Մեղքի հատկությունները և գրաֆիկը. Սինուս (sin x) և կոսինուս (cos x) – հատկություններ, գրաֆիկներ, բանաձևեր: Արտահայտություններ բարդ փոփոխականների միջոցով
ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ԳՐԱՖԻԿԱ
Սինուսային ֆունկցիա
- մի փունջ Ռբոլոր իրական թվերը.
Բազմաթիվ գործառույթների արժեքներ— հատված [-1; 1], այսինքն. սինուսային ֆունկցիա - սահմանափակ.
Տարօրինակ գործառույթ. sin(−x)=−sin x բոլոր x ∈-ի համար Ռ.
Գործառույթը պարբերական է
sin(x+2π k) = sin x, որտեղ k ∈ Զբոլորի համար x ∈ Ռ.
մեղք x = 0 x = π·k, k ∈ համար Զ.
մեղք x > 0(դրական) բոլորի համար x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Զ.
մեղք x< 0 (բացասական) բոլորի համար x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Զ.
Կոսինուսի ֆունկցիա
Գործառույթի տիրույթ- մի փունջ Ռբոլոր իրական թվերը.
Բազմաթիվ գործառույթների արժեքներ— հատված [-1; 1], այսինքն. կոսինուսի ֆունկցիա - սահմանափակ.
Նույնիսկ գործառույթ. cos(−x)=cos x բոլոր x ∈-ի համար Ռ.
Գործառույթը պարբերական էամենափոքր դրական ժամանակաշրջանով 2π:
cos(x+2π կ) = cos x, որտեղ կ ∈ Զբոլորի համար x ∈ Ռ.
| cos x = 0ժամը | |
| cos x > 0բոլորի համար |  |
| cos x< 0 բոլորի համար |  |
| Ֆունկցիան մեծանում է−1-ից 1 ընդմիջումներով. | |
| Ֆունկցիան նվազում է−1-ից 1 ընդմիջումներով. | |
| sin x = 1 ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքըկետերում: |  |
| sin x = −1 ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքըկետերում: |
Շոշափող ֆունկցիա
Բազմաթիվ գործառույթների արժեքներ- ամբողջ թվային տողը, այսինքն. շոշափող - ֆունկցիա անսահմանափակ.
Տարօրինակ գործառույթ. tg(−x)=−tg x
Ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է OY առանցքի նկատմամբ։
Գործառույթը պարբերական էամենափոքր դրական պարբերությամբ π, այսինքն. tg(x+π կ) = tan x, կ ∈ Զբոլոր x-ի համար սահմանման տիրույթից:
Կոտանգենտի ֆունկցիա
Բազմաթիվ գործառույթների արժեքներ- ամբողջ թվային տողը, այսինքն. կոտանգենս - ֆունկցիա անսահմանափակ.
Տարօրինակ գործառույթ. ctg(−x)=−ctg x բոլոր x սահմանման տիրույթից։Ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է OY առանցքի նկատմամբ։
Գործառույթը պարբերական էամենափոքր դրական պարբերությամբ π, այսինքն. կոթգ (x+π կ)=ctg x, կ ∈ Զբոլոր x-ի համար սահմանման տիրույթից:
Արքսինի ֆունկցիան
Գործառույթի տիրույթ— հատված [-1; 1]
Բազմաթիվ գործառույթների արժեքներ- հատված -π /2 arcsin x π /2, այսինքն. arcsine - ֆունկցիա սահմանափակ.
Տարօրինակ գործառույթ. arcsin(−x)=−arcsin x բոլոր x ∈-ի համար Ռ.
Ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։
Սահմանման ողջ տարածքում:
Arc կոսինուսի ֆունկցիա
Գործառույթի տիրույթ— հատված [-1; 1]
Բազմաթիվ գործառույթների արժեքներ— հատված 0 arccos x π, այսինքն. arccosine - գործառույթ սահմանափակ.
Ֆունկցիան մեծանում էսահմանման ողջ տարածքում:
Arctangent ֆունկցիա
Գործառույթի տիրույթ- մի փունջ Ռբոլոր իրական թվերը.
Բազմաթիվ գործառույթների արժեքներ— հատված 0 π, այսինքն. arctangent - ֆունկցիա սահմանափակ.
Տարօրինակ գործառույթ. arctg(−x)=−arctg x բոլոր x ∈-ի համար Ռ.
Ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։
Ֆունկցիան մեծանում էսահմանման ողջ տարածքում:
Աղեղային շոշափող ֆունկցիա
Գործառույթի տիրույթ- մի փունջ Ռբոլոր իրական թվերը.
Բազմաթիվ գործառույթների արժեքներ— հատված 0 π, այսինքն. arccotangent - ֆունկցիա սահմանափակ.
Ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ:
Ֆունկցիայի գրաֆիկն ասիմետրիկ չէ ոչ կոորդինատների սկզբնավորման, ոչ էլ Oy առանցքի նկատմամբ։
Ֆունկցիան նվազում էսահմանման ողջ տարածքում:
Այս դասում մենք մանրամասն կանդրադառնանք y = sin x ֆունկցիային, նրա հիմնական հատկություններին և գրաֆիկին: Դասի սկզբում կտանք y = sin t եռանկյունաչափական ֆունկցիայի սահմանումը կոորդինատային շրջանագծի վրա և կդիտարկենք ֆունկցիայի գրաֆիկը շրջանագծի և ուղղի վրա։ Եկեք ցույց տանք այս ֆունկցիայի պարբերականությունը գրաֆիկի վրա և դիտարկենք ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները։ Դասի վերջում մենք կլուծենք մի քանի պարզ խնդիր՝ օգտագործելով ֆունկցիայի գրաֆիկը և դրա հատկությունները։
Թեմա՝ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
Դաս. y=sinx ֆունկցիա, դրա հիմնական հատկությունները և գրաֆիկը
Ֆունկցիան դիտարկելիս կարևոր է յուրաքանչյուր փաստարկի արժեքը կապել մեկ ֆունկցիայի արժեքի հետ: Սա նամակագրության օրենքըև կոչվում է ֆունկցիա։
Սահմանենք համապատասխանության օրենքը:
Ցանկացած իրական թիվ համապատասխանում է միավոր շրջանագծի մեկ կետին:Կետն ունի մեկ օրդինատ, որը կոչվում է թվի սինուս (նկ. 1):
Յուրաքանչյուր արգումենտ արժեք կապված է մեկ ֆունկցիայի արժեքի հետ:
Ակնհայտ հատկությունները բխում են սինուսի սահմանումից:
Նկարը ցույց է տալիս, որ 
որովհետեւ միավոր շրջանագծի կետի օրդինատն է:
Դիտարկենք ֆունկցիայի գրաֆիկը: Հիշենք փաստարկի երկրաչափական մեկնաբանությունը։ Փաստարկը կենտրոնական անկյունն է, որը չափվում է ռադիաններով: Առանցքի երկայնքով մենք գծագրելու ենք իրական թվեր կամ անկյուններ ռադիաններով, առանցքի երկայնքով՝ ֆունկցիայի համապատասխան արժեքները:
Օրինակ, միավոր շրջանագծի անկյունը համապատասխանում է գրաֆիկի կետին (նկ. 2):
Մենք ստացել ենք տարածքի ֆունկցիայի գրաֆիկը, բայց իմանալով սինուսի պարբերությունը՝ կարող ենք ֆունկցիայի գրաֆիկը պատկերել սահմանման ողջ տիրույթում (նկ. 3):
Ֆունկցիայի հիմնական ժամանակաշրջանն է Սա նշանակում է, որ գրաֆիկը կարելի է ստանալ հատվածի վրա, այնուհետև շարունակվել սահմանման ողջ տիրույթում:
Դիտարկենք ֆունկցիայի հատկությունները.
1) Սահմանման շրջանակը.
2) Արժեքների միջակայք. 
3) Կենտ ֆունկցիա.
4) Ամենափոքր դրական շրջանը.
5) աբսցիսային առանցքի հետ գրաֆիկի հատման կետերի կոորդինատները. 
6) Գրաֆիկի հատման կետի կոորդինատները օրդինատների առանցքի հետ.
7) ինտերվալներ, որոնց դեպքում ֆունկցիան դրական արժեքներ է ընդունում.
8) ինտերվալներ, որոնց դեպքում ֆունկցիան ընդունում է բացասական արժեքներ.
9) Աճող միջակայքերը.
10) Նվազող միջակայքերը.
11) Նվազագույն միավորներ. 
12) Նվազագույն գործառույթները.
13) Առավելագույն միավորներ. 
14) Առավելագույն գործառույթներ.
Մենք դիտեցինք ֆունկցիայի հատկությունները և դրա գրաֆիկը: Հատկությունները կօգտագործվեն բազմիցս խնդիրներ լուծելիս:
Մատենագիտություն
1. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ, դասարան 10 (երկու մասից): Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար (պրոֆիլային մակարդակ), հրատ. Ա.Գ.Մորդկովիչ. - M.: Mnemosyne, 2009 թ.
2. Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ, դասարան 10 (երկու մասից): Խնդիրների գիրք ուսումնական հաստատությունների համար (պրոֆիլային մակարդակ), խմբ. Ա.Գ.Մորդկովիչ. - M.: Mnemosyne, 2007 թ.
3. Վիլենկին Ն.Յա., Իվաշև-Մուսատով Օ.Ս., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծություն 10-րդ դասարանի համար (դասագիրք դպրոցների և դասարանների ուսանողների համար մաթեմատիկայի խորացված ուսումնասիրությամբ): - Մ.: Պրոսվեշչենիե, 1996 թ.
4. Գալիցկի Մ.Լ., Մոշկովիչ Մ.Մ., Շվարցբուրդ Ս.Ի. Հանրահաշվի և մաթեմատիկական վերլուծության խորը ուսումնասիրություն:-Մ.: Կրթություն, 1997 թ.
5. Մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների դիմորդների համար (խմբ.՝ Մ.Ի. Սկանավի) - Մ.: Բարձրագույն դպրոց, 1992 թ.
6. Մերզլյակ Ա.Գ., Պոլոնսկի Վ.Բ., Յակիր Մ.Ս. Հանրահաշվական սիմուլյատոր.-K.: A.S.K., 1997 թ.
7. Սահակյան Ս.Մ., Գոլդման Ա.Մ., Դենիսով Դ.Վ. Խնդիրներ հանրահաշվի և վերլուծության սկզբունքների վերաբերյալ (ձեռնարկ հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների ուսանողների համար): - Մ.: Պրոսվեշչենիե, 2003 թ.
8. Կարպ Ա.Պ. Հանրահաշվի խնդիրների և վերլուծության սկզբունքների ժողովածու. Դասագիրք. նպաստ 10-11 դասարանների համար. խորությամբ ուսումնասիրված Մաթեմատիկա.-Մ.՝ Կրթություն, 2006 թ.
Տնային աշխատանք
Հանրահաշիվ և վերլուծության սկիզբ, դասարան 10 (երկու մասից). Խնդիրների գիրք ուսումնական հաստատությունների համար (պրոֆիլային մակարդակ), խմբ.
Ա.Գ.Մորդկովիչ. - M.: Mnemosyne, 2007 թ.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Լրացուցիչ վեբ ռեսուրսներ
3. Ուսումնական պորտալ քննությունների նախապատրաստման համար ().
Հետ առաջ
Ուշադրություն. Սլայդների նախադիտումները միայն տեղեկատվական նպատակներով են և կարող են չներկայացնել շնորհանդեսի բոլոր հատկանիշները: Եթե դուք հետաքրքրված եք այս աշխատանքով, խնդրում ենք ներբեռնել ամբողջական տարբերակը:
Երկաթը ժանգոտում է՝ առանց որևէ օգուտ գտնելու,
կանգնած ջուրը փտում կամ սառչում է ցրտին,
իսկ մարդու միտքը, օգուտ չգտնելով, թուլանում է։
Լեոնարդո դա Վինչի
Օգտագործված տեխնոլոգիաներ.խնդրի վրա հիմնված ուսուցում, քննադատական մտածողություն, հաղորդակցական հաղորդակցություն:
Նպատակները:
- Ուսուցման նկատմամբ ճանաչողական հետաքրքրության զարգացում:
- y = sin x ֆունկցիայի հատկությունների ուսումնասիրություն:
- Ուսումնասիրված տեսական նյութի հիման վրա y = sin x ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցման գործնական հմտությունների ձևավորում:
Առաջադրանքներ.
1. Օգտագործե՛ք y = sin x ֆունկցիայի հատկությունների վերաբերյալ առկա գիտելիքների ներուժը կոնկրետ իրավիճակներում:
2. Կիրառել y = sin x ֆունկցիայի վերլուծական և երկրաչափական մոդելների միջև կապերի գիտակցված հաստատում:
Մշակել նախաձեռնողականություն, լուծում գտնելու որոշակի պատրաստակամություն և հետաքրքրություն. որոշումներ կայացնելու, դրանով կանգ չառնելու և ձեր տեսակետը պաշտպանելու ունակությունը:
Աշակերտների մեջ զարգացնել ճանաչողական գործունեությունը, պատասխանատվության զգացումը, միմյանց նկատմամբ հարգանքը, փոխըմբռնումը, փոխադարձ աջակցությունը և ինքնավստահությունը. հաղորդակցության մշակույթ:
Դասերի ժամանակ
Փուլ 1. Հիմնական գիտելիքների թարմացում, նոր նյութ սովորելու մոտիվացում
«Դասի մեջ մտնելը».
Գրատախտակին գրված է 3 հայտարարություն.
- sin t = a եռանկյունաչափական հավասարումը միշտ լուծումներ ունի:
- Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը կարելի է կառուցել Oy առանցքի շուրջ համաչափության փոխակերպման միջոցով:
- Եռանկյունաչափական ֆունկցիան կարելի է գծագրել՝ օգտագործելով մեկ հիմնական կիսաալիք:
Ուսանողները զույգերով քննարկում են. ճի՞շտ են արդյոք պնդումները: (1 րոպե). Նախնական քննարկման արդյունքները (այո, ոչ) այնուհետև մուտքագրվում են «Առաջ» սյունակի աղյուսակում:
Ուսուցիչը սահմանում է դասի նպատակներն ու խնդիրները:
2. Գիտելիքների թարմացում (ճակատային մասում եռանկյունաչափական շրջանագծի մոդելի վրա).
Մենք արդեն ծանոթացել ենք s = sin t ֆունկցիային։
1) Ինչ արժեքներ կարող է վերցնել t փոփոխականը: Ո՞րն է այս գործառույթի շրջանակը:
2) Ո՞ր միջակայքում են պարունակվում sin t արտահայտության արժեքները: Գտեք s = sin t ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները:
3) Լուծե՛ք sin t = 0 հավասարումը:
4) Ի՞նչ է պատահում կետի օրդինատին, երբ այն շարժվում է առաջին քառորդով: (օրդինատը մեծանում է): Ի՞նչ է պատահում կետի օրդինատին, երբ այն շարժվում է երկրորդ քառորդով: (օրդինատն աստիճանաբար նվազում է)։ Ինչպե՞ս է դա կապված ֆունկցիայի միապաղաղության հետ: (s = sin t ֆունկցիան մեծանում է հատվածի վրա և նվազում է հատվածի վրա):
5) Եկեք գրենք s = sin t ֆունկցիան մեզ ծանոթ y = sin x ձևով (մենք կկառուցենք այն սովորական xOy կոորդինատային համակարգում) և կազմենք այս ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակը։
| X | 0 | ||||||
| ժամը | 0 | 1 | 0 |
Փուլ 2. Ընկալում, ըմբռնում, առաջնային համախմբում, ակամա մտապահում
Փուլ 4. Գիտելիքների և գործունեության մեթոդների առաջնային համակարգում, դրանց փոխանցում և կիրառում նոր իրավիճակներում
6. Թիվ 10.18 (բ,գ)
Փուլ 5. Վերջնական հսկողություն, ուղղում, գնահատում և ինքնագնահատում
7. Մենք վերադառնում ենք պնդումներին (դասի սկիզբ), քննարկում ենք y = sin x եռանկյունաչափական ֆունկցիայի հատկությունների օգտագործումը և աղյուսակում լրացնում ենք «After» սյունակը:
8. Դ/զ՝ կետ 10, թիվ 10.7(ա), 10.8(բ), 10.11(բ), 10.16(ա)
Սինուսի և կոսինուսի երկրաչափական սահմանումը
\(\sin \ալֆա = \dfrac(|BC|)(|AB|) \), \(\cos \alpha = \dfrac(|AC|)(|AB|) \)
α - ռադիաններով արտահայտված անկյուն:
Սինուս (sin α)ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի և ոտքի α անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիան է, որը հավասար է հակառակ ոտքի երկարության |մ.թ.ա.| հիպոթենուսի երկարությանը |AB|.
Կոսինուս (cos α)ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի և ոտքի α անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիան է, որը հավասար է հարակից ոտքի երկարության |AC| հիպոթենուսի երկարությանը |AB|.
Եռանկյունաչափական սահմանում
Օգտագործելով վերը նշված բանաձևերը, կարող եք գտնել սուր անկյան սինուսը և կոսինուսը: Բայց դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես հաշվարկել կամայական չափի անկյան սինուսը և կոսինուսը: Ուղղանկյուն եռանկյունը նման հնարավորություն չի տալիս (օրինակ, այն չի կարող բութ անկյուն ունենալ); Հետևաբար, մեզ անհրաժեշտ է սինուսի և կոսինուսի ավելի ընդհանուր սահմանում, որը պարունակում է այս բանաձևերը որպես հատուկ դեպք:
Եռանկյունաչափական շրջանը գալիս է օգնության։ Թող տրվի որոշակի անկյուն; այն համապատասխանում է եռանկյունաչափական շրջանագծի համանուն կետին։
Բրինձ. 2. Սինուսի և կոսինուսի եռանկյունաչափական սահմանումը
Անկյունի կոսինուսը կետի աբսցիսա է։ Անկյունի սինուսը կետի օրդինատն է։
Նկ. 2, անկյունը ընդունված է որպես սուր, և հեշտ է հասկանալ, որ այս սահմանումը համընկնում է ընդհանուր երկրաչափական սահմանման հետ: Փաստորեն, մենք տեսնում ենք ուղղանկյուն եռանկյուն՝ միավորի հիպոթենուսով O և սուր անկյունով: Այս եռանկյան կից ոտքը cos է (համեմատեք նկ. 1-ի հետ) և միևնույն ժամանակ կետի աբսցիսա; հակառակ կողմը մեղք է (ինչպես նկ. 1-ում) և միևնույն ժամանակ կետի օրդինատը։
Բայց հիմա մենք այլևս կաշկանդված չենք առաջին եռամսյակով և հնարավորություն ունենք այս սահմանումը տարածելու ցանկացած տեսանկյունից: Նկ. Նկար 3-ը ցույց է տալիս, թե ինչ են անկյան սինուսը և կոսինուսը երկրորդ, երրորդ և չորրորդ քառորդներում:
Բրինձ. 3. Սինուսը և կոսինուսը II, III և IV քառորդներում
Սինուսի և կոսինուսի աղյուսակային արժեքները
Զրոյական անկյուն \(\LARGE 0^(\circ ) \)
0 կետի աբսցիսան հավասար է 1-ի, 0-ի օրդինատը հավասար է 0-ի։ Հետևաբար,
cos 0 = 1 մեղք 0 = 0
Նկար 4. Զրո անկյուն
Անկյուն \(\ՄԵԾ \frac(\pi)(6) = 30^(\circ )\)
Մենք տեսնում ենք ուղղանկյուն եռանկյունի միավոր հիպոթենուսով և 30° սուր անկյունով: Ինչպես գիտեք, 30° անկյան դիմաց ընկած ոտքը հավասար է հիպոթենուսի 1-ի կեսին; այլ կերպ ասած, ուղղահայաց ոտքը հավասար է 1/2-ի և, հետևաբար,
\[ \sin \frac(\pi)(6) =\frac(1)(2) \]
Մենք գտնում ենք հորիզոնական ոտքը՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը (կամ, որը նույնն է, մենք գտնում ենք կոսինուսը՝ օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը).
\[ \cos \frac(\pi)(6) = \sqrt(1 - \left(\frac(1)(2) \աջ)^(2) ) =\frac(\sqrt(3))(2 ) \]
1 Ինչու է դա տեղի ունենում: Կտրեք հավասարակողմ եռանկյունին, որի բարձրությունը 2-րդն է: Այն կբաժանվի երկու ուղղանկյուն եռանկյունիների՝ 2 հիպոթենուզայով, 30° սուր անկյունով և 1 ավելի կարճ ոտքով:
Նկ 5. Անկյուն π/6
Անկյուն \(\ՄԵԾ \frac(\pi)(4) = 45^(\circ )\)
Այս դեպքում ուղղանկյուն եռանկյունը հավասարաչափ է. 45° անկյան սինուսը և կոսինուսը հավասար են միմյանց: Առայժմ դրանք նշանակենք x-ով: Մենք ունենք:
\[ x^(2) + x^(2) = 1 \]
որտեղից \(x=\frac(\sqrt(2) )(2) \): Հետևաբար,
\[ \cos \frac(\pi)(4) = \sin \frac(\pi)(4) =\frac(\sqrt(2) )(2) \]
Նկ 5. Անկյուն π/4
Սինուսի և կոսինուսի հատկությունները
Ընդունված նշումներ
\(\ sin^2 x \equiv (\sin x)^2; \)\(\ quad \sin^3 x \equiv (\sin x)^3; \)\(\ quad \sin^n x \equiv (\sin x)^n \)\(\sin^(-1) x \equiv \arcsin x \)\((\sin x)^(-1) \equiv \dfrac1(\sin x) \equiv \cosec x \).
\(\cos^2 x \equiv (\cos x)^2; \)\(\ quad \cos^3 x \equiv (\cos x)^3; \)\(\ quad \cos^n x \equiv (\cos x)^n \)\(\cos^(-1) x \equiv \arccos x \)\((\cos x)^(-1) \equiv \dfrac1(\cos x) \equiv \sec x \).
Պարբերականություն
y = sin x և y = cos x ֆունկցիաները պարբերական են 2π պարբերությամբ:
\(\sin(x + 2\pi) = \sin x; \քառյակ \)\(\cos(x + 2\pi) = \cos x \)
Պարիտետ
Սինուսի ֆունկցիան կենտ է: Կոսինուսի ֆունկցիան հավասար է:
\(\sin(-x) = - \sin x; \քառյակ \)\(\cos(-x) = \cos x \)
Սահմանման և արժեքների ոլորտներ, ծայրահեղություններ, աճ, նվազում
Սինուսի և կոսինուսի հիմնական հատկությունները ներկայացված են աղյուսակում ( n- ամբողջական):
| \(\փոքր< x < \) | \(\small -\pi + 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\small 2\pi n \) | |
| Նվազող | \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \)\(\փոքր< x < \) \(\small \dfrac(3\pi)2 + 2\pi n \) | \(\small 2\pi n \) \(\small< x < \) \(\pi + \small 2\pi n \) |
| Մաքսիմա, \(\փոքր x =\) \(\small \dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\փոքր x = 2\pi n\) | |
| Նվազագույնը, \(\փոքր x =\) \(\small -\dfrac(\pi)2 + 2\pi n \) | \(\small x = \) \(\small \pi + 2\pi n \) | |
| Զրոներ, \(\փոքր x = \pi n\) | \(\small x = \dfrac(\pi)2 + \pi n \) | |
| Y առանցքի հատման կետեր, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Սինուս և կոսինուս պարունակող հիմնական բանաձևեր
Քառակուսիների գումարը
\(\ sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
Գումարի և տարբերության սինուսների և կոսինուսների բանաձևերը
\(\sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \)
\(\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \)
\(\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \)
\(\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \)
\(\ sin (2x) = 2 \sin x \cos x \)
\(\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \)\(2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x \)
\(\cos\left(\dfrac(\pi)2 - x \աջ) = \sin x \) ; \(\sin\left(\dfrac(\pi)2 - x \աջ) = \cos x \)
\(\cos(x + \pi) = - \cos x \) ; \(\sin(x + \pi) = - \sin x \)
Սինուսների և կոսինուսների արտադրյալի բանաձևեր
\(\ sin x \cos y = \) \(\dfrac12 (\ Մեծ [) \sin(x - y) + \sin(x + y) (\Մեծ ]) \)
\(\ sin x \sin y = \) \(\dfrac12 (\ Մեծ [) \cos(x - y) - \cos(x + y) (\Մեծ ]) \)
\(\cos x \cos y = \) \(\dfrac12 (\ Մեծ [) \cos(x - y) + \cos(x + y) (\Մեծ ]) \)
\(\sin x \cos y = \dfrac12 \sin 2x \)
\(\ sin^2 x = \dfrac12 (\ մեծ [) 1 - \cos 2x (\ մեծ ]) \)
\(\cos^2 x = \dfrac12 (\Large [) 1 + \cos 2x (\Large ]) \)
Գումարի և տարբերության բանաձևեր
\(\sin x + \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\sin x - \sin y = 2 \, \sin \dfrac(x-y)2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \)
\(\cos x + \cos y = 2 \, \cos \dfrac(x+y)2 \, \cos \dfrac(x-y)2 \)
\(\cos x - \cos y = 2 \, \sin \dfrac(x+y)2 \, \sin \dfrac(y-x)2 \)
Սինուսի արտահայտում կոսինուսի միջոցով
\(\sin x = \cos\ ձախ (\dfrac(\pi)2 - x \աջ) = \)\(\cos\left(x - \dfrac(\pi)2 \աջ) = - \cos\left(x + \dfrac(\pi)2 \աջ) \)\(\ sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) \(\sin x = \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi + 2 \pi n \) \)\(\sin x = - \sqrt(1 - \cos^2 x) \) \(\( -\pi + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 2 \pi n \) \).
Կոսինուսի արտահայտում սինուսի միջոցով
\(\cos x = \sin\ ձախ (\dfrac(\pi)2 - x \աջ) = \)\(- \sin\left(x - \dfrac(\pi)2 \աջ) = \sin\left(x + \dfrac(\pi)2 \աջ) \)\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) \(\cos x = \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( -\pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant \pi/2 + 2 \pi n \) \)\(\cos x = - \sqrt(1 - \sin^2 x) \) \(\( \pi/2 + 2 \pi n \leqslant x \leqslant 3\pi/2 + 2 \pi n \) \).
Արտահայտում շոշափողի միջոցով
\(\sin^2 x = \dfrac(\tg^2 x)(1+\tg^2 x) \)\(\cos^2 x = \dfrac1(1+\tg^2 x) \).
ժամը \(- \dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{\pi}2 + 2 \pi n \) \(\sin x = \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \)\(\cos x = \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
ժամը \(\dfrac(\pi)2 + 2 \pi n< x < \dfrac{3\pi}2 + 2 \pi n \)
:
\(\sin x = - \dfrac(\tg x)( \sqrt(1+\tg^2 x)) \)\(\cos x = - \dfrac1( \sqrt(1+\tg^2 x) ) \).
Սինուսների և կոսինուսների, տանգենսների և կոտանգենսների աղյուսակ
Այս աղյուսակը ցույց է տալիս սինուսների և կոսինուսների արժեքները փաստարկի որոշակի արժեքների համար:
[ img style="max-width:500px;max-height:1080px;" src="tablitsa.png" alt="Սինուսների և կոսինուսների աղյուսակ" title="Սինուսների և կոսինուսների աղյուսակ" ]!}
Արտահայտություններ բարդ փոփոխականների միջոցով
\(i^2 = -1\)
\(\sin z = \dfrac(e^(iz) - e^(-iz))(2i) \)\(\cos z = \dfrac(e^(iz) + e^(-iz))(2) \)
Էյլերի բանաձեւը
\(e^(iz) = \cos z + i \sin z \)
Արտահայտություններ հիպերբոլիկ ֆունկցիաների միջոցով
\(\sin iz = i \sh z \) \(\cos iz = \ch z \)
\(\sh iz = i \sin z \) \(\չ iz = \cos z \)
Ածանցյալներ
\((\sin x)" = \cos x \) \((\cos x)" = - \sin x \) . Բանաձևերի ստացում > > >
n-րդ կարգի ածանցյալներ.
\(\ ձախ (\sin x \աջ)^((n)) = \sin\left(x + n\dfrac(\pi)2 \աջ) \)\(\ձախ(\cos x \աջ)^((n)) = \cos\left(x + n\dfrac(\pi)2 \աջ) \).
Ինտեգրալներ
\(\int \sin x \, dx = - \cos x + C \)\(\int \cos x \, dx = \sin x + C \)
Տես նաև անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ >>> բաժինը
Սերիայի ընդլայնումներ
\(\sin x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n+1) )( (2n+1)! ) = \)\(x - \dfrac(x^3)(3 + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + ... \)
!} \(\(- \infty< x < \infty \} \)
\(\cos x = \sum_(n=0)^(\infty) \dfrac( (-1)^n x^(2n) )( (2n)! ) = \)\(1 - \dfrac(x^2)(2 + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + ... \)
!} \(\( - \infty< x < \infty \} \)
Սեկանտ, կոսեկանտ
\(\վրկ x = \dfrac1( \cos x) ; \) \(\cosec x = \dfrac1( \sin x) \)
Հակադարձ գործառույթներ
Սինուսի և կոսինուսի հակադարձ ֆունկցիաներն են, համապատասխանաբար, արկսին և արկկոսին։
Arcsine, arcsin
\(y = \arcsin x\) \(\left\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; - \dfrac(\pi)2 \leqslant y \leqslant \dfrac(\pi)2 \աջ\) \)
\(\sin(\arcsin x) = x\)
\(\arcsin(\sin x) = x\) \(\ձախ\( - \dfrac(\pi)2 \leqslant x \leqslant \dfrac(\pi)2 \աջ\) \)
Arccosine, arccos
\(y = \arccos x\) \(\ձախ\( -1 \leqslant x \leqslant 1; \; 0 \leqslant y \leqslant \pi \աջ\) \)
\(\cos(\arccos x) = x \) \(\( -1 \leqslant x \leqslant 1 \) \)
\(\arccos(\cos x) = x\) \(\( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) \)
Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Կ.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և քոլեջի ուսանողների համար, «Լան», 2009 թ.
Հաշվարկներ կատարելու համար դուք պետք է ակտիվացնեք ActiveX կառավարները:
>>Մաթեմատիկա. y = sin x, y = cos x ֆունկցիաները, դրանց հատկությունները և գրաֆիկները
y = sin x, y = cos x ֆունկցիաները, դրանց հատկությունները և գրաֆիկները
Այս բաժնում մենք կքննարկենք y = sin x, y = cos x ֆունկցիաների որոշ հատկություններ և կկառուցենք դրանց գրաֆիկները:
1. y ֆունկցիա = sin X:
Վերևում, § 20-ում, մենք ձևակերպեցինք մի կանոն, որը թույլ է տալիս յուրաքանչյուր t թիվը կապվել cos t թվի հետ, այսինքն. բնութագրեց y = sin t ֆունկցիան: Եկեք նշենք դրա որոշ հատկություններ.
u = sin t ֆունկցիայի հատկությունները:
Սահմանման տիրույթը իրական թվերի K բազմությունն է։
Սա բխում է այն փաստից, որ ցանկացած թիվ 2 համապատասխանում է թվային շրջանագծի M(1) կետին, որն ունի հստակ սահմանված օրդինատ. այս օրդինատը cos t.
u = sin t-ը կենտ ֆունկցիա է:
Սա բխում է այն փաստից, որ, ինչպես ապացուցվեց § 19-ում, ցանկացած t հավասարության համար
Սա նշանակում է, որ u = sin t ֆունկցիայի գրաֆիկը, ինչպես ցանկացած կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը, սիմետրիկ է tOi ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում սկզբնավորման նկատմամբ։
u = sin t ֆունկցիան մեծանում է միջակայքում 
Սա բխում է այն հանգամանքից, որ երբ կետը շարժվում է թվային շրջանագծի առաջին քառորդով, օրդինատը աստիճանաբար մեծանում է (0-ից 1-տե՛ս նկ. 115), իսկ երբ կետը շարժվում է թվային շրջանագծի երկրորդ քառորդով, օրդինատը աստիճանաբար նվազում է (1-ից մինչև 0 - տե՛ս նկ. 116):
U = sint ֆունկցիան սահմանափակված է ինչպես ներքևում, այնպես էլ վերևում: Սա բխում է այն փաստից, որ, ինչպես տեսանք § 19-ում, ցանկացած t-ի համար անհավասարությունը գործում է.
(ֆունկցիան հասնում է այս արժեքին ձևի ցանկացած կետում 
(ֆունկցիան հասնում է այս արժեքին ձևի ցանկացած կետում
Օգտագործելով ստացված հատկությունները, մենք կկառուցենք մեզ հետաքրքրող ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Բայց (ուշադրությո՜ւն) u - sin t-ի փոխարեն կգրենք y = sin x (ի վերջո, մենք ավելի սովոր ենք գրել y = f(x), այլ ոչ թե u = f(t)): Սա նշանակում է, որ մենք գրաֆիկ ենք կառուցելու սովորական xOy կոորդինատային համակարգում (և ոչ toOy):
Եկեք կազմենք y - sin x ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակ.
Մեկնաբանություն.
Տանք «սինուս» տերմինի ծագման տարբերակներից մեկը։ Լատիներեն sinus նշանակում է թեքում (աղեղային լար):
Կառուցված գրաֆիկը որոշ չափով արդարացնում է այս տերմինաբանությունը։ 
Այն ուղիղը, որը ծառայում է որպես y = sin x ֆունկցիայի գրաֆիկ, կոչվում է սինուսային ալիք: Սինուսոիդի այն հատվածը, որը ցույց է տրված Նկ. 118 կամ 119-ը կոչվում է սինուսային ալիք, և սինուսային ալիքի այն մասը, որը ցույց է տրված Նկ. 117, կոչվում է սինուսային ալիքի կիսաալիք կամ աղեղ:
2. y = cos x ֆունկցիա:
y = cos x ֆունկցիայի ուսումնասիրությունը կարող է իրականացվել մոտավորապես նույն սխեմայի համաձայն, որն օգտագործվել է վերևում y = sin x ֆունկցիայի համար: Բայց մենք կընտրենք այն ճանապարհը, որը տանում է դեպի նպատակը։ Նախ, մենք կապացուցենք երկու բանաձև, որոնք ինքնին կարևոր են (սա կտեսնեք ավագ դպրոցում), բայց առայժմ միայն օժանդակ նշանակություն ունեն մեր նպատակների համար։
t-ի ցանկացած արժեքի համար վավեր են հետևյալ հավասարումները.
Ապացույց. Թող t թիվը համապատասխանի n թվային շրջանագծի M կետին, իսկ * + թիվը՝ P կետին (նկ. 124; պարզության համար առաջին քառորդում վերցրել ենք M կետը): AM և BP աղեղները հավասար են, իսկ OKM և OLBP ուղղանկյուն եռանկյունները համապատասխանաբար հավասար են: Սա նշանակում է O K = Ob, MK = Pb: Այս հավասարություններից և կոորդինատային համակարգում OCM և OBP եռանկյունների գտնվելու վայրից մենք երկու եզրակացություն ենք անում.
1) P կետի օրդինատը և՛ մեծությամբ, և՛ նշանով համընկնում է M կետի աբսցիսայի հետ. Դա նշանակում է որ
2) P կետի աբսցիսան բացարձակ արժեքով հավասար է M կետի օրդինատին, բայց նշանով տարբերվում է դրանից. Դա նշանակում է որ
Մոտավորապես նույն պատճառաբանությունն իրականացվում է այն դեպքերում, երբ Մ կետը չի պատկանում առաջին եռամսյակին։
Եկեք օգտագործենք բանաձևը 
(սա վերը հաստատված բանաձեւն է, միայն t փոփոխականի փոխարեն օգտագործում ենք x փոփոխականը): Ի՞նչ է տալիս մեզ այս բանաձևը: Այն թույլ է տալիս պնդել, որ գործառույթները
նույնական են, ինչը նշանակում է, որ դրանց գրաֆիկները համընկնում են:
Եկեք գծենք ֆունկցիան 
Դա անելու համար անցնենք օժանդակ կոորդինատային համակարգին, որի սկզբնաղբյուրը կետում է (կետագիծը գծված է նկ. 125-ում): Եկեք կապենք y = sin x ֆունկցիան նոր կոորդինատային համակարգին. սա կլինի ֆունկցիայի գրաֆիկը: 
(նկ. 125), այսինքն. y - cos x ֆունկցիայի գրաֆիկը: Այն, ինչպես y = sin x ֆունկցիայի գրաֆիկը, կոչվում է սինուսային ալիք (ինչը միանգամայն բնական է)։
y = cos x ֆունկցիայի հատկությունները:
y = cos x-ը զույգ ֆունկցիա է:
Շինարարության փուլերը ներկայացված են Նկ. 126:
1) կառուցել y = cos x ֆունկցիայի գրաֆիկ (ավելի ճիշտ՝ մեկ կիսաալիք);
2) կառուցված գրաֆիկը x-առանցքից 0,5 գործակցով ձգելով՝ ստանում ենք պահանջվող գրաֆիկի մեկ կիսաալիքը.
3) օգտագործելով ստացված կիսաալիքը, մենք կառուցում ենք y = 0,5 cos x ֆունկցիայի ամբողջ գրաֆիկը:
Բեռնվում է...