Աղյուսակով սահմանված ֆունկցիաների միջին քառակուսի մոտարկումը: Դասընթացի աշխատանք՝ տիպիկ մաթեմատիկական խնդիրների լուծման թվային մեթոդներ Թեմա՝ Հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդներ.

Հաճախ ինտերպոլացված ֆունկցիայի արժեքները y, y2 , ..., y« որոշվում են որոշ սխալներով փորձից, ուստի խելամիտ չէ ինտերպոլացիայի հանգույցներում ճշգրիտ մոտավորություն օգտագործելը: Այս դեպքում ավելի բնական է ֆունկցիան մոտավորել ոչ թե կետերով, այլ ըստ միջին,այսինքն, նորմերից մեկում L p.

Տիեզերք 1 p - բազմաթիվ գործառույթներ d (x),սահմանված հատվածի վրա [ա, բ]և մոդուլը ինտեգրելի p-րդ հզորությամբ, եթե նորմը սահմանված է

Նման նորմայում կոնվերգենցիան կոչվում է կոնվերգենցիա մեջ միջին 1,2 տարածությունը կոչվում է Հիլբերտ, և դրանում կոնվերգենցիան է արմատ միջին քառակուսի.

Թող Dx ֆունկցիան և φ(x) ֆունկցիաները տրվեն որոշ գծային նորմատիվ տարածությունից։ Ինտերպոլացիայի, մոտարկման և մոտարկման խնդրի համատեքստում կարելի է ձևակերպել հետևյալ երկու խնդիրները.

Առաջին առաջադրանքըտրված ճշգրտությամբ մոտավորություն է, այսինքն՝ ըստ տրվածի եգտնել φ(x) այնպես, որ անհավասարությունը |[Dx) - φ(x)|| Գ..

Երկրորդ առաջադրանք- սա որոնում է լավագույն մոտարկումըայսինքն՝ փնտրելով φ*(x) ֆունկցիան, որը բավարարում է հարաբերությունը.

Եկեք առանց ապացույցի սահմանենք լավագույն մոտարկման գոյության բավարար պայման։ Դա անելու համար ֆունկցիաների գծային տարածությունում մենք ընտրում ենք արտահայտությունով պարամետրացված բազմություն

որտեղ φ[(x), ..., φ„(x) ֆունկցիաների բազմությունը կհամարվի գծային անկախ։

Կարելի է ցույց տալ, որ ցանկացած նորմալացված տարածության մեջ գծային մոտարկումով (2.16) գոյություն ունի լավագույն մոտարկումը, թեև այն եզակի չէ որևէ գծային տարածության մեջ:

Եկեք դիտարկենք Հիլբերտի տարածքը LzCp) իրական ֆունկցիաների, որոնք քառակուսի են ինտեգրելի քաշով p(x) > 0-ի վրա, որտեղ սկալյար արտադրյալը ( է, հ) որոշվում է

բանաձև:

Գծային համակցությունը (2.16) փոխարինելով լավագույն մոտարկման պայմանով, մենք գտնում ենք

Ածանցյալների հավասարումը գործակիցների նկատմամբ (D, կ= 1, ..., P, մենք ստանում ենք գծային հավասարումների համակարգ

Հավասարումների համակարգի (2.17) որոշիչը կոչվում է Գրամի որոշիչ։ Գրամի որոշիչը զրոյական չէ, քանի որ ենթադրվում է, որ φ[(x), ..., φ„(x) ֆունկցիաների համակարգը գծային անկախ է:

Այսպիսով, լավագույն մոտարկումը գոյություն ունի և եզակի է։ Այն ստանալու համար անհրաժեշտ է լուծել հավասարումների համակարգը (2.17): Եթե ​​φ1(x), ..., φ„(x) ֆունկցիաների համակարգը ուղղանկյունացված է, այսինքն՝ (φ/,φ,) = 5y, որտեղ 5, = 1, 8y = 0, SCH,ij = 1, ..., Պ,ապա հավասարումների համակարգը կարող է լուծվել հետևյալ ձևով.

Գտնված գործակիցները ըստ (2.18) Q, ..., thկոչվում են ընդհանրացված Ֆուրիեի շարքի գործակիցներ։

Եթե ​​φ t (X),..., φ„(x),... ֆունկցիաների բազմությունը կազմում է ամբողջական համակարգ, ապա Պարսևալի հավասարության ուժով. քանի որ P -» co սխալի նորմը նվազում է առանց սահմանի: Սա նշանակում է, որ լավագույն մոտարկումը զուգակցում է արմատ-միջին-քառակուսին Dx) ցանկացած տրված ճշգրտությամբ:

Նկատի ունեցեք, որ լավագույն մոտավորության գործակիցների որոնումը հավասարումների համակարգը լուծելով (2.17) գործնականում անհնար է իրականացնել, քանի որ քանի որ Գրամ մատրիցայի կարգը մեծանում է, դրա որոշիչն արագորեն ձգտում է զրոյի, և մատրիցը դառնում է վատ պայմանավորված: Նման մատրիցով գծային հավասարումների համակարգի լուծումը կհանգեցնի ճշգրտության զգալի կորստի։ Եկեք ստուգենք այն:

Թող աստիճաններն ընտրվեն որպես ֆունկցիաների համակարգ φ„ i =1, ..., П, այսինքն՝ φ* = X 1», 1 = 1, ..., Պ,ապա, ենթադրելով, որ հատվածը մոտավոր հատված է, մենք գտնում ենք Գրամի մատրիցը

Ձևի Գրամի մատրիցը (2.19) կոչվում է նաև Հիլբերտի մատրիցա։ Սա այսպես կոչված վատ պայմանավորված մատրիցայի դասական օրինակ է:

Օգտագործելով MATLAB-ը, մենք հաշվարկում ենք Հիլբերտի մատրիցի որոշիչը (2.19) որոշ առաջին արժեքների համար: Պ.Ցուցակ 2.5 ցույց է տալիս համապատասխան ծրագրի կոդը:

Ցուցակ 23

Հաշվարկելով Հիլբերտի մատրիցների որոշիչը՝ մաքրելով աշխատանքային տարածքըմաքրել բոլորը;

ընտրեք Հիլբերտի մատրիցայի առավելագույն պատվերի արժեքը ptah =6;

Հիլբերտի մատրիցներ ստեղծելու և դրանց որոշիչները հաշվարկելու համար հանգույց կառուցել

n = 1-ի համար՝ ptah d(n)=det(hi I b(n)); վերջ

Տպել %Hilbert մատրիցների որոշիչի արժեքները

f o g t կարճ վերջ

Ցուցակ 2.5-ում ծածկագիրը գործարկելուց հետո MATLAB հրամանի պատուհանը պետք է ցուցադրի Հիլբերտի մատրիցների որոշիչ արժեքները առաջին վեց մատրիցների համար: Ստորև բերված աղյուսակը ցույց է տալիս մատրիցների (n) և դրանց որոշիչների (d) կարգերի համապատասխան թվային արժեքները: Աղյուսակը հստակ ցույց է տալիս, թե որքան արագ է Հիլբերտի մատրիցայի որոշիչը զրոյի ձգտում, քանի որ կարգը մեծանում է և, սկսած 5-րդ և 6-րդ կարգերից, այն դառնում է անընդունելիորեն փոքր:

Հիլբերտի մատրիցների որոշիչի արժեքների աղյուսակ

φ, i = 1, ..., П ֆունկցիաների համակարգի թվային ուղղանկյունացումը նույնպես հանգեցնում է ճշգրտության նկատելի կորստի, հետևաբար, ընդլայնման մեջ մեծ թվով տերմիններ հաշվի առնելու համար անհրաժեշտ է կամ. ուղղանկյունացում իրականացնել վերլուծական եղանակով, այսինքն՝ ճշգրիտ, կամ օգտագործել ուղղանկյուն ֆունկցիաների պատրաստի համակարգ։

Եթե ​​ինտերպոլացիայի ժամանակ որպես հիմք ֆունկցիաների համակարգ սովորաբար օգտագործում են աստիճանները, ապա միջինում մոտավորելիս որպես հիմքի ֆունկցիաներ ընտրվում են տվյալ քաշով ուղղանկյուն բազմանդամները։ Դրանցից առավել հաճախ օգտագործվում են Յակոբի բազմանդամները, որոնց հատուկ դեպքն են Լեժանդրի և Չեբիշևի բազմանդամները։ Օգտագործվում են նաև Lagsr և Hermite բազմանդամները։ Այս բազմանդամների մասին ավելի շատ մանրամասներ կարելի է գտնել, օրինակ, հավելվածում Ուղղանկյուն բազմանդամներգրքեր

Թող աղյուսակը պարունակի ֆունկցիայի արժեքներ, որոնք ստացվել են, օրինակ, փորձից, այսինքն՝ չափված սխալով: Այնուհետև մոտարկումը օգտագործելով ինտերպոլացիայի ապարատ , որը հիմնված է ինտերպոլացիայի հանգույցներում բազմանդամի արժեքները աղյուսակի արժեքների հետ հավասարեցնելու վրա, անպատշաճ.

Խնդրի այս ձևակերպմամբ անհրաժեշտ է միջինում կատարել մոտարկում, այսինքն՝ նկարագրել աղյուսակավորված ֆունկցիան որոշ բավականին պարզ վերլուծական կախվածությամբ, որն ունի փոքր թվով պարամետրեր: Այս պարամետրերի օպտիմալ ընտրությունը թույլ կտա մեզ կատարել աղյուսակով նշված ֆունկցիայի արմատ-միջին քառակուսի մոտարկումը:

Ընտրելով վերլուծական կախվածության տեսակըպետք է սկսել կոորդինատային հարթության վրա աղյուսակային տվյալներ գծագրելուց. սա կձևավորի փորձարարական կետերի դաշտ: Այս կետերի դաշտով հարթ կոր է գծվում այնպես, որ որոշ կետեր ընկած են այս կորի վրա, որոշ կետեր՝ վերևում, իսկ որոշ կետեր՝ գծված կորի տակ: Ելնելով այս կորի ձևից՝ պետք է որոշել վերլուծական կախվածության տեսակը՝ գծային, ուժային օրենք, հիպերբոլիկ, թե այլ:

Այնուամենայնիվ, շատ դժվար է գրաֆիկից աչքով ընտրել վերլուծական կախվածության տեսակը։ Ուստի առաջարկվեց վերլուծական կախվածության տեսակի մոտավոր գնահատման և ընտրության մեթոդ: Այս մեթոդը իսկապես մոտավոր է և ոչ ճշգրիտ, քանի որ կորը կարող է տարբեր ձևերով գծվել փորձարարական կետերի դաշտում, և հաշվարկման համար աղյուսակից կարելի է վերցնել տարբեր հղման կետեր, իսկ առաջարկվող մեթոդի ճշգրտությունը անհայտ է: Միաժամանակ այն կարելի է դիտարկել որպես կախվածության տեսակի ընտրության մոտավոր միջոց։

Առաջարկվում է գործողությունների հետևյալ ալգորիթմը.

1. Բնօրինակ աղյուսակում ընտրեք միմյանցից հեռու երկու կետ կոորդինատներով (x 1,y 1) և (x n,y n) - հղման կետեր, և յուրաքանչյուր զույգ կոորդինատների համար հաշվարկեք միջին թվաբանականը, երկրաչափական միջինը և ներդաշնակությունը:

2. Փորձարարական կետերի դաշտով գծված կորի վրա գտե՛ք երեք օրդինատներ, որոնք համապատասխանում են հայտնաբերված աբսցիսներին x ap, x geom, x վնասին.

3. Համեմատե՛ք կորի վրա հայտնաբերվածները հաշվարկվածների հետ հաշվարկելով հետևյալ տարբերությունների մոդուլները.

4. Գտնված արժեքներից ընտրվում է նվազագույն արժեքը.

5. Եզրակացություններ.եթե պարզվի, որ այն նվազագույն է

Կախվածությունը գծային է

Կախվածությունը էքսպոնենցիալ է

Կոտորակային գծային հարաբերություն

Լոգարիթմական կախվածություն

Իշխանության կախվածություն

Հիպերբոլիկ կախվածություն

Կոտորակային-ռացիոնալ հարաբերություն

Այս կախվածություններից որևէ մեկը կարող է կրճատվել մինչև գծային՝ կատարելով կոորդինատային փոխակերպում կամ այսպես կոչված. տվյալների հավասարեցում:
Այսպիսով, առաջին փուլն ավարտվում է վերլուծական կախվածության տեսակի ընտրությամբ, որի պարամետրերը սահմանված չեն։

Երկրորդ փուլբաղկացած է ընտրված վերլուծական կախվածության գործակիցների լավագույն արժեքների որոշման մեջ: Այդ նպատակով մաթեմատիկական նվազագույն քառակուսի մեթոդ.

Մեթոդը հիմնված է տվյալ աղյուսակային արժեքների () քառակուսի շեղումների գումարը նվազագույնի հասցնելու վրա, որոնք հաշվարկվում են տեսական կախվածությունից (): .

Թող ընտրված կախվածությունը լինի ուղիղ գիծ: . Եկեք այն փոխարինենք ֆունկցիոնալով. . Այնուհետև ֆունկցիոնալությունը նվազագույնի է հասցվում.

Գործակիցների լավագույն արժեքները գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել մասնակի ածանցյալները և դրանց նկատմամբ և հավասարեցնել դրանք զրոյի.

Փոխակերպումներից հետո հավասարումների համակարգը ստանում է ձև.

Գծային հավասարումների այս համակարգի լուծումը թույլ է տալիս գտնել գործակիցների և գծային կախվածության լավագույն արժեքները:

Եթե ​​ընտրված կախվածությունն է քառակուսային պարաբոլա.

ապա ֆունկցիոնալությունը նվազագույնի է հասցվում. .

Պարաբոլան ունի երեք փոփոխական գործակից, որոնցից լավագույն արժեքները պետք է գտնել՝ հավասարեցնելով նվազագույնի հասցված ֆունկցիոնալների մասնակի ածանցյալները պահանջվող գործակիցների նկատմամբ: Սա թույլ է տալիս մեզ ստանալ երեք գծային հավասարումների հետևյալ համակարգը գործակիցները գտնելու համար.

Օրինակ 1.Որոշե՛ք հետևյալ աղյուսակով տրված կախվածության տեսակը.

Լուծում.

Աղյուսակում նշված կետերը պետք է գծագրվեն կոորդինատային հարթության վրա՝ ա փորձարարական տվյալների դաշտ։ Այս դաշտի միջոցով իրականացվում է հարթ կոր:

Ընտրեք աղյուսակից երկու հղման կետ (3;0.55) և (10;1.11) կոորդինատներով և յուրաքանչյուր զույգ աբսցիսների և օրդինատների համար հաշվարկվում է թվաբանական, երկրաչափական և ներդաշնակ միջինը.

Երեք հաշվարկված աբսցիսների համար, փորձարարական կետերի դաշտով գծված կորի երկայնքով, որոշվում են երեք համապատասխան օրդինատներ.

Նշումիրականացվող հաշվարկների կողմնորոշման վրա։ Հաջորդը, սահմանվում են յոթ տարբեր մոդուլներ.

Ստացվել է միմյանց մոտ երեք նվազագույն արժեք

Երկրորդ փուլում այս կախվածություններից յուրաքանչյուրի համար պետք է որոշվեն գործակիցների լավագույն արժեքները՝ օգտագործելով նվազագույն քառակուսիների մեթոդը, այնուհետև պետք է հաշվարկվի ստանդարտ շեղումը տվյալ աղյուսակի արժեքներից:

Վերլուծական կախվածության վերջնական ընտրությունը կատարվում է ստանդարտ շեղման նվազագույն արժեքի հիման վրա:

Օրինակ 2.Աղյուսակում ներկայացված են փորձարարական ուսումնասիրությունների արդյունքները, որոնք կարելի է մոտավորել ուղիղ գծով: Գտեք գծի գործակիցների լավագույն արժեքները՝ օգտագործելով նվազագույն քառակուսիների մեթոդը:

Լուծում.

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարում.

Գծային հավասարումների համակարգը, որից պետք է որոշվեն գործակիցների լավագույն արժեքները և պետք է որոշվեն՝ առաջնորդվելով նվազագույն քառակուսիների մեթոդով, ունի ձևը.

Աղյուսակի վերջին շարքի 2-րդ, 3-րդ, 4-րդ և 5-րդ սյունակներից հաշվարկված գումարները փոխարինենք հավասարումների համակարգով.

Որտե՞ղ են որոշվում գծային կախվածության գործակիցները: Սա նշանակում է, որ տեսական գծի հավասարումը ունի ձև.

. (*)

Աղյուսակի վեցերորդ սյունակը ցույց է տալիս արգումենտի տրված արժեքների տեսական հավասարման միջոցով հաշվարկված ֆունկցիայի արժեքները: Աղյուսակի յոթերորդ սյունակը ցույց է տալիս նշված ֆունկցիայի արժեքների (3-րդ սյունակ) և տեսական արժեքների (6-րդ սյունակ) միջև եղած տարբերությունները, որոնք հաշվարկվում են (*):

Ութերորդ սյունակը ցույց է տալիս տեսական արժեքների քառակուսի շեղումները փորձարարական արժեքներից և որոշում է քառակուսի շեղումների գումարը: Այժմ դուք կարող եք գտնել

Օրինակ 3.Թող աղյուսակում տրված փորձարարական տվյալները մոտավոր լինեն քառակուսային պարաբոլով. Գտեք պարաբոլայի գործակիցների լավագույն արժեքները՝ օգտագործելով նվազագույն քառակուսիների մեթոդը:

Լուծում.

Պարաբոլայի գործակիցների որոշման գծային հավասարումների համակարգը ունի ձև.

Աղյուսակի վերջին տողից համապատասխան գումարները փոխարինվում են հավասարումների համակարգով.

Հավասարումների համակարգի լուծումը թույլ է տալիս մեզ որոշել գործակիցների արժեքները.

Այսպիսով, աղյուսակում նշված հատվածից կախվածությունը մոտավորվում է քառակուսային պարաբոլայով.

Փաստարկի տրված արժեքների համար տրված բանաձևով հաշվարկը թույլ է տալիս ձևավորել աղյուսակի իններորդ սյունակը, որը պարունակում է ֆունկցիայի տեսական արժեքները:

Փորձարարականից տեսական արժեքների քառակուսի շեղումների գումարը տրված է աղյուսակի 11-րդ սյունակի վերջին տողում: Սա թույլ է տալիս որոշել ստանդարտ շեղում.

ԳՈՐԾՆԱԿԱՆ ԴԱՍ թիվ 3

Թեմա՝ Հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդներ

Գաուսի մեթոդ - անհայտների հաջորդական բացառման մեթոդ - պատկանում է խմբին ճշգրիտ մեթոդներ իսկ եթե հաշվարկի սխալ չլիներ, կարելի էր ճշգրիտ լուծում ստանալ։

Ձեռքով հաշվարկներ կատարելիս նպատակահարմար է հաշվարկները կատարել կառավարման սյունակ պարունակող աղյուսակում: Ստորև ներկայացված է 4-րդ կարգի գծային հավասարումների համակարգի լուծման նման աղյուսակի ընդհանուր տարբերակը:

				Անվճար անդամներ	Վերահսկիչ սյունակ

				Անվճար անդամներ	Վերահսկիչ սյունակ

Օրինակ 1.Օգտագործելով Գաուսի մեթոդը, լուծեք 4-րդ կարգի հավասարումների համակարգը.

Արմատների այս մոտավոր արժեքները կարող են փոխարինվել սկզբնական հավասարումների համակարգում և հաշվարկվել մնացորդներ - , որոնք են համակարգի յուրաքանչյուր հավասարման աջ և ձախ կողմերի տարբերությունները՝ գտնված արմատները ձախ կողմում փոխարինելիս: Այնուհետև դրանք փոխարինվում են որպես մնացորդային համակարգի անվճար պայմաններ և ստանում փոփոխությունները

արմատներ - :

Նախորդ գլխում մանրամասն քննարկվեց ֆունկցիաների մոտարկման ամենատարածված մեթոդներից մեկը՝ ինտերպոլացիան: Բայց այս մեթոդը միակը չէ։ Տարբեր կիրառական խնդիրներ լուծելիս և հաշվողական սխեմաներ կառուցելիս հաճախ օգտագործվում են այլ մեթոդներ։ Այս գլխում մենք կդիտարկենք արմատների միջին քառակուսի մոտավորությունները ստանալու ուղիները: Մոտավորությունների անվանումը կապված է մետրային տարածությունների հետ, որոնցում դիտարկվում է ֆունկցիայի մոտավորության խնդիրը։ Գլուխ 1-ում մենք ներկայացրեցինք «մետրիկ գծային նորմատիվ տարածություն» և «մետրիկ էվկլիդյան տարածություն» հասկացությունները և տեսանք, որ մոտարկման սխալը որոշվում է այն տարածության չափանիշով, որում դիտարկվում է մոտարկման խնդիրը: Տարբեր տարածություններում սխալ հասկացությունը տարբեր իմաստներ ունի: Ինտերպոլացիայի սխալը դիտարկելիս մենք չկենտրոնացանք սրա վրա: Եվ այս գլխում մենք ստիպված կլինենք ավելի մանրամասն անդրադառնալ այս հարցին:

5.1. Մոտավորություններ եռանկյունաչափական բազմանդամների և Լեժանդրի բազմանդամների միջոցով Space l2

Դիտարկենք ֆունկցիաների բազմությունը, որոնք ինտեգրելի են Լեբեգի քառակուսու վրա ինտերվալի վրա
, այսինքն այնպիսին, որ ինտեգրալը պետք է գոյություն ունենա
.

Քանի որ առկա է ակնհայտ անհավասարությունը՝ սկսած ֆունկցիաների քառակուսու հետ ինտեգրելիությունից
Եվ
դրանց ցանկացած գծային համակցություն պետք է լինի նաև քառակուսի ինտեգրելի
, (որտեղ
Եվ
 ցանկացած իրական թվեր), ինչպես նաև արտադրանքի ամբողջականությունը
.

Ներկայացնենք ֆունկցիաների բազմությունը, որոնք քառակուսի ինտեգրելի են Լեբեգի իմաստով միջակայքում
, սկալյար արտադրանքի շահագործում

. (5.1.1)

Ինտեգրալի հատկություններից հետևում է, որ սկալյար արտադրյալի ներդրված գործողությունը ունի էվկլիդյան տարածության սկալյար արտադրյալի գրեթե բոլոր հատկությունները (տե՛ս պարագրաֆ 1.10, էջ 57).

Միայն առաջին գույքն ամբողջությամբ չի բավարարվում, այսինքն՝ պայմանը չի կատարվի։

Փաստորեն, եթե
, ապա դրանից չի բխում
հատվածի վրա
. Որպեսզի ներդրված օպերացիան ունենա այս հատկությունը, մենք հետագայում կհամաձայնվենք չտարբերել (համարժեք համարել) գործառույթները.
Եվ
, ինչի համար

.

Հաշվի առնելով վերջին դիտողությունը՝ մենք համոզված ենք, որ Լեբեգի քառակուսի ինտեգրելի ֆունկցիաների բազմությունը (ավելի ճիշտ՝ համարժեք ֆունկցիաների դասերի բազմությունը) կազմում է էվկլիդյան տարածություն, որտեղ սկալյար արտադրական գործողությունը սահմանվում է բանաձևով (5.1.1): Այս տարածությունը կոչվում է Լեբեգի տարածություն և նշվում է
կամ ավելի կարճ .

Քանի որ յուրաքանչյուր էվկլիդյան տարածություն ինքնաբերաբար և՛ նորմատիվացված է, և՛ մետրիկ, ապա տարածությունը
նաև նորմատիվ և մետրիկ տարածություն է։ Նորմը (տարրի չափը) և մետրիկը (տարրերի միջև հեռավորությունը) սովորաբար մուտքագրվում են դրանում ստանդարտ ձևով.

(5.1.2)

(5.1.3)

Նորմայի և մետրիկի հատկությունները (աքսիոմները) բերված են 1.10 բաժնում: Տարածության տարրեր
ֆունկցիաներ չեն, այլ համարժեք ֆունկցիաների դասեր։ Նույն դասին պատկանող ֆունկցիաները կարող են ունենալ տարբեր արժեքներ ցանկացած վերջավոր կամ նույնիսկ հաշվելի ենթաբազմության վրա
. Հետևաբար, մոտավորությունները տարածության մեջ
սահմանվում են ոչ միանշանակ. Տիեզերքի այս տհաճ հատկանիշը
վճարում է սկալյար արտադրանքի օգտագործման հարմարության շնորհիվ:

Ալթմանի դիսկրետ ֆունկցիաները հարթելու և դրանով իսկ տեսության մեջ շարունակականության գաղափարը ներմուծելու համար օգտագործվել է արմատ-միջին քառակուսի ինտեգրալ մոտարկումը տարբեր աստիճանի բազմանդամով:

Հայտնի է, որ ինտերպոլացիոն բազմանդամների հաջորդականությունը համահեռավոր հանգույցներում պարտադիր չէ, որ համընկնի ֆունկցիայի հետ, նույնիսկ եթե ֆունկցիան անսահմանորեն տարբերելի է։ Մոտավոր ֆունկցիայի համար, օգտագործելով հանգույցների համապատասխան դասավորությունը, հնարավոր է նվազեցնել բազմանդամի աստիճանը։ . Ալթմանի ֆունկցիաների կառուցվածքն այնպիսին է, որ ավելի հարմար է ֆունկցիայի մոտարկումն օգտագործել ոչ թե ինտերպոլացիայի միջոցով, այլ նորմալացված գծային տարածության մեջ ստեղծելով միջին քառակուսի լավագույն մոտարկումը։ Եկեք դիտարկենք հիմնական հասկացությունները և տեղեկատվությունը լավագույն մոտարկումը կառուցելիս: Մոտավորման և օպտիմալացման խնդիրները դրված են գծային նորմատիվ տարածություններում:

Մետրային և գծային նորմավորված տարածություններ

Մաթեմատիկայի ամենալայն հասկացությունները ներառում են «հավաքածու» և «քարտեզ»: «Կոմպլեկտ», «կոմպլեկտ», «հավաքածու», «ընտանիք», «համակարգ», «դաս» հասկացությունները բազմությունների ոչ խիստ տեսության մեջ համարվում են հոմանիշ:

«Օպերատոր» տերմինը նույնական է «քարտեզագրում» տերմինին։ «Շահագործում», «գործառույթ», «գործառական», «չափ» տերմինները «քարտեզագրում» հասկացության հատուկ դեպքեր են։

«Կառուցվածք» և «տարածություն» տերմինները հիմնարար նշանակություն են ձեռք բերել նաև մաթեմատիկական տեսությունների աքսիոմատիկ կառուցման մեջ։ Մաթեմատիկական կառուցվածքները ներառում են բազմությունների տեսական կառուցվածքներ (պատվիրված և մասամբ պատվիրված բազմություններ); վերացական հանրահաշվական կառույցներ (կիսախմբեր, խմբեր, օղակներ, բաժանման օղակներ, դաշտեր, հանրահաշիվներ, վանդակաճաղեր); դիֆերենցիալ կառուցվածքներ (արտաքին դիֆերենցիալ ձևեր, մանրաթելային տարածություններ), , , , , , .

Կառուցվածքը հասկացվում է որպես վերջավոր բազմություն, որը բաղկացած է կրիչի (հիմնական հավաքածու), թվային դաշտից (օժանդակ հավաքածու) և կրիչի տարրերի և դաշտի թվերի վրա սահմանված քարտեզագրումից: Եթե ​​կոմպլեքս թվերի բազմությունը ընդունվում է որպես կրող, ապա այն խաղում է ինչպես հիմնական, այնպես էլ օժանդակ բազմությունների դերը։ «Կառուցվածք» տերմինը նույնական է «տիեզերք» հասկացությանը։

Բացատ սահմանելու համար նախ պետք է սահմանել կրիչի հավաքածու իր տարրերով (կետերով), որոնք նշվում են լատիներեն և հունարեն տառերով:

Կրողը կարող է լինել իրական (կամ բարդ) տարրերի մի շարք՝ թվեր; վեկտորներ; Մատրիցներ, ; Հերթականություններ, ; Գործառույթներ;

Հետևյալ բազմությունները կարող են նաև հանդես գալ որպես կրիչի տարրեր՝ իրական առանցք, հարթություն, եռաչափ (և բազմաչափ) տարածություն, փոխակերպում, շարժում; վերացական հավաքածուներ.

Սահմանում. Մետրիկ տարածությունը եռակի ձևավորող կառույց է, որտեղ քարտեզագրումը M-ից ցանկացած x և y-ի համար երկու փաստարկների ոչ բացասական իրական ֆունկցիա է և բավարարում է երեք աքսիոմներ:

• 1- ոչ բացասական; , ժամը.
• 2- - համաչափություն;
• 3- - ռեֆլեքսիվության աքսիոմա.

որտեղ են տարրերի միջև եղած հեռավորությունները:

Մետրային տարածությունում նշվում է մետրիկ և ձևավորվում է կրիչի բազմությունից երկու տարրերի մոտիկության հայեցակարգը:

Սահմանում. Իրական գծային (վեկտոր) տարածությունը այն կառուցվածքն է, որտեղ քարտեզագրումը իրեն պատկանող տարրերի ավելացման հավելումային գործողությունն է, իսկ քարտեզագրումը թվի մի տարրով բազմապատկելու գործողությունն է։

Գործողությունը նշանակում է, որ ցանկացած երկու տարրի համար եզակիորեն սահմանված է երրորդ տարրը, որը կոչվում է դրանց գումարը և նշվում է դրանով, և գործում են հետևյալ աքսիոմները։

Կոմուտատիվ հատկություն.

Ասոցիատիվ սեփականություն.

Այնտեղ կա հատուկ տարր, որը նշվում է այնպես, որ ցանկացածի համար այն պահպանվում է:

քանի որ որևէ մեկը գոյություն ունի, այնպիսին, որ.

Տարրը կոչվում է հակառակ և նշվում է միջոցով:

Գործողությունը նշանակում է, որ ցանկացած տարրի և ցանկացած թվի համար սահմանվում է տարր, որը նշանակում է և աքսիոմները բավարարված են.

Գծային տարածության տարրը (կետը) կոչվում է նաև վեկտոր։ 1-4 աքսիոմները սահմանում են խումբ (հավելում), որը կոչվում է մոդուլ, որը կառույց է:

Եթե ​​կառույցում գործողությունը չի ենթարկվում որևէ աքսիոմի, ապա այդպիսի կառուցվածքը կոչվում է խմբոիդ։ Այս կառույցը ծայրահեղ աղքատ է. այն չի պարունակում ասոցիատիվության ոչ մի աքսիոմ, ապա կառուցվածքը կոչվում է մոնոիդ (կիսախմբ):

Կառուցվածքում, օգտագործելով քարտեզագրումը և 1-8 աքսիոմները, նշվում է գծայինության հատկությունը։

Այսպիսով, գծային տարածությունը խմբային մոդուլ է, որի կառուցվածքում ավելացվում է ևս մեկ գործողություն՝ կրիչի տարրերը բազմապատկելով 4 աքսիոմներով թվով։ Եթե ​​գործողության փոխարեն 4 աքսիոմներով բազմապատկվող տարրերի մեկ այլ խմբային գործողությունների հետ միասին սահմանենք բաշխվածության աքսիոմը, ապա առաջանում է մի կառույց, որը կոչվում է դաշտ։

Սահմանում. Գծային նորմավորված տարածությունը կառույց է, որտեղ քարտեզագրումը բավարարում է հետևյալ աքսիոմները.

• 1. իսկ եթե և միայն եթե.
• 2. , .
• 3. , .

Եվ այսպես՝ ընդհանուր 11 աքսիոմներում։

Օրինակ, եթե մոդուլը, որն ունի բոլոր երեք նորմայի հատկությունները, ավելացվում է իրական թվերի դաշտի կառուցվածքին, որտեղ կան իրական թվեր, ապա իրական թվերի դաշտը դառնում է նորմավորված տարածություն:

Նորմը ներմուծելու երկու ընդհանուր եղանակ կա՝ կա՛մ հստակորեն նշելով միատարր ուռուցիկ ֆունկցիոնալության միջակայքային ձևը, կա՛մ նշելով սկալյար արտադրյալը:

Թող, ապա ֆունկցիոնալության տեսակը կարելի է նշել անթիվ ձևերով՝ փոխելով արժեքը.

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Առաջադրանքին մոտենալու երկրորդ ընդհանուր ձևը տարածության կառուցվածքում մեկ այլ քարտեզագրումն է (երկու արգումենտների ֆունկցիա, որը սովորաբար նշվում և կոչվում է սկալյար արտադրյալ):

Սահմանում. Էվկլիդյան տարածությունը կառույց է, որտեղ սկալյար արտադրյալը պարունակում է նորմ և բավարարում է աքսիոմները.

• 4. , և եթե և միայն եթե

Էվկլիդյան տարածության մեջ նորմը ձևավորվում է բանաձևով

Սկալյար արտադրյալի 1 - 4 հատկություններից հետևում է, որ նորմայի բոլոր աքսիոմները բավարարված են։ Եթե ​​սկալյար արտադրանքը ձևի մեջ է, ապա նորմը կհաշվարկվի բանաձևով

Տարածքի նորմը չի կարող սահմանվել՝ օգտագործելով սկալյար արտադրյալը, .

Սկալյար արտադրյալ ունեցող տարածություններում հայտնվում են այնպիսի որակներ, որոնք բացակայում են գծային նորմատիվ տարածություններում (տարրերի ուղղանկյունություն, զուգահեռագծի հավասարություն, Պյութագորասի թեորեմ, Ապոլոնիուսի նույնականություն, Պտղոմեոսի անհավասարություն: Սկալյար արտադրյալի ներդրումը հնարավորություն է տալիս ավելի արդյունավետ լուծել մոտարկումը: խնդիրներ.

Սահմանում. Գծային նորմավորված տարածության մեջ տարրերի անսահման հաջորդականությունը կոչվում է նորմա-կոնվերգենտ (պարզապես կոնվերգենտ կամ սահման ունեցող), եթե գոյություն ունի այնպիսի տարր, որ որևէ մեկի համար կա այնպիսի թիվ, որը կախված է նրանից, որ

Սահմանում. Տարրերի հաջորդականությունը կոչվում է հիմնարար, եթե որևէ մեկի համար կա մի թիվ՝ կախված նրանից, թե ինչն է բավարարված (Տրենոգին Կոլմոգորով, Կանտորովիչ, էջ 48):

Սահմանում. Բանախի տարածությունը կառույց է, որում ցանկացած հիմնարար հաջորդականություն համընկնում է նորմայի նկատմամբ:

Սահմանում. Հիլբերտի տարածությունը կառուցվածք է, որտեղ ցանկացած հիմնարար հաջորդականություն համընկնում է սկալյար արտադրյալի կողմից առաջացած նորմայի հետ:

Վերցնենք կիսա քառակուսի կոորդինատային համակարգ. Սա կոորդինատային համակարգ է, որտեղ աբսցիսայի առանցքի մասշտաբը քառակուսի է, այսինքն՝ բաժանումների արժեքները գծագրված են ըստ արտահայտության, այստեղ մ –սանդղակ երկարության որոշ միավորներով, օրինակ՝ սմ-ով:

Արտահայտությանը համապատասխան օրդինատների առանցքի երկայնքով գծվում է գծային սանդղակ

Եկեք գծենք փորձարարական կետերը այս կոորդինատային համակարգի վրա: Եթե ​​այս գրաֆիկի կետերը գտնվում են մոտավորապես ուղիղ գծի վրա, ապա դա հաստատում է մեր ենթադրությունը, որ կախվածությունը y-ից xլավ արտահայտված է (4.4) ձևի ֆունկցիայով։ Գործակիցները գտնելու համար աԵվ բԱյժմ կարող եք կիրառել վերը քննարկված մեթոդներից մեկը՝ ձգվող թելի մեթոդը, ընտրված կետերի մեթոդը կամ միջին մեթոդը:

Ամուր թելերի մեթոդկիրառվում է այնպես, ինչպես գծային ֆունկցիայի դեպքում:

Ընտրված միավորների մեթոդմենք կարող ենք դա կիրառել այսպես. Ուղղագիծ գրաֆիկի վրա վերցրեք երկու կետ (իրարից հեռու): Նշում ենք այս կետերի կոորդինատները և ( x, y) Հետո կարող ենք գրել

Երկու հավասարումների տրված համակարգից գտնում ենք աԵվ բև դրանք փոխարինել (4.4) բանաձևով և ստանալ էմպիրիկ բանաձևի վերջնական ձևը:

Պետք չէ կառուցել ուղղագիծ գրաֆիկ, այլ վերցնել թվերը, ( x, y) անմիջապես սեղանից: Այնուամենայնիվ, կետերի այս ընտրությամբ ստացված բանաձեւը ավելի քիչ ճշգրիտ կլինի:

Կոր գրաֆիկը ուղիղ գրաֆիկի վերածելու գործընթացը կոչվում է հարթեցում:

Միջին մեթոդ. Այն կիրառվում է այնպես, ինչպես գծային կախվածության դեպքում։ Փորձարարական կետերը բաժանում ենք երկու խմբի՝ յուրաքանչյուր խմբում միավորների նույն (կամ գրեթե նույնքան) քանակով: Մենք վերագրում ենք հավասարությունը (4.4) հետևյալ կերպ

Մենք գտնում ենք առաջին խմբի կետերի մնացորդների գումարը և հավասարեցնում դրանք զրոյի: Նույնը անում ենք երկրորդ խմբի միավորների համար։ Ստանում ենք անհայտներով երկու հավասարումներ աԵվ բ. Լուծելով հավասարումների համակարգը՝ գտնում ենք աԵվ բ.

Նկատի ունեցեք, որ այս մեթոդն օգտագործելիս անհրաժեշտ չէ մոտավոր ուղիղ գիծ կառուցել: Կիսաքառակորդային կոորդինատային համակարգում ցրման գծապատկերը անհրաժեշտ է միայն ստուգելու համար, որ (4.4) ձևի ֆունկցիան հարմար է էմպիրիկ բանաձևի համար:

Օրինակ. Ջերմաստիճանի ազդեցությունը քրոնոմետրի աշխատանքի վրա ուսումնասիրելիս ստացվել են հետևյալ արդյունքները.

Այս դեպքում մեզ հետաքրքրում է ոչ թե բուն ջերմաստիճանը, այլ դրա շեղումը: Հետևաբար, մենք որպես փաստարկ ընդունում ենք, որտեղ տ– ջերմաստիճանը ըստ Ցելսիուսի աստիճանի սովորական սանդղակի:

Դեկարտյան կոորդինատների համակարգի վրա համապատասխան կետերը գծագրելով՝ մենք նկատում ենք, որ օրդինատների առանցքին զուգահեռ առանցքով պարաբոլան կարելի է ընդունել որպես մոտավոր կոր (նկ. 4): Վերցնենք կիսա քառակուսի կոորդինատային համակարգ և դրա վրա գծենք փորձարարական կետերը: Մենք տեսնում ենք, որ այս կետերը բավականին լավ տեղավորվում են ուղիղ գծի վրա։ Այսպիսով, էմպիրիկ բանաձեւը

կարելի է որոնել (4.4) ձևով։

Եկեք որոշենք գործակիցները աԵվ բօգտագործելով միջին մեթոդը: Դա անելու համար մենք փորձարարական կետերը բաժանում ենք երկու խմբի՝ առաջին խմբում՝ առաջին երեք միավորները, երկրորդում՝ մնացած չորս միավորները։ Օգտագործելով հավասարությունը (4.5), մենք գտնում ենք յուրաքանչյուր խմբի մնացորդների գումարը և յուրաքանչյուր գումարը հավասարեցնում ենք զրոյի: