Ուժերի զույգերի ավելացում տիեզերքում: Ուժային զույգերի համակարգը հասցնելն իր ամենապարզ ձևին կամ ուժային զույգերի ավելացումը Ուժերի զույգերի ավելացումը ուժի զույգերի հավասարակշռության պայման է

Թեորեմ. Բացարձակ կոշտ մարմնի վրա մեկ հարթության վրա ազդող ուժերի զույգերի համակարգը համարժեք է համակարգի զույգերի մոմենտների հանրահաշվական գումարին հավասար մոմենտ ունեցող ուժերի զույգին:

Արդյունքների զույգը այն ուժերի զույգն է, որը փոխարինում է այս զույգ ուժերի գործողություններին, որոնք կիրառվում են պինդ մարմնի վրա մեկ հարթության վրա:

Զույգ ուժերի համակարգի հավասարակշռության պայմանը. զույգ ուժերի հարթ համակարգի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ դրանց մոմենտների գումարը հավասար լինի 0-ի:

Ուժի պահը մի կետի շուրջ:

Կետի նկատմամբ ուժի մոմենտը տվյալ կետի նկատմամբ ուժի մոդուլի և նրա ուսերի արտադրյալն է՝ վերցված գումարած կամ մինուս նշանով։ Կետի նկատմամբ ուժի թեւը տվյալ կետից ուժի գործողության գծին գծված ուղղահայաց երկարությունն է։ Ընդունված է նշանի հետևյալ կանոնը՝ տվյալ կետի նկատմամբ ուժի մոմենտը դրական է, եթե ուժը հակված է մարմնին այս կետի շուրջ պտտելու ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, իսկ հակառակ դեպքում՝ բացասական։ Եթե ​​ուժի գործողության գիծն անցնում է որոշակի կետով, ապա այս կետի նկատմամբ ուժի լծակը և դրա մոմենտը հավասար են զրոյի: Կետի նկատմամբ ուժի պահը որոշվում է բանաձևով.

Կետի նկատմամբ ուժի պահի հատկությունները:

1. Տրված կետի նկատմամբ ուժի պահը չի փոխվում, երբ ուժը փոխանցվում է իր գործողության գծով, քանի որ. այս դեպքում ոչ ուժի մոդուլը չի ​​փոխվում, ոչ էլ դրա լծակը։

2. Տրված կետի նկատմամբ ուժի պահը հավասար է զրոյի, եթե ուժի գործողության գիծն անցնում է այս կետով, քանի որ. այս դեպքում ուժային թեւը զրո է՝ a=0

Պուանսոյի թեորեմը ուժը մի կետ բերելու մասին.

Ուժը կարող է փոխանցվել իր գործողության գծին զուգահեռ, այս դեպքում անհրաժեշտ է ավելացնել մի զույգ ուժեր, որոնց մոմենտը հավասար է ուժի մոդուլի արտադրյալին և այն հեռավորությանը, որի վրա ուժը փոխանցվում է:

Ուժի զուգահեռ փոխանցման գործողությունը կոչվում է ուժը մի կետի հասցնելը, իսկ ստացված զույգը՝ կցված զույգ։

Հակառակ էֆեկտը նույնպես հնարավոր է. միևնույն հարթությունում գտնվող ուժը և զույգ ուժերը միշտ կարող են փոխարինվել մեկ ուժով, որը հավասար է տվյալ ուժին, որը փոխանցվում է իր սկզբնական ուղղությանը զուգահեռ ինչ-որ այլ կետ:

Տրված է՝ ուժը մի կետում Ա(նկ. 5.1):

Ավելացնել կետում INուժերի հավասարակշռված համակարգ (F"; F"):Ձևավորվում է մի երկու ուժ (F; F»):Եկեք ստանանք ուժը կետում INիսկ զույգի պահը մ.

Մեկ կենտրոն կամայականորեն տեղակայված ուժերի հարթ համակարգ բերելը: Ուժերի համակարգի հիմնական վեկտորը և հիմնական պահը:

Ուժերի կամայական համակարգի գործողության գծերը չեն հատվում մեկ կետում, հետևաբար, մարմնի վիճակը գնահատելու համար նման համակարգը պետք է պարզեցվի: Դա անելու համար համակարգի բոլոր ուժերը տեղափոխվում են մեկ կամայականորեն ընտրված կետ՝ կրճատման կետ (PO): Կիրառել Պուանսոյի թեորեմը. Ամեն անգամ, երբ ուժը տեղափոխվում է մի կետ, որը չի գտնվում իր գործողության գծի վրա, ավելացվում են մի քանի ուժեր:

Փոխանցման ժամանակ առաջացած զույգերը կոչվում են կցված զույգեր։

O կետում ստացված SSS-ը ծալվում է ուժի պոլիգոնի մեթոդի համաձայն և մենք ստանում ենք մեկ ուժ O կետում - սա հիմնական վեկտորն է:

Ստացված կցված ուժերի զույգերի համակարգը նույնպես կարելի է գումարել և ստացվել մեկ զույգ ուժ, որի մոմենտը կոչվում է հիմնական պահ։

Հիմնական վեկտորը հավասար է ուժերի երկրաչափական գումարին։ Հիմնական մոմենտը հավասար է կցված ուժերի զույգերի մոմենտների հանրահաշվական գումարին կամ սկզբնական ուժերի մոմենտներին՝ կապված կրճատման կետի հետ։

Ուժերի հարթ համակարգի հիմնական վեկտորի և հիմնական պահի սահմանումը և հատկությունները:

Հիմնական վեկտորի և հիմնական պահի հատկությունները

1 Հիմնական վեկտորի մոդուլը և ուղղությունը կախված չեն կրճատման կենտրոնի ընտրությունից, քանի որ Կրճատման կենտրոնում այս ուժերից կառուցված ուժային բազմանկյունը կլինի նույնը)

2. Հիմնական պահի մեծությունն ու նշանը կախված են կրճատման կենտրոնի ընտրությունից, քանի որ երբ փոխվում է ադուկցիայի կենտրոնը, փոխվում են ուժերի ուսերը, բայց դրանց մոդուլները մնում են անփոփոխ։

3. Ուժային համակարգի հիմնական վեկտորը և արդյունքը վեկտորապես հավասար են, բայց ընդհանուր դեպքում համարժեք չեն, քանի որ. դեռ մի պահ կա

4. Հիմնական վեկտորը և արդյունքը համարժեք են միայն այն հատուկ դեպքում, երբ համակարգի հիմնական մոմենտը հավասար է զրոյի, և դա այն դեպքում, երբ կրճատման կենտրոնը գտնվում է արդյունքի գործողության գծի վրա.

Դիտարկենք ուժերի հարթ համակարգ ( Ֆ 1 ,Ֆ 2 , ...,Ֆ n), որը գործում է Oxy կոորդինատային հարթության պինդ մարմնի վրա:

Ուժային համակարգի հիմնական վեկտորըկոչվում է վեկտոր Ռ, հավասար է այս ուժերի վեկտորային գումարին.

Ռ = Ֆ 1 + Ֆ 2 + ... + Ֆ n= Ֆես.

Ուժերի հարթ համակարգի համար նրա հիմնական վեկտորը գտնվում է այդ ուժերի գործողության հարթությունում:

Ուժերի համակարգի հիմնական կետը O կենտրոնի համեմատությամբ կոչվում է վեկտոր Լ O, հավասար է այս ուժերի վեկտորային մոմենտների գումարին O կետի նկատմամբ.

Լ O= ՄՕ( Ֆ 1) +ՄՕ( Ֆ 2) + ... +ՄՕ( Ֆ n) = ՄՕ( Ֆ i).

Վեկտոր Ռկախված չէ O կենտրոնի և վեկտորի ընտրությունից ԼԵրբ կենտրոնի դիրքը փոխվում է, O-ն ընդհանուր առմամբ կարող է փոխվել:

Ուժերի հարթ համակարգի համար վեկտորային հիմնական պահի փոխարեն օգտագործվում է հանրահաշվական հիմնական պահ հասկացությունը։ Հանրահաշվի հիմնական կետըՈւժերի գործողության հարթությունում գտնվող O կենտրոնի նկատմամբ ուժերի հարթ համակարգի L O-ն կոչվում է հանրահաշվական պահերի գումար. հակենտրոնի նկատմամբ հանգիստ ուժեր։

Ուժերի հարթ համակարգի հիմնական վեկտորը և հիմնական պահը սովորաբար հաշվարկվում են վերլուծական մեթոդներով:

Տիեզերքում ուժերի զույգերի համարժեքության պայմանի աքսիոմա. Գծագրի հարթությանը ուղղահայաց ուժերի յուրաքանչյուր զույգի մոմենտի վեկտորի փոխարեն նշվում է միայն այն ուղղությունը, որով ուժերի զույգը ձգտում է պտտել այս հարթությունը։

Տիեզերքում ուժերի զույգերը համարժեք են, եթե նրանց մոմենտը երկրաչափորեն հավասար է: Առանց կոշտ մարմնի վրա զույգ ուժերի գործողությունը փոխելու, զույգ ուժերը կարող են փոխանցվել զույգի գործողության հարթությանը զուգահեռ ցանկացած հարթության, ինչպես նաև փոխել դրա ուժերն ու լծակները՝ պահպանելով իր պահի մոդուլն ու ուղղությունը։ մշտական. Այսպիսով, զույգ ուժերի մոմենտի վեկտորը կարող է փոխանցվել ցանկացած կետի, այսինքն՝ զույգ ուժերի մոմենտը ազատ վեկտոր է։ Զույգ ուժերի մոմենտի վեկտորը նկարագրում է նրա բոլոր երեք տարրերը՝ զույգի գործողության հարթության դիրքը, պտտման ուղղությունը և պահի թվային արժեքը։ Դիտարկենք հատվող հարթություններում տեղակայված երկու զույգ ուժերի գումարումը և ապացուցենք հետևյալ աքսիոմը՝ բաղկացուցիչ ուժերի զույգերի մոմենտների երկրաչափական գումարը հավասար է նրանց զույգին համարժեք մոմենտին։ Թող պահանջվի ավելացնել երկու զույգ ուժեր, որոնք տեղակայված են I և II հատվող մոմենտներով հարթություններում

Բրինձ. 34 Այս զույգերի ուժերն ընտրելով մեծությամբ հավասար

Եկեք սահմանենք այս զույգերի ուսերը.

Եկեք դասավորենք այս զույգ ուժերը այնպես, որ ուժերը կողմնորոշվեն KL հարթությունների հատման շերտի երկայնքով հակառակ ուղղություններով և հավասարակշռված լինեն: Մնացած ուժերը կազմում են տրված երկու ուժային զույգերին համարժեք ուժային զույգ։ Ուժերի այս զույգն ունի ուս BC = d և ուժի զույգի գործողության հարթությանը ուղղահայաց մոմենտ, մեծությամբ հավասար M = Pd-ին:

Բաղադրիչ ուժային զույգերի մոմենտների երկրաչափական գումարը հավասար է համարժեք զույգի մոմենտին։ Քանի որ ուժերի զույգի մոմենտը ազատ վեկտոր է, եկեք ուժի բաղկացուցիչ զույգերի մոմենտները տեղափոխենք B կետ և գումարենք դրանք՝ այս մոմենտների վրա կառուցելով զուգահեռագիծ։ Այս զուգահեռագծի անկյունագիծը

ներկայացնում է համարժեք զույգի մոմենտը։Սրանից հետևում է, որ վեկտորը, այսինքն՝ բաղկացուցիչ ուժերի զույգերի մոմենտների երկրաչափական գումարը հավասար է ուժերի համարժեք զույգի մոմենտին.

Ուժերի զույգերի մոմենտների գումարման այս մեթոդը կոչվում է մոմենտի զուգահեռագծի կանոն։ Պահերի զուգահեռագծի կառուցումը կարող է փոխարինվել մոմենտների եռանկյունու կառուցմամբ։

Օգտագործելով զուգահեռագծի կամ պահերի եռանկյունու կառուցումը, դուք կարող եք նաև լուծել հակադարձ խնդիրը, այսինքն՝ ցանկացած զույգ ուժ բաժանել երկու բաղադրիչի: Թող անհրաժեշտ լինի ավելացնել տարածության մեջ կամայականորեն տեղակայված մի քանի զույգ ուժեր (նկ. 35): Որոշելով այս զույգերի պահերը՝ դրանք կարող են տեղափոխվել վայրի ցանկացած O կետ։ Այս զույգ ուժերի մոմենտները հերթով գումարելով՝ կարելի է զույգերի մոմենտներից կառուցել մի բազմանկյուն, որի փակող կողմը կորոշի ուժերի համարժեք զույգի մոմենտը։ (նկ. 35) ցույց է տալիս մոմենտի պոլիգոնի կառուցումը 3 զույգ գումարելիս:

Զույգ ուժերի մոմենտը, ուժերը, որոնք համարժեք են տարածության մեջ ուժերի զույգ ուժերի տվյալ համակարգին, հավասար է բաղկացուցիչ ուժերի զույգերի մոմենտների երկրաչափական գումարին.
կամ

Տրված ուժերի զույգի գործողության I հարթությունը ուղղահայաց է նրա մոմենտի ուղղությանը

Եթե ​​համարժեք զույգ ուժերի մոմենտը զրո է, ապա ուժերի զույգերը փոխադարձաբար հավասարակշռված են.

Այսպիսով, տարածության մեջ կամայականորեն տեղակայված ուժերի զույգերի հավասարակշռության պայմանը կարող է կառուցվել հետևյալ կերպ. տարածության մեջ կամայականորեն տեղակայված ուժերի զույգերը այս դեպքում փոխադարձաբար հավասարակշռված են, եթե դրանց մոմենտի երկրաչափական գումարը զրո է: Եթե ​​ուժերի զույգերը դրված են նույն հարթության վրա (նկ. 36), ապա այդ զույգ ուժերի մոմենտները, որոնք ուղղված են մեկ ուղիղ գծով, գումարվում են հանրահաշվորեն։

Մարմնի վրա գործող ուժային զույգերի համակարգը համարժեք է մեկ ուժային զույգի, որի մոմենտը հավասար է բաղադրիչ զույգերի մոմենտների հանրահաշվական գումարին։

Թող երեք զույգ ուժեր (P1, P1 ′), (P2, P2 ′), (P3, P3 ′) ազդեն նույն հարթության վրա գտնվող պինդ մարմնի վրա (նկ. 5.9): Այս զույգերի պահերը.

M 1 = P 1: d 1, M 2 = P 2: d 2, M 3 = - P 3: դ 3

Նույն հարթության մեջ ընտրենք d երկարությամբ կամայական AB հատված և տրված զույգերը փոխարինենք համարժեքներով (Q1, Q1 ′), (Q2, Q2 ′), (Q3, Q3 ′) ընդհանուր d թևով։

Հարաբերություններից գտնենք համարժեք զույգերի ուժերի մոդուլները

M1 = P1. d1 = Q1. դ, M2 = P2: d2 = Q2. դ, M3 = - P3: d3 = - Q3: դ.

Եկեք գումարենք AB հատվածի ծայրերին կիրառված ուժերը և գտնենք դրանց արդյունքի մոդուլը.

R = Q1 + Q2 - Q3

R′ = - R = (-Q′ 1 - Q′ 2 + Q′ 3)

R և R′ արդյունքերը կազմում են տրված զույգերի համակարգին համարժեք ստացված զույգ։

Այս զույգի պահը.

M = R. d = (Q1 + Q2 - Q3) d = Q1: դ + Q2. դ - Q3. d = M1 + M2 + M3

Եթե ​​մարմնի վրա գործում են «n» զույգերը, ապա ստացված զույգի պահը հավասար է կազմող զույգերի մոմենտների հանրահաշվական գումարին.

M = ∑ Մի

Զույգը կոչվում է հավասարակշռում, որի մոմենտը բացարձակ արժեքով հավասար է ստացված զույգի պահին, բայց հակառակ ուղղությամբ։

Օրինակ 5.1

Որոշեք ստացված զույգի պահը տրված երեք զույգերի համար (նկ. 5.

10, ա), եթե P1 = 10 kN, P2 = 15 kN, P3 = 20 kN, d1 = 4 մ, d2 = 2 մ, d3 = 6 մ:

Մենք որոշում ենք յուրաքանչյուր զույգ ուժերի պահը.

M1 = 10 N. 4 մ = 40 Նմ M2 = - 15 Ն. 2 մ = - 30 Նմ M3 = - 20 Ն. 6 մ = - 120 Նմ

М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = 40 – 30 – 120 = - 110 Նմ

Օրինակ 5.2

Շրջանակի վրա (նկ. 5. 10, բ) ազդում են երեք զույգ ուժեր (P1, P1 ′), (P2, P2 ′), (P3, P3 ′), որոնք կիրառվում են համապատասխանաբար A1, A2, A3 կետերում: Սահմանեք պահը

ստացված զույգը, եթե P1 = 10 N, P2 = 15 N, P3 = 20 N, և ուժային զույգերի թեւերը d1 =

0,4 մ, d2 = 0,2 մ, d3 = 0,6 մ:

Մենք որոշում ենք ուժի զույգերի պահերը.

M1 = P1. d1 = 10: 0,4 = 4 Նմ M2 = - P2: d2 = - 15: 0,2 = - 3 Նմ M3 = - P3: d3 = - 20: 0,6 = - 12 Նմ

Մենք որոշում ենք ստացված զույգի պահը.

М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = 4 – 3 – 120 = - 11 Նմ

Օրինակ 5.3

Ճառագայթի վրա (նկ. 5. 10, գ) ազդում են երեք զույգ ուժեր (P1, P1 ′), (P2, P2 ′), (P3, P3 ′), որոնք կիրառվում են A1, A2, A3 կետերում: Որոշեք ստացված զույգի պահը,

եթե P1 = 2 kN, P2 = 3 kN, P3 = 6 kN, և ուժային զույգերի թեւերը d1 = 0,2 մ, d2 = 0,4 մ, d3 = 0,3 մ:

Մենք որոշում ենք ուժի զույգերի պահերը.

M1 = - P1. d1 = - 2: 0,2 = - 0,4 կՆմ M2 = - P2: d2 = - 3: 0,4 = - 1,2 կՆմ M3 = P3: d3 = 6: 0,3 = 1,8 կՆմ

Մենք որոշում ենք ստացված զույգի պահը.

М = ∑ Мi = М1 + М2 + М3 = - 0,4 – 1,2 + 1,8 = 0,2 կՆմ

Օրինակ 5.4

Շրջանակների վրա (նկ. 5. 10, դ, ե, զ) ինքնուրույն ազդող առաջացած զույգերի մոմենտները որոշե՛ք։

5. 5. Ուժերի զույգերի գումարում տարածության մեջ

Թեորեմ. Կոշտ մարմնի վրա ազդող ուժերի զույգերի համակարգը համարժեք է մեկ զույգ ուժերի, որի մոմենտը հավասար է բաղկացուցիչ զույգերի մոմենտների երկրաչափական գումարին։

Ապացույց

Ապացուցենք թեորեմը երկու զույգ ուժերի համար, որոնց գործողության հարթություններն են I և II, և M1 և M2 մոմենտները (նկ. 5. 11, ա): Եկեք փոխակերպենք ուժերի զույգերը այնպես, որ դրանց ուսերը լինեն AB հատվածը, որը ընկած է հարթությունների հատման գծի վրա: Մենք ստանում ենք երկու զույգ ուժեր (Р1, Р1 ′) և (Q2, Q2 ′), որոնք ունեն նույնական ուսեր և համապատասխանաբար փոփոխված ուժային մոդուլներ, որոնք մենք գտնում ենք հարաբերություններից։

M 1 = P1: ԱԲ

M2 = Q1: ԱԲ

Գումարելով A և B կետերում կիրառվող ուժերը՝ մենք գտնում ենք դրանց արդյունքները

R = P1 + Q1

R′ = Р1 ′ + Q1 ′

Ուժերի զուգահեռականները հավասար են և գտնվում են զուգահեռ հարթություններում։ Հետևաբար, R-ի և R′-ի արդյունքերը մեծությամբ հավասար են, զուգահեռ են և ուղղված են հակառակ ուղղություններով, այսինքն. ձևավորեք ստացված զույգը (R, R′):

Գտնենք այս զույգի պահը.

M = r x R = AB x R = AB x (P1 + Q1) = AB x P1 + AB x Q1 = M1 + M 2

Հետևաբար, M զույգի մոմենտը հավասար է M1 և M2 մոմենտների երկրաչափական գումարին և պատկերված է M1 և M2 վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի անկյունագծով։

Եթե ​​կոշտ մարմնի վրա գործում են «n» զույգ ուժեր M1, M2 ... Mn մոմենտներով, ապա ստացված զույգը կունենա այս զույգերի մոմենտների երկրաչափական գումարին հավասար մոմենտ։

M = ∑ Մի

5. 6. Զույգ ուժերի համակարգի հավասարակշռության պայմանները

Հարթության վրա ուժերի զույգերի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ բոլոր զույգերի պահերի հանրահաշվական գումարը հավասար լինի զրոյի.

∑ Mi = 0

Տիեզերքում ուժերի զույգերի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ բոլոր զույգերի պահերի երկրաչափական գումարը հավասար լինի զրոյի.

∑ Mi = 0

Օրինակ 5.5

Որոշեք ճառագայթի RA և RB հենման ռեակցիաները (նկ. 5. 11, բ) երկու զույգ ուժերի ազդեցությամբ՝ օգտագործելով հարթության վրա ուժերի զույգերի հավասարակշռության պայմանները։

1) Որոշենք ստացված ուժերի զույգի պահը

M = M1 + M2 = - 40 + 30 = - 30 կՆմ Քանի որ ուժերի զույգը կարող է հավասարակշռվել միայն զույգով, ապա ռեակցիաները

ՀՀ-ն և ՌԲ-ն պետք է կազմեն մի զույգ ուժ. Սահմանված է RB ռեակցիայի գործողության գիծը (ուղղահայաց կրող մակերեսին), ՌԱ ռեակցիայի գործողության գիծը զուգահեռ է ՌԲ ռեակցիայի գործողության գծին։

Եկեք ընդունենք ռեակցիաների ուղղությունները՝ համաձայն Նկ. 5. 11, բ.

2) Եկեք որոշենք հավասարակշռող ուժերի զույգի պահը (Ռ A, RB)

M (R A, RB) = МR = RА. AB = RB. ԱԲ

3) Ուժերի զույգերի հավասարակշռության պայմանից որոշենք օժանդակ ռեակցիաները

∑ Мi = 0 М + МR = 0

30 + ՀՀ. 6 = 0

ՀՀ = 5 կՆ; RВ = RA = 5 կՆ

Մի երկու ուժովմեծությամբ հավասար, զուգահեռ և հակառակ ուղղություններով երկու ուժերի համակարգ է, որոնք գործում են բացարձակ կոշտ մարմնի վրա։

Թեորեմ ուժերի զույգերի գումարման մասին. Միևնույն պինդ մարմնի վրա գործող և հատվող հարթություններում գտնվող երկու զույգ ուժերը կարող են փոխարինվել մեկ համարժեք ուժերով, որոնց մոմենտը հավասար է տվյալ զույգ ուժերի մոմենտների գումարին։

Ապացույց. Թող լինեն երկու զույգ ուժեր, որոնք տեղակայված են հատվող հարթություններում: Հարթության մեջ ուժերի զույգը բնութագրվում է պահով, իսկ ուժերի զույգը բնութագրվում է պահով: Եկեք դասավորենք ուժերի զույգերը այնպես, որ զույգերի թեւը ընդհանուր է և գտնվում է հատման գծում: ինքնաթիռներից։ Մենք գումարում ենք A և B կետերում կիրառված ուժերը: Մի երկու ուժ ենք ստանում։

Ուժերի զույգերի հավասարակշռության պայմանները.

Եթե ​​պինդ մարմնի վրա գործում են մի քանի զույգ ուժեր, որոնք կամայականորեն տեղակայված են տարածության մեջ, ապա հաջորդաբար կիրառելով զուգահեռագծի կանոնը ուժերի զույգերի յուրաքանչյուր երկու մոմենտի վրա, ցանկացած թվով ուժեր կարող են փոխարինվել մեկ համարժեք զույգ ուժերով: , որի մոմենտը հավասար է տրված ուժերի զույգերի մոմենտների գումարին։

Թեորեմ. Պինդ մարմնի վրա կիրառվող ուժերի զույգերի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ ուժերի համարժեք զույգի մոմենտը հավասար լինի զրոյի:

Թեորեմ. Պինդ մարմնի վրա կիրառվող ուժերի զույգերի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ երեք կոորդինատային առանցքներից յուրաքանչյուրի վրա ուժերի զույգերի մոմենտների կանխատեսումների հանրահաշվական գումարը հավասար լինի զրոյի:

20.Դինամիկ դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ կապված նյութական կետի շարժման հետ։ Դինամիկ Կորիոլիսի թեորեմ

Ազատ նյութական կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Հավասարումները հանելու համար կօգտագործենք դինամիկայի երկրորդ և չորրորդ աքսիոմները։ Երկրորդ աքսիոմի համաձայն ma = F (1)

որտեղ, ըստ չորրորդ աքսիոմի, F-ն կետի վրա կիրառվող բոլոր ուժերի արդյունքն է:

Հաշվի առնելով վերջին դիտողությունը՝ (1) արտահայտությունը հաճախ անվանում են դինամիկայի հիմնական հավասարում։ Գրության տեսքով այն ներկայացնում է Նյուտոնի երկրորդ օրենքը, որտեղ մեկ ուժը, ըստ ուժերի գործողության անկախության աքսիոմայի, փոխարինվում է նյութական կետի նկատմամբ կիրառվող բոլոր ուժերի արդյունքով: Հիշելով, որ a = dV / dt = d2r / dt = r"», մենք (1)-ից ստանում ենք նյութական կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումը վեկտորի տեսքով. mr"" = F (2)

ոչ ազատ նյութական կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումներ.

Ըստ միացումների աքսիոմի, միացումները փոխարինելով դրանց ռեակցիաներով, ոչ ազատ նյութական կետը կարելի է համարել ազատ՝ ակտիվ ուժերի և կապերի ռեակցիաների ազդեցության տակ։Ըստ դինամիկայի չորրորդ աքսիոմի՝ F-ն կլինի արդյունքը։ կապերի ակտիվ ուժեր և ռեակցիաներ.

Հետևաբար, ազատ նյութական կետի շարժման դիֆերենցիալ հավասարումները կարող են օգտագործվել ոչ ազատ կետի շարժումը նկարագրելու համար՝ հիշելով, որ Fx, Fy, Fz ուղղանկյուն առանցքների վրա ուժերի կանխատեսումները (4) և պրոյեկցիաները. Fτ, Fn, Fb բնական առանցքների ուժերը (6) հավասարումներում ներառում են ոչ միայն ակտիվ ուժերի կանխատեսումներ, այլև կապի ռեակցիաների կանխատեսումներ։

Կետի շարժման հավասարումների մեջ սահմանափակող ռեակցիաների առկայությունը բնականաբար բարդացնում է դինամիկայի խնդիրների լուծումը, քանի որ դրանցում հայտնվում են լրացուցիչ անհայտներ։ Խնդիրները լուծելու համար պետք է իմանալ կապերի հատկությունները և ունենալ կապերի հավասարումներ, որոնցից պետք է լինեն այնքան, որքան կապերի ռեակցիաները։

Coriolis ուժը հավասար է.

որտեղ m-ը կետային զանգված է, w-ը պտտվող հղման շրջանակի անկյունային արագության վեկտորն է, v-ն կետային զանգվածի շարժման արագության վեկտորն է այս հղման շրջանակում, քառակուսի փակագծերը ցույց են տալիս վեկտորի արտադրանքի գործողությունը:

Մեծությունը կոչվում է Կորիոլիսի արագացում։

Կորիոլիսի ուժը իներցիոն ուժերից մեկն է, որը գոյություն ունի ոչ իներցիոն հղման համակարգում պտտման և իներցիայի օրենքների պատճառով և դրսևորվում է պտտման առանցքի անկյան տակ ուղղությամբ շարժվելիս:

Դիտել:Այս հոդվածը կարդացվել է 24574 անգամ

Pdf Ընտրել լեզուն... Ռուսերեն ուկրաիներեն անգլերեն

Կարճ ակնարկ

Ամբողջ նյութը ներբեռնվում է վերևում՝ լեզուն ընտրելուց հետո

Վերանայում

Պտտման կետ կամ առանցք ունեցող մարմինների ցանկացած կինեմատիկ վիճակ կարելի է բնութագրել ուժի պտտման ազդեցությունը բնութագրող ուժի պահով։

Ուժի պահ կենտրոնի մասին- սա շառավիղի վեկտորային արտադրյալն է - ուժի վեկտորի կողմից ուժի կիրառման կետի վեկտորը:

Իշխանության ուս- ամենակարճ հեռավորությունը կենտրոնից մինչև ուժի գիծը (կենտրոնից ուղղահայաց դեպի ուժի գործողության գիծը):

Վեկտորն ուղղված է ըստ վեկտորի արտադրյալի կանոնի. կենտրոնի (կետի) նկատմամբ ուժի մոմենտը որպես վեկտոր ուղղահայաց է այն հարթությանը, որում գտնվում են ուժը և կենտրոնը, որպեսզի դրա ծայրից երևա։ որ ուժը փորձում է մարմինը պտտել կենտրոնի շուրջը ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ։

Ուժի պահի չափման միավորկա 1

Ինքնաթիռում կենտրոնի նկատմամբ ուժի պահը- հանրահաշվական մեծություն, որը հավասար է նույն կենտրոնի նկատմամբ ուժի մոդուլի և ուսի արտադրյալին՝ հաշվի առնելով նշանը.

Ուժի պահի նշանը կախված է այն ուղղությունից, որով ուժը փորձում է պտտվել կենտրոնի շուրջ.

• ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ - «−» (բացասական)
• ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ - «+» (դրական);

Կենտրոնի նկատմամբ ուժի պահի հատկությունները (կետ).

1. Կետի նկատմամբ ուժի պահի մոդուլը հավասար է վեկտորների վրա կառուցված եռանկյունու մակերեսի կրկնապատիկին:
2. Կետի նկատմամբ ուժի պահը չի փոխվում, երբ ուժը փոխանցվում է իր գործողության գծի երկայնքով, քանի որ ուժի թեւը մնում է անփոփոխ:
3. Կենտրոնի (կետի) նկատմամբ ուժի պահը հավասար է զրոյի, եթե.

• ուժը զրո է F = 0;
• ուժի թեւ h = 0, այսինքն. ուժի գործողության գիծն անցնում է կենտրոնով։

Վարինյոնի թեորեմը (արդյունքի պահի մասին).

Ցանկացած կենտրոնի նկատմամբ համընկնող ուժերի արդյունքային հարթության համակարգի մոմենտը հավասար է նույն կենտրոնի նկատմամբ համակարգի բաղադրիչ ուժերի մոմենտների հանրահաշվական գումարին:

Ուժային զույգի տեսություն

Նույն ուղղությամբ ուղղված երկու զուգահեռ ուժերի ավելացում.

Մեկ ուղղությամբ ուղղված երկու զուգահեռ ուժերի համակարգի արդյունքը մոդուլով հավասար է բաղադրիչ ուժերի մոդուլների գումարին, զուգահեռ է նրանց և ուղղված է նույն ուղղությամբ:

Արդյունքների գործողության գիծն անցնում է բաղադրիչների կիրառման կետերի միջև՝ այդ կետերից ուժերին հակադարձ համեմատական ​​հեռավորության վրա։

Տարբեր ուղղություններով ուղղված երկու զուգահեռ ուժերի գումարում (տարբեր մեծության ուժերի դեպք)

Երկու զուգահեռ, անհավասար մեծությամբ, հակառակ ուղղված ուժերի արդյունքը նրանց զուգահեռ է և ուղղված է ավելի մեծ ուժի ուղղությամբ և մեծությամբ հավասար է բաղադրիչ ուժերի տարբերությանը:

Արդյունքների գործողության գիծը անցնում է դրանց կիրառման կետերը միացնող հատվածից դուրս (ավելի մեծ ուժի կողմից) և նրանցից բաժանվում է ուժերին հակադարձ համեմատական ​​հեռավորությունների վրա։

Զույգ ուժեր- երկու զուգահեռ ուժերի համակարգ, որոնք հավասար են մեծությամբ և հակառակ ուղղությամբ, որոնք կիրառվում են բացարձակ կոշտ մարմնի վրա:

Ուժի լծակ զույգ- զույգի ուժերի գործողության գծերի միջև հեռավորությունը, այսինքն. զույգի ուժերից մեկի գործողության գծի կամայական կետից մինչև երկրորդ ուժի գործողության գիծը գծված ուղղահայաց երկարությունը։

Մի քանի ուժերի գործողության հարթություն- սա այն հարթությունն է, որում տեղակայված են զույգի ուժերի գործողության գծերը:
Զույգ ուժերի գործողությունը վերածվում է պտտվող շարժման, որը որոշվում է զույգի պահով։

Զույգ պահկոչվում է վեկտոր հետևյալ բնութագրերով.

• այն ուղղահայաց է զույգի հարթությանը.
• ուղղված այն ուղղությամբ, որտեղից զույգի կատարած պտույտը տեսանելի է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ.
• դրա մոդուլը հավասար է զույգի ուժերից մեկի և զույգի թևի մոդուլի արտադրյալին՝ հաշվի առնելով նշանը.

Մի քանի ուժերի պահի նշան.

• «+» - ժամացույցի սլաքի հակառակ պտույտ
• «-» - ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ ռոտացիա

Զույգ ուժերի մոմենտը հավասար է զույգի ուժերից մեկի և զույգի թևի մոդուլի արտադրյալին։

Զույգի պահը ազատ վեկտոր է. նրա համար ոչ կիրառման կետն է նշանակված, ոչ էլ գործողության գիծը, դրանք կարող են կամայական լինել:

Զույգ ուժերի պահի հատկությունը.

Զույգ ուժերի թեորեմներ

Թեորեմ 1. Ուժերի զույգը արդյունք չունի, այսինքն. Զույգ ուժերը չեն կարող փոխարինվել մեկ ուժով։

Թեորեմ 2. Ուժերի զույգը հավասարակշռված ուժերի համակարգ չէ:

ՀետևանքԲացարձակ կոշտ մարմնի վրա գործող մի զույգ ուժեր փորձում են պտտել այն:

Թեորեմ 3. Տարածության մեջ կամայական կենտրոնի (կետի) նկատմամբ զույգի ուժերի մոմենտների գումարը հաստատուն մեծություն է և ներկայացնում է այս զույգի վեկտոր-մոմենտը։

Թեորեմ 4. Զույգի գործողության հարթությունում կամայական կենտրոնի նկատմամբ զույգ կազմող ուժերի մոմենտների գումարը կախված չէ կենտրոնից և հավասար է զույգի թևի ուժի արտադրյալին. հաշվի առնելով նշանը, այսինքն. հենց զույգի պահը.

Թեորեմ 5 - զույգերի համարժեքության մասին։ Ուժերի զույգերը, որոնց մոմենտները թվով և նշանով հավասար են, համարժեք են: Նրանք. Զույգ ուժերը կարող են փոխարինվել կամ հավասարակշռվել միայն մեկ այլ համարժեք ուժերի զույգով:

Թեորեմ 6-ը զույգ ուժերի հավասարակշռության մասին է: Ուժերի զույգը կազմում է ուժերի հավասարակշռված համակարգ, եթե և միայն այն դեպքում, երբ զույգի պահը զրո է:

Թեորեմ 7 - զույգ ուժերի շարժման հնարավորությունների մասին իր գործողության հարթությունում: Զույգը իր գործողության հարթության ցանկացած վայր տեղափոխելով ստացված ուժային զույգը համարժեք է տրված զույգին։

Թեորեմ 8-ը հարթության մեջ ուժեր ավելացնելու մասին է: Հարթության մեջ տրված զույգերի համակարգին համարժեք զույգի մոմենտը հավասար է բաղկացուցիչ զույգերի մոմենտների հանրահաշվական գումարին։ Նրանք. Զույգ ուժեր ավելացնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել նրանց պահերը:

Զույգ ուժերի համակարգի հավասարակշռության պայմանները.

Հարթության մեջ ուժերի զույգերը հավասարակշռված են, եթե դրանց մոմենտի հանրահաշվական գումարը հավասար է զրոյի:

Լեզուն՝ ռուսերեն, ուկրաիներեն

Շարժիչային հանդերձանքի հաշվարկման օրինակ
Կտրուկ հանդերձանքի հաշվարկման օրինակ: Կատարվել է նյութի ընտրություն, թույլատրելի լարումների հաշվարկ, շփման և ճկման ուժի հաշվարկ։

Ճառագայթների ճկման խնդրի լուծման օրինակ
Օրինակում կառուցվել են լայնակի ուժերի և ճկման մոմենտների դիագրամներ, հայտնաբերվել է վտանգավոր հատված և ընտրվել է I-beam: Խնդիրը վերլուծել է դիագրամների կառուցումը` օգտագործելով դիֆերենցիալ կախվածություն և իրականացրել է ճառագայթի տարբեր խաչմերուկների համեմատական ​​վերլուծություն:

Լիսեռի ոլորման խնդրի լուծման օրինակ
Խնդիրն է ստուգել պողպատե լիսեռի ամրությունը տվյալ տրամագծի, նյութի և թույլատրելի լարվածության դեպքում: Լուծման ընթացքում կառուցվում են ոլորող մոմենտների, կտրվածքային լարումների և ոլորման անկյունների դիագրամներ։ Առանցքի սեփական քաշը հաշվի չի առնվում

Ձողի լարվածության-սեղմման խնդրի լուծման օրինակ
Խնդիրն է ստուգել պողպատե ձողի ամրությունը սահմանված թույլատրելի լարումների դեպքում: Լուծման ընթացքում կառուցվում են երկայնական ուժերի, նորմալ լարումների և տեղաշարժերի դիագրամներ։ Ձողի սեփական քաշը հաշվի չի առնվում

Կինետիկ էներգիայի պահպանման թեորեմի կիրառում
Խնդիր լուծելու օրինակ՝ օգտագործելով մեխանիկական համակարգի կինետիկ էներգիայի պահպանման թեորեմը

Շարժման տրված հավասարումների միջոցով կետի արագության և արագացման որոշում
Մի կետի արագությունն ու արագացումը որոշելու խնդրի լուծման օրինակ՝ օգտագործելով շարժման տրված հավասարումները

Հարթ զուգահեռ շարժման ժամանակ կոշտ մարմնի կետերի արագությունների և արագացումների որոշում
Հարթ զուգահեռ շարժման ժամանակ կոշտ մարմնի կետերի արագություններն ու արագացումները որոշելու խնդրի լուծման օրինակ