Դաս «համամասնական հատվածներ ուղղանկյուն եռանկյունում». Դաս «Համամասնական հատվածներ ուղղանկյուն եռանկյունում» Համամասնական հատվածներ ուղղանկյուն եռանկյան բանաձևեր.
Դասի նպատակները.
- ներկայացնել երկու հատվածների համամասնական միջինի (երկրաչափական միջին) հասկացությունը.
- դիտարկել համամասնական հատվածների խնդիրը ուղղանկյուն եռանկյունուղղանկյուն եռանկյան բարձրության հատկությունը, որը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից.
- զարգացնել ուսանողների հմտությունները ուսումնասիրված թեման խնդիրների լուծման գործընթացում օգտագործելու համար:
Դասի տեսակը.նոր նյութ սովորելու դաս.
Պլանավորում:
- Օրգ պահը.
- Գիտելիքների թարմացում.
- Ուղիղ անկյան գագաթից գծված ուղղանկյուն եռանկյան բարձրության հատկության ուսումնասիրություն.
- նախապատրաստական փուլ;
- ներածություն;
- ձուլում. - Երկու հատվածներին համամասնական միջին հասկացության ներդրում:
- Երկու հատվածների միջին համամասնության հայեցակարգի յուրացում.
- Հետևանքների ապացույց.
- ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից, միջին համամասնությունն է այն հատվածների միջև, որոնցում հիպոթենուսը բաժանվում է այս բարձրության վրա.
– Ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը հիպոթենուզայի և ոտքի և բարձրության միջև ընկած հատվածի միջև միջին համամասնությունն է: - Խնդրի լուծում.
- Ամփոփելով.
- Տնային առաջադրանքների սահմանում.
Դասերի ժամանակ
I. ԿԱԶՄԱԿԵՐՊԱԿԱՆ ՊԱՀ
-Բարև տղերք, նստե՛ք: Բոլորը պատրա՞ստ են դասին:
Եկեք սկսենք աշխատանքը:
II. ԳԻՏԵԼԻՔԸ ԹԱՐՄԱՑՎԱԾ Է
– Ի՞նչ կարևոր մաթեմատիկական հայեցակարգ եք սովորել նախորդ դասերին: ( եռանկյունների նմանության հայեցակարգով)
-Հիշենք, թե որ երկու եռանկյուններն են կոչվում նման: (երկու եռանկյունները կոչվում են նման, եթե նրանց անկյունները համապատասխանաբար հավասար են, և մի եռանկյան կողմերը համամասնական են մյուս եռանկյան նման կողմերին.)
- Ի՞նչ ենք օգտագործում երկու եռանկյունների նմանությունն ապացուցելու համար: (
- Ձևակերպեք այս նշանները (ձևակերպել եռանկյունների նմանության երեք նշան)
III. ՈՒՂԻՂ ԱՆԿՅՈՒՆԻ ՎԵՐՋԻՑ ԱՆՑԿԱՑՎՈՂ ՈՒՂՂԱՆԿԱՆ ԵՌԱՆԿՅՈՒՆԻ ԲԱՐՁՐՈՒԹՅԱՆ ՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՄՆԱՍԻՐՈՒԹՅՈՒՆ.
ա) նախապատրաստական փուլ
- Տղերք, խնդրում եմ նայեք առաջին սլայդին: ( Դիմում) Այստեղ ցուցադրված են երկու ուղղանկյուն եռանկյուններ – և . եւ են բարձրությունները եւ համապատասխանաբար. 
.
Առաջադրանք 1. ա)Որոշեք, թե արդյոք և նման են:
- Ի՞նչ ենք օգտագործում եռանկյունների նմանությունն ապացուցելու համար: ( եռանկյունների նմանության նշաններ)
(առաջին նշանը, քանի որ խնդրի մեջ ոչինչ հայտնի չէ եռանկյունների կողմերի մասին)
. (Երկու զույգ՝ 1. ∟B= ∟B1 (ուղիղ), 2. ∟A= ∟A 1)
– Եզրակացություն արեք։ Եռանկյունների նմանության առաջին չափանիշով ~)
Առաջադրանք 1. բ)Որոշեք, թե արդյոք և նման են:
– Նմանության ո՞ր նշանն ենք օգտագործելու և ինչո՞ւ։ (առաջին նշանը, քանի որ խնդրի մեջ ոչինչ հայտնի չէ եռանկյունների կողմերի մասին)
- Քանի՞ զույգ հավասար անկյուններպետք է գտնել? Գտեք այս զույգերը (քանի որ եռանկյունները ուղղանկյուն են, ուրեմն բավարար է մեկ զույգ հավասար անկյուն՝ ∟A= ∟A 1.)
-Եզրակացություն արեք. (Եռանկյունների նմանության առաջին չափանիշի հիման վրա եզրակացնում ենք, որ այս եռանկյունները նման են):
Զրույցի արդյունքում սլայդ 1-ն ունի հետևյալ տեսքը.
բ) թեորեմի բացահայտում
Առաջադրանք 2.
- Որոշեք, թե արդյոք և նման են: Զրույցի արդյունքում կառուցվում են պատասխաններ, որոնք արտացոլվում են սլայդի վրա:
- Նկարը ցույց էր տալիս, որ. Արդյո՞ք մենք օգտագործե՞լ ենք այս աստիճանի չափումը հանձնարարության հարցերին պատասխանելիս: ( Ոչ, մենք չենք օգտագործել այն)
- Տղե՛րք, եզրակացություն արեք. ի՞նչ եռանկյունների է բաժանվում ուղղանկյուն եռանկյունը՝ ըստ ուղղանկյան գագաթից գծված բարձրության: (եզրակացություն)
– Հարց է առաջանում՝ այս երկու ուղղանկյուն եռանկյունները, որոնց բարձրությունը բաժանում է ուղղանկյուն եռանկյունը, նման կլինեն իրար։ Փորձենք գտնել հավասար անկյունների զույգեր։
Զրույցի արդյունքում ստեղծվում է ձայնագրություն:
– Հիմա եկեք ամբողջական եզրակացություն անենք. ԵԶՐԱԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆ. ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից, եռանկյունը բաժանում է երկուսի. համանման
-Այդ։ Մենք ձևակերպեցինք և ապացուցեցինք թեորեմ ուղղանկյուն եռանկյան բարձրության հատկության մասին։
Սահմանենք թեորեմի կառուցվածքը և գծագրենք։ Ի՞նչ է տրված թեորեմում և ի՞նչն է պետք ապացուցել: Աշակերտներն իրենց նոթատետրում գրում են.
– Եկեք ապացուցենք թեորեմի առաջին կետը նոր գծագրի համար: Ինչպիսի՞ նմանության հատկանիշ կօգտագործենք և ինչու: (Առաջինը, քանի որ թեորեմում ոչինչ հայտնի չէ եռանկյունների կողմերի մասին)
- Քանի՞ զույգ հավասար անկյուններ պետք է գտնենք: Գտեք այս զույգերը: (IN այս դեպքումմեկ զույգը բավական է՝ ∟Ա-ընդհանուր)
-Եզրակացություն արեք. Եռանկյունները նման են. Արդյունքում ցուցադրվում է թեորեմի օրինակ
– Երկրորդ և երրորդ կետերը ինքներդ դուրս գրեք տանը:
գ) թեորեմի յուրացում
-Ուրեմն թեորեմը նորից ձեւակերպեք (Ուղիղ անկյան գագաթից գծված ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը բաժանում է եռանկյունը երկուսի. համանմանուղղանկյուն եռանկյուններ, որոնցից յուրաքանչյուրը նման է այս մեկին)
- Քանի՞ զույգ նմանատիպ եռանկյուններ«Ուղղանկյուն եռանկյունում բարձրությունը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից» շինարարության մեջ, այս թեորեմը թույլ է տալիս գտնել: ( Երեք զույգ)
Ուսանողներին տրվում է հետևյալ առաջադրանքը.
IV. ԵՐԿՈՒ ՀԱՏՎԱԾՆԵՐԻ ՄԻՋԻՆ ՀԱՄԱՄԲՆԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅԱՆ ՆԵՐԴՐՈՒՄ.
– Իսկ հիմա մենք ձեզ հետ կուսումնասիրենք նոր հայեցակարգ:
Ուշադրություն.
Սահմանում.Գծային հատված XYկանչեց միջին համամասնական (երկրաչափական միջին)հատվածների միջև ԱԲԵվ CD, Եթե
(գրեք այն նոթատետրում):
V. ՀԱՍԿԱՑՆԵԼ ԵՐԿՈՒ ՀԱՏՎԱԾՆԵՐԻ ՄԻՋԻՆ ՀԱՄԱՄԲՆԱԿՑՈՒԹՅԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆԸ.
– Այժմ անդրադառնանք հաջորդ սլայդին:
Վարժություն 1.Գտե՛ք MN և KP միջին համամասնական հատվածների երկարությունը, եթե MN = 9 սմ, KP = 16 սմ:
- Ի՞նչ է տրված խնդրի մեջ: ( Երկու հատված և դրանց երկարությունները՝ MN = 9 սմ, KP = 16 սմ)
-Ի՞նչ է պետք գտնել: ( Այս հատվածներին համաչափ միջինի երկարությունը)
- Ո՞ր բանաձևն է արտահայտում համամասնական միջինը և ինչպե՞ս ենք այն գտնում:
(Տվյալները փոխարինեք բանաձևով և գտեք միջին հենարանի երկարությունը):
Առաջադրանք թիվ 2.Գտե՛ք AB հատվածի երկարությունը, եթե AB և CD հատվածների միջինը 90 սմ է, իսկ CD = 100 սմ։
- Ի՞նչ է տրված խնդրի մեջ: (CD հատվածի երկարությունը = 100 սմ, իսկ AB և CD հատվածների համամասնական միջինը 90 սմ է)
- Ի՞նչ պետք է գտնել խնդրի մեջ: ( AB հատվածի երկարություն)
-Ինչպե՞ս ենք լուծելու խնդիրը։ (Եկեք գրենք AB և CD միջին համամասնական հատվածների բանաձևը, արտահայտենք դրանից AB երկարությունը և փոխարինենք խնդրի տվյալները):
VI. ԵԶՐԱԿՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԵԶՐԱԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆ
-Բարև տղաներ: Հիմա վերադառնանք եռանկյունների նմանությանը, որն ապացուցեցինք թեորեմում։ Կրկին արտահայտեք թեորեմը: ( Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից, եռանկյունը բաժանում է երկուսի. համանմանուղղանկյուն եռանկյուններ, որոնցից յուրաքանչյուրը նման է տրվածին)
– Նախ օգտագործենք եռանկյունների և . Ի՞նչ է հետևում սրանից։ ( Ըստ սահմանման, նմանության կողմերը համամասնական են նմանատիպ կողմերին)
– Ի՞նչ հավասարություն կառաջանա համամասնության հիմնական հատկությունն օգտագործելիս: ()
– Արտահայտեք CD-ն և եզրակացություն արեք (
;
.
Եզրակացություն: Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից, միջին համամասնությունն է այն հատվածների միջև, որոնցում հիպոթենուսը բաժանվում է այս բարձրության վրա:)
– Հիմա ինքներդ ապացուցեք, որ ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը միջին համամասնությունն է հիպոթենուսի և հիպոթենուսի հատվածի միջև, որը պարփակված է ոտքի և բարձրության միջև: Մենք կգտնենք -... այն հատվածներից, որոնց բաժանվում է հիպոթենուսը: այս բարձրության վրա )
Ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը միջին համամասնությունն է...(-...հիպոթենուսը և հիպոթենուսի հատվածը, որը պարփակված է այս ոտքի և բարձրության միջև )
– Որտե՞ղ ենք մենք օգտագործում մեր իմացած պնդումները: ( Խնդիրները լուծելիս)
IX. ՏԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐԻ ԿԱՐԳԱՎՈՐՈՒՄԸ
դ/զ:Թիվ 571, թիվ 572 (ա, դ), ինքնուրույն աշխատանքտետրում, տեսություն.
Դաս 40. Համամասնական հատվածներ ուղղանկյուն եռանկյան մեջ: C. բ. ա. հ. Ս. մ.թ.ա. N. ac. A. B. Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից, եռանկյունը բաժանում է 2 նմանատիպ ուղղանկյուն եռանկյունների, որոնցից յուրաքանչյուրը նման է տվյալ եռանկյունին: Ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության թեստ. Երկու ուղղանկյուն եռանկյունները նման են, եթե նրանցից յուրաքանչյուրն ունի հավասար սուր անկյուն: XY հատվածը կոչվում է համամասնական միջին (երկրաչափական միջին) AB և CD հատվածների համար, եթե հատկություն 1: Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից, համաչափ միջինն է հիպոթենուսի վրա ոտքերի ելքերի միջև: Հատկություն 2. Ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը հիպոթենուսի և այս ոտքի ելքի միջև ընկած միջին համամասնությունն է հիպոթենուսի վրա:
Սլայդ 28շնորհանդեսից «Երկրաչափություն «Նման եռանկյուններ». Ներկայացման հետ արխիվի չափը 232 ԿԲ է:Երկրաչափություն 8-րդ դասարան
ամփոփումայլ շնորհանդեսներ«Պյութագորասի թեորեմի խնդիրների լուծումը» - ABC եռանկյունը հավասարաչափ է: Գործնական օգտագործումՊյութագորասի թեորեմ. ABCD-ն քառանկյուն է: Քառակուսու տարածք. Գտեք արևը: Ապացույց. Հավասարաչափ տրապեզի հիմքերը: Դիտարկենք Պյութագորասի թեորեմը։ Քառանկյունի մակերեսը. Ուղղանկյուն եռանկյուններ. Պյութագորասի թեորեմ. Հիպոթենուսի քառակուսի գումարին հավասարոտքերի քառակուսիներ.
«Գտեք զուգահեռագծի տարածքը» - հիմք: Բարձրություն. Զուգահեռագծի բարձրության որոշում. Ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության նշաններ. Զուգահեռագծի մակերեսը: Գտեք եռանկյան մակերեսը: Տարածքների հատկությունները. Բանավոր վարժություններ. Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը: Զուգահեռագծի բարձրությունները: Գտե՛ք քառակուսու պարագիծը: Եռանկյունի մակերեսը. Գտեք հրապարակի մակերեսը: Գտեք ուղղանկյան մակերեսը: Քառակուսու տարածք.
««Հրապարակ» 8-րդ դասարան» - Սև հրապարակ. Քառակուսի պարագծի շուրջ բանավոր աշխատանքի առաջադրանքներ. Քառակուսու տարածք. Քառակուսու նշաններ. Հրապարակը մեր մեջ է։ Քառակուսին ուղղանկյուն է, որի բոլոր կողմերը հավասար են: Քառակուսի. Քառակուսի հիմքով պայուսակ։ Բանավոր առաջադրանքներ. Քանի՞ քառակուսի է պատկերված նկարում: Քառակուսու հատկությունները. Հարուստ վաճառական. Քառակուսու մակերեսի վրա բանավոր աշխատանքի առաջադրանքներ. Քառակուսու պարագիծը.
«Սռնու համաչափության սահմանում» - Միևնույն ուղղահայաց վրա ընկած կետերը: Գծեք երկու ուղիղ գիծ: Շինարարություն. Գծագրեք կետերը: Հուշում. Գործիչներ, որոնք չունեն առանցքային համաչափություն: Գծային հատված. Բացակայում են կոորդինատները: Նկար. Ֆիգուրներ, որոնք ունեն սիմետրիայի երկուից ավելի առանցք: Համաչափություն. Համաչափությունը պոեզիայում. Կառուցեք եռանկյուններ: Համաչափության առանցքներ. Սեգմենտի կառուցում. Կետի կառուցում. Համաչափության երկու առանցքներով թվեր. Ժողովուրդներ. Եռանկյուններ. Համաչափություն.
«Նման եռանկյունների սահմանում» - Բազմանկյուններ: Համամասնական հատվածներ. Նմանատիպ եռանկյունների տարածքների հարաբերակցությունը: Երկու եռանկյունները կոչվում են նման: Պայմաններ. Կառուցեք եռանկյուն՝ օգտագործելով տրված երկու անկյունները և գագաթի կիսադիրը: Ենթադրենք, մենք պետք է որոշենք հեռավորությունը դեպի սյուն: Եռանկյունների նմանության երրորդ նշանը. Եկեք կառուցենք ինչ-որ եռանկյունի: ABC. ABC և ABC եռանկյունները երեք կողմերից հավասար են: Օբյեկտի բարձրության որոշում.
«Պյութագորասի թեորեմի լուծումը» - պատուհանների մասեր. Ամենապարզ ապացույցը. Համուրաբի. Շեղանկյուն: Ամբողջական ապացույց. Ապացուցում հանման մեթոդով. Պյութագորացիներ. Ապացուցում տարրալուծման մեթոդով. Թեորեմի պատմություն. Տրամագիծը. Ապացույց հավելման մեթոդով. Էփշտեյնի ապացույցը. Կանտոր. Եռանկյուններ. Հետևորդներ. Պյութագորասի թեորեմի կիրառությունները. Պյութագորասի թեորեմ. Թեորեմի հայտարարություն. Պերիգալի ապացույցը. Թեորեմի կիրառում.
Ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության թեստ
Եկեք նախ ներկայացնենք ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության չափանիշը:
Թեորեմ 1
Ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության թեստԵրկու ուղղանկյուն եռանկյունները նման են, երբ յուրաքանչյուրն ունի մեկ հավասար սուր անկյուն (նկ. 1):
Նկար 1. Նմանատիպ ուղղանկյուն եռանկյուններ
Ապացույց.
Եկեք մեզ տրվի, որ $\անկյուն B=\անկյուն B_1$: Քանի որ եռանկյունները ուղղանկյուն են, ուրեմն $\անկյուն A=\անկյուն A_1=(90)^0$: Ուստի դրանք նման են եռանկյունների նմանության առաջին չափանիշի համաձայն։
Թեորեմն ապացուցված է.
Բարձրության թեորեմն ուղղանկյուն եռանկյան մեջ
Թեորեմ 2
Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից, եռանկյունը բաժանում է երկու նմանատիպ ուղղանկյուն եռանկյունների, որոնցից յուրաքանչյուրը նման է տվյալ եռանկյունին։
Ապացույց.
Եկեք մեզ տրվի $ABC$ ուղղանկյուն $C$ ուղղանկյուն: Նկարենք $CD$ բարձրությունը (նկ. 2):
Նկար 2. Թեորեմ 2-ի նկարազարդում
Եկեք ապացուցենք, որ $ACD$ և $BCD$ եռանկյունները նման են $ABC$ եռանկյունին, իսկ $ACD$ և $BCD$ եռանկյունները նման են միմյանց։
Քանի որ $\անկյուն ADC=(90)^0$, ուրեմն $ACD$ եռանկյունը ուղղանկյուն է։ $ACD$ և $ABC$ եռանկյունները ունեն $A$ ընդհանուր անկյուն, հետևաբար, ըստ Թեորեմ 1-ի, $ACD$ և $ABC$ եռանկյունները նման են:
Քանի որ $\անկյուն BDC=(90)^0$, ուրեմն $BCD$ եռանկյունը ուղղանկյուն է։ $BCD$ և $ABC$ եռանկյունները ունեն $B$ ընդհանուր անկյուն, հետևաբար, ըստ Թեորեմ 1-ի, $BCD$ և $ABC$ եռանկյունները նման են:
Այժմ դիտարկենք $ACD$ և $BCD$ եռանկյունները
\[\անկյուն A=(90)^0-\անկյուն ACD\] \[\անկյուն BCD=(90)^0-\անկյուն ACD=\անկյուն A\]
Հետևաբար, թեորեմ 1-ով $ACD$ և $BCD$ եռանկյունները նման են:
Թեորեմն ապացուցված է.
Միջին համամասնական
Թեորեմ 3
Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից, միջին համամասնությունն է այն հատվածներին, որոնց բարձրությունը բաժանում է տվյալ եռանկյան հիպոթենուսը:
Ապացույց.
Թեորեմ 2-ով մենք ունենք, որ $ACD$ և $BCD$ եռանկյունները նման են, հետևաբար
Թեորեմն ապացուցված է.
Թեորեմ 4
Ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը միջին համամասնությունն է հիպոթենուսի և հիպոթենուսի հատվածի միջև, որը պարփակված է ոտքի և անկյան գագաթից գծված բարձրության միջև:
Ապացույց.
Թեորեմի ապացուցման մեջ մենք կօգտագործենք Նկար 2-ի նշումը:
Թեորեմ 2-ով մենք ունենք, որ $ACD$ և $ABC$ եռանկյունները նման են, հետևաբար
Թեորեմն ապացուցված է.
Այսօր ձեր ուշադրությանն ենք ներկայացնում ևս մեկ շնորհանդես զարմանալի և առեղծվածային թեմայի՝ երկրաչափության վերաբերյալ: Այս շնորհանդեսում մենք ձեզ կներկայացնենք նոր սեփականություն երկրաչափական ձևեր, մասնավորապես՝ ուղղանկյուն եռանկյունների համամասնական հատվածների հասկացությամբ։
Նախ, մենք պետք է հիշենք, թե ինչ է եռանկյունը: Սա ամենապարզ բազմանկյունն է, որը բաղկացած է երեք գագաթներից, որոնք միացված են երեք հատվածներով։ Այն եռանկյունը, որի անկյուններից մեկը հավասար է 90 աստիճանի, կոչվում է ուղղանկյուն եռանկյուն: Նրանց ավելի մանրամասն արդեն ծանոթացել եք մեր նախորդում ուսումնական նյութերներկայացվել է ձեր ուշադրությանը:
Այսպիսով, վերադառնալով մեր այսօրվա թեմային, նշենք այնպես, որ 90 աստիճան անկյան տակ գծված ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը բաժանի այն երկու եռանկյունների, որոնք նման են թե՛ միմյանց, թե՛ սկզբնականին։ Ձեզ հետաքրքրող բոլոր գծագրերն ու գրաֆիկները ներկայացված են առաջարկվող ներկայացման մեջ, խորհուրդ ենք տալիս հղում կատարել դրանց՝ նկարագրված բացատրության հետ միասին:
Վերոնշյալ թեզի գրաֆիկական օրինակը կարելի է տեսնել երկրորդ սլայդում: Եռանկյունների նմանության առաջին նշանի հիման վրա եռանկյունները նման են, քանի որ ունեն երկու նույնական անկյուններ: Եթե ավելի մանրամասն նշենք, ապա մինչև հիպոթենուս իջեցված բարձրությունը դրա հետ ուղիղ անկյուն է կազմում, այսինքն՝ արդեն կան նույնական անկյուններ, և ձևավորված անկյուններից յուրաքանչյուրն ունի նաև մեկ ընդհանուր անկյուն, ինչպես սկզբնականը։ Արդյունքը երկու միմյանց հավասար անկյուններ են: Այսինքն՝ եռանկյունները նման են։
Եկեք նաև նշենք, թե ինչ է նշանակում «համամասնական նշանակում» կամ «երկրաչափական միջին» հասկացությունը: Սա որոշակի XY հատված է AB և CD հատվածների համար, երբ այն հավասար է քառակուսի արմատապրանքներ իրենց երկարությամբ.
Որից նաև հետևում է, որ ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը երկրաչափական միջինն է հիպոթենուսի և այս ոտքի ելքի միջև հիպոթենուսի, այսինքն՝ մեկ այլ ոտքի վրա:
Ուղղանկյուն եռանկյան մեկ այլ հատկություն այն է, որ նրա բարձրությունը, գծված 90° անկյան տակ, միջին համամասնությունն է ոտքերի ելքերի միջև հիպոթենուսի վրա: Եթե դիմեք ներկայացմանը և ձեր ուշադրությանը ներկայացված այլ նյութերին, կտեսնեք, որ այս թեզի ապացույցները շատ պարզ և մատչելի ձևով կան: Նախկինում մենք արդեն ապացուցել ենք, որ ստացված եռանկյունները նման են միմյանց և սկզբնական եռանկյունին: Այնուհետև, օգտագործելով այս երկրաչափական պատկերների ոտքերի հարաբերակցությունը, մենք գալիս ենք այն եզրակացության, որ ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունն ուղիղ համեմատական է այն հատվածների արտադրյալի քառակուսի արմատին, որոնք ձևավորվել են բարձրությունն իջեցնելու արդյունքում: սկզբնական եռանկյունու ուղիղ անկյուն։
Ներկայացման մեջ վերջին բանն այն է, որ ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը հիպոթենուսի և նրա հատվածի երկրաչափական միջինն է, որը գտնվում է 90 աստիճանի հավասար անկյան տակ գծված ոտքի և բարձրության միջև: Այս դեպքը պետք է դիտարկել այն տեսանկյունից, որ նշված եռանկյունները նման են միմյանց, և դրանցից մեկի ոտքը ստացվում է մյուսի հիպոթենուսը։ Բայց սրան ավելի կծանոթանաք՝ ուսումնասիրելով առաջարկվող նյութերը։
Ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության թեստ
Եկեք նախ ներկայացնենք ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության չափանիշը:
Թեորեմ 1
Ուղղանկյուն եռանկյունների նմանության թեստԵրկու ուղղանկյուն եռանկյունները նման են, երբ յուրաքանչյուրն ունի մեկ հավասար սուր անկյուն (նկ. 1):
Նկար 1. Նմանատիպ ուղղանկյուն եռանկյուններ
Ապացույց.
Եկեք մեզ տրվի, որ $\անկյուն B=\անկյուն B_1$: Քանի որ եռանկյունները ուղղանկյուն են, ուրեմն $\անկյուն A=\անկյուն A_1=(90)^0$: Ուստի դրանք նման են եռանկյունների նմանության առաջին չափանիշի համաձայն։
Թեորեմն ապացուցված է.
Բարձրության թեորեմն ուղղանկյուն եռանկյան մեջ
Թեորեմ 2
Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից, եռանկյունը բաժանում է երկու նմանատիպ ուղղանկյուն եռանկյունների, որոնցից յուրաքանչյուրը նման է տվյալ եռանկյունին։
Ապացույց.
Եկեք մեզ տրվի $ABC$ ուղղանկյուն $C$ ուղղանկյուն: Նկարենք $CD$ բարձրությունը (նկ. 2):
Նկար 2. Թեորեմ 2-ի նկարազարդում
Եկեք ապացուցենք, որ $ACD$ և $BCD$ եռանկյունները նման են $ABC$ եռանկյունին, իսկ $ACD$ և $BCD$ եռանկյունները նման են միմյանց։
Քանի որ $\անկյուն ADC=(90)^0$, ուրեմն $ACD$ եռանկյունը ուղղանկյուն է։ $ACD$ և $ABC$ եռանկյունները ունեն $A$ ընդհանուր անկյուն, հետևաբար, ըստ Թեորեմ 1-ի, $ACD$ և $ABC$ եռանկյունները նման են:
Քանի որ $\անկյուն BDC=(90)^0$, ուրեմն $BCD$ եռանկյունը ուղղանկյուն է։ $BCD$ և $ABC$ եռանկյունները ունեն $B$ ընդհանուր անկյուն, հետևաբար, ըստ Թեորեմ 1-ի, $BCD$ և $ABC$ եռանկյունները նման են:
Այժմ դիտարկենք $ACD$ և $BCD$ եռանկյունները
\[\անկյուն A=(90)^0-\անկյուն ACD\] \[\անկյուն BCD=(90)^0-\անկյուն ACD=\անկյուն A\]
Հետևաբար, թեորեմ 1-ով $ACD$ և $BCD$ եռանկյունները նման են:
Թեորեմն ապացուցված է.
Միջին համամասնական
Թեորեմ 3
Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը, որը գծված է ուղիղ անկյան գագաթից, միջին համամասնությունն է այն հատվածներին, որոնց բարձրությունը բաժանում է տվյալ եռանկյան հիպոթենուսը:
Ապացույց.
Թեորեմ 2-ով մենք ունենք, որ $ACD$ և $BCD$ եռանկյունները նման են, հետևաբար
Թեորեմն ապացուցված է.
Թեորեմ 4
Ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը միջին համամասնությունն է հիպոթենուսի և հիպոթենուսի հատվածի միջև, որը պարփակված է ոտքի և անկյան գագաթից գծված բարձրության միջև:
Ապացույց.
Թեորեմի ապացուցման մեջ մենք կօգտագործենք Նկար 2-ի նշումը:
Թեորեմ 2-ով մենք ունենք, որ $ACD$ և $ABC$ եռանկյունները նման են, հետևաբար
Թեորեմն ապացուցված է.
Բեռնվում է...