Այն կետը, որտեղ ֆունկցիայի ածանցյալը զրո է: Ֆունկցիայի ածանցյալ. Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը. Ֆունկցիայի ավելացման, նվազման, առավելագույնի, նվազագույնի հայեցակարգը

Սերգեյ Նիկիֆորով

Եթե ​​ֆունկցիայի ածանցյալն ունի հաստատուն նշան ինտերվալի վրա, և ֆունկցիան ինքնին շարունակական է իր սահմանների վրա, ապա սահմանային կետերը գումարվում են և՛ աճող, և՛ նվազող միջակայքերին, ինչը լիովին համապատասխանում է աճող և նվազող ֆունկցիաների սահմանմանը:

Ֆարիտ Յամաև 26.10.2016 18:50

Ողջույն։ Ինչպե՞ս (ինչի հիման վրա) կարող ենք ասել, որ այն կետում, որտեղ ածանցյալը հավասար է զրոյի, ֆունկցիան մեծանում է։ Պատճառաբանեք. Հակառակ դեպքում դա ուղղակի ինչ-որ մեկի քմահաճույքն է: Ո՞ր թեորեմով։ Եվ նաև ապացույց. Շնորհակալություն։

Օգնության գրասեղան

Մի կետում ածանցյալի արժեքը ուղղակիորեն կապված չէ ֆունկցիայի աճի հետ ինտերվալի ընթացքում: Դիտարկենք, օրինակ, գործառույթները. դրանք բոլորը մեծանում են ընդմիջումով

Վլադլեն Պիսարև 02.11.2016 22:21

Եթե ​​ֆունկցիան աճում է (a;b) միջակայքում և սահմանված և շարունակական է a և b կետերում, ապա այն մեծանում է ինտերվալի վրա: Նրանք. x=2 կետը ներառված է այս միջակայքում:

Չնայած, որպես կանոն, աճն ու նվազումը դիտարկվում են ոչ թե հատվածի, այլ ընդմիջման վրա։

Բայց x=2 կետում ֆունկցիան ունի տեղական նվազագույն: Եվ ինչպես բացատրել երեխաներին, որ երբ նրանք փնտրում են աճի (նվազման) կետեր, մենք ոչ թե հաշվում ենք տեղային ծայրահեղության կետերը, այլ մտնում ենք աճի (նվազման) միջակայքերի մեջ:

Նկատի ունենալով, որ առաջին պետական ​​միասնական քննության մասՀամար « միջին խումբ մանկապարտեզ», ապա միգուցե նման նրբերանգները շատ են։

Առանձին-առանձին, շատ շնորհակալություն բոլոր անձնակազմին «Միասնական պետական ​​քննությունը լուծելու համար»՝ հիանալի ուղեցույց:

Սերգեյ Նիկիֆորով

Պարզ բացատրություն կարելի է ստանալ, եթե ելնենք աճող/նվազող ֆունկցիայի սահմանումից։ Հիշեցնեմ, որ այն հնչում է այսպես՝ ֆունկցիան կոչվում է մեծացող/նվազող միջակայքում, եթե ֆունկցիայի ավելի մեծ արգումենտը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ/փոքր արժեքին։ Այս սահմանումը ոչ մի կերպ չի օգտագործում ածանցյալ հասկացությունը, ուստի հարցեր չեն կարող առաջանալ այն կետերի վերաբերյալ, որտեղ ածանցյալը անհետանում է:

Իրինա Իշմակովա 20.11.2017 11:46

Բարի կեսօր։ Այստեղ մեկնաբանություններում ես տեսնում եմ համոզմունքներ, որ սահմանները պետք է ներառվեն: Ասենք՝ համաձայն եմ սրա հետ։ Բայց խնդրում եմ նայեք 7089 խնդրի ձեր լուծմանը: Այնտեղ, աճող միջակայքերը նշելիս, սահմանները ներառված չեն: Եվ սա ազդում է պատասխանի վրա։ Նրանք. 6429 և 7089 առաջադրանքների լուծումները հակասում են միմյանց: Խնդրում եմ պարզաբանել այս իրավիճակը։

Ալեքսանդր Իվանով

6429 և 7089 առաջադրանքները բոլորովին այլ հարցեր ունեն:

Մեկը ինտերվալների մեծացման մասին է, իսկ մյուսը դրական ածանցյալով ինտերվալների մասին է:

Հակասություն չկա։

Ծայրահեղությունները ներառված են մեծացման և նվազման միջակայքում, սակայն այն կետերը, որոնցում ածանցյալը հավասար է զրոյի, ներառված չեն այն միջակայքում, որոնցում ածանցյալը դրական է:

Ա Զ 28.01.2019 19:09

Գործընկերներ, կա մի կետում ավելանալու հասկացություն

(տե՛ս Ֆիխտենհոլց, օրինակ)

և x=2-ում աճի ձեր ըմբռնումը հակասում է դասական սահմանմանը:

Աճելն ու պակասելը գործընթաց է, և ես կցանկանայի հավատարիմ մնալ այս սկզբունքին։

Ցանկացած միջակայքում, որը պարունակում է x=2 կետը, ֆունկցիան չի աճում: Հետևաբար ներառումը տրված կետ x=2-ը հատուկ գործընթաց է:

Սովորաբար, շփոթությունից խուսափելու համար, ինտերվալների ծայրերի ընդգրկումը քննարկվում է առանձին:

Ալեքսանդր Իվանով

y=f(x) ֆունկցիան ասում են, որ մեծանում է որոշակի միջակայքում, եթե այս միջակայքից արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին:

x=2 կետում ֆունկցիան տարբերվող է, իսկ (2; 6) միջակայքում ածանցյալը դրական է, ինչը նշանակում է միջակայքի վրա: Գտե՛ք այս հատվածի f(x) ֆունկցիայի նվազագույն կետը:

Ազատվենք ավելորդ տեղեկատվությունից և թողնենք միայն սահմանները [−5; 5] և x = −3 և x = 2,5 ածանցյալի զրոները։ Մենք նաև նշում ենք նշանները.

Ակնհայտ է, որ x = −3 կետում ածանցյալի նշանը մինուսից փոխվում է գումարածի։ Սա նվազագույն կետն է։

Առաջադրանք. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−3; 7]։ Գտե՛ք այս հատվածի f(x) ֆունկցիայի առավելագույն կետը:

Եկեք վերագծենք գրաֆիկը՝ թողնելով միայն սահմանները [−3; 7] և x = −1.7 ածանցյալի զրոները և x = 5. Ստացված գրաֆիկի վրա նշենք ածանցյալի նշանները: Մենք ունենք.

Ակնհայտ է, որ x = 5 կետում ածանցյալի նշանը փոխվում է գումարածից մինչև մինուս - սա առավելագույն կետն է:

Առաջադրանք. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−6; 4]։ Գտե՛ք [−4; հատվածին պատկանող f(x) ֆունկցիայի առավելագույն կետերի քանակը։ 3]։

Խնդրի պայմաններից հետևում է, որ բավական է դիտարկել գրաֆիկի միայն հատվածով սահմանափակված մասը [−4; 3]։ Հետևաբար, մենք կառուցում ենք նոր գրաֆիկ, որի վրա նշում ենք միայն սահմանները [−4; 3] և դրա ներսում գտնվող ածանցյալի զրոները: Մասնավորապես, կետերը x = −3,5 և x = 2: Ստանում ենք.

Այս գրաֆիկի վրա կա միայն մեկ առավելագույն կետ x = 2: Հենց այս կետում է, որ ածանցյալի նշանը գումարածից փոխվում է մինուսի:

Փոքր նշում ոչ ամբողջ թվային կոորդինատներով կետերի մասին: Օրինակ՝ վերջին խնդիրում դիտարկվել է x = −3,5 կետը, բայց նույն հաջողությամբ կարող ենք վերցնել x = −3,4։ Եթե ​​խնդիրը ճիշտ է կազմված, ապա նման փոփոխությունները չպետք է ազդեն պատասխանի վրա, քանի որ «առանց ֆիքսված բնակության վայրի» կետերն ուղղակիորեն չեն մասնակցում խնդրի լուծմանը։ Իհարկե, այս հնարքը չի աշխատի ամբողջ միավորներով:

Աճող և նվազող ֆունկցիաների ինտերվալների հայտնաբերում

Նման խնդրի դեպքում, ինչպես առավելագույն և նվազագույն կետերը, առաջարկվում է օգտագործել ածանցյալ գրաֆիկը՝ գտնելու այն տարածքները, որտեղ ֆունկցիան ինքնին մեծանում կամ նվազում է։ Նախ, եկեք սահմանենք, թե ինչ է աճողն ու նվազումը.

1. f(x) ֆունկցիան ասում են, որ մեծանում է հատվածի վրա, եթե այս հատվածի x 1 և x 2 կետերի համար ճիշտ է հետևյալ պնդումը. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Այլ կերպ ասած, որքան մեծ է արգումենտի արժեքը, այնքան մեծ է ֆունկցիայի արժեքը:
2. F(x) ֆունկցիան կոչվում է հատվածի վրա նվազող, եթե այս հատվածի x 1 և x 2 կետերի համար ճիշտ է հետևյալ պնդումը. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2): Նրանք. Ավելի մեծ արգումենտի արժեքը համապատասխանում է ավելի փոքր ֆունկցիայի արժեքին:

Ձևակերպենք բավարար պայմաններ մեծացման և նվազման համար.

1. Որպեսզի f(x) շարունակական ֆունկցիան մեծանա հատվածի վրա, բավական է, որ դրա ածանցյալը հատվածի ներսում լինի դրական, այսինքն. f'(x) ≥ 0.
2. Որպեսզի f(x) շարունակական ֆունկցիան նվազի հատվածի վրա, բավական է, որ դրա ածանցյալը հատվածի ներսում լինի բացասական, այսինքն. f’(x) ≤ 0.

Եկեք այս հայտարարություններն ընդունենք առանց ապացույցների։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք աճման և նվազման միջակայքերը գտնելու սխեմա, որը շատ առումներով նման է ծայրահեղ կետերի հաշվարկման ալգորիթմին.

1. Հեռացրեք բոլոր ավելորդ տեղեկությունները: Ածանցյալի սկզբնական գրաֆիկում մեզ հիմնականում հետաքրքրում են ֆունկցիայի զրոները, ուստի մենք կթողնենք միայն դրանք։
2. Նշի՛ր ածանցյալի նշանները զրոների միջև ընկած միջակայքում: Այնտեղ, որտեղ f'(x) ≥ 0, ֆունկցիան մեծանում է, իսկ որտեղ f'(x) ≤ 0, այն նվազում է: Եթե ​​խնդիրը սահմանափակումներ է սահմանում x փոփոխականի վրա, մենք լրացուցիչ նշում ենք դրանք նոր գրաֆիկի վրա:
3. Այժմ, երբ մենք գիտենք ֆունկցիայի վարքագիծը և սահմանափակումները, մնում է հաշվարկել խնդրի մեջ պահանջվող քանակը:

Առաջադրանք. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−3; 7.5]: Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի նվազման միջակայքերը։ Ձեր պատասխանում նշեք այս միջակայքում ներառված ամբողջ թվերի գումարը։

Ինչպես միշտ, եկեք վերագծենք գրաֆիկը և նշենք սահմանները [−3; 7.5], ինչպես նաև x = −1.5 և x = 5.3 ածանցյալի զրոները։ Այնուհետև մենք նշում ենք ածանցյալի նշանները. Մենք ունենք.

Քանի որ ածանցյալը (− 1.5) միջակայքի վրա բացասական է, սա նվազող ֆունկցիայի միջակայքն է։ Մնում է գումարել բոլոր այն ամբողջ թվերը, որոնք գտնվում են այս միջակայքում.
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Առաջադրանք. Նկարում ներկայացված է f(x) ֆունկցիայի ածանցյալի գրաֆիկը, որը սահմանված է [−10; 4]։ Գտե՛ք f(x) ֆունկցիայի մեծացման միջակայքերը։ Ձեր պատասխանում նշեք դրանցից ամենամեծի երկարությունը։

Ազատվենք ավելորդ տեղեկություններից. Թողնենք միայն սահմանները [−10; 4] և ածանցյալի զրոները, որոնցից այս անգամ չորսն էին. x = −8, x = −6, x = −3 և x = 2: Նշենք ածանցյալի նշանները և ստացենք հետևյալ պատկերը.

Մեզ հետաքրքրում է ֆունկցիայի աճի միջակայքերը, այսինքն. այնպիսին, որտեղ f’(x) ≥ 0: Գրաֆիկի վրա կա երկու այդպիսի միջակայք՝ (−8; −6) և (−3; 2): Հաշվենք դրանց երկարությունը.
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5:

Քանի որ մենք պետք է գտնենք միջակայքներից ամենամեծի երկարությունը, որպես պատասխան գրում ենք l 2 = 5 արժեքը:

Առաջադրանք.

y=f(x) ֆունկցիան սահմանվում է (-5; 6) միջակայքում: Նկարում ներկայացված է y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը։ x 1, x 2, ..., x 7 կետերից գտե՛ք այն կետերը, որոնցում f(x) ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է զրոյի։ Ի պատասխան գրեք գտնված միավորների քանակը:

Լուծում:

Այս խնդրի լուծման սկզբունքը հետևյալն է. այս միջակայքում ֆունկցիայի երեք հնարավոր վարքագիծ կա.

1) երբ ֆունկցիան մեծանում է (ածանցյալն այնտեղ զրոյից մեծ է)

2) երբ ֆունկցիան նվազում է (որտեղ ածանցյալը զրոյից փոքր է)

3) երբ ֆունկցիան չի աճում կամ նվազում (որտեղ ածանցյալը կամ զրո է կամ գոյություն չունի)

Մեզ հետաքրքրում է երրորդ տարբերակը։

Ածանցյալը հավասար է զրոյի, որտեղ ֆունկցիան հարթ է և գոյություն չունի ընդմիջման կետերում: Եկեք նայենք այս բոլոր կետերին:

x 1 - ֆունկցիան մեծանում է, ինչը նշանակում է f′(x) >0 ածանցյալ

x 2 - ֆունկցիան վերցնում է նվազագույնը և հարթ է, ինչը նշանակում է f ′(x) = 0 ածանցյալ

x 3 - գործառույթը վերցնում է առավելագույնը, բայց այս պահին կա ընդմիջում, ինչը նշանակում էածանցյալ զ «(x) գոյություն չունի

x 4 - ֆունկցիան տեւում է առավելագույնը, բայց այս պահին կա ընդմիջում, ինչը նշանակում էածանցյալ զ «(x) գոյություն չունի

x 5 - ածանցյալ f ′(x) = 0

x 6 - ֆունկցիան մեծանում է, ինչը նշանակում է f ածանցյալ′(x) >0

x 7 - ֆունկցիան նվազագույնի է հասնում և հարթ է, ինչը նշանակում է f ′(x) = 0 ածանցյալ

Մենք տեսնում ենք, որ զ ′(x) = 0 x 2, x 5 և x 7 կետերում, ընդհանուր 3 միավոր:

Ֆունկցիայի ածանցյալը մեկն է դժվար թեմաներՎ դպրոցական ծրագիր. Ամեն շրջանավարտ չէ, որ կպատասխանի այն հարցին, թե ինչ է ածանցյալը:

Այս հոդվածը պարզ և պարզ ձևով բացատրում է, թե ինչ է ածանցյալը և ինչու է այն անհրաժեշտ:. Այժմ մենք չենք ձգտի ներկայացման մեջ մաթեմատիկական խստության: Ամենակարևորը իմաստը հասկանալն է։

Հիշենք սահմանումը.

Ածանցյալը ֆունկցիայի փոփոխության արագությունն է։

Նկարում ներկայացված են երեք ֆունկցիաների գրաֆիկներ: Ձեր կարծիքով ո՞ր մեկն է ավելի արագ աճում:

Պատասխանն ակնհայտ է՝ երրորդը։ Այն ունի փոփոխության ամենաբարձր ցուցանիշը, այսինքն՝ ամենամեծ ածանցյալը։

Ահա ևս մեկ օրինակ.

Կոստյան, Գրիշան և Մատվեյը միաժամանակ աշխատանք գտան։ Տեսնենք, թե տարվա ընթացքում ինչպես են փոխվել նրանց եկամուտները.

Գրաֆիկը միանգամից ցույց է տալիս ամեն ինչ, այնպես չէ՞: Կոստյայի եկամուտը վեց ամսում ավելի քան կրկնապատկվել է. Եվ Գրիշայի եկամուտը նույնպես ավելացավ, բայց մի փոքր: Իսկ Մատվեյի եկամուտը նվազել է զրոյի։ Մեկնարկային պայմանները նույնն են, բայց ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը, այսինքն ածանցյալ, - տարբեր. Ինչ վերաբերում է Մատվեյին, ապա նրա եկամուտների ածանցյալը ընդհանուր առմամբ բացասական է։

Ինտուիտիվ կերպով մենք հեշտությամբ գնահատում ենք ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը: Բայց ինչպե՞ս ենք մենք դա անում:

Այն, ինչ մենք իրականում նայում ենք, այն է, թե ֆունկցիայի գրաֆիկը որքան կտրուկ է բարձրանում (կամ իջնում): Այլ կերպ ասած, որքան արագ է փոխվում y-ը, երբ x-ը փոխվում է: Ակնհայտ է, որ նույն գործառույթը տարբեր կետերում կարող է ունենալ տարբեր իմաստածանցյալ - այսինքն, այն կարող է փոխվել ավելի արագ կամ դանդաղ:

Նշվում է ֆունկցիայի ածանցյալը:

Մենք ձեզ ցույց կտանք, թե ինչպես գտնել այն գրաֆիկի միջոցով:

Կազմված է որոշ ֆունկցիայի գրաֆիկ: Վերցնենք մի կետ, որի վրա կա աբսցիսա: Եկեք այս պահին գծենք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող: Մենք ցանկանում ենք գնահատել, թե որքան կտրուկ է բարձրանում ֆունկցիայի գրաֆիկը: Դրա համար հարմար արժեք է շոշափող անկյան շոշափող.

Կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափող անկյան շոշափմանը:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ որպես շոշափողի թեքության անկյուն մենք վերցնում ենք շոշափողի և առանցքի դրական ուղղության անկյունը:

Երբեմն ուսանողները հարցնում են, թե ինչ է ֆունկցիայի գրաֆիկի շոշափողը: Սա ուղիղ գիծ է, որն ունի միայն մեկը ընդհանուր կետգրաֆիկով և ինչպես ցույց է տրված մեր նկարում: Այն կարծես շոշափում է շրջանագծին:

Եկեք գտնենք այն: Մենք հիշում ենք, որ սուր անկյան շոշափումը in ուղղանկյուն եռանկյունհավասար է հակառակ կողմի հարակից կողմի հարաբերությանը: Եռանկյունից.

Մենք գտանք ածանցյալը՝ օգտագործելով գրաֆիկ՝ առանց նույնիսկ ֆունկցիայի բանաձևի իմանալու: Նման խնդիրներ հաճախ հանդիպում են մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը թվի տակ։

Կա ևս մեկ կարևոր հարաբերություն. Հիշեցնենք, որ ուղիղ գիծը տրված է հավասարմամբ

Այս հավասարման մեջ մեծությունը կոչվում է ուղիղ գծի թեքություն. Այն հավասար է առանցքի ուղիղ գծի թեքության անկյան շոշափմանը։

.

Մենք դա հասկանում ենք

Հիշենք այս բանաձեւը. Այն արտահայտում է ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը։

Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է տվյալ կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողի թեքությանը:

Այսինքն՝ ածանցյալը հավասար է շոշափողի անկյան շոշափմանը։

Մենք արդեն ասացինք, որ նույն ֆունկցիան կարող է տարբեր կետերում ունենալ տարբեր ածանցյալներ։ Տեսնենք, թե ինչպես է ածանցյալը կապված ֆունկցիայի վարքագծի հետ։

Եկեք գծենք որոշ ֆունկցիայի գրաֆիկ։ Թող այս ֆունկցիան որոշ ոլորտներում մեծանա, իսկ որոշ հատվածներում՝ նվազի, և տարբեր տեմպերով: Եվ թող այս ֆունկցիան ունենա առավելագույն և նվազագույն միավորներ։

Մի կետում ֆունկցիան մեծանում է: Կետում գծված գրաֆիկին շոշափողը առանցքի դրական ուղղության հետ կազմում է սուր անկյուն: Սա նշանակում է, որ կետում ածանցյալը դրական է:

Այդ պահին մեր ֆունկցիան նվազում է։ Այս կետում շոշափողը բութ անկյուն է կազմում առանցքի դրական ուղղության հետ: Քանի որ բութ անկյան շոշափողը բացասական է, կետի ածանցյալը բացասական է:

Ահա թե ինչ է տեղի ունենում.

Եթե ​​ֆունկցիան աճում է, ապա դրա ածանցյալը դրական է:

Եթե ​​այն նվազում է, նրա ածանցյալը բացասական է։

Ի՞նչ կլինի առավելագույն և նվազագույն կետերում: Մենք տեսնում ենք, որ կետերում (առավելագույն կետ) և (նվազագույն կետ) շոշափողը հորիզոնական է: Ուստի այս կետերում շոշափողի շոշափողը զրո է, իսկ ածանցյալը նույնպես զրո է։

Կետ - առավելագույն միավոր: Այս պահին ֆունկցիայի աճը փոխարինվում է նվազմամբ։ Հետևաբար, ածանցյալի նշանը «պլյուս»-ից «մինուս» կետում փոխվում է:

Կետում՝ նվազագույն կետում, ածանցյալը նույնպես զրո է, բայց դրա նշանը «մինուսից» փոխվում է «գումարած»:

Եզրակացություն. օգտագործելով ածանցյալը, մենք կարող ենք պարզել այն ամենը, ինչը մեզ հետաքրքրում է ֆունկցիայի վարքագծի վերաբերյալ:

Եթե ​​ածանցյալը դրական է, ապա ֆունկցիան մեծանում է։

Եթե ​​ածանցյալը բացասական է, ապա ֆունկցիան նվազում է։

Առավելագույն կետում ածանցյալը զրոյական է և նշանը փոխում է «գումարածից» «մինուսի»:

Նվազագույն կետում ածանցյալը նույնպես զրո է և նշանը փոխում է մինուսից դեպի գումարած:

Այս եզրակացությունները գրենք աղյուսակի տեսքով.

Երկու փոքր պարզաբանում անենք. Լուծելիս ձեզ հարկավոր կլինի դրանցից մեկը Պետական ​​միասնական քննության խնդիրները. Մեկ այլ՝ առաջին տարում՝ ֆունկցիաների և ածանցյալների ավելի լուրջ ուսումնասիրությամբ։

Հնարավոր է, որ ֆունկցիայի ածանցյալը ինչ-որ կետում հավասար է զրոյի, բայց ֆունկցիան այս պահին չունի ոչ առավելագույն, ոչ էլ նվազագույն: Սա այսպես կոչված :

Մի կետում գրաֆիկի շոշափողը հորիզոնական է, իսկ ածանցյալը` զրո: Այնուամենայնիվ, կետից առաջ ֆունկցիան ավելացել է, իսկ կետից հետո այն շարունակում է աճել: Ածանցյալի նշանը չի փոխվում. այն մնում է դրական, ինչպես եղել է:

Պատահում է նաև, որ առավելագույնի կամ նվազագույնի կետում ածանցյալը գոյություն չունի։ Գրաֆիկի վրա դա համապատասխանում է կտրուկ ընդմիջմանը, երբ տվյալ կետում անհնար է շոշափել:

Ինչպե՞ս գտնել ածանցյալը, եթե ֆունկցիան տրված է ոչ թե գրաֆիկով, այլ բանաձևով: Այս դեպքում դա վերաբերում է