Գծային անհավասարությունների համակարգերի գրաֆիկական լուծում: Էքսպոնենցիալ անհավասարությունների լուծում Կրկնակի անհավասարությունների լուծում առցանց

Նախ, մի փոքր երգեր՝ զգալու այն խնդիրը, որը լուծում է միջակայքի մեթոդը: Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք հետևյալ անհավասարությունը.

(x − 5) (x + 3) > 0

Որո՞նք են տարբերակները: Առաջին բանը, որ գալիս է ուսանողների մեծամասնության մտքին, «գումարած գումարը տալիս է գումարած» և «մինուս մինուսը տալիս է գումարած» կանոններն են: Հետևաբար, բավական է դիտարկել այն դեպքը, երբ երկու փակագծերը դրական են՝ x − 5 > 0 և x + 3 > 0: Այնուհետև մենք դիտարկում ենք նաև այն դեպքը, երբ երկու փակագծերը բացասական են՝ x − 5:< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Ավելի առաջադեմ ուսանողները (գուցե) կհիշեն, որ ձախ կողմում է քառակուսի ֆունկցիա, որի գրաֆիկը պարաբոլա է։ Ավելին, այս պարաբոլան հատում է OX առանցքը x = 5 և x = −3 կետերում: Հետագա աշխատանքի համար անհրաժեշտ է բացել փակագծերը։ Մենք ունենք:

x 2 − 2x − 15 > 0

Այժմ պարզ է, որ պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, քանի որ գործակից a = 1 > 0. Փորձենք գծել այս պարաբոլայի դիագրամը.

Ֆունկցիան զրոյից մեծ է, որտեղ այն անցնում է OX առանցքից վեր: Մեր դեպքում դրանք (−∞ −3) և (5; +∞) ընդմիջումներն են՝ սա է պատասխանը։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ նկարը ճշգրիտ է ֆունկցիայի դիագրամ, ոչ թե նրա ժամանակացույցը: Քանի որ իրական գրաֆիկի համար անհրաժեշտ է հաշվել կոորդինատները, հաշվարկել տեղաշարժերը և այլ անհեթեթություններ, որոնք մենք առայժմ բացարձակապես ոչ մի օգուտ չունենք:

Ինչու են այս մեթոդները անարդյունավետ:

Այսպիսով, մենք դիտարկել ենք նույն անհավասարության երկու լուծում: Երկուսն էլ բավականին ծանրաբեռնված են ստացվել։ Առաջին որոշումը ծագում է, պարզապես մտածեք դրա մասին: — անհավասարությունների համակարգերի մի շարք: Երկրորդ լուծումը նույնպես առանձնապես հեշտ չէ. անհրաժեշտ է հիշել պարաբոլայի գրաֆիկը և մի շարք այլ փոքր փաստեր:

Դա շատ պարզ անհավասարություն էր։ Այն ունի ընդամենը 2 բազմապատկիչ: Հիմա պատկերացրեք, որ կլինի ոչ թե 2, այլ առնվազն 4 բազմապատկիչ։Օրինակ.

(x − 7) (x − 1) (x + 4) (x + 9)< 0

Ինչպե՞ս լուծել նման անհավասարությունը: Անցնե՞լ կողմ և դեմ բոլոր հնարավոր համակցությունները: Այո, մենք ավելի արագ կքնենք, քան լուծում գտնենք։ Գրաֆիկ նկարելը նույնպես տարբերակ չէ, քանի որ պարզ չէ, թե ինչպես է նման ֆունկցիան իրեն պահում կոորդինատային հարթության վրա:

Նման անհավասարությունների համար անհրաժեշտ է լուծման հատուկ ալգորիթմ, որը մենք կքննարկենք այսօր։

Ո՞րն է միջակայքի մեթոդը

Ինտերվալ մեթոդը հատուկ ալգորիթմ է, որը նախատեսված է f (x) > 0 և f (x) ձևի բարդ անհավասարությունների լուծման համար:< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. Լուծե՛ք f (x) = 0 հավասարումը: Այսպիսով, անհավասարության փոխարեն մենք ստանում ենք մի հավասարում, որը լուծելը շատ ավելի պարզ է.
2. Բոլոր ստացված արմատները նշեք կոորդինատային գծի վրա: Այսպիսով, ուղիղ գիծը կբաժանվի մի քանի ընդմիջումներով.
3. Պարզեք f (x) ֆունկցիայի նշանը (գումարած կամ մինուս) ամենաաջ միջակայքում: Դա անելու համար բավական է փոխարինել f (x) ցանկացած թվով, որը կլինի բոլոր նշված արմատների աջ կողմում.
4. Նշեք նշանները մնացած ընդմիջումներով: Դա անելու համար պարզապես հիշեք, որ յուրաքանչյուր արմատից անցնելիս նշանը փոխվում է։

Այսքանը: Սրանից հետո մնում է միայն գրել մեզ հետաքրքրող միջակայքերը։ Դրանք նշվում են «+» նշանով, եթե անհավասարությունը եղել է f (x) > 0 ձևով, կամ «−» նշանով, եթե անհավասարությունը եղել է f (x) ձևի:< 0.

Առաջին հայացքից կարող է թվալ, որ ինտերվալային մեթոդը ինչ-որ փոքրիկ բան է: Բայց գործնականում ամեն ինչ շատ պարզ կլինի։ Պարզապես մի փոքր պարապեք, և ամեն ինչ պարզ կդառնա։ Նայեք օրինակներին և համոզվեք ինքներդ.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

(x − 2) (x + 7)< 0

Մենք աշխատում ենք ինտերվալ մեթոդով: Քայլ 1. անհավասարությունը փոխարինեք հավասարմամբ և լուծեք այն.

(x − 2) (x + 7) = 0

Արտադրանքը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե գործոններից առնվազն մեկը զրո է.

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Մենք երկու արմատ ենք ստացել. Անցնենք 2-րդ քայլին՝ նշեք այս արմատները կոորդինատային գծի վրա: Մենք ունենք:

Այժմ քայլ 3. Գտեք ֆունկցիայի նշանը ամենաաջ միջակայքում (նշված կետից x = 2): Դա անելու համար հարկավոր է վերցնել ցանկացած թիվ, որը մեծ է x = 2 թվից: Օրինակ, վերցնենք x = 3 (բայց ոչ ոք չի արգելում վերցնել x = 4, x = 10 և նույնիսկ x = 10000): Մենք ստանում ենք.

f (x) = (x - 2) (x + 7);
x = 3;
f (3) = (3 − 2) (3 + 7) = 1 10 = 10;

Մենք գտնում ենք, որ f (3) = 10 > 0, ուստի մենք գումարած նշան ենք դնում ամենաաջ միջակայքում:

Եկեք անցնենք վերջին կետին. մենք պետք է նշենք նշանները մնացած ընդմիջումներով: Մենք հիշում ենք, որ յուրաքանչյուր արմատով անցնելիս նշանը պետք է փոխվի։ Օրինակ, x = 2 արմատի աջ կողմում կա գումարած (մենք դրանում համոզվեցինք նախորդ քայլում), ուստի պետք է լինի մինուս ձախ կողմում:

Այս մինուսը տարածվում է ամբողջ միջակայքի վրա (−7; 2), ուստի x = −7 արմատից աջ մինուս կա։ Հետևաբար, x = −7 արմատից ձախ կա գումարած։ Մնում է նշել այս նշանները կոորդինատային առանցք. Մենք ունենք:

Վերադառնանք սկզբնական անհավասարությանը, որն ուներ ձևը.

(x − 2) (x + 7)< 0

Այսպիսով, ֆունկցիան պետք է լինի զրոյից փոքր: Սա նշանակում է, որ մեզ հետաքրքրում է մինուս նշանը, որը հայտնվում է միայն մեկ միջակայքում՝ (−7; 2): Սա կլինի պատասխանը։

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

(x + 9) (x - 3) (1 - x)< 0

Քայլ 1. ձախ կողմը դրեք զրոյի.

(x + 9) (x - 3) (1 - x) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1:

Հիշեք. արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի: Այդ իսկ պատճառով մենք իրավունք ունենք յուրաքանչյուր առանձին փակագիծ հավասարեցնել զրոյի։

Քայլ 2. նշեք բոլոր արմատները կոորդինատային գծի վրա.

Քայլ 3. պարզել ամենաաջ բացվածքի նշանը: Մենք վերցնում ենք ցանկացած թիվ, որը մեծ է x = 1-ից: Օրինակ, մենք կարող ենք վերցնել x = 10: Մենք ունենք.

f (x) = (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x = 10;
f (10) = (10 + 9) (10 − 3) (1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197;
f (10) = −1197< 0.

Քայլ 4. տեղադրելով մնացած նշանները: Մենք հիշում ենք, որ յուրաքանչյուր արմատով անցնելիս նշանը փոխվում է։ Արդյունքում մեր նկարը կունենա հետևյալ տեսքը.

Այսքանը: Մնում է միայն գրել պատասխանը։ Եվս մեկ նայեք սկզբնական անհավասարությանը.

(x + 9) (x - 3) (1 - x)< 0

Սա f(x) ձևի անհավասարությունն է< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Սա է պատասխանը։

Նշում ֆունկցիայի նշանների մասին

Պրակտիկան ցույց է տալիս, որ միջակայքի մեթոդի ամենամեծ դժվարությունները ծագում են վերջին երկու քայլերում, այսինքն. նշաններ տեղադրելիս. Շատ ուսանողներ սկսում են շփոթվել, թե որ թվերը վերցնել և որտեղ դնել նշանները:

Ընդմիջման մեթոդը վերջապես հասկանալու համար հաշվի առեք երկու դիտարկում, որոնց վրա այն հիմնված է.

1. Շարունակական ֆունկցիան փոխում է նշանը միայն այդ կետերում որտեղ այն հավասար է զրոյի. Նման կետերը կոորդինատային առանցքը բաժանում են մասերի, որոնց ներսում ֆունկցիայի նշանը երբեք չի փոխվում։ Այդ իսկ պատճառով մենք լուծում ենք f (x) = 0 հավասարումը և գտնված արմատները նշում ենք ուղիղ գծի վրա։ Գտնված թվերը «սահմանային» կետեր են, որոնք բաժանում են դրական և բացասական կողմերը:
2. Ցանկացած ինտերվալի վրա ֆունկցիայի նշանը պարզելու համար բավական է այս միջակայքից ցանկացած թիվ փոխարինել ֆունկցիայի մեջ։ Օրինակ, (−5; 6) միջակայքի համար մենք իրավունք ունենք վերցնել x = −4, x = 0, x = 4 և նույնիսկ x = 1,29374, եթե ցանկանանք: Ինչու՞ է դա կարևոր: Այո, քանի որ կասկածները սկսում են կրծել շատ ուսանողների: Օրինակ՝ ի՞նչ, եթե x = −4-ի համար մենք ստանում ենք գումարած, իսկ x = 0-ի համար՝ մինուս: Բայց նման բան երբեք չի լինի։ Միևնույն միջակայքի բոլոր կետերը տալիս են նույն նշանը: Հիշեք սա.

Դա այն ամենն է, ինչ դուք պետք է իմանաք միջակայքի մեթոդի մասին: Իհարկե, մենք այն վերլուծել ենք ամենապարզ ձևով։ Կան ավելի բարդ անհավասարություններ՝ ոչ խիստ, կոտորակային և կրկնվող արմատներով։ Նրանց համար կարող եք օգտագործել նաև միջակայքի մեթոդը, բայց սա առանձին մեծ դասի թեմա է։

Այժմ ես կցանկանայի դիտարկել առաջադեմ տեխնիկան, որը կտրուկ պարզեցնում է միջակայքի մեթոդը: Ավելի ճիշտ, պարզեցումն ազդում է միայն երրորդ քայլի վրա՝ գծի ամենաաջ հատվածի նշանի հաշվարկը: Չգիտես ինչու, այս տեխնիկան դպրոցներում չի սովորեցնում (համենայնդեպս ինձ ոչ ոք դա չի բացատրել): Բայց ապարդյուն, քանի որ իրականում այս ալգորիթմը շատ պարզ է:

Այսպիսով, ֆունկցիայի նշանը թվային տողի աջ հատվածում է: Այս կտորն ունի (a ; +∞) ձևը, որտեղ a-ն f (x) = 0 հավասարման ամենամեծ արմատն է: Որպեսզի ձեր միտքը չփչացվի, եկեք դիտարկենք կոնկրետ օրինակ.

(x − 1)(2 + x)(7 − x)< 0;
f (x) = (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x - 1) (2 + x) (7 - x) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Մենք ստացանք 3 արմատ. Թվարկենք դրանք աճման կարգով՝ x = −2, x = 1 և x = 7: Ակնհայտ է, որ ամենամեծ արմատը x = 7 է:

Նրանց համար, ում համար ավելի հեշտ է գրաֆիկորեն տրամաբանելը, ես կնշեմ այս արմատները կոորդինատային գծի վրա: Տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում.

Պահանջվում է գտնել f (x) ֆունկցիայի նշանը ամենաաջ միջակայքում, այսինքն. դեպի (7; +∞): Բայց ինչպես արդեն նշել ենք, նշանը որոշելու համար կարելի է ցանկացած թիվ վերցնել այս միջակայքից: Օրինակ, դուք կարող եք վերցնել x = 8, x = 150 և այլն: Իսկ հիմա՝ նույն տեխնիկան, որը դպրոցներում չեն սովորեցնում՝ անսահմանությունը որպես թիվ ընդունենք։ Ավելի ճիշտ՝ գումարած անսահմանություն, այսինքն. +∞.

«Դուք քարկոծվե՞լ եք։ Ինչպե՞ս կարող ես անսահմանությունը փոխարինել ֆունկցիայի մեջ»։ - կարող եք հարցնել. Բայց մտածեք դրա մասին. մեզ պետք չէ բուն ֆունկցիայի արժեքը, մեզ միայն պետք է նշանը: Հետևաբար, օրինակ, f (x) = −1 և f (x) = −938 740 576 215 արժեքները նշանակում են նույն բանը. այս միջակայքի ֆունկցիան բացասական է: Հետևաբար, ձեզնից պահանջվում է միայն գտնել այն նշանը, որը հայտնվում է անսահմանության մեջ, և ոչ թե ֆունկցիայի արժեքը։

Իրականում, անսահմանությունը փոխարինելը շատ պարզ է: Վերադառնանք մեր գործառույթին.

f (x) = (x - 1) (2 + x) (7 - x)

Պատկերացրեք, որ x-ը շատ է մեծ թիվ. Միլիարդ կամ նույնիսկ տրիլիոն: Այժմ տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում յուրաքանչյուր փակագծում:

Առաջին փակագիծը՝ (x − 1): Ի՞նչ կլինի, եթե միլիարդից հանեք մեկը: Արդյունքը կլինի միլիարդից քիչ տարբերվող թիվ, և այս թիվը կլինի դրական։ Նմանապես երկրորդ փակագծով. (2 + x): Եթե ​​միլիարդը երկուսին գումարենք, կստանանք միլիարդ ու կոպեկ՝ սա է դրական թիվ. Վերջապես երրորդ փակագիծը՝ (7 − x): Այստեղ կլինի մինուս միլիարդը, որից «հոշոտվեց» մի ողորմելի կտոր՝ յոթի տեսքով։ Նրանք. ստացված թիվը մինուս միլիարդից շատ չի տարբերվի՝ բացասական կլինի։

Մնում է միայն գտնել ամբողջ ստեղծագործության նշանը: Քանի որ մենք ունեինք գումարած առաջին փակագծերում և մինուս վերջինում, մենք ստանում ենք հետևյալ կառուցվածքը.

(+) · (+) · (−) = (−)

Վերջնական նշանը մինուս է: Եվ կարևոր չէ, թե որն է ինքնին ֆունկցիայի արժեքը: Հիմնական բանը այն է, որ այս արժեքը բացասական է, այսինքն. ամենաաջ միջակայքն ունի մինուս նշան: Մնում է լրացնել միջակայքի մեթոդի չորրորդ քայլը՝ դասավորել բոլոր նշանները։ Մենք ունենք:

Սկզբնական անհավասարությունը հետևյալն էր.

(x − 1)(2 + x)(7 − x)< 0

Ուստի մեզ հետաքրքրում է մինուս նշանով նշված միջակայքերը։ Պատասխանը գրում ենք.

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Սա է ամբողջ հնարքը, որը ես ուզում էի պատմել ձեզ: Եզրափակելով, ահա ևս մեկ անհավասարություն, որը կարելի է լուծել ինտերվալ մեթոդով, օգտագործելով անսահմանությունը: Լուծումը տեսողականորեն կրճատելու համար քայլերի համարներ և մանրամասն մեկնաբանություններ չեմ գրի։ Ես կգրեմ միայն այն, ինչ իրականում պետք է գրել իրական խնդիրներ լուծելիս.

Առաջադրանք. Լուծե՛ք անհավասարությունը.

x (2x + 8) (x − 3) > 0

Անհավասարությունը փոխարինում ենք հավասարմամբ և լուծում.

x (2x + 8) (x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3:

Մենք բոլոր երեք արմատները նշում ենք կոորդինատային գծի վրա (նշաններով միանգամից).

Կոորդինատային առանցքի աջ կողմում կա պլյուս, քանի որ ֆունկցիան նման է.

f (x) = x (2x + 8) (x - 3)

Իսկ եթե փոխարինենք անսահմանությունը (օրինակ՝ միլիարդը), ապա կստանանք երեք դրական փակագծեր։ Քանի որ սկզբնական արտահայտությունը պետք է լինի զրոյից մեծ, մեզ հետաքրքրում է միայն դրականը: Մնում է միայն գրել պատասխանը.

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Հոդվածում մենք կքննարկենք անհավասարությունների լուծում. Մենք ձեզ հստակ կասենք դրա մասին ինչպես կառուցել անհավասարությունների լուծում, հստակ օրինակներով!

Նախքան օրինակների միջոցով անհավասարությունների լուծումը նայենք, եկեք հասկանանք հիմնական հասկացությունները:

Ընդհանուր տեղեկություններ անհավասարությունների մասին

Անհավասարությունարտահայտություն է, որում ֆունկցիաները միացված են հարաբերական >, . Անհավասարությունները կարող են լինել ինչպես թվային, այնպես էլ բառացի:
Հարաբերակցության երկու նշաններով անհավասարությունները կոչվում են կրկնակի, երեքի հետ՝ եռակի և այլն։ Օրինակ:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
ա(x) > կամ կամ - նշան պարունակող անհավասարությունները խիստ չեն:
Անհավասարության լուծումփոփոխականի ցանկացած արժեք է, որի համար այս անհավասարությունը ճշմարիտ կլինի:
"Լուծել անհավասարությունը«Նշանակում է, որ մենք պետք է գտնենք դրա բոլոր լուծումների ամբողջությունը։ Կան տարբեր անհավասարությունների լուծման մեթոդներ. Համար անհավասարության լուծումներՆրանք օգտագործում են թվային գիծը, որն անսահման է։ Օրինակ, անհավասարության լուծում x > 3-ը 3-ից + միջակայքն է, և 3 թիվը ներառված չէ այս միջակայքում, հետևաբար գծի կետը նշանակվում է դատարկ շրջանով, քանի որ անհավասարությունը խիստ է.
+
Պատասխանը կլինի՝ x (3; +):
x=3 արժեքը ներառված չէ լուծումների բազմության մեջ, ուստի փակագիծը կլոր է։ Անսահմանության նշանը միշտ ընդգծվում է փակագծով։ Նշանը նշանակում է «պատկանել»։
Եկեք նայենք, թե ինչպես լուծել անհավասարությունները՝ օգտագործելով մեկ այլ օրինակ՝ նշանով.
x 2
-+
x=2 արժեքը ներառված է լուծումների հավաքածուում, ուստի փակագիծը քառակուսի է, իսկ գծի կետը նշվում է լրացված շրջանով։
Պատասխանը կլինի՝ x)