Լուծել հավասարումը 5. Գծային հավասարումների լուծում օրինակներով: Հավասարումների հիմնական հատկությունը
Մենք լուծում ենք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը 5/x = 100։ Այս հավասարումը կարելի է լուծել երկու եղանակով։ Եկեք նայենք նրանցից յուրաքանչյուրին:
5/x = 100 հավասարման լուծման պլան
- գտնել տվյալ հավասարման համար ընդունելի արժեքների միջակայքը.
- Հավասարումը լուծելու առաջին միջոցը այն դիտարկելն է որպես համամասնություն.
- Հավասարումը լուծելու երկրորդ եղանակը անհայտ բաժանարարը գտնելն է:
Գտնելով համամասնության անհայտ անդամը
Նախ, եկեք գտնենք ODZ հավասարումը: Հավասարման ձախ կողմում կա կոտորակի նշան և այն համարժեք է բաժանման նշանին։ Հայտնի է, որ չես կարող զրոյի բաժանել։ Սա նշանակում է, որ ODZ-ից մենք պետք է բացառենք այն արժեքները, որոնք հայտարարը դարձնում են զրո:
ODZ՝ x-ը պատկանում է R\(0):
Հիմա եկեք նայենք մեր հավասարմանը որպես համամասնություն:
Համամասնության հիմնական հատկությունը.
Համամասնության ծայրահեղ անդամների արտադրյալը հավասար է նրա միջին անդամների արտադրյալին։
Համամասնության համար ա: բ = գ: դկամ ա/բ = գ/դհիմնական գույքը գրված է այսպես. a · d = b · c.
Եկեք կիրառենք այն և ստացենք գծային հավասարում.
100 * x = 5 * 1;
Եկեք հավասարման երկու կողմերը բաժանենք 100-ի` դրանով իսկ ազատվելով x փոփոխականի դիմաց եղած գործակիցից.
Գտնել անհայտ բաժանարար
Եկեք նայենք հավասարմանը որպես գործակից։ Այնտեղ, որտեղ շահաբաժինը 5 է, բաժանարարը x է, իսկ բաժանման արդյունքը գործակիցը 100 է:
Հիշենք անհայտ բաժանարար գտնելու կանոնը՝ պետք է բաժանել դիվիդենտը քանորդի վրա:
Գտնված արմատը պատկանում է ODZ հավասարմանը։
Ստուգենք հավասարման հայտնաբերված լուծումը։ Դա անելու համար գտնված արմատները փոխարինեք սկզբնական հավասարման մեջ և կատարեք հաշվարկները.
Լուծումը ճիշտ է գտնվել.
Մեկ անհայտով հավասարում, որը փակագծերը բացելուց և համանման տերմիններ բերելուց հետո ստանում է ձև
կացին + b = 0, որտեղ a-ն և b-ը կամայական թվեր են, կոչվում է գծային հավասարում մեկ անհայտի հետ. Այսօր մենք կպարզենք, թե ինչպես լուծել այս գծային հավասարումները:
Օրինակ, բոլոր հավասարումները.
2x + 3= 7 – 0,5x; 0.3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - գծային:
Անհայտի արժեքը, որը հավասարումը վերածում է իրական հավասարության, կոչվում է որոշումը կամ հավասարման արմատը .
Օրինակ, եթե 3x + 7 = 13 հավասարման մեջ x անհայտի փոխարեն մենք փոխարինում ենք 2 թիվը, մենք ստանում ենք ճիշտ հավասարություն 3 2 +7 = 13: Սա նշանակում է, որ x = 2 արժեքը լուծումն է կամ արմատը: հավասարման։
Իսկ x = 3 արժեքը 3x + 7 = 13 հավասարումը չի վերածում իրական հավասարության, քանի որ 3 2 +7 ≠ 13: Սա նշանակում է, որ x = 3 արժեքը հավասարման լուծում կամ արմատ չէ:
Ցանկացածի լուծում գծային հավասարումներվերածվում է ձևի հավասարումների լուծման
կացին + b = 0:
Ազատ անդամը հավասարման ձախ կողմից տեղափոխենք աջ՝ b-ի դիմաց նշանը փոխելով հակառակի վրա, ստանում ենք.
Եթե a ≠ 0, ապա x = ‒ b/a .
Օրինակ 1. Լուծե՛ք 3x + 2 =11 հավասարումը։
2-ը հավասարման ձախ կողմից տեղափոխենք աջ՝ 2-ի դիմացի նշանը փոխելով հակառակի վրա, ստանում ենք.
3x = 11-2:
Ուրեմն եկեք կատարենք հանումը
3x = 9.
X գտնելու համար անհրաժեշտ է արտադրյալը բաժանել հայտնի գործակցի, այսինքն
x = 9:3:
Սա նշանակում է, որ x = 3 արժեքը հավասարման լուծումն է կամ արմատը:
Պատասխան՝ x = 3.
Եթե a = 0 և b = 0, ապա ստանում ենք 0x = 0 հավասարումը։ Այս հավասարումն ունի անվերջ շատ լուծումներ, քանի որ երբ մենք ցանկացած թիվ բազմապատկում ենք 0-ով, ստանում ենք 0, բայց b-ն նույնպես հավասար է 0-ի։ Այս հավասարման լուծումը ցանկացած թիվ է։
Օրինակ 2.Լուծե՛ք 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 հավասարումը։
Ընդլայնենք փակագծերը.
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2:
Ահա մի քանի նմանատիպ տերմիններ.
0x = 0.
Պատասխան՝ x - ցանկացած թիվ.
Եթե a = 0 և b ≠ 0, ապա ստանում ենք 0x = - b հավասարումը։ Այս հավասարումը լուծումներ չունի, քանի որ ցանկացած թիվ 0-ով բազմապատկելիս ստանում ենք 0, բայց b ≠ 0։
Օրինակ 3.Լուծե՛ք x + 8 = x + 5 հավասարումը։
Եկեք խմբավորենք ձախ կողմում անհայտներ պարունակող տերմիններ, իսկ աջ կողմում՝ ազատ տերմիններ.
x – x = 5 – 8:
Ահա մի քանի նմանատիպ տերմիններ.
0х = ‒ 3.
Պատասխան՝ լուծումներ չկան։
Վրա Նկար 1 ցույց է տալիս գծային հավասարման լուծման դիագրամ
Կազմենք մեկ փոփոխականով հավասարումների լուծման ընդհանուր սխեմա։ Դիտարկենք օրինակ 4-ի լուծումը:
Օրինակ 4. Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք հավասարումը
1) Հավասարման բոլոր անդամները բազմապատկեք հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկով, որը հավասար է 12-ի:
2) Կրճատումից հետո մենք ստանում ենք
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) Անհայտ և ազատ տերմիններ պարունակող տերմիններն առանձնացնելու համար բացեք փակագծերը.
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86:
4) Մի մասում խմբավորենք անհայտներ պարունակող տերմինները, իսկ մյուսում՝ ազատ տերմինները.
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12:
5) Ներկայացնենք նմանատիպ տերմիններ.
- 22х = - 154։
6) Բաժանել 22-ի, ստանում ենք
x = 7.
Ինչպես տեսնում եք, հավասարման արմատը յոթն է:
Ընդհանրապես այդպիսին հավասարումները կարելի է լուծել հետևյալ սխեմայով:
ա) հավասարումը բերել իր ամբողջ թվի ձևին.
բ) բացել փակագծերը.
գ) խմբավորել հավասարման մի մասում անհայտը պարունակող անդամները, մյուսում՝ ազատ անդամները.
դ) բերել համանման անդամների.
ե) լուծել aх = b ձևի հավասարումը, որը ստացվել է համանման անդամներ բերելուց հետո։
Այնուամենայնիվ, այս սխեման անհրաժեշտ չէ յուրաքանչյուր հավասարման համար: Շատ ավելի պարզ հավասարումներ լուծելիս պետք է սկսել ոչ թե առաջինից, այլ երկրորդից ( Օրինակ. 2), երրորդ ( Օրինակ. 13) և նույնիսկ հինգերորդ փուլից, ինչպես օրինակ 5-ում:
Օրինակ 5.Լուծե՛ք 2x = 1/4 հավասարումը։
Գտեք անհայտ x = 1/4: 2,
x = 1/8 .
Դիտարկենք հիմնական պետական քննությունից հայտնաբերված մի քանի գծային հավասարումներ լուծելը։
Օրինակ 6.Լուծե՛ք 2 (x + 3) = 5 – 6x հավասարումը:
2x + 6 = 5 - 6x
2x + 6x = 5 – 6
Պատասխան՝ - 0,125
Օրինակ 7.Լուծե՛ք հավասարումը – 6 (5 – 3x) = 8x – 7։
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
Պատասխան՝ 2.3
Օրինակ 8. Լուծե՛ք հավասարումը
3 (3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
Օրինակ 9.Գտեք f(6), եթե f (x + 2) = 3 7's
Լուծում
Քանի որ մենք պետք է գտնենք f(6), և մենք գիտենք f (x + 2),
ապա x + 2 = 6:
Մենք լուծում ենք x + 2 = 6 գծային հավասարումը,
մենք ստանում ենք x = 6 – 2, x = 4:
Եթե x = 4, ապա
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Պատասխան՝ 27։
Եթե դեռ հարցեր ունեք կամ ցանկանում եք ավելի մանրակրկիտ հասկանալ հավասարումների լուծումը, գրանցվեք իմ դասերի ժամանակացույցում: Ես ուրախ կլինեմ օգնել ձեզ:
TutorOnline-ը նաև խորհուրդ է տալիս դիտել մեր դաստիարակ Օլգա Ալեքսանդրովնայի նոր տեսադասը, որը կօգնի ձեզ հասկանալ ինչպես գծային հավասարումները, այնպես էլ մյուսները:
կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:
Հավասարումը հավասարություն է, որի մեջ կա անհայտ անդամ՝ x: Պետք է գտնել դրա իմաստը.
Անհայտ մեծությունը կոչվում է հավասարման արմատ: Հավասարում լուծելը նշանակում է գտնել դրա արմատը, իսկ դա անելու համար հարկավոր է իմանալ հավասարումների հատկությունները: 5-րդ դասարանի հավասարումները դժվար չեն, բայց եթե սովորես դրանք ճիշտ լուծել, ապագայում դրանց հետ խնդիրներ չես ունենա։
Հավասարումների հիմնական հատկությունը
Երբ հավասարման երկու կողմերը փոխվում են նույն չափով, այն շարունակում է մնալ նույն հավասարումը նույն արմատով: Այս կանոնը ավելի լավ հասկանալու համար լուծենք մի քանի օրինակ։
Ինչպես լուծել հավասարումներ՝ գումարում կամ հանում
Ենթադրենք, մենք ունենք ձևի հավասարում.
- a + x = b - այստեղ a-ն և b-ը թվեր են, իսկ x-ը հավասարման անհայտ անդամն է:
Եթե գումարենք (կամ հանենք դրանցից) c արժեքը հավասարման երկու կողմերին, այն չի փոխվի.
- a + x + c = b + c
- a + x - c = b - c.
Օրինակ 1
Եկեք օգտագործենք այս հատկությունը՝ հավասարումը լուծելու համար.
- 37+x=51
Երկու կողմերից հանեք 37 թիվը.
- 37+x-37=51-37
մենք ստանում ենք.
- x=51-37.
Հավասարման արմատը x=14 է։
Եթե ուշադիր նայենք վերջին հավասարմանը, ապա կտեսնենք, որ այն նույնն է, ինչ առաջինը։ Մենք պարզապես 37 անդամը տեղափոխեցինք հավասարման մի կողմից մյուս կողմը՝ գումարածը փոխարինելով մինուսով:
Ստացվում է, որ ցանկացած թիվ կարող է փոխանցվել հավասարման մի մասից մյուսը հակառակ նշանով։
Օրինակ 2
- 37+x=37+22
Կատարենք նույն գործողությունը, 37 թիվը հավասարման ձախ կողմից տեղափոխենք աջ.
- x=37-37+22
Քանի որ 37-37=0, մենք պարզապես կրճատում ենք սա և ստանում.
- x =22.
Նույն նշանով հավասարման նույնական անդամներ, որոնք գտնվում են տարբեր մասերհավասարումները կարող են կրճատվել (հատվել):
Հավասարումների բազմապատկում և բաժանում
Հավասարության երկու կողմերը նույնպես կարելի է բազմապատկել կամ բաժանել նույն թվով.
Եթե a = b հավասարությունը բաժանվի կամ բազմապատկվի c-ով, այն չի փոխվում.
- a/c = b/c,
- ac = bс.
Օրինակ 3
- 5x = 20
Եկեք հավասարման երկու կողմերը բաժանենք 5-ի.
- 5x/5 = 20/5:
Քանի որ 5/5 = 1, մենք կրճատում ենք այս բազմապատկիչն ու բաժանարարը հավասարման ձախ կողմում և ստանում.
- x = 20/5, x=4
Օրինակ 4
- 5x = 5 ա
Եթե հավասարման երկու կողմերը բաժանվեն 5-ի, ապա կստանանք.
- 5x/5 = 5a/5:
Ձախ և աջ կողմերի համարիչի և հայտարարի 5-ը չեղարկվում է, ինչի արդյունքում ստացվում է x = a: Սա նշանակում է, որ հավասարումների ձախ և աջ կողմերում նույնական գործոնները չեղյալ են հայտարարվում:
Լուծենք ևս մեկ օրինակ.
- 13 + 2x = 21
13-րդ տերմինը հավասարման ձախ կողմից տեղափոխում ենք աջ՝ հակառակ նշանով.
- 2x = 21 - 13
- 2x = 8.
Հավասարման երկու կողմերը 2-ի բաժանելով՝ ստանում ենք.
- x = 4.
Բեռնվում է...