Խմբի տեսություն. Գիտական հայտնագործությունների պատմություն. Խմբի տեսություն - կատարելության գիտություն Խմբային տեսության ստեղծման պատմությունը

ԽՄԲԻ ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

Դասախոսությունների դասընթաց

Կրասնոյարսկ, 2007 թ

Սենաշով, Վ.Ի.

Խմբերի տեսության հիմունքներ. դասախոսությունների դասընթաց / , . – Կրասնոյարսկ. FGOU VPO «Սիբիրի դաշնային համալսարան, բնական և հումանիտար գիտություններ», 20-ական թթ.

«Խմբերի տեսության հիմունքներ» առարկան «Բարձրագույն հանրահաշիվ» կարգի շարունակությունն է և ներկայացնում է հիմնականներից մեկը. հատուկ առարկաներուսանողներին «Մաթեմատիկա» մասնագիտությանը նախապատրաստելիս։ Դասախոսությունների դասընթացը նախատեսված է հանրահաշվի և մաթեմատիկական տրամաբանության բաժնում մասնագիտացած բակալավրիատի և մագիստրատուրայի ուսանողների համար։

Հումանիտար գիտություններ, 2007 թ.

ԲԱԺԻՆ 1. ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՏԵՂԵԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ ………………………………………….. 5

Թեմա 1. ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ ……………………………………………………… 5

Պատմական տեղեկատվություն խմբի տեսության առաջացման և զարգացման մասին:

Ուսումնասիրության նպատակներն ու խնդիրները: Համառոտ նկարագրությունժամանակակից

խմբի տեսության վիճակը. Գրականության ակնարկ. Ընդհանուր տեղեկություններ.

Թեմա 2. Խմբեր, ենթախմբեր………………………………………………

Խմբի սահմանում, օրինակներ: Ենթախմբի սահմանում,

ենթախմբերի օրինակներ.

ԲԱԺԻՆ 2. ԽՄԲԵՐԻ ԴԱՍԵՐ, ԽՄԲԵՐԻ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐԻ ՏԵՍԱԿՆԵՐԸ………. 9

Թեմա 3. Խմբերի դասեր, օրինակներ…………………………………… 9

Վերջավոր և անվերջ խմբեր, պարբերական խմբեր,

ոլորումներից զերծ խմբեր, խառը խմբեր, օրինակներ.

Թեմա 4.Ստեղծող հավաքածուներ. Ցիկլային խմբեր, ցիկլային խմբի ենթախմբեր …………………………………………. 11

Խմբերի սահմանում բազմությունների ստեղծմամբ: Ցիկլային, 2-գեներացված և 3-գեներացված խմբերի օրինակներ:

ԲԱԺԻՆ 3. ԽՄԲԻ ԿԱՌՈՒՑՎԱԾՔԸ ……………………………………… 12

Թեմա 5. Գմիջդասակարգային…………………………………………………………………………………………………………………………………

Հարակից դասերի հատկությունները. Ենթախմբի ինդեքս, Լագրանի թեորեմ

Դե, հետևանքներ.

Թեմա 6.Համակցված տարրերի դասեր. Նորմալացուցիչ և կենտրոնացնող …………………………………………………………………………………………………

Համակցված տարրերի դասերի սահմանումը և հատկությունները, երբ

միջոցառումներ։ Կենտրոնականացնողի, նորմալացնողի սահմանում, թեորեմ խոնարհվող տարրերի դասերի հզորության մասին։

Թեմա 7.Կենտրոն, կոմուտատոր։ Գործոնների խումբ ……………………………… 14

Կենտրոնի, կոմուտատորի սահմանումները: Օրինակներ.

Թեմա 8. Ամբողջական խմբեր …………………………………………… 16

Լրացրեք խմբեր, օրինակներ: Թեորեմներ ամբողջական խմբերի վերաբերյալ.

ԲԱԺԻՆ 4. ԽՄԲԱԿԱՆ ՑՈՒՑԱԴՐՈՒՄՆԵՐ……………………………………………. 17

Թեմա 9. Փոխարինող խմբեր …………………………………………

Փոխարինող խմբերի սահմանումներ և հատկություններ: Քեյլի թեորեմը.

Թեմա 10.Հոմոմորֆիզմներ…………………………………………… 18

Հոմորֆիզմի սահմանում, հոմոմորֆ քարտեզագրման օրինակներ

ny, թեորեմներ հոմոմորֆիզմների վերաբերյալ։

Թեմա 11. Իզոմորֆիզմներ………………………………………… 20

Իզոմորֆիզմի սահմանում, իզոմորֆ խմբերի օրինակներ.

Թեմա 12. Ավտոմորֆիզմներ………………………………………. 21

Ավտոմորֆիզմի սահմանում. Ավտոմորֆիզմների տեսակները, հոլոմորֆները։

ԲԱԺԻՆ 5.ԽՄԲԵՐԻ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐ ………………………………… 24

Թեմա 13.Ուղղակի և դեկարտյան արտադրանք………………… 24

Սահմանումներ. Խմբերի օրինակներ, որոնք կարելի է բաժանել տողերի և

Դեկարտյան արտադրանք.

Թեմա 14. Կիսաուղղակի արտադրանք, անվճար

աշխատանք և այլ տեսակի աշխատանքներ …………………… 27

Կիսաուղղակի արտադրանք, ազատ արտադրանք, ազատ արտադրանք համակցված ենթախմբի հետ, միասնական արտադրանք:

Թեմա 15.Տողեր խմբերի մեջ ............................................. .. 31

Նորմալ սերիա, ենթանորմալ շարք: Տողերով խմբերի տեսակները.

Թեմա 16. Սայլոուի թեորեմը……………………………………………………………………………………………………………………

Sylow ենթախմբեր. Սայլոուի թեորեմ. Սայլոուի թեորեմի կիրառությունները.

Թեմա 17.Հանրահաշվական համակարգեր ……………………………… 33

Հանրահաշվական համակարգերի օրինակներ. Խմբոիդ, կիսախումբ, քվազախումբ, օղակ, խումբ, օղակ, դաշտ:

ԲԱԺԻՆ 6. ԱՎԱՐՏԻ ՊԱՅՄԱՆՆԵՐԸ ԽՄԲԵՐՈՎ …………… 35

Թեմա 18. Մինիմալության պայմաններով խմբեր և

առավելագույնը ………………………………………………………………………………. 35

Նվազագույն և առավելագույն պայմաններով խմբեր. Չեռնիկովի խմբերը և դրանց հատկությունները.

Թեմա 19. Վերջնականության պայմանները ………………………………………… 38.

Պայմաններ երկպրիմիտիվ վերջավորության, զուգորդված երկպրիմիտիվին

վերջույթները, դրանց թուլացումն ու ընդհանրացումը։ Շունկովի խմբեր. Օրինակներ.

ԲԱԺԻՆ 7. ԽՄԲԵՐԻ ՕՐԻՆՆԵՐ ……………………………………………… 40

Թեմա 20. Դիեդրալ խմբեր……………………………………… 40

Դիեդրալ խմբերի սահմանումներ և հատկություններ.

Թեմա 21. Փոխարինումների և մատրիցների խմբեր …………………………… 43

Փոխարինումների և մատրիցների խմբեր: Դիեդրոն խմբի ներկայացում

փոխարինումների խումբ.

Թեմա 22. Շարժումների խմբեր ………………………………….. 48

Երկրաչափական վերափոխումներ. Շարժումներ. Ֆիգուրների համաչափություն.

Կանոնավոր բազմանիստ սիմետրիկ խմբեր: Տարածական և հարթ թվերի վերջավոր և անվերջ համաչափության խմբեր:

ԲԱԺԻՆ 8. ԵԶՐԱԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆ ……………………………………………… 54

Թեմա 23. Խմբերի ատլասներ ………………………………………………5 4

Խմբային սեղաններ. Վերջավոր պարզ խմբերի և ներկայացումների ատլասներ

վերջավոր խմբերի միավորներ։

Թեմա 24. Եզրակացություն …………………………………………..5 6

Վերանայում ներկա վիճակըխմբի տեսություն.

Հավելում ……………………………………………………………………… 57

Թեմա 25.Ֆրոբենիուսի խմբեր…………………………….. 57

ՄԱՏԵՆԱԳՐԱԿԱՆ ՑԱՆԿ ………………………………… 62

ԲԱԺԻՆ 1. ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՏԵՂԵԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Թեմա 1. ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

Պատմական տեղեկատվություն խմբի տեսության առաջացման և զարգացման մասին:Խմբի հասկացությունն առաջացել է 18-րդ դարում, այն գալիս է մի քանի առարկաներից՝ ռադիկալներով հանրահաշվական հավասարումների լուծման տեսությունից (1771թ. Ջ. Լագրանժի և Ա. Վանդերմոնդի աշխատություններում փոխարինումները առաջին անգամ օգտագործվել են այս տեսության կարիքների համար։ և փոխարինումների խմբի տարրալուծումը հարակիցների դասերի է ստացվել, 19-րդ դարում փոխարինումների խմբի հատկությունների և հավասարումների հատկությունների միջև խորը կապեր ցույց են տվել Ն. Աբելը 1824 թվականին և Է. Գալուան 1830 թվականին։ Հատկապես ուշագրավ են E. Galois-ի ձեռքբերումները խմբային տեսության մեջ մշակել է հետազոտություն այս ուղղությամբ 1870 թվականին փոխարինումների խմբի մասին տրակտատում)։ Պրոյեկտիվ երկրաչափության մեջ, անկախ սրանից, խմբեր են առաջանում, երբ ուսումնասիրվում է տարբեր փոխակերպումների տակ գտնվող ֆիգուրների վարքագիծը, ինչը հանգեցրել է հենց այդ փոխակերպումների ուսումնասիրությանը և դրանց դասակարգման որոնմանը (այստեղ կարելի է նշել Ա. Մոեբիուսի անունները, ով ուսումնասիրել է. ազգակցական կապերի տարրական տեսակները երկրաչափական ձևերԱ. Քեյլին, ով հասկացավ խումբը որպես համակարգ, որը սահմանվում է գեներացնող տարրերով և հարաբերություններով, Ֆ. Քլայնը, 1872 թվականին «Էրլանգեն ծրագրի» ստեղծողը, որը վերափոխման խմբի հայեցակարգը դրեց որպես դասակարգման հիմք։ երկրաչափությունների): Խմբային-տեսական գաղափարները կարելի է հետևել նաև թվերի տեսության մեջ։ Լ. Էյլերը 1761 թվականին, երբ ուսումնասիրում էր «ուժերը բաժանելիս մնացած մնացորդները», օգտագործեց համեմատություններ և բաժանումներ մնացորդների դասերի, այսինքն՝ հարակից դասերի ըստ ենթախմբերի։ 1801 թվականին Կ. Գաուսն իր «Թվաբանական ուսումնասիրություններում» սահմանեց շրջանագծի բաժանման հավասարման Galois խմբի ենթախմբերը և ուսումնասիրելով «երկուական քառակուսի ձևերի կազմը», ապացուցեց, որ համարժեք ձևերի դասերը կազմում են. վերջավոր աբելյան խումբը կազմի նկատմամբ.

19-րդ դարի վերջին։ մշակվել է խմբի ժամանակակից վերացական հայեցակարգը։ 1895թ.-ին Ս. Լին արդեն սահմանեց խումբը որպես փոխակերպումների մի շարք, որը փակված է մի գործողության ներքո, որը ասոցիատիվ է և երաշխավորում է ինքնությունը և հակադարձ տարրերը:

Խմբերի ուսումնասիրությունը՝ առանց դրանց վերջավորության ենթադրության և առանց տարրերի բնույթի մասին ենթադրությունների, ձևավորվեց մաթեմատիկայի անկախ ոլորտում 1916 թվականին մեր հայրենակցի «Խմբերի վերացական տեսություն» գրքում։

Ներկայումս խմբերի տեսությունը հանրահաշվի ամենազարգացած ոլորտներից մեկն է, որն ունի բազմաթիվ կիրառություններ ինչպես բուն մաթեմատիկայի, այնպես էլ դրանից դուրս՝ տոպոլոգիայում, ֆունկցիաների տեսության, բյուրեղագիտության, քվանտային մեխանիկաև մաթեմատիկայի և գիտության այլ ոլորտներ:

Դասախոսությունների այս դասընթացում համառոտ հիշեցնում ենք խմբային տեսության հիմնական սահմանումները և թեորեմները, որոնք ներառված են համալսարանական հանրահաշիվ դասընթացում։ Այնուհետև լսողին ներկայացնում ենք տարածքը ժամանակակից տեսությունխմբերը վերջին տասնամյակների արդյունքների ներկայացման միջոցով: Եկեք մանրամասնորեն անդրադառնանք վերջավորության պայմաններով խմբերի և խմբերի օրինակներին:

Ուսումնասիրության նպատակներն ու խնդիրները:«Խմբերի տեսության հիմունքներ» առարկան «Բարձրագույն հանրահաշիվ» դասընթացի շարունակությունն է և հանդիսանում է «Մաթեմատիկա» մասնագիտությանը ուսանողներին նախապատրաստելու հիմնական հատուկ առարկաներից մեկը:

Դասավանդման նպատակն է ծանոթանալ խմբերի տեսության հիմնական սահմանումներին և հիմնական թեորեմներին, ինչպես նաև զարգացնել ուսումնասիրված թեորեմները նոր թեորեմների ապացույցներում օգտագործելու և խմբերի օրինակներ կառուցելու հմտություններն ու կարողությունները:

Առարկան ուսումնասիրելու գործընթացում անհրաժեշտ է ձեռք բերել գիտելիքներ, հմտություններ և կարողություններ «Մաթեմատիկա» մասնագիտությամբ գիտաշխատողի և ուսուցչի մասնագիտական գործունեության համար:

Մասնագետը պետք է իմանա՝ խմբերի հիմնական դասերը, վերջավոր և անվերջ խմբերի դասական օրինակները, խմբերի տեսության հիմնական թեորեմները. կարողանալ՝ կիրառել ուսումնասիրված թեորեմները նոր թեորեմների ապացույցներում, օգտագործել հատուկ գրականություն, տեղեկատու գրքեր, մաթեմատիկական հանրագիտարաններ, ձեռք բերել գործնական հմտություններ. ինքնուրույն աշխատանքԽմբային կառուցվածքներն ուսումնասիրելիս պատկերացում կազմեք ժամանակակից միտումներԽմբերի տեսության զարգացումը Ռուսաստանում և աշխարհում:

Դասախոսությունների դասընթաց գրելիս հեղինակները նպատակ են ունեցել հակիրճ ներկայացնել ընթերցողին խմբային տեսության դասական դասընթացի հասկացություններին և թեորեմներին և, հնարավորության դեպքում, մանրամասն անդրադառնալ Կրասնոյարսկի խմբի տեսության դպրոցում ձևավորված հասկացություններին և թեորեմներին: ներկայումս ակտիվորեն ուսումնասիրվում են ինչպես մեր երկրում, այնպես էլ արտերկրում:

Խմբերի տեսության ներկա վիճակի համառոտ նկարագրությունը.Ներկայումս խմբերի տեսությունը մաթեմատիկայի լավ զարգացած ճյուղ է։ Ամեն տարի տեղի են ունենում միջազգային գիտաժողովներ՝ նվիրված վերջավոր և անվերջ խմբերի տեսությանը։ Միայն Ռուսաստանում 2007 թվականին մի քանի միջազգային գիտաժողովներըստ խմբի տեսության՝ դրանցից մեկը Կրասնոյարսկում է։

Խմբերի տեսությամբ զբաղվող լավ զարգացած դպրոցներ կան Մոսկվայում, Սանկտ Պետերբուրգում, Եկատերինբուրգում, Նովոսիբիրսկում, Օմսկում, Տոմսկում, Իրկուտսկում, Չելյաբինսկում, Կրասնոյարսկում և Ռուսաստանի այլ քաղաքներում։ Խմբերի տեսության տարբեր ճյուղերում զբաղված են հարյուրավոր բարձր որակավորում ունեցող մասնագետներ։ Ռուսաստանում հրատարակվել են «Հանրահաշիվ և տրամաբանություն», «Սիբիրյան մաթեմատիկական ամսագիր», «Հիմնական և. կիրառական մաթեմատիկա», «Դիսկրետ մաթեմատիկա», «ԳԱ հաշվետվություններ», որոնցում մեծ մասնաբաժին են զբաղեցնում խմբակային տեսության հոդվածները։ Ռուս գիտնականները տասնյակ մենագրություններ են գրել վերջավոր և անսահման խմբերի մասին։ Խմբերի տեսության ռուս մասնագետների ձեռքբերումները վաղուց արժանիորեն ճանաչվել են ողջ աշխարհում։

Գրականության ակնարկ.«Խմբերի տեսության հիմունքներ» առարկան ուսումնասիրելիս խորհուրդ ենք տալիս օգտագործել դասագրքերը և առաջարկվող հղումների ցանկը:

Թեմա 2. Խմբեր, ենթախմբեր

Խմբի սահմանում, օրինակներ:

Սահմանում.Ասում են՝ կոմպլեկտը տրված է երկուական գործողություն, եթե սահմանվում է օրենք, որը կապում է բազմության ցանկացած երկու տարր նույն բազմության մեկ տարրի հետ։

Սահմանում.Շատերը Գդրա վրա նշված երկուական հանրահաշվական գործողությամբ կոչվում է խումբ, Եթե:

1) այս գործողությունը ասոցիատիվ է, այսինքն. (ab)c = a(bc)ցանկացած տարրերի համար ա, բ, գ-ից Գ;

2) մեջ Գկա մեկ տարր ե: աե=էա=ացանկացած տարրի համար ա-ից Գ;

3) յուրաքանչյուր տարրի համար ա-ից ԳՎ Գգոյություն ունի ետտարր https://pandia.ru/text/78/123/images/image002_125.gif" width="99" height="21 src=">:

Բոլոր զույգ թվերը գումարվելիս խումբ են կազմում: Գումարային խումբը նաև ամբողջ թվերի հավաքածու է, որոնք տրված թվի բազմապատիկ են n. Կենտ թվերի բազմությունն այլևս խումբ չի լինի գումարման գործողության ներքո, քանի որ այս գործողությունը մեզ տանում է այս բազմության սահմաններից դուրս: Խումբ են կազմում նաև բոլոր ոչ զրոյական դրական ռացիոնալ թվերը բազմապատկման գործողության նկատմամբ։ Բազմապատկման գործողության 1 և -1 թվերը կազմում են վերջնական խումբը:

Սահմանում.Խումբ Գկանչեց Աբելյանըկամ կոմուտատիվ, եթե խմբի բոլոր տարրերը փոխվում են միմյանց հետ, այսինքն՝ փոխատեղման օրենքը բավարարված է ab = baցանկացած տարրերի համար ա, բխմբից Գ.

Աբելյան խմբերի օրինակներ են ռացիոնալ թվերի, իրական թվերի և բարդ թվերի բազմությունները, որոնք դիտարկվում են գումարման գործողության նկատմամբ: Ոչ Աբելյան խմբերը ներառում են ավելի քան երկու տարրերի փոխարինման խմբեր, բազմապատկման մասով մատրիցների խմբեր։

Սահմանում. Տարրերի կարգըկոչվում է ամենափոքրը բնական թիվ nայնպիսին, որ an = e. Նշվում է | ա|.

Սահմանում. Խմբային պատվեր Գնրա տարրերի թիվը կոչվում է.

Ցույց է տալիս խմբի հերթականությունը Գմիջոցով | Գ|. Եթե տարրերի բազմությունը անսահման է, մենք ասում ենք Գունի անսահման կարգ, և գրիր | Գ| = https://pandia.ru/text/78/123/images/image004_81.gif" width="95" height="29"> | ai M, mi = 1, n = 1, 2, 3, …}.

Ապացույց.Թեորեմի ձևակերպման մեջ ներկայացված տարրերի բազմությունը նշանակենք ըստ Հ.

Ակնհայտորեն, Հ.Հ Հ, Հ-1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image007_53.gif" width="16" height="16 src="> Հ.

Մյուս կողմից,<Մ> https://pandia.ru/text/78/123/images/image010_47.gif" width="13" height="13 src="> H ) տարր xկանչեց ներկայացուցիչհարակից դաս. Ճիշտ կոսետսահմանվում է նույն կերպ.

Հարակից դասերի հատկությունները.

1) կոսետները կամ չեն հատվում կամ համընկնում.

2) կոզետները հավասարազոր են.

3) տարրեր ա, բպարունակվում է մեկ հարակից դասում՝ ըստ ենթախմբի Հ, Եթե բ-1 ա Հ.

Հատկությունների ապացույցը թողնված է ընթերցողին։

Սահմանում.Խմբի հարակից դասարանների թիվը Գըստ ենթախմբի Հկանչեց ցուցանիշըխմբեր Գըստ ենթախմբի Հև նշվում է | Գ:Հ|.

Նոյմանի Լեմման.Թող Գ –խումբ, որը վերջավոր թվով կոսեթների միավորումն է ենթախմբերի վերջավոր բազմության վրա։ Այնուհետև այս ենթախմբերից առնվազն մեկն ունի վերջավոր ինդեքս Գ.

Ապացույց.Ենթադրենք, որ թեորեմը կեղծ է և յուրաքանչյուր ենթախումբ Հ 1 ,…, Հնունի անսահման ինդեքս Գ. Թող լինի տարրալուծում դեպի կոսեթներ, որոնք նշված են թեորեմի ձևակերպման մեջ.

G = g 11Հ 1 .gif" width="16" height="20 src="> .gif" width="16 height=20" height="20"> է 21Հ 2 … Հ 2 …

….gif" width="16" height="20">… .gif" width="16" height="20">… Հ 1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif" width="36" height="28 src=">Հ 1 https://pandia.ru/text/78/123/images/image016_28.gif" width="36" height="28 src=">Հ 1 է 21Հ 2 … .gif" width="16 height=20" height="20">….gif" width="16" height="20">… https://pandia.ru/text/78/123/images/image018_24.gif" width="20 height=19" height="19">:

Ակնհայտորեն շատ վերջավոր թվով կոսետների միավորումն է ենթախմբերի վրա Հ 2, …, Հնև պարունակում է է 11Հ 1, նմանապես

է 11Հ 1 .gif" width="16" height="20 src="> .gif" width="19" height="17"> .gif" width="24" height="16"> ղ, հ հգ, հ https://pandia.ru/text/78/123/images/image024_20.gif" width="15" height="15 src="> Գ), եթե ձախ և աջ կողմերը ներս են մտնում ԳԸստ Հհամընկնում.

Կոսետների այլ հատկությունների համար տե՛ս.

Թեմա 6.Համակցված տարրերի դասեր. Նորմալացուցիչ և կենտրոնացնող

Համակցված տարրերի դասերի սահմանում և հատկություններ, օրինակներ.Տարր a-ն զուգակցված էտարրով բխմբում Գ, եթե կա մեկը x-ից Գ,Ինչ = բ.

Բացի այդ, նշանակումը =կացինփոխանցումներ դեպի հավաքածուներ. ԱԲ = {աբ | ա Ա, բ Բ) Այս նշումով նորմալ ենթախմբի սահմանումը հետևյալն է. Հ Գհետո և միայն այն ժամանակ, երբ HGH.

Թեորեմ 6.1.Խոնարհված տարրերի կարգերը հավասար են.

Ապացույց.Թող = բ.Ենթադրենք, որ | ա| = n, |բ| = մԵվ n < մ. Հետո ( )n = ան = ե, Բայց bne. Ստացված հակասությունն ապացուցում է թեորեմը.

Խոնարհումը համարժեքության հարաբերություն է: (Այսինքն՝ խոնարհման համար բավարարվում է երեք հատկություն՝ ռեֆլեքսիվություն, համաչափություն և անցողիկություն): աԳ. Բոլոր թվային համակարգերում և Աբելյան խմբերում խոնարհված տարրերի դասերը բաղկացած են մեկ տարրից։ Ընդհանրապես, տարբեր դասեր կարող են ունենալ տարբեր ուժեր։ Նորմալացուցիչը ծառայում է որպես դասի հզորությունը չափելու գործիք:

Խմբերի օրինակներ, որոնցում զուգակցված տարրերի յուրաքանչյուր դաս բաղկացած է մեկ տարրից, բոլորը Աբելյան խմբերն են: Երրորդ կարգի փոխակերպումների խմբում կան խոնարհված տարրերի երեք դասեր՝ դաս, որը բաղկացած է նույնական տարրից, դաս, որը բաղկացած է երկու երրորդ կարգի տարրերից և դաս, որը բաղկացած է երեք խոնարհված ինվոլյուցիայից։

Կենտրոնականացնողի, նորմալացնողի սահմանում, թեորեմ խոնարհվող տարրերի դասերի հզորության մասին։

Սահմանում.Թող Մ- խմբի կամայական ենթաբազմություն Գ, Հ- նրա ենթախումբը. Կոմպլեկտի նորմալացուցիչը Մխմբում Գկոչվում է հավաքածու Ն.Հ.(Մ) = { հ | hM = Մհ, հ Հ }.

Սահմանում.Սահմանել կենտրոնացնողը Մխմբում Գկոչվում է հավաքածու CG(M)={g|gm=mg, m M}.

Աբելյան խմբերում ցանկացած տարրի կենտրոնացնողը համընկնում է ամբողջ խմբի հետ։ Երրորդ աստիճանի փոխարկումների խմբում բոլոր տարրերի կենտրոնացնողները համընկնում են այդ տարրերի կողմից առաջացած ցիկլային խմբերի հետ։

Թեորեմ 6.2.Եթե Մ- ենթաբազմություն, և Հ- խմբի ենթախումբ Գ, ապա ենթաբազմությունների դասի հզորությունը խոնարհվում է Մտարրերից Հինդեքսին հավասար | Հ : Ն.Հ.(Մ) |. Մասնավորապես, | աԳ| = |Գ : Ն.Գ(ա) |.

Ապացույց.Եկեք ցուցադրենք Mx, xH, դեպի ճիշտ կոսետներ ՀԸստ Ն = Ն.Հ.(Մ): (Mx)= Nx. Ցուցադրել միանշանակ՝ սկսած Mx = Մnդուրս է հոսում Nx = Նայ. Դա մեկ առ մեկ է, քանի որ Nx = Նայենթադրում է Mx = Մn. Սա «դեպի» քարտեզագրում է, քանի որ ցանկացած դասի համար Nxկա նախատիպ Mx. Թեորեմն ապացուցված է.

Թեմա 7.Կենտրոն, կոմուտատոր։ Գործոնների խումբ

Կենտրոնի, կոմուտատորի սահմանումները: Օրինակներ.Խմբի կառուցվածքը մեծապես պայմանավորված է նրա տարրերի փոփոխականությամբ։ Խմբի տարրերի բազմությունը, որը շրջում է իր բոլոր տարրերով, ենթախումբ է:

Սահմանում.Խմբի կենտրոն Գկոչվում է հավաքածու Z(G)=CG(G).

Զորավարժություններ.Խումբ ԳԱբելեան եթէ եւ միայն եթէ Զ(Գ)= Գ.

Սահմանում.Տարրեր ա, բխմբեր Գ commute (commute) երբ

ա-1 բ-1 աբ = ե.

Աբելյան խմբերը համընկնում են իրենց կենտրոնի հետ։ Երրորդ աստիճանի փոխարինումների խմբում կենտրոնը ունիտար է։

Սահմանում.Անջատիչ [ա, բ] տարրեր ա, բաշխատանքը կոչվում է

[ա , բ] = ա-1 բ-1 աբ.

Սահմանում.Բոլոր կոմուտատորների կողմից ստեղծված ենթախումբը կոչվում է կոմուտատորխմբեր.

Կոմուտատորը գործիք է, որը չափում է խմբի շեղումը կոմուտատիվությունից:

Սահմանում.Եթե Լ, Մխմբի ենթաբազմություններ են, ապա նրանց փոխադարձ կոմուտանտը կոչվում է ենթախումբ

[Լ , Մ] = < [ա , բ] | ա Լ, բ Մ >.

Օրինակներ.

1. [ Սն , Սն] = Ան, ցանկացածի համար n.

2. [ Ան, Ան] = Ան, n > 4.

3. [Գ , Գ] = 1 եթե ԳԱբելյանը

Զորավարժություններ.

1. Ապացուցել [ ա , բ]-1= [բ , ա].

2. Ապացուցել [ աբ , գ] = [ա , գ]բ[ բ , գ].

Բոլոր գրքերը կարելի է ներբեռնել անվճար և առանց գրանցման:

Էլիոթ, Դաուբեր. Համաչափությունը ֆիզիկայում. 2 հատորով. 1983 թ 364+414 էջ djvu. մեկ արխիվում 7,4 ՄԲ:
Երկհատոր մենագրություն (անգլիացի ֆիզիկոսների կողմից) ֆիզիկայում համաչափության սկզբունքների մասին։ Հատոր 1-ում համառոտ ուրվագծվում են խմբերի տեսությունը և խմբային ներկայացումների տեսությունը, որը ընկած է համաչափությունների տեսության հիմքում, և քննարկում է այս տեսության կիրառությունը ատոմների կառուցվածքի և վերլուծության մեջ։ բյուրեղյա վանդակաճաղեր, ինչպես նաև միջուկների համաչափության հատկությունների նկարագրությանը և տարրական մասնիկներ. 2-րդ հատորում քննարկվում են մոլեկուլների էլեկտրոնային կառուցվածքը, տարածության և ժամանակի սիմետրիկ հատկությունները, փոխակերպման խմբերը և միատարր խմբերը և արտաքին դաշտերում մասնիկների հատկությունները:
Ֆիզիկոսների և մաթեմատիկոսների լայն շրջանակի համար՝ հետազոտողների, ասպիրանտների և ուսանողների համար:
Գիրքը գրվել է ֆիզիկոսի կողմից և ֆիզիկոսների համար: Սա մաթեմատիկոսների համար մերկ աբստրակցիա չէ, սակայն հաշվի են առնվում բազմաթիվ ֆիզիկական համակարգեր: խորհուրդ եմ տալիս:

Բեռնել

NEW O.V. Բոգոպոլսկին. Խմբերի տեսության ներածություն. 2002 թ 148 էջ djvu. 732 ԿԲ.
Գրքի նպատակն է արագ և խորը ներածություն տրամադրել խմբի տեսությանը: Առաջին մասում շարադրված են տեսության հիմունքները, կառուցվում է Մաթյեի սպորադիկ խումբը և բացատրվում է դրա կապը կոդավորման տեսության և Շտայների համակարգերի հետ: Երկրորդ մասում ուսումնասիրվում է ծառերի վրա գործող խմբերի Bass-Serre տեսությունը: Գրքի առանձնահատուկ առանձնահատկությունը վերջավոր և անվերջ խմբերի տեսությանը երկրաչափական մոտեցումն է։ Կան մեծ թվով օրինակներ, վարժություններ և նկարներ:
Հետազոտողների, ասպիրանտների և համալսարանականների համար:
Այս ներածությունը բավականին բարդ է և պահանջում է հանրահաշվի լավ իմացություն:

. . . . . . . . . . . . Բեռնել

Լավ: Ամինովը։ Համաչափության տեսություն. Դասախոսության նշումներ և առաջադրանքներ. 2002 թ 192 էջ djvu.
Սույն ձեռնարկը կազմված է «Մաթեմատիկայի լրացուցիչ գլուխներ» դասախոսությունների հիման վրա, որոնք հեղինակը երկար տարիներ կարդացել է տեսական ֆիզիկայում մասնագիտացած ուսանողների համար, «Սիմետրիայի տեսություն» ընտրովի դասընթացը երրորդ կուրսի ուսանողների համար և ֆիզիկայի ֆակուլտետի մագիստրատուրայի ուսանողների համար «Մաթեմատիկայի հավելյալ գլուխներ դիմումներով» դասընթաց. Դասախոսությունների բովանդակությունը հիմնականում ներկայացված է ձևով կարճ ամփոփում; Թեմաները, որոնց վերաբերյալ կատարվում են լաբորատոր առաջադրանքներ, նկարագրված են ավելի մանրամասն: Յուրաքանչյուր բաժնի խնդիրները լուծվում են ուսանողների կողմից գործնական վարժություններև ինքնուրույն: Ընդհանուր առմամբ, այս ձեռնարկը կոչված է օգնելու ուսանողներին առաջարկվող գրականության հետ արտադասարանական աշխատանքում:

. . . . . . . . . . . . Բեռնել

Վ.Ա.Արտամոնով, Յու.Սլովոխոտով. Խմբերը և դրանց կիրառությունները ֆիզիկայի, քիմիայի, բյուրեղագիտության մեջ: 2005թ 512 էջ djvu. 5,4 ՄԲ:
Սիստեմատիկորեն ներկայացվում է խմբերի տեսությունը և դիտարկվում են դրա ֆիզիկաքիմիական կիրառությունները: Ներկայացված են հիմնական խմբային կառուցվածքները, վերջավոր ձևավորված աբելյան և բյուրեղագրական խմբերի տեսությունը, վերջավոր խմբերի, գծային խմբերի և դրանց Ստի հանրահաշիվների ներկայացումների տեսության հիմունքները։ Համառոտ քննարկվում են քվազիկրիստալները, վերանորմալացման խմբերը, Հոպֆ հանրահաշիվները և տոպոլոգիական խմբերը։ Քննարկվում են սիմետրիայի հարաբերությունները մեխանիկայի, մոլեկուլային սպեկտրոսկոպիայի և ֆիզիկայի մեջ ամուր, ինչպես նաև ատոմների, միջուկների և տարրական մասնիկների տեսության մեջ։
Բարձրագույն կրթության բնական գիտությունների ուսանողների համար ուսումնական հաստատություններ. UMO կնիք դասական համալսարանական կրթության վրա. Կարող է օգտակար լինել ասպիրանտների և հետազոտողների համար:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ներբեռնել

Ալեքսեև V.B. Աբելի թեորեմը խնդիրների և լուծումների մեջ. 2001 թ 190 էջ PDF. 1,4 ՄԲ:
Այս գրքից ընթերցողը կսովորի, թե ինչպես որոշել հանրահաշվական հավասարումներ 3-րդ և 4-րդ աստիճաններ մեկ անհայտով և ինչու լուծել ավելի շատ հավասարումներ բարձր աստիճանգոյություն չունի ընդհանուր բանաձևեր(ռադիկալների մեջ): Միաժամանակ նա կծանոթանա ժամանակակից մաթեմատիկայի երկու շատ կարևոր բաժիններին՝ խմբի տեսությանը և բարդ փոփոխականի ֆունկցիաների տեսությանը։ Այս գրքի հիմնական նպատակներից է ընթերցողին հնարավորություն տալ փորձել իր ուժերը մաթեմատիկայի մեջ: Դրա համար գրեթե ողջ նյութը ներկայացված է սահմանումների, օրինակների և մեծ թվով խնդիրների տեսքով՝ տրված հրահանգներով և լուծումներով։
Գիրքը նախատեսված է լուրջ մաթեմատիկայով հետաքրքրվող ընթերցողների լայն շրջանակի համար (սկսած ավագ դպրոցի աշակերտներից), և ընթերցողից չի պահանջում որևէ հատուկ նախնական գիտելիքներ: Գիրքը կարող է ծառայել նաև որպես մաթեմատիկական շրջանի աշխատանքի ձեռնարկ։ Վերջինիս կասկածում եմ։ Հիմա նման դպրոցականներ չկան։ Բայց գիրքը օգտակար է։