Քառակուսային հավասարումների լուծում, արմատային բանաձև, օրինակներ. Քառակուսային հավասարումներ. Քառակուսային հավասարումների լուծում Ինչպես քառակուսի հավասարումը վերածել արտադրանքի

Այս թեման սկզբում կարող է դժվար թվալ՝ շատերի պատճառով ոչ այնքան պարզ բանաձևեր. Ոչ միայն քառակուսի հավասարումներն իրենք ունեն երկար նշումներ, այլև արմատները հայտնաբերվում են տարբերակիչի միջոցով: Ընդհանուր առմամբ, ստացվում է երեք նոր բանաձեւ. Հիշելը շատ հեշտ չէ: Դա հնարավոր է միայն նման հավասարումները հաճախակի լուծելուց հետո։ Այնուհետև բոլոր բանաձևերը կհիշվեն ինքնուրույն:

Քառակուսային հավասարման ընդհանուր տեսք

Այստեղ մենք առաջարկում ենք դրանց բացահայտ գրանցումը, երբ նախ գրվում է ամենամեծ աստիճանը, իսկ հետո՝ նվազման կարգով։ Հաճախ կան իրավիճակներ, երբ պայմանները անհամապատասխան են: Ապա ավելի լավ է վերաշարադրել հավասարումը փոփոխականի աստիճանի նվազման կարգով։

Ներկայացնենք որոշ նշում. Դրանք ներկայացված են ստորև բերված աղյուսակում:

Եթե ​​ընդունենք այս նշումները, բոլոր քառակուսի հավասարումները կրճատվում են հետևյալ նշումով.

Ավելին, գործակիցը a ≠ 0: Թող այս բանաձևը նշանակվի թիվ մեկ:

Երբ տրվում է հավասարում, պարզ չէ, թե քանի արմատ կլինի պատասխանում: Քանի որ երեք տարբերակներից մեկը միշտ հնարավոր է.

• լուծումը կունենա երկու արմատ.
• պատասխանը կլինի մեկ թիվ;
• հավասարումն ընդհանրապես արմատներ չի ունենա։

Եվ քանի դեռ որոշումը վերջնականապես չի կայացվել, դժվար է հասկանալ, թե կոնկրետ դեպքում որ տարբերակն է ի հայտ գալու։

Քառակուսային հավասարումների ձայնագրությունների տեսակները

Առաջադրանքներում կարող են լինել տարբեր գրառումներ: Նրանք միշտ չէ, որ նման կլինեն ընդհանուր բանաձեւքառակուսի հավասարում. Երբեմն այն կբացակայի որոշ տերմիններ: Վերևում գրվածը ամբողջական հավասարումն է։ Եթե ​​դուք հանում եք դրա մեջ երկրորդ կամ երրորդ տերմինը, դուք ստանում եք այլ բան: Այս գրառումները կոչվում են նաև քառակուսի հավասարումներ՝ միայն թերի։

Ավելին, կարող են անհետանալ միայն «b» և «c» գործակիցներով տերմինները: «ա» թիվը ոչ մի դեպքում չի կարող հավասար լինել զրոյի։ Քանի որ այս դեպքում բանաձեւը վերածվում է գծային հավասարման։ Հավասարումների ոչ լրիվ ձևի բանաձևերը կլինեն հետևյալը.

Այսպիսով, կա միայն երկու տեսակ, բացի ամբողջականներից, կան նաև թերի քառակուսի հավասարումներ։ Թող առաջին բանաձևը լինի թիվ երկու, իսկ երկրորդը՝ երեքը։

Արմատների քանակի տարբերություն և կախվածություն դրա արժեքից

Դուք պետք է իմանաք այս թիվը, որպեսզի հաշվարկեք հավասարման արմատները: Այն միշտ կարելի է հաշվարկել՝ անկախ նրանից, թե ինչպիսին է քառակուսի հավասարման բանաձևը։ Խտրականությունը հաշվարկելու համար հարկավոր է օգտագործել ստորև գրված հավասարությունը, որը կունենա չորս թիվը։

Այս բանաձևի մեջ գործակիցների արժեքները փոխարինելուց հետո կարող եք թվեր ստանալ տարբեր նշաններ. Եթե ​​պատասխանը դրական է, ապա հավասարման պատասխանը կլինի երկու տարբեր արմատներ: Եթե ​​թիվը բացասական է, ապա քառակուսի հավասարման արմատներ չեն լինի: Եթե ​​այն հավասար է զրոյի, ապա կլինի միայն մեկ պատասխան.

Ինչպե՞ս լուծել ամբողջական քառակուսի հավասարումը:

Փաստորեն, այս հարցի քննարկումն արդեն սկսվել է։ Որովհետև նախ պետք է տարբերակիչ գտնել: Այն բանից հետո, երբ որոշվում է, որ կան քառակուսի հավասարման արմատներ, և դրանց թիվը հայտնի է, դուք պետք է օգտագործեք բանաձևեր փոփոխականների համար: Եթե ​​կան երկու արմատներ, ապա դուք պետք է կիրառեք հետեւյալ բանաձեւը.

Քանի որ այն պարունակում է «±» նշան, կլինի երկու արժեք: Քառակուսի արմատի նշանի տակ արտահայտությունը տարբերակիչն է: Հետևաբար, բանաձևը կարող է այլ կերպ վերաշարադրվել:

Բանաձև թիվ հինգ. Նույն գրառումից պարզ է դառնում, որ եթե դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, ապա երկու արմատները կունենան նույն արժեքները։

Եթե ​​քառակուսի հավասարումների լուծումը դեռ մշակված չէ, ապա ավելի լավ է գրել բոլոր գործակիցների արժեքները նախքան տարբերակիչ և փոփոխական բանաձևերը կիրառելը: Հետագայում այս պահը դժվարություններ չի առաջացնի։ Բայց հենց սկզբում շփոթություն է առաջանում.

Ինչպե՞ս լուծել ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումը:

Այստեղ ամեն ինչ շատ ավելի պարզ է. Նույնիսկ լրացուցիչ բանաձեւերի կարիք չկա։ Իսկ նրանք, որոնք արդեն գրված են խտրականի ու անհայտի համար, պետք չեն լինի։

Նախ, եկեք նայենք թերի թիվ երկու հավասարմանը: Այս հավասարության դեպքում անհրաժեշտ է փակագծերից հանել անհայտ մեծությունը և լուծել գծային հավասարումը, որը կմնա փակագծերում։ Պատասխանը կունենա երկու արմատ. Առաջինն անպայման հավասար է զրոյի, քանի որ կա բազմապատկիչ, որը բաղկացած է հենց փոփոխականից։ Երկրորդը կստացվի գծային հավասարում լուծելով։

Թերի երրորդ հավասարումը լուծվում է՝ թիվը հավասարության ձախ կողմից աջ տեղափոխելով։ Այնուհետև պետք է բաժանել անհայտի դեմ ուղղված գործակցի վրա։ Մնում է միայն հանել քառակուսի արմատը և հիշել, որ այն երկու անգամ գրել հակառակ նշաններով։

Ստորև բերված են մի քանի քայլեր, որոնք կօգնեն ձեզ սովորել, թե ինչպես լուծել բոլոր տեսակի հավասարումները, որոնք վերածվում են քառակուսի հավասարումների: Դրանք կօգնեն աշակերտին խուսափել անուշադրության պատճառով սխալներից։ Այս թերությունները կարող են վատ գնահատականներ առաջացնել «Քառակուսի հավասարումներ (8-րդ դասարան)» ծավալուն թեման ուսումնասիրելիս։ Հետագայում այդ գործողությունները անընդհատ կատարելու կարիք չեն ունենա։ Որովհետև կհայտնվի կայուն հմտություն։

• Նախ պետք է հավասարումը գրել ստանդարտ ձևով: Այսինքն՝ սկզբում փոփոխականի ամենամեծ աստիճան ունեցող տերմինը, իսկ հետո՝ առանց աստիճանի, իսկ վերջինը՝ ընդամենը թիվ։

• Եթե ​​«ա» գործակիցից առաջ մինուս է հայտնվում, դա կարող է բարդացնել քառակուսի հավասարումներ ուսումնասիրող սկսնակների աշխատանքը: Ավելի լավ է ազատվել դրանից։ Այդ նպատակով բոլոր հավասարությունները պետք է բազմապատկվեն «-1»-ով: Սա նշանակում է, որ բոլոր տերմինները կփոխեն հակառակ նշանը:

• Խորհուրդ է տրվում նույն կերպ ազատվել ֆրակցիաներից։ Պարզապես հավասարումը բազմապատկեք համապատասխան գործակցով, որպեսզի հայտարարները չեղարկվեն:

Օրինակներ

Պահանջվում է լուծել հետևյալ քառակուսի հավասարումները.

x 2 - 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2):

Առաջին հավասարումը` x 2 − 7x = 0: Այն թերի է, հետևաբար այն լուծվում է այնպես, ինչպես նկարագրված է թիվ երկու բանաձևով:

Փակագծերից հանելուց հետո ստացվում է՝ x (x - 7) = 0։

Առաջին արմատը վերցնում է արժեքը՝ x 1 = 0: Երկրորդը կգտնվի գծային հավասարումից՝ x - 7 = 0: Հեշտ է տեսնել, որ x 2 = 7:

Երկրորդ հավասարումը` 5x 2 + 30 = 0. Կրկին թերի: Միայն այն լուծվում է, ինչպես նկարագրված է երրորդ բանաձեւի համար:

30-ը հավասարման աջ կողմ տեղափոխելուց հետո՝ 5x 2 = 30: Այժմ պետք է բաժանել 5-ի: Ստացվում է՝ x 2 = 6: Պատասխանները կլինեն թվերը՝ x 1 = √6, x 2 = - √6.

Երրորդ հավասարումը. 15 − 2x − x 2 = 0: Այստեղ և ավելի ուշ, քառակուսի հավասարումների լուծումը կսկսվի դրանք վերաշարադրելով ստանդարտ ձևով՝ − x 2 − 2x + 15 = 0: Այժմ ժամանակն է օգտագործել երկրորդը։ օգտակար խորհուրդև ամեն ինչ բազմապատկել մինուս մեկով: Ստացվում է x 2 + 2x - 15 = 0. Չորրորդ բանաձևով պետք է հաշվարկել դիսկրիմինանտը՝ D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64։ Դա դրական թիվ է։ Վերևում ասվածից պարզվում է, որ հավասարումն ունի երկու արմատ. Նրանք պետք է հաշվարկվեն հինգերորդ բանաձևով. Ստացվում է, որ x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Այնուհետեւ x 1 = 3, x 2 = - 5:

Չորրորդ x 2 + 8 + 3x = 0 հավասարումը վերածվում է հետևյալի` x 2 + 3x + 8 = 0: Դրա դիսկրիմինանտը հավասար է այս արժեքին` -23: Քանի որ այս թիվը բացասական է, այս առաջադրանքի պատասխանը կլինի հետևյալ գրառումը. «Արմատներ չկան»:

Հինգերորդ 12x + x 2 + 36 = 0 հավասարումը պետք է վերաշարադրվի հետևյալ կերպ՝ x 2 + 12x + 36 = 0: Տարբերիչի բանաձևը կիրառելուց հետո ստացվում է զրո թիվը։ Սա նշանակում է, որ այն կունենա մեկ արմատ, այն է՝ x = -12/ (2 * 1) = -6:

Վեցերորդ հավասարումը (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) պահանջում է փոխակերպումներ, որոնք բաղկացած են նրանից, որ պետք է բերել նմանատիպ տերմիններ՝ նախ բացելով փակագծերը։ Առաջինի փոխարեն կլինի հետևյալ արտահայտությունը՝ x 2 + 2x + 1։ Հավասարումից հետո կհայտնվի այս գրառումը՝ x 2 + 3x + 2։ Նման թվերը հաշվելուց հետո հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը՝ x 2։ - x = 0. Այն դարձել է թերի: Սրա նման մի բան արդեն քննարկվել է մի փոքր ավելի բարձր: Սրա արմատները կլինեն 0 և 1 թվերը:

Մաթեմատիկայի որոշ խնդիրներ պահանջում են քառակուսի արմատի արժեքը հաշվարկելու ունակություն: Նման խնդիրները ներառում են երկրորդ կարգի հավասարումների լուծումը: Այս հոդվածում ներկայացնում ենք հաշվարկման արդյունավետ մեթոդ քառակուսի արմատներև օգտագործել այն քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերի հետ աշխատելիս:

Ի՞նչ է քառակուսի արմատը:

Մաթեմատիկայի մեջ այս հասկացությունը համապատասխանում է √ նշանին: Պատմական տվյալները վկայում են, որ այն առաջին անգամ օգտագործվել է 16-րդ դարի առաջին կեսին Գերմանիայում (Առաջին գերմանական աշխատությունը հանրահաշվի մասին Քրիստոֆ Ռուդոլֆի կողմից): Գիտնականները կարծում են, որ խորհրդանիշը փոխակերպված լատինատառ r է (ռադիքս լատիներեն նշանակում է «արմատ»):

Ցանկացած թվի արմատը հավասար է այն արժեքին, որի քառակուսին համապատասխանում է արմատական ​​արտահայտությանը: Մաթեմատիկայի լեզվով այս սահմանումը կունենա հետևյալ տեսքը՝ √x = y, եթե y 2 = x:

Դրական թվի արմատը (x > 0) նույնպես դրական թիվ է (y > 0), բայց եթե վերցնենք դրա արմատը. բացասական թիվ(x< 0), то его результатом уже будет համալիր համարը, ներառյալ երևակայական միավորը i.

Ահա երկու պարզ օրինակ.

√9 = 3, քանի որ 3 2 = 9; √(-9) = 3i, քանի որ i 2 = -1:

Հերոնի կրկնվող բանաձևը քառակուսի արմատների արժեքները գտնելու համար

Վերոնշյալ օրինակները շատ պարզ են, և դրանցում արմատները հաշվարկելը դժվար չէ։ Դժվարությունները սկսում են ի հայտ գալ ցանկացած արժեքի համար արմատային արժեքներ գտնելիս, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես քառակուսի բնական թիվ, օրինակ √10, √11, √12, √13, էլ չեմ խոսում այն ​​մասին, որ գործնականում անհրաժեշտ է գտնել ոչ ամբողջ թվերի արմատները՝ օրինակ √(12,15), √(8,5) եւ այլն։

Վերոնշյալ բոլոր դեպքերում պետք է օգտագործել քառակուսի արմատը հաշվարկելու հատուկ մեթոդ: Ներկայումս հայտնի են մի քանի նման մեթոդներ՝ օրինակ՝ Թեյլորի շարքի ընդլայնում, սյունակների բաժանում և մի քանի այլ մեթոդներ։ Բոլոր հայտնի մեթոդներից, թերևս, ամենապարզն ու ամենաարդյունավետը Հերոնի կրկնվող բանաձևի օգտագործումն է, որը նաև հայտնի է որպես քառակուսի արմատների որոշման բաբելոնյան մեթոդ (կա ապացույց, որ հին բաբելոնացիներն այն օգտագործել են իրենց գործնական հաշվարկներում):

Թող անհրաժեշտ լինի որոշել √x-ի արժեքը: Քառակուսի արմատը գտնելու բանաձևը հետևյալն է.

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), որտեղ lim n->∞ (a n) => x.

Եկեք վերծանենք այս մաթեմատիկական նշումը: √x-ը հաշվարկելու համար դուք պետք է վերցնեք որոշակի թիվ a 0 (դա կարող է կամայական լինել, բայց արդյունքն արագ ստանալու համար պետք է ընտրել այնպես, որ (a 0) 2-ը հնարավորինս մոտ լինի x-ին: Այնուհետև այն փոխարինեք թվով: քառակուսի արմատը հաշվարկելու համար նշված բանաձևը և ստացեք նոր թիվ a 1, որն արդեն մոտ կլինի ցանկալի արժեքին: Դրանից հետո դուք պետք է փոխարինեք 1-ով արտահայտության մեջ և ստացեք 2: Այս ընթացակարգը պետք է կրկնել մինչև պահանջվողը ճշգրտություն է ձեռք բերվում.

Հերոնի կրկնվող բանաձևի օգտագործման օրինակ

Տվյալ թվի քառակուսի արմատ ստանալու վերը նկարագրված ալգորիթմը կարող է շատերի համար բավականին բարդ և շփոթեցնող թվալ, բայց իրականում ամեն ինչ շատ ավելի պարզ է ստացվում, քանի որ այս բանաձևը շատ արագ զուգակցվում է (հատկապես, եթե ընտրված է հաջողված a 0) .

Բերենք մի պարզ օրինակ՝ պետք է հաշվարկել √11: Եկեք ընտրենք 0 = 3, քանի որ 3 2 = 9, որն ավելի մոտ է 11-ին, քան 4 2 = 16-ին: Բանաձևի մեջ փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք.

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;

ա 2 = 1/2 (3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;

ա 3 = 1/2 (3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662:

Անիմաստ է շարունակել հաշվարկները, քանի որ մենք պարզեցինք, որ 2-ը և 3-ը սկսում են տարբերվել միայն 5-րդ տասնորդական տեղում: Այսպիսով, 0,0001 ճշտությամբ √11-ը հաշվարկելու համար բավական էր կիրառել բանաձեւը ընդամենը 2 անգամ։

Մեր օրերում հաշվիչներն ու համակարգիչները լայնորեն օգտագործվում են արմատները հաշվարկելու համար, սակայն օգտակար է հիշել նշված բանաձևը, որպեսզի կարողանանք ձեռքով հաշվարկել դրանց ճշգրիտ արժեքը։

Երկրորդ կարգի հավասարումներ

Հասկանալը, թե ինչ է քառակուսի արմատը և այն հաշվարկելու ունակությունը, օգտագործվում է քառակուսի հավասարումներ լուծելիս: Այս հավասարումները կոչվում են մեկ անհայտով հավասարություններ, որոնց ընդհանուր ձևը ներկայացված է ստորև նկարում։

Այստեղ c, b և a-ն ներկայացնում են որոշ թվեր, և a-ն չպետք է հավասար լինի զրոյի, իսկ c և b-ի արժեքները կարող են լինել բոլորովին կամայական, այդ թվում՝ հավասար զրոյի:

X-ի ցանկացած արժեք, որը բավարարում է նկարում նշված հավասարությունը, կոչվում է դրա արմատներ (այս հայեցակարգը չպետք է շփոթել √ քառակուսի արմատի հետ): Քանի որ քննարկվող հավասարումը 2-րդ կարգի է (x 2), ուրեմն դրա համար երկու արմատից ավելի լինել չի կարող։ Եկեք ավելի մանրամասն նայենք հոդվածում, թե ինչպես գտնել այս արմատները:

Գտեք քառակուսի հավասարման արմատները (բանաձև)

Քննարկվող հավասարումների տիպի լուծման այս մեթոդը կոչվում է նաև ունիվերսալ մեթոդ կամ դիսկրիմինանտ մեթոդ։ Այն կարող է օգտագործվել ցանկացած քառակուսի հավասարումների համար: Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտի և արմատների բանաձևը հետևյալն է.

Այն ցույց է տալիս, որ արմատները կախված են հավասարման երեք գործակիցներից յուրաքանչյուրի արժեքից։ Ընդ որում, x 1-ի հաշվարկը x 2-ի հաշվարկից տարբերվում է միայն քառակուսի արմատի դիմացի նշանով։ Արմատական ​​արտահայտությունը, որը հավասար է b 2 - 4ac-ի, ոչ այլ ինչ է, քան խնդրո առարկա հավասարության տարբերակիչ: Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի տարբերակիչը կարևոր դեր է խաղում, քանի որ այն որոշում է լուծումների քանակը և տեսակը: Այսպիսով, եթե այն հավասար է զրոյի, ապա կլինի միայն մեկ լուծում, եթե այն դրական է, ապա հավասարումը ունի երկու իրական արմատ, և վերջապես, բացասական դիսկրիմինանտը հանգեցնում է երկու բարդ արմատների x 1 և x 2:

Վիետայի թեորեմը կամ երկրորդ կարգի հավասարումների արմատների որոշ հատկություններ

16-րդ դարի վերջին ժամանակակից հանրահաշվի հիմնադիրներից մեկը՝ ֆրանսիացին, ուսումնասիրելով երկրորդ կարգի հավասարումները, կարողացավ ստանալ դրա արմատների հատկությունները։ Մաթեմատիկորեն դրանք կարելի է գրել այսպես.

x 1 + x 2 = -b / a և x 1 * x 2 = c / a:

Երկու հավասարություններն էլ հեշտությամբ կարելի է ձեռք բերել յուրաքանչյուրի կողմից, դա անելու համար պարզապես անհրաժեշտ է կատարել համապատասխան մաթեմատիկական գործողություններ դիսկրիմինատորով բանաձևով ստացված արմատներով:

Այս երկու արտահայտությունների համադրությունը իրավամբ կարելի է անվանել քառակուսի հավասարման արմատների երկրորդ բանաձեւը, որը հնարավորություն է տալիս կռահել դրա լուծումները՝ առանց դիսկրիմինանտ օգտագործելու։ Այստեղ պետք է նշել, որ թեև երկու արտահայտություններն էլ միշտ վավեր են, բայց հարմար է դրանք օգտագործել հավասարումը լուծելու համար միայն այն դեպքում, եթե այն հնարավոր լինի ֆակտորիզացնել։

Ձեռք բերված գիտելիքների համախմբման խնդիր

Եկեք որոշենք մաթեմատիկական խնդիր, որում մենք կցուցադրենք հոդվածում քննարկված բոլոր տեխնիկաները։ Խնդրի պայմանները հետևյալն են՝ պետք է գտնել երկու թիվ, որոնց արտադրյալը -13 է, իսկ գումարը՝ 4։

Այս պայմանը մեզ անմիջապես հիշեցնում է Վիետայի թեորեմը, օգտագործելով քառակուսի արմատների գումարի և դրանց արտադրյալի բանաձևերը, մենք գրում ենք.

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13:

Եթե ​​ենթադրենք, որ a = 1, ապա b = -4 և c = -13: Այս գործակիցները մեզ թույլ են տալիս ստեղծել երկրորդ կարգի հավասարում.

x 2 - 4x - 13 = 0:

Եկեք օգտագործենք բանաձևը դիսկրիմինանտի հետ և ստանանք հետևյալ արմատները.

x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68:

Այսինքն՝ խնդիրը կրճատվել է մինչև √68 թիվը։ Նշենք, որ 68 = 4 * 17, ապա, օգտագործելով քառակուսի արմատ հատկությունը, մենք ստանում ենք՝ √68 = 2√17:

Այժմ օգտագործենք քառակուսի արմատի համարվող բանաձևը՝ a 0 = 4, ապա.

ա 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;

ա 2 = 1/2 (4.125 + 17/4.125) = 4.1231:

3-ը հաշվարկելու կարիք չկա, քանի որ հայտնաբերված արժեքները տարբերվում են ընդամենը 0,02-ով: Այսպիսով, √68 = 8.246: Փոխարինելով այն x 1,2 բանաձևով, մենք ստանում ենք.

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 և x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123:

Ինչպես տեսնում ենք, հայտնաբերված թվերի գումարն իսկապես հավասար է 4-ի, բայց եթե գտնենք դրանց արտադրյալը, ապա այն հավասար կլինի -12,999-ի, որը բավարարում է խնդրի պայմանները 0,001 ճշտությամբ։

Պարզապես. Ըստ բանաձևերի և պարզ, պարզ կանոնների։ Առաջին փուլում

անհրաժեշտ է տրված հավասարումը բերել ստանդարտ ձևի, այսինքն. ձևին:

Եթե ​​հավասարումն արդեն տրված է ձեզ այս ձևով, ապա ձեզ հարկավոր չէ անել առաջին փուլը: Ամենակարևորը դա ճիշտ անելն է

որոշել բոլոր գործակիցները, Ա, բԵվ գ.

Քառակուսային հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը.

Արմատային նշանի տակ գտնվող արտահայտությունը կոչվում է խտրական . Ինչպես տեսնում եք, X-ին գտնելու համար մենք

մենք օգտագործում ենք միայն a, b և c. Նրանք. գործակիցները սկսած քառակուսային հավասարում. Պարզապես զգուշորեն դրեք այն

արժեքներ ա, բ և գՄենք հաշվարկում ենք այս բանաձևով. Մենք փոխարինում ենք նրանցնշաններ!

Օրինակ, հավասարման մեջ.

Ա =1; բ = 3; գ = -4.

Մենք փոխարինում ենք արժեքները և գրում.

Օրինակը գրեթե լուծված է.

Սա է պատասխանը։

Ամենատարածված սխալները նշանների արժեքների հետ շփոթությունն են ա, բԵվ Հետ. Ավելի ճիշտ՝ փոխարինմամբ

բացասական արժեքները արմատների հաշվարկման բանաձևում: Բանաձեւի մանրամասն ձայնագրությունը օգնության է գալիս այստեղ

կոնկրետ թվերով։ Եթե ​​խնդիրներ ունեք հաշվարկների հետ, արա դա։

Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք հետևյալ օրինակը.

Այստեղ ա = -6; բ = -5; գ = -1

Մենք նկարագրում ենք ամեն ինչ մանրամասն, ուշադիր, առանց որևէ բան բաց թողնելու բոլոր նշաններով և փակագծերով.

Քառակուսի հավասարումները հաճախ մի փոքր այլ տեսք ունեն: Օրինակ, այսպես.

Այժմ ուշադրություն դարձրեք գործնական մեթոդներին, որոնք կտրուկ նվազեցնում են սխալների թիվը:

Առաջին նշանակումը. Նախկինում մի ծույլ մի եղեք քառակուսի հավասարման լուծումբերել այն ստանդարտ ձևի:

Ինչ է սա նշանակում?

Ասենք, որ բոլոր փոխակերպումներից հետո ստացվում է հետևյալ հավասարումը.

Մի շտապեք գրել արմատային բանաձևը: Դուք գրեթե անկասկած կխառնեք հավանականությունը ա, բ և գ.

Ճիշտ կառուցիր օրինակը: Նախ՝ X քառակուսի, հետո առանց քառակուսու, հետո ազատ տերմինը։ Սրա նման:

Ազատվեք մինուսից. Ինչպե՞ս: Մենք պետք է բազմապատկենք ամբողջ հավասարումը -1-ով: Մենք ստանում ենք.

Բայց հիմա կարող եք ապահով կերպով գրել արմատների բանաձևը, հաշվարկել դիսկրիմինանտը և ավարտել օրինակի լուծումը:

Որոշեք ինքներդ: Այժմ դուք պետք է ունենաք 2 և -1 արմատները:

Ընդունելություն երկրորդ.Ստուգեք արմատները: Ըստ Վիետայի թեորեմա.

Տրված քառակուսային հավասարումները լուծելու համար, այսինքն. եթե գործակիցը

x 2 +bx+c=0,

Հետոx 1 x 2 = c

x 1 + x 2 =−բ

Ամբողջական քառակուսի հավասարման համար, որում a≠1:

x 2 +բx+գ=0,

բաժանեք ամբողջ հավասարումը A:

→ →

Որտեղ x 1Եվ x 2 - հավասարման արմատները:

Ընդունելություն երրորդ. Եթե ​​ձեր հավասարումն ունի կոտորակային գործակիցներ, ազատվեք կոտորակներից: Բազմապատկել

հավասարում ընդհանուր հայտարարով.

Եզրակացություն. Գործնական խորհուրդներ.

1. Լուծելուց առաջ քառակուսի հավասարումը բերում ենք ստանդարտ ձևի և կառուցում Ճիշտ.

2. Եթե X քառակուսու դիմաց բացասական գործակից կա, մենք այն վերացնում ենք՝ բազմապատկելով ամեն ինչ.

հավասարումներ -1-ով:

3. Եթե գործակիցները կոտորակային են, ապա կոտորակները վերացնում ենք՝ ամբողջ հավասարումը բազմապատկելով համապատասխան.

գործոն.

4. Եթե x քառակուսին մաքուր է, ապա դրա գործակիցը հավասար է մեկի, լուծումը հեշտությամբ կարելի է ստուգել՝

Առանձնահատուկ տեղ է գրավում մաթեմատիկայի հավասարումների լուծումը։ Այս գործընթացին նախորդում է տեսության բազում ժամեր ուսումնասիրելը, որի ընթացքում ուսանողը սովորում է, թե ինչպես լուծել հավասարումները, որոշել դրանց տեսակը և հմտությունը հասցնել ամբողջական ավտոմատացման: Այնուամենայնիվ, արմատներ փնտրելը միշտ չէ, որ իմաստ ունի, քանի որ դրանք կարող են պարզապես գոյություն չունենալ: Կան արմատներ գտնելու հատուկ տեխնիկա։ Այս հոդվածում մենք կվերլուծենք հիմնական գործառույթները, դրանց սահմանման տիրույթները, ինչպես նաև այն դեպքերը, երբ դրանց արմատները բացակայում են։

Ո՞ր հավասարումն արմատներ չունի:

Հավասարումը չունի արմատներ, եթե չկան իրական փաստարկներ x, որոնց համար հավասարումը նույնականորեն ճշմարիտ է: Ոչ մասնագետի համար այս ձևակերպումը, ինչպես մաթեմատիկական թեորեմների և բանաձևերի մեծ մասը, շատ անորոշ և վերացական է թվում, բայց սա տեսականորեն է: Գործնականում ամեն ինչ չափազանց պարզ է դառնում։ Օրինակ՝ 0 * x = -53 հավասարումը լուծում չունի, քանի որ չկա x թիվ, որի արտադրյալը զրոյից բացի զրոյից այլ բան կտա:

Այժմ մենք կանդրադառնանք հավասարումների ամենահիմնական տեսակներին:

1. Գծային հավասարում

Հավասարումը կոչվում է գծային, եթե նրա աջ և ձախ կողմերը ներկայացված են որպես գծային ֆունկցիաներ. ax + b = cx + d կամ ընդհանրացված ձևով kx + b = 0: Որտեղ a, b, c, d-ը հայտնի թվեր են, իսկ x-ը an է: անհայտ քանակություն. Ո՞ր հավասարումն արմատներ չունի: Օրինակներ գծային հավասարումներներկայացված են ստորև ներկայացված նկարում:

Հիմնականում գծային հավասարումները լուծվում են՝ պարզապես թվային մասը մի մասի, իսկ x-ի պարունակությունը մյուսին փոխանցելով։ Արդյունքում ստացվում է mx = n ձևի հավասարում, որտեղ m և n թվեր են, իսկ x-ը անհայտ է: X-ը գտնելու համար պարզապես երկու կողմերը բաժանեք m-ի: Այնուհետև x = n/m: Գծային հավասարումների մեծ մասն ունի միայն մեկ արմատ, սակայն լինում են դեպքեր, երբ արմատները կա՛մ անսահման շատ են, կա՛մ ընդհանրապես արմատներ չկան։ Երբ m = 0 և n = 0, հավասարումը ստանում է 0 * x = 0 ձև: Նման հավասարման լուծումը կլինի բացարձակապես ցանկացած թիվ:

Այնուամենայնիվ, ո՞ր հավասարումն արմատներ չունի:

m = 0 և n = 0 համար հավասարումը չունի արմատներ իրական թվերի բազմության մեջ: 0 * x = -1; 0 * x = 200 - այս հավասարումները արմատներ չունեն:

2. Քառակուսային հավասարում

Քառակուսային հավասարումը ax 2 + bx + c = 0 ձևի հավասարումն է a = 0-ի համար: Ամենատարածված լուծումը տարբերակիչի միջոցով է: Քառակուսային հավասարման դիսկրիմինանտը գտնելու բանաձևն է՝ D = b 2 - 4 * a * c: Հաջորդը կան երկու արմատ x 1.2 = (-b ± √D) / 2 * a.

D > 0-ի համար հավասարումն ունի երկու արմատ, D = 0-ի համար՝ մեկ արմատ: Բայց ո՞ր քառակուսային հավասարումն արմատներ չունի։ Քառակուսային հավասարման արմատների թիվը դիտարկելու ամենահեշտ ձևը ֆունկցիայի գրաֆիկական ձևավորումն է, որը պարաբոլա է: a > 0-ի համար ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, a-ի համար< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Դուք կարող եք նաև տեսողականորեն որոշել արմատների քանակը՝ առանց դիսկրիմինանտը հաշվարկելու: Դա անելու համար հարկավոր է գտնել պարաբոլայի գագաթը և որոշել, թե որ ուղղությամբ են ուղղված ճյուղերը: Գագաթի x կոորդինատը կարելի է որոշել՝ օգտագործելով բանաձեւը՝ x 0 = -b / 2a: Այս դեպքում գագաթի y կոորդինատը հայտնաբերվում է՝ պարզապես x 0 արժեքը փոխարինելով սկզբնական հավասարման մեջ:

x 2 - 8x + 72 = 0 քառակուսի հավասարումը արմատներ չունի, քանի որ այն ունի բացասական տարբերակիչ D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224: Սա նշանակում է, որ պարաբոլան չի դիպչում x առանցքին, և ֆունկցիան երբեք չի ընդունում 0 արժեքը, հետևաբար, հավասարումը չունի իրական արմատներ:

3. Եռանկյունաչափական հավասարումներ

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները դիտարկվում են եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա, բայց կարող են ներկայացվել նաև դեկարտյան կոորդինատային համակարգում։ Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք երկու հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաներև դրանց հավասարումները՝ sinx և cosx: Քանի որ այս ֆունկցիաները կազմում են 1 շառավղով եռանկյունաչափական շրջան, |sinx| եւ |cosx| չի կարող 1-ից մեծ լինել: Այսպիսով, ո՞ր sinx հավասարումն արմատներ չունի: Դիտարկենք ստորև նկարում ներկայացված sinx ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Մենք տեսնում ենք, որ ֆունկցիան սիմետրիկ է և ունի 2pi-ի կրկնության շրջան։ Ելնելով դրանից՝ կարելի է ասել, որ այս ֆունկցիայի առավելագույն արժեքը կարող է լինել 1, իսկ նվազագույնը՝ -1։ Օրինակ, cosx = 5 արտահայտությունը արմատներ չի ունենա, քանի որ դրա բացարձակ արժեքը մեկից մեծ է:

Սա եռանկյունաչափական հավասարումների ամենապարզ օրինակն է։ Իրականում դրանց լուծումը կարող է տեւել բազմաթիվ էջեր, որոնց վերջում դուք հասկանում եք, որ սխալ բանաձեւ եք օգտագործել եւ պետք է ամեն ինչ նորից սկսել։ Երբեմն, նույնիսկ եթե դուք ճիշտ գտնեք արմատները, կարող եք մոռանալ հաշվի առնել OD-ի սահմանափակումները, ինչի պատճառով էլ պատասխանում հայտնվում է լրացուցիչ արմատ կամ ընդմիջում, և ամբողջ պատասխանը վերածվում է սխալի։ Հետևաբար, խստորեն հետևեք բոլոր սահմանափակումներին, քանի որ ոչ բոլոր արմատներն են տեղավորվում առաջադրանքի շրջանակում:

4. Հավասարումների համակարգեր

Հավասարումների համակարգը հավասարումների մի շարք է, որոնք միացված են գանգուր կամ քառակուսի փակագծերով: Գանգուր փակագծերը ցույց են տալիս, որ բոլոր հավասարումները կատարվում են միասին: Այսինքն, եթե հավասարումներից գոնե մեկը չունի արմատներ կամ հակասում է մյուսին, ապա ամբողջ համակարգը լուծում չունի: Քառակուսի փակագծերում նշվում է «կամ» բառը: Սա նշանակում է, որ եթե համակարգի հավասարումներից գոնե մեկը լուծում ունի, ապա ամբողջ համակարգը լուծում ունի:

c համակարգի պատասխանը առանձին հավասարումների բոլոր արմատների բազմությունն է։ Իսկ գանգուր բրեկետներով համակարգերը միայն ընդհանուր արմատներ ունեն: Հավասարումների համակարգերը կարող են ներառել բոլորովին այլ գործառույթներ, ուստի նման բարդությունը մեզ թույլ չի տալիս անմիջապես ասել, թե որ հավասարումն արմատներ չունի։

Խնդիրային գրքերում և դասագրքերում կան տարբեր տեսակի հավասարումներ՝ արմատներ ունեցող և չունեցող հավասարումներ: Նախ, եթե դուք չեք կարողանում գտնել արմատները, մի կարծեք, որ դրանք ընդհանրապես չկան: Միգուցե ինչ-որ տեղ սխալվել եք, ապա պարզապես պետք է ուշադիր կրկնակի ստուգել ձեր որոշումը:

Մենք դիտարկեցինք ամենահիմնական հավասարումները և դրանց տեսակները: Այժմ դուք կարող եք ասել, թե որ հավասարումն արմատներ չունի: Շատ դեպքերում դա դժվար չէ անել: Հավասարումների լուծման գործում հաջողության հասնելը միայն ուշադրություն և կենտրոնացում է պահանջում: Ավելի շատ վարժվեք, դա կօգնի ձեզ շատ ավելի լավ և արագ նավարկելու նյութը:

Այսպիսով, հավասարումը արմատներ չունի, եթե.

• mx = n գծային հավասարման մեջ արժեքը m = 0 է և n = 0;
• քառակուսի հավասարման դեպքում, եթե դիսկրիմինատորը զրոյից փոքր է.
• cosx = m / sinx = n ձևի եռանկյունաչափական հավասարման մեջ, եթե |m| > 0, |n| > 0;
• գանգուր փակագծերով հավասարումների համակարգում, եթե առնվազն մեկ հավասարումը չունի արմատներ, և քառակուսի փակագծերով, եթե բոլոր հավասարումները արմատ չունեն:

», այսինքն՝ առաջին աստիճանի հավասարումներ։ Այս դասում մենք կանդրադառնանք այն, ինչ կոչվում է քառակուսի հավասարումև ինչպես լուծել այն:

Ի՞նչ է քառակուսի հավասարումը:

Կարևոր.

Հավասարման աստիճանը որոշվում է անհայտի ամենաբարձր աստիճանով:

Եթե ​​առավելագույն հզորությունը, որում անհայտը «2» է, ապա դուք ունեք քառակուսային հավասարում:

Քառակուսային հավասարումների օրինակներ

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Կարևոր. Քառակուսային հավասարման ընդհանուր ձևն ունի հետևյալ տեսքը.

A x 2 + b x + c = 0

«ա», «բ» և «գ» թվերը տրվում են:

• «ա»-ն առաջին կամ ամենաբարձր գործակիցն է.
• «բ»-ը երկրորդ գործակիցն է.
• «c»-ն անվճար անդամ է:

«a», «b» և «c» գտնելու համար անհրաժեշտ է ձեր հավասարումը համեմատել «ax 2 + bx + c = 0» քառակուսի հավասարման ընդհանուր ձևի հետ:

Փորձենք որոշել «a», «b» և «c» գործակիցները քառակուսի հավասարումներում։

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Հավասարումը	Հնարավորություններ
a = 5 b = −14 գ = 17
a = −7 b = −13 գ = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• գ =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ

Ի տարբերություն գծային հավասարումների՝ քառակուսի հավասարումների լուծման համար օգտագործվում է հատուկ մեթոդ։ արմատներ գտնելու բանաձև.

Հիշիր.

Քառակուսային հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է.

• քառակուսի հավասարումը բերեք «ax 2 + bx + c = 0» ընդհանուր ձևին: Այսինքն՝ աջ կողմում պետք է մնա միայն «0»-ը.
• Օգտագործեք արմատների բանաձեւը.

Եկեք նայենք մի օրինակ, թե ինչպես կարելի է օգտագործել բանաձեւը քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու համար: Լուծենք քառակուսի հավասարում.

X 2 − 3x − 4 = 0

«x 2 − 3x − 4 = 0» հավասարումն արդեն վերածվել է «ax 2 + bx + c = 0» ընդհանուր ձևի և լրացուցիչ պարզեցումներ չի պահանջում։ Այն լուծելու համար պետք է ուղղակի դիմել քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը.

Այս հավասարման համար որոշենք «a», «b» և «c» գործակիցները:

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

Այն կարող է օգտագործվել ցանկացած քառակուսի հավասարում լուծելու համար:

«x 1;2 =» բանաձևում արմատական ​​արտահայտությունը հաճախ փոխարինվում է
«b 2 − 4ac» «D» տառի համար և կոչվում է տարբերակիչ: Խտրականացնող հասկացությունն ավելի մանրամասն քննարկվում է «Ի՞նչ է դիսկրիմինանտը» դասում։

Դիտարկենք քառակուսի հավասարման մեկ այլ օրինակ:

x 2 + 9 + x = 7x

Այս ձևով բավականին դժվար է որոշել «ա», «բ» և «գ» գործակիցները: Նախ հավասարումը կրճատենք «ax 2 + bx + c = 0» ընդհանուր ձևով։

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Այժմ դուք կարող եք օգտագործել արմատների բանաձեւը.

X 1;2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
Պատասխան՝ x = 3

Լինում են դեպքեր, երբ քառակուսի հավասարումները արմատներ չունեն։ Այս իրավիճակը տեղի է ունենում, երբ բանաձեւը բացասական թիվ է պարունակում արմատի տակ: