Բաց և փակ հավաքածուների հատկությունները. Շատ թվեր. Գործողությունների օրենքները տարբեր թվերի վրա Բաց և փակ բազմությունների լրացումների փոխհարաբերությունները

ՓԱԿ Հավաքածու

տոպոլոգիական տարածության մեջ - պարունակող իր բոլորը սահմանային միավորներ.Այսպիսով, 3.մ.-ի լրացման բոլոր կետերը ներքին են, և, հետևաբար, 3.մ.-ը կարող է սահմանվել որպես բաց: Տոպոլոգիական սահմանման հիմքում ընկած է 3.մ հասկացությունը: տարածությունը որպես ոչ դատարկ բազմություն X բազմությունների տվյալ համակարգով (կոչվում է փակ), որը բավարարում է աքսիոմները. բոլորը X և փակ են. փակված է ցանկացած թիվ 3.մ. վերջավոր թիվ 3. մ փակված է.

ԼիտԿուրատովսկի Կ., Տոպոլոգիա, [թարգմ. անգլերենից], հատոր 1, Մ., 1966։

Ա.Ա.Մալցև.

Մաթեմատիկական հանրագիտարան. - Մ.: Խորհրդային հանրագիտարան. Ի.Մ.Վինոգրադով. 1977-1985 թթ.

Տեսեք, թե ինչ է «ՓԱԿ ԿԱԶՄԸ» այլ բառարաններում.

փակ հավաքածու- - [Լ.Գ. Սումենկո. Անգլերեն-ռուսերեն բառարան տեղեկատվական տեխնոլոգիաների վերաբերյալ. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003 թ.] Տեղեկատվական տեխնոլոգիաների թեմաները ընդհանուր առմամբ EN փակ հավաքածու ... Տեխնիկական թարգմանչի ուղեցույց

«Փակություն» տերմինի համար տե՛ս այլ իմաստներ: Փակ բազմությունը տարածության ենթաբազմություն է, որի լրացումը բաց է: Բովանդակություն 1 Սահմանում 2 Փակում 3 Հատկություններ ... Վիքիպեդիա

Բազմություն, որը բաց է (փակ) որոշակի E բազմության նկատմամբ, բազմություն Մտոպոլոգիական։ բացատ X այնպիսին, որ (վերածանցը նշանակում է փակման գործողություն): Որպեսզի որոշակի հավաքածու E-ի նկատմամբ բաց (փակ) լինի, անհրաժեշտ է և... ... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Տոպոլոգիական ենթաբազմություն տարածություն, որը և՛ բաց է, և՛ փակ: Տոպոլոգիական X բացատն անջատված է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այն պարունակում է X-ից և O.Z-ից տարբերվող տարածություն: մ Եթե ընտանիքը բոլոր O. z. մ.տոպոլոգիական տարածությունն է...... Մաթեմատիկական հանրագիտարան

Կամ Ռիմանյան բազմազանության կետի կատալոգը կետերի ենթաբազմություն է, որոնց միջով չի անցնում ամենակարճ ճանապարհը: Բովանդակություն 1 Օրինակներ ... Վիքիպեդիա

Համանուն մաթեմատիկական հայեցակարգի համար տե՛ս Փակ հավաքածու և տարածություն (մաթեմատիկա) Փոթորիկի կոյուղու ... Վիքիպեդիա

Գրքեր

• Սահմանային թեորեմներ հարակից պատահական դաշտերի և հարակից համակարգերի համար, Ալեքսանդր Բուլինսկի. Մենագրությունը նվիրված է մաթեմատիկական վիճակագրության, ներթափանցման տեսության, վիճակագրական ֆիզիկայի և տեսության մեջ առաջացող ստոխաստիկ մոդելների լայն դասի ասիմպտոտիկ հատկությունների ուսումնասիրությանը։

Այժմ ապացուցենք փակ և բաց հավաքածուների մի քանի հատուկ հատկություններ:

Թեորեմ 1. Բաց բազմությունների վերջավոր կամ հաշվելի թվի գումարը բաց բազմություն է: Բաց բազմությունների վերջավոր թվի արտադրյալը բաց բազմություն է,

Դիտարկենք բաց բազմությունների վերջավոր կամ հաշվելի թվի գումարը.

Եթե ​​, ապա P-ը պատկանում է Let Since-ից գոնե մեկին բաց բազմություն, ապա P-ի որոշ -հարևանություն նույնպես պատկանում է P-ի նույն -հարևանությունը նույնպես պատկանում է g գումարին, որից հետևում է, որ g-ը բաց բազմություն է: Այժմ դիտարկենք վերջնական արտադրանքը

և թող P-ն պատկանում է g-ին: Փաստենք, ինչպես վերը նշվածը, որ P-ի որոշ թաղամասը նույնպես պատկանում է գ. Քանի որ P-ն պատկանում է g-ին, ուրեմն P-ն պատկանում է բոլորին: Քանի որ - բաց բազմություններ են, ապա ցանկացածի համար կա կետի որոշ հարևանություն, որը պատկանում է . Եթե ​​թիվը հավասար է այն ամենափոքրին, որի թիվը վերջավոր է, ապա P կետի հարևանությունը կպատկանի բոլորին և, հետևաբար, g-ին: Նկատի ունեցեք, որ մենք չենք կարող պնդել, որ բաց բազմությունների հաշվելի թվի արտադրյալը բաց բազմություն է:

Թեորեմ 2. CF բազմությունը բաց է, իսկ CO բազմությունը փակ:

Եկեք ապացուցենք առաջին հայտարարությունը. Թող P-ն պատկանում է CF-ին: Անհրաժեշտ է ապացուցել, որ ինչ-որ P թաղամաս պատկանում է CF-ին: Սա բխում է այն հանգամանքից, որ եթե P-ի որևէ հարևանությամբ F կետեր լինեին, ապա P կետը, որը պայմանով չի պատկանում, կլիներ F-ի սահմանային կետ և, իր փակ լինելու պատճառով, պետք է պատկաներ, ինչը հանգեցնում է. հակասություն.

Թեորեմ 3. Վերջավոր կամ հաշվելի թվով փակ բազմությունների արտադրյալը փակ բազմություն է: Վերջավոր թվով փակ բազմությունների գումարը փակ բազմություն է:

Փաստենք, օրինակ, որ բազմությունը

փակված. Անցնելով լրացուցիչ հավաքածուներին՝ կարող ենք գրել

Ըստ թեորեմի՝ բազմությունները բաց են, իսկ թեորեմ 1-ով բազմությունը նույնպես բաց է, և այդպիսով լրացուցիչ g բազմությունը փակ է։ Նկատի ունեցեք, որ փակ բազմությունների հաշվելի քանակի գումարը նույնպես կարող է բաց բազմություն լինել:

Թեորեմ 4. Բազմությունը բաց բազմություն է և փակ բազմություն:

Հեշտ է ստուգել հետևյալ հավասարումները.

Սրանցից, նախորդ թեորեմների ուժով, հետևում է 4-րդ թեորեմը։

Մենք կասենք, որ g բազմությունը ծածկված է որոշակի բազմությունների M համակարգով, եթե յուրաքանչյուր g կետ ներառված է M համակարգի բազմություններից գոնե մեկում:

Թեորեմ 5 (Բորել): Եթե ​​փակ սահմանափակ F բազմությունը ծածկված է O բաց բազմությունների անվերջ a համակարգով, ապա այս անսահման համակարգից հնարավոր է դուրս հանել մի վերջավոր թվով բաց բազմություններ, որոնք ծածկում են նաև F-ը։

Մենք այս թեորեմն ապացուցում ենք հակադարձ եղանակով։ Ենթադրենք, որ համակարգից ոչ մի վերջավոր թվով բաց հավաքածուներ չեն ծածկում, և մենք դա բերում ենք հակասության: Քանի որ F-ը սահմանափակ բազմություն է, ուրեմն F-ի բոլոր կետերը պատկանում են ինչ-որ վերջավոր երկչափ միջակայքի: Եկեք այս փակ միջակայքը բաժանենք չորս հավասար մասերի, կիսով չափ բաժանելով միջակայքերը։ Ստացված չորս ընդմիջումներից յուրաքանչյուրը կվերցնենք փակելու։ F-ի այն կետերը, որոնք ընկնում են այս չորս փակ միջակայքներից մեկի վրա, 2-րդ թեորեմի ուժով կներկայացնեն փակ բազմություն, և այդ փակ բազմություններից առնվազն մեկը չի կարող ծածկվել a համակարգից բաց բազմություններով վերջավոր թվով: Մենք վերցնում ենք վերը նշված չորս փակ միջակայքներից մեկը, որտեղ տեղի է ունենում այս հանգամանքը: Մենք կրկին բաժանում ենք այս միջակայքը չորս հավասար մասերի և պատճառաբանում ենք նույն կերպ, ինչպես վերը նշվածը: Այսպիսով, մենք ստանում ենք ներդիր միջակայքների համակարգ, որոնցից յուրաքանչյուրը ներկայացնում է նախորդի չորրորդ մասը, և գործում է հետևյալ հանգամանքը. ցանկացած k-ին պատկանող F կետերի բազմությունը չի կարող ծածկվել համակարգից բաց բազմությունների վերջավոր թվով։ ա. K-ի անսահման աճի դեպքում միջակայքերը անվերջ կփոքրանան մինչև որոշակի P կետ, որը պատկանում է բոլոր ինտերվալներին։ Քանի որ ցանկացած k-ի համար դրանք պարունակում են անվերջ թվով կետեր, P կետը սահմանափակող կետ է և, հետևաբար, պատկանում է F-ին, քանի որ F-ը փակ բազմություն է։ Այսպիսով, P կետը ծածկված է a համակարգին պատկանող ինչ-որ բաց բազմությամբ։ P կետի որոշ հարևանություն նույնպես կպատկանի O բաց բազմությանը: K-ի բավական մեծ արժեքների դեպքում D միջակայքերը կհայտնվեն P կետի վերը նշված հարևանության ներսում: Այսպիսով, դրանք ամբողջությամբ ծածկված կլինեն միայն մեկով: a համակարգի բաց բազմություն O, և դա հակասում է այն փաստին, որ ցանկացած k-ին պատկանող կետերը չեն կարող ծածկվել a-ին պատկանող բաց բազմությունների վերջավոր թվով: Այսպիսով թեորեմն ապացուցված է.

Թեորեմ 6. Բաց բազմությունը կարելի է ներկայացնել որպես կիսաբաց ինտերվալների հաշվելի թվի գումար՝ զույգերով՝ առանց ընդհանուր կետերի:

Հիշենք, որ մենք հարթության մեջ կիսաբաց միջակայք անվանում ենք վերջավոր միջակայք, որը սահմանվում է ձևի անհավասարումներով:

Եկեք հարթության վրա գծենք քառակուսիների ցանց, որոնց կողմերը հավասար են առանցքներին և մեկին հավասար կողմի երկարությամբ: Այս քառակուսիների բազմությունը հաշվելի բազմություն է։ Այս քառակուսիներից ընտրենք այն քառակուսիները, որոնց բոլոր կետերը պատկանում են O տրված բաց բազմությանը։ Ցանցի մնացած քառակուսիներից յուրաքանչյուրը բաժանում ենք չորս նույնական քառակուսիների և նոր ստացված քառակուսիներից կրկին ընտրում ենք նրանք, որոնց բոլոր կետերը պատկանում են O-ին: Մնացած քառակուսիներից յուրաքանչյուրը կրկին բաժանում ենք չորս հավասար մասերի և ընտրում այն ​​քառակուսիները, որոնց բոլոր կետերը Պատկանում են O-ին և այլն: Ցույց տանք, որ O բազմության յուրաքանչյուր P կետը կընկնի ընտրված քառակուսիներից մեկի մեջ, որի բոլոր կետերը պատկանում են O-ին: Իսկապես, թող d լինի P-ից մինչև O-ի սահմանի դրական հեռավորությունը: Երբ հասնում ենք քառակուսիների, որոնց անկյունագիծը փոքր է, ապա ակնհայտորեն կարող ենք պնդել, որ P կետն արդեն ընկել է քառակուսու մեջ, որի բոլոր ծավալները պատկանում են O-ին: Եթե ընտրված քառակուսիները համարվում են կիսաբաց, ապա դրանք չեն զույգերով ունեն ընդհանուր կետեր, և թեորեմն ապացուցված է: Ընտրված քառակուսիների թիվը պարտադիր կլինի հաշվելի, քանի որ կիսաբաց ինտերվալների վերջավոր գումարն ակնհայտորեն բաց բազմություն չէ: DL-ով նշելով այն կիսաբաց քառակուսիները, որոնք ստացանք վերը նշված կառուցման արդյունքում, կարող ենք գրել.

Բնական թվերի բազմությունը բաղկացած է 1, 2, 3, 4, ... թվերից, որոնք օգտագործվում են առարկաները հաշվելու համար։ Բոլոր բնական թվերի բազմությունը սովորաբար նշվում է տառով Ն :

Ն = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .

Բնական թվերի գումարման օրենքներ

1. Ցանկացած բնական թվերի համար աԵվ բհավասարությունը ճիշտ է ա + բ = բ + ա . Այս հատկությունը կոչվում է գումարման փոխատեղելի օրենք։

2. Ցանկացած բնական թվերի համար ա, բ, գ հավասարությունը ճիշտ է (ա + բ) + գ = ա + (բ + գ) . Այս հատկությունը կոչվում է գումարման համակցված (ասոցիատիվ) օրենք։

Բնական թվերի բազմապատկման օրենքները

3. Ցանկացած բնական թվերի համար աԵվ բհավասարությունը ճիշտ է աբ = բա. Այս հատկությունը կոչվում է բազմապատկման կոմուտատիվ օրենք։

4. Ցանկացած բնական թվերի համար ա, բ, գ հավասարությունը ճիշտ է (աբ)գ = ա(բգ) . Այս հատկությունը կոչվում է բազմապատկման համակցված (ասոցիատիվ) օրենք։

5. Ցանկացած արժեքների համար ա, բ, գ հավասարությունը ճիշտ է (ա + բ)գ = ակ + մ.թ.ա . Այս հատկությունը կոչվում է բազմապատկման բաշխիչ օրենք (հարաբերական գումարման):

6. Ցանկացած արժեքների համար ահավասարությունը ճիշտ է ա*1 = ա. Այս հատկությունը կոչվում է մեկով բազմապատկելու օրենք։

Երկու բնական թվերի գումարման կամ բազմապատկման արդյունքը միշտ բնական թիվ է։ Կամ, այլ կերպ ասած, այս գործողությունները կարելի է կատարել՝ մնալով բնական թվերի բազմության մեջ։ Սա չի կարելի ասել հանման և բաժանման մասին. օրինակ, 3 թվից անհնար է, մնալով բնական թվերի բազմության մեջ, հանել 7 թիվը. 15 թիվը չի կարելի ամբողջությամբ բաժանել 4-ի։

Բնական թվերի բաժանելիության նշաններ

Գումարի բաժանելիությունը.Եթե ​​յուրաքանչյուր անդամ բաժանվում է մի թվի, ապա գումարը բաժանվում է այդ թվի վրա։

Արտադրանքի բաժանելիությունը.Եթե ​​արտադրյալում գործոններից գոնե մեկը բաժանվում է որոշակի թվի, ապա արտադրյալը նույնպես բաժանվում է այս թվի վրա։

Այս պայմանները և՛ գումարի, և՛ արտադրանքի համար բավարար են, բայց ոչ անհրաժեշտ։ Օրինակ՝ 12*18 արտադրյալը բաժանվում է 36-ի, չնայած ոչ 12-ը, ոչ 18-ը չեն բաժանվում 36-ի։

Թեստ 2-ի բաժանելիության համար:Որպեսզի բնական թիվը բաժանվի 2-ի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ նրա վերջին թվանշանը լինի զույգ։

Թեստ 5-ի բաժանելիության համար:Որպեսզի բնական թիվը բաժանվի 5-ի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ նրա վերջին թվանշանը լինի կամ 0 կամ 5:

10-ի բաժանելիության ստուգում.Որպեսզի բնական թիվը բաժանվի 10-ի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ միավորների թվանշանը լինի 0։

4-ի բաժանելիության ստուգում.Որպեսզի առնվազն երեք նիշ պարունակող բնական թիվը բաժանվի 4-ի, անհրաժեշտ է և բավարար, որ վերջին թվանշանները լինեն 00, 04, 08 կամ այս թվի վերջին երկու թվանշաններից կազմված երկնիշ թիվը բաժանվի. 4.

2-ի բաժանելիության ստուգում (9-ի վրա):Որպեսզի բնական թիվը բաժանվի 3-ի (9-ի), անհրաժեշտ է և բավարար, որ նրա թվանշանների գումարը բաժանվի 3-ի (9-ի):

Ամբողջ թվերի հավաքածու

Դիտարկենք կետի սկզբնավորմամբ թվային ուղիղ Օ. Դրա վրա զրոյական թվի կոորդինատը կլինի կետ Օ. Տվյալ ուղղությամբ թվային տողի վրա գտնվող թվերը կոչվում են դրական թվեր։ Թող մի կետ տրվի թվային ուղղի վրա Ա 3 կոորդինատով: Այն համապատասխանում է 3 դրական թվին: Այժմ եկեք գծենք միավորի հատվածը կետից երեք անգամ: Օ, տրվածին հակառակ ուղղությամբ։ Հետո մենք ստանում ենք կետը Ա», սիմետրիկ է կետին Ածագման համեմատ Օ. Կետերի կոորդինատ Ա»կլինի թիվ՝ 3։ Այս թիվը 3 թվի հակառակն է։ Թվային տողի վրա տրվածին հակառակ ուղղությամբ գտնվող թվերը կոչվում են բացասական թվեր։

Բնական թվերին հակառակ թվերը կազմում են թվերի բազմություն Ն" :

Ն" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Եթե ​​միավորենք կոմպլեկտները Ն , Ն" և սինգլտոնային հավաքածու {0} , ապա մենք ստանում ենք հավաքածու Զ բոլոր ամբողջ թվերը:

Զ = {0} ∪ Ն ∪ Ն" .

Ամբողջ թվերի համար ճշմարիտ են գումարման և բազմապատկման բոլոր վերը նշված օրենքները, որոնք ճիշտ են բնական թվերի համար։ Բացի այդ, ավելացվում են հանման հետևյալ օրենքները.

ա - բ = ա + (- բ) ;

ա + (- ա) = 0 .

Ռացիոնալ թվերի հավաքածու

Ամբողջ թվերը զրոյի ոչ հավասար որևէ թվի վրա բաժանելու գործողությունը իրագործելի դարձնելու համար ներմուծվում են կոտորակներ.

Որտեղ աԵվ բ- ամբողջ թվեր և բհավասար չէ զրոյի.

Եթե ​​ամբողջ թվերի բազմությանը գումարենք բոլոր դրական և բացասական կոտորակների բազմությունը, ապա կստանանք ռացիոնալ թվերի բազմությունը. Ք :

.

Ավելին, յուրաքանչյուր ամբողջ թիվ նաև ռացիոնալ թիվ է, քանի որ, օրինակ, 5 թիվը կարող է ներկայացվել ձևով, որտեղ համարիչը և հայտարարը ամբողջ թվեր են: Սա կարևոր է ռացիոնալ թվերի վրա գործողություններ կատարելիս, որոնցից մեկը կարող է լինել ամբողջ թիվ:

Ռացիոնալ թվերի վրա թվաբանական գործողությունների օրենքները

Կոտորակի հիմնական հատկությունը.Եթե ​​տրված կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում կամ բաժանվում են նույն բնական թվով, ստացվում է տրվածին հավասար կոտորակ.

Այս հատկությունն օգտագործվում է ֆրակցիաների կրճատման ժամանակ:

Կոտորակների գումարում.Սովորական կոտորակների գումարումը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

.

Այսինքն՝ տարբեր հայտարարներով կոտորակներ ավելացնելու համար կոտորակները կրճատվում են ընդհանուր հայտարարի։ Գործնականում տարբեր հայտարարներով կոտորակներ գումարելիս (հանելիս) կոտորակները կրճատվում են մինչև ամենացածր ընդհանուր հայտարարը։ Օրինակ, այսպես.

Նույն համարիչներով կոտորակներ ավելացնելու համար պարզապես ավելացրեք համարիչները և թողեք հայտարարը նույնը:

Կոտորակների բազմապատկում.Սովորական կոտորակների բազմապատկումը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

Այսինքն՝ կոտորակը կոտորակով բազմապատկելու համար պետք է առաջին կոտորակի համարիչը բազմապատկել երկրորդ կոտորակի համարիչով և արտադրյալը գրել նոր կոտորակի համարիչով, իսկ առաջին կոտորակի հայտարարը բազմապատկել երկրորդ կոտորակի հայտարարը և արտադրյալը գրի՛ր նոր կոտորակի հայտարարի մեջ:

Կոտորակներ բաժանող.Սովորական կոտորակների բաժանումը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

Այսինքն՝ կոտորակը կոտորակի վրա բաժանելու համար պետք է առաջին կոտորակի համարիչը բազմապատկել երկրորդ կոտորակի հայտարարով և արտադրյալը գրել նոր կոտորակի համարիչով, իսկ առաջին կոտորակի հայտարարը բազմապատկել երկրորդ կոտորակի համարիչը և արտադրյալը գրի՛ր նոր կոտորակի հայտարարի մեջ:

Բնական ցուցիչով կոտորակի բարձրացում մինչև ուժի:Այս գործողությունը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

Այսինքն՝ կոտորակը աստիճանի հասցնելու համար համարիչը բարձրացվում է այդ աստիճանի, իսկ հայտարարը բարձրացվում է այդ աստիճանի։

Պարբերական տասնորդականներ

Թեորեմ.Ցանկացած ռացիոնալ թիվ կարող է ներկայացվել որպես վերջավոր կամ անվերջ պարբերական կոտորակ:

Օրինակ,

.

Թվի տասնորդական կետից հետո հաջորդաբար կրկնվող թվանշանների խումբը կոչվում է կետ, իսկ վերջավոր կամ անվերջ տասնորդական կոտորակը, որն ունի նման կետ իր նշման մեջ՝ պարբերական։

Այս դեպքում ցանկացած վերջավոր տասնորդական կոտորակ համարվում է անվերջ պարբերական կոտորակ, որի զրոյական կետն է, օրինակ.

Ռացիոնալ թիվ է նաև երկու ռացիոնալ թվերի գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման (բացառությամբ զրոյի բաժանման) արդյունքը։

Իրական թվերի հավաքածու

Թվային տողի վրա, որը մենք դիտարկել ենք ամբողջ թվերի բազմության հետ կապված, կարող են լինել կետեր, որոնք չունեն ռացիոնալ թվի կոորդինատներ։ Այսպիսով, չկա ռացիոնալ թիվ, որի քառակուսին 2 է: Հետևաբար, թիվը ռացիոնալ թիվ չէ: Չկան նաև ռացիոնալ թվեր, որոնց քառակուսիները լինեն 5, 7, 9։ Հետևաբար, , , թվերն իռացիոնալ են։ Թիվն էլ իռացիոնալ է։

Ոչ մի իռացիոնալ թիվ չի կարող ներկայացվել որպես պարբերական կոտորակ: Դրանք ներկայացված են որպես ոչ պարբերական կոտորակներ։

Ռացիոնալ և իռացիոնալ թվերի բազմությունների միավորումը իրական թվերի բազմությունն է Ռ .

Հաշվելի բազմությունը անսահման բազմություն է, որի տարրերը կարելի է համարակալել բնական թվերով, կամ դա բնական թվերի բազմությանը համարժեք բազմություն է։

Երբեմն բնական թվերի բազմության ցանկացած ենթաբազմության հավասար կարդինալության բազմությունները կոչվում են հաշվելի, այսինքն՝ բոլոր վերջավոր բազմությունները նույնպես համարվում են հաշվելի։

Հաշվելի բազմությունը «ամենափոքր» անվերջ բազմությունն է, այսինքն՝ ցանկացած անսահման բազմության մեջ կա հաշվելի ենթաբազմություն։

Հատկություններ:

1. Հաշվելի բազմության ցանկացած ենթաբազմություն առավելագույնը հաշվելի է:

2. Վերջավոր կամ հաշվելի թվով հաշվելի բազմությունների միավորումը հաշվելի է:

3. Վերջավոր թվով հաշվելի բազմությունների ուղիղ արտադրյալը հաշվելի է:

4. Հաշվելի բազմության բոլոր վերջավոր ենթաբազմությունների բազմությունը հաշվելի է:

5. Հաշվելի բազմության բոլոր ենթաբազմությունների բազմությունը շարունակական է և, մասնավորապես, հաշվելի չէ։

Հաշվելի բազմությունների օրինակներ.

Պարզ թվեր բնական թվեր, ամբողջ թվեր, ռացիոնալ թվեր, հանրահաշվական թվեր, ժամանակաշրջանի օղակ, հաշվելի թվեր, թվաբանական թվեր:

Իրական թվերի տեսություն.

(Իրական = իրական - հիշեցում մեզ տղաների համար):

R բազմությունը պարունակում է ռացիոնալ և իռացիոնալ թվեր։

Իրական թվերը, որոնք ռացիոնալ չեն, կոչվում են իռացիոնալ թվեր

Թեորեմ. Չկա ռացիոնալ թիվ, որի քառակուսին հավասար լինի 2 թվին

Ռացիոնալ թվեր՝ ½, 1/3, 0.5, 0.333:

Իռացիոնալ թվեր՝ 2-ի արմատը=1,4142356…, π=3,1415926…

Իրական թվերի R բազմությունն ունի հետևյալ հատկությունները.

1. Պատվիրված է՝ ցանկացած երկու տարբեր թվերի համար ա և բերկու հարաբերություններից մեկը պահպանվում է ա կամ ա>բ