Կետի կինեմատիկա.

1. Տեսական մեխանիկայի առարկա. Հիմնական աբստրակցիաներ.

Տեսական մեխանիկագիտություն է, որն ուսումնասիրում է ընդհանուր օրենքներմեխանիկական շարժում և մեխանիկական փոխազդեցություն նյութական մարմիններ

Մեխանիկական շարժումմարմնի շարժումն է մեկ այլ մարմնի նկատմամբ, որը տեղի է ունենում տարածության և ժամանակի մեջ:

Մեխանիկական փոխազդեցություն նյութական մարմինների փոխազդեցությունն է, որը փոխում է նրանց մեխանիկական շարժման բնույթը։

Ստատիկա - սա հատվածն է տեսական մեխանիկա, որն ուսումնասիրում է ուժային համակարգերը համարժեք համակարգերի փոխակերպելու մեթոդները և հաստատում է հավասարակշռության պայմաններ պինդ մարմնի վրա կիրառվող ուժերի համար։

Կինեմատիկա - տեսական մեխանիկայի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է նյութական մարմինների շարժումը տարածության մեջ երկրաչափական կետտեսլականը՝ անկախ նրանց վրա գործող ուժերից։

Դինամիկա մեխանիկայի մի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է նյութական մարմինների շարժումը տարածության մեջ՝ կախված դրանց վրա ազդող ուժերից։

Տեսական մեխանիկայի ուսումնասիրության առարկաները.

նյութական կետ,

նյութական կետերի համակարգ,

Բացարձակապես ամուր մարմին:

Բացարձակ տարածությունը և բացարձակ ժամանակը միմյանցից անկախ են: Բացարձակ տարածություն - եռաչափ, միատարր, անշարժ էվկլիդյան տարածություն: Բացարձակ ժամանակ - հոսում է անցյալից դեպի ապագա անընդմեջ, միատարր է, նույնը տարածության բոլոր կետերում և կախված չէ նյութի շարժումից։

2. Կինեմատիկայի առարկա.

Կինեմատիկա - սա մեխանիկայի մի ճյուղ է, որտեղ մարմինների շարժման երկրաչափական հատկությունները ուսումնասիրվում են՝ առանց հաշվի առնելու նրանց իներցիան (այսինքն՝ զանգվածը) և դրանց վրա ազդող ուժերը։

Շարժվող մարմնի (կամ կետի) դիրքը որոշելու համար մարմնի հետ, որի նկատմամբ ուսումնասիրվում է այս մարմնի շարժումը, կոորդինատային համակարգ է կոշտ կապված, որը մարմնի հետ միասին ձևավորում է. տեղեկատու համակարգ.

Կինեմատիկայի հիմնական խնդիրը այն է, իմանալով տվյալ մարմնի (կետի) շարժման օրենքը, որոշել բոլոր կինեմատիկական մեծությունները, որոնք բնութագրում են նրա շարժումը (արագությունը և արագացումը):

3. Կետի շարժումը ճշտելու մեթոդներ

· Բնական ճանապարհ

Պետք է հայտնի լինի.

Կետի հետագիծը;

Հղման ծագումը և ուղղությունը;

Տրված հետագծի երկայնքով կետի շարժման օրենքը (1.1) ձևով.

· Կոորդինատիվ մեթոդ

Հավասարումները (1.2) Մ կետի շարժման հավասարումներ են։

M կետի հետագծի հավասարումը կարելի է ստանալ՝ վերացնելով ժամանակի պարամետրը « տ » հավասարումներից (1.2)

· Վեկտորային մեթոդ

(1.3) Կետի շարժումը ճշտելու կոորդինատային և վեկտորային մեթոդների կապը (1.4)

Կետի շարժումը ճշտելու կոորդինատային և բնական մեթոդների կապը

Որոշե՛ք կետի հետագիծը՝ հեռացնելով ժամանակը (1.2) հավասարումներից;

-- գտե՛ք հետագծի երկայնքով կետի շարժման օրենքը (օգտագործե՛ք աղեղի դիֆերենցիալի արտահայտությունը)

Ինտեգրումից հետո մենք ստանում ենք տվյալ հետագծի երկայնքով կետի շարժման օրենքը.

Կետի շարժումը որոշելու կոորդինատային և վեկտորային մեթոդների միջև կապը որոշվում է (1.4) հավասարմամբ.

4. Կետի արագության որոշումը շարժումը ճշտելու վեկտորային մեթոդով:

Թող ժամանակի մի պահտկետի դիրքը որոշվում է շառավիղի վեկտորով, իսկ ժամանակի պահինտ 1 – շառավիղի վեկտոր, ապա որոշակի ժամանակահատվածով կետը կշարժվի.

(1.5) միջին կետային արագություն, վեկտորի ուղղությունը նույնն է, ինչ վեկտորի ուղղությունը

Տվյալ պահին կետի արագությունը

Տվյալ պահին կետի արագությունը ստանալու համար անհրաժեշտ է անցում կատարել դեպի սահմանը

(1.6)

(1.7)

Տվյալ պահին կետի արագության վեկտորը հավասար է շառավիղի վեկտորի առաջին ածանցյալին ժամանակի նկատմամբ և շոշափելիորեն ուղղված տվյալ կետի հետագծին:

(միավոր¾ մ/վ, կմ/ժ)

Միջին արագացման վեկտոր ունի նույն ուղղությունը, ինչ վեկտորըΔ v , այսինքն՝ ուղղված դեպի հետագծի գոգավորությունը։

Տվյալ պահին կետի արագացման վեկտորը հավասար է արագության վեկտորի առաջին ածանցյալին կամ կետի շառավիղի վեկտորի երկրորդ ածանցյալին ժամանակի նկատմամբ։

(միավոր - )

Ինչպե՞ս է վեկտորը գտնվում կետի հետագծի նկատմամբ:

ժամը ուղիղ շարժումվեկտորն ուղղված է ուղիղ գծի երկայնքով, որով շարժվում է կետը: Եթե ​​կետի հետագիծը հարթ կոր է, ապա արագացման վեկտորը, ինչպես նաև ср վեկտորը, գտնվում են այս կորի հարթության մեջ և ուղղված են դեպի նրա գոգավորությունը։ Եթե ​​հետագիծը հարթ կորի չէ, ապա ср վեկտորը կուղղվի դեպի հետագծի գոգավորությունը և ընկած կլինի կետի հետագծին շոշափող հարթության մեջ։Մ և հարակից կետում շոշափողին զուգահեռ ուղիղՄ 1 . IN սահմանել երբ կետըՄ 1 ձգտում է Մ այս հարթությունը զբաղեցնում է այսպես կոչված ոսկրացող հարթության դիրքը։ Հետևաբար, ընդհանուր դեպքում արագացման վեկտորը գտնվում է շփման հարթության մեջ և ուղղված է դեպի կորի գոգավորությունը։

Ուժ. Ուժերի համակարգ. Բացարձակ կոշտ մարմնի հավասարակշռությունը

Մեխանիկայի մեջ ուժը հասկացվում է որպես նյութական մարմինների մեխանիկական փոխազդեցության չափանիշ, որի արդյունքում փոխազդող մարմինները կարող են արագացում հաղորդել միմյանց կամ դեֆորմացնել (փոխել իրենց ձևը): Ուժը վեկտորային մեծություն է: Այն բնութագրվում է թվային արժեքով կամ մոդուլով, կիրառման կետով և ուղղությամբ: Ուժի կիրառման կետը և դրա ուղղությունը որոշում են ուժի գործողության գիծը: Նկարը ցույց է տալիս, թե ինչպես է ուժ կիրառվում A կետի վրա: Գծային հատված AB = ուժի մեծություն F: Ուղիղ LM-ը կոչվում է ուժի գործողության գիծ: Սիստ. SI ուժային միջոցներ. նյուտոններով (N): Կան նաև 1MN = 10 6 N, 1 kN = 10 3 N: Ուժը սահմանելու 2 եղանակ կա՝ ուղղակի նկարագրությամբ և վեկտորով (կոորդինատային առանցքների վրա պրոյեկցիայի միջոցով): F= F x i + F y j + F z k, որտեղ F x, F y, F z կոորդինատների առանցքների վրա ուժի կանխատեսումներ են, իսկ i, j, k-ը միավոր վեկտորներ են: Բացարձակապես ամուր մարմին-մարմինորի 2-ի և դրա կետերի միջև եղած հեռավորությունը մնացածն է: անփոփոխ՝ անկախ դրա վրա ազդող ուժերից։

Մի քանի ուժերի (F 1, F 2, ..., F n) բազմությունը կոչվում է ուժերի համակարգ։ Եթե, առանց մարմնի վիճակը խախտելու, ուժերի մի համակարգ (F 1, F 2, ..., F n) կարող է փոխարինվել մեկ այլ համակարգով (P 1, P 2, ..., P n) և փոխ. հակառակը, ապա ուժերի նման համակարգերը կոչվում են համարժեք: Խորհրդանշականորեն սա նշվում է հետևյալ կերպ. (F 1, F 2, ..., F n)~ (P 1, P 2, ..., P n): Այնուամենայնիվ, դա չի նշանակում, որ եթե երկու ուժերի համակարգեր մարմնի վրա նույն ազդեցությունն ունենան, ապա դրանք համարժեք կլինեն: Համարժեք համակարգերը առաջացնում են նույն համակարգի վիճակը: Երբ ուժերի համակարգը (F 1, F 2, ..., F n) համարժեք է մեկ ուժի R, ապա R կոչվում է: արդյունք. Ստացված ուժը կարող է փոխարինել բոլոր տրված ուժերի գործողություններին: Բայց ոչ բոլոր ուժերի համակարգն ունի արդյունք: Իներցիոն կոորդինատային համակարգում իներցիայի օրենքը բավարարված է։ Սա, մասնավորապես, նշանակում է, որ սկզբնական պահին հանգստի վիճակում գտնվող մարմինը կմնա այս վիճակում, եթե դրա վրա ուժեր չգործեն։ Եթե ​​բացարձակապես պինդ մարմինը մնում է հանգստի վիճակում ուժերի համակարգի (F 1, F 2, ..., F n) ազդեցության տակ, ապա այս համակարգը կոչվում է հավասարակշռված կամ զրոյի համարժեք ուժերի համակարգ. , F 2, ... , F n)~0. Այս դեպքում ասում են, որ մարմինը գտնվում է հավասարակշռության մեջ: Մաթեմատիկայում երկու վեկտորները համարվում են հավասար, եթե դրանք զուգահեռ են, ուղղված են նույն ուղղությամբ և հավասար են մեծությամբ։ Սա բավարար չէ երկու ուժերի համարժեքության համար, իսկ F~P հարաբերությունը դեռ չի բխում F=P հավասարությունից։ Երկու ուժեր համարժեք են, եթե վեկտորապես հավասար են և կիրառվում են մարմնի նույն կետի վրա:

Ստատիկության աքսիոմները և դրանց հետևանքները

Ուժի ազդեցության տակ գտնվող մարմինը ձեռք է բերում արագացում և չի կարող հանգիստ մնալ: Առաջին աքսիոմը սահմանում է այն պայմանները, որոնց դեպքում ուժերի համակարգը հավասարակշռված կլինի:

Աքսիոմա 1. Բացարձակ կոշտ մարմնի վրա կիրառվող երկու ուժերը կհավասարակշռվեն (համարժեք զրոյի), եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանք հավասար են մեծությամբ, գործում են մեկ ուղիղ գծով և ուղղված են հակառակ ուղղություններով։. Սա նշանակում է, որ եթե բացարձակ կոշտ մարմինը գտնվում է հանգստի վիճակում երկու ուժերի ազդեցությամբ, ապա այդ ուժերը հավասար են մեծությամբ, գործում են մեկ ուղիղ գծով և ուղղված են հակառակ ուղղություններով։ Եվ հակառակը, եթե բացարձակ կոշտ մարմնի վրա մեկ ուղիղ գծով հակառակ ուղղություններով ազդեն երկու ուժեր, որոնք հավասար են մեծությանը, և մարմինը սկզբնական պահին գտնվում էր հանգստի վիճակում, ապա մարմնի հանգստի վիճակը կմնա:

Նկ. Նկար 1.4-ում ներկայացված են F 1, F 2 և P 1, P 2 հավասարակշռված ուժերը, որոնք բավարարում են հարաբերությունները՝ (F 1,F 2)~0, (P 1,P 2)~0: Ստատիկության որոշ խնդիրներ լուծելիս անհրաժեշտ է հաշվի առնել կոշտ ձողերի ծայրերին կիրառվող ուժերը, որոնց քաշը կարելի է անտեսել, և հայտնի է, որ ձողերը գտնվում են հավասարակշռության մեջ։ Ձևակերպված աքսիոմից նման ձողի վրա ազդող ուժերը ուղղվում են ձողի ծայրերով անցնող ուղիղ գծով՝ ուղղության հակառակ և մեծությամբ միմյանց հավասար (նկ. 1.5, ա): Նույնը վերաբերում է այն դեպքում, երբ ձողի առանցքը կոր է (նկ. 1.5, բ):

Աքսիոմա 2. Առհասարակ պետությանը չխանգարելով ամուր, ուժերը կարող են կիրառվել կամ մերժվել դրա վրա, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանք կազմում են հավասարակշռված համակարգ, մասնավորապես, եթե այս համակարգը բաղկացած է հավասար մեծության երկու ուժերից, որոնք գործում են մեկ ուղիղ գծով և ուղղված են հակառակ ուղղություններով:Այս աքսիոմից հետևում է հետևանքը՝ առանց մարմնի վիճակը խախտելու, ուժի կիրառման կետը կարող է փոխանցվել նրա գործողության գծով։ Իսկապես, թող F A ուժը կիրառվի Ա կետի վրա (նկ. 1.6, ա) . F A ուժի գործողության գծի B կետում կիրառենք երկու հավասարակշռված ուժեր F B և F" B, ենթադրելով, որ F B = F A (նկ. 1.6, բ): Այնուհետև, ըստ աքսիոմ 2-ի, կունենանք F A ~F A. , F B, F` B): Այսպիսով, քանի որ F A և F B ուժերը նույնպես կազմում են ուժերի հավասարակշռված համակարգ (աքսիոմա 1), ապա, ըստ աքսիոմի 2-ի, դրանք կարող են հրաժարվել (նկ. 1.6, գ): Այսպիսով, F A ~F A, F B,F` B)~F B, կամ F A~F B, որն ապացուցում է հետևանքը: Այս հետևանքը ցույց է տալիս, որ բացարձակ կոշտ մարմնի վրա կիրառվող ուժը սահող վեկտոր է: Երկու աքսիոմները և ապացուցված հետևանքը չեն կարող կիրառվել դեֆորմացվող մարմինների վրա. Մասնավորապես, ուժի կիրառման կետը շարժելով դրա գործողության գծով, փոխում է մարմնի սթրեսային դեֆորմացված վիճակը:

Աքսիոմա 3.Առանց մարմնի վիճակը փոխելու, մեկ կետի վրա կիրառվող երկու ուժերը կարող են փոխարինվել միևնույն կետում կիրառվող մեկ արդյունք ուժով և հավասար լինել դրանց երկրաչափական գումարին (ուժերի աքսիոմի զուգահեռագիծ): Այս աքսիոմը սահմանում է երկու հանգամանք. 1) երկու ուժեր F 1 և F 2 (Նկար 1.7), որոնք կիրառվում են մեկ կետի վրա, ունեն արդյունք, այսինքն՝ համարժեք են մեկ ուժի (F 1,F 2) ~ R; 2) աքսիոմն ամբողջությամբ որոշում է արդյունքի ուժի մոդուլը, կիրառման կետը և ուղղությունը R=F 1 +F 2 : 1 և F 2. Արդյունքների մոդուլը որոշվում է R=(F 1 2 +F 2 2 +2F l F 2 cosa) 1/2 հավասարությամբ, որտեղ a-ն F 1 և F 2 վեկտորների միջև եղած անկյունն է։ Երրորդ աքսիոմը վերաբերում է ցանկացած մարմնի. Ստատիկի երկրորդ և երրորդ աքսիոմները հնարավորություն են տալիս ուժերի մի համակարգից անցնել դրան համարժեք մյուս համակարգ։ Մասնավորապես, դրանք հնարավորություն են տալիս R-ի ցանկացած ուժ տարրալուծել երկու, երեք և այլն բաղադրիչների, այսինքն՝ տեղափոխել ուժերի այլ համակարգ, որի համար R ուժը արդյունք է։ Նշելով, օրինակ, երկու ուղղություններ, որոնք գտնվում են R-ի հետ նույն հարթության վրա, կարող եք կառուցել զուգահեռագիծ, որտեղ անկյունագիծը ներկայացնում է R ուժը: Այնուհետև զուգահեռագծի կողմերի երկայնքով ուղղված ուժերը կկազմեն համակարգ, որի համար R ուժը կլինի արդյունքը (նկ. 1.7): Նմանատիպ շինարարություն կարող է իրականացվել տիեզերքում: Դա անելու համար բավական է R ուժի կիրառման կետից գծել երեք ուղիղ գիծ, ​​որոնք չեն գտնվում նույն հարթության մեջ, և դրանց վրա կառուցել զուգահեռագիծ R ուժը ներկայացնող անկյունագծով և այդ ուղիղների երկայնքով ուղղված եզրերով։ գծեր (նկ. 1.8):

Աքսիոմ 4 (Նյուտոնի 3-րդ օրենք). Երկու մարմինների փոխազդեցության ուժերը մեծությամբ հավասար են և ուղղված են մեկ ուղիղ գծի վրա՝ հակառակ ուղղություններով։Նշենք, որ երկու մարմինների փոխազդեցության ուժերը չեն կազմում հավասարակշռված ուժերի համակարգ, քանի որ դրանք կիրառվում են տարբեր մարմինների վրա: Եթե ​​I մարմինը գործում է II մարմնի վրա P ուժով, իսկ II մարմինը I մարմնի վրա գործում է F ուժով (նկ. 1.9), ապա այդ ուժերը մեծությամբ հավասար են (F = P) և ուղղվում են մեկ ուղիղ գծի հակառակ ուղղությամբ: ուղղություններ, այսինքն .F= –P. Եթե ​​F-ով նշանակենք այն ուժը, որով Արևը ձգում է Երկիրը, ապա Երկիրը ձգում է Արեգակին նույն մեծությամբ, բայց հակառակ ուղղված ուժով - F: Երբ մարմինը շարժվում է հարթության երկայնքով, նրա վրա կկիրառվի շփման ուժ T: , ուղղված շարժմանը հակառակ ուղղությամբ։ Սա այն ուժն է, որով անշարժ ինքնաթիռը գործում է մարմնի վրա: Չորրորդ աքսիոմի հիման վրա մարմինը հարթության վրա գործում է նույն ուժով, սակայն նրա ուղղությունը հակառակ կլինի T ուժին։

Նկ. 1.10 ցույց է տալիս մարմինը, որը շարժվում է դեպի աջ; Շփման ուժը T կիրառվում է շարժվող մարմնի վրա, իսկ T "= –T ուժը կիրառվում է հարթության վրա: Դիտարկենք անշարժ անշարժ համակարգ, որը ցույց է տրված նկ. 1.11-ում, ա. Այն բաղկացած է A շարժիչից, որը տեղադրված է վրա. հիմք B, որն իր հերթին գտնվում է C հիմքի վրա: Շարժիչի և հիմքի վրա ազդում են համապատասխանաբար F 1 և F 2 ծանրության ուժերը: Գործում են նաև հետևյալ ուժերը. F 3 - A մարմնի գործողության ուժը B մարմնի վրա ( այն հավասար է A մարմնի կշռին); F'з - B մարմնի հակառակ գործողության ուժը A մարմնի վրա; F 4-ը A և B մարմինների գործողության ուժն է C հիմքի վրա (այն հավասար է ընդհանուրին. A և B մարմինների քաշը), F` 4-ը C հիմքի հակադարձ գործողության ուժն է B մարմնի վրա: Այս ուժերը ներկայացված են նկ. 1.11, b, c, d-ում: Համաձայն աքսիոմի 4-ի, F 3 =–F ` 3, F 4 =–F` 4, և այս փոխազդեցության ուժերը որոշվում են F 1 և F 2 տրված ուժերով: Փոխազդեցության ուժերը գտնելու համար անհրաժեշտ է ելնել աքսիոմից 1-ից: A մարմնի մնացած մասի պատճառով ( Նկար 1.11.6) պետք է լինի F z = –F 1, ինչը նշանակում է F 3 =F 1: Նույն կերպ, B մարմնի հավասարակշռության վիճակից (նկ. 1.11, գ) հետևում է F` 4 =–( F 2 +F 3) , այսինքն. F` 4 =–(F 1 +F 2) և F 4 =F 1 +F 2:

Աքսիոմ 5. Դեֆորմացվող մարմնի հավասարակշռությունը չի խախտվի, եթե նրա կետերը կոշտ միացված են, և մարմինը համարվում է բացարձակ պինդ:Այս աքսիոմն օգտագործվում է այն դեպքերում, երբ մենք խոսում ենք մարմինների հավասարակշռության մասին, որոնք չեն կարող պինդ համարվել։ Նման մարմինների վրա կիրառվող արտաքին ուժերը պետք է բավարարեն կոշտ մարմնի հավասարակշռության պայմանները, սակայն ոչ կոշտ մարմինների համար այդ պայմանները միայն անհրաժեշտ են, բայց ոչ բավարար։ Օրինակ, բացարձակապես ամուր անկշիռ ձողի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ ձողի ծայրերին կիրառվող F և F» ուժերը գործեն դրա ծայրերը միացնող ուղիղ գծի երկայնքով, լինեն հավասար մեծությամբ և ուղղված լինեն տարբեր ուղղություններով: Միևնույն պայմաններն անհրաժեշտ են անկշռելի թելի կտորի հավասարակշռության համար, բայց թելի համար դրանք բավարար չեն, անհրաժեշտ է լրացուցիչ պահանջել, որ թելի վրա ազդող ուժերը լինեն առաձգական (նկ. 1.12, բ), մինչդեռ գավազան, դրանք կարող են լինել նաև սեղմող (նկ. 1.12, ա):

Դիտարկենք կոշտ մարմնի վրա կիրառվող երեք ոչ զուգահեռ ուժերի զրոյին համարժեքության դեպքը (նկ. 1.13, ա): Երեք ոչ զուգահեռ ուժերի թեորեմ. Եթե ​​երեք ուժերի ազդեցության տակ մարմինը գտնվում է հավասարակշռության մեջ, և երկու ուժերի գործողության գծերը հատվում են, ապա բոլոր ուժերը գտնվում են նույն հարթության մեջ, և նրանց գործողության գծերը հատվում են մի կետում:Թող մարմնի վրա գործի F 1, F 3 և F 3 երեք ուժերի համակարգ, իսկ F 1 և F 2 ուժերի գործողության գծերը հատվեն A կետում (նկ. 1.13, ա): Ըստ աքսիոմ 2-ի հետևանքի՝ F 1 և F 2 ուժերը կարող են տեղափոխվել A կետ (նկ. 1.13, բ), և ըստ աքսիոմ 3-ի՝ դրանք կարող են փոխարինվել մեկ ուժով R, և (նկ. 1.13, գ) R = F 1 + F 2 . Այսպիսով, դիտարկվող ուժերի համակարգը կրճատվում է երկու ուժերի R և F 3 (նկ. 1.13, գ): Թեորեմի պայմանների համաձայն՝ մարմինը գտնվում է հավասարակշռության մեջ, հետևաբար, ըստ 1-ին աքսիոմի, R և F 3 ուժերը պետք է ունենան ընդհանուր գործողության գիծ, ​​բայց այնուհետև բոլոր երեք ուժերի գործողության գծերը պետք է հատվեն մեկ կետում։ .

Կապերի ակտիվ ուժեր և ռեակցիաներ

Մարմինը կոչվում է անվճար, եթե նրա շարժումները ոչնչով չեն սահմանափակվում։ Այն մարմինը, որի շարժումները սահմանափակված են այլ մարմիններով, կոչվում է անազատ, իսկ տվյալ մարմնի շարժումը սահմանափակող մարմիններն են կապեր. Շփման կետերում փոխազդեցության ուժեր են առաջանում տվյալ մարմնի և կապերի միջև։ Այն ուժերը, որոնցով կապերը գործում են տվյալ մարմնի վրա, կոչվում են կապերի ռեակցիաներ.

Ազատագրման սկզբունքը : ցանկացած ոչ ազատ մարմին կարող է ազատ համարվել, եթե կապերի գործողությունը փոխարինվում է տվյալ մարմնի նկատմամբ կիրառվող նրանց ռեակցիաներով։Ստատիկայում կապերի ռեակցիաները կարող են ամբողջությամբ որոշվել՝ օգտագործելով մարմնի հավասարակշռության պայմանները կամ հավասարումները, որոնք կհաստատվեն ավելի ուշ, սակայն դրանց ուղղությունները շատ դեպքերում կարելի է որոշել՝ հաշվի առնելով կապերի հատկությունները։ Որպես պարզ օրինակ Նկ. 1.14, և ներկայացվում է մարմին, որի M կետը ձողով միացված է O կետին, որի քաշը կարելի է անտեսել. ձողի ծայրերն ունեն ծխնիներ, որոնք թույլ են տալիս ռոտացիայի ազատություն: IN այս դեպքումմարմնի համար կապը OM ձողն է; M կետի շարժման ազատության սահմանափակումն արտահայտվում է նրանով, որ այն ստիպված է գտնվել O կետից մշտական ​​հեռավորության վրա: Նման ձողի վրա գործողության ուժը պետք է ուղղված լինի OM ուղիղ գծի երկայնքով և ըստ աքսիոմայի. 4, ձողի (ռեակցիա) R-ի հակաուժը պետք է ուղղված լինի նույն ուղիղ գծի երկայնքով: Այսպիսով, ձողի ռեակցիայի ուղղությունը համընկնում է ուղիղ գծի OM-ի հետ (նկ. 1.14, բ): Նմանապես, ճկուն, չընդլայնվող թելի արձագանքման ուժը պետք է ուղղված լինի թելի երկայնքով: Նկ. Նկար 1.15-ում պատկերված է երկու թելերից կախված մարմին և R 1 և R 2 թելերի ռեակցիաները: Կաշկանդված մարմնի վրա գործող ուժերը բաժանվում են երկու կատեգորիայի. Մի կատեգորիան ձևավորվում է կապերից չկախված ուժերով, իսկ մյուսը՝ կապերի ռեակցիաներով։ Այս դեպքում կապերի ռեակցիաները կրում են պասիվ բնույթ՝ առաջանում են այն պատճառով, որ մարմնի վրա գործում են առաջին կարգի ուժեր։ Այն ուժերը, որոնք կախված չեն կապերից, կոչվում են ակտիվ, իսկ կապերի ռեակցիաները՝ պասիվ ուժեր։ Նկ. 1.16, իսկ վերևի երկու մասում ցույց են տրված հավասար մեծության F 1 և F 2 ակտիվ ուժերը՝ ձգելով AB ձողը, ներքևում՝ ձգված ձողի R 1 և R 2 ռեակցիաները։ Նկ. 1.16, b վերևում ցուցադրվում են F 1 և F 2 ակտիվ ուժերը, որոնք սեղմում են ձողը, ներքևում ցույց են տրվում սեղմված ձողի R 1 և R 2 ռեակցիաները:

Հղման հատկություններ

1. Եթե պինդ մարմինը հենվում է իդեալական հարթ (առանց շփման) մակերեսի վրա, ապա մարմնի շփման կետը մակերեսի հետ կարող է ազատ սահել մակերեսի երկայնքով, բայց չի կարող շարժվել դեպի նորմալ ուղղությամբ դեպի մակերեսը: Իդեալական հարթ մակերևույթի ռեակցիան ուղղված է ընդհանուր նորմայի երկայնքով դեպի շփվող մակերեսները (նկ. 1.17, ա): Եթե պինդ մարմինն ունի հարթ մակերես և հենված է ծայրի վրա (նկ. 1.17, բ), ապա ռեակցիան Նորմալի երկայնքով ուղղվում է հենց մարմնի մակերեսին Եթե պինդ մարմինը Հենվում է անկյունի վրա (նկ. 1.17, գ), ապա կապը թույլ չի տալիս ծայրին շարժվել ինչպես հորիզոնական, այնպես էլ ուղղահայաց: Համապատասխանաբար, անկյան R ռեակցիան կարող է ներկայացվել երկու բաղադրիչով՝ հորիզոնական R x և ուղղահայաց R y, որոնց մեծություններն ու ուղղությունները ի վերջո որոշվում են տվյալ ուժերով։

2. Գնդաձեւ ծխնի է այն սարքը, որը ներկայացված է Նկ. 1.18, ա, որն անշարժ է դարձնում դիտարկվող մարմնի O կետը։ Եթե ​​գնդաձև կոնտակտային մակերեսը իդեալականորեն հարթ է, ապա գնդաձև կախվածքի արձագանքը գտնվում է այս մակերեսի նորմալի ուղղությամբ: Ռեակցիան անցնում է կրունկի կենտրոնով O; ռեակցիայի ուղղությունը կարող է լինել ցանկացած և որոշվում է յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում:

Անհնար է նաև նախօրոք որոշել մղիչ առանցքակալի ռեակցիայի ուղղությունը, որը ներկայացված է Նկ. 1.18, բ. 3. Գլանաձեւ կախովի ամրացված հենարան (նկ. 1.19, ա): Նման հենարանի ռեակցիան անցնում է իր առանցքով, իսկ ռեակցիայի ուղղությունը կարող է լինել ցանկացած (հենարանի առանցքին ուղղահայաց հարթությունում)։ 4. Գլանաձեւ հոդակապ շարժական հենարանը (նկ. 1.19, բ) կանխում է մարմնի ֆիքսված կետի շարժումը ուղղահայաց. ինքնաթիռներ I-I; համապատասխանաբար, նման հենարանի ռեակցիան ունի նաև այս ուղղահայաց ուղղությունը։

Մի քանի պինդ մարմինների հոդակապմամբ առաջացած մեխանիկական համակարգերում առկա են ներքին միացումներ արտաքին միացումներով (հենակետերով)։ Այս դեպքերում երբեմն համակարգը հոգեպես մասնատվում է, և դեն նետված ոչ միայն արտաքին, այլև ներքին կապերը փոխարինվում են համապատասխան ռեակցիաներով։ Տվյալ մարմնի առանձին կետերի փոխազդեցության ուժերը կոչվում են ներքին, իսկ տվյալ մարմնի վրա գործող և այլ մարմինների կողմից առաջացած ուժերը՝ արտաքին։

Ստատիկի հիմնական առաջադրանքները

1. Ուժերի համակարգի կրճատման խնդիրը. ինչպե՞ս կարելի է ուժերի տվյալ համակարգը փոխարինել մեկ այլ, ամենապարզ, համարժեք համակարգով:

2. Հավասարակշռության խնդիր. ի՞նչ պայմաններ պետք է բավարարի տվյալ մարմնի (կամ նյութական կետի) նկատմամբ կիրառվող ուժերի համակարգը, որպեսզի այն լինի հավասարակշռված համակարգ:

Երկրորդ խնդիրը հաճախ դրվում է այն դեպքերում, երբ հայտնի է, որ հավասարակշռություն է տեղի ունենում, օրինակ, երբ նախապես հայտնի է, որ մարմինը գտնվում է հավասարակշռության մեջ, որն ապահովվում է մարմնի վրա պարտադրված կապերով։ Այս դեպքում հավասարակշռության պայմանները կապ են հաստատում մարմնի վրա կիրառվող բոլոր ուժերի միջև: Օգտագործելով այս պայմանները, հնարավոր է որոշել աջակցության ռեակցիաները: Պետք է հաշվի առնել, որ կապի ռեակցիաների (արտաքին և ներքին) որոշումը անհրաժեշտ է կառուցվածքի ամրության հետագա հաշվարկի համար:

Ավելի ընդհանուր դեպքում, երբ դիտարկվում է միմյանց նկատմամբ շարժվելու ունակություն ունեցող մարմինների համակարգ, ստատիկության հիմնական խնդիրներից մեկը հնարավոր հավասարակշռության դիրքերի որոշման խնդիրն է։

Համակցող ուժերի համակարգ բերելով արդյունքին

Ուժերը կոչվում են կոնվերգենտ, եթե համակարգը կազմող բոլոր ուժերի գործողության գծերը հատվում են մեկ կետում: Եկեք ապացուցենք թեորեմը. Միավորվող ուժերի համակարգը համարժեք է մեկ ուժի (արդյունք), որը հավասար է այս բոլոր ուժերի գումարին և անցնում է նրանց գործողության գծերի հատման կետով: Թող տրվի F 1, F 2, F 3, ..., F n համընկնող ուժերի համակարգ՝ կիրառված բացարձակ կոշտ մարմնի վրա (նկ. 2.1, ա): Ուժերի կիրառման կետերը նրանց գործողության գծերով տեղափոխենք այս ուղիղների հատման կետ (21, բ)։ Մենք ուժային համակարգ ստացանք, մի կետի կիրառեցինք. Դա համարժեք է տրվածին։ Ավելացնենք F 1 և F 2 և ստացենք դրանց արդյունքը՝ R 2 =F 1 +F 2: Եկեք ավելացնենք R 2-ը F 3-ով. R 3 =R 2 +F 3 =F 1 +F 2 +F 3: Եկեք ավելացնենք F 1 +F 2 +F 3 +…+F n =R n =R=åF i . և այլն: Զուգահեռագրերի փոխարեն կարող եք կառուցել ուժային բազմանկյուն: Թող համակարգը կազմված լինի 4 ուժից (նկ. 2.2.): F 1 վեկտորի վերջից մենք մի կողմ ենք դնում F 2 վեկտորը: O-ի սկիզբը և F 2 վեկտորի վերջը կապող վեկտորը կլինի R 2 վեկտորը: Հաջորդը, մենք կհետաձգենք F 3 վեկտորը ՝ դրա սկիզբը դնելով F 2 վեկտորի վերջում: Այնուհետև մենք ստանում ենք R 8 վեկտոր, որն անցնում է O կետից մինչև F 3 վեկտորի վերջը: Նույն կերպ ավելացնենք F 4 վեկտորը; Այս դեպքում մենք գտնում ենք, որ F 1 վեկտորի սկզբից մինչև F 4 վեկտորի վերջը ընթացող վեկտորը ստացվում է R: Նման տարածական բազմանկյունը կոչվում է ուժային բազմանկյուն: Եթե ​​վերջին ուժի վերջը չի համընկնում առաջին ուժի սկզբի հետ, ապա ուժի բազմանկյունը կոչվում է. բացել. Եթե ​​արդյունքը գտնելու համար օգտագործվում է երկրաչափ, ապա այս մեթոդը կոչվում է երկրաչափական:

Արդյունքը որոշելու համար նրանք ավելի հաճախ օգտագործում են վերլուծական մեթոդը։ Վեկտորների գումարի պրոյեկցիան որոշակի առանցքի վրա հավասար է գումարելի վեկտորների կանխատեսումների գումարին նույն առանցքի վրա, մենք ստանում ենք R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx ; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny ; R z =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz ; որտեղ F kx, F ky, F kz-ը առանցքների վրա F k ուժի ելուստներն են, իսկ R x, R y, R z արդյունքի պրոյեկցիաներն են նույն առանցքների վրա: Համախմբվող ուժերի արդյունքային համակարգի կանխատեսումները դեպի կոորդինատային առանցքներհավասար են համապատասխան առանցքների վրա այդ ուժերի կանխատեսումների հանրահաշվական գումարներին: Ստացված R-ի մոդուլը հավասար է՝ R=(R x 2 +R y 2 +R z 2) 1/2։ Ուղղության կոսինուսները հավասար են՝ cos(x,R)=R x /R, cos(y,R)=R y /R, cos(z,R)=R z /R։ Եթե ​​ուժերը բաշխված են նույն ուղղությամբ, ապա ամեն ինչ նույնն է, Z առանցք չկա։

Համընկնող ուժերի համակարգի հավասարակշռության պայմանները

(F 1 , F 2 , ... ,F n)~R => զուգակցող ուժերի համակարգի ազդեցության տակ գտնվող մարմնի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ դրանց արդյունքը հավասար լինի զրոյի. R = 0. Հետևաբար, համընկնող ուժերի հավասարակշռված համակարգի ուժային բազմանկյունում վերջին ուժի վերջը պետք է համընկնի առաջին ուժի սկզբի հետ. այս դեպքում ասում են, որ ուժային բազմանկյունը փակ է (նկ. 2.3): Այս պայմանը օգտագործվում է, երբ գրաֆիկական լուծումխնդիրներ ինքնաթիռի ուժային համակարգերի համար: Վեկտորային հավասարությունը R=0 համարժեք է երեք սկալյար հավասարությունների. R x =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; R y =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0; R z =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0; որտեղ F kx, F ky, F kz-ը առանցքների վրա F k ուժի ելուստներն են, իսկ R x, R y, R z արդյունքի պրոյեկցիաներն են նույն առանցքների վրա: Այսինքն՝ ուժերի համընկնող համակարգի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ կոորդինատային առանցքներից յուրաքանչյուրի վրա տվյալ համակարգի բոլոր ուժերի կանխատեսումների հանրահաշվական գումարները հավասար լինեն զրոյի։ Ուժերի հարթ համակարգի դեպքում Z առանցքի հետ կապված պայմանը անհետանում է: Հավասարակշռության պայմանները թույլ են տալիս ստուգել, ​​թե արդյոք այս համակարգըուժ

Երկու զուգահեռ ուժերի գումարում

1) Թող զուգահեռ և նույնական ուղղված ուժեր F 1 և F 2 կիրառվեն մարմնի A և B կետերի վրա, և դուք պետք է գտնեք դրանց արդյունքը (նկ. 3.1): Եկեք կիրառենք մեծությամբ հավասար և հակադիր ուժեր Q 1 և Q 2 A և B կետերին (դրանց մոդուլը կարող է լինել ցանկացած); Նման հավելում կարելի է անել 2-րդ աքսիոմի հիման վրա: Այնուհետև A և B կետերում մենք ստանում ենք երկու ուժ R 1 և R 2. R 1 ~(F 1, Q 1) և R 2 ~(F 2, Q 2): Այս ուժերի գործողության գծերը հատվում են որոշակի O կետում: Եկեք R 1 և R 2 ուժերը տեղափոխենք O կետ և յուրաքանչյուրը տարրալուծենք բաղադրիչների. R 1 ~(F 1 ', Q 2 ') և R 2 ~( F 2 ', Q 2 '): Կառուցումից պարզ է դառնում, որ Q 1 ’=Q 1 և Q 2 ’=Q 2 , հետևաբար, Q 1 ’= –Q 2 ’ և այս երկու ուժերը, ըստ աքսիոմ 2-ի, կարող են անտեսվել։ Բացի այդ, F 1 ’=F 1, F 2 ’=F 2: F 1 ' և F 2 ' ուժերը գործում են մեկ ուղիղ գծով, և դրանք կարող են փոխարինվել մեկ ուժով R = F 1 + F 2, որը կլինի ցանկալի արդյունքը: Արդյունքների մոդուլը հավասար է R = F 1 + F 2: Արդյունքների գործողության գիծը զուգահեռ է F 1 և F 2 գործողության գծերին: Oac 1 և OAC եռանկյունների, ինչպես նաև Obc 2 և OBC եռանկյունների նմանությունից ստանում ենք F 1 /F 2 =BC/AC հարաբերակցությունը: Այս հարաբերությունը որոշում է արդյունք R-ի կիրառման կետը: Երկու զուգահեռ ուժերի համակարգն ուղղված մեկ ուղղությամբ ունի արդյունքային զուգահեռ այս ուժերին և դրա մոդուլը. գումարին հավասարայդ ուժերի մոդուլները։

2) Թող մարմնի վրա գործեն երկու զուգահեռ ուժեր, որոնք ուղղված են տարբեր ուղղություններով և մեծությամբ ոչ հավասար: Տրված է՝ F 1, F 2; F 1 >F 2 .

Օգտագործելով R = F 1 + F 2 և F 1 /F 2 =BC/AC բանաձևերը, մենք կարող ենք F 1 ուժը քայքայել երկու բաղադրիչի ՝ F" 2 և R, ուղղված F 1 ուժին: Եկեք դա անենք այնպես, որ F" 2 ուժը պարզվեց, որ կիրառվել է B կետի վրա, և մենք դրեցինք F" 2 = –F 2: Այսպիսով. (F l , F 2)~(R, F" 2, F 2). Լիազորություններ F 2 , F 2 'կարելի է անտեսել որպես զրոյի համարժեք (աքսիոմա 2), հետևաբար, (F 1 ,F 2)~R, այսինքն R ուժը արդյունքն է։ Սահմանենք R ուժը, որը բավարարում է F 1 ուժի այս ընդլայնումը: Բանաձևեր R = F 1 + F 2եւ F 1 /F 2 =BC/AC տալ R+F 2 '=F 1, R/F 2 =AB/AC (*): սա ենթադրում է R = F 1 –F 2 '= F 1 + F 2, և քանի որ F t և F 2 ուժերն ուղղված են տարբեր ուղղություններով, ապա R=F 1 –F 2։ Այս արտահայտությունը փոխարինելով երկրորդ բանաձևով (*), մենք պարզ փոխակերպումներից հետո ստանում ենք F 1 /F 2 =BC/AC: հարաբերությունը որոշում է արդյունք R-ի կիրառման կետը: Երկու անհավասար մեծությամբ հակառակ ուղղված զուգահեռ ուժերն ունեն արդյունքային զուգահեռ այս ուժերին, և դրա մոդուլը հավասար է այդ ուժերի մոդուլների տարբերությանը:

3) Թող մարմնի վրա ազդեն երկու զուգահեռ ուժեր, որոնք մեծությամբ հավասար են, բայց ուղղությամբ հակառակ: Այս համակարգը կոչվում է մի քանի ուժ և նշվում է խորհրդանիշով (F 1, F 2). Ենթադրենք, որ F 2 մոդուլը աստիճանաբար մեծանում է՝ մոտենալով F 1 մոդուլի արժեքին: Այնուհետև մոդուլների տարբերությունը կձգտի զրոյի, իսկ ուժերի համակարգը (F 1, F 2) կձգտի զույգի: Այս դեպքում |R|Þ0, իսկ դրա գործողության գիծը հեռանում է այդ ուժերի գործողության գծերից: Ուժերի զույգը անհավասարակշիռ համակարգ է, որը չի կարող փոխարինվել մեկ ուժով: Զույգ ուժերը արդյունք չունեն:

Ուժի մոմենտը կետի և առանցքի նկատմամբ Զույգ ուժերի մոմենտ

Կետի (կենտրոնի) նկատմամբ ուժի մոմենտը վեկտոր է, որը թվայինորեն հավասար է թևի ուժի մոդուլի արտադրյալին, այսինքն՝ նշված կետից մինչև ուժի գործողության գիծը ամենակարճ հեռավորության վրա։ . Այն ուղղահայաց է ուժի ընտրված կետով և գործողության գծով անցնող հարթությանը։ Եթե ​​ոլորող մոմենտը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ է, ապա ոլորող մոմենտը բացասական է, իսկ եթե հակառակ ուղղությամբ է՝ դրական։ Եթե ​​O-ն կետն է, ապա հարաբերությունը F ուժի պահն է, ապա ուժի պահը նշանակվում է M o (F) նշանով: Եթե ​​F ուժի կիրառման կետը որոշվում է r շառավղով վեկտորով O-ի նկատմամբ, ապա M o (F) = r x F հարաբերակցությունը վավեր է: (3.6) Այսինքն. ուժի պահը հավասար է r վեկտորի վեկտորի արտադրյալին F վեկտորով: Վեկտորի արտադրյալի մոդուլը հավասար է М о (F)=rF sin a=Fh, (3.7), որտեղ h-ն ուժի թեւն է: Mo (F) վեկտորը ուղղահայաց է r և F վեկտորներով անցնող հարթությանը և ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ: Այսպիսով, բանաձևը (3.6) ամբողջությամբ որոշում է F ուժի պահի մոդուլը և ուղղությունը: Բանաձևը (3.7) կարելի է գրել M O (F) = 2S, (3.8) ձևով, որտեղ S-ը OAB եռանկյան մակերեսն է: . Թող x, y, z լինեն ուժի կիրառման կետի կոորդինատները, իսկ F x, F y, F z՝ ուժի ելքերը կոորդինատային առանցքների վրա: Եթե ​​այո, մեր մասին: սկզբում, ապա ուժի պահը.

Սա նշանակում է, որ կոորդինատային առանցքների վրա ուժի մոմենտի կանխատեսումները որոշվում են f-mi-ով. M ox (F)=yF z –zF y, M oy (F)=zF x –xF z, M oz (F) =xF y –yF x (3.10):

Ներկայացնենք ուժի պրոյեկցիայի հայեցակարգը հարթության վրա: Թող տրվի F ուժ և որոշակի ուժ։ Ուժի վեկտորի սկզբից և վերջից ուղղահայացներ գցենք այս հարթության վրա (նկ. 3.5): Ինքնաթիռի վրա ուժի պրոյեկցիան այն վեկտորն է, որի սկիզբը և վերջը համընկնում են այս հարթության վրա ուժի սկզբի և վերջի պրոյեկցիայի հետ: F ուժի պրոյեկցիան xOy տարածքի վրա կլինի F xy: Ուժի պահը F xy rel. t O (եթե z=0, F z =0) կլինի M o (F xy)=(xF y –yF x)k: Այս մոմենտն ուղղված է z առանցքի երկայնքով, և դրա պրոյեկցիան z առանցքի վրա ճշգրիտ համընկնում է O.T.e կետի նկատմամբ F ուժի պահի նույն առանցքի վրա պրոյեկցիայի հետ, M Oz (F) = М Оz (F xy) = xF y –yF x. (3.11). Նույն արդյունքը կարելի է ստանալ, եթե F ուժը նախագծենք xOy հարթությանը զուգահեռ ցանկացած այլ հարթության վրա։ Այս դեպքում հարթության հետ առանցքի հատման կետը տարբեր կլինի (նշվում է O 1): Այնուամենայնիվ, բոլոր x, y, F x, F y մեծությունները, որոնք ներառված են հավասարության աջ մասում (3.11) կմնան անփոփոխ՝ M Oz (F) = M Olz (F xy): Կետի նկատմամբ ուժի մոմենտի պրոյեկցիան այս կետով անցնող առանցքի վրա կախված չէ առանցքի կետի ընտրությունից: M Oz (F) փոխարեն գրում ենք M z (F): Պահի այս պրոյեկցիան կոչվում է z առանցքի շուրջ ուժի մոմենտը։ Նախքան հաշվարկները, F ուժը նախագծվում է քառակուսի և ուղղահայաց առանցքի վրա: M z (F)=M z (F xy)=±F xy h (3.12): h- ուսի. Եթե ​​ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, ապա +, հակառակ ուղղությամբ, ապա –: Հաշվարկելու համար մ.մ. Ձեզ անհրաժեշտ ուժերը. 1) ընտրել կամայական կետ առանցքի վրա և կառուցել առանցքին ուղղահայաց հարթություն. 2) նախագծել ուժ այս հարթության վրա. 3) որոշել h ուժի պրոյեկցիոն թեւը. Առանցքի նկատմամբ ուժի մոմենտը հավասար է նրա ուսի վրա ուժի պրոյեկցիայի մոդուլի արտադրյալին՝ վերցված համապատասխան նշանով։ (3.12)-ից հետևում է, որ առանցքի նկատմամբ ուժի մոմենտը հավասար է զրոյի. 2) երբ պրոյեկցիոն թեւը h հավասար է զրոյի, այսինքն՝ երբ ուժի գործողության գիծը հատում է առանցքը։ Կամ՝ առանցքի շուրջ ուժի պահը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե ուժի և առանցքի գործողության գիծը գտնվում են նույն հարթության վրա:

Ներկայացնենք մի քանի պահ հասկացությունը: Գտնենք զույգը կազմող ուժերի մոմենտների գումարը կամայական կետի նկատմամբ: Թող O-ն լինի կամայական կետ տարածության մեջ (նկ. 3.8), իսկ F և F»-ն այն ուժերն են, որոնք կազմում են զույգը: Այնուհետև M o (F) = OAxF, M o (F") = OBxF», որից M o (F) + M o (F")=OAxF+OBxF", բայց քանի որ F"=–F, ապա M 0 (F)+M 0 (F")=OAxF–OBxF=(OA–OB)xF: Հաշվի առնելով OA –OB = BA հավասարությունը, վերջապես գտնում ենք՝ M 0 (F) + M 0 (F") = BAxF: Այսինքն՝ զույգը կազմող ուժերի մոմենտների գումարը կախված չէ այն կետի դիրքից, որին վերցված են պահերը։ BAxF վեկտորային արտադրյալը կոչվում է զույգի պահ։ Զույգի պահը նշանակվում է M(F,F") նշանով, M(F,F")=BAxF=ABxF", կամ M=BAxF=ABxF" նշանով: (3.13). Զույգի մոմենտը զույգի հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր է, որը մեծությամբ հավասար է զույգի ուժերից մեկի մոդուլի արտադրյալին զույգի թևով (այսինքն՝ գործողության գծերի միջև ամենակարճ հեռավորությունը։ զույգը կազմող ուժերից) և ուղղված այն ուղղությամբ, որտեղից տեսանելի է զույգի «պտույտը»՝ տեղի ունենալով հակառակ ուղղությամբ: Եթե ​​h-ն զույգի ուսն է, ապա M(F,F") = hF Որպեսզի զույգ ուժերը հավասարակշռված լինեն, անհրաժեշտ է, որ զույգի մոմենտը = 0, կամ ուսը = 0:

Զույգերի թեորեմներ

Թեորեմ 1.Նույն հարթության մեջ ընկած երկու զույգերը կարող են փոխարինվել նույն հարթության մեջ ընկած մեկ զույգով, այս երկու զույգերի մոմենտների գումարին հավասար մոմենտով։ . Ապացույցի համար հաշվի առեք երկու զույգ (F 1, F` 1) և (F 2, F` 2) (նկ. 3.9) և բոլոր ուժերի կիրառման կետերը տեղափոխեք նրանց գործողության գծերով համապատասխանաբար A և B կետեր: . Աքսիոմ 3-ի համաձայն ուժերը գումարելով՝ ստանում ենք R=F 1 +F 2 և R"=F` 1 +F` 2, բայց F" 1 =–F 1 և F` 2 =–F 2: Հետևաբար, R=–R», այսինքն՝ R և R» ուժերը կազմում են զույգ։ Այս զույգի պահը՝ M=M(R, R")=BAxR=BAx(F 1 +F 2)=BAxF 1 +BAxF 2. (3.14) Երբ զույգը կազմող ուժերը փոխանցվում են գծերի երկայնքով. նրանց գործողության արդյունքում զույգի ոչ ուսը, ոչ էլ պտտման ուղղությունը չի փոխվում, հետևաբար, զույգի պահը նույնպես չի փոխվում: Սա նշանակում է, որ VAxF 1 =M(F 1, F" 1) = M 1, VAxF 2 =M(F 2, f` 2) = M 2, և (3.14) բանաձևը կունենա M=M 1 +M 2, (3.15) և այլն: Եկեք երկու մեկնաբանություն անենք. 1. Զույգերը կազմող ուժերի գործողության գծերը կարող են զուգահեռ լինել։ Թեորեմը գործում է նաև այս դեպքում։ 2. Գումարումից հետո կարող է պարզվել, որ M(R,R")=0, դիտողություն 1-ից ելնելով հետևում է, որ երկու զույգերի բազմությունը (F 1, F` 1, F 2, F` 2)~0. .

Թեորեմ 2.Հավասար մոմենտ ունեցող երկու զույգերը համարժեք են: Թող զույգը (F 1,F` 1) գործի I հարթության մարմնի վրա M 1 մոմենտով: Ցույց տանք, որ այս զույգը կարող է փոխարինվել մեկ այլ զույգով (F 2, F` 2), որը գտնվում է II հարթությունում, եթե միայն նրա մոմենտը M 2 հավասար է M 1-ի: Ուշադրություն դարձրեք, որ I և II հարթությունները պետք է լինեն զուգահեռ, մասնավորապես, դրանք կարող են համընկնել: Իրոք, M 1 և M 2 մոմենտների զուգահեռականությունից հետևում է, որ զույգերի գործողության հարթությունները, որոնք ուղղահայաց են մոմենտներին, նույնպես զուգահեռ են։ Ներկայացնենք նոր զույգ (F 3, F` 3) և կիրառենք այն (F 2, F` 2) զույգի հետ միասին մարմնին՝ երկու զույգերը դնելով II հարթության մեջ։ Դա անելու համար, ըստ աքսիոմի 2-ի, անհրաժեշտ է ընտրել զույգ (F 3, F` 3) M 3 պահով, որպեսզի կիրառվող ուժերի համակարգը (F 2, F` 2, F 3, F` 3) հավասարակշռված է. Եկեք դնենք F 3 =–F` 1 և F` 3 =–F 1 և միավորենք այս ուժերի կիրառման կետերը A և B կետերի A 1 և B 1 պրոյեկցիաների հետ II հարթության վրա (տես նկ. 3.10): Կառուցվածքին համապատասխան կունենանք՝ M 3 =–M 1 կամ, հաշվի առնելով, որ M 1 = M 2, M 2 + M 3 = 0,մենք ստանում ենք (F 2, F` 2, F 3, F` 3)~0: Այսպիսով, զույգերը (F 2 , F` 2) և (F 3 , F` 3) փոխադարձաբար հավասարակշռված են, և նրանց կապվածությունը մարմնին չի խախտում նրա վիճակը (աքսիոմ 2), ուստի (F 1, F` 1)~ (F 1, F` 1, F 2, F` 2, F 3, F` 3): (3.16). Մյուս կողմից, F 1 և F 3, ինչպես նաև F` 1 և F` 3 ուժերը կարող են գումարվել ըստ մեկ ուղղությամբ ուղղված զուգահեռ ուժերի գումարման կանոնի։ Նրանք հավասար են մոդուլով, հետևաբար դրանց R և R արդյունքները պետք է կիրառվեն ABB 1 A 1 ուղղանկյան անկյունագծերի հատման կետում, բացի այդ, դրանք հավասար են մոդուլով և ուղղված են հակառակ ուղղություններով: Սա նշանակում է, որ դրանք կազմում են զրոյի համարժեք համակարգ Այսպիսով, (F 1 , F` 1 , F 3 , F` 3)~(R, R")~0: Այժմ մենք կարող ենք գրել (F 1 , F` 1 , F 2 , F` 2 , F 3 ,F` 3)~(F 2 , F` 2).(3.17): Համեմատելով հարաբերությունները (3.16) և (3.17) մենք ստանում ենք (F 1, F` 1)~(F 2, F` 2) և այլն: Այս թեորեմից հետևում է, որ մի զույգ ուժեր կարող են շարժվել և պտտվել իր գործողության հարթության վրա՝ փոխանցվելով զուգահեռ հարթության. զույգով կարող եք միաժամանակ փոխել ուժերն ու լծակները՝ պահպանելով միայն զույգի պտտման ուղղությունը և նրա պահի մոդուլը։ (F 1 h 1 =F 2 h 2):

Թեորեմ 3. Երկու զույգ, որոնք ընկած են հատվող հարթություններում, համարժեք են մեկ զույգի, որի մոմենտը հավասար է տրված երկու զույգերի մոմենտների գումարին։Թող զույգերը (F 1 , F` 1) և (F 2, F` 2) լինեն համապատասխանաբար I և II հատվող հարթություններում։ Օգտագործելով 2-րդ թեորեմի հետևանքը, մենք երկու զույգերն էլ բերում ենք AB-ի թեւին (նկ. 3.11), որը գտնվում է I և II հարթությունների հատման գծում: Փոխակերպված զույգերը նշանակենք (Q 1 , Q` 1) և (Q 2, Q` 2)-ով։ Այս դեպքում պետք է բավարարվեն հետևյալ հավասարությունները՝ M 1 =M(Q 1, Q` 1)=M(F 1, F` 1) և M 2 =M(Q 2, Q` 2)=M(F 2, F` 2): Ավելացնենք, ըստ աքսիոմ 3-ի, համապատասխանաբար A և B կետերում կիրառվող ուժերը։ Այնուհետև ստանում ենք R=Q 1 +Q 2 և R"=Q` 1 +Q` 2: Հաշվի առնելով, որ Q` 1 =–Q 1 և Q` 2 = –Q 2, մենք ստանում ենք R=–R": Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ երկու զույգերից բաղկացած համակարգը համարժեք է մեկ զույգի (R, R"):Գտնենք այս զույգի M պահը M(R, R")=BAxR, բայց R=Q 1 +Q. 2 և M(R, R")=BAx(Q 1 +Q 2)=BAxQ 1 +BAxQ 2 =M(Q 1, Q` 1)+M(Q 2, Q` 2)=M(F 1, F" 1)+ M(F 2, F` 2), կամ M=M 1 +M 2, այսինքն թեորեմն ապացուցված է:

Եզրակացություն՝ զույգի պահը ազատ վեկտոր է և ամբողջությամբ որոշում է զույգի գործողությունը բացարձակ կոշտ մարմնի վրա։ Դեֆորմացվող մարմինների համար զույգերի տեսությունը կիրառելի չէ։

Զույգերի համակարգի վերածում ամենապարզ ձևի Զույգերի համակարգի հավասարակշռությունը

Թող տրվի n զույգերի համակարգ (F 1 ,F 1 `),(F 2 ,F` 2) ..., (F n ,F` n) կամայականորեն տեղակայված տարածության մեջ, որի մոմենտները հավասար են. M 1, M 2. ..., M n. Առաջին երկու զույգերը կարող են փոխարինվել մեկ զույգով (R 1,R` 1) M* 2:M* 2 =M 1 +M 2 պահով։ Ստացված զույգը (R 1, R` 1) ավելացնում ենք (F 3, F` 3) զույգով, այնուհետև ստանում ենք նոր զույգ (R 2, R` 2) M* 3 մոմենտով. M* 3 = M. * 2 + M 3 = M 1 + M 2 + M 3: Շարունակելով զույգերի մոմենտների հաջորդական գումարումը, ստացվում է վերջին ստացվող զույգը (R, R") M=M 1 +M 2 +...+M n =åM k մոմենտով (3.18): զույգերը կրճատվում են մեկ զույգի, որի մոմենտը հավասար է բոլոր զույգերի մոմենտների գումարին։ Այժմ հեշտ է լուծել ստատիկության երկրորդ խնդիրը, այսինքն՝ գտնել մարմնի հավասարակշռության պայմանները, որոնց վրա զույգերի համակարգը Որպեսզի զույգերի համակարգը համարժեք լինի զրոյի, այսինքն՝ կրճատվի երկու հավասարակշռված ուժի, անհրաժեշտ է և բավական է, որ ստացված զույգի մոմենտը հավասար լինի զրոյի: Այնուհետև (3.18) բանաձևից ստանում ենք. վեկտորային ձևով հետևյալ հավասարակշռության պայմանը՝ M 1 + M 2 + M 3 + ... + M n = 0. (3.19).

Կոորդինատների առանցքների վրա կանխատեսումների դեպքում (3.19) հավասարումը տալիս է երեք սկալյար հավասարումներ: Հավասարակշռության պայմանը (3.19) պարզեցվում է, երբ բոլոր զույգերը գտնվում են նույն հարթության մեջ: Այս դեպքում բոլոր մոմենտները ուղղահայաց են այս հարթությանը, և հետևաբար բավական է (3.19) հավասարումը նախագծել միայն մեկ առանցքի վրա, օրինակ՝ զույգերի հարթությանը ուղղահայաց առանցքը։ Թող սա լինի z առանցքը (նկ. 3.12): Այնուհետեւ (3.19) հավասարումից ստանում ենք՝ М 1Z + М 2Z +...+ М nZ =0. Պարզ է, որ M Z = M, եթե զույգի պտույտը տեսանելի է z առանցքի դրական ուղղությամբ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, իսկ M Z = –M պտույտի հակառակ ուղղությամբ: Այս երկու դեպքերն էլ ներկայացված են Նկ. 3.12.

Զուգահեռ ուժի փոխանցման լեմմա

Եկեք ապացուցենք լեմման:Կոշտ մարմնի ցանկացած կետում կիրառվող ուժը համարժեք է այս մարմնի ցանկացած այլ կետում կիրառվող նույն ուժին, և ուժի զույգը, որի մոմենտը հավասար է տվյալ ուժի պահին նոր կիրառման կետի նկատմամբ:Կոշտ մարմնի A կետում թող կիրառվի F ուժ (նկ. 4.1): Այժմ մարմնի B կետում կիրառենք երկու ուժերի F" և F2- համակարգ, որոնք համարժեք են զրոյի, և ընտրենք F"=F (հետևաբար F"=–F): Այնուհետև F~(F, F" ուժը: , F"), քանի որ (F,F")~0: Բայց, մյուս կողմից, ուժերի համակարգը (F, F, F") համարժեք է F» ուժին և ուժերի զույգին (F): , F"); հետևաբար, F ուժը համարժեք է F" ուժին և ուժերի զույգին (F, F"): Զույգի պահը (F, F") հավասար է M=M(F,F"): )=BAxF, այսինքն հավասար է F ուժի պահին B կետի նկատմամբ M=M B (F): Այսպիսով, ուժի զուգահեռ փոխանցման լեմման ապացուցված է:

Ստատիկության հիմնարար թեորեմ

Թող տրվի ուժերի կամայական համակարգ (F 1, F 2,..., F n): Այս ուժերի գումարը F=åF k կոչվում է ուժային համակարգի հիմնական վեկտոր։ Ցանկացած բևեռի նկատմամբ ուժերի մոմենտների գումարը կոչվում է այս բևեռի նկատմամբ դիտարկվող ուժերի համակարգի հիմնական մոմենտ:

Ստատիկության հիմնարար թեորեմ (Պուանսոյի թեորեմ ):Ընդհանուր դեպքում, ուժերի ցանկացած տարածական համակարգ կարող է փոխարինվել համարժեք համակարգով, որը բաղկացած է մեկ ուժից, որը կիրառվում է մարմնի ինչ-որ կետում (կրճատման կենտրոն) և հավասար է այս ուժերի համակարգի հիմնական վեկտորին և մեկ զույգ ուժերի: , որի պահը հավասար է ընտրված ադուկցիոն կենտրոնի նկատմամբ բոլոր ուժերի հիմնական պահին։Թող O լինի կրճատման կենտրոնը, որը վերցված է որպես կոորդինատների սկզբնաղբյուր, r 1 , r 2 , r 3 , ..., r n - F 1 , F 2 , F 3 , ուժերի կիրառման կետերի համապատասխան շառավղային վեկտորները, ..., F n, այս համակարգի ուժերը կազմող (նկ. 4.2, ա): Եկեք F 1, F a, F 3, ..., F n ուժերը տեղափոխենք O կետ: Այս ուժերը գումարենք որպես համընկնող; ստանում ենք մեկ ուժ՝ F o =F 1 +F 2 +…+F n =åF k, որը հավասար է հիմնական վեկտորին (նկ. 4.2, բ): Բայց F 1, F 2,..., F n ուժերի հաջորդական փոխանցումով O կետին, ամեն անգամ մենք ստանում ենք համապատասխան զույգ ուժեր (F 1, F” 1), (F 2, F” 2), ...,( F n, F" n): Այս զույգերի մոմենտները համապատասխանաբար հավասար են այս ուժերի մոմենտին O կետի նկատմամբ. M 1 = M (F 1, F" 1) = r 1 x F 1: = M o (F 1), M 2 = M (F 2 , F” 2) = r 2 x F 2 =M o (F 2), ..., M n =M(F n, F" n) =r n x F n =M o (F n): Ելնելով զույգերի համակարգը ամենապարզ ձևին իջեցնելու կանոնից՝ այս բոլոր զույգերը կարող են փոխարինվել մեկ զույգով։ Նրա մոմենտը հավասար է համակարգի բոլոր ուժերի մոմենտների գումարին O կետի նկատմամբ, այսինքն հավասար է հիմնական մոմենտին, քանի որ ըստ (3.18) և (4.1) բանաձևերի ունենք (նկ. 4.2, գ) M 0 = M 1 + M 2 +.. .+M n =M o (F 1)+M o (F 2)+…+ M o (F n)==åM o (F k)=år k x F կ . Ուժերի համակարգը, որը կամայականորեն տեղակայված է տարածության մեջ, կարող է փոխարինվել կամայականորեն ընտրված նվազեցման կենտրոնում F o =åF k (4.2) ուժով և M 0 =åM 0 (F k)=år k x մոմենտով ուժերով: Ֆ կ . (4.3). Տեխնոլոգիայում հաճախ ավելի հեշտ է նշել ոչ թե ուժ կամ զույգ, այլ նրանց պահերը։ Օրինակ, էլեկտրական շարժիչի բնութագրերը ներառում են ոչ թե ուժը, որով ստատորը գործում է ռոտորի վրա, այլ ոլորող մոմենտը:

Ուժերի տարածական համակարգի հավասարակշռության պայմանները

Թեորեմ.Ուժերի տարածական համակարգի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ այս համակարգի հիմնական վեկտորը և հիմնական մոմենտը հավասար լինեն զրոյի։ Համարժեքություն F o =0-ում O կրճատման կենտրոնում կիրառվող համընկնող ուժերի համակարգը համարժեք է զրոյի, իսկ M o =0-ում ուժային զույգերի համակարգը համարժեք է զրոյի: Հետևաբար, ուժերի սկզբնական համակարգը համարժեք է զրոյի։ Անհրաժեշտություն:Թող ուժերի այս համակարգը համարժեք լինի զրոյի: Համակարգը իջեցնելով երկու ուժի, մենք նշում ենք, որ Q և P ուժերի համակարգը (նկ. 4.4) պետք է համարժեք լինի զրոյի, հետևաբար այս երկու ուժերը պետք է ունենան գործողության ընդհանուր գիծ և Q = –P հավասարությունը պետք է լինի. գոհ. Բայց դա կարող է լինել, եթե P ուժի գործողության գիծն անցնի O կետով, այսինքն, եթե h = 0: Սա նշանակում է, որ հիմնական պահը զրո է (M o =0): Որովհետեւ Q + P = 0, a Q = F o + P ", ապա F o + P " + P = 0, և, հետևաբար, F o = 0: Անհրաժեշտ և բավարար պայմանները հավասար են ուժերի տարածական համակարգին: ձև՝ F o = 0, M o =0 (4.15),

կամ, կոորդինատային առանցքների վրա պրոյեկցիաներում, Fox=åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; F Oy =åF ky =F 1y +F 2y +...+F ny =0; F oz =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0 (4.16): M Ox =åM Ox (F k)=M Ox (F 1)+M ox (F 2)+...+M Ox (F n)=0, M Oy =åM Oy (F k)=M oy ( F 1)+M oy (F 2)+…+M oy (F n)=0, M oz =åM Oz (F k)=M Oz (F 1)+M oz (F 2)+...+ M oz (F n)=0: (4.17)

Դա. 6 մակարդակներով խնդիրներ լուծելիս կարող եք գտնել 6 անհայտ: Նշում. զույգ ուժերը չեն կարող կրճատվել մինչև արդյունք:Հատուկ դեպքեր՝ 1) Զուգահեռ ուժերի տարածական համակարգի հավասարակշռություն. Թող Z առանցքը զուգահեռ լինի ուժի գործողության գծերին (Նկար 4.6), ապա x-ի և y-ի վրա ուժերի կանխատեսումները հավասար են 0-ի (F kx = 0 և F ky = 0), և մնում է միայն F oz: . Ինչ վերաբերում է պահերին, ապա մնացել են միայն Մ օքսն ու Մ ոյը, իսկ Մ ոզը բացակայում է։ 2) Ուժերի հարթ համակարգի հավասարակշռությունը. Մնացած մակարդակներն են՝ F ox, F oy և մոմենտ M oz (Նկար 4.7): 3) Զուգահեռ ուժերի հարթ համակարգի հավասարակշռությունը. (նկ. 4.8): Մնացել է ընդամենը 2 մակարդակ՝ F oy և M oz: Հավասարակշռության մակարդակները կազմելիս ցանկացած կետ կարող է ընտրվել որպես ուրվականի կենտրոն:

Ուժերի հարթ համակարգն իր ամենապարզ ձևին հասցնելը

Դիտարկենք նույն հարթությունում տեղակայված ուժերի համակարգը (F 1, F 2,..., F n): Եկեք միավորենք Oxy կոորդինատային համակարգը ուժերի տեղակայման հարթության հետ և, ընտրելով դրա սկզբնաղբյուրը որպես կրճատման կենտրոն, դիտարկվող ուժերի համակարգը նվազեցնենք մեկ ուժի F 0 =åF k , (5.1) հավասար է հիմնական վեկտորին: , և մի զույգ ուժերի, որոնց մոմենտը հավասար է հիմնական մոմենտին M 0 =åM 0 (F k), (5.2), որտեղ M o (F k) F k ուժի պահն է կենտրոնի նկատմամբ։ կրճատում O. Քանի որ ուժերը գտնվում են մեկ հարթության մեջ, F o ուժը նույնպես գտնվում է այս հարթության մեջ: M o զույգի մոմենտը ուղղահայաց է այս հարթությանը, քանի որ զույգն ինքնին գտնվում է դիտարկվող ուժերի գործողության մեջ: Այսպիսով, ուժերի հարթ համակարգի համար հիմնական վեկտորը և հիմնական մոմենտը միշտ ուղղահայաց են միմյանց (նկ. 5.1): Պահն ամբողջությամբ բնութագրվում է M z հանրահաշվական մեծությամբ, որը հավասար է զույգի թեւի արտադրյալին զույգը կազմող ուժերից մեկի արժեքով, որը վերցված է գումարած նշանով, եթե զույգի «պտույտը-» է: տեղի է ունենում ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, իսկ մինուս նշանով, եթե այն տեղի է ունենում սլաքի ուղղությամբ: Օրինակ, տրվի երկու զույգ (F 1, F` 1) և (F 2, F` 2) (նկ. 5.2); ապա, ըստ այս սահմանման, ունենք M z (F 1,F` 1)=h 1 F 1, M Z (F 2,F" 2)=-h 2 F 2: Կետի նկատմամբ ուժի մոմենտը կլինի. լինի հանրահաշվական մեծություն, որը հավասար է մոմենտի վեկտորային ուժի նախագծմանը այս կետի նկատմամբ հարթությանը ուղղահայաց առանցքի վրա, այսինքն հավասար է ուսի ուժի մոդուլի արտադրյալին, որը վերցված է համապատասխան նշանով: Նկար 5.3, a և b, համապատասխանաբար, դա կլինի M oz (F 1) = hF 1, M oz (F 2) = –hF 2 (5.4): Z ինդեքսը (5.3) և (5.4) բանաձևերում է. պահպանվել է մոմենտների հանրահաշվական բնույթը ցույց տալու համար։Զույգի պահի և ուժի մոդուլները նշանակվում են հետևյալ կերպ՝ M(F ,F")=| М z (F,F`)|, М о (F)=|М Оz (F)|. Մենք ստանում ենք M oz =åM oz (F z): Հիմնական վեկտորը վերլուծական կերպով որոշելու համար օգտագործվում են հետևյալ բանաձևերը. F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx, F oy =åF ky =F 1y,+F 2y +…+F ny, F o =(F 2 ox +F 2 oy) 1/2 =([åF kx ] 2 +[åF ky ] 2) 1/2 (5.8); cos(x, F o)=F ox /F o, cos(y, F o)=F Oy /F o .(5.9): Իսկ հիմնական մոմենտը հավասար է М Оz =åM Oz (F k)=å(x k F ky –y k F kx), (5.10) որտեղ x k, y k ուժի կիրառման կետի կոորդինատներն են F k։

Ապացուցենք, որ եթե ուժերի հարթ համակարգի հիմնական վեկտորը հավասար չէ զրոյի, ապա ուժերի այս համակարգը համարժեք է մեկ ուժի, այսինքն՝ այն վերածվում է արդյունքի։ Թող Fo≠0, MOz ≠0 (նկ. 5.4, ա): Arc arrow Նկ. 5.4, ​​բայց խորհրդանշական կերպով պատկերում է MOz պահով զույգ: Ներկայացնենք մի զույգ ուժեր, որոնց մոմենտը հավասար է հիմնական մոմենտին, երկու ուժերի՝ F1 և F`1 տեսքով, որոնք մեծությամբ հավասար են հիմնական վեկտորին Fo-ին, այսինքն՝ F1=F`1 =Fo: Այս դեպքում մենք զույգը կազմող ուժերից մեկը (F`1) կկիրառենք դեպի կրճատման կենտրոն և կուղղենք այն Fo ուժի ուղղությանը հակառակ ուղղությամբ (նկ. 5.4, բ): Այնուհետև Fo և F`1 ուժերի համակարգը համարժեք է զրոյի և կարող է անտեսվել: Ուստի ուժերի տվյալ համակարգը համարժեք է միակ ուժը F1-ը կիրառվել է 01 կետի վրա; այս ուժը արդյունքն է: Արդյունքը կնշանակենք R տառով, այսինքն. F1=R. Ակնհայտորեն, h հեռավորությունը O-ի նախորդ կրճատման կենտրոնից մինչև արդյունքի գործողության գիծը կարելի է գտնել |MOz|=hF1 =hFo պայմանից, այսինքն. h=|MOz|/Fo. h հեռավորությունը պետք է մի կողմ դնել O կետից, որպեսզի ուժերի զույգի մոմենտը (F1, F`1) համընկնի MOz հիմնական մոմենտի հետ (նկ. 5.4, բ): Ուժերի համակարգը տվյալ կենտրոն բերելու արդյունքում կարող են առաջանալ հետևյալ դեպքերը՝ (1) Fo≠0, MOz≠0 Այս դեպքում ուժերի համակարգը կարող է կրճատվել մինչև մեկ ուժ (արդյունք), ինչպես ցույց է տրված Նկ. 5.4, ​​գ (2) Fo≠0, MOz=0: Այս դեպքում ուժերի համակարգը կրճատվում է մինչև մեկ ուժ (արդյունք), որն անցնում է կրճատման տվյալ կենտրոնով։ (3) Fo=0, MOz≠0: Այս դեպքում ուժերի համակարգը համարժեք է մեկ զույգ ուժերի: (4) Fo=0, MOz=0: Այս դեպքում դիտարկվող ուժերի համակարգը համարժեք է զրոյի, այսինքն՝ համակարգը կազմող ուժերը փոխադարձաբար հավասարակշռված են։

Վարինյոնի թեորեմը

Վարինյոնի թեորեմը. Եթե ​​դիտարկվող ուժերի հարթ համակարգը վերածվում է արդյունքի, ապա այս արդյունքի մոմենտը ցանկացած կետի նկատմամբ հավասար է տվյալ համակարգի բոլոր ուժերի մոմենտների հանրահաշվական գումարին այդ նույն կետի նկատմամբ։Ենթադրենք, որ ուժերի համակարգը կրճատվում է O կետով անցնող R-ի արդյունքում: Այժմ վերցնենք մեկ այլ O 1 կետ որպես կրճատման կենտրոն: Այս կետի հիմնական մոմենտը (5.5) հավասար է բոլոր ուժերի մոմենտների գումարին. M O1Z =åM o1z (F k) (5.11): Մյուս կողմից, մենք ունենք M O1Z =M Olz (R), (5.12), քանի որ O նվազեցման կենտրոնի հիմնական պահը հավասար է զրոյի (M Oz =0): Համեմատելով հարաբերությունները (5.11) և (5.12), մենք ստանում ենք M O1z (R)=åM OlZ (F k); (5.13) և այլն: Օգտագործելով Վարինյոնի թեորեմը, կարելի է գտնել արդյունքի գործողության գծի հավասարումը։ Թող ստացված R 1-ը կիրառվի O 1 ինչ-որ կետում x և y կոորդինատներով (նկ. 5.5) և թող սկզբնաղբյուրում կրճատման կենտրոնում հայտնի լինեն հիմնական վեկտորը F o և հիմնական մոմենտը M O: Քանի որ R 1 =F o, x և y առանցքների երկայնքով արդյունքի բաղադրիչները հավասար են R lx =F Ox =F Ox i և R ly =F Oy =F oy j: Վարինյոնի թեորեմի համաձայն՝ սկզբնաղբյուրին հարաբերական արդյունքի մոմենտը հավասար է սկզբնակետում կրճատման կենտրոնում գտնվող հիմնական մոմենտին, այսինքն՝ Моz =M Oz (R 1)=xF Oy –yF Ox։ (5.14). M Oz, F Ox և Foy մեծությունները չեն փոխվում, երբ արդյունքի կիրառման կետը շարժվում է իր գործողության գծով, հետևաբար, x և y կոորդինատները (5.14) կարող են դիտվել որպես գծի ընթացիկ կոորդինատներ: արդյունքի գործողության. Այսպիսով, հավասարումը (5.14) արդյունքի գործողության գծի հավասարումն է: Երբ F ox ≠0 այն կարող է վերագրվել որպես y=(F oy /F ox)x–(M oz /F ox):

Ուժերի հարթ համակարգի հավասարակշռության պայմանները

Ուժերի համակարգի հավասարակշռության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը հիմնական վեկտորի և հիմնական պահի հավասարությունն է զրոյի: Ուժերի հարթ համակարգի համար այս պայմանները ստանում են F o =åF k =0, M Oz =åM oz (F k)=0, (5.15), որտեղ O-ն ուժերի գործողության հարթության կամայական կետ է: . Ստանում ենք՝ F ox =åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0, P ox =åF ky =F 1y +F 2y +…+F ny =0, М Оz =åM Oz (F k) = M oz (F 1) + M oz (F 2) +… + M oz (F n) = 0, այսինքն. Ուժերի հարթ համակարգի հավասարակշռության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ բոլոր ուժերի կանխատեսումների հանրահաշվական գումարները երկու կոորդինատային առանցքների վրա և կամայական կետի նկատմամբ բոլոր ուժերի մոմենտների հանրահաշվական գումարը հավասար լինեն զրոյի: Հավասարակշռության հավասարման երկրորդ ձևը բոլոր ուժերի մոմենտների հանրահաշվական գումարների հավասարությունն է զրոյին միևնույն ուղիղ գծի վրա չգտնվող ցանկացած երեք կետերի նկատմամբ։; åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, åM Cz (F k)=0, (5.17), որտեղ A, B և C նշված կետերն են։ Այս հավասարությունների կատարման անհրաժեշտությունը բխում է պայմաններից (5.15): Եկեք ապացուցենք դրանց բավարար լինելը։ Ենթադրենք, որ բոլոր հավասարումները (5.17) բավարարված են։ Հիմնական մոմենտի հավասարությունը զրոյին A կետում կրճատման կենտրոնում հնարավոր է կամ եթե համակարգը կրճատվի մինչև արդյունքը (R≠0), և նրա գործողության գիծն անցնի A կետով, կամ R=0; Նմանապես, B և C կետերի նկատմամբ հիմնական պահի հավասարությունը զրոյին նշանակում է, որ կամ R≠0 և արդյունքն անցնում են երկու կետերով, կամ R=0: Բայց արդյունքը չի կարող անցնել այս երեք A, B և C կետերով (ըստ պայմանի, նրանք չեն ընկած նույն ուղիղ գծի վրա): Հետևաբար, հավասարությունները (5.17) հնարավոր են միայն այն դեպքում, երբ R = 0, այսինքն՝ ուժերի համակարգը հավասարակշռության մեջ է: Նկատի ունեցեք, որ եթե A, B և C կետերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա, ապա պայմանների կատարումը (5.17) բավարար պայման չի լինի հավասարակշռության համար. այս դեպքում համակարգը կարող է կրճատվել մինչև արդյունք, որի գործողության գիծն անցնում է: այս կետերի միջոցով:

Ուժերի հարթ համակարգի համար հավասարակշռության հավասարումների երրորդ ձևը

Ուժերի հարթ համակարգի հավասարակշռության հավասարումների երրորդ ձևը համակարգի բոլոր ուժերի մոմենտների հանրահաշվական գումարների հավասարությունն է զրոյին ցանկացած երկու կետի նկատմամբ և բոլորի կանխատեսումների հանրահաշվական գումարի հավասարությունը զրոյին։ համակարգի ուժերը երկու ընտրված կետերով անցնող գծին ոչ ուղղահայաց առանցքի վրա. åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, åF kx =0 (5.18) (x առանցքն ուղղահայաց չէ A B հատվածին): Ուժերի հավասարակշռության համար այս հավասարումների կատարման անհրաժեշտությունը հետևում է. անմիջապես պայմաններից (5.15): Եկեք համոզվենք, որ այս պայմանների կատարումը բավարար է ուժերի հավասարակշռության համար։ Առաջին երկու հավասարություններից, ինչպես և նախորդ դեպքում, հետևում է, որ եթե ուժերի համակարգն ունի արդյունք, ապա նրա գործողության գիծն անցնում է A և B կետերով (նկ. 5.7): Այնուհետև արդյունքի պրոյեկցիան x առանցքի վրա, որը ուղղահայաց չէ AB հատվածին, կտարբերվի զրոյից: Բայց այս հնարավորությունը բացառվում է երրորդ հավասարմամբ (5.18), քանի որ R x =åF hx): Հետևաբար, արդյունքը պետք է հավասար լինի զրոյի, և համակարգը գտնվում է հավասարակշռության մեջ: Եթե ​​x առանցքը ուղղահայաց է AB հատվածին, ապա (5.18) հավասարումները բավարար հավասարակշռության պայմաններ չեն լինի, քանի որ այս դեպքում համակարգը կարող է ունենալ արդյունք, որի գործողության գիծն անցնում է A և B կետերով: Այսպիսով, հավասարակշռության համակարգը Հավասարումները կարող են պարունակել պահերի մեկ հավասարում և կանխատեսումների երկու հավասարումներ, կամ պահերի երկու հավասարումներ և կանխատեսումների մեկ հավասարումներ կամ պահերի երեք հավասարումներ: Թող բոլոր ուժերի գործողության գծերը լինեն y առանցքին զուգահեռ (նկ. 4.8): Այնուհետև դիտարկվող զուգահեռ ուժերի համակարգի հավասարակշռության հավասարումները կլինեն åF ky =0, åM Oz (F k)=0.(5.19): åM Az (F k)=0, åM Bz (F k)=0, (5.20) և A և B կետերը չպետք է ընկնեն y առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծի վրա: Պինդ մարմնի վրա գործող ուժերի համակարգը կարող է բաղկացած լինել ինչպես կենտրոնացված (մեկուսացված) ուժերից, այնպես էլ բաշխված ուժերից: Կան ուժեր, որոնք բաշխված են գծի երկայնքով, մակերեսի վրա և մարմնի ծավալի վրա:

Մարմնի հավասարակշռությունը սահող շփման առկայության դեպքում

Եթե ​​երկու I և II մարմիններ (նկ. 6.1) փոխազդում են միմյանց հետ՝ դիպչելով A կետին, ապա միշտ R A ռեակցիան, որը գործում է, օրինակ, II մարմնից և կիրառվում է I մարմնի վրա, կարող է քայքայվել երկու բաղադրիչի՝ N A, ուղղված է ընդհանուր նորմալի երկայնքով դեպի A կետում շփվող մարմինների մակերեսին, և շոշափող հարթությունում ընկած T A-ին: N A բաղադրիչը կոչվում է նորմալ ռեակցիա, T A ուժը կոչվում է սահող շփման ուժ - այն թույլ չի տալիս I մարմնին սահել II մարմնի վրայով: Համաձայն 4-րդ աքսիոմի (Նյուտոնի երրորդ օրենք), II մարմնի վրա գործում է I մարմնին հավասար մեծության և հակառակ ուղղության ռեակցիայի ուժ։ Նրա բաղադրիչը, որը ուղղահայաց է շոշափող հարթությանը, կոչվում է նորմալ ճնշման ուժ: Շփման ուժը T A = 0, եթե շփվող մակերեսները կատարյալ հարթ են: Իրական պայմաններում մակերեսները կոշտ են, և շատ դեպքերում շփման ուժը չի կարելի անտեսել: Շփման առավելագույն ուժը մոտավորապես համաչափ է նորմալ ճնշմանը, այսինքն՝ T max =fN: (6.3) – Ամոնտոն-Կուլոնի օրենք. f գործակիցը կոչվում է սահող շփման գործակից։ Դրա արժեքը կախված չէ շփվող մակերևույթների տարածքից, այլ կախված է նյութից և շփվող մակերեսների կոշտության աստիճանից: Շփման ուժը կարող է հաշվարկվել T=fN բանաձևով միայն այն դեպքում, երբ տեղի է ունենում կրիտիկական դեպք: Այլ դեպքերում շփման ուժը պետք է որոշվի հավասարումներից: Նկարը ցույց է տալիս R ռեակցիան (այստեղ ակտիվ ուժերը հակված են մարմինը շարժելու դեպի աջ): R սահմանափակող ռեակցիայի և մակերեսին նորմալի միջև ընկած j անկյունը կոչվում է շփման անկյուն։ tgj=T max /N=f.

Բոլորի երկրաչափական տեղը հնարավոր ուղղություններըսահմանափակող ռեակցիան R-ն առաջացնում է կոնաձև մակերես՝ շփման կոն (նկ. 6.6, բ): Եթե ​​շփման f գործակիցը բոլոր ուղղություններով նույնն է, ապա շփման կոնը կլինի շրջանաձև։ Այն դեպքերում, երբ շփման գործակիցը f կախված է մարմնի հնարավոր շարժման ուղղությունից, շփման կոնը շրջանաձև չի լինի։ Եթե ​​ակտիվ ուժերի արդյունքը. գտնվում է շփման կոնի ներսում, ապա դրա մոդուլի մեծացումը չի կարող խախտել մարմնի հավասարակշռությունը. Որպեսզի մարմինը սկսի շարժվել, անհրաժեշտ է (և բավարար), որպեսզի F ակտիվ ուժերի արդյունքը լինի շփման կոնից դուրս։ Դիտարկենք ճկուն մարմինների շփումը (նկ. 6.8): Էյլերի բանաձեւն օգնում է գտնել ամենափոքր ուժը P, որը կարող է հավասարակշռել Q ուժը: P=Qe -fj*: Կարող եք նաև գտնել P ուժ, որը կարող է հաղթահարել շփման դիմադրությունը Q ուժի հետ միասին: Այս դեպքում միայն f-ի նշանը կփոխվի Էյլերի բանաձևում՝ P=Qe fj*:

Մարմնի հավասարակշռությունը պտտվող շփման առկայության դեպքում

Դիտարկենք մի գլան (գլան), որը հենվում է հորիզոնական հարթության վրա, երբ դրա վրա գործում է հորիզոնական ակտիվ ուժ S; նրանից բացի գործում է ձգողականության P ուժը, ինչպես նաև նորմալ ռեակցիան N և շփման ուժը T (նկ. 6.10, ա): Բավականաչափ փոքր ուժի մոդուլի դեպքում մխոցը մնում է հանգստի վիճակում: Բայց այս փաստը չի կարող բացատրվել, եթե մենք բավարարվենք նկ. 6.10, ա. Այս սխեմայի համաձայն, հավասարակշռությունը անհնար է, քանի որ M Cz = –Sr մխոցի վրա գործող բոլոր ուժերի հիմնական պահը զրոյական չէ, և հավասարակշռության պայմաններից մեկը բավարարված չէ: Այս անհամապատասխանության պատճառն այն է, որ մենք պատկերացնում ենք այս մարմինը բացարձակապես ամուր և ենթադրում ենք, որ մխոցի շփումը մակերեսի հետ տեղի է ունենում գեներատորի երկայնքով: Տեսության և փորձի միջև նշված անհամապատասխանությունը վերացնելու համար անհրաժեշտ է հրաժարվել բացարձակ կոշտ մարմնի վարկածից և հաշվի առնել, որ իրականում գլանն ու հարթությունը C կետի մոտ դեֆորմացված են, և կա որոշակի կոնտակտային տարածք։ լայնությունը։ Արդյունքում, իր աջ մասում մխոցը սեղմվում է ավելի ուժեղ, քան ձախում, և ամբողջական ռեակցիան R կիրառվում է C կետի աջ կողմում (տե՛ս C 1 կետը նկ. 6.10, բ): Գործող ուժերի ստացված դիագրամը ստատիկորեն բավարար է, քանի որ զույգի պահը (S, T) կարող է հավասարակշռվել զույգի պահով (N, P): Ի տարբերություն առաջին սխեմայի (նկ. 6.10, ա), մխոցին կիրառվում է M T = Nh մոմենտ ունեցող զույգ ուժեր (6.11): Այս պահը կոչվում է պտտվող շփման պահ: h=Sr/, որտեղ h-ը C-ից C 1 հեռավորությունն է: (6.13). Ակտիվ ուժի մոդուլի S մեծանալուն զուգահեռ մեծանում է հեռավորությունը h: Բայց այս հեռավորությունը կապված է շփման մակերեսի հետ և, հետևաբար, չի կարող անվերջ աճել: Սա նշանակում է, որ կգա մի վիճակ, երբ S ուժի ավելացումը կհանգեցնի անհավասարակշռության։ h-ի հնարավոր առավելագույն արժեքը նշենք d տառով։ d-ի արժեքը համաչափ է գլանի շառավղին և տարբեր է տարբեր նյութերի համար։ Հետևաբար, եթե հավասարակշռություն է առաջանում, ապա պայմանը բավարարված է. ը<=d.(6.14). d называется коэффициентом трения качения; она имеет размерность длины. Условие (6.14) можно также записать в виде М т <=dN, или, учитывая (6.12), S<=(d/r)N.(6.15). Очевидно, что максимальный момент трения качения M T max =dN пропорционален силе нормального давления.

Զուգահեռ ուժերի կենտրոն

Զուգահեռ ուժերի համակարգը արդյունք ուժին հասցնելու պայմանները կրճատվում են մինչև մեկ անհավասարություն F≠0: Ի՞նչ է պատահում ստացվող R-ին, երբ այս զուգահեռ ուժերի գործողության գծերը միաժամանակ պտտվում են նույն անկյան տակ, եթե այդ ուժերի կիրառման կետերը մնում են անփոփոխ, և ուժերի գործողության գծերի պտույտները տեղի են ունենում զուգահեռ առանցքների շուրջ: Այս պայմաններում ուժերի տվյալ համակարգի արդյունքը նույնպես միաժամանակ պտտվում է նույն անկյան միջով, և պտույտը տեղի է ունենում որոշակի ֆիքսված կետի շուրջ, որը կոչվում է զուգահեռ ուժերի կենտրոն։ Անցնենք այս պնդման ապացույցին։ Ենթադրենք, որ դիտարկվող F 1 , F 2 ,...,F n զուգահեռ ուժերի համակարգի համար հիմնական վեկտորը հավասար չէ զրոյի, հետևաբար ուժերի այս համակարգը վերածվում է արդյունքի։ Թող O 1 կետը լինի այս արդյունքի գործողության գծի ցանկացած կետ: Հիմա r-ը լինի 0 1 կետի շառավղային վեկտորը ընտրված O բևեռի նկատմամբ, a r k-ը լինի F k ուժի կիրառման կետի շառավիղը (նկ. 8.1): Վարինյոնի թեորեմի համաձայն՝ համակարգի բոլոր ուժերի մոմենտների գումարը 0 1 կետի նկատմամբ հավասար է զրոյի՝ å(r k –r)xF k =0, այսինքն. år k xF k –årxF k =år k xF k –råF k =0. Եկեք ներկայացնենք միավոր վեկտոր e, ապա F k ցանկացած ուժ կարող է ներկայացվել որպես F k =F * k e (որտեղ F * k =F h, եթե F h ուժի ուղղությունը և վեկտորը e-ը համընկնում են, և F * k = –F h, եթե F k և e-ն ուղղված են միմյանց հակառակ); åF k =eåF * k . Ստանում ենք՝ år k xF * k e–rxeåF * k =0, որտեղից [år k F * k –råF * k ]xe=0։ Վերջին հավասարությունը բավարարվում է ուժերի ցանկացած ուղղության համար (այսինքն՝ միավոր վեկտորի ուղղությունը e) միայն այն պայմանով, որ առաջին գործակիցը հավասար է զրոյի՝ år k F * k –råF * k =0: Այս հավասարումը ունի եզակի լուծում r շառավիղի վեկտորի նկատմամբ, որը որոշում է արդյունքի կիրառման կետը, որը չի փոխում իր դիրքը, երբ պտտվում են ուժերի գործողության գծերը։ Այս կետը զուգահեռ ուժերի կենտրոնն է: Նշելով r c-ի միջոցով զուգահեռ ուժերի կենտրոնի շառավղային վեկտորը՝ r c =(år k F * k)/(åF * k)=(r 1 F * 1 +r 2 F * 2 +…+r n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n): Թող x с, у с, z с – զուգահեռ ուժերի կենտրոնի կոորդինատները, a x k, y k, z k – կամայական ուժի կիրառման կետի կոորդինատները F k; ապա զուգահեռ ուժերի կենտրոնի կոորդինատները կարելի է գտնել բանաձևերից.

x c =(x k F * k)/(F * k)=(x 1 F * 1 +x 2 F * 2 +…+x n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n ), y c =(y k F * k)/(F * k)=

=(y 1 F * 1 +y 2 F * 2 +…+y n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n), z c =

=(z k F * k)/(åF * k)=(z 1 F * 1 +z 2 F * 2 +…+z n F * n)/ (F * 1 +F * 2 +…+F * n)

x k F * k , y k F * k , z k F * k արտահայտությունները կոչվում են ուժերի տվյալ համակարգի ստատիկ մոմենտներ, համապատասխանաբար yOz, xOz, xOy կոորդինատային հարթությունների նկատմամբ։ Եթե ​​կոորդինատների սկզբնաղբյուրն ընտրված է զուգահեռ ուժերի կենտրոնում, ապա x c = y c = z c = 0, իսկ ուժերի տվյալ համակարգի ստատիկ մոմենտները հավասար են զրոյի:

Ծանրության կենտրոն

Ծանրության դաշտում տեղակայված կամայական ձևի մարմինը կարելի է բաժանել տարրական ծավալների՝ կոորդինատային հարթություններին զուգահեռ հատվածներով (նկ. 8.2): Եթե ​​անտեսենք մարմնի չափերը՝ համեմատած Երկրի շառավիղի հետ, ապա յուրաքանչյուր տարրական ծավալի վրա ազդող գրավիտացիոն ուժերը կարելի է զուգահեռ համարել միմյանց։ DV k-ով նշանակենք M k կետում կենտրոն ունեցող տարրական զուգահեռանիպի ծավալը (տես նկ. 8.2), իսկ այս տարրի վրա ազդող ծանրության ուժը DP k-ով: Այնուհետև ծավալային տարրի միջին տեսակարար կշիռը կոչվում է DP k /DV k հարաբերակցություն: Կծկելով զուգահեռականը M k կետին՝ մենք ստանում ենք մարմնի տվյալ կետի տեսակարար կշիռը՝ որպես միջին տեսակարար կշռի սահման g(x k, y k, z k)=lim DVk®0 (8.10): Այսպիսով, տեսակարար կշիռը կոորդինատների ֆունկցիա է, այսինքն. g=g(x, y, z): Կենթադրենք, որ մարմնի երկրաչափական բնութագրերին զուգահեռ տրված է նաև մարմնի յուրաքանչյուր կետի տեսակարար կշիռը։ Եկեք վերադառնանք մարմինը տարրական ծավալների բաժանելուն։ Եթե ​​բացառենք այդ տարրերի ծավալները, որոնք սահմանակից են մարմնի մակերեսին, ապա կարող ենք ստանալ աստիճանական մարմին, որը բաղկացած է զուգահեռականների մի շարքից։ Եկեք կիրառենք ծանրության ուժը յուրաքանչյուր զուգահեռատիպ DP k =g k DV k կենտրոնի վրա, որտեղ g h-ը մարմնի հատուկ կշիռն է, որը համընկնում է զուգահեռանի կենտրոնի հետ: Այս ձևով ձևավորված n ձգողության զուգահեռ ուժերի համակարգի համար կարելի է գտնել զուգահեռ ուժերի կենտրոնը r (n) =(år k DP k)/(åDP k)= (r 1 DP 1 +r 2 DP 2 + …+r n DP n) / (DP 1 +DP 2 +…+DP n): Այս բանաձևը որոշում է C n որոշակի կետի դիրքը: Ծանրության կենտրոնը այն կետն է, որը սահմանային կետն է C n կետերի համար n®µ-ում:

Ստատիկատեսական մեխանիկայի մի ճյուղ է, որտեղ ուսումնասիրվում են նյութական մարմինների հավասարակշռության պայմանները ուժերի ազդեցության տակ։

Ստատիկայում հավասարակշռության վիճակը հասկացվում է որպես վիճակ, երբ մեխանիկական համակարգի բոլոր մասերը գտնվում են հանգստի վիճակում (համեմատած ֆիքսված կոորդինատային համակարգի հետ): Թեև ստատիկ մեթոդները կիրառելի են նաև շարժվող մարմինների համար, և դրանց օգնությամբ հնարավոր է ուսումնասիրել դինամիկայի խնդիրները, ստատիկի ուսումնասիրության հիմնական առարկաներն են անշարժ մեխանիկական մարմիններն ու համակարգերը։

Ուժմի մարմնի ազդեցության չափանիշ է մյուսի վրա: Ուժը վեկտոր է, որն ունի կիրառման կետ մարմնի մակերեսին: Ուժի ազդեցությամբ ազատ մարմինը ստանում է ուժի վեկտորին համաչափ և մարմնի զանգվածին հակադարձ համեմատական ​​արագացում։

Գործողության և ռեակցիայի հավասարության օրենքը

Այն ուժը, որով առաջին մարմինը գործում է երկրորդի վրա, բացարձակ արժեքով հավասար է և հակառակ այն ուժին, որով երկրորդ մարմինը գործում է առաջինի վրա։

Կարծրացման սկզբունքը

Եթե ​​դեֆորմացվող մարմինը գտնվում է հավասարակշռության մեջ, ապա նրա հավասարակշռությունը չի խախտվի, եթե մարմինը համարվում է բացարձակ պինդ։

Նյութական կետի ստատիկա

Դիտարկենք մի նյութական կետ, որը գտնվում է հավասարակշռության մեջ: Եվ թող n ուժեր գործեն դրա վրա, k = 1, 2, ..., n.

Եթե ​​նյութական կետը գտնվում է հավասարակշռության մեջ, ապա դրա վրա ազդող ուժերի վեկտորային գումարը հավասար է զրոյի.
(1) .

Հավասարակշռության դեպքում կետի վրա ազդող ուժերի երկրաչափական գումարը զրո է։

Երկրաչափական մեկնաբանություն. Եթե ​​երկրորդ վեկտորի սկիզբը տեղադրեք առաջին վեկտորի վերջում, իսկ երրորդի սկիզբը տեղադրեք երկրորդ վեկտորի վերջում, ապա շարունակեք այս գործընթացը, ապա վերջին՝ n-րդ վեկտորի վերջը կհավասարեցվի։ առաջին վեկտորի սկզբի հետ: Այսինքն՝ ստանում ենք փակ երկրաչափական պատկեր, կողմերի երկարությունները հավասար են վեկտորների մոդուլներին։ Եթե ​​բոլոր վեկտորները գտնվում են նույն հարթության վրա, ապա մենք ստանում ենք փակ բազմանկյուն:

Հաճախ հարմար է ընտրել ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգՕքսիզ. Այնուհետև կոորդինատային առանցքների վրա բոլոր ուժային վեկտորների կանխատեսումների գումարները հավասար են զրոյի.

Եթե ​​ընտրում եք որևէ ուղղություն, որը նշված է որևէ վեկտորի կողմից, ապա այս ուղղությամբ ուժի վեկտորների կանխատեսումների գումարը հավասար է զրոյի.
.
Եկեք (1) հավասարումը սկալյար կերպով բազմապատկենք վեկտորով.
.
Ահա վեկտորների սկալյար արտադրյալը և .
Նշենք, որ վեկտորի պրոյեկցիան վեկտորի ուղղությամբ որոշվում է բանաձևով.
.

Կոշտ մարմնի ստատիկա

Ուժի պահը մի կետի շուրջ

Ուժի պահի որոշում

Մի պահ ուժ, որը կիրառվում է մարմնի վրա A կետում, O ֆիքսված կենտրոնի նկատմամբ, կոչվում է վեկտոր, որը հավասար է վեկտորների վեկտորային արտադրյալին և.
(2) .

Երկրաչափական մեկնաբանություն

Ուժի պահը հավասար է F ուժի և OH թևի արտադրյալին։

Թող վեկտորները և գտնվեն գծագրության հարթությունում: Ըստ վեկտորի արտադրյալի հատկության՝ վեկտորը ուղղահայաց է վեկտորներին, այսինքն՝ ուղղահայաց գծագրի հարթությանը։ Դրա ուղղությունը որոշվում է ճիշտ պտուտակային կանոնով: Նկարում ոլորող մոմենտով վեկտորն ուղղված է դեպի մեզ։ Բացարձակ ոլորող մոմենտ արժեքը.
.
Այդ ժամանակվանից
(3) .

Օգտագործելով երկրաչափությունը՝ մենք կարող ենք ուժի պահի այլ մեկնաբանություն տալ։ Դա անելու համար գծեք ուղիղ գիծ AH ուժի վեկտորի միջով: O կենտրոնից մենք իջեցնում ենք ուղղահայաց OH-ը այս ուղիղ գծին: Այս ուղղահայաց երկարությունը կոչվում է ուժի ուս. Հետո
(4) .
Քանի որ , ուրեմն (3) և (4) բանաձևերը համարժեք են։

Այսպիսով, ուժի պահի բացարձակ արժեքը O կենտրոնի նկատմամբ հավասար է ուժի արդյունք մեկ ուսի վրաայս ուժը ընտրված O կենտրոնի նկատմամբ:

Մոմենտը հաշվարկելիս հաճախ հարմար է ուժը տարրալուծել երկու բաղադրիչի.
,
Որտեղ. Ուժն անցնում է O կետով։ Հետևաբար նրա պահը զրո է։ Հետո
.
Բացարձակ ոլորող մոմենտ արժեքը.
.

Պոմենտի բաղադրիչները ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում

Եթե ​​ընտրենք Oxyz ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, որի կենտրոնը գտնվում է O կետում, ապա ուժի մոմենտը կունենա հետևյալ բաղադրիչները.
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Ահա ընտրված կոորդինատային համակարգում A կետի կոորդինատները.
.
Բաղադրիչները համապատասխանաբար ներկայացնում են առանցքների շուրջ ուժի պահի արժեքները:

Կենտրոնի նկատմամբ ուժի պահի հատկությունները

O կենտրոնի մասին պահը այս կենտրոնով անցնող ուժի շնորհիվ հավասար է զրոյի։

Եթե ​​ուժի կիրառման կետը շարժվում է ուժի վեկտորով անցնող գծի երկայնքով, ապա նման շարժման պահը չի փոխվի։

Մարմնի մեկ կետի վրա կիրառվող ուժերի վեկտորային գումարի պահը հավասար է նույն կետի վրա կիրառվող ուժերից յուրաքանչյուրի մոմենտների վեկտորային գումարին.
.

Նույնը վերաբերում է այն ուժերին, որոնց շարունակական գծերը հատվում են մի կետում։

Եթե ​​ուժերի վեկտորային գումարը զրո է.
,
ապա այս ուժերի պահերի գումարը կախված չէ այն կենտրոնի դիրքից, որի նկատմամբ հաշվարկվում են մոմենտները.
.

Զույգ ուժեր

Զույգ ուժեր- սրանք երկու ուժեր են, որոնք հավասար են բացարձակ մեծությամբ և ունեն հակառակ ուղղություններ, որոնք կիրառվում են մարմնի տարբեր կետերի վրա:

Զույգ ուժերին բնորոշ է ստեղծման պահը։ Քանի որ զույգ մտնող ուժերի վեկտորային գումարը զրո է, զույգի ստեղծած մոմենտը կախված չէ այն կետից, որին հաշվվում է մոմենտը։ Ստատիկ հավասարակշռության տեսանկյունից զույգում ներգրավված ուժերի բնույթը նշանակություն չունի։ Օգտագործվում է մի քանի ուժ՝ ցույց տալու համար, որ մարմնի վրա գործում է որոշակի արժեքի ուժի պահ։

Տրված առանցքի շուրջ ուժի պահը

Հաճախ լինում են դեպքեր, երբ մեզ անհրաժեշտ է ոչ թե իմանալ ընտրված կետի վերաբերյալ ուժի մոմենտի բոլոր բաղադրիչները, այլ պետք է իմանալ միայն ընտրված առանցքի շուրջ ուժի պահը:

O կետով անցնող առանցքի շուրջ ուժի մոմենտը O կետի նկատմամբ ուժի պահի վեկտորի պրոյեկցիան է առանցքի ուղղությամբ:

Առանցքի շուրջ ուժի պահի հատկությունները

Այս առանցքի միջով անցնող ուժի շնորհիվ առանցքի շուրջ պահը հավասար է զրոյի:

Այս առանցքին զուգահեռ ուժի ազդեցությամբ առանցքի շուրջ պահը հավասար է զրոյի:

Առանցքի շուրջ ուժի պահի հաշվարկ

Ա կետում մարմնի վրա թող ուժ գործի: Գտնենք այս ուժի պահը O'O' առանցքի նկատմամբ:

Կառուցենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ։ Թող Օզի առանցքը համընկնի O'O′′-ի հետ: A կետից ուղղահայաց OH-ն իջեցնում ենք O′O′′-ի: O և A կետերով գծում ենք Ox առանցքը: Մենք գծում ենք Oy առանցքը Ox-ին և Oz-ին ուղղահայաց: Եկեք բաժանենք ուժը բաղադրիչների կոորդինատային համակարգի առանցքների երկայնքով.
.
Ուժը հատում է O'O' առանցքը: Հետևաբար նրա պահը զրո է։ Ուժը զուգահեռ է O'O' առանցքին: Հետեւաբար, նրա պահը նույնպես զրո է։ Օգտագործելով բանաձևը (5.3) մենք գտնում ենք.
.

Նկատի ունեցեք, որ բաղադրիչը շոշափելիորեն ուղղված է շրջանագծին, որի կենտրոնը O կետն է: Վեկտորի ուղղությունը որոշվում է ճիշտ պտուտակային կանոնով:

Կոշտ մարմնի հավասարակշռության պայմանները

Հավասարակշռության դեպքում մարմնի վրա ազդող բոլոր ուժերի վեկտորային գումարը հավասար է զրոյի, իսկ կամայական ֆիքսված կենտրոնի նկատմամբ այդ ուժերի մոմենտների վեկտորային գումարը հավասար է զրոյի.
(6.1) ;
(6.2) .

Մենք շեշտում ենք, որ O կենտրոնը, որի նկատմամբ հաշվարկվում են ուժերի պահերը, կարող է կամայականորեն ընտրվել: O կետը կարող է կամ պատկանել մարմնին, կամ գտնվել դրանից դուրս: Սովորաբար O կենտրոնն ընտրվում է հաշվարկներն ավելի պարզեցնելու համար։

Հավասարակշռության պայմանները կարելի է ձևակերպել այլ կերպ.

Հավասարակշռության դեպքում կամայական վեկտորով սահմանված ցանկացած ուղղության վրա ուժերի կանխատեսումների գումարը հավասար է զրոյի.
.
O'O' կամայական առանցքի նկատմամբ ուժերի մոմենտների գումարը նույնպես հավասար է զրոյի.
.

Երբեմն նման պայմաններն ավելի հարմար են ստացվում։ Լինում են դեպքեր, երբ առանցքներ ընտրելով, կարելի է ավելի պարզեցնել հաշվարկները։

Մարմնի ծանրության կենտրոն

Դիտարկենք ամենակարեւոր ուժերից մեկը՝ ձգողականությունը։ Այստեղ ուժերը չեն կիրառվում մարմնի որոշակի կետերում, այլ շարունակաբար բաշխվում են նրա ծավալով։ Անսահման փոքր ծավալ ունեցող մարմնի յուրաքանչյուր հատվածի համար ΔV, գործում է ձգողության ուժը։ Այստեղ ρ-ը մարմնի նյութի խտությունն է և ձգողականության արագացումն է։

Թող լինի մարմնի անսահման փոքր մասի զանգվածը: Եվ թող A k կետը որոշի այս հատվածի դիրքը: Եկեք գտնենք ծանրության հետ կապված մեծությունները, որոնք ներառված են հավասարակշռության հավասարումների մեջ (6):

Եկեք գտնենք մարմնի բոլոր մասերի կողմից ձևավորված ձգողականության ուժերի գումարը.
,
որտեղ է մարմնի զանգվածը. Այսպիսով, մարմնի առանձին անվերջ փոքր մասերի գրավիտացիոն ուժերի գումարը կարող է փոխարինվել ամբողջ մարմնի գրավիտացիոն ուժի մեկ վեկտորով.
.

Եկեք գտնենք ծանրության պահերի գումարը համեմատաբար կամայական եղանակով ընտրված O կենտրոնի համար.

.
Այստեղ մենք ներկայացրել ենք Գ կետը, որը կոչվում է ծանրության կենտրոնմարմիններ. Ծանրության կենտրոնի դիրքը կոորդինատային համակարգում, որը կենտրոնացած է O կետում, որոշվում է բանաձևով.
(7) .

Այսպիսով, ստատիկ հավասարակշռությունը որոշելիս մարմնի առանձին մասերի ձգողականության ուժերի գումարը կարող է փոխարինվել արդյունքով.
,
կիրառվում է C մարմնի զանգվածի կենտրոնի վրա, որի դիրքը որոշվում է (7) բանաձևով։

Տարբեր երկրաչափական պատկերների ծանրության կենտրոնի դիրքը կարելի է գտնել համապատասխան տեղեկատու գրքերում: Եթե ​​մարմինն ունի սիմետրիայի առանցք կամ հարթություն, ապա ծանրության կենտրոնը գտնվում է այս առանցքի կամ հարթության վրա։ Այսպիսով, գնդի, շրջանի կամ շրջանագծի ծանրության կենտրոնները գտնվում են այդ պատկերների շրջանակների կենտրոններում: Ուղղանկյուն զուգահեռականի, ուղղանկյունի կամ քառակուսու ծանրության կենտրոնները գտնվում են նաև դրանց կենտրոններում՝ անկյունագծերի հատման կետերում:

Միատեսակ (A) և գծային (B) բաշխված բեռը:

Կան նաև ձգողականության նման դեպքեր, երբ ուժերը չեն կիրառվում մարմնի որոշ կետերում, այլ անընդհատ բաշխվում են նրա մակերեսի կամ ծավալի վրա։ Նման ուժերը կոչվում են բաշխված ուժերկամ .

(Նկար Ա): Նաև, ինչպես ծանրության դեպքում, այն կարող է փոխարինվել գծապատկերի ծանրության կենտրոնում կիրառվող մեծության ուժով: Քանի որ նկար Ա-ի գծապատկերը ուղղանկյուն է, գծապատկերի ծանրության կենտրոնը գտնվում է նրա կենտրոնում՝ C կետում. | AC| = | ԿԲ|.

(Նկար Բ): Այն կարող է փոխարինվել նաև արդյունքով: Արդյունքների մեծությունը հավասար է դիագրամի մակերեսին.
.
Կիրառման կետը գտնվում է դիագրամի ծանրության կենտրոնում: Եռանկյան ծանրության կենտրոնը՝ h բարձրությունը, գտնվում է հիմքից հեռավորության վրա։ Ահա թե ինչու .

Շփման ուժեր

Լոգարիթմական շփում. Թող մարմինը լինի հարթ մակերեսի վրա: Եվ թող լինի այն մակերևույթին ուղղահայաց ուժը, որով մակերեսը գործում է մարմնի վրա (ճնշման ուժ): Այնուհետև սահող շփման ուժը զուգահեռ է մակերեսին և ուղղված է դեպի կողմը՝ կանխելով մարմնի շարժումը։ Նրա ամենամեծ արժեքն է.
,
որտեղ f-ը շփման գործակիցն է: Շփման գործակիցը չափազուրկ մեծություն է։

Գլանվածքի շփում. Թող կլոր ձևով մարմինը գլորվի կամ կարողանա գլորվել մակերեսի վրա: Եվ թող լինի ճնշման ուժը ուղղահայաց մակերեսին, որից մակերեսը գործում է մարմնի վրա: Այնուհետև մարմնի վրա՝ մակերեսի հետ շփման կետում, գործում է շփման ուժերի մի ակնթարթ՝ կանխելով մարմնի շարժումը։ Շփման պահի ամենամեծ արժեքը հավասար է.
,
որտեղ δ-ը պտտվող շփման գործակիցն է: Այն ունի երկարության չափ:

Հղումներ:
S. M. Targ, Տեսական մեխանիկայի կարճ դասընթաց, «Բարձրագույն դպրոց», 2010 թ.

Ցանկացած ուսումնական դասընթացի շրջանակներում ֆիզիկայի ուսումնասիրությունը սկսվում է մեխանիկայից: Ոչ թե տեսական, ոչ կիրառական կամ հաշվողական, այլ լավ հին դասական մեխանիկայից: Այս մեխանիկան կոչվում է նաև Նյուտոնյան մեխանիկա։ Ըստ լեգենդի՝ մի գիտնական զբոսնում էր այգում և տեսավ, թե ինչպես է ընկնում խնձորը, և հենց այս երեւույթն է դրդել նրան բացահայտել համընդհանուր ձգողության օրենքը։ Իհարկե, օրենքը միշտ եղել է, և Նյուտոնը դրան միայն մարդկանց համար հասկանալի ձև է տվել, բայց նրա վաստակը անգին է։ Այս հոդվածում մենք հնարավորինս մանրամասն չենք նկարագրի նյուտոնյան մեխանիկայի օրենքները, այլ կներկայացնենք հիմունքները, հիմնական գիտելիքները, սահմանումները և բանաձևերը, որոնք միշտ կարող են ձեր ձեռքերում լինել:

Մեխանիկան ֆիզիկայի ճյուղ է, գիտություն, որն ուսումնասիրում է նյութական մարմինների շարժումը և նրանց միջև փոխազդեցությունները։

Բառն ինքնին հունական ծագում ունի և թարգմանվում է որպես «մեքենաներ կառուցելու արվեստ»։ Բայց նախքան մեքենաներ կառուցելը, մենք դեռ նման ենք Լուսնին, ուստի եկեք հետևենք մեր նախնիների հետքերով և ուսումնասիրենք հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ նետված քարերի և h բարձրությունից մեր գլխին ընկնող խնձորների շարժումը:

Ինչու՞ է ֆիզիկայի ուսումնասիրությունը սկսվում մեխանիկայից: Քանի որ սա լիովին բնական է, չպե՞տք է սկսենք թերմոդինամիկական հավասարակշռությունից:

Մեխանիկա ամենահին գիտություններից մեկն է, և պատմականորեն ֆիզիկայի ուսումնասիրությունը սկսվել է հենց մեխանիկայի հիմքերից: Ժամանակի ու տարածության շրջանակներում տեղավորվելով՝ մարդիկ, ըստ էության, չէին կարող սկսել այլ բանից, որքան էլ ցանկանային։ Շարժվող մարմիններն առաջին բանն են, որին մենք ուշադրություն ենք դարձնում:

Ի՞նչ է շարժումը:

Մեխանիկական շարժումը ժամանակի ընթացքում տարածության մեջ մարմինների դիրքի փոփոխությունն է միմյանց նկատմամբ:

Այս սահմանումից հետո է, որ մենք միանգամայն բնականաբար գալիս ենք հղման շրջանակ հասկացությանը: Տարածության մեջ մարմինների դիրքի փոփոխություն միմյանց նկատմամբ:Բանալի բառեր այստեղ. միմյանց նկատմամբ հարաբերական . Ի վերջո, մեքենայում գտնվող ուղևորը շարժվում է ճանապարհի եզրին կանգնած անձի համեմատ որոշակի արագությամբ և հանգստանում է իր հարևանի համեմատ՝ կողքի նստատեղին, և շարժվում է ուղևորի համեմատ այլ արագությամբ: մեքենայում, որը շրջանցում է նրանց։

Այդ իսկ պատճառով շարժվող առարկաների պարամետրերը նորմալ չափելու և չշփոթվելու համար մեզ անհրաժեշտ է հղման համակարգ - կոշտ փոխկապակցված տեղեկատու մարմին, կոորդինատային համակարգ և ժամացույց: Օրինակ՝ Երկիրը շարժվում է Արեգակի շուրջը հելիոկենտրոն հղման համակարգով։ Առօրյա կյանքում մենք մեր գրեթե բոլոր չափումները կատարում ենք Երկրի հետ կապված գեոցենտրիկ հղման համակարգում: Երկիրը հղման մարմին է, որով շարժվում են մեքենաները, ինքնաթիռները, մարդիկ և կենդանիները:

Մեխանիկա, որպես գիտություն, իր խնդիրն ունի. Մեխանիկայի խնդիրն է ցանկացած պահի իմանալ մարմնի դիրքը տարածության մեջ: Այլ կերպ ասած, մեխանիկան կառուցում է շարժման մաթեմատիկական նկարագրությունը և կապ է գտնում այն ​​բնութագրող ֆիզիկական մեծությունների միջև։

Ավելի առաջ շարժվելու համար մեզ անհրաժեշտ է հայեցակարգ « նյութական կետ « Նրանք ասում են, որ ֆիզիկան ճշգրիտ գիտություն է, բայց ֆիզիկոսները գիտեն, թե որքան մոտավորություններ և ենթադրություններ պետք է անել, որպեսզի համաձայնության գան հենց այս ճշգրտության շուրջ։ Ոչ ոք երբեք չի տեսել նյութական կետ կամ չի զգացել իդեալական գազի հոտ, բայց դրանք գոյություն ունեն: Նրանց հետ պարզապես շատ ավելի հեշտ է ապրել:

Նյութական կետը մարմին է, որի չափն ու ձևը կարելի է անտեսել այս խնդրի համատեքստում:

Դասական մեխանիկայի բաժիններ

Մեխանիկա բաղկացած է մի քանի բաժիններից

• Կինեմատիկա
• Դինամիկա
• Ստատիկա

Կինեմատիկաֆիզիկական տեսանկյունից այն ճշգրիտ ուսումնասիրում է, թե ինչպես է մարմինը շարժվում: Այլ կերպ ասած, այս բաժինը վերաբերում է շարժման քանակական բնութագրերին: Գտեք արագություն, ճանապարհ՝ բնորոշ կինեմատիկական խնդիրներ

Դինամիկալուծում է այն հարցը, թե ինչու է այն շարժվում այնպես, ինչպես անում է: Այսինքն՝ հաշվի է առնում մարմնի վրա ազդող ուժերը։

Ստատիկաուսումնասիրում է ուժերի ազդեցությամբ մարմինների հավասարակշռությունը, այսինքն՝ պատասխանում է հարցին՝ ինչո՞ւ այն ընդհանրապես չի ընկնում։

Դասական մեխանիկայի կիրառելիության սահմանները.

Դասական մեխանիկան այլևս չի հավակնում լինել ամեն ինչ բացատրող գիտություն (նախորդ դարի սկզբին ամեն ինչ բոլորովին այլ էր), և ունի կիրառելիության հստակ շրջանակ։ Ընդհանրապես դասական մեխանիկայի օրենքները գործում են մեզ սովոր աշխարհում չափերով (մակրոաշխարհ)։ Նրանք դադարում են գործել մասնիկների աշխարհի դեպքում, երբ քվանտային մեխանիկա փոխարինում է դասական մեխանիկային։ Նաև դասական մեխանիկան կիրառելի չէ այն դեպքերի համար, երբ մարմինների շարժումը տեղի է ունենում լույսի արագությանը մոտ արագությամբ։ Նման դեպքերում ռելյատիվիստական ​​էֆեկտները դառնում են ընդգծված։ Կոպիտ ասած՝ քվանտային և հարաբերական մեխանիկայի՝ դասական մեխանիկայի շրջանակներում, սա առանձնահատուկ դեպք է, երբ մարմնի չափերը մեծ են, իսկ արագությունը՝ փոքր։ Դուք կարող եք ավելին իմանալ դրա մասին մեր հոդվածից:

Ընդհանուր առմամբ, քվանտային և հարաբերական ազդեցությունները երբեք չեն անհետանում, դրանք տեղի են ունենում նաև մակրոսկոպիկ մարմինների սովորական շարժման ժամանակ՝ լույսի արագությունից շատ ավելի ցածր արագությամբ: Մեկ այլ բան այն է, որ այդ էֆեկտների ազդեցությունն այնքան փոքր է, որ այն չի անցնում ամենաճշգրիտ չափումներից: Այսպիսով, դասական մեխանիկան երբեք չի կորցնի իր հիմնարար նշանակությունը:

Մենք կշարունակենք ուսումնասիրել մեխանիկայի ֆիզիկական հիմքերը հետագա հոդվածներում: Մեխանիկայի ավելի լավ հասկանալու համար միշտ կարող եք դիմել նրանց, որոնք անհատապես լույս կսփռեն ամենադժվար առաջադրանքի մութ կետի վրա:

Տեսական մեխանիկամեխանիկայի բաժին է, որը սահմանում է մեխանիկական շարժման և նյութական մարմինների մեխանիկական փոխազդեցության հիմնական օրենքները։

Տեսական մեխանիկան գիտություն է, որն ուսումնասիրում է ժամանակի ընթացքում մարմինների շարժումը (մեխանիկական շարժումներ)։ Այն հիմք է ծառայում մեխանիկայի այլ ճյուղերի (առաձգականության տեսություն, նյութերի ամրության տեսություն, պլաստիկության տեսություն, մեխանիզմների և մեքենաների տեսություն, հիդրոաերոդինամիկա) և բազմաթիվ տեխնիկական առարկաների համար։

Մեխանիկական շարժում- սա ժամանակի ընթացքում նյութական մարմինների տարածության հարաբերական դիրքի փոփոխություն է:

Մեխանիկական փոխազդեցություն- սա փոխազդեցություն է, որի արդյունքում փոխվում է մեխանիկական շարժումը կամ փոխվում է մարմնի մասերի հարաբերական դիրքը։

Կոշտ մարմնի ստատիկա

Ստատիկատեսական մեխանիկայի մի բաժին է, որը զբաղվում է պինդ մարմինների հավասարակշռության և ուժերի մի համակարգի փոխակերպման խնդիրներով, դրան համարժեք մյուսի։

Ստատիկի հիմնական հասկացություններն ու օրենքները
• Բացարձակ կոշտ մարմին(պինդ մարմին, մարմին) նյութական մարմին է, որի ցանկացած կետի միջև հեռավորությունը չի փոխվում։
• Նյութական կետմարմին է, որի չափերը, ըստ խնդրի պայմանների, կարող են անտեսվել։
• Ազատ մարմին- սա մի մարմին է, որի շարժման վրա սահմանափակումներ չեն դրվում։
• Անազատ (կապված) մարմինմարմին է, որի շարժումը ենթակա է սահմանափակումների.
• Միացումներ– սրանք մարմիններ են, որոնք խոչընդոտում են խնդրո առարկա առարկայի (մարմին կամ մարմինների համակարգ) շարժումը։
• Հաղորդակցման ռեակցիաուժ է, որը բնութագրում է կապի գործողությունը պինդ մարմնի վրա։ Եթե ​​ուժը, որով պինդ մարմինը գործում է կապի վրա, համարենք գործողություն, ապա կապի ռեակցիան ռեակցիա է։ Այս դեպքում միացման վրա կիրառվում է ուժ - գործողություն, իսկ պինդ մարմնի վրա՝ միացման ռեակցիան։
• Մեխանիկական համակարգփոխկապակցված մարմինների կամ նյութական կետերի հավաքածու է։
• Պինդկարելի է համարել մեխանիկական համակարգ, որի կետերի դիրքերն ու հեռավորությունները չեն փոխվում։
• Ուժվեկտորային մեծություն է, որը բնութագրում է մի նյութական մարմնի մեխանիկական ազդեցությունը մյուսի վրա։
  Ուժը որպես վեկտոր բնութագրվում է կիրառման կետով, գործողության ուղղությամբ և բացարձակ արժեքով։ Ուժի մոդուլի միավորը Նյուտոնն է։
• Ուժի գործողության գիծուղիղ գիծ է, որի երկայնքով ուղղված է ուժի վեկտորը։
• Կենտրոնացված ուժ- մեկ կետում կիրառվող ուժ.
• Բաշխված ուժեր (բաշխված բեռ)- սրանք ուժեր են, որոնք գործում են մարմնի ծավալի, մակերեսի կամ երկարության բոլոր կետերի վրա:
  Բաշխված բեռը որոշվում է միավորի ծավալով (մակերես, երկարություն) ազդող ուժով:
  Բաշխված բեռի չափը N/m 3 (N/m 2, N/m):
• Արտաքին ուժուժ է, որը գործում է մարմնից, որը չի պատկանում դիտարկվող մեխանիկական համակարգին:
• Ներքին ուժմեխանիկական համակարգի նյութական կետի վրա ազդող ուժ է դիտարկվող համակարգին պատկանող մեկ այլ նյութական կետից։
• Ուժային համակարգմեխանիկական համակարգի վրա գործող ուժերի մի շարք է:
• Հարթ ուժային համակարգուժերի համակարգ է, որի գործողությունների գծերը գտնվում են նույն հարթության վրա:
• Ուժերի տարածական համակարգուժերի համակարգ է, որի գործողության գծերը չեն գտնվում նույն հարթության վրա:
• Համակցված ուժերի համակարգուժերի համակարգ է, որոնց գործողության գծերը հատվում են մի կետում։
• Ուժերի կամայական համակարգուժերի համակարգ է, որի գործողության գծերը չեն հատվում մի կետում։
• Համարժեք ուժային համակարգեր- դրանք ուժերի համակարգեր են, որոնց փոխարինումը մյուսով չի փոխում մարմնի մեխանիկական վիճակը:
  Ընդունված նշանակում.
• Հավասարակշռություն- սա մի վիճակ է, երբ մարմինը ուժերի ազդեցությամբ մնում է անշարժ կամ միատեսակ շարժվում ուղիղ գծով:
• Ուժերի հավասարակշռված համակարգ- սա ուժերի համակարգ է, որը, երբ կիրառվում է ազատ պինդ մարմնի վրա, չի փոխում իր մեխանիկական վիճակը (այն հավասարակշռությունից դուրս չի հանում):
  .
• Արդյունք ուժուժ է, որի գործողությունը մարմնի վրա համարժեք է ուժերի համակարգի գործողությանը։
  .
• Իշխանության պահըուժի պտտվող կարողությունը բնութագրող մեծություն։
• Զույգ ուժերհավասար մեծության և հակառակ ուղղությամբ երկու զուգահեռ ուժերի համակարգ է։
  Ընդունված նշանակում.
  Զույգ ուժերի ազդեցությամբ մարմինը կկատարի պտտվող շարժում։
• Ուժի նախագծում առանցքի վրա- սա մի հատված է, որը պարփակված է այս առանցքի ուժի վեկտորի սկզբից և վերջից գծված ուղղահայացների միջև:
  Պրոյեկցիան դրական է, եթե հատվածի ուղղությունը համընկնում է առանցքի դրական ուղղության հետ։
• Ուժի պրոյեկցիա ինքնաթիռի վրավեկտոր է հարթության վրա, որը պարփակված է այս հարթության վրա ուժի վեկտորի սկզբից և վերջից գծված ուղղանկյունների միջև:
• Օրենք 1 (իներցիայի օրենք).Մեկուսացված նյութական կետը գտնվում է հանգստի վիճակում կամ շարժվում է միատեսակ և ուղղագիծ:
  Նյութական կետի միատեսակ և ուղղագիծ շարժումը իներցիայով շարժում է: Նյութական կետի և կոշտ մարմնի հավասարակշռության վիճակը հասկացվում է ոչ միայն որպես հանգստի վիճակ, այլև որպես իներցիայով շարժում։ Կոշտ մարմնի համար կան իներցիայով շարժման տարբեր տեսակներ, օրինակ՝ կոշտ մարմնի միատեսակ պտույտ ֆիքսված առանցքի շուրջ։
• Օրենք 2.Կոշտ մարմինը հավասարակշռության մեջ է երկու ուժերի ազդեցությամբ միայն այն դեպքում, եթե այդ ուժերը հավասար են մեծությամբ և ուղղված են հակառակ ուղղություններով ընդհանուր գործողության գծի երկայնքով:
  Այս երկու ուժերը կոչվում են հավասարակշռող:
  Ընդհանուր առմամբ, ուժերը կոչվում են հավասարակշռված, եթե պինդ մարմինը, որի վրա կիրառվում են այդ ուժերը, գտնվում է հանգստի վիճակում:
• Օրենք 3.Առանց խաթարելու կոշտ մարմնի վիճակը («վիճակ» բառն այստեղ նշանակում է շարժման կամ հանգստի վիճակ), կարելի է ավելացնել և մերժել հավասարակշռող ուժեր։
  Հետևանք. Առանց պինդ մարմնի վիճակը խախտելու՝ ուժը կարող է իր գործողության գծով փոխանցվել մարմնի ցանկացած կետ։
  Ուժերի երկու համակարգեր կոչվում են համարժեք, եթե դրանցից մեկը կարող է փոխարինվել մյուսով առանց պինդ մարմնի վիճակը խախտելու։
• Օրենք 4.Մի կետում կիրառվող երկու ուժերի արդյունքը, որը կիրառվում է նույն կետում, մեծությամբ հավասար է այս ուժերի վրա կառուցված զուգահեռագծի անկյունագծին և ուղղված է դրա երկայնքով.
  անկյունագծերը.
  Արդյունքների բացարձակ արժեքը հետևյալն է.
  
• Օրենք 5 (գործողության և ռեակցիայի հավասարության օրենք). Այն ուժերը, որոնցով երկու մարմիններ գործում են միմյանց վրա, մեծությամբ հավասար են և ուղղված են նույն ուղիղ գծով հակառակ ուղղություններով։
  Պետք է նկատի ունենալ, որ գործողություն- մարմնի վրա կիրառվող ուժ Բ, Եվ ընդդիմություն- մարմնի վրա կիրառվող ուժ Ա, հավասարակշռված չեն, քանի որ դրանք կիրառվում են տարբեր մարմինների վրա։
• Օրենք 6 (ամրացման օրենք). Ոչ պինդ մարմնի հավասարակշռությունը չի խախտվում, երբ այն ամրանում է։
  Չպետք է մոռանալ, որ հավասարակշռության պայմանները, որոնք անհրաժեշտ և բավարար են պինդ մարմնի համար, անհրաժեշտ են, բայց անբավարար են համապատասխան ոչ պինդ մարմնի համար։
• Օրենք 7 (կապերից ազատվելու օրենք).Ոչ ազատ պինդ մարմինը կարող է ազատ համարվել, եթե այն հոգեպես ազատված է կապերից՝ կապերի գործողությունը փոխարինելով կապերի համապատասխան ռեակցիաներով։

Կապերը և դրանց արձագանքները
• Հարթ մակերեսսահմանափակում է շարժումը նորմալ աջակցության մակերեսին: Ռեակցիան ուղղված է մակերեսին ուղղահայաց։
• Հոդակապ շարժական հենարանսահմանափակում է մարմնի շարժումը, որը նորմալ է հղման հարթությանը: Ռեակցիան ուղղված է նորմալ աջակցության մակերեսին:
• Հոդակապ ֆիքսված աջակցությունհակադարձում է պտտման առանցքին ուղղահայաց հարթության ցանկացած շարժում:
• Հոդակապ անկշիռ ձողհակազդում է մարմնի շարժմանը գավազանի գծի երկայնքով. Արձագանքը կուղղվի ձողի գծի երկայնքով:
• Կույր կնիքհակազդում է ինքնաթիռի ցանկացած շարժման և պտույտի: Նրա գործողությունը կարող է փոխարինվել ուժով, որը ներկայացված է երկու բաղադրիչի և մոմենտի զույգ ուժերի տեսքով:

Կինեմատիկա

Կինեմատիկա- տեսական մեխանիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է մեխանիկական շարժման ընդհանուր երկրաչափական հատկությունները որպես տարածության և ժամանակի մեջ տեղի ունեցող գործընթաց: Շարժվող առարկաները համարվում են երկրաչափական կետեր կամ երկրաչափական մարմիններ:

Կինեմատիկայի հիմնական հասկացությունները
• Կետի (մարմնի) շարժման օրենքը– սա տարածության մեջ կետի (մարմնի) դիրքի կախվածությունն է ժամանակից:
• Կետային հետագիծ- սա տարածության մի կետի երկրաչափական դիրքն է իր շարժման ընթացքում:
• Կետի (մարմնի) արագություն– սա տարածության մեջ կետի (մարմնի) դիրքի ժամանակի փոփոխության հատկանիշն է:
• Կետի (մարմնի) արագացում– սա կետի (մարմնի) արագության ժամանակի փոփոխության հատկանիշն է:

Կետի կինեմատիկական բնութագրերի որոշում
• Կետային հետագիծ
  Վեկտորային հղման համակարգում հետագիծը նկարագրվում է արտահայտությամբ.
  Կոորդինատների հղման համակարգում հետագիծը որոշվում է կետի շարժման օրենքով և նկարագրվում է արտահայտություններով. z = f(x,y)- տարածության մեջ, կամ y = f(x)- ինքնաթիռում:
  Բնական հղման համակարգում հետագիծը նախապես նշվում է:
• Վեկտորային կոորդինատային համակարգում կետի արագության որոշում
  Վեկտորային կոորդինատային համակարգում կետի շարժումը նշելիս շարժման հարաբերակցությունը ժամանակային միջակայքին կոչվում է արագության միջին արժեք այս ժամանակային միջակայքում.
  Ընդունելով ժամանակի միջակայքը որպես անվերջ փոքր արժեք, մենք ստանում ենք արագության արժեքը տվյալ պահին (ակնթարթային արագության արժեք). .
  Միջին արագության վեկտորը ուղղվում է վեկտորի երկայնքով՝ կետի շարժման ուղղությամբ, իսկ ակնթարթային արագության վեկտորն ուղղվում է շոշափելի դեպի հետագիծ՝ կետի շարժման ուղղությամբ:
  Եզրակացություն: կետի արագությունը վեկտորային մեծություն է, որը հավասար է շարժման օրենքի ժամանակային ածանցյալին։
  Ածանցյալ հատկություն. Ցանկացած մեծության ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ որոշում է այս մեծության փոփոխության արագությունը:
• Կոորդինատային հղման համակարգում կետի արագության որոշում
  Կետերի կոորդինատների փոփոխության արագություն.
  .
  Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ ունեցող կետի ընդհանուր արագության մոդուլը հավասար կլինի.
  .
  Արագության վեկտորի ուղղությունը որոշվում է ուղղության անկյունների կոսինուսներով.
  ,
  որտեղ են անկյունները արագության վեկտորի և կոորդինատային առանցքների միջև:
• Բնական հղման համակարգում կետի արագության որոշում
  Բնական հղման համակարգում կետի արագությունը սահմանվում է որպես կետի շարժման օրենքի ածանցյալ.
  Համաձայն նախորդ եզրակացությունների՝ արագության վեկտորը շոշափելիորեն ուղղված է հետագծին՝ կետի շարժման ուղղությամբ և առանցքներում որոշվում է միայն մեկ պրոյեկցիայի միջոցով:

Կոշտ մարմնի կինեմատիկա
• Կոշտ մարմինների կինեմատիկայում լուծվում են երկու հիմնական խնդիր.
  1) շարժման կարգավորում և ընդհանուր մարմնի կինեմատիկական բնութագրերի որոշում.
  2) մարմնի կետերի կինեմատիկական բնութագրերի որոշումը.
• Կոշտ մարմնի փոխակերպական շարժում
  Թարգմանական շարժումը շարժում է, երբ մարմնի երկու կետերով գծված ուղիղ գիծը մնում է իր սկզբնական դիրքին զուգահեռ:
  Թեորեմ. Թարգմանական շարժման ընթացքում մարմնի բոլոր կետերը շարժվում են միանման հետագծերով և ժամանակի յուրաքանչյուր պահին ունեն նույն մեծությունն ու արագության և արագացման ուղղությունը։.
  Եզրակացություն: Կոշտ մարմնի փոխադրական շարժումը որոշվում է նրա ցանկացած կետի շարժումով, և, հետևաբար, նրա շարժման խնդիրն ու ուսումնասիրությունը կրճատվում են մինչև կետի կինեմատիկա:.
• Կոշտ մարմնի պտտվող շարժումը ֆիքսված առանցքի շուրջ
  Հաստատուն առանցքի շուրջ կոշտ մարմնի պտտական ​​շարժումը կոշտ մարմնի շարժումն է, որի ընթացքում մարմնին պատկանող երկու կետերը շարժման ողջ ընթացքում մնում են անշարժ:
  Մարմնի դիրքը որոշվում է պտտման անկյունով։ Անկյունի չափման միավորը ռադիանն է։ (Ռադիանը շրջանագծի կենտրոնական անկյունն է, որի աղեղի երկարությունը հավասար է շառավղին. շրջանագծի ընդհանուր անկյունը պարունակում է. 2պռադիան.)
  Հաստատուն առանցքի շուրջ մարմնի պտտվող շարժման օրենքը.
  Մենք որոշում ենք մարմնի անկյունային արագությունը և անկյունային արագացումը՝ օգտագործելով տարբերակման մեթոդը.
  — անկյունային արագություն, ռադ/վ;
  — անկյունային արագացում, ռադ/վրկ²:
  Եթե ​​մարմինը մասնատում եք առանցքին ուղղահայաց հարթությամբ, ընտրեք պտտման առանցքի մի կետ. ՀԵՏև կամայական կետ Մ, ապա մատնանշեք Մնկարագրելու է մի կետի շուրջ ՀԵՏշրջանագծի շառավիղը Ռ. ընթացքում dtկա տարրական պտույտ անկյան միջով, և կետը Մկշարժվի հետագծի երկայնքով հեռավորության վրա .
  Գծային արագության մոդուլ.
  .
  Կետային արագացում Մհայտնի հետագծով այն որոշվում է իր բաղադրիչներով.
  ,
  Որտեղ .
  Արդյունքում մենք ստանում ենք բանաձեւերը
  շոշափելի արագացում. ;
  նորմալ արագացում. .

Դինամիկա

Դինամիկատեսական մեխանիկայի մի բաժին է, որում ուսումնասիրվում են նյութական մարմինների մեխանիկական շարժումները՝ կախված դրանք առաջացնող պատճառներից։

Դինամիկայի հիմնական հասկացությունները
• Իներցիա- սա նյութական մարմինների հատկությունն է՝ պահպանել հանգստի վիճակ կամ միատեսակ ուղղագիծ շարժում, մինչև արտաքին ուժերը փոխեն այս վիճակը:
• Քաշըմարմնի իներցիայի քանակական չափումն է։ Զանգվածի միավորը կիլոգրամն է (կգ):
• Նյութական կետ- Սա զանգվածով մարմին է, որի չափերը անտեսվում են այս խնդիրը լուծելիս:
• Մեխանիկական համակարգի զանգվածի կենտրոն- երկրաչափական կետ, որի կոորդինատները որոշվում են բանաձևերով.
  
  Որտեղ m k, x k, y k, z k- զանգված և կոորդինատներ կ- մեխանիկական համակարգի այդ կետը, մ- համակարգի զանգվածը.
  Միատեսակ ծանրության դաշտում զանգվածի կենտրոնի դիրքը համընկնում է ծանրության կենտրոնի դիրքի հետ։
• Նյութական մարմնի իներցիայի պահը առանցքի նկատմամբիներցիայի քանակական չափում է պտտվող շարժման ժամանակ։
  Նյութական կետի առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահը հավասար է կետի զանգվածի արտադրյալին առանցքից կետի հեռավորության քառակուսու վրա.
  .
  Համակարգի (մարմնի) իներցիայի պահը առանցքի նկատմամբ հավասար է բոլոր կետերի իներցիայի պահերի թվաբանական գումարին.
  
• Նյութական կետի իներցիայի ուժըվեկտորային մեծություն է, որը մոդուլով հավասար է կետի զանգվածի և արագացման մոդուլի արտադրյալին և ուղղված է արագացման վեկտորին հակառակ.
• Նյութական մարմնի իներցիայի ուժըվեկտորային մեծություն է, որը մոդուլով հավասար է մարմնի զանգվածի արտադրյալին և մարմնի զանգվածի կենտրոնի արագացման մոդուլին և ուղղված է զանգվածի կենտրոնի արագացման վեկտորին.
  որտեղ է մարմնի զանգվածի կենտրոնի արագացումը:
• Ուժի տարրական ազդակվեկտորային մեծություն է, որը հավասար է ուժի վեկտորի արտադրյալին և ժամանակի անվերջ փոքր հատվածին dt:
  .
  Δt-ի ընդհանուր ուժի իմպուլսը հավասար է տարրական իմպուլսների ինտեգրալին.
  .
• Ուժի տարրական աշխատանքսկալյար մեծություն է dA, հավասար է սկալյար պրոիին