Թեստ մաթեմատիկական վիճակագրություն թեմայով. Պարզ խնդիրներ հավանականությունների տեսության մեջ. Հիմնական բանաձև. Թեստ հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության ընթացքի վերաբերյալ

Զորավարժություններ

Դեմո տարբերակ

1. և - անկախ միջոցառումներ: Այդ դեպքում ճշմարիտ է հետևյալ պնդումը. ա) դրանք միմյանց բացառող իրադարձություններ են

բ)

է)

դ)

2. , , - իրադարձությունների հավանականություններ , , 0 " style="margin-left:55.05pt;border-collapse:collapse;border:none">

3. Իրադարձությունների հավանականությունները և https://pandia.ru/text/78/195/images/image012_30.gif" width="105" height="28 src=">.gif" width="55" height="24" > Կա.

ա) 1,25 բ) 0,3886 գ) 0,25 դ) 0,8614

դ) ճիշտ պատասխան չկա

4. Ապացուցե՛ք հավասարությունը՝ օգտագործելով ճշմարտության աղյուսակները կամ ցույց տվեք, որ այն սխալ է:

1. Միաժամանակ երկու զառ ենք գցում։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ գծված միավորների գումարը 6-ից ոչ ավել լինի։

Ա) ; բ) ; V) ; G) ;

դ) ճիշտ պատասխան չկա

2. CRAFT բառի յուրաքանչյուր տառը գրվում է առանձին քարտի վրա, այնուհետև խառնվում են քարտերը։ Մենք պատահականորեն երեք քարտ ենք հանում: Որքա՞ն է «ԱՆՏԱՌ» բառը ստանալու հավանականությունը։

Ա) ; բ) ; V) ; G) ;

դ) ճիշտ պատասխան չկա

3. Երկրորդ կուրսի ուսանողների 50%-ը երբեք չի բաց թողել դասերը, 40%-ը կիսամյակում ոչ ավելի, քան 5 օր, իսկ 10%-ը՝ 6 և ավելի օր: Դասերից չբացակայած ուսանողներից ամենաբարձր միավորը ստացել է 40%-ը, 5 օրից ոչ ավել բաց թողածների շրջանում՝ 30%-ը, իսկ մնացածների շրջանում՝ 10%-ը։ Քննությունից ուսանողը ստացել է ամենաբարձր միավորը։ Գտեք հավանականությունը, որ նա դասերից բաց է թողել ավելի քան 6 օր:

ա) https://pandia.ru/text/78/195/images/image024_14.gif" width="17 height=53" height="53">; գ) ; դ) ;ե) ճիշտ պատասխան չկա.

Թեստ հավանականությունների տեսության ընթացքի վրա և մաթեմատիկական վիճակագրություն.

Բաժին 3. Դիսկրետ պատահական փոփոխականներ և դրանց թվային բնութագրերը:

ԶորավարժություններԸնտրեք ճիշտ պատասխանը և աղյուսակում նշեք համապատասխան տառը:

Դեմո տարբերակ

1 . Դիսկրետ պատահական փոփոխականներ X-ին և Y-ին տրված են իրենց սեփական օրենքները

բաշխում

Պատահական փոփոխական Z = X+Y: Գտեք հավանականությունը

ա) 0,7; բ) 0,84; գ) 0,65; դ) 0,78; դ) ճիշտ պատասխան չկա

2. X, Y, Z անկախ դիսկրետ պատահական փոփոխականներ են: X արժեքը բաշխվում է ըստ երկանդամ օրենքի n=20 և p=0.1 պարամետրերով։ Y արժեքը բաշխվում է ըստ երկրաչափական օրենքի՝ p=0.4 պարամետրով։ Z-ի արժեքը բաշխվում է ըստ Պուասոնի օրենքի՝ =2 պարամետրով։ Գտե՛ք U= 3X+4Y-2Z պատահական փոփոխականի շեղումը

ա) 16.4 բ) 68.2; գ) 97.3; դ) 84.2; դ) ճիշտ պատասխան չկա

3. Բաշխման օրենքով սահմանված երկչափ պատահական վեկտոր (X, Y):

Իրադարձություն, իրադարձություն . Որքա՞ն է A+B իրադարձության հավանականությունը:

ա) 0,62; բ) 0,44; գ) 0,72; դ) 0,58; դ) ճիշտ պատասխան չկա

Թեստ հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակագրության ընթացքի վերաբերյալ:

Բաժին 4. Շարունակական պատահական փոփոխականները և դրանց թվային բնութագրերը:

ԶորավարժություններԸնտրեք ճիշտ պատասխանը և աղյուսակում նշեք համապատասխան տառը:

Տարբերակ ցուցադրություն

1. Անկախ շարունակական պատահական X և Y փոփոխականները հավասարաչափ բաշխված են հատվածների վրա՝ X https://pandia.ru/text/78/195/images/image032_6.gif" width="32" height="23">:

Պատահական փոփոխական Z = 3X +3Y +2: Գտեք D(Z)

ա) 47,75; բ) 45,75; գ) 15.25; դ) 17.25; դ) ճիշտ պատասխան չկա

2 ..gif" width="97" height="23">

ա) 0,5; բ) 1; գ) 0; դ) 0,75; դ) ճիշտ պատասխան չկա

3. Շարունակական պատահական X փոփոխականը որոշվում է իր հավանականության խտությամբ https://pandia.ru/text/78/195/images/image036_7.gif" width="99" height="23 src=">:

ա) 0,125; բ) 0,875; գ)0,625; դ) 0,5; դ) ճիշտ պատասխան չկա

4. X պատահական փոփոխականը սովորաբար բաշխվում է 8 և 3 պարամետրերով: Գտեք

ա) 0,212; բ) 0,1295; գ)0.3413; դ) 0,625; դ) ճիշտ պատասխան չկա

1. Առաջարկվում են մաթեմատիկական ակնկալիքի հետևյալ գնահատականները https://pandia.ru/text/78/195/images/image041_6.gif" width="98" height="22">.

Ա) https://pandia.ru/text/78/195/images/image043_5.gif" width="205" height="40">

Բ) https://pandia.ru/text/78/195/images/image045_4.gif" width="205" height="40">

Դ) 0 " style="margin-left:69.2pt;border-collapse:collapse;border:none">

2. Նախորդ խնդրի յուրաքանչյուր չափման շեղումը կազմում է. Այնուհետև առաջին խնդրի մեջ ստացված անաչառ գնահատականներից ամենաարդյունավետը կլինի գնահատումը

3. Հիմք ընդունելով Պուասոնի օրենքին հնազանդվող X պատահական փոփոխականի անկախ դիտարկումների արդյունքները, կառուցեք անհայտ պարամետրի գնահատում՝ օգտագործելով մոմենտների մեթոդը 425 " style="width:318.65pt;margin-left:154.25pt;border-collapse: փլուզում; եզրագիծ:none">

ա) 2,77; բ) 2,90; գ) 0,34; դ) 0,682; դ) ճիշտ պատասխան չկա

4. 90% վստահության միջակայքի կես լայնությունը կառուցված է նորմալ բաշխված պատահական X փոփոխականի անհայտ մաթեմատիկական ակնկալիքը գնահատելու համար n=120 ընտրանքի չափի համար, ընտրանքի միջինը https://pandia.ru/text/78/195/images/image052_3 .gif" width="19 " height="16">=5, այո

ա) 0,89; բ) 0,49; գ) 0,75; դ) 0,98; դ) ճիշտ պատասխան չկա

Վավերացման մատրիցա – թեստային ցուցադրություն

Տարբերակ թիվ 1

1. 800 աղյուսից բաղկացած խմբաքանակում կա 14 թերի: Տղան այս լոտից պատահական ընտրում է մեկ աղյուս և նետում շինհրապարակի ութերորդ հարկից։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ նետված աղյուսը թերի կլինի:
2. Ֆիզիկայի 11-րդ դասարանի քննական գրքույկը բաղկացած է 75 տոմսից։ Դրանցից 12-ում լազերների մասին հարց կա։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ Ստյոպայի աշակերտը, պատահականորեն տոմս ընտրելով, բախվի լազերների մասին հարցի։
3. 100 մ վազքի առաջնությանը մասնակցում են 3 մարզիկներ Իտալիայից, 5 մարզիկներ Գերմանիայից և 4 մարզիկներ Ռուսաստանից: Յուրաքանչյուր մարզիկի համար գոտիների համարը որոշվում է վիճակահանությամբ: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ Իտալիայից մարզիկը կհայտնվի երկրորդ գոտում։
4. Խանութ է հասցվել 1500 շիշ օղի։ Հայտնի է, որ դրանցից 9-ը ժամկետանց են։ Գտեք հավանականությունը, որ հարբեցողը պատահական մեկ շիշ ընտրելով վերջում կգնի ժամկետանց շիշ:
5. Քաղաքում գործում են տարբեր բանկերի 120 գրասենյակներ։ Տատիկը պատահականորեն ընտրում է այս բանկերից մեկը և դրանում ավանդ է բացում 100000 ռուբլու չափով: Հայտնի է, որ ճգնաժամի ընթացքում սնանկացել է 36 բանկ, և այդ բանկերի ավանդատուները կորցրել են իրենց ողջ գումարը։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ տատիկը չի կորցնի իր ավանդը:
6. 12-ժամյա հերթափոխում աշխատողը թվային կառավարվող մեքենայի վրա արտադրում է 600 դետալ։ Կտրող գործիքի թերության պատճառով մեքենան արտադրել է 9 թերի դետալ։ Աշխատանքային օրվա վերջում արտադրամասի վարպետը պատահականության սկզբունքով վերցնում է մի մասը և ստուգում այն։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ նա կհանդիպի թերի մասի։

Թեստ «Հավանականության տեսությունը միասնական պետական ​​քննության խնդիրներում» թեմայով.

Տարբերակ թիվ 1

1. Մոսկվայի Կիևսկի երկաթուղային կայարանում կա 28 տոմսարկղ, որոնց կողքին 4000 ուղևոր է կուտակվել՝ ցանկանալով գնել գնացքի տոմսեր։ Վիճակագրորեն այս ուղեւորներից 1680-ը անբավարար են: Գտեք հավանականությունը, որ 17-րդ պատուհանում նստած գանձապահը կհանդիպի ոչ ադեկվատ ուղևորի (հաշվի առնելով, որ ուղևորները պատահականորեն ընտրում են տոմսարկղ):
2. Russian Standard Bank-ը վիճակախաղ է անցկացնում իր հաճախորդների՝ Visa Classic և Visa Gold քարտերի սեփականատերերի համար: Խաղարկվելու է 6 Opel Astra ավտոմեքենա, 1 Porsche Cayenne և 473 iPhone 4 հեռախոս, հայտնի է, որ մենեջեր Վասյան թողարկել է Visa Classic քարտ և դարձել վիճակախաղի հաղթող։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ նա կշահի Opel Astra, եթե մրցանակը պատահականության սկզբունքով ընտրվի:
3. Վլադիվոստոկում վերանորոգվել է դպրոցը և տեղադրվել 1200 նոր պլաստիկ պատուհաններ։ 11-րդ դասարանի աշակերտը, ով չցանկացավ մասնակցել մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը, մարգագետնում 45 սալաքար է հայտնաբերել և սկսել է պատահական նետել պատուհանների վրա: Ի վերջո նա կոտրել է 45 ապակի։ Գտեք հավանականությունը, որ տնօրենի աշխատասենյակի պատուհանը չի կոտրվի.
4. Ամերիկյան ռազմական գործարանը ստացել է չինական արտադրության 9000 կեղծ չիպերի խմբաքանակ։ Այս չիպերը տեղադրված են M-16 հրացանի էլեկտրոնային տեսադաշտերում։ Հայտնի է, որ նշված խմբաքանակի 8766 չիպերը թերի են, և նման չիպերով տեսարժան վայրերը ճիշտ չեն աշխատի։ Գտեք այն հավանականությունը, որ պատահականորեն ընտրված էլեկտրոնային տեսարանը ճիշտ է աշխատում:
5. Տատիկը 2400 բանկա վարունգ է պահում իր գյուղական տան ձեղնահարկում: Հայտնի է, որ դրանցից 870-ը վաղուց փտել են։ Երբ տատիկի թոռնուհին եկավ նրան այցելելու, նա տվեց նրան իր հավաքածուից մեկ բանկա՝ պատահական ընտրելով այն: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ ձեր թոռնուհին մի բանկա փտած վարունգ է ստացել:
6. Շինարարության 7 միգրանտ աշխատողների թիմն առաջարկում է բնակարանների վերանորոգման ծառայություններ: Ամառային սեզոնին կատարել են 360 պատվեր, իսկ 234 դեպքում մուտքից շինարարական աղբ չեն հանել։ Կոմունալ ծառայությունները պատահականորեն ընտրում են մեկ բնակարան և ստուգում վերանորոգման աշխատանքների որակը: Գտեք հավանականությունը, որ կոմունալ ծառայությունների աշխատողները ստուգելիս չեն պատահի շինարարական աղբի վրա:

Պատասխանները:

1 տարբերակ

1. Փորձը կատարվել է n անգամ, A իրադարձությունը տեղի է ունեցել m անգամ: Գտե՛ք Ա իրադարձության առաջացման հաճախականությունը՝ n=m=100

2. Զառերը նետվել են: Որքա՞ն է զույգ միավորներ ստանալու հավանականությունը:

Պատասխան.

1 2 – 2-րդ մասը թերի է, Ա 3 – 3-րդ մասը թերի է։ Գրանցեք իրադարձություն. B – բոլոր մասերը թերի են:

Պատասխան.

--րդ կաթսան աշխատում է ( =1,2,3): Գրանցեք իրադարձությունը. տեղադրումն աշխատում է, մեքենա-կաթսայի տեղադրումն աշխատում է, եթե մեքենան և առնվազն մեկ կաթսա աշխատում են:

Պատասխան.

5. Պատահական կարգով դարակում դրվել է ստեղծագործությունների n-հատոր հավաքածու: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ գրքերը լինեն ծավալային թվերի աճման կարգով, եթե n = 5:

Պատասխան.

6. Խմբում կա 8 աղջիկ և 6 տղա։ Նրանք բաժանվեցին երկու հավասար ենթախմբի։ Քանի՞ արդյունք է նպաստում իրադարձությանը. բոլոր տղաները կհայտնվեն նույն ենթախմբում:

7. Մետաղադրամը նետվել է 3 անգամ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ գլուխները կհայտնվեն 3 անգամ:

Պատասխանները:

8. Տուփում կա 25 գնդակ, որից 10-ը սպիտակ, 7-ը՝ կապույտ, 3-ը՝ դեղին, 5-ը՝ կապույտ։ Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ պատահականորեն գծված գնդակը սպիտակ է:

Պատասխանները:

9. Ընտրի՛ր ճիշտ պատասխանը.

Պատասխանները:

10. Ընտրի՛ր ճիշտ պատասխանը՝ Հավանականության ընդհանուր բանաձև

11. Գտե՛ք P (AB), եթե

Պատասխանները:

12. Գտե՛ք, եթե P(A) = 0,2

13. A և B իրադարձություններն անհամատեղելի են: Գտեք P(A + B), եթե P(A) = P(B) = 0.3

14. Գտե՛ք P (A+B), եթե P(A)=P(B)=0.3 P(AB)=0.1

15. Փորձն իրականացվել է n անգամ։ A իրադարձությունը տեղի է ունեցել m անգամ: Գտե՛ք Ա իրադարձության առաջացման հաճախականությունը՝ n = 10, m = 2

16. Թեստերը կրկնելիս իրադարձության դեպքերի ամենահավանական թիվը հայտնաբերվում է բանաձևով.

17. Յուրաքանչյուր DSV արժեքի և համապատասխան հավանականության արտադրյալների գումարը կոչվում է:

p = 0,9; n=10

p = 0,9; n=10

22. . Նշված է DSV-ի բաշխման երկանդամ օրենքը: Գտեք P(x

23. Գտե՛ք համապատասխան բանաձեւը՝ M(x) = ?

Պատասխանները:

Գտնել.

Պատասխանները:

Պատասխանները:

27. Պատահական փոփոխականն ունի միատեսակ բաշխում, եթե

Պատասխանները:

Պատասխանները:

Պատասխան՝ ա) բ)

գ) դ)

30. Բանաձեւում

Պատասխանները:

Թեստ «Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» առարկայից.

Տարբերակ 2

1. Փորձը կատարվել է n անգամ, A իրադարձությունը տեղի է ունեցել m անգամ: Գտե՛ք Ա իրադարձության առաջացման հաճախականությունը՝ n=1000; մ=100

Պատասխան՝ ա) 0,75 բ) 1 գ) 0,5 դ) 0,1

2. Զառերը նետվել են: Որքա՞ն է չորսից ավելի միավոր ստանալու հավանականությունը:

Պատասխան.

3. Տուփում կա 20 ստանդարտ դետալ և 7 թերի դետալ։ Երեք մաս են քաշել. Իրադարձություն Ա 1 – 1-ին մասը թերի է, Ա 2 – 2-րդ մասը թերի է, Ա 3 – 3-րդ մասը թերի է։ Ձայնագրեք իրադարձություն. B – բոլոր մանրամասները ստանդարտ են:

Պատասխան.

4. Թող A-ն լինի աշխատող մեքենան, B--րդ կաթսան աշխատում է ( =1,2,3): Գրանցեք իրադարձությունը. տեղադրումն աշխատում է, մեքենա-կաթսայի տեղադրումն աշխատում է, եթե մեքենան և առնվազն երկու կաթսա աշխատում են:

Պատասխան.

5. Պատահական կարգով դարակում դրվել է ստեղծագործությունների n-հատոր հավաքածու: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ գրքերը լինեն ծավալային թվերի աճման կարգով, եթե n = 8:

Պատասխան.

6. Խմբում կա 8 աղջիկ և 6 տղա։ Նրանք բաժանվեցին երկու հավասար ենթախմբի։ Քանի՞ արդյունք է նպաստում իրադարձությանը. 2 երիտասարդ կհայտնվեն մի ենթախմբում, իսկ 4-ը՝ մյուսում:

Պատասխաններ ա) 8 բ) 168 գ) 840 դ) 56

7. Մետաղադրամը նետվել է 3 անգամ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ «գլուխները» մեկ անգամ կհայտնվեն։

Պատասխանները:

8. Տուփում կա 25 գնդակ, որից 10-ը սպիտակ, 7-ը՝ կապույտ, 3-ը՝ դեղին, 5-ը՝ կապույտ։ Գտեք հավանականությունը, որ պատահականորեն գծված գնդակը կապույտ է:

Պատասխանները:

9. Ընտրի՛ր ճիշտ պատասխանը.

Պատասխանները:

10. Ընտրի՛ր ճիշտ պատասխանը՝ Բեռնուլիի բանաձև

11. Գտե՛ք P (AB), եթե

Պատասխանները:

12. Գտե՛ք, եթե P(A) = 0,8

Պատասխաններ՝ ա) 0,5 բ) 0,8 գ) 0,2 դ) 0,6

13. A և B իրադարձություններն անհամատեղելի են: Գտեք P(A + B), եթե P(A) = 0.25 P(B) = 0.45

Պատասխաններ՝ ա) 0,9 բ) 0,8 գ) 0,7 դ) 0,6

14. Գտե՛ք P (A+B), եթե P(A)=0.2 P(B)=0.8 P(AB)=0.1

Պատասխաններ՝ ա) 0,5 բ) 0,6 գ) 0,9 դ) 0,7

15. Փորձն իրականացվել է n անգամ։ A իրադարձությունը տեղի է ունեցել m անգամ: Գտե՛ք Ա իրադարձության առաջացման հաճախականությունը՝ n = 20, m = 3

Պատասխաններ՝ ա) բ) 0,2 գ) 0,25 դ) 0,15

16. Moivre-Laplace-ի տեղական թեորեմ

17. X պատահական փոփոխականի և նրա քառակուսի տարբերության մաթեմատիկական ակնկալիքը մաթեմատիկական ակնկալիքկոչված:

Պատասխաններ՝ ա) պատահական փոփոխականի ցրում բ) DSV-ի մաթեմատիկական ակնկալիք

Գ) ստանդարտ շեղում դ) DSV բաշխման օրենքը

18. Կթող մեքենայի մեկ խցիկի անխափան աշխատանքի հավանականությունը հավասար է պ. X-ը n կով կթելու ընթացքում անխափան կթման միավորի բջիջների թիվն է: Գտեք M(x):

p = 0,8; n=9

Պատասխաններ՝ ա) 8.4 բ) 6 գ) 7.2 դ) 9

19. Կթող մեքենայի մեկ բջիջի անխափան աշխատանքի հավանականությունը հավասար է պ. X-ը n կով կթելու ընթացքում անխափան կթման միավորի բջիջների թիվն է: Գտեք D(x):

p = 0,8; n=9

Պատասխաններ՝ ա) 2.52 բ) 3. 6 գ) 1.44 դ) 0. 9.

20. Տրված է DSV-ի բաշխման երկանդամ օրենքը. Գտեք M(x):

Պատասխաններ՝ ա) 2,8 բ) 1,2 գ) 2,4 դ) 0,8

21. Տրված է DSV-ի բաշխման երկանդամ օրենքը. Գտեք D(x):

Պատասխաններ՝ ա) 0,96 բ) 0,64 գ) 0,36 դ) 0,84

22. Տրված է DSV-ի բաշխման երկանդամ օրենքը. Գտեք P (x>2):

Պատասխաններ՝ ա) 0,0272 բ) 0,0272 գ) 0,3398 դ) 0,1792

23. Գտե՛ք համապատասխան բանաձեւը՝ D(x) = ?

Պատասխանները:

24. Տրված է ԴՍՎ-ի բաշխման օրենքը. Գտեք M(x):

Պատասխան՝ ա) 3,8 բ) 4,2 գ) 0,7 դ) 1,9

25. Տրված է DSV բաշխման օրենքը. Գտեք.

Պատասխանները:

Պատասխանները:

27. Պատահական փոփոխականն ունի նորմալ բաշխում, Եթե

Պատասխանները:

28. Գտե՛ք f(x) դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիան, եթե

Պատասխանները:

29. Գտե՛ք F(x) կուտակային բաշխման ֆունկցիան, եթե

Պատասխան՝ ա) բ)

գ) դ)

30. Բանաձեւում

Պատասխանները:

Թեստ «Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» առարկայից.

Տարբերակ 3

1. Փորձը կատարվել է n անգամ, A իրադարձությունը տեղի է ունեցել m անգամ: Գտե՛ք Ա իրադարձության առաջացման հաճախականությունը՝ n=500 m=255

Պատասխան՝ ա) 0,75 բ) 1 գ) 0,5 դ) 0,1

2. Զառերը նետվել են: Որքա՞ն է հինգ կետից պակաս գլորվելու հավանականությունը:

Պատասխան.

3. Տուփում կա 20 ստանդարտ դետալ և 7 թերի դետալ։ Երեք մաս են քաշել. Իրադարձություն Ա 1 – 1-ին մասը թերի է, Ա 2 – 2-րդ մասը թերի է, Ա 3 – 3-րդ մասը թերի է։ Ձայնագրեք իրադարձությունը. B – առնվազն մի մասը թերի է:

Պատասխան.

4. Թող A-ն լինի աշխատող մեքենան, B--րդ կաթսան աշխատում է ( =1,2,3): Ձայնագրեք իրադարձությունը. տեղադրումն աշխատում է, մեքենա-կաթսայի տեղադրումն աշխատում է, եթե մեքենան և բոլոր կաթսաները աշխատում են:

Պատասխան.

5. Պատահական կարգով դարակում դրվել է ստեղծագործությունների n-հատոր հավաքածու: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ հարյուր գիրք կածավալային թվերի աճման կարգով, եթե n = 10:

Պատասխան.

6. Խմբում կա 8 աղջիկ և 6 տղա։ Նրանք բաժանվեցին երկու հավասար ենթախմբի։ Քանի՞ արդյունք է նպաստում միջոցառմանը. 3 երիտասարդներ կհայտնվեն մի ենթախմբում, իսկ 3-ը՝ մյուսում:

Պատասխաններ ա) 8 բ) 168 գ) 840 դ) 56

7. Մետաղադրամը նետվել է 3 անգամ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ գլուխները գոնե մեկ անգամ կհայտնվեն։

Պատասխանները:

8. Տուփում կա 25 գնդակ, որից 10-ը սպիտակ, 7-ը՝ կապույտ, 3-ը՝ դեղին, 5-ը՝ կապույտ։ Գտե՛ք այն հավանականությունը, որ պատահականորեն գծված գնդակը դեղին է:

Պատասխանները:

9. Ընտրի՛ր ճիշտ պատասխանը.

Պատասխանները:

10. Ընտրի՛ր ճիշտ պատասխանը՝ Բեյսի բանաձև

11. Գտե՛ք P (AB), եթե

Պատասխանները:

12. Գտե՛ք, եթե P(A) = 0,5

Պատասխաններ՝ ա) 0,5 բ) 0,8 գ) 0,2 դ) 0,6

13. A և B իրադարձությունները անհամատեղելի են: Գտեք P(A + B), եթե P(A) = 0.7 P(B) = 0.1

Պատասխաններ՝ ա) 0,9 բ) 0,8 գ) 0,7 դ) 0,6

14. Գտեք P (A + B), եթե P (A) = 0.5 P (B) = 0.2 P (AB) = 0.1

Պատասխաններ՝ ա) 0,5 բ) 0,6 գ) 0,9 դ) 0,7

15. Փորձն իրականացվել է n անգամ։ A իրադարձությունը տեղի է ունեցել m անգամ: Գտե՛ք Ա իրադարձության առաջացման հաճախականությունը՝ n = 40, m = 10

Պատասխաններ՝ ա) բ) 0,2 գ) 0,25 դ) 0,15

16. Լապլասի ինտեգրալ թեորեմը

17. Պատահական փոփոխականի շեղման քառակուսի արմատը կոչվում է.

Պատասխաններ՝ ա) պատահական փոփոխականի ցրում բ) DSV-ի մաթեմատիկական ակնկալիք

Գ) ստանդարտ շեղում դ) DSV բաշխման օրենքը

18. Կթող մեքենայի մեկ խցիկի անխափան աշխատանքի հավանականությունը հավասար է պ. X-ը n կով կթելու ընթացքում անխափան կթման միավորի բջիջների թիվն է: Գտեք M(x):

p = 0,7; n = 12

Պատասխաններ՝ ա) 8.4 բ) 6 գ) 7.2 դ) 9

19. Կթող մեքենայի մեկ բջիջի անխափան աշխատանքի հավանականությունը հավասար է պ. X-ը n կով կթելու ընթացքում անխափան կթման միավորի բջիջների թիվն է: Գտեք D(x):

p = 0,7; n = 12

Պատասխաններ՝ ա) 2.52 բ) 3. 6 գ) 1.44 դ) 0. 9.

20. Տրված է DSV-ի բաշխման երկանդամ օրենքը. Գտեք M(x):

Պատասխաններ՝ ա) 2,8 բ) 1,2 գ) 2,4 դ) 0,8

21. Տրված է DSV-ի բաշխման երկանդամ օրենքը. Գտեք D(x):

Պատասխաններ՝ ա) 0,96 բ) 0,64 գ) 0,36 դ) 0,84

22. Տրված է DSV-ի բաշխման երկանդամ օրենքը. Գտեք P (0

Պատասխաններ՝ ա) 0,0272 բ) 0,0272 գ) 0,3398 դ) 0,1792

(x) = ?

Պատասխանները:

24. Տրված է ԴՍՎ-ի բաշխման օրենքը. Գտեք M(x):

Պատասխան՝ ա) 3,8 բ) 4,2 գ) 0,7 դ) 1,9

25. Տրված է DSV բաշխման օրենքը. Գտեք

Պատասխանները:

Պատասխանները:

27. Պատահական փոփոխականն ունի էքսպոնենցիալ բաշխում, եթե

Պատասխանները:

28. Գտե՛ք f(x) դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիան, եթե

Պատասխանները:

29. Գտե՛ք F(x) կուտակային բաշխման ֆունկցիան, եթե

Պատասխան՝ ա) բ)

գ) դ)

30. Բանաձեւում

Պատասխանները:

Թեստ «Հավանականությունների տեսություն և մաթեմատիկական վիճակագրություն» առարկայից.

Տարբերակ 4

1. Փորձը կատարվել է n անգամ, A իրադարձությունը տեղի է ունեցել m անգամ: Գտե՛ք Ա իրադարձության առաջացման հաճախականությունը՝ n=400 m=300

Պատասխան՝ ա) 0,75 բ) 1 գ) 0,5 դ) 0,1

2. Զառերը նետվել են: Որքա՞ն է վեց միավորից պակաս գլորվելու հավանականությունը:

Պատասխան.

3. Տուփում կա 20 ստանդարտ դետալ և 7 թերի դետալ։ Երեք մաս են քաշել. Իրադարձություն Ա 1 – 1-ին մասը թերի է, Ա 2 – 2-րդ մասը թերի է, Ա 3 – 3-րդ մասը թերի է։ Ձայնագրեք իրադարձությունը. B – մի ​​մասը թերի է, իսկ երկուսը` ստանդարտ:

Պատասխան.

4. Թող A-ն լինի աշխատող մեքենան, B--րդ կաթսան աշխատում է ( =1,2,3): Գրանցեք իրադարձությունը. տեղադրումն աշխատում է, մեքենա-կաթսայի տեղադրումն աշխատում է, եթե մեքենան աշխատում է. 1-ին կաթսա և մյուս երկու կաթսաներից առնվազն մեկը:

Պատասխան.

5. Պատահական կարգով դարակում դրվել է ստեղծագործությունների n-հատոր հավաքածու: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ գրքերը լինեն ծավալային թվերի աճման կարգով, եթե n = 7:

Պատասխան.

6. Խմբում կա 8 աղջիկ և 6 տղա։ Նրանք բաժանվեցին երկու հավասար ենթախմբի։ Քանի՞ արդյունք է նպաստում իրադարձությանը. 5 երիտասարդ կհայտնվեն մի ենթախմբում, իսկ 1-ը՝ մյուսում:

Պատասխաններ ա) 8 բ) 168 գ) 840 դ) 56

7. Մետաղադրամը նետվել է 3 անգամ։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ գլուխները մեկից ավելի անգամ կհայտնվեն:

Պատասխանները:

8. Տուփում կա 25 գնդակ, որից 10-ը սպիտակ, 7-ը՝ կապույտ, 3-ը՝ դեղին, 5-ը՝ կապույտ։ Գտեք հավանականությունը, որ պատահականորեն գծված գնդակը կապույտ է:

Պատասխանները:

9. Ընտրի՛ր ճիշտ պատասխանը.

Պատասխանները:

10. Ընտրի՛ր ճիշտ պատասխանը՝ Կախված իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալի բանաձևը

11. Գտե՛ք P (AB), եթե

Պատասխանները:

12. Գտե՛ք, եթե P(A) = 0,4

Պատասխաններ՝ ա) 0,5 բ) 0,8 գ) 0,2 դ) 0,6

13. A և B իրադարձություններն անհամատեղելի են: Գտեք P(A + B), եթե P(A) = 0.6 P(B) = 0.3

Պատասխաններ՝ ա) 0,9 բ) 0,8 գ) 0,7 դ) 0,6

14. Գտեք P (A + B), եթե P (A) = 0.6 P (B) = 0.4 P (AB) = 0.4

Պատասխաններ՝ ա) 0,5 բ) 0,6 գ) 0,9 դ) 0,7

15. Փորձն իրականացվել է n անգամ։ A իրադարձությունը տեղի է ունեցել m անգամ: Գտե՛ք Ա իրադարձության առաջացման հաճախականությունը՝ n = 60, m = 10

Պատասխաններ՝ ա) բ) 0,2 գ) 0,25 դ) 0,15

16. Բեռնուլիի թեորեմը

17. Համապատասխանությունը, որը կապ է հաստատում պատահական փոփոխականի հնարավոր արժեքների և դրանց հավանականությունների միջև, կոչվում է.

Պատասխաններ՝ ա) պատահական փոփոխականի ցրում բ) DSV-ի մաթեմատիկական ակնկալիք

Գ) ստանդարտ շեղում դ) DSV բաշխման օրենքը

18. Կթող մեքենայի մեկ խցիկի անխափան աշխատանքի հավանականությունը հավասար է պ. X-ը n կով կթելու ընթացքում անխափան կթման միավորի բջիջների թիվն է: Գտեք M(x):

p = 0,6; n=10

Պատասխաններ՝ ա) 8.4 բ) 6 գ) 7.2 դ) 9

19. Կթող մեքենայի մեկ բջիջի անխափան աշխատանքի հավանականությունը հավասար է պ. X-ը n կով կթելու ընթացքում անխափան կթման միավորի բջիջների թիվն է: Գտեք D(x):

p = 0,6; n=10

Պատասխաններ՝ ա) 2.52 բ) 3. 6 գ) 1.44 դ) 0. 9.

20. Տրված է DSV-ի բաշխման երկանդամ օրենքը. Գտեք M(x):

Պատասխաններ՝ ա) 2,8 բ) 1,2 գ) 2,4 դ) 0,8

21. Տրված է DSV-ի բաշխման երկանդամ օրենքը. Գտեք D(x):

Պատասխաններ՝ ա) 0,96 բ) 0,64 գ) 0,36 դ) 0,84

22. . Նշված է DSV-ի բաշխման երկանդամ օրենքը: Գտեք P(1

Պատասխաններ՝ ա) 0,0272 բ) 0,0272 գ) 0,3398 դ) 0,1792

23. Գտե՛ք համապատասխան բանաձեւը.

Պատասխանները:

24. Տրված է ԴՍՎ-ի բաշխման օրենքը. Գտեք M(x):

Պատասխան՝ ա) 3,8 բ) 4,2 գ) 0,7 դ) 1,9

25. Տրված է DSV բաշխման օրենքը. Գտեք

Պատասխանները:

Պատասխանները:

27. Պատահական փոփոխականն ունի երկանդամ բաշխում, Եթե

Պատասխանները:

28. Գտե՛ք f(x) դիֆերենցիալ բաշխման ֆունկցիան, եթե

Պատասխանները:

29. Գտե՛ք F(x) կուտակային բաշխման ֆունկցիան, եթե

Պատասխան՝ ա) բ)

գ) դ)

30. Բանաձեւում

Պատասխանները:

Մինչ օրս ներկայացված է մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության խնդիրների բաց բանկում (mathege.ru), որոնց լուծումը հիմնված է միայն մեկ բանաձևի վրա, որը հավանականության դասական սահմանումն է։

Բանաձևը հասկանալու ամենահեշտ ձևը օրինակներով է:
Օրինակ 1.Զամբյուղում կա 9 կարմիր և 3 կապույտ գնդակ: Գնդակները տարբերվում են միայն գույնով։ Պատահականորեն (առանց նայելու) հանում ենք դրանցից մեկը։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ այս կերպ ընտրված գնդակը կապույտ կլինի:

Մեկնաբանություն.Հավանականությունների տեսության խնդիրներում ինչ-որ բան տեղի է ունենում (in այս դեպքումգնդակը դուրս հանելու մեր գործողությունը), որը կարող է ունենալ այլ արդյունք՝ ելք։ Պետք է նշել, որ արդյունքին կարելի է տարբեր կերպ նայել։ «Մենք ինչ-որ գնդակ հանեցինք» նույնպես արդյունք է։ «Մենք հանեցինք կապույտ գնդակը»՝ արդյունքը. «Մենք հենց այս գնդակը հանեցինք բոլոր հնարավոր գնդակներից», - արդյունքի այս ամենաքիչ ընդհանրացված տեսակետը կոչվում է տարրական արդյունք: Հավանականության հաշվարկման բանաձևում նախատեսված են տարրական արդյունքները:

Լուծում.Հիմա եկեք հաշվարկենք կապույտ գնդակի ընտրության հավանականությունը։
Իրադարձություն A. «ընտրված գնդակը կապույտ է»
Բոլոր հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թիվը՝ 9+3=12 (բոլոր գնդակների թիվը, որոնք մենք կարող էինք նկարել)
A իրադարձության համար բարենպաստ արդյունքների քանակը՝ 3 (այդպիսի ելքերի թիվը, որոնցում տեղի է ունեցել A իրադարձությունը, այսինքն՝ կապույտ գնդակների քանակը)
P(A)=3/12=1/4=0.25
Պատասխան՝ 0,25

Նույն խնդրի համար եկեք հաշվարկենք կարմիր գնդակ ընտրելու հավանականությունը։
Հնարավոր արդյունքների ընդհանուր թիվը կմնա անփոփոխ՝ 12. Բարենպաստ ելքերի քանակը՝ 9. Փնտրվող հավանականություն՝ 9/12=3/4=0,75

Ցանկացած իրադարձության հավանականությունը միշտ գտնվում է 0-ի և 1-ի միջև:
Երբեմն առօրյա խոսքում (բայց ոչ հավանականության տեսության մեջ) իրադարձությունների հավանականությունը գնահատվում է որպես տոկոս։ Մաթեմատիկայի և խոսակցական միավորների միջև անցումը կատարվում է 100%-ով բազմապատկելով (կամ բաժանելով):
Այսպիսով,
Ավելին, հավանականությունը զրոյական է իրադարձությունների համար, որոնք չեն կարող տեղի ունենալ՝ անհավանական։ Օրինակ, մեր օրինակում սա կլինի զամբյուղից կանաչ գնդակ հանելու հավանականությունը: (Բարենպաստ արդյունքների թիվը 0 է, P(A)=0/12=0, եթե հաշվարկվում է բանաձևով)
Հավանականություն 1-ն ունի իրադարձություններ, որոնք բացարձակապես անկասկած տեղի կունենան՝ առանց տարբերակների: Օրինակ, հավանականությունը, որ «ընտրված գնդակը կլինի կամ կարմիր կամ կապույտ», մեր խնդիրն է: (Բարենպաստ արդյունքների քանակը՝ 12, P(A)=12/12=1)

Մենք դիտարկեցինք դասական օրինակ, որը ցույց է տալիս հավանականության սահմանումը: Բոլորը նման են Միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքներԸստ հավանականության տեսության՝ դրանք լուծվում են այս բանաձևով.
Կարմիր և կապույտ գնդակների փոխարեն կարող են լինել խնձորներ և տանձեր, տղաներ և աղջիկներ, սովորած և չսովորած տոմսեր, ինչ-որ թեմայի վերաբերյալ հարց պարունակող և չպարունակող տոմսեր (նախատիպեր), թերի և բարձրորակ պայուսակներ կամ այգիների պոմպեր (նախատիպեր): ,) - սկզբունքը մնում է նույնը.

Նրանք փոքր-ինչ տարբերվում են Պետական ​​միասնական քննության հավանականության տեսության խնդրի ձևակերպման մեջ, որտեղ անհրաժեշտ է հաշվարկել որոշակի իրադարձության հավանականությունը որոշակի օր: ( , ) Ինչպես նախորդ խնդիրներում, դուք պետք է որոշեք, թե որն է տարրական արդյունքը, ապա կիրառեք նույն բանաձևը։

Օրինակ 2.Համաժողովը տեւում է երեք օր։ Առաջին և երկրորդ օրը 15 բանախոս է, երրորդ օրը՝ 20: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ պրոֆեսոր Մ.-ի զեկույցը կհայտնվի երրորդ օրը, եթե վիճակահանությամբ որոշվի զեկույցների հերթականությունը:

Ո՞րն է այստեղ տարրական արդյունքը: - Պրոֆեսորի զեկույցին նշանակել ելույթի բոլոր հնարավոր հերթական համարներից մեկը: Խաղարկությանը մասնակցում է 15+15+20=50 հոգի։ Այսպիսով, պրոֆեսոր Մ.-ի զեկույցը կարող է ստանալ 50 համարներից մեկը: Սա նշանակում է, որ կան միայն 50 տարրական արդյունքներ:
Որո՞նք են բարենպաստ արդյունքները: -Նրանք, որոնցում պարզվում է, որ պրոֆեսորը կխոսի երրորդ օրը։ Այսինքն՝ վերջին 20 թվերը։
Ըստ բանաձևի՝ հավանականություն P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Պատասխան՝ 0.4

Այստեղ վիճակահանությունը ներկայացնում է մարդկանց և պատվիրված վայրերի միջև պատահական նամակագրության հաստատումը։ Օրինակ 2-ում համընկնումը դիտարկվել է այն տեսանկյունից, թե կոնկրետ անձը որ տեղերից կարող է զբաղեցնել: Նույն իրավիճակին կարող եք մոտենալ մյուս կողմից. մարդկանցից ով ինչ հավանականությամբ կարող էր հասնել կոնկրետ վայր (նախատիպեր , , , ).

Օրինակ 3.Վիճակահանության մեջ ընդգրկված են 5 գերմանացի, 8 ֆրանսիացի և 3 էստոնացի։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ առաջինը (/երկրորդը/յոթերորդը/վերջինը` կարևոր չէ) ֆրանսիացի կլինի:

Տարրական արդյունքների թիվը բոլոր հնարավոր մարդկանց թիվն է, ովքեր վիճակահանությամբ կարող էին մտնել տվյալ վայր: 5+8+3=16 հոգի.
Բարենպաստ արդյունքներ - ֆրանս. 8 հոգի.
Պահանջվող հավանականություն՝ 8/16=1/2=0,5
Պատասխան՝ 0,5

Նախատիպը մի փոքր այլ է. Դեռևս խնդիրներ կան մետաղադրամների () և զառերի (), որոնք որոշ չափով ավելի ստեղծագործական են: Այս խնդիրների լուծումը կարելի է գտնել նախատիպի էջերում։

Ահա մետաղադրամ կամ զառ նետելու մի քանի օրինակ:

Օրինակ 4.Երբ մետաղադրամ ենք նետում, ո՞րն է գլխի վրա վայրէջքի հավանականությունը:
Գոյություն ունի 2 արդյունք՝ գլուխ կամ պոչ: (կարծիք կա, որ մետաղադրամը երբեք չի ընկնում իր եզրին) Բարենպաստ արդյունքը պոչերն են, 1.
Հավանականություն 1/2=0,5
Պատասխան՝ 0,5:

Օրինակ 5.Իսկ եթե մետաղադրամը երկու անգամ նետենք: Որքա՞ն է երկու անգամից գլուխներ ստանալու հավանականությունը:
Հիմնական բանը որոշելն է, թե ինչ տարրական արդյունքներ ենք հաշվի առնելու երկու մետաղադրամ նետելիս: Երկու մետաղադրամ նետելուց հետո կարող է առաջանալ հետևյալ արդյունքներից մեկը.
1) PP – երկու անգամ էլ առաջ է եկել
2) PO – առաջին անգամ ղեկավարներ, երկրորդ անգամ ղեկավարներ
3) OP – առաջին անգամ գլուխ է բարձրացնում, երկրորդ անգամ՝ պոչ
4) OO – երկու անգամ էլ գլուխները բարձրացան
Այլ տարբերակներ չկան։ Սա նշանակում է, որ կան 4 տարրական արդյունքներ, միայն առաջինը՝ 1-ն է բարենպաստ։
Հավանականություն՝ 1/4=0,25
Պատասխան՝ 0,25

Որքա՞ն է հավանականությունը, որ երկու մետաղադրամ նետելը կհանգեցնի պոչերի:
Տարրական արդյունքների թիվը նույնն է, 4. Բարենպաստ արդյունքներն են երկրորդը և երրորդը, 2.
Մեկ պոչ ստանալու հավանականությունը՝ 2/4=0,5

Նման խնդիրների դեպքում մեկ այլ բանաձև կարող է օգտակար լինել.
Եթե ​​մետաղադրամի մեկ նետումով մենք ունենք արդյունքի 2 հնարավոր տարբերակ, ապա երկու նետման դեպքում արդյունքները կլինեն 2 2 = 2 2 = 4 (ինչպես օրինակ 5-ում), երեք նետման դեպքում՝ 2 2 2 = 2 3 = 8, չորսի համար: 2·2·2·2=2 4 =16, ... N գլանափաթեթների համար հնարավոր արդյունքները կլինեն 2·2·...·2=2 N:

Այսպիսով, դուք կարող եք գտնել 5 մետաղադրամի նետումից 5 գլուխ ստանալու հավանականությունը:
Տարրական արդյունքների ընդհանուր թիվը՝ 2 5 =32:
Բարենպաստ արդյունքներ. 1. (RRRRRR – գլխավորում է բոլորը 5 անգամ)
Հավանականություն՝ 1/32=0,03125

Նույնը վերաբերում է զառերին: Մեկ նետումով հնարավոր է 6 արդյունք: Այսպիսով, երկու նետումների դեպքում՝ 6 6 = 36, երեքի համար՝ 6 6 6 = 216 և այլն:

Օրինակ 6.Մենք գցում ենք զառերը: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ զույգ թիվը կգլորվի:

Արդյունքների ընդհանուր թիվը՝ 6, ըստ կողմերի քանակի։
Բարենպաստ: 3 արդյունք: (2, 4, 6)
Հավանականություն՝ 3/6=0,5

Օրինակ 7.Երկու զառ ենք գցում։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ ընդհանուրը կլինի 10: (կլորացրեք մինչև մոտակա հարյուրերորդականը)

Մեկ մահի համար կա 6 հնարավոր արդյունք: Սա նշանակում է, որ երկուսի համար, ըստ վերը նշված կանոնի, 6·6=36:
Ի՞նչ արդյունքներ կլինեն բարենպաստ, որպեսզի ընդհանուր թիվը գլորվի 10:
10-ը պետք է կազմալուծվի 1-ից 6-ի երկու թվերի գումարի մեջ։ Դա կարելի է անել երկու եղանակով՝ 10=6+4 և 10=5+5։ Սա նշանակում է, որ խորանարդի համար հնարավոր են հետևյալ տարբերակները.
(6-ը առաջինում և 4-ը երկրորդում)
(4-ը առաջինում և 6-ը երկրորդում)
(5-ը առաջինում և 5-ը երկրորդում)
Ընդամենը, 3 տարբերակ. Պահանջվող հավանականություն՝ 3/36=1/12=0,08
Պատասխան՝ 0.08

B6 խնդիրների այլ տեսակներ կքննարկվեն «Ինչպես լուծել» հոդվածում:

ԹԵՍՏ թիվ 1

Թեմա՝ Պատահական իրադարձությունների տեսակները, հավանականության դասական սահմանումը,

կոմբինատորիկայի տարրեր.

Ձեզ առաջարկվում է 5 թեստային առաջադրանքներթեմայի շուրջ՝ պատահական իրադարձությունների տեսակներ, հավանականության դասական սահմանում, կոմբինատորիկայի տարրեր։ Առաջարկվող պատասխանների թվում միայն մեկըճիշտ է.

ԹԵՍՏ թիվ 2

Թեմա՝ Հավանականությունների գումարման և բազմապատկման թեորեմներ.

Ձեզ առաջարկվում է 5 թեստային առաջադրանք՝ հավանականությունների գումարման և բազմապատկման թեորեմի թեմայով։ Առաջարկվող պատասխանների թվում միայն մեկըճիշտ է.

ԹԵՍՏ թիվ 3

Թեմա՝ Բեռնուլիի սխեմայի օգտագործմամբ պատահական անկախ թեստեր:

Ձեզ առաջարկվում է 5 թեստային առաջադրանք պատահական անկախ փորձարկումների թեմայով՝ օգտագործելով Բեռնուլիի սխեմա: Առաջարկվող պատասխանների թվում միայն մեկըճիշտ է.

ԹԵՍՏ թիվ 4

Թեմա՝ Միաչափ պատահական փոփոխականներ:

Ձեզ առաջարկվում է 5 թեստային առաջադրանք՝ միաչափ պատահական փոփոխականների, դրանց նշանակման մեթոդների և թվային բնութագրերի թեմայով: Առաջարկվող պատասխանների թվում միայն մեկըճիշտ է.