 1 2 զուգահեռ, ապա գրիր 1 1 || 1 2 .

Այսպիսով, 1 1 || 1 2, եթե, նախ, կա ինքնաթիռ Ռայնպիսին է, որ
1 1 ՌԵվ 1 2 Ռև երկրորդ, կամ 1 1 1 2 = կամ 1 1 = 1 2 .

Երկու ուղիղները, որոնք չեն գտնվում նույն հարթության վրա, կոչվում են թեք գծեր: Ակնհայտ է, որ հատվող ուղիղները չեն հատվում և զուգահեռ չեն:

Եկեք ապացուցենք զուգահեռ ուղիղների մեկ կարևոր հատկություն, որը կոչվում է զուգահեռության անցողիկություն։

Թեորեմ. Եթե ​​երկու ուղիղները զուգահեռ են երրորդին, ապա դրանք զուգահեռ են միմյանց:

Թող 1 1 || 1 2 և 1 2 || 1 3. Դա անհրաժեշտ է ապացուցել 1 1 || 1 3

Եթե ​​ուղիղ 1 1 , 1 2 , 1 3 պառկած են նույն հարթության մեջ, ապա այս պնդումն ապացուցված է պլանաչափությամբ: Մենք կենթադրենք, որ ուղիղ գծեր 1 1 , 1 2 , 1 3-ը մի պառկեք նույն հարթության մեջ:

Ուղիղ գծերի միջոցով 1 1 և 1 2 նկարիր ինքնաթիռ Ռ 1 և միջոցով 1 2 և 1 3 - ինքնաթիռ Ռ 2 (նկ. 131):

Նշենք, որ ուղիղ գիծը 1 3-ը պարունակում է առնվազն մեկ M կետ, որը չի պատկանում հարթությանը
Ռ 1 .

Ուղիղ գծով հարթություն անցկացրեք և նշեք M Ռ 3, որը հատում է հարթությունը Ռ 2 ուղիղ գծի երկայնքով լ. Ապացուցենք դա լհամընկնում է 1 3. Մենք դա կապացուցենք «հակասությամբ»։

Ենթադրենք, որ ուղիղ գիծը 1 չի համընկնում ուղիղ գծի հետ 1 3. Հետո 1 հատում է մի գիծ 1 2 ինչ-որ պահի A. Հետևում է, որ ինքնաթիռը Ռ 3-ն անցնում է Ա կետով Ռ 1 և ուղիղ 1 1 Ռ 1 և հետևաբար համընկնում է ինքնաթիռի հետ Ռ 1 . Այս եզրակացությունը հակասում է այն փաստին, որ կետը Մ Ռ 3-ը ինքնաթիռին չի պատկանում Ռ 1 .
Հետևաբար, մեր ենթադրությունը ճիշտ չէ, և հետևաբար 1 = 1 3 .

Այսպիսով, ապացուցվել է, որ ուղիղ գծերը 1 1 և 1 3-ը պառկած են նույն հարթության մեջ Ռ 3. Եկեք ապացուցենք, որ ուղիղ գծերը 1 1 և 1 3-ը չեն հատվում:

Իսկապես, եթե 1 1 և 1 3-ը հատվում է, օրինակ, B կետում, ապա հարթությունը Ռ 2-ը կանցներ ուղիղ գծով 1 2 և B կետով 1 1 և, հետևաբար, կհամընկնի Ռ 1, ինչը անհնար է:

Առաջադրանք.Ապացուցեք, որ միակողմանի կողմերով անկյունները հավասար չափեր ունեն:

Թող MAN և M 1 A 1 N 1 անկյունները ունենան միակողմանի կողմեր. AM ճառագայթը ուղղորդված է A 1 M 1 ճառագայթի հետ, իսկ AN ճառագայթը A 1 N 1 ճառագայթի հետ (նկ. 132):

AM և A 1 M 1 ճառագայթների վրա մենք կդնենք AB և A 1 B 1 հատվածները, որոնք հավասար են երկարությամբ: Հետո

|| եւ |ԲԲ 1 | = |ԱԱ 1 |

ինչպես զուգահեռագծի հակառակ կողմերը:

Նմանապես, AN և A 1 N 1 ճառագայթների վրա մենք գծագրելու ենք AC և A 1 C 1 հավասար երկարությամբ հատվածները: Հետո

|| եւ |ՍԴ 1 | = |ԱԱ 1 |

Զուգահեռության անցողիկությունից հետևում է, որ || . Եվ քանի որ |ԲԲ 1 | = |CC 1 | , ապա BB 1 C 1 C զուգահեռագիծ է, և հետևաբար |BC| = |B 1 C 1 |.
Հետևաբար, /\ ABC /\ A 1 B 1 C 1 և.

«Ստացեք A» տեսադասընթացը ներառում է բոլոր այն թեմաները, որոնք անհրաժեշտ են մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությունը 60-65 միավորով հաջողությամբ հանձնելու համար: Մաթեմատիկայի պրոֆիլի միասնական պետական ​​քննության 1-13-րդ առաջադրանքները ամբողջությամբ։ Հարմար է նաև մաթեմատիկայի հիմնական միասնական պետական ​​քննություն հանձնելու համար: Եթե ​​ցանկանում եք միասնական պետական ​​քննություն հանձնել 90-100 միավորով, ապա պետք է 1-ին մասը լուծեք 30 րոպեում և առանց սխալների։

Պետական ​​միասնական քննության նախապատրաստական ​​դասընթաց 10-11-րդ դասարանների, ինչպես նաև ուսուցիչների համար։ Այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության 1-ին մասի (առաջին 12 խնդիրների) և 13-րդ (եռանկյունաչափության) առաջադրանքները լուծելու համար: Իսկ սա միասնական պետական ​​քննության 70 միավորից ավելին է, և ոչ 100 բալանոց ուսանողը, ոչ հումանիտար առարկան առանց դրանց չեն կարող։

Բոլոր անհրաժեշտ տեսությունը. Միասնական պետական ​​քննության արագ լուծումներ, ծուղակներ և գաղտնիքներ. FIPI Task Bank-ի 1-ին մասի բոլոր ընթացիկ առաջադրանքները վերլուծվել են: Դասընթացը լիովին համապատասխանում է 2018 թվականի միասնական պետական ​​քննության պահանջներին։

Դասընթացը պարունակում է 5 մեծ թեմա՝ յուրաքանչյուրը 2,5 ժամ: Յուրաքանչյուր թեմա տրված է զրոյից, պարզ ու հստակ։

Հարյուրավոր միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքներ. Բառի խնդիրներ և հավանականությունների տեսություն. Պարզ և հեշտ հիշվող ալգորիթմներ խնդիրների լուծման համար: Երկրաչափություն. Տեսություն, տեղեկատու նյութ, բոլոր տեսակի միասնական պետական ​​քննական առաջադրանքների վերլուծություն. Ստերեոմետրիա. Բարդ լուծումներ, օգտակար խաբեբա թերթիկներ, տարածական երևակայության զարգացում: Եռանկյունաչափությունը զրոյից մինչև խնդիր 13. Խճճվելու փոխարեն հասկացողություն: Բարդ հասկացությունների հստակ բացատրություններ: Հանրահաշիվ. Արմատներ, հզորություններ և լոգարիթմներ, ֆունկցիա և ածանցյալ: Պետական ​​միասնական քննության 2-րդ մասի բարդ խնդիրների լուծման հիմք.

Տիեզերքում երկու տողերի համար հնարավոր է չորս դեպք.

Ուղիղ գծերը համընկնում են;

Գծերը զուգահեռ են (բայց չեն համընկնում);

Գծերը հատվում են;

Ուղիղ գծերը խաչվում են, այսինքն. չունեն ընդհանուր կետեր և զուգահեռ չեն:

Դիտարկենք ուղիղ գծերը նկարագրելու երկու եղանակ. կանոնական հավասարումներ և ընդհանուր հավասարումներ. Թող L 1 և L 2 տողերը տրվեն կանոնական հավասարումներով.

L 1: (x - x 1) / լ 1 = (y - y 1) / մ 1 = (z - z 1) / n 1, L 2: (x - x 2) / լ 2 = (y - y 2) / մ 2 = (z - z 2) / n 2 (6.9)

Իր կանոնական հավասարումներից յուրաքանչյուր տողի համար մենք անմիջապես որոշում ենք դրա վրա գտնվող կետը M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) ∈ L 2 և կոորդինատները ուղղության վեկտորների s 1 = (l 1; m 1; n 1) L 1-ի համար, s 2 = (l 2; m 2; n 2) L 2-ի համար:

Եթե ​​ուղիղները համընկնում են կամ զուգահեռ են, ապա դրանց ուղղության վեկտորները s 1 և s 2 համագիծ են, ինչը համարժեք է այս վեկտորների կոորդինատների հարաբերությունների հավասարությանը.

լ 1 / լ 2 = մ 1 / մ 2 = n 1 / n 2: (6.10)

Եթե ​​տողերը համընկնում են, ապա M 1 M 2 վեկտորը համագիծ է ուղղության վեկտորներին.

(x 2 - x 1) / լ 1 = (y 2 - y 1) / մ 1 = (z 2 - z 1) / n 1: (6.11)

Այս կրկնակի հավասարությունը նշանակում է նաև, որ M 2 կետը պատկանում է L 1 տողին։ Հետևաբար, տողերի համընկնման պայմանը (6.10) և (6.11) հավասարությունները միաժամանակ բավարարելն է։

Եթե ​​ուղիղները հատվում կամ հատվում են, ապա դրանց ուղղության վեկտորները ոչ սյունագիծ են, այսինքն. (6.10) պայմանը խախտված է. Հատվող գծերը գտնվում են նույն հարթության վրա և, հետևաբար, վեկտորներ s 1, s 2 և M 1 M 2 են համակողմանիերրորդ կարգի որոշիչ, կազմված իրենց կոորդինատներից (տես 3.2):

Պայման (6.12) բավարարվում է չորս դեպքերից երեքում, քանի որ Δ ≠ 0-ի համար ուղիղները չեն պատկանում նույն հարթությանը և հետևաբար հատվում են։

Եկեք միասին հավաքենք բոլոր պայմանները.

Գծերի հարաբերական դիրքը բնութագրվում է համակարգի լուծումների քանակով (6.13): Եթե ​​տողերը համընկնում են, ապա համակարգը ունի անսահման շատ լուծումներ։ Եթե ​​գծերը հատվում են, ապա այս համակարգը ունի յուրահատուկ լուծում. Զուգահեռացման կամ հատման դեպքում ուղղակի լուծումներ չկան։ Վերջին երկու դեպքերը կարելի է առանձնացնել՝ գտնելով ուղիղների ուղղության վեկտորները։ Դա անելու համար բավական է հաշվարկել երկուսը վեկտորային արվեստի գործեր n 1 × n 2 և n 3 × n 4, որտեղ n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3,4: Եթե ​​ստացված վեկտորները համագիծ են, ապա տրված ուղիղները զուգահեռ են։ Հակառակ դեպքում նրանք խաչասերվում են։

Օրինակ 6.4.

L 1 ուղիղ գծի s 1 ուղղության վեկտորը գտնում ենք այս ուղիղ գծի կանոնական հավասարումների միջոցով՝ s 1 = (1; 3; -2): L 2 ուղիղ գծի ուղղության s 2 վեկտորը հաշվարկվում է հարթությունների նորմալ վեկտորների վեկտորային արտադրյալի միջոցով, որոնց խաչմերուկն այն է.

Քանի որ s 1 = -s 2, ուրեմն ուղիղները զուգահեռ են կամ համընկնում են։ Եկեք պարզենք, թե այս իրավիճակներից որն է իրականացվում այս տողերի համար: Դա անելու համար մենք M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 կետի կոորդինատները փոխարինում ենք L 2 ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումների մեջ: Դրանցից առաջինի համար մենք ստանում ենք 1 = 0: Հետևաբար, M 0 կետը չի պատկանում L 2 տողին, և քննարկվող ուղիղները զուգահեռ են:

Անկյուն ուղիղ գծերի միջև. Երկու ուղիղ գծերի միջև անկյունը կարելի է գտնել օգտագործելով ուղղության վեկտորներուղիղ Ուղիղ գծերի միջև սուր անկյունը հավասար է դրանց ուղղության վեկտորների միջև եղած անկյան հետ (նկ. 6.5) կամ լրացուցիչ է դրան, եթե ուղղության վեկտորների միջև անկյունը բութ է: Այսպիսով, եթե L 1 և L 2 տողերի համար հայտնի են նրանց ուղղության վեկտորները s x և s 2, ապա այս գծերի միջև φ սուր անկյունը որոշվում է սկալյար արտադրյալի միջոցով.

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Օրինակ՝ թողնենք s i = (l i; m i; n i), i = 1, 2: Օգտագործելով (2.9) և (2.14) բանաձևերը՝ հաշվարկելու համար վեկտորի երկարությունըև կոորդինատներում սկալյար արտադրյալը, մենք ստանում ենք