Հերոնի բանաձևով գտնենք եռանկյունը. Եռանկյունի մակերեսը. Քառանկյունների մակերեսի հաշվարկ

Այս բանաձևը թույլ է տալիս հաշվարկել եռանկյան մակերեսը՝ հիմնվելով նրա a, b և c կողմերի վրա.
S=√(р(р-а)(р-b)(р-с),որտեղ p-ն եռանկյան կիսաշրջագիծն է, այսինքն. p = (a + b + c)/2.
Բանաձևն անվանվել է հին հույն մաթեմատիկոս Հերոն Ալեքսանդրացու անունով (մոտ 1-ին դար): Հերոնը դիտարկել է եռանկյուններ, որոնց մակերեսները նույնպես ամբողջ թվեր են: Նման եռանկյունները կոչվում են Հերոնյան եռանկյուններ։ Օրինակ՝ սրանք 13, 14, 15 կամ 51, 52, 53 կողմերով եռանկյուններ են։

Կան քառանկյունների Հերոնի բանաձևի անալոգները: Քանի որ իր a, b, c և d կողմերի երկայնքով քառանկյուն կառուցելու խնդիրն ունի մեկից ավելի լուծումներ, ընդհանուր դեպքում քառանկյունի մակերեսը հաշվարկելու համար բավական չէ միայն երկարությունները իմանալը. կողմերից։ Դուք պետք է մուտքագրեք լրացուցիչ պարամետրեր կամ սահմանեք սահմանափակումներ: Օրինակ՝ ներգծված քառանկյան մակերեսը գտնում ենք բանաձևով՝ S=√(р-а)(р-b)(р-с)(p-d)

Եթե ​​քառանկյունը միաժամանակ և՛ մակագրված է, և՛ շրջափակված, ապա դրա մակերեսը օգտագործելով ավելի պարզ բանաձև՝ S=√(abcd).

Հերոն Ալեքսանդրացին - հույն մաթեմատիկոս և մեխանիկ:

Նա առաջինն էր, ով հորինեց ավտոմատ դռներ, ավտոմատ տիկնիկային թատրոն, ավտոմատ, արագ կրակող ինքնաբեռնվող խաչադեղ, գոլորշու տուրբին, ավտոմատ դեկորացիաներ, ճանապարհների երկարությունը չափող սարք (հնագույն վազաչափ) և այլն Նա առաջինն է ստեղծել ծրագրավորվող սարքեր (շուրջը պարանով փաթաթված կապումներով լիսեռ)։

Սովորել է երկրաչափություն, մեխանիկա, հիդրոստատիկա, օպտիկա։ Հիմնական աշխատություններ՝ մետրիկա, օդաճնշական, ավտոմատիկա, մեխանիկա (աշխատությունը պահպանվել է ամբողջությամբ արաբերեն թարգմանությամբ), կատոպտրիկա (հայելիների գիտություն, պահպանվել է միայն լատիներեն թարգմանությամբ) և այլն։ 1814 թվականին գտնվել է Հերոնի «Դիոպտրի մասին» էսսեն, որը սահմանում է հողի հետազոտության կանոնները՝ իրականում հիմնված ուղղանկյուն կոորդինատների օգտագործման վրա: Հերոնն օգտագործել է իր նախորդների՝ Էվկլիդեսի, Արքիմեդի, Ստրատոն Լամպսակացու նվաճումները։ Նրա գրքերից շատերն անդառնալիորեն կորել են (մագաղաթները պահվում էին Ալեքսանդրիայի գրադարանում)։

Իր «Մեխանիկա» տրակտատում Հերոնը նկարագրել է հինգ տեսակի պարզ մեքենաներ՝ լծակ, դարպաս, սեպ, պտուտակ և բլոկ:

Իր «Պնևմատիկա» տրակտատում Հերոնը նկարագրել է տարբեր սիֆոններ, խելացի ձևավորված անոթներ և սեղմված օդի կամ գոլորշու միջոցով շարժվող ավտոմատներ։ Սա էոլիպիլ է, որն առաջին գոլորշու տուրբինն էր՝ ջրի գոլորշիների շիթերի ուժով պտտվող գնդիկ; դռներ բացելու մեքենա, «սուրբ» ջրի վաճառքի մեքենա, հրշեջ պոմպ, ջրային երգեհոն, մեխանիկական տիկնիկային թատրոն։

«Դիոպտրի մասին» գրքում նկարագրված է դիոպտրիան՝ գեոդեզիական աշխատանքների համար օգտագործվող ամենապարզ սարքը: Հերոնն իր տրակտատում սահմանում է հողի հետազոտության կանոնները՝ հիմնված ուղղանկյուն կոորդինատների օգտագործման վրա։

Catoptrics-ում Հերոնը հիմնավորում է լույսի ճառագայթների ուղիղությունը տարածման անսահման բարձր արագությամբ։ Հերոնը դիտարկում է հայելիների տարբեր տեսակներ՝ հատուկ ուշադրություն դարձնելով գլանաձև հայելիներին։

Հերոնի «Մետրիկա» և դրանից քաղված «Երկրաչափություն» և «Ստերեոմետրիկա» տեղեկատու գրքեր են։ կիրառական մաթեմատիկա. Metrica-ում պարունակվող տեղեկատվության թվում.

Կանոնավոր բազմանկյունների տարածքների բանաձևեր.


Կանոնավոր բազմանիստ, բուրգի, կոնի, կտրված կոնի, տորուսի, գնդաձև հատվածի ծավալները։


Հերոնի բանաձևը՝ եռանկյան մակերեսը նրա կողմերի երկարություններից հաշվելու համար (հայտնագործել է Արքիմեդը):


Քառակուսային հավասարումների թվային լուծման կանոններ.


Քառակուսի և խորանարդ արմատներ հանելու ալգորիթմներ.

Հերոնի «Սահմանումներ» գիրքը երկրաչափական սահմանումների ընդարձակ հավաքածու է, որը մեծ մասամբ համընկնում է Էվկլիդեսի «Տարրերի» սահմանումների հետ։

Դասի ամփոփում

Առարկա: «Հերոնի բանաձևը և եռանկյունի մակերեսի այլ բանաձևեր»:

Դասի տեսակը Նոր գիտելիքների բացահայտման դաս:

Դասարան: 10.

Դասի նպատակները. դասի ընթացքում ապահովել եռանկյունու մակերեսը հաշվարկելու բանաձևերի գիտակցված կրկնությունը, որոնք ուսումնասիրվում են. դպրոցական ծրագիր. Ցույց տվեք Հերոնի II բանաձևը իմանալու անհրաժեշտությունը՝ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տրված եռանկյան մակերեսի բանաձևը: Ապահովել այս բանաձեւերի գիտակցված յուրացումն ու կիրառումը խնդիրներ լուծելիս:

Առաջադրանքներ.

Ուսումնական: զարգացում տրամաբանական մտածողություն, ինքնուրույն որոշելու կարողություն Ուսուցման նպատակները; զարգացման հետաքրքրասիրությունուսանողներ, ճանաչողական հետաքրքրություն առարկայի նկատմամբ; ուսանողների ստեղծագործական մտածողության և մաթեմատիկական խոսքի զարգացում.

Ուսումնական: մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքրության զարգացում; պայմաններ ստեղծելու համարհաղորդակցման հմտությունների ձևավորում և ուժեղ կամքի հատկություններանհատականություն.

Ուսումնական: գիտելիքների խորացումիրական թվի րդ մոդուլը; սովորեցնել բնորոշ խնդիրներ լուծելու ունակություն:

Ուսուցման համընդհանուր գործունեություն.

Անձնական: հարգանք անհատի և նրա արժանապատվության նկատմամբ. կայուն ճանաչողական հետաքրքրություն; հավասար հարաբերությունների և փոխադարձ հարգանքի հիման վրա երկխոսություն վարելու կարողություն.

Կարգավորող: դասի գործունեության նպատակներ դնել; նպատակին հասնելու ուղիների պլանավորում; խնդրահարույց իրավիճակում որոշումներ կայացնել բանակցությունների հիման վրա.

Ճանաչողական: Վ տիրապետել խնդիրների լուծման, առաջադրանքների և հաշվարկների կատարման ընդհանուր տեխնիկայի. կատարել առաջադրանքներ՝ հիմնված իրական թվերի մոդուլի հատկությունների օգտագործման վրա:

Հաղորդակցական: Ա պատշաճ կերպով օգտագործել խոսքը սեփական գործունեությունը պլանավորելու և կարգավորելու համար. ձևակերպեք ձեր սեփական կարծիքը.

Տեխնիկական աջակցություն Համակարգիչ, պրոյեկտոր, ինտերակտիվ գրատախտակ:

Դասի կառուցվածքը

Մոտիվացիոն փուլ - 2 րոպե:

Տնային աշխատանք – 1ր.

Առաջարկվող թեմայի վերաբերյալ գիտելիքների թարմացման և առաջին փորձնական գործողության իրականացման փուլը՝ 10 րոպե։

Դժվարությունների բացահայտում. ո՞րն է նոր նյութի բարդությունը, ինչն է կոնկրետ ստեղծում խնդիրը, հակասությունների որոնում – 4ր.

Նախագծի մշակում, դրանց առկա դժվարությունները լուծելու ծրագիր, բազմաթիվ տարբերակների դիտարկում, օպտիմալ լուծման որոնում – 2 րոպե։

Դժվարությունը լուծելու համար ընտրված պլանի իրականացում – 5ր.

Նոր գիտելիքների առաջնային համախմբում - 10 ր.

Անկախ աշխատանքև ստանդարտին համապատասխան ստուգում՝ 5 րոպե:

Մտորումներ, որոնք ներառում են ուսուցման գործունեության մասին արտացոլում, ինքնավերլուծություն և արտացոլում զգացմունքների և հույզերի մասին – 1 րոպե:

Դասերի ժամանակ.

Մոտիվացիոն փուլ.

Բարև տղերք, նստե՛ք: Այսօր մեր դասը կանցնի հետևյալ պլանով՝ դասի ընթացքում կուսումնասիրենք նոր թեմա. Հերոնի բանաձևը և եռանկյունու մակերեսի այլ բանաձևեր «; Եկեք կրկնենք այն բանաձևերը, որոնք դուք գիտեք. Եկեք սովորենք, թե ինչպես կիրառել այս բանաձևերը խնդիրներ լուծելիս: Այսպիսով, եկեք գործի անցնենք:

Առաջարկվող թեմայի վերաբերյալ գիտելիքների թարմացման և առաջին փորձնական գործողության իրականացման փուլը.

Սլայդ 1.

Գրեք դասի թեման: Նախքան բանաձևերին ուղղակիորեն անցնելը, եկեք հիշենք, թե եռանկյան մակերեսը հաշվարկելու ի՞նչ բանաձևեր գիտեք:

Սլայդ 2.

Գրեք այս բանաձևերը.

Ի՞նչ բանաձևեր գիտեք եռանկյան մակերեսը հաշվարկելու համար:(աշակերտները հիշում են իրենց սովորած բոլոր բանաձևերը)

Սլայդ 3.

Ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը: S=աբ. Գրեք բանաձևը

Սլայդ 4.

Ցանկացած եռանկյունու տարածք: S= Ա . ա = , = Գրեք բանաձևը.

Սլայդ 5. Երկու կողմերի վրա հիմնված եռանկյան մակերեսը և նրանց միջև եղած անկյունը:

S=½·ab·sinα. Գրեք բանաձևը.

Այժմ մենք կուսումնասիրենք տարածքը գտնելու նոր բանաձևեր:

Սլայդ 6.

Եռանկյան մակերեսը ներգծված շրջանագծի շառավղով: S= Պ ր. Գրեք բանաձևը.

Սլայդ 7.

Եռանկյան մակերեսը շրջանագծի R-շառավղով:

Գրեք բանաձևը.

Սլայդ 8.

Հերոնի բանաձեւը.

Մինչ ապացուցումը սկսելը, եկեք հիշենք երկրաչափության երկու թեորեմ՝ սինուսների թեորեմը և կոսինուսների թեորեմը։

1. , a=2R; b=2R; c=2R

2., կոγ = .

Սլայդ 9-10

Հերոնի բանաձևի ապացույց. Գրեք բանաձևը.

Սլայդ 11.

Երեք կողմերի վրա հիմնված եռանկյան մակերեսի բանաձևը հայտնաբերվել է Արքիմեդի կողմից մ.թ.ա 3-րդ դարում: Սակայն համապատասխան աշխատանքները մեր օրեր չեն հասել։ Այս բանաձևը պարունակվում է Հերոնի Ալեքսանդրիայի (մ.թ. 1-ին դար) «մետրիկայում» և կոչվում է նրա անունով։ Հերոնին հետաքրքրում էին ամբողջ թվով կողմերով եռանկյունները, որոնց մակերեսները նույնպես ամբողջ թվեր են: Նման եռանկյունները կոչվում են Հերոնյան եռանկյուններ։ Հերոնյան ամենապարզ եռանկյունը եգիպտական ​​եռանկյունն է

Բարդության բացահայտում. որն է նոր նյութի բարդությունը, կոնկրետ ինչն է ստեղծում խնդիրը, հակասության որոնում:

Սլայդ 12.

Գտե՛ք տրված կողմերով եռանկյան մակերեսը՝ 4,6,8: Բավարար տեղեկատվություն կա՞ խնդիրը լուծելու համար: Ի՞նչ բանաձև կարող եք օգտագործել այս խնդիրը լուծելու համար:

Նախագծի մշակում, դրանց առկա դժվարությունները լուծելու ծրագիր, բազմաթիվ տարբերակների դիտարկում, օպտիմալ լուծման որոնում։

Այս խնդիրը կարելի է լուծել՝ օգտագործելով Հերոնի բանաձևը։ Նախ, դուք պետք է գտնեք եռանկյան կիսաշրջագիծը, այնուհետև ստացված արժեքները փոխարինեք բանաձևով:

Դժվարությունը լուծելու համար ընտրված պլանի իրականացում:

Գտնելով p

էջ=(13+14+15)/2=21

էջ- ա=21-13=8

p-b=21-14=7

p-c=21-15=6

S = 21*8*7*6=84

Պատասխանել :84

Առաջադրանք թիվ 2

Գտեք եռանկյան կողմերըABC, եթե եռանկյունների մակերեսըABO, BCO, ACO, որտեղ O-ը ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է, հավասար է 17,65,80 դդ. 2 .

Լուծում:

Ս=17+65+80=162 – գումարի՛ր եռանկյունների մակերեսները: Ըստ բանաձևի

Ս ABO =1/2 ԱԲ* r, ուրեմն 17=1/2ԱԲ* r; 65=1/2ВС* r; 80=1/2 A.C.* r

34/r=AB; 130/r=մ.թ.ա. 160/r=AC

Գտեք p

էջ= (34+130+160)/2=162/ r

(r-a)=162-34=128 (r- գ)=162-160=2

(R- բ)=162-130=32

Հերոնի բանաձեւովՍ=  128/ r*2/ r*32/ r*162/ r=256*5184/ r 4 =1152/ r 2

Որովհետեւ Ս=162, հետևաբարr =  1152/162=3128/18

Պատասխան. AB=34/3128/18, BC=130/3128/18, AC=160/3128/18.

Նոր գիտելիքների առաջնային համախմբում.

№10(1)

Գտե՛ք տրված կողմերով եռանկյան մակերեսը.

№12

Անկախ աշխատանք և փորձարկում ստանդարտին համապատասխան:

№10.(2)

Տնային աշխատանք . P.83, թիվ 10(3), թիվ 15

Արտացոլում, որն իր մեջ ներառում է մտորումներ կրթական գործունեության մասին, ներհայեցում և արտացոլում զգացմունքների և հույզերի վերաբերյալ։

Ի՞նչ բանաձեւեր եք կրկնել այսօր:

Ի՞նչ բանաձևեր սովորեցիք հենց այսօր:

Կարելի է գտնել՝ իմանալով հիմքը և բարձրությունը: Դիագրամի ամբողջ պարզությունը կայանում է նրանում, որ բարձրությունը a-ի հիմքը բաժանում է երկու մասի a 1 և a 2, իսկ եռանկյունը ինքնին երկու ուղղանկյուն եռանկյունիների, որոնց մակերեսը և. Այնուհետև ամբողջ եռանկյունու մակերեսը կլինի նշված երկու տարածքների գումարը, և եթե փակագծից հանենք բարձրության մեկ վայրկյանը, ապա գումարի մեջ մենք հետ ենք ստանում հիմքը.

Հաշվարկների համար ավելի բարդ մեթոդ Հերոնի բանաձևն է, որի համար անհրաժեշտ է իմանալ բոլոր երեք կողմերը: Այս բանաձևի համար նախ պետք է հաշվարկել եռանկյան կիսաշրջագիծը. Հերոնի բանաձևն ինքնին ենթադրում է կիսաշրջագծի քառակուսի արմատը՝ իր հերթին բազմապատկված յուրաքանչյուր կողմի տարբերությամբ։

Հետևյալ մեթոդը, որը նույնպես տեղին է ցանկացած եռանկյունու համար, թույլ է տալիս գտնել եռանկյան տարածքը երկու կողմերի միջով և նրանց միջև եղած անկյունը: Ասվածի ապացույցը գալիս է բարձրության հետ բանաձեւից. մենք բարձրությունը գծում ենք հայտնի կողմերից որեւէ մեկի վրա և α անկյան սինուսով ստանում ենք, որ h=a⋅sinα։ Տարածքը հաշվարկելու համար բարձրության կեսը բազմապատկեք երկրորդ կողմով:

Մեկ այլ միջոց է գտնել եռանկյան մակերեսը՝ իմանալով 2 անկյուն և նրանց միջև եղած կողմը: Այս բանաձևի ապացույցը բավականին պարզ է և պարզ երևում է դիագրամից։

Բարձրությունը երրորդ անկյան գագաթից իջեցնում ենք հայտնի կողմը և ստացված հատվածները համապատասխանաբար անվանում ենք x։ Սկսած ուղղանկյուն եռանկյուններպարզ է, որ առաջին x հատվածը հավասար է արտադրյալին

Թեորեմ. Եռանկյան մակերեսը հավասար է նրա կողմի և բարձրության արտադրյալի կեսին.

Ապացույցը շատ պարզ է. Այս եռանկյունին ABC(նկ. 1.15) եկեք այն կառուցենք մինչև զուգահեռագիծ ABDC. Եռանկյուններ ABCԵվ DCBերեք կողմից հավասար են, ուստի դրանց մակերեսները հավասար են: Այսպիսով, եռանկյունու տարածքը ABCհավասար է զուգահեռագծի տարածքի կեսին ABDC, այսինքն.

Բայց այստեղ առաջանում է հետևյալ հարցը՝ ինչո՞ւ են ցանկացած եռանկյունու հիմքի և բարձրության երեք հնարավոր կիսարտադրյալները նույնը։ Սա, սակայն, հեշտ է ապացուցել ընդհանուր սուր անկյունով ուղղանկյունների նմանությունից։ Դիտարկենք եռանկյուն ABC(նկ. 1.16):

Եւ, հետեւաբար

Այնուամենայնիվ, մեջ դպրոցական դասագրքերԱյդպես չի արվում: Ընդհակառակը, երեք կիսարտադրյալների հավասարությունը հաստատվում է այն հիմքով, որ այս բոլոր կիսարտադրյալներն արտահայտում են եռանկյունու մակերեսը։ Այսպիսով, մեկ գործառույթի առկայությունը անուղղակիորեն շահագործվում է: Բայց այստեղ գալիս է մի օրինակ ցույց տալու հարմար և ուսանելի հնարավորություն մաթեմատիկական մոդելավորում. Իրոք, տարածք հասկացության հետևում կա ֆիզիկական իրականություն, սակայն երեք կիսարտադրյալների հավասարության ուղղակի ստուգումը ցույց է տալիս այս հասկացության թարգմանության որակը մաթեմատիկայի լեզվով:

Օգտագործելով վերը նշված եռանկյունի տարածքի թեորեմը, հաճախ հարմար է համեմատել երկու եռանկյունների մակերեսները: Ստորև ներկայացնում ենք թեորեմից մի քանի ակնհայտ, բայց կարևոր հետևանքներ.

Եզրակացություն 1. Եթե ​​եռանկյան գագաթը շարժվում է նրա հիմքին զուգահեռ ուղիղ գծով, ապա նրա մակերեսը չի փոխվում։

Նկ. 1.17 եռանկյուններ ABCԵվ ABDունեն ընդհանուր լեզու ԱԲև հավասար բարձրություններ՝ իջեցված այս հիմքի վրա, քանի որ ուղիղ գիծ է Ա, որը պարունակում է գագաթները ՀԵՏԵվ Դհիմքին զուգահեռ ԱԲ, և հետևաբար այս եռանկյունների մակերեսները հավասար են։

Եզրակացություն 1-ը կարող է վերաձեւակերպվել հետեւյալ կերպ.

Հետևություն 1.. Թող տրվի հատված ԱԲ. Շատ կետեր Մայնպես, որ եռանկյան մակերեսը AMVհավասար է տրված արժեքը Ս, հատվածին զուգահեռ երկու ուղիղ կա ԱԲև նրանից հեռավորության վրա գտնվողները (նկ. 1. 18)

Եզրակացություն 2. Եթե ​​տրված անկյան կից եռանկյան կողմերից մեկը մեծացվի կանգամ, ապա դրա մակերեսը նույնպես կավելանա կմեկ անգամ.

Նկ. 1.19 եռանկյուններ ABCԵվ ABDունեն ընդհանուր հասակ ԲՀ, հետևաբար դրանց մակերեսների հարաբերակցությունը հավասար է հիմքերի հարաբերակցությանը

Եզրակացություն 2-ից բխում են կարևոր հատուկ դեպքեր.

1. Միջինը եռանկյունը բաժանում է երկու փոքր մասի:

2. Եռանկյան անկյան կիսադիր՝ նրա կողմերի միջև պարփակված ԱԵվ բ, այն բաժանում է երկու եռանկյունների, որոնց մակերեսները կապված են որպես ա : բ.

Եզրակացություն 3. Եթե ​​երկու եռանկյուններ ունեն ընդհանուր անկյուն, ապա դրանց մակերեսները համաչափ են այս անկյունը պարփակող կողմերի արտադրյալին։

Սա բխում է այն փաստից, որ (նկ. 1.19).

Մասնավորապես, նշվում է հետևյալ հայտարարությունը.

Եթե ​​երկու եռանկյուններ նման են, իսկ դրանցից մեկի կողմը կանգամ մեծ է մյուսի համապատասխան կողմերից, ապա նրա մակերեսը կԵրկրորդի մակերեսը 2 անգամ:

Եռանկյան մակերեսի համար Հերոնի բանաձևը ստացվում է հետևյալ երկու եղանակով. Առաջինում մենք օգտագործում ենք կոսինուսների թեորեմը.

որտեղ a, b, c եռանկյան կողմերի երկարություններն են, r-ը c կողմին հակառակ անկյունն է:

(1.3)-ից մենք գտնում ենք.

Նկատելով դա

որտեղ է եռանկյան կիսաշրջագիծը, մենք ստանում ենք.