Բաշխումը համարվում է նորմալ, եթե. Պատահական փոփոխականի նորմալ բաշխումը և երեք սիգմայի կանոնը: Հավանականության նորմալ բաշխման ֆունկցիա

Հավանականությունների տեսությունը դիտարկում է բավականին մեծ թվով տարբեր բաշխման օրենքներ: Վերահսկիչ գծապատկերների կառուցման հետ կապված խնդիրները լուծելու համար դրանցից միայն մի քանիսն են հետաքրքրում: Դրանցից ամենակարեւորն է նորմալ բաշխման օրենքը, որն օգտագործվում է կառավարման գծապատկերներ կառուցելու համար, որոնք օգտագործվում են քանակական հսկողություն, այսինքն. երբ գործ ունենք շարունակական պատահական փոփոխականի հետ։ Բաշխման նորմալ օրենքը հատուկ տեղ է զբաղեցնում բաշխման այլ օրենքների շարքում: Սա բացատրվում է նրանով, որ, նախ, այն առավել հաճախ հանդիպում է պրակտիկայում, և, երկրորդ, դա սահմանափակող օրենք է, որին մոտենում են բաշխման այլ օրենքներ շատ սովորական բնորոշ պայմաններում։ Ինչ վերաբերում է երկրորդ հանգամանքին, ապա հավանականության տեսությամբ ապացուցված է, որ գումարը բավարար է մեծ թիվանկախ (կամ թույլ կախված) պատահական փոփոխականները, որոնք ենթակա են բաշխման ցանկացած օրենքների (ենթակա են որոշ շատ թույլ սահմանափակումների), մոտավորապես ենթարկվում են սովորական օրենքին, և դա ճիշտ է, որքան ճշգրիտ, որքան մեծ լինի պատահական փոփոխականների թիվը: Գործնականում հանդիպող պատահական փոփոխականների մեծ մասը, ինչպիսիք են, օրինակ, չափման սխալները, կարող են ներկայացվել որպես շատ մեծ թվով համեմատաբար փոքր տերմինների գումար՝ տարրական սխալներ, որոնցից յուրաքանչյուրը պայմանավորված է առանձին պատճառով՝ անկախ մյուսները. Նորմալ օրենքը հայտնվում է այն դեպքերում, երբ պատահական փոփոխական է Xմեծ թվով տարբեր գործոնների արդյունք է: Յուրաքանչյուր գործոն առանձին արժե Xմի փոքր ազդում է, և անհնար է նշել, թե որն է ավելի շատ ազդում, քան մյուսները:

Նորմալ բաշխում(Լապլասի–Գաուսական բաշխում) – շարունակականի հավանականության բաշխում պատահական փոփոխական Xայնպիսին, որ հավանականության բաշխման խտությունը - ¥-ի համար<х< + ¥ принимает действительное значение:

Exp (3)

Այսինքն, նորմալ բաշխումը բնութագրվում է երկու պարամետրով m և s, որտեղ m-ը մաթեմատիկական ակնկալիքն է. s-ը նորմալ բաշխման ստանդարտ շեղումն է:

Արժեք ս 2 նորմալ բաշխման շեղումն է:

Մաթեմատիկական ակնկալիքը m բնութագրում է բաշխման կենտրոնի դիրքը, իսկ ստանդարտ շեղումը s (SD) դիսպերսիայի հատկանիշն է (նկ. 3):

f(x) f(x)

Գծապատկեր 3 – Բաշխման նորմալ խտության ֆունկցիաներ՝

ա) տարբեր մաթեմատիկական ակնկալիքներ m; բ) տարբեր ստանդարտ շեղումներ s.

Այսպիսով, արժեքը μ որոշվում է աբսցիսայի առանցքի վրա բաշխման կորի դիրքով: Չափս μ - նույնը, ինչ պատահական փոփոխականի չափը X. Աճով մաթեմատիկական ակնկալիքերկու գործառույթներն էլ զուգահեռաբար տեղափոխվում են աջ: Նվազող դիսպերսիայով ս 2 խտությունը գնալով ավելի է կենտրոնանում մ-ի շուրջ, մինչդեռ բաշխման ֆունկցիան դառնում է ավելի կտրուկ:

σ-ի արժեքը որոշում է բաշխման կորի ձևը: Քանի որ բաշխման կորի տակ գտնվող տարածքը միշտ պետք է հավասար լինի միասնությանը, քանի որ σ մեծանում է, բաշխման կորը դառնում է ավելի հարթ: Նկ. Նկար 3.1-ում ներկայացված են երեք կորեր տարբեր σ-ի համար. σ1 = 0.5; σ2 = 1.0; σ3 = 2.0:

Նկար 3.1 – Նորմալ բաշխման խտության ֆունկցիաներըտարբեր ստանդարտ շեղումներ s.

Բաշխման ֆունկցիան (ինտեգրալ ֆունկցիա) ունի ձևը (նկ. 4).

(4)

Նկար 4 – Ինտեգրալ (ա) և դիֆերենցիալ (բ) նորմալ բաշխման ֆունկցիաներ

Հատկապես կարևոր է նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականի գծային փոխակերպումը X, որից հետո ստացվում է պատահական փոփոխական Զմաթեմատիկական ակնկալիքով 0 և շեղում 1: Այս փոխակերպումը կոչվում է նորմալացում.

Այն կարող է իրականացվել յուրաքանչյուր պատահական փոփոխականի համար: Նորմալացումը թույլ է տալիս նորմալ բաշխման բոլոր հնարավոր տարբերակները կրճատել մեկ դեպքի` m = 0, s = 1:

Նորմալ բաշխումը m = 0, s = 1-ով կոչվում է նորմալացված նորմալ բաշխում (ստանդարտացված).

Ստանդարտ նորմալ բաշխում(ստանդարտ Լապլասի–Գաուսի բաշխում կամ նորմալացված նորմալ բաշխում) ստանդարտացված նորմալ պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխումն է։ Զ, որի բաշխման խտությունը հավասար է.

ժամը - ¥<զ< + ¥

Ֆունկցիոնալ արժեքներ Ф(z)որոշվում է բանաձևով.

(7)

Ֆունկցիոնալ արժեքներ Ф(z)և խտությունը f(z)նորմալացված նորմալ բաշխումը հաշվարկվում և աղյուսակավորված է: Աղյուսակը կազմված է միայն դրական արժեքների համար զԱհա թե ինչու:

Զ (–զ) = 1–Ф(z) (8)

Օգտագործելով այս աղյուսակները, դուք կարող եք որոշել ոչ միայն տվյալի համար նորմալացված նորմալ բաշխման ֆունկցիայի և խտության արժեքները: զ, այլ նաև ընդհանուր նորմալ բաշխման ֆունկցիայի արժեքները, քանի որ.

; (9)

. 10)

Շատ խնդիրներում, որոնք ներառում են նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականներ, անհրաժեշտ է որոշել պատահական փոփոխականի առաջացման հավանականությունը: X, ենթարկվում է նորմալ օրենքին m և s պարամետրերով, որոշակի տարածքի համար: Նման բաժինը կարող է լինել, օրինակ, հանդուրժողականության դաշտը վերին արժեքի պարամետրի համար Uմինչև հատակը Լ.

ից միջակայքում ընկնելու հավանականությունը X 1 դեպի X 2-ը կարող է որոշվել բանաձևով.

Այսպիսով, պատահական փոփոխականին հարվածելու հավանականությունը (պարամետրի արժեքը) Xհանդուրժողականության դաշտում որոշվում է բանաձևով

Դուք կարող եք գտնել պատահական փոփոխականի հավանականությունը Xկլինի մ-ի սահմաններում կս . համար ստացված արժեքները կ=1,2 և 3-ը հետևյալն են (տես նաև Նկար 5).

Այսպիսով, եթե մի արժեք հայտնվում է երեք սիգմա շրջանից դուրս, որը պարունակում է բոլոր հնարավոր արժեքների 99,73%-ը, և նման իրադարձության հավանականությունը շատ փոքր է (1:270), ապա պետք է համարել, որ խնդրո առարկա արժեքը նույնպես եղել է. փոքր կամ չափազանց մեծ ոչ թե պատահական փոփոխության պատճառով, այլ հենց գործընթացի զգալի խախտման պատճառով, որը կարող է առաջացնել բաշխման բնույթի փոփոխություններ:

Երեք սիգմա սահմանների ներսում ընկած տարածքը նույնպես կոչվում է վիճակագրական հանդուրժողականության տարածքհամապատասխան մեքենա կամ գործընթաց:

համեմատած բաշխումների այլ տեսակների հետ։ Այս բաշխման հիմնական առանձնահատկությունն այն է, որ բոլոր մյուս բաշխման օրենքները հակված են այս օրենքին՝ թեստերի քանակի անսահման կրկնությամբ: Ինչպե՞ս է առաջանում այս բաշխումը:

Պատկերացնենք, որ ձեռքի դինամոմետր վերցնելով՝ դուք գտնվում եք ձեր քաղաքի ամենամարդաշատ վայրում։ Իսկ կողքով անցնողներին առաջարկում եք ուժերը չափել՝ աջ կամ ձախ ձեռքով դինամոմետրը սեղմելով։ Դուք ուշադիր գրեք դինամոմետրի ցուցանիշները: Որոշ ժամանակ անց, բավականաչափ մեծ թվով թեստերով, դուք գծագրեցիք դինամոմետրի ցուցումները աբսցիսայի առանցքի վրա, և այն մարդկանց թիվը, ովքեր «քամեցին» այս ցուցանիշը օրդինատների առանցքի վրա: Ստացված կետերը միացված էին հարթ գծով։ Արդյունքը 9.8-ում ներկայացված կորն է: Այս կորի տեսքը շատ չի փոխվի, քանի որ փորձի ժամանակը մեծանում է: Ավելին, որոշակի պահից սկսած, նոր արժեքները միայն կզտեն կորը՝ առանց դրա ձևը փոխելու:

Բրինձ. 9.8.

Հիմա եկեք մեր դինամոմետրը տեղափոխենք մարզասրահ և կրկնենք փորձը։ Այժմ կորի առավելագույնը կտեղափոխվի աջ, ձախ ծայրը փոքր-ինչ կձգվի, մինչդեռ նրա աջ ծայրը կլինի ավելի կտրուկ (նկ. 9.9):

Բրինձ. 9.9.

Նկատի ունեցեք, որ երկրորդ բաշխման առավելագույն հաճախականությունը (կետ B) ցածր կլինի առաջին բաշխման առավելագույն հաճախականությունից (կետ A): Դա կարելի է բացատրել նրանով, որ մարզասրահ այցելողների ընդհանուր թիվը կլինի ավելի քիչ, քան առաջին դեպքում փորձարարի մոտ անցած մարդկանց թիվը (քաղաքի կենտրոնում՝ բավականին մարդաշատ վայրում): Առավելագույնը թեքվել է դեպի աջ, քանի որ սպորտային մարզադահլիճներ հաճախում են ֆիզիկապես ավելի ուժեղ մարդիկ՝ համեմատած ընդհանուր ֆոնի վրա։

Եվ վերջապես, մենք այցելելու ենք դպրոցներ, մանկապարտեզներ և ծերանոցներ՝ նույն նպատակով՝ բացահայտելու այս վայրերի այցելուների ձեռքերի ուժը։ Եվ կրկին բաշխման կորը կունենա նույն ձևը, բայց այժմ, ակնհայտորեն, նրա ձախ ծայրը կլինի ավելի կտրուկ, իսկ աջ ծայրը ավելի գծված: Եվ ինչպես երկրորդ դեպքում, առավելագույնը (C կետ) կլինի A կետից ցածր (նկ. 9.10):

Բրինձ. 9.10.

Նորմալ բաշխման այս ուշագրավ հատկությունը՝ պահպանելով հավանականության խտության կորի ձևը (նկ. 8 - 10), նկատել և նկարագրել է 1733 թվականին Մոյվրը, այնուհետև ուսումնասիրվել Գաուսի կողմից։

Գիտական ​​հետազոտություններում, տեխնոլոգիաներում, զանգվածային երևույթներում կամ փորձերում, երբ մենք խոսում ենք անընդհատ փորձարարական պայմաններում պատահական փոփոխականների բազմակի կրկնման մասին, ասում են, որ թեստի արդյունքները ենթարկվում են պատահական ցրման՝ հնազանդվելով նորմալ բաշխման կորի օրենքին։

(21)

Որտեղ է ամենատարածված իրադարձությունը: Որպես կանոն, բանաձևում (21) պարամետրի փոխարեն . Ավելին, որքան երկար լինի փորձնական շարքը, այնքան պարամետրը քիչ կտարբերվի մաթեմատիկական ակնկալիքից։ Կորի տակի մակերեսը (նկ. 9.11) ենթադրվում է, որ հավասար է մեկի։ X առանցքի ցանկացած միջակայքին համապատասխանող տարածքը թվայինորեն հավասար է պատահական արդյունքի այս միջակայքում ընկնելու հավանականությանը:

Բրինձ. 9.11.

Նորմալ բաշխման ֆունկցիան ունի ձև

(22)

Նկատի ունեցեք, որ նորմալ կորը (նկ. 9.11) սիմետրիկ է ուղիղ գծի նկատմամբ և ասիմպտոտիկորեն մոտենում է OX առանցքին:

Եկեք հաշվարկենք մաթեմատիկական ակնկալիքը նորմալ օրենքի համար

(23)

Նորմալ բաշխման հատկությունները

Դիտարկենք այս կարևոր բաշխման հիմնական հատկությունները:

Գույք 1. Նորմալ բաշխման խտության ֆունկցիան (21) սահմանվում է ամբողջ x առանցքի վրա:

Գույք 2. Բաշխման նորմալ խտության ֆունկցիան (21) զրոյից մեծ է սահմանման ցանկացած տիրույթի համար ():

Գույք 3. Անսահման աճի (նվազման) դեպքում բաշխման ֆունկցիան (21) ձգտում է զրոյի .

Գույք 4. Երբ (21)-ով տրված բաշխման ֆունկցիան ունի ամենամեծ արժեքը հավասար

(24)

Գույք 5. Ֆունկցիայի գրաֆիկը (նկ. 9.11) սիմետրիկ է ուղիղ գծի նկատմամբ։

Գույք 6. Ֆունկցիայի գրաֆիկը (նկ. 9.11) ունի ուղիղ գծի նկատմամբ սիմետրիկ երկու թեքության կետ.

(25)

Գույք 7. Բոլոր կենտ կենտրոնական պահերը զրո են: Նշենք, որ օգտագործելով 7 հատկությունը՝ ֆունկցիայի անհամաչափությունը որոշվում է բանաձևով. Եթե, ապա նրանք եզրակացնում են, որ ուսումնասիրվող բաշխումը սիմետրիկ է ուղիղ գծի նկատմամբ։ Եթե ​​, ապա ասում են, որ շարքը տեղափոխվում է աջ (գրաֆիկի աջ ճյուղն ավելի հարթ է կամ խստացված): Եթե ​​, ապա շարքը համարվում է ձախ տեղափոխված (գրաֆիկի ավելի հարթ ձախ ճյուղը Նկար 9.12-ում):

Բրինձ. 9.12.

Գույք 8. Բաշխման կուրտոզը հավասար է 3-ի: Գործնականում այն ​​հաճախ հաշվարկվում է և գրաֆիկի «սեղմման» կամ «լղոզման» աստիճանը որոշվում է այս արժեքի զրոյին մոտիկությամբ (նկ. 9.13): Եվ քանի որ այն կապված է , այն ի վերջո բնութագրում է տվյալների հաճախականության ցրման աստիճանը։ Եվ քանի որ դա որոշում է

Շատ խնդիրներում, որոնք կապված են նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականների հետ, անհրաժեշտ է որոշել պատահական փոփոխականի հավանականությունը, որը ենթակա է պարամետրերով նորմալ օրենքի, ընկնելու հատվածից մինչև ։ Այս հավանականությունը հաշվարկելու համար մենք օգտագործում ենք ընդհանուր բանաձևը

որտեղ է մեծության բաշխման ֆունկցիան:

Գտնենք նորմալ օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան՝ պարամետրերով։ Արժեքի բաշխման խտությունը հավասար է.

Այստեղից մենք գտնում ենք բաշխման ֆունկցիան

. (6.3.3)

Եկեք փոփոխականի փոփոխություն կատարենք ինտեգրալում (6.3.3)

և եկեք այն դնենք այս ձևով.

(6.3.4)

Ինտեգրալը (6.3.4) չի արտահայտվում տարրական ֆունկցիաների միջոցով, սակայն այն կարող է հաշվարկվել հատուկ ֆունկցիայի միջոցով, որն արտահայտում է արտահայտության որոշակի ինտեգրալ կամ (այսպես կոչված հավանականության ինտեգրալ), որի համար կազմվել են աղյուսակներ։ Նման գործառույթների բազմաթիվ տեսակներ կան, օրինակ.

;

և այլն: Այս գործառույթներից որն օգտագործել, ճաշակի հարց է: Մենք կընտրենք որպես այդպիսի գործառույթ

. (6.3.5)

Հեշտ է տեսնել, որ այս ֆունկցիան ոչ այլ ինչ է, քան բաշխման ֆունկցիա պարամետրերով նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականի համար:

Եկեք համաձայնենք ֆունկցիան անվանել նորմալ բաշխման ֆունկցիա։ Հավելվածը (Աղյուսակ 1) պարունակում է ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակներ:

Արտահայտենք մեծության բաշխման ֆունկցիան (6.3.3) պարամետրերով և նորմալ բաշխման ֆունկցիայի միջոցով։ Ակնհայտորեն,

Այժմ եկեք գտնենք պատահական փոփոխականի ընկնելու հավանականությունը հատվածից մինչև : Ըստ բանաձևի (6.3.1)

Այսպիսով, մենք արտահայտեցինք սովորական օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականի հավանականությունը՝ ցանկացած պարամետրով բաժին ներթափանցելու ստանդարտ բաշխման ֆունկցիայի միջոցով, որը համապատասխանում է ամենապարզ նորմալ օրենքին 0.1 պարամետրերով: Ուշադրություն դարձրեք, որ ֆունկցիայի արգումենտները (6.3.7) բանաձևում ունեն շատ պարզ նշանակություն. կա հատվածի աջ ծայրից մինչև ցրման կենտրոն հեռավորությունը՝ արտահայտված ստանդարտ շեղումներով. - նույն հեռավորությունը հատվածի ձախ ծայրի համար, և այս հեռավորությունը համարվում է դրական, եթե ծայրը գտնվում է ցրման կենտրոնի աջ կողմում, և բացասական, եթե դեպի ձախ:

Ինչպես ցանկացած բաշխման ֆունկցիա, ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները.

3. - չնվազող ֆունկցիա.

Բացի այդ, սկզբնաղբյուրին հարաբերական պարամետրերով նորմալ բաշխման համաչափությունից հետևում է, որ

Օգտագործելով այս հատկությունը, խստորեն ասած, հնարավոր կլիներ սահմանափակել գործառույթների աղյուսակները միայն դրական փաստարկների արժեքներով, բայց ավելորդ գործողությունից խուսափելու համար (մեկից հանում), Հավելված Աղյուսակ 1-ը արժեքներ է տալիս ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական փաստարկների համար:

Գործնականում մենք հաճախ հանդիպում ենք նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականի՝ ցրման կենտրոնի նկատմամբ սիմետրիկ տարածքի մեջ ընկնելու հավանականության հաշվարկի խնդրին: Դիտարկենք երկարության նման հատվածը (նկ. 6.3.1): Եկեք հաշվարկենք այս տարածքին հարվածելու հավանականությունը՝ օգտագործելով բանաձևը (6.3.7).

Հաշվի առնելով ֆունկցիայի հատկությունը (6.3.8) և (6.3.9) բանաձևի ձախ կողմին ավելի կոմպակտ ձև տալով, մենք ստանում ենք սովորական օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականի հավանականության բանաձևը: տարածքը սիմետրիկ է ցրման կենտրոնի նկատմամբ.

. (6.3.10)

Եկեք լուծենք հետևյալ խնդիրը. Եկեք գծենք երկարության հաջորդական հատվածներ ցրման կենտրոնից (նկ. 6.3.2) և հաշվարկենք դրանցից յուրաքանչյուրի մեջ պատահական փոփոխականի ընկնելու հավանականությունը: Քանի որ նորմալ կորը սիմետրիկ է, բավական է նման հատվածները գծագրել միայն մեկ ուղղությամբ:

Օգտագործելով բանաձևը (6.3.7) մենք գտնում ենք.

(6.3.11)

Ինչպես երևում է այս տվյալներից, հետևյալ հատվածներից յուրաքանչյուրին (հինգերորդ, վեցերորդ և այլն) 0,001 ճշտությամբ հարվածելու հավանականությունները հավասար են զրոյի։

Սեգմենտների մեջ մտնելու հավանականությունը կլորացնելով մինչև 0,01 (մինչև 1%), մենք ստանում ենք երեք թվեր, որոնք հեշտ է հիշել.

0,34; 0,14; 0,02.

Այս երեք արժեքների գումարը 0,5 է: Սա նշանակում է, որ նորմալ բաշխված պատահական փոփոխականի համար ամբողջ դիսպերսիան (տոկոսի կոտորակների ճշգրտությամբ) տեղավորվում է տարածքի մեջ:

Սա թույլ է տալիս, իմանալով պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղումը և մաթեմատիկական ակնկալիքը, մոտավորապես ցույց տալ դրա գործնականում հնարավոր արժեքների միջակայքը: Պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների միջակայքը գնահատելու այս մեթոդը մաթեմատիկական վիճակագրության մեջ հայտնի է որպես «երեք սիգմա կանոն»: Երեք սիգմայի կանոնը նաև ենթադրում է պատահական փոփոխականի ստանդարտ շեղումը որոշելու մոտավոր մեթոդ՝ վերցնել միջինից առավելագույն գործնականում հնարավոր շեղումը և բաժանել այն երեքի։ Իհարկե, այս կոպիտ տեխնիկան կարող է առաջարկվել միայն այն դեպքում, եթե չկան որոշելու այլ, ավելի ճշգրիտ մեթոդներ:

Օրինակ 1. Նորմալ օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխականը ներկայացնում է որոշակի հեռավորության չափման սխալ: Չափելիս թույլատրվում է համակարգային սխալ 1,2 (մ) գերագնահատման ուղղությամբ. Չափման սխալի ստանդարտ շեղումը 0,8 (մ) է: Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ չափված արժեքի շեղումը իրական արժեքից չի գերազանցի 1,6 (մ) բացարձակ արժեքով։

Լուծում. Չափման սխալը պատահական փոփոխական է, որը ենթակա է նորմալ օրենքի՝ պարամետրերով և . Մենք պետք է գտնենք այս մեծության ընկնելու հավանականությունը մինչև . Ըստ բանաձևի (6.3.7) ունենք.

Օգտագործելով ֆունկցիաների աղյուսակները (Հավելված, Աղյուսակ 1), մենք գտնում ենք.

; ,

Օրինակ 2. Գտեք նույն հավանականությունը, ինչ նախորդ օրինակում, բայց պայմանով, որ չկա համակարգված սխալ:

Լուծում. Օգտագործելով բանաձևը (6.3.10), ենթադրելով , մենք գտնում ենք.

Օրինակ 3. Գոտի (ավտոճանապարհի) տեսք ունեցող թիրախը, որի լայնությունը 20 մ է, կրակում են մայրուղուն ուղղահայաց ուղղությամբ: Նպատակն իրականացվում է մայրուղու կենտրոնական գծի երկայնքով։ Կրակման ուղղությամբ ստանդարտ շեղումը հավասար է մ-ի:Կրակելու ուղղությամբ համակարգված սխալ կա՝ ստորադասությունը 3 մ է:Գտե՛ք մեկ կրակոցով մայրուղին բախվելու հավանականությունը:

Գործնականում պատահական փոփոխականների մեծ մասը, որոնց վրա ազդում են մեծ թվով պատահական գործոններ, ենթարկվում են հավանականությունների բաշխման նորմալ օրենքին: Ուստի հավանականությունների տեսության տարբեր կիրառություններում այս օրենքը առանձնահատուկ նշանակություն ունի։

$X$ պատահական փոփոխականը ենթարկվում է հավանականությունների բաշխման նորմալ օրենքին, եթե դրա հավանականության բաշխման խտությունն ունի հետևյալ ձևը.

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

$f\left(x\right)$ ֆունկցիայի գրաֆիկը սխեմատիկորեն ներկայացված է նկարում և կոչվում է «Գաուսի կոր»։ Այս գրաֆիկի աջ կողմում գերմանական 10 մակնիշի թղթադրամն է, որն օգտագործվել է մինչև եվրոյի ներմուծումը։ Եթե ​​ուշադիր նայեք, ապա այս թղթադրամի վրա կարող եք տեսնել Գաուսի կորը և դրա հայտնաբերողին՝ մեծագույն մաթեմատիկոս Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսին:

Եկեք վերադառնանք մեր խտության $f\left(x\right)$ ֆունկցիային և որոշ բացատրություններ տանք բաշխման պարամետրերի վերաբերյալ $a,\ (\sigma )^2$: $a$ պարամետրը բնութագրում է պատահական փոփոխականի արժեքների ցրման կենտրոնը, այսինքն՝ այն ունի մաթեմատիկական ակնկալիքի նշանակություն։ Երբ $a$ պարամետրը փոխվում է, և $(\sigma )^2$ պարամետրը մնում է անփոփոխ, մենք կարող ենք դիտել $f\left(x\right)$ ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ աբսցիսայի երկայնքով, մինչդեռ խտության գրաֆիկը ինքնին չի փոխում իր ձևը:

$(\sigma )^2$ պարամետրը շեղումն է և բնութագրում է $f\left(x\right)$ խտության գրաֆիկի կորի ձևը։ $(\sigma )^2$ պարամետրը $a$ պարամետրով անփոփոխ փոխելիս կարող ենք դիտել, թե ինչպես է խտության գրաֆիկը փոխում իր ձևը՝ սեղմվելով կամ ձգվելով, առանց աբսցիսայի առանցքով շարժվելու։

Սովորաբար բաշխված պատահական փոփոխականի՝ տվյալ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը

Ինչպես հայտնի է, $X$ պատահական փոփոխականի՝ $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը կարելի է հաշվարկել $P\left(\alpha):< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\ ձախ (\ալֆա< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Այստեղ $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ ֆունկցիան Լապլասի ֆունկցիան. Այս ֆունկցիայի արժեքները վերցված են. Կարելի է նշել $\Phi \left(x\right)$ ֆունկցիայի հետևյալ հատկությունները.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, այսինքն՝ $\Phi \left(x\right)$ ֆունկցիան կենտ է։

2 . $\Phi \left(x\right)$-ը միապաղաղ աճող ֆունկցիա է:

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) \ Phi \ ձախ(x\աջ)\ )=-0,5$:

$\Phi \left(x\right)$ ֆունկցիայի արժեքները հաշվարկելու համար կարող եք նաև օգտագործել $f_x$ մոգ ֆունկցիան Excel-ում՝ $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x): ;0;1;1\աջ)-0,5$: Օրինակ՝ եկեք հաշվարկենք $\Phi \left(x\right)$ ֆունկցիայի արժեքները $x=2$-ի համար։

Նորմալ բաշխված պատահական $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\աջ)$ հավանականությունը մաթեմատիկական ակնկալիքի նկատմամբ սիմետրիկ ինտերվալի մեջ ընկնելու հավանականությունը կարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձևը.

$$P\left(\left|X-a\աջ|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Երեք սիգմա կանոն. Գրեթե վստահ է, որ նորմալ բաշխված $X$ պատահական փոփոխականը կընկնի $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ միջակայքում:

Օրինակ 1 . Պատահական $X$ փոփոխականը ենթակա է նորմալ հավանականության բաշխման օրենքին՝ $a=2,\ \sigma =3$ պարամետրերով: Գտեք $X$-ի հավանականությունը $\left(0.5;1\right)$ միջակայքում ընկնելու և $\left|X-a\right| անհավասարությունը բավարարելու հավանականությունը:< 0,2$.

Օգտագործելով բանաձև

$$P\ ձախ (\ալֆա< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

մենք գտնում ենք $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\ over (3) ))\աջ)=\Phi \left(-0.33\աջ)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\աջ)-\Phi \ ձախ (0.33\աջ)=0.191- 0,129 = 0,062 դոլար:

$$P\left(\left|X-a\աջ|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Օրինակ 2 . Ենթադրենք, որ տարվա ընթացքում որոշակի ընկերության բաժնետոմսերի գինը սովորական օրենքի համաձայն բաշխված պատահական փոփոխական է՝ մաթեմատիկական ակնկալիքով, որը հավասար է 50 պայմանական դրամական միավորի և ստանդարտ շեղումը հավասար է 10-ի: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված Քննարկվող ժամանակաշրջանի օրը ակցիայի գինը կլինի.

ա) ավելի քան 70 սովորական դրամական միավոր.

բ) մեկ բաժնետոմսի համար 50-ից ցածր:

գ) 45-ից մինչև 58 պայմանական դրամական միավոր մեկ բաժնետոմսի համար:

Թող $X$ պատահական փոփոխականը լինի որոշ ընկերության բաժնետոմսերի գինը: Ըստ պայմանի, $X$-ը ենթակա է նորմալ բաշխման $a=50$ պարամետրերով - մաթեմատիկական ակնկալիք, $\sigma =10$ - ստանդարտ շեղում: Հավանականություն $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\ ձախ (\ալֆա< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\աջ)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ ավելի քան (10))\աջ)=0.5-\Phi \ձախ(2\աջ)=0.5-0.4772=0.0228.$$

$$b)\P\ձախ (X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\ ձախ (45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Նորմալ բաշխման օրենքը, այսպես կոչված, Գաուսի օրենքը, ամենատարածված օրենքներից է։ Սա հավանականությունների տեսության և դրա կիրառման հիմնարար օրենք է: Նորմալ բաշխումն առավել հաճախ հանդիպում է բնական և սոցիալ-տնտեսական երևույթների ուսումնասիրության ժամանակ։ Այլ կերպ ասած, բնության և հասարակության մեջ վիճակագրական ագրեգատների մեծ մասը ենթարկվում է նորմալ բաշխման օրենքին: Համապատասխանաբար, կարելի է ասել, որ մեծ թվով մեծ նմուշների պոպուլյացիաները ենթարկվում են նորմալ բաշխման օրենքին։ Այն պոպուլյացիաները, որոնք հատուկ փոխակերպումների արդյունքում շեղվում են նորմալ բաշխումից, կարելի է մոտեցնել նորմալին։ Այս առումով պետք է հիշել, որ բաշխման այլ օրենքների հետ կապված այս օրենքի հիմնարար առանձնահատկությունն այն է, որ այն սահմանի օրենքն է, որին մոտենում են բաշխման այլ օրենքներ որոշակի (ստանդարտ) պայմաններում:

Հարկ է նշել, որ «նորմալ բաշխում» տերմինն ունի պայմանական նշանակություն՝ որպես մաթեմատիկական և վիճակագրական գրականության մեջ ընդհանուր ընդունված տերմին։ Հայտարարությունը, որ որևէ երևույթի այս կամ այն ​​հատկանիշը ենթարկվում է նորմալ բաշխման օրենքին, ամենևին չի նշանակում ուսումնասիրվող երևույթին ենթադրաբար բնորոշ նորմերի անձեռնմխելիություն, իսկ վերջիններիս երկրորդ տիպի իրավունք դասելը չի ​​նշանակում այս երևույթի աննորմալությունը. Այս առումով «նորմալ բաշխում» տերմինը լիովին տեղին չէ:

Նորմալ բաշխումը (Գաուս-Լապլասի օրենք) շարունակական բաշխման տեսակ է։ Որտեղ Moivre (հազար յոթ հարյուր յոթանասուներեք, Ֆրանսիա) բխում է հավանականության բաշխման նորմալ օրենքը: Այս հայտնագործության հիմնական գաղափարներն առաջին անգամ կիրառվել են սխալների տեսության մեջ Կ.Գաուսի (1809թ., Գերմանիա) և Ա.Լապլասի (1812թ., Ֆրանսիա) կողմից, ովքեր տեսական նշանակալի ներդրում են ունեցել հենց օրենքի մշակման գործում: Մասնավորապես, Կ.Գաուսն իր զարգացումներում ելնում էր այն գիտակցումից, որ պատահական փոփոխականի ամենահավանական արժեքը թվաբանական միջինն է։ Նորմալ բաշխման առաջացման ընդհանուր պայմանները սահմանվել են Ա.Մ.Լյապունովայի կողմից: Նա ապացուցեց, որ եթե ուսումնասիրվող հատկանիշը շատ գործոնների ընդհանուր ազդեցության արդյունք է, որոնցից յուրաքանչյուրը քիչ կապ ունի մյուսների մեծամասնության հետ, և յուրաքանչյուր գործոնի ազդեցությունը վերջնական արդյունքի վրա շատ է համընկնում ընդհանուր ազդեցության հետ: մնացած բոլոր գործոնները, ապա բաշխումը դառնում է նորմալին մոտ:

Շարունակական պատահական փոփոխականի հավանականության բաշխումը կոչվում է նորմալ և ունի խտություն.

1 +1 (& #) 2

/ (x, x,<т) = - ^ е 2 st2

որտեղ x-ը մաթեմատիկական ակնկալիքն է կամ միջին արժեքը: Ինչպես տեսնում եք, նորմալ բաշխումը որոշվում է երկու պարամետրով՝ x և °: Նորմալ բաշխում սահմանելու համար բավական է իմանալ մաթեմատիկական ակնկալիքը կամ միջին և ստանդարտ շեղումը։ Այս երկու մեծությունները որոշում են խմբավորման կենտրոնը և ձևը

կորը գրաֆիկի վրա: u (xx, b) ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է նորմալ կոր (Գաուսի կոր) x և b պարամետրերով (նկ. 12):

Նորմալ բաշխման կորը ունի թեքության կետեր X ± 1-ում: Եթե ներկայացված է գրաֆիկորեն, ապա միջև X = + լ և 1 = -1-ը ամբողջ կորի տարածքի 0,683 մասն է (այսինքն՝ 68,3%): X = + 2 և X- 2-ի սահմաններում կա 0,954 տարածք (95,4%), իսկ X = + 3 և X = - 3 - 0,997 մասերի միջև ամբողջ բաշխման տարածքը (99,7%): Նկ. Նկար 13-ը ցույց է տալիս նորմալ բաշխման բնույթը մեկ, երկու և երեք սիգմա սահմաններով:

Նորմալ բաշխման դեպքում միջին թվաբանականը, եղանակը և միջինը հավասար կլինեն միմյանց: Նորմալ կորի ձևն ունի միակողմանի սիմետրիկ կորի ձև, որի ճյուղերը ասիմպտոտիկորեն մոտենում են աբսցիսային առանցքին։ Կորի ամենամեծ օրդինատը համապատասխանում է x = 0-ին: Այս կետում աբսցիսայի առանցքի վրա դրվում է բնութագրերի թվային արժեքը՝ հավասար թվաբանական միջինին, եղանակին և միջինին: Կորի վերին մասի երկու կողմերում նրա ճյուղերը գալիս են՝ որոշակի կետերում ուռուցիկության ձևը փոխելով գոգավորության։ Այս կետերը սիմետրիկ են և համապատասխանում են x = ± 1 արժեքներին, այսինքն՝ հատկանիշի արժեքներին, որոնց միջինից շեղումները թվայինորեն հավասար են ստանդարտ շեղմանը: Օրդինատը, որը համապատասխանում է թվաբանական միջինին, կիսով չափ կիսում է կորի և աբսցիսայի միջև ընկած ամբողջ տարածքը։ Այսպիսով, ուսումնասիրված բնութագրիչի արժեքների առաջացման հավանականությունը միջինից մեծ և փոքր է

թվաբանությունը հավասար կլինի 0,50-ի, այսինքն՝ x, (~ ^ x) = 0,50 Վ

Նկար 12. Նորմալ բաշխման կոր (Գաուսի կոր)

Նորմալ կորի ձևն ու դիրքը որոշում են միջին և ստանդարտ շեղման արժեքը: Մաթեմատիկորեն ապացուցված է, որ միջինի (մաթեմատիկական ակնկալիքի) արժեքը փոխելը չի ​​փոխում նորմալ կորի ձևը, այլ միայն հանգեցնում է նրա տեղաշարժի աբսցիսային առանցքի երկայնքով։ Կորը շարժվում է դեպի աջ, եթե ~ մեծանում է, և ձախ, եթե ~-ը գալիս է։

Նկար 14. Նորմալ բաշխման կորեր տարբեր պարամետրերի արժեքներովՎ

Փոխելիս նորմալ կորի գրաֆիկի ձևը փոխելու մասին

ստանդարտ շեղումը կարելի է գնահատել առավելագույնը

դիֆերենցիալ նորմալ բաշխման ֆունկցիա, հավասար է 1

Ինչպես երևում է, երբ °-ի արժեքը մեծանում է, կորի առավելագույն օրդինատը կնվազի։ Հետևաբար, նորմալ բաշխման կորը կսեղմվի դեպի x առանցքը և կստանա ավելի հարթ գագաթով ձև:

Եվ, ընդհակառակը, երբ β պարամետրը նվազում է, նորմալ կորը ձգվում է օրդինատների առանցքի դրական ուղղությամբ, և «զանգի» ձևը դառնում է ավելի սուր (նկ. 14). Նկատի ունեցեք, որ, անկախ ~ և , պարամետրերի արժեքներից, աբսցիսայի առանցքով և կորով սահմանափակված տարածքը միշտ հավասար է միասնությանը (բաշխման խտության հատկություն): Սա հստակ երևում է գրաֆիկով (նկ. 13):

Բաշխման «նորմալության» դրսևորման վերը նշված հատկանիշները թույլ են տալիս բացահայտել մի շարք ընդհանուր հատկություններ, որոնք ունեն նորմալ բաշխման կորերը.

1) ցանկացած նորմալ կոր հասնում է առավելագույն կետի (X= x) անընդհատ գալիս է նրանից աջ և ձախ՝ աստիճանաբար մոտենալով x-առանցքին.

2) ցանկացած նորմալ կոր սիմետրիկ է ուղիղ գծի նկատմամբ.

օրդինատների առանցքին զուգահեռ և անցնում է առավելագույն կետով (X= x)

առավելագույն օրդինատը ^^^ i է;

3) ցանկացած նորմալ կոր ունի «զանգի» ձև, ունի ուռուցիկություն, որն ուղղված է դեպի վեր մինչև առավելագույն կետը: x ~ ° և x + b կետերում այն ​​փոխում է ուռուցիկությունը, և որքան փոքր է a, այնքան սուր է «զանգը», և որքան մեծ է a, այնքան ավելի պատժիչ է դառնում «զանգի» վերին մասը (նկ. 14): Մաթեմատիկական ակնկալիքի փոփոխություն (հաստատուն արժեքով

գ) չի հանգեցնում կորի ձևի փոփոխության.

Երբ x = 0 և ° = 1, նորմալ կորը կոչվում է նորմալացված կոր կամ նորմալ բաշխում կանոնական տեսքով:

Նորմալացված կորը նկարագրվում է հետևյալ բանաձևով.

Էմպիրիկ տվյալների հիման վրա նորմալ կորի կառուցումն իրականացվում է բանաձևով.

պի 1 - "" = --- 7 = էլ

որտեղ և ™-ը բաշխման յուրաքանչյուր ինտերվալի (խմբի) տեսական հաճախականությունն է. «- հաճախականությունների գումարը, որը հավասար է բնակչության ծավալին, «- միջակայքային քայլ;

նույնը - շրջանագծի շրջագծի հարաբերակցությունը նրա տրամագծին, որը

e - բնական լոգարիթմների հիմքը, հավասար է 2,71828;

Բանաձևի երկրորդ և երրորդ մասերը) ֆունկցիա է

նորմալացված շեղում CN), որը կարող է հաշվարկվել X-ի ցանկացած արժեքի համար: CN արժեքների աղյուսակները սովորաբար կոչվում են «նորմալ կորի օրդինատիվ աղյուսակներ» (Հավելված 3): Այս գործառույթներն օգտագործելիս նորմալ բաշխման աշխատանքային բանաձևը ստանում է պարզ ձև.

Օրինակ.Դիտարկենք նորմալ կորի կառուցման դեպքը՝ օգտագործելով 57 աշխատողների բաշխման տվյալների օրինակն ըստ օրական վաստակի մակարդակի (Աղյուսակ 42): Համաձայն Աղյուսակ 42-ի՝ մենք գտնում ենք միջին թվաբանականը.

~ = ^ = И6 54 =

Մենք հաշվարկում ենք ստանդարտ շեղումը.

Աղյուսակի յուրաքանչյուր տողի համար մենք գտնում ենք նորմալացված շեղման արժեքը

x և ~ x | 12 գ => - = - ^ 2 = 1,92

Ա 6.25 (առաջին միջակայքի dd I և այլն):

Աղյուսակի 8-րդ սյունակում: 42 մենք գրում ենք Di) ֆունկցիայի աղյուսակի արժեքը հավելվածից, օրինակ, X = 1.92 առաջին միջակայքի համար մենք գտնում ենք «1.9» ընդդեմ «2» (0.0632):

Տեսական հաճախականությունները, այսինքն՝ նորմալ բաշխման կորի օրդինատները հաշվարկելու համար բազմապատկիչը հաշվարկվում է.

* = ^ = 36,5 ա 6.25

Մենք բազմապատկում ենք / (r) ֆունկցիայի բոլոր գտնված աղյուսակի արժեքները 36,5-ով: Այսպիսով, առաջին ինտերվալի համար մենք ստանում ենք 0,0632x36,5 = 2,31 տոննա:

հաճախականություններ (P"<5) միավորել (մեր օրինակում `առաջին երկու և վերջին երկու ընդմիջումներով):

Եթե ​​ծայրահեղ տեսական հաճախականությունները զգալիորեն տարբերվում են զրոյից, ապա էմպիրիկ և տեսական հաճախականությունների գումարների միջև անհամապատասխանությունը կարող է էական լինել:

Էմպիրիկ և տեսական հաճախականությունների բաշխման գրաֆիկը (նորմալ կոր) ըստ դիտարկվող օրինակի ներկայացված է Նկար 15-ում:

Դիտարկենք նորմալ բաշխման հաճախականությունների որոշման օրինակ այն դեպքի համար, երբ ծայրահեղ ինտերվալներում հաճախականություն չկա (Աղյուսակ 43): Այստեղ էմպիրիկ

X - նորմալացված շեղում, (գ) ա - ստանդարտ շեղում.

առաջին միջակայքի հաճախականությունը զրո է: Ստացված չճշտված հաճախականությունների գումարը հավասար չէ դրանց էմպիրիկ արժեքների գումարին (56 * 57): Այս դեպքում տեսական հաճախականությունը հաշվարկվում է միջակայքի կենտրոնի ստացված արժեքները, նորմալացված շեղումը և դրա գործառույթը լվանալու համար:

Աղյուսակ 43-ում այս արժեքները շրջանցված են ուղղանկյունով: Նորմալ կոր գծելիս նման դեպքերում տեսական կորը շարունակվում է։ Քննարկվող դեպքում նորմալ կորը կշարունակվի դեպի միջինից բացասական շեղումներ, քանի որ առաջին չճշտված հաճախականությունը հավասար է 5-ի: Առաջին ինտերվալի համար հաշվարկված տեսական հաճախականությունը (հստակեցված) հավասար կլինի միասնության: Զտված հաճախականությունների գումարը համընկնում է էմպիրիկ հաճախությունների հետ

Աղյուսակ 42

Հաշվարկված արժեքներ

Վիճակագրական պարամետրեր

ընդմիջում,

Միավորների քանակը,

x) 2 n¡

նորմալացված բաժանմունքներ

տեսական նորմալ բաշխման շարքերի հաճախականությունը, / 0) x - Ա

>>

Հազար վեց հարյուր հիսունչորս

ա = 6,25

^i=36,5 Ա

Աղյուսակ 43

Նորմալ բաշխման հաճախությունների հաշվարկ (սովորական օրենքի համաձայն էմպիրիկ հաճախականությունների հավասարեցում)

Միավորների քանակը,

Հաշվարկված արժեքներ

Վիճակագրական պարամետրեր

Ինտերվալ (և-2)

միջակայքի միջին արժեքը (կենտրոնը),

(այս, -xf

^ x տ-x) 1 n և

նորմալացված շեղում xs- X տ= x --L

Ֆունկցիայի աղյուսակի արժեքը, f (t)

տեսական նորմալ բաշխման շարքերի հաճախականությունը

հստակեցված տեսական հաճախականության արժեքը,

w

-

-

-

-

-

o = 2,41

Բրինձ. 15. Էմպիրիկ բաշխում(1) և նորմալ կոր (2)

Ուսումնասիրվող բնակչության համար նորմալ բաշխման կորը կարող է կառուցվել այլ կերպ (ի տարբերություն վերը քննարկվածի): Այսպիսով, եթե անհրաժեշտ է մոտավոր պատկերացում ունենալ իրական բաշխման համապատասխանության մասին նորմալին, ապա հաշվարկներն իրականացվում են հետևյալ հաջորդականությամբ. Որոշվում է առավելագույն օրդինատը, որը համապատասխանում է բնութագրերի միջին չափին), այնուհետև, հաշվարկելով ստանդարտ շեղումը, նորմալ բաշխման կորի կետերի կոորդինատները հաշվարկվում են 42 և 43 աղյուսակներում ուրվագծված սխեմայի համաձայն: Այսպիսով. 43-րդ աղյուսակի սկզբնական և հաշվարկված տվյալների համաձայն միջինը պետք է լինի ~ = 26 Այս արժեքը միջինը համընկնում է չորրորդ միջակայքի կենտրոնի հետ (25-27): Այսպիսով, այս «20» միջակայքի հաճախականությունը (գրաֆիկը գծելիս) կարելի է ընդունել որպես առավելագույն օրդինատ։ Ունենալով հաշվարկված դիսպերսիա (β = 2,41 սմ, Աղյուսակ 43), մենք հաշվարկում ենք նորմալ բաշխման կորի բոլոր անհրաժեշտ կետերի կոորդինատային արժեքները (Աղյուսակներ 44, 45): Օգտագործելով ստացված կոորդինատները՝ գծում ենք նորմալ կոր (նկ. 16)՝ որպես առավելագույն օրդինատ ընդունելով չորրորդ ինտերվալի հաճախականությունը։

Էմպիրիկ բաշխման հետևողականությունը նորմալի հետ կարելի է հաստատել նաև պարզեցված հաշվարկների միջոցով։ Այսպիսով, եթե ասիմետրիայի աստիճանի ցուցիչի (^) հարաբերակցությունը նրա միջին քառակուսի սխալին sh a «կամ կուրտոզի ցուցիչի (E x) հարաբերակցությունը նրա միջին քառակուսի սխալի t & գերազանցում է «3» թիվը բացարձակ արժեքով, a. եզրակացություն է արվում էմպիրիկ բաշխման և նորմալ բաշխումների բնույթի միջև անհամապատասխանության մասին (այսինքն.

Ա tz E X

Եթե ™ A>3 կամ w ե "> 3).

Բաշխման «նորմալությունը» հաստատելու այլ, ոչ աշխատատար մեթոդներ կան. բ) Westergard թվերի օգտագործումը. գ) գրաֆիկական պատկերի կիրառում` օգտագործելով կիսալոգարիթմական ցանց Տուրբին;դ) համապատասխանության հատուկ չափանիշների հաշվարկ և այլն:

Աղյուսակ 44

ԿոորդինատներՆորմալ բաշխման կորի 7 միավոր

Աղյուսակ 45

Նորմալ բաշխման կորի կետերի կոորդինատների հաշվարկ

	x- 1,5 (7 =	X - a = 23.6	X - 0,5 (7 = = 24,8		x + 0.5-րդ = 27,2	X + a = 28.4	X+1.5 (7 =

Նկար 16. Նորմալ բաշխման կորը գծված է յոթ կետերի միջոցով

Գործնականում, երբ ուսումնասիրվում է պոպուլյացիա՝ նրա բաշխվածությունը նորմալի հետ համադրելու համար, հաճախ օգտագործվում է «3cr կանոնը»։

Մաթեմատիկորեն ապացուցված է, որ հավանականությունը, որ բացարձակ արժեքով միջինից շեղումը եռակի պակաս կլինի ստանդարտ շեղումից, հավասար է 0,9973-ի, այսինքն՝ հավանականությունը, որ շեղման բացարձակ արժեքը գերազանցում է ստանդարտ շեղումը եռակի, 0,0027 կամ շատ փոքր. Ելնելով անհավանական իրադարձությունների անհնարինության սկզբունքից՝ 3-րդ հոդվածի «գերազանցման դեպքը» գործնականում անհնար է համարել։ Եթե ​​պատահական փոփոխականը բաշխվում է նորմալ, ապա մաթեմատիկական ակնկալիքից (միջին) նրա շեղման բացարձակ արժեքը չի գերազանցում ստանդարտ շեղումը եռապատիկ:

Գործնական հաշվարկներում նրանք աշխատում են այսպես. Եթե, հաշվի առնելով ուսումնասիրվող պատահական փոփոխականի բաշխման անհայտ բնույթը, միջինից շեղման հաշվարկված արժեքը պարզվում է, որ փոքր է 3 ST-ի արժեքից, ապա հիմքեր կան ենթադրելու, որ ուսումնասիրվող բնութագիրը բաշխված է. սովորաբար. Եթե ​​նշված պարամետրը գերազանցում է թվային արժեք 3 ST, մենք կարող ենք ենթադրել, որ ուսումնասիրվող արժեքի բաշխումը չի համապատասխանում նորմալ բաշխմանը:

Ուսումնասիրված էմպիրիկ բաշխման շարքի տեսական հաճախականությունների հաշվարկը սովորաբար կոչվում է էմպիրիկ կորերի հավասարեցում ըստ սովորական (կամ որևէ այլ) բաշխման օրենքի: Այս գործընթացը կարևոր է ինչպես տեսականորեն, այնպես էլ գործնական նշանակություն. Էմպիրիկ տվյալների հավասարեցումը բացահայտում է դրանց բաշխման մի օրինաչափություն, որը կարող է քողարկվել դրա դրսևորման պատահական ձևով: Այս կերպ հաստատված օրինաչափությունը կարող է օգտագործվել մի շարք գործնական խնդիրներ լուծելու համար։

Հետազոտողը հանդիպում է նորմալին մոտ բաշխվածության գիտության տարբեր ոլորտներում և մարդկային գործնական գործունեության ոլորտներում: Տնտեսագիտության մեջ այս տեսակ բաշխումն ավելի քիչ է տարածված, քան, ասենք, տեխնոլոգիայի կամ կենսաբանության մեջ։ Դա պայմանավորված է հենց սոցիալ-տնտեսական երևույթների բնույթով, որոնք բնութագրվում են փոխկապակցված և փոխկապակցված գործոնների մեծ բարդությամբ, ինչպես նաև մի շարք պայմանների առկայությամբ, որոնք սահմանափակում են գործերի ազատ «խաղը»: Բայց տնտեսագետը պետք է վերաբերի նորմալ բաշխմանը, վերլուծելով էմպիրիկ բաշխումների կառուցվածքը, որպես ինչ-որ չափանիշ: Նման համեմատությունը հնարավորություն է տալիս պարզաբանել այն ներքին պայմանների բնույթը, որոնք որոշում են բաշխման այս ցուցանիշը:

Ոլորտի ներթափանցում վիճակագրական հետազոտությունսոցիալ-տնտեսական երևույթների դաշտում հնարավոր եղավ բացահայտել մեծ թվով տարբեր տեսակի բաշխման կորերի առկայությունը։ Այնուամենայնիվ, չպետք է ենթադրել, որ նորմալ բաշխման կորի տեսական հայեցակարգը, ընդհանուր առմամբ, քիչ օգտագործում է այս տեսակի երևույթների վիճակագրական և մաթեմատիկական վերլուծության մեջ: Դա միշտ չէ, որ կարող է ընդունելի լինել կոնկրետի վերլուծության մեջ վիճակագրական բաշխում, սակայն տեսության և պրակտիկայի բնագավառում առաջնահերթ նշանակություն ունի հետազոտության ընտրանքային մեթոդը։

Եկեք նշենք վիճակագրական և մաթեմատիկական վերլուծության մեջ նորմալ բաշխման կիրառման հիմնական ասպեկտները:

1. Որոշել բնութագրիչի որոշակի արժեքի հավանականությունը: Սա անհրաժեշտ է որոշակի էմպիրիկ բաշխման նորմալին համապատասխանության վերաբերյալ վարկածները ստուգելիս:

2. Մի շարք պարամետրեր գնահատելիս, օրինակ, միջինները, առավելագույն հավանականության մեթոդի կիրառմամբ: Դրա էությունը կայանում է օրենքի սահմանման մեջ, որին ենթակա է ամբողջությունը։ Որոշվում է նաև այն գնահատումը, որը տալիս է առավելագույն արժեքներ: Բնակչության պարամետրերին լավագույն մոտարկումը տրվում է հարաբերակցությամբ.

y = - 2 = e 2

3. Որոշել նմուշային միջոցների հավանականությունը ընդհանուր միջոցների նկատմամբ:

4. Վստահության միջակայքը որոշելիս, որում գտնվում է ընդհանուր բնակչության բնութագրերի մոտավոր արժեքը.