Էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծում առցանց հաշվիչ: Հավասարումներ առցանց. Այն, ինչ պետք է հիշել գծային հավասարումներ լուծելիս

Կոտորակների առցանց հաշվիչը թույլ է տալիս կոտորակների հետ կատարել պարզ թվաբանական գործողություններ՝ կոտորակներ ավելացնել, կոտորակներ հանել, կոտորակներ բազմապատկել, կոտորակներ բաժանել: Հաշվարկներ կատարելու համար լրացրեք երկու կոտորակների համարիչներին և հայտարարին համապատասխան դաշտերը։

Կոտորակները մաթեմատիկայի մեջմիավորի մի մասը կամ դրա մի քանի մասերը ներկայացնող թիվ է։

Ընդհանուր կոտորակը գրվում է որպես երկու թվեր, որոնք սովորաբար բաժանվում են հորիզոնական գծով, որը ցույց է տալիս բաժանման նշանը: Գծից վերեւ գտնվող թիվը կոչվում է համարիչ: Գծի տակ գտնվող թիվը կոչվում է հայտարար: Կոտորակի հայտարարը ցույց է տալիս հավասար մասերի թիվը, որոնց բաժանվում է ամբողջը, իսկ կոտորակի համարիչը ցույց է տալիս վերցված ամբողջի այս մասերի թիվը։

Կոտորակները կարող են լինել կանոնավոր կամ ոչ պատշաճ:

• Այն կոտորակը, որի համարիչը փոքր է հայտարարից, կոչվում է պատշաճ կոտորակ:
• Անպատշաճ կոտորակն այն է, երբ կոտորակի համարիչը մեծ է հայտարարից:

Խառը կոտորակը այն կոտորակն է, որը գրվում է որպես ամբողջ թիվ և պատշաճ կոտորակ և հասկացվում է որպես այս թվի և կոտորակային մասի գումար: Ըստ այդմ, այն կոտորակը, որը չունի ամբողջ թիվ, կոչվում է պարզ կոտորակ։ Ցանկացած խառը կոտորակ կարող է վերածվել ոչ պատշաճ կոտորակի:

Խառը կոտորակը ընդհանուր կոտորակի վերածելու համար պետք է կոտորակի համարիչին ավելացնել ամբողջ մասի և հայտարարի արտադրյալը.

Ինչպես սովորական կոտորակը վերածել խառը կոտորակի

Սովորական կոտորակը խառը կոտորակի վերածելու համար պետք է.

1. Կոտորակի համարիչը բաժանի՛ր հայտարարի վրա
2. Բաժանման արդյունքը կլինի ամբողջ մասը
3. Բաժանմունքի մնացորդը կլինի համարիչը

Ինչպես փոխարկել կոտորակը տասնորդականի

Կոտորակը տասնորդականի վերածելու համար անհրաժեշտ է նրա համարիչը բաժանել հայտարարի վրա։

Տասնորդական կոտորակը սովորական կոտորակի վերածելու համար պետք է.

Ինչպես փոխարկել կոտորակը տոկոսի

Ընդհանուր կամ խառը կոտորակը տոկոսի փոխարկելու համար անհրաժեշտ է այն վերածել տասնորդական կոտորակի և բազմապատկել 100-ով։

Ինչպես փոխարկել տոկոսները կոտորակների

Տոկոսները կոտորակների վերածելու համար անհրաժեշտ է տոկոսից ստանալ տասնորդական կոտորակ (բաժանելով 100-ի), այնուհետև ստացված տասնորդական կոտորակը վերածել սովորական կոտորակի։

Կոտորակների ավելացում

Երկու կոտորակ գումարելու ալգորիթմը հետևյալն է.

1. Կատարե՛ք կոտորակների գումարում` ավելացնելով դրանց համարիչները:

Կոտորակների հանում

Երկու կոտորակ հանելու ալգորիթմ.

1. Խառը կոտորակները վերածել սովորական կոտորակների (ազատվել ամբողջ մասից):
2. Կոտորակները կրճատել ընդհանուր հայտարարի: Դա անելու համար անհրաժեշտ է առաջին կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել երկրորդ կոտորակի հայտարարով, իսկ երկրորդ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել առաջին կոտորակի հայտարարով:
3. Մեկ կոտորակը մյուսից հանել՝ առաջինի համարիչից հանելով երկրորդ կոտորակի համարիչը:
4. Գտե՛ք համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (GCD) և կրճատե՛ք կոտորակը` բաժանելով համարիչը և հայտարարը GCD-ի:
5. Եթե ​​վերջնական կոտորակի համարիչը մեծ է հայտարարից, ապա ընտրեք ամբողջ մասը։

Կոտորակների բազմապատկում

Երկու կոտորակների բազմապատկման ալգորիթմ.

1. Խառը կոտորակները վերածել սովորական կոտորակների (ազատվել ամբողջ մասից):
2. Գտե՛ք համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (GCD) և կրճատե՛ք կոտորակը` բաժանելով համարիչը և հայտարարը GCD-ի:
3. Եթե ​​վերջնական կոտորակի համարիչը մեծ է հայտարարից, ապա ընտրեք ամբողջ մասը։

Կոտորակների բաժանում

Երկու կոտորակ բաժանելու ալգորիթմ.

1. Խառը կոտորակները վերածել սովորական կոտորակների (ազատվել ամբողջ մասից):
2. Կոտորակները բաժանելու համար անհրաժեշտ է փոխակերպել երկրորդ կոտորակը` փոխանակելով նրա համարն ու հայտարարը, այնուհետև բազմապատկել կոտորակները:
3. Առաջին կոտորակի համարիչը բազմապատկեք երկրորդ կոտորակի համարիչով, իսկ առաջին կոտորակի հայտարարը երկրորդի հայտարարով:
4. Գտե՛ք համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (GCD) և կրճատե՛ք կոտորակը` բաժանելով համարիչը և հայտարարը GCD-ի:
5. Եթե ​​վերջնական կոտորակի համարիչը մեծ է հայտարարից, ապա ընտրեք ամբողջ մասը։

Առցանց հաշվիչներ և փոխարկիչներ.

Եկեք վերլուծենք հավասարումների համակարգերի լուծումների երկու տեսակ.

1. Համակարգի լուծում փոխարինման մեթոդով.
2. Համակարգի լուծումը համակարգի հավասարումների գումարումով (հանումով):

Հավասարումների համակարգը լուծելու համար փոխարինման մեթոդովդուք պետք է հետևեք մի պարզ ալգորիթմի.
1. Էքսպրես. Ցանկացած հավասարումից մենք արտահայտում ենք մեկ փոփոխական։
2. Փոխարինող. Արտահայտված փոփոխականի փոխարեն ստացված արժեքը փոխարինում ենք մեկ այլ հավասարմամբ։
3. Ստացված հավասարումը լուծի՛ր մեկ փոփոխականով։ Մենք համակարգին լուծում ենք գտնում.

Լուծել համակարգը՝ ժամկետային գումարման (հանման) մեթոդովանհրաժեշտ է.
1. Ընտրեք փոփոխական, որի համար մենք կկազմենք նույնական գործակիցներ։
2. Մենք գումարում կամ հանում ենք հավասարումներ, արդյունքում ստացվում է մեկ փոփոխականով հավասարում:
3. Լուծե՛ք ստացված գծային հավասարումը։ Մենք համակարգին լուծում ենք գտնում.

Համակարգի լուծումը ֆունկցիայի գրաֆիկների հատման կետերն են:

Եկեք մանրամասն քննարկենք համակարգերի լուծումը օրինակներով:

Օրինակ #1:

Եկեք լուծենք փոխարինման մեթոդով

Փոխարինման մեթոդով հավասարումների համակարգի լուծում

2x+5y=1 (1 հավասարում)
x-10y=3 (2-րդ հավասարում)

1. Էքսպրես
Երևում է, որ երկրորդ հավասարման մեջ կա x փոփոխական՝ 1 գործակցով, ինչը նշանակում է, որ ամենահեշտն է արտահայտել x փոփոխականը երկրորդ հավասարումից։
x=3+10y

2. Այն արտահայտելուց հետո առաջին հավասարման մեջ փոխարինում ենք 3+10y՝ x փոփոխականի փոխարեն:
2(3+10y)+5y=1

3. Ստացված հավասարումը լուծի՛ր մեկ փոփոխականով։
2(3+10y)+5y=1 (բացեք փակագծերը)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5։25
y=-0.2

Հավասարումների համակարգի լուծումը գրաֆիկների հատման կետերն են, հետևաբար պետք է գտնել x և y, քանի որ հատման կետը բաղկացած է x-ից և y-ից։Գտնենք x-ը, այն առաջին կետում, որտեղ արտահայտել ենք, փոխարինում ենք y-ին։
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Ընդունված է միավորներ գրել առաջին տեղում գրում ենք x փոփոխականը, իսկ երկրորդում՝ y փոփոխականը։
Պատասխան՝ (1; -0.2)

Օրինակ #2:

Եկեք լուծենք՝ օգտագործելով ժամկետ առ անդամ գումարման (հանման) մեթոդը։

Հավասարումների համակարգի լուծում՝ օգտագործելով գումարման մեթոդը

3x-2y=1 (1 հավասարում)
2x-3y=-10 (2-րդ հավասարում)

1. Ընտրում ենք փոփոխական, ասենք՝ ընտրում ենք x: Առաջին հավասարման մեջ x փոփոխականն ունի 3 գործակից, երկրորդում՝ 2։ Պետք է գործակիցները դարձնենք նույնը, դրա համար իրավունք ունենք բազմապատկել հավասարումները կամ բաժանել ցանկացած թվի։ Առաջին հավասարումը բազմապատկում ենք 2-ով, իսկ երկրորդը՝ 3-ով և ստանում ենք 6 ընդհանուր գործակից։

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Առաջին հավասարումից հանեք երկրորդը՝ x փոփոխականից ազատվելու համար Լուծե՛ք գծային հավասարումը։
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Գտիր x. Գտնված y-ը փոխարինում ենք որևէ հավասարման մեջ, ասենք առաջին հավասարման մեջ։
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Խաչմերուկը կլինի x=4,6; y=6.4
Պատասխան՝ (4.6; 6.4)

Ցանկանու՞մ եք անվճար պատրաստվել քննություններին: Ուսուցիչ առցանց անվճար. Առանց կատակի.

Որոնք են իռացիոնալ հավասարումները և ինչպես լուծել դրանք

Հավասարումները, որոնցում փոփոխականը պարունակվում է արմատական ​​նշանի կամ կոտորակային հզորության բարձրացման նշանի տակ, կոչվում են. իռացիոնալ. Երբ մենք գործ ունենք կոտորակային ուժերի հետ, մենք մեզ զրկում ենք հավասարումը լուծելու մաթեմատիկական բազմաթիվ գործողություններից, ուստի իռացիոնալ հավասարումները լուծվում են հատուկ ձևով:

Իռացիոնալ հավասարումները սովորաբար լուծվում են հավասարման երկու կողմերը նույն ուժի վրա բարձրացնելով: Այս դեպքում հավասարման երկու կողմերը նույն կենտ հզորության վրա բարձրացնելը հավասարման համարժեք փոխակերպումն է, իսկ այն հավասարաչափի հասցնելը անհավասար փոխակերպում է։ Այս տարբերությունը ձեռք է բերվում ուժի բարձրացման այնպիսի հատկանիշների շնորհիվ, ինչպիսիք են, եթե հասցվում է հավասարաչափի, ապա բացասական արժեքները «կորչում են»:

Իռացիոնալ հավասարման երկու կողմերն էլ ուժի հասցնելու իմաստը «իռացիոնալությունից» ազատվելու ցանկությունն է։ Այսպիսով, մենք պետք է իռացիոնալ հավասարման երկու կողմերն էլ այնպես բարձրացնենք, որ հավասարման երկու կողմերի բոլոր կոտորակային ուժերը վերածվեն ամբողջ թվերի: Որից հետո կարող եք փնտրել այս հավասարման լուծումը, որը կհամընկնի իռացիոնալ հավասարման լուծումների հետ, այն տարբերությամբ, որ հավասարաչափի բարձրացման դեպքում նշանը կորչում է, և վերջնական լուծումները կպահանջեն ստուգում և ոչ բոլորը հարմար կլինեն:

Այսպիսով, հիմնական դժվարությունը կապված է հավասարման երկու կողմերը նույն ուժի վրա բարձրացնելու հետ. փոխակերպման անհավասարության պատճառով կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ: Հետեւաբար, անհրաժեշտ է ստուգել բոլոր հայտնաբերված արմատները: Նրանք, ովքեր լուծում են իռացիոնալ հավասարումը, ամենից հաճախ մոռանում են ստուգել գտնված արմատները։ Նաև միշտ չէ, որ պարզ է, թե ինչ աստիճանի պետք է բարձրացվի իռացիոնալ հավասարումը իռացիոնալությունից ազատվելու և այն լուծելու համար։ Մեր խելացի հաշվիչը ստեղծվել է հատուկ իռացիոնալ հավասարումներ լուծելու և բոլոր արմատները ավտոմատ կերպով ստուգելու համար, ինչը ձեզ կփրկի մոռացկոտությունից։

Անվճար առցանց իռացիոնալ հավասարումների հաշվիչ

Մեր անվճար լուծիչը թույլ կտա ձեզ հաշված վայրկյանների ընթացքում առցանց լուծել ցանկացած բարդության իռացիոնալ հավասարումը: Ձեզ անհրաժեշտ է պարզապես մուտքագրել ձեր տվյալները հաշվիչի մեջ: Ինչպես լուծել հավասարումը, կարող եք իմանալ նաև մեր կայքում: Եվ եթե դեռ հարցեր ունեք, կարող եք դրանք ուղղել մեր VKontakte խմբում:

Ծառայության նպատակը. Մատրիցային հաշվիչը նախատեսված է գծային հավասարումների համակարգեր լուծելու համար՝ օգտագործելով մատրիցային մեթոդ (տես նմանատիպ խնդիրների լուծման օրինակ):

Հրահանգներ. Առցանց լուծելու համար անհրաժեշտ է ընտրել հավասարման տեսակը և սահմանել համապատասխան մատրիցների չափերը։ որտեղ A, B, C նշված մատրիցներն են, X-ը ցանկալի մատրիցն է: (1), (2) և (3) ձևի մատրիցային հավասարումները լուծվում են A -1 հակադարձ մատրիցով: Եթե ​​տրված է A·X - B = C արտահայտությունը, ապա անհրաժեշտ է նախ ավելացնել C + B մատրիցները և լուծում գտնել A·X = D արտահայտության համար, որտեղ D = C + B: Եթե ​​տրված է A*X = B 2 արտահայտությունը, ապա B մատրիցը նախ պետք է քառակուսի դնել:

Խորհուրդ է տրվում նաև ծանոթանալ մատրիցների հիմնական գործողություններին:

Օրինակ թիվ 1. Զորավարժություններ. Գտեք մատրիցային հավասարման լուծումը
Լուծում. Նշենք.
Այնուհետև մատրիցային հավասարումը կգրվի A·X·B = C ձևով:
A մատրիցի որոշիչը հավասար է detA=-1
Քանի որ A-ն ոչ եզակի մատրից է, կա հակադարձ մատրիցա A -1: Ձախ կողմում գտնվող հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք A -1-ով: Ձախից այս հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք A -1-ով, իսկ աջ կողմում B -1-ով. A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Քանի որ A A -1 = B B -1 = E և E X = X E = X, ապա X = A -1 C B -1

Հակադարձ մատրիցա A -1:
Գտնենք B -1 հակադարձ մատրիցը։
Փոխանցված մատրիցա B T:
Հակադարձ մատրիցա B -1:
Մենք փնտրում ենք X մատրիցը՝ օգտագործելով X = A -1 ·C·B -1 բանաձևը

Պատասխան.

Օրինակ թիվ 2. Զորավարժություններ.Լուծել մատրիցային հավասարումը
Լուծում. Նշենք.
Այնուհետև մատրիցային հավասարումը կգրվի A·X = B ձևով:
A մատրիցի որոշիչը detA=0 է
Քանի որ A-ն եզակի մատրիցա է (որոշիչը 0 է), հետևաբար հավասարումը լուծում չունի:

Օրինակ թիվ 3. Զորավարժություններ. Գտեք մատրիցային հավասարման լուծումը
Լուծում. Նշենք.
Այնուհետև մատրիցային հավասարումը կգրվի X A = B ձևով:
A մատրիցի որոշիչը detA=-60 է
Քանի որ A-ն ոչ եզակի մատրից է, կա հակադարձ մատրիցա A -1: Եկեք աջ կողմում գտնվող հավասարման երկու կողմերը բազմապատկենք A -1-ով. X A A -1 = B A -1, որտեղից գտնում ենք, որ X = B A -1.
Եկեք գտնենք A -1 հակադարձ մատրիցը:
Փոխանցված մատրիցա A T:
Հակադարձ մատրիցա A -1:
Մենք փնտրում ենք X մատրիցը՝ օգտագործելով X = B A -1 բանաձևը


Պատասխան՝ >

Հրահանգներ

Նշում:π գրվում է pi; քառակուսի արմատ որպես sqrt().

Քայլ 1.Մուտքագրեք կոտորակներից բաղկացած տրված օրինակ:

Քայլ 2.Սեղմեք «Լուծել» կոճակը:

Քայլ 3.Ստացեք մանրամասն արդյունքներ:

Ապահովելու համար, որ հաշվիչը ճիշտ է հաշվարկում կոտորակները, մուտքագրեք «/» նշանով առանձնացված կոտորակը: Օրինակ: . Հաշվիչը կհաշվի հավասարումը և նույնիսկ գրաֆիկի վրա ցույց կտա, թե ինչու է ստացվել այս արդյունքը:

Ի՞նչ է հավասարումը կոտորակների հետ

Կոտորակի հավասարումը այն հավասարումն է, որի գործակիցները կոտորակային թվեր են: Կոտորակներով գծային հավասարումները լուծվում են ըստ ստանդարտ սխեմայի՝ անհայտները տեղափոխվում են մի կողմ, իսկ հայտնիները՝ մյուս կողմ։

Դիտարկենք օրինակ.

Անհայտ կոտորակները փոխանցվում են ձախ, իսկ մյուս կոտորակները՝ աջ։ Երբ թվերը փոխանցվում են հավասար նշանից այն կողմ, ապա թվերի նշանը փոխվում է հակառակի.

Այժմ դուք միայն պետք է կատարեք հավասարության երկու կողմերի գործողությունները.

Ստացվում է սովորական գծային հավասարում։ Այժմ անհրաժեշտ է ձախ և աջ կողմերը բաժանել փոփոխականի գործակցով։

Լուծեք հավասարումներ կոտորակներով առցանցթարմացվել է՝ 2018 թվականի հոկտեմբերի 7-ին. Գիտական ​​հոդվածներ.Ru