Գտե՛ք եռանկյան կողմը նրա կողմով և անկյան տակ: Եռանկյունի պարամետրերը ըստ տրված պարամետրերի: Եռանկյան մակերեսի բանաձևը, որը տրված է մեկ կողմ և երկու անկյուն

Մաթեմատիկայի մեջ եռանկյունը դիտարկելիս մեծ ուշադրություն է դարձվում նրա կողմերին։ Քանի որ այս տարրերը կազմում են այս երկրաչափական պատկերը: Եռանկյան կողմերը օգտագործվում են երկրաչափության բազմաթիվ խնդիրներ լուծելու համար։

Հայեցակարգի սահմանում

Երեք կետերը միացնող հատվածները, որոնք միևնույն գծի վրա չեն գտնվում, կոչվում են եռանկյան կողմեր: Քննարկվող տարրերը սահմանափակում են ինքնաթիռի մի մասը, որը կոչվում է դրա ինտերիեր երկրաչափական պատկեր.

Մաթեմատիկոսներն իրենց հաշվարկներում թույլ են տալիս ընդհանրացումներ երկրաչափական պատկերների կողմերի վերաբերյալ։ Այսպիսով, այլասերված եռանկյունում նրա երեք հատվածները գտնվում են մեկ ուղիղ գծի վրա:

Հայեցակարգի բնութագրերը

Եռանկյան կողմերի հաշվարկը ներառում է նկարի բոլոր մյուս պարամետրերի որոշումը: Իմանալով այս հատվածներից յուրաքանչյուրի երկարությունը՝ կարող եք հեշտությամբ հաշվարկել եռանկյան պարագիծը, մակերեսը և նույնիսկ անկյունները:

Բրինձ. 1. Կամայական եռանկյուն.

Տրված պատկերի կողմերը գումարելով՝ կարող եք որոշել պարագիծը։

P=a+b+c, որտեղ a, b, c եռանկյան կողմերն են

Իսկ եռանկյան մակերեսը գտնելու համար պետք է օգտագործել Հերոնի բանաձևը.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Որտեղ p-ը կիսաշրջագիծն է:

Տրված երկրաչափական պատկերի անկյունները հաշվարկվում են կոսինուսի թեորեմի միջոցով։

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Իմաստը

Այս երկրաչափական պատկերի որոշ հատկություններ արտահայտվում են եռանկյան կողմերի հարաբերությամբ.

• Եռանկյան ամենափոքր կողմի դիմաց նրա ամենափոքր անկյունն է:
• Քննարկվող երկրաչափական պատկերի արտաքին անկյունը ստացվում է կողմերից մեկը երկարացնելու միջոցով։
• Եռանկյան հակառակ հավասար անկյունները հավասար են:
• Ցանկացած եռանկյունում կողմերից մեկը միշտ ավելի մեծ է, քան մյուս երկու հատվածների տարբերությունը։ Եվ այս թվի ցանկացած երկու կողմերի գումարն ավելի մեծ է, քան երրորդը:

Երկու եռանկյունների հավասարության նշաններից մեկը երկրաչափական պատկերի բոլոր կողմերի գումարի հարաբերությունն է։ Եթե ​​այս արժեքները նույնն են, ապա եռանկյունները հավասար կլինեն:

Եռանկյան որոշ հատկություններ կախված են նրա տեսակից։ Հետեւաբար, նախ պետք է հաշվի առնել այս գործչի կողմերի կամ անկյունների չափը:

Եռանկյունների ձևավորում

Եթե ​​խնդրո առարկա երկրաչափական պատկերի երկու կողմերը նույնն են, ապա այս եռանկյունը կոչվում է հավասարաչափ:

Բրինձ. 2. Հավասարաչափ եռանկյուն.

Երբ եռանկյան բոլոր հատվածները հավասար են, ստացվում է հավասարակողմ եռանկյուն:

Բրինձ. 3. Հավասարակողմ եռանկյուն.

Ավելի հարմար է ցանկացած հաշվարկ իրականացնել այն դեպքերում, երբ կամայական եռանկյունը կարող է դասակարգվել որպես հատուկ տեսակի: Քանի որ այդ դեպքում այս երկրաչափական գործչի պահանջվող պարամետրը գտնելը զգալիորեն կպարզեցվի։

Չնայած ճիշտ ընտրված եռանկյունաչափական հավասարումը թույլ է տալիս լուծել բազմաթիվ խնդիրներ, որոնցում դիտարկվում է կամայական եռանկյուն:

Ի՞նչ ենք մենք սովորել:

Երեք հատվածները, որոնք միացված են կետերով և չեն պատկանում նույն ուղիղ գծին, կազմում են եռանկյուն: Այս կողմերը կազմում են երկրաչափական հարթություն, որն օգտագործվում է տարածքը որոշելու համար։ Օգտագործելով այս հատվածները, դուք կարող եք գտնել գործչի շատ կարևոր բնութագրեր, ինչպիսիք են պարագիծը և անկյունները: Եռանկյան կողմի հարաբերակցությունը օգնում է գտնել դրա տեսակը: Տվյալ երկրաչափական գործչի որոշ հատկություններ կարող են օգտագործվել միայն այն դեպքում, եթե հայտնի են նրա յուրաքանչյուր կողմի չափերը:

Թեստ թեմայի շուրջ

Հոդվածների վարկանիշ

Միջին գնահատականը: 4.3. Ստացված ընդհանուր գնահատականները՝ 142:

Երկրաչափության մեջ անկյունը այն պատկերն է, որը ձևավորվում է մեկ կետից դուրս եկող երկու ճառագայթներից (կոչվում է անկյան գագաթ)։ Շատ դեպքերում անկյան չափման միավորը աստիճանն է (°) - հիշեք, որ ամբողջական անկյունը կամ մեկ պտույտը 360° է: Բազմանկյունի անկյան արժեքը կարելի է գտնել ըստ նրա տեսակի և այլ անկյունների արժեքների, իսկ եթե տրվի ուղղանկյուն եռանկյուն, ապա անկյունը կարելի է հաշվարկել երկու կողմից: Ավելին, անկյունը կարող է չափվել անկյունաչափի միջոցով կամ հաշվարկվել գրաֆիկական հաշվիչի միջոցով:

Քայլեր

Ինչպես գտնել բազմանկյան ներքին անկյունները

Հաշվե՛ք բազմանկյան կողմերի թիվը:Բազմանկյունի ներքին անկյունները հաշվարկելու համար նախ պետք է որոշել, թե քանի կողմ ունի բազմանկյունը: Նկատի ունեցեք, որ բազմանկյունի կողմերի թիվը հավասար է նրա անկյունների թվին:

• Օրինակ՝ եռանկյունն ունի 3 կողմ և 3 ներքին անկյուն, իսկ քառակուսին՝ 4 կողմ և 4 ներքին անկյուն։

1. Հաշվիր բազմանկյան բոլոր ներքին անկյունների գումարը:Դա անելու համար օգտագործեք հետևյալ բանաձևը՝ (n - 2) x 180։ Այս բանաձևում n-ը բազմանկյունի կողմերի թիվն է։ Ստորև բերված են սովորաբար հանդիպող բազմանկյունների անկյունների գումարները.

   • Եռանկյան (3 կողմ ունեցող բազմանկյուն) անկյունների գումարը 180° է։
   • Քառանկյան (4 կողմ ունեցող բազմանկյուն) անկյունների գումարը 360° է։
   • Հնգանկյան (5 կողմ ունեցող բազմանկյուն) անկյունների գումարը 540° է։
   • Վեցանկյան (6 կողմ ունեցող բազմանկյուն) անկյունների գումարը 720° է։
   • Ութանկյունի (8 կողմ ունեցող բազմանկյուն) անկյունների գումարը 1080° է։

2. Կանոնավոր բազմանկյան բոլոր անկյունների գումարը բաժանեք անկյունների թվի վրա:Կանոնավոր բազմանկյունը հավասար կողմերով բազմանկյուն է և հավասար անկյուններ. Օրինակ, հավասարակողմ եռանկյան յուրաքանչյուր անկյուն հաշվարկվում է հետևյալ կերպ՝ 180 ÷ 3 = 60°, իսկ քառակուսու յուրաքանչյուր անկյունը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ՝ 360 ÷ 4 = 90°։

   • Հավասարակողմ եռանկյունը և քառակուսին կանոնավոր բազմանկյուններ են: Իսկ Պենտագոնի շենքում (Վաշինգտոն, ԱՄՆ) և ճանապարհային նշանԿանոնավոր ութանկյունի «Stop» ձևը։

3. Անկանոն բազմանկյան անկյունների ընդհանուր գումարից հանել բոլոր հայտնի անկյունների գումարը:Եթե ​​բազմանկյան կողմերը հավասար չեն միմյանց, և նրա անկյունները նույնպես հավասար չեն միմյանց, ապա նախ գումարեք բազմանկյան հայտնի անկյունները: Այժմ ստացված արժեքը հանեք բազմանկյան բոլոր անկյունների գումարից, այս կերպ դուք կգտնեք անհայտ անկյունը:

   • Օրինակ, եթե հաշվի առնենք, որ հնգանկյունի 4 անկյունները 80°, 100°, 120° և 140° են, գումարեք այս թվերը. հնգանկյունի անկյունները; այս գումարը հավասար է 540°՝ 540 - 440 = 100°։ Այսպիսով, անհայտ անկյունը 100° է։

   Խորհուրդ.Որոշ բազմանկյունների անհայտ անկյունը կարելի է հաշվարկել, եթե գիտեք նկարի հատկությունները: Օրինակ, հավասարաչափ եռանկյունում երկու կողմերը հավասար են, և երկու անկյունները հավասար են. Զուգահեռագրում (որը քառանկյուն է) հակառակ կողմերը հավասար են, իսկ հակառակ անկյունները՝ հավասար։

   Չափել եռանկյան երկու կողմերի երկարությունը:Ամենաերկար կողմը ուղղանկյուն եռանկյունկոչվում է հիպոթենուզ: Հարակից կողմն այն կողմն է, որը գտնվում է անհայտ անկյան մոտ: Հակառակ կողմն այն կողմն է, որը հակառակ է անհայտ անկյան տակ: Չափե՛ք երկու կողմերը՝ եռանկյան անհայտ անկյունները հաշվարկելու համար:

   Խորհուրդ.օգտագործեք գրաֆիկական հաշվիչ՝ հավասարումները լուծելու համար, կամ գտեք առցանց աղյուսակ՝ սինուսների, կոսինուսների և շոշափողների արժեքներով:

   Հաշվե՛ք անկյան սինուսը, եթե գիտեք հակառակ կողմը և հիպոթենուսը:Դա անելու համար միացրեք արժեքները հավասարման մեջ՝ sin(x) = հակառակ կողմ ÷ հիպոթենուս: Օրինակ՝ հակառակ կողմը 5 սմ է, իսկ հիպոթենուսը՝ 10 սմ։Բաժանել 5/10 = 0,5։ Այսպիսով, sin(x) = 0.5, այսինքն, x = sin -1 (0.5):

Եռանկյունը երկրաչափական թիվ է, որը բաղկացած է երեք հատվածներից, որոնք միացնում են երեք կետեր, որոնք չեն գտնվում նույն գծի վրա: Եռանկյուն կազմող կետերը կոչվում են նրա կետեր, իսկ հատվածները՝ կողք կողքի։

Կախված եռանկյան տեսակից (ուղղանկյուն, մոնոխրոմ և այլն), կարող եք հաշվարկել եռանկյան կողմը տարբեր ձևերով՝ կախված մուտքային տվյալներից և խնդրի պայմաններից։

Արագ նավարկություն հոդվածի համար

Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը հաշվարկելու համար օգտագործվում է Պյութագորասի թեորեմը, ըստ որի հիպոթենուսի քառակուսին. գումարին հավասարքառակուսի ոտնաչափ:

Եթե ​​ոտքերը նշում ենք «a» և «b», իսկ հիպոթենուսը՝ «c», ապա էջերը կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևերով.

Եթե ​​հայտնի են ուղղանկյուն եռանկյան (a և b) սուր անկյունները, ապա նրա կողմերը կարելի է գտնել հետևյալ բանաձևերով.

Կտրված եռանկյուն

Եռանկյունը կոչվում է հավասարակողմ եռանկյուն, որի երկու կողմերը նույնն են:

Ինչպես գտնել հիպոթենուսը երկու ոտքերում

Եթե ​​«a» տառը նույնական է նույն էջի հետ, «b»-ն հիմքն է, «b»-ն՝ հիմքի հակառակ անկյունը, «a»-ն հարակից անկյունն է՝ էջերը հաշվարկելու համար։ հետևյալ բանաձևերը:

Երկու անկյուն և մի կողմ

Եթե ​​որևէ եռանկյան մեկ էջ (c) և երկու անկյուն (a և b) հայտնի են, մնացած էջերը հաշվարկելու համար օգտագործվում է սինուսի բանաձևը.

Դուք պետք է գտնեք երրորդ արժեքը y = 180 - (a + b), քանի որ

եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը 180° է;

Երկու կողմ և անկյուն

Եթե ​​հայտնի են եռանկյան երկու կողմերը (a և b) և նրանց միջև եղած անկյունը (y), ապա կոսինուսի թեորեմը կարող է օգտագործվել երրորդ կողմը հաշվարկելու համար:

Ինչպես որոշել ուղղանկյուն եռանկյան պարագիծը

Եռանկյուն եռանկյունը եռանկյուն է, որից մեկը 90 աստիճան է, իսկ մյուս երկուսը սուր են։ հաշվարկ պարագծայինայդպիսին եռանկյունկախված դրա մասին հայտնի տեղեկատվության քանակից։

Ձեզ դա պետք կգա

• Կախված դեպքից՝ հմտանում է եռանկյան 2 երեք կողմերը, ինչպես նաև նրա սուր անկյուններից մեկը։

հրահանգներ

առաջինՄեթոդ 1. Եթե բոլոր երեք էջերը հայտնի են եռանկյունԱյնուհետև, անկախ նրանից՝ ուղղահայաց, թե ոչ եռանկյուն, պարագիծը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ՝ P = A + B + C, որտեղ հնարավոր է, c-ն հիպոթենուսն է. a-ն և b-ն ոտքեր են:

երկրորդՄեթոդ 2.

Եթե ​​ուղղանկյունն ունի միայն երկու կողմ, ապա օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը. եռանկյունկարելի է հաշվարկել՝ օգտագործելով բանաձեւը՝ P = v (a2 + b2) + a + b կամ P = v (c2 - b2) + b + c:

երրորդՄեթոդ 3. Ենթադրենք հիպոթենուսը c և սուր անկյուն: Հաշվի առնելով ուղղանկյուն եռանկյունը, պարագիծը հնարավոր կլինի գտնել այսպես՝ P = (1 + մեղ.

չորրորդՄեթոդ 4. Ասում են, որ ուղղանկյուն եռանկյան մեջ մեկ ոտքի երկարությունը հավասար է a-ի և, ընդհակառակը, ունի սուր անկյուն։ Հետո հաշվարկիր պարագծայինՍա եռանկյունկիրականացվի ըստ բանաձևի՝ P = a * (1 / tg?

1/որդի? + 1)

հինգերորդներըՄեթոդ 5.

Առցանց եռանկյունի հաշվարկ

Թող մեր ոտքը տանի և ներառվի դրա մեջ, ապա միջակայքը կհաշվարկվի հետևյալ կերպ՝ P = A * (1 / CTG + 1 / + 1 cos?)

Առնչվող տեսանյութեր

Պյութագորասի թեորեմը բոլոր մաթեմատիկայի հիմքն է։ Որոշում է իրական եռանկյան կողմերի հարաբերությունները: Այժմ այս թեորեմի 367 ապացույց կա:

հրահանգներ

առաջինՊյութագորասի թեորեմի դասական դպրոցական ձևակերպումը հնչում է այսպես. հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին:

Երկու Կատետների ուղղանկյուն եռանկյունում հիպոթենուսը գտնելու համար պետք է դիմել ոտքերի երկարությունների քառակուսի կառուցելու, դրանք հավաքելու և վերցնելու համար: Քառակուսի արմատգումարից։ Նրա հայտարարության սկզբնական ձևակերպման մեջ շուկան հիմնված է հիպոթենուսի վրա, որը հավասար է Քեյթի կողմից արտադրված 2 քառակուսիների քառակուսիների գումարին։ Այնուամենայնիվ, ժամանակակից հանրահաշվական ձևակերպումը չի պահանջում տիրույթի ներկայացում:

երկրորդՕրինակ, ուղղանկյուն եռանկյուն, որի ոտքերը 7 սմ և 8 սմ են:

Այնուհետև, ըստ Պյութագորասի թեորեմի, քառակուսի հիպոթենուսը հավասար է R + S = 49 + 64 = 113 սմ, հիպոթենուսը հավասար է 113 թվի քառակուսի արմատին։

Ուղղանկյուն եռանկյան անկյուններ

Արդյունքը անհիմն թիվ էր։

երրորդԵթե ​​եռանկյունները 3 և 4 ոտքերն են, ապա հիպոթենուսը = 25 = 5: Երբ վերցնում եք քառակուսի արմատը, ստանում եք բնական թիվ: 3, 4, 5 թվերը կազմում են Պիգագորայի եռյակ, քանի որ բավարարում են x կապը: +Y? = Z, որը բնական է:

Պյութագորասյան եռյակի այլ օրինակներ են՝ 6, 8, 10; 5, 12, 13; 15, 20, 25; 9, 40, 41։

չորրորդԱյս դեպքում, եթե ոտքերը միմյանց հետ նույնական են, Պյութագորասի թեորեմը վերածվում է ավելի պարզունակ հավասարման։ Օրինակ, ենթադրենք, որ նման սլաքը հավասար է A թվին, և հիպոթենուսը սահմանվում է C-ի համար, իսկ հետո c. = Ap + Ap, C = 2A2, C = A? 2. Այս դեպքում ձեզ պետք չէ Ա.

հինգերորդներըՊյութագորասի թեորեմը հատուկ դեպք է, որն ավելի մեծ է, քան ընդհանուր կոսինուսի թեորեմը, որը հաստատում է եռանկյան երեք կողմերի միջև կապը դրանցից երկուսի միջև եղած ցանկացած անկյան համար:

Հուշում 2. Ինչպես որոշել հիպոթենուսը ոտքերի և անկյունների համար

Հիպոթենուսը ուղղանկյուն եռանկյան այն կողմն է, որը հակառակ է 90 աստիճանի անկյան:

հրահանգներ

առաջինՀայտնի կաթետերների, ինչպես նաև ուղղանկյուն եռանկյունու սուր անկյունի դեպքում հիպոթենուսը կարող է ունենալ ոտքի և այս անկյան կոսինուսի/սինուսի հարաբերակցությանը հավասար չափս, եթե անկյունը հակադիր էր / e ներառում է. = C1 (կամ C2) / մեղք, H = C1 (կամ C2?) / cos?. Օրինակ. Թող ABC տրվի անկանոն եռանկյուն AB հիպոթենուսով և C ուղղանկյունով:

Թող B լինի 60 աստիճան, իսկ A-ն 30 աստիճան: BC ցողունի երկարությունը 8 սմ է, պետք է գտնել AB հիպոթենուսի երկարությունը։ Դա անելու համար կարող եք օգտագործել վերը նշված մեթոդներից մեկը՝ AB = BC / cos60 = 8 սմ AB = BC / sin30 = 8 սմ:

Հիպոթենուսը ուղղանկյան ամենաերկար կողմն է եռանկյուն. Այն գտնվում է ուղիղ անկյան տակ։ Ուղղանկյան հիպոթենուսը գտնելու մեթոդ եռանկյունկախված աղբյուրի տվյալներից:

հրահանգներ

առաջինԵթե ​​ձեր ոտքերը ուղղահայաց են եռանկյուն, ապա ուղղանկյան հիպոթենուսի երկարությունը եռանկյունկարելի է հայտնաբերել Պյութագորասի անալոգով - հիպոթենուսի երկարության քառակուսին հավասար է ոտքերի երկարությունների քառակուսիների գումարին. c2 = a2 + b2, որտեղ a և b աջ ոտքերի երկարությունն են: եռանկյուն .

երկրորդԵթե ​​ոտքերից մեկը հայտնի է և գտնվում է սուր անկյան տակ, ապա հիպոթենուսը գտնելու բանաձևը կախված կլինի տակի առկայությունից կամ բացակայությունից: որոշակի անկյունհայտնի ոտքի նկատմամբ՝ հարևան (ոտքը գտնվում է մոտ), կամ հակառակը (հակառակ դեպքը գտնվում է նեգո։ Նշված անկյան V-ն հավասար է կոսինուսի անկյան տակ գտնվող ոտքի հիպոթենուզայի բաժնին. a = a / cos; E, մյուս կողմից, հիպոթենուսը նույնն է, ինչ սինուսոիդային անկյունների հարաբերակցությունը. da = a / sin:

Առնչվող տեսանյութեր

Օգտակար խորհուրդներ
Անկյունային եռանկյունի, որի կողմերը կապված են 3:4:5, կոչվում է եգիպտական ​​դելտա, քանի որ այդ պատկերները լայնորեն օգտագործվել են Հին Եգիպտոսի ճարտարապետների կողմից:

Սա նաև Ջերոյի եռանկյունների ամենապարզ օրինակն է, որտեղ էջերը և տարածքը ներկայացված են ամբողջ թվերով։

Եռանկյունը կոչվում է այն ուղղանկյուն, որի անկյունը 90° է: Աջ անկյունին հակառակ կողմը կոչվում է հիպոթենուս, մյուսը՝ ոտքեր։

Եթե ​​ցանկանում եք պարզել, թե ինչպես է ուղղանկյուն եռանկյունը ձևավորվում կանոնավոր եռանկյունների որոշ հատկություններով, մասնավորապես այն փաստը, որ սուր անկյունների գումարը 90° է, որն օգտագործվում է, և այն փաստը, որ հակառակ ոտքի երկարությունը հիպոթենուսի կեսն է։ 30° է։

Արագ նավարկություն հոդվածի համար

Կտրված եռանկյուն

Հավասար եռանկյան հատկություններից մեկն այն է, որ նրա երկու անկյունները հավասար են:

Ուղղանկյուն համաչափ եռանկյան անկյունը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ, որ.

• Սա ավելի վատ չէ, քան 90 °:
• Սուր անկյունների արժեքները որոշվում են բանաձևով. (180 ° -90 °) / 2 = 45 °, այսինքն.

  α և β անկյունները հավասար են 45°:

Եթե ​​սուր անկյուններից մեկի հայտնի արժեքը հայտնի է, ապա մյուսը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձեւը՝ β = 180º-90º-α կամ α = 180º-90º-β:

Այս հարաբերակցությունը առավել հաճախ օգտագործվում է, եթե անկյուններից մեկը 60° կամ 30° է:

Հիմնական հասկացություններ

Եռանկյան ներքին անկյունների գումարը 180° է։

Քանի որ դա մեկ մակարդակ է, երկուսը մնում են սուր:

Հաշվեք եռանկյունը առցանց

Եթե ​​ցանկանում եք գտնել դրանք, դուք պետք է իմանաք, որ.

այլ մեթոդներ

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների արժեքները կարելի է հաշվարկել միջինից՝ եռանկյան հակառակ կողմի մի կետից գծով, իսկ բարձրությունը՝ ուղիղ գծով ուղղահայաց է, որը գծված է հիպոթենուսից ուղիղ անկյան տակ։ .

Թող միջինը տարածվի աջ անկյունից մինչև հիպոթենուսի կեսը, և թող h լինի բարձրությունը: Այս դեպքում պարզվում է, որ.

• sin α = b / (2 * s); sin β = a / (2 * s).
• cos α = a / (2 * s); cos β = b / (2 * s):
• sin α = h/b; sin β = h/a.

Երկու էջ

Եթե ​​հիպոթենուսի և ոտքից մեկի երկարությունները հայտնի են ուղղանկյուն եռանկյունում կամ երկու կողմերում, ապա եռանկյունաչափական նույնականությունները օգտագործվում են սուր անկյունների արժեքները որոշելու համար.

• α = arcsin (a / c), β = arcsin (b / c):
• α = arcos (b / c), β = arcos (a / c):
• α = արկտան (ա / բ), β = արկտան (բ / ա):

Ուղղանկյուն եռանկյան երկարությունը

Եռանկյան մակերեսը և մակերեսը

պարագծային

Ցանկացած եռանկյան շրջագիծը հավասար է երեք կողմերի երկարությունների գումարին։ Ընդհանուր բանաձևեռանկյուն եռանկյուն գտնելու համար.

որտեղ P եռանկյան շրջագիծն է, նրա կողմերի a, b և c:

Հավասար եռանկյունու պարագիծկարելի է գտնել՝ հաջորդաբար համատեղելով նրա կողմերի երկարությունները կամ կողքի երկարությունը 2-ով բազմապատկելով և հիմքի երկարությունը արտադրանքին ավելացնելով։

Հավասարակշռության եռանկյունի գտնելու ընդհանուր բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

որտեղ P-ը հավասար եռանկյան պարագիծն է, բայց կամ b, b հիմքն է:

Հավասարակողմ եռանկյան պարագիծկարելի է գտնել՝ հաջորդաբար համադրելով նրա կողմերի երկարությունները կամ ցանկացած էջի երկարությունը 3-ով բազմապատկելով։

Հավասարակողմ եռանկյունների եզրագիծը գտնելու ընդհանուր բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

որտեղ P-ը հավասարակողմ եռանկյան պարագիծն է, a-ն նրա ցանկացած կողմն է:

շրջան

Եթե ​​ցանկանում եք չափել եռանկյան մակերեսը, կարող եք այն համեմատել զուգահեռագծի հետ։ Դիտարկենք ABC եռանկյունը.

Եթե ​​վերցնենք նույն եռանկյունը և ֆիքսենք այնպես, որ ստանանք զուգահեռագիծ, ապա կստանանք այս եռանկյունի նույն բարձրությամբ և հիմքով զուգահեռագիծ.

Այս դեպքում եռանկյունների ընդհանուր կողմը միասին ծալվում է կաղապարված զուգահեռագծի անկյունագծով։

Զուգահեռագծի հատկություններից. Հայտնի է, որ զուգահեռագծի անկյունագծերը միշտ բաժանվում են երկու հավասար եռանկյունների, ապա յուրաքանչյուր եռանկյան մակերեսը հավասար է զուգահեռագծի միջակայքի կեսին։

Քանի որ զուգահեռագծի մակերեսը նույնն է, ինչ նրա հիմքի բարձրության արտադրյալը, եռանկյան մակերեսը հավասար կլինի այս արտադրյալի կեսին: Այսպիսով, ΔABC-ի համար տարածքը կլինի նույնը

Այժմ դիտարկենք ուղղանկյուն եռանկյունը.

Երկու նույնական ուղղանկյուն եռանկյունները կարող են թեքվել ուղղանկյունի մեջ, եթե այն հենվում է նրանց վրա, որը միմյանց հիպոթենուս է:

Քանի որ ուղղանկյան մակերեսը համընկնում է հարակից կողմերի մակերեսին, այս եռանկյան մակերեսը նույնն է.

Այստեղից կարող ենք եզրակացնել, որ ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է ոտքերի արտադրյալին, որը բաժանվում է 2-ի:

Այս օրինակներից կարելի է եզրակացնել, որ յուրաքանչյուր եռանկյունու մակերեսը նույնն է, ինչ երկարության արտադրյալը, իսկ բարձրությունը կրճատվում է մինչև 2-ի բաժանված ենթաշերտը։

Եռանկյան մակերեսը գտնելու ընդհանուր բանաձևը նման կլինի հետևյալին.

որտեղ S-ը եռանկյան մակերեսն է, բայց դրա հիմքը, բայց բարձրությունն ընկնում է ներքևի մասում a.

Եռանկյունը կոչվում է ուղղանկյուն, եթե նրա անկյուններից մեկը 90º է: Ճիշտ անկյան հակառակ կողմը կոչվում է հիպոթենուս, իսկ մյուս երկուսը կոչվում են ոտքեր:

Ուղղանկյուն եռանկյան անկյունը գտնելու համար օգտագործվում են ուղղանկյուն եռանկյունների որոշ հատկություններ, այն է՝ սուր անկյունների գումարը 90º է, ինչպես նաև այն, որ ոտքի դիմաց, որի երկարությունը հիպոթենուսի երկարության կեսն է, գտնվում է. 30º հավասար անկյուն։

Արագ նավարկություն հոդվածի միջոցով

Isosceles եռանկյունի

Հավասարաչափ եռանկյան հատկություններից մեկն այն է, որ նրա երկու անկյունները հավասար են: Ուղղաձիգ հավասարաչափ եռանկյան անկյունները հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է իմանալ, որ.

• Ուղղանկյուն անկյունը 90º է:
• Սուր անկյունների արժեքները որոշվում են բանաձևով. (180º-90º)/2=45º, այսինքն. α և β անկյունները հավասար են 45º-ի:

Եթե ​​սուր անկյուններից մեկի չափը հայտնի է, ապա երկրորդը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձեւը՝ β=180º-90º-α, կամ α=180º-90º-β: Ամենից հաճախ այս հարաբերակցությունը օգտագործվում է, եթե անկյուններից մեկը 60º կամ 30º է:

Հիմնական հասկացություններ

Եռանկյան ներքին անկյունների գումարը 180º է։ Քանի որ մի անկյունը ճիշտ է, մնացած երկուսը կլինեն սուր: Նրանց գտնելու համար դուք պետք է իմանաք, որ.

այլ մեթոդներ

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների արժեքները կարող են հաշվարկվել՝ իմանալով միջնագծի արժեքը՝ գագաթից գծված գիծ դեպի եռանկյան հակառակ կողմը, իսկ բարձրությունը՝ ուղիղ գիծ, ​​որը ուղղահայաց անկում է։ ուղիղ անկյան տակից մինչև հիպոթենուս: Թող s լինի ուղիղ անկյան տակից մինչև հիպոթենուսի կեսը գծված միջինը, h բարձրությունը: Այս դեպքում պարզվում է, որ.

• sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
• cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
• sin α=h/b; sin β =h/a.

Երկու կողմ

Եթե ​​ուղղանկյուն եռանկյունում հայտնի են հիպոթենուսի և ոտքից մեկի կամ երկու կողմերի երկարությունները, եռանկյունաչափական նույնականությունները օգտագործվում են սուր անկյունների արժեքները գտնելու համար.

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c):
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c):
• α=arctg(a/b), β=arctg(b/a):

Առաջինն այն հատվածներն են, որոնք հարում են աջ անկյան տակ, իսկ հիպոթենուսը պատկերի ամենաերկար մասն է և գտնվում է 90 աստիճանի անկյան դիմաց։ Պյութագորասյան եռանկյունկոչվում է նա, ում կողմերը հավասար են բնական թվեր; դրանց երկարություններն այս դեպքում կոչվում են «Պյութագորաս եռյակ»:

Եգիպտական ​​եռանկյուն

Որպեսզի ներկայիս սերունդը ճանաչի երկրաչափությունը այն ձևով, որով այն այժմ դասավանդվում է դպրոցում, այն զարգացել է մի քանի դարերի ընթացքում: Հիմնարար կետը համարվում է Պյութագորասի թեորեմը։ Ուղղանկյունի կողմերը հայտնի են ամբողջ աշխարհում) 3, 4, 5 են։

Քչերին ծանոթ չէ «Պյութագորասյան շալվարները բոլոր ուղղություններով հավասար են» արտահայտությունը։ Այնուամենայնիվ, իրականում թեորեմը հնչում է այսպես. c 2 (հիպոթենուսի քառակուսի) = a 2 + b 2 (ոտքերի քառակուսիների գումարը):

Մաթեմատիկոսների մոտ 3, 4, 5 (սմ, մ և այլն) կողմերով եռանկյունը կոչվում է «եգիպտական»։ Հետաքրքիրն այն է, որ նկարում մակագրվածը հավասար է մեկի։ Անվանումն առաջացել է մոտավորապես մ.թ.ա 5-րդ դարում, երբ հույն փիլիսոփաները ճանապարհորդեցին Եգիպտոս։

Բուրգերը կառուցելիս ճարտարապետներն ու գեոդեզիստներն օգտագործել են 3:4:5 հարաբերակցությունը: Նման կառույցները պարզվել են համաչափ, դիտվող հաճելի ու ընդարձակ, ինչպես նաև հազվադեպ են փլուզվել։

Ուղիղ անկյուն կառուցելու համար շինարարներն օգտագործել են պարան, որի վրա 12 հանգույց է կապված։ Այս դեպքում ուղղանկյուն եռանկյունի կառուցելու հավանականությունը մեծացել է մինչև 95%:

Թվերի հավասարության նշաններ

• Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը և երկար կողմը, որոնք հավասար են երկրորդ եռանկյան նույն տարրերին, թվերի հավասարության անվիճելի նշան են։ Հաշվի առնելով անկյունների գումարը, հեշտ է ապացուցել, որ երկրորդ սուր անկյունները նույնպես հավասար են։ Այսպիսով, եռանկյունները նույնական են ըստ երկրորդ չափանիշի.
• Երկու ֆիգուր իրար վրա դնելիս պտտում ենք այնպես, որ միավորվելիս դառնան մեկ հավասարաչափ եռանկյունի։ Ըստ իր հատկության՝ կողմերը, ավելի ճիշտ՝ հիպոթենուսները, հավասար են, ինչպես նաև հիմքի անկյունները, ինչը նշանակում է, որ այդ թվերը նույնն են։

Առաջին նշանի հիման վրա շատ հեշտ է ապացուցել, որ եռանկյունները իսկապես հավասար են, գլխավորն այն է, որ երկու փոքր կողմերը (այսինքն՝ ոտքերը) հավասար են միմյանց:

Եռանկյունները նույնական կլինեն ըստ երկրորդ չափանիշի, որի էությունը ոտքի և սուր անկյան հավասարությունն է։

Ուղղանկյուն եռանկյան հատկությունները

Ճիշտ անկյան տակ իջեցված բարձրությունը պատկերը բաժանում է երկու հավասար մասերի։

Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը և նրա միջնագիծը հեշտությամբ կարելի է ճանաչել կանոնով. մեդիանը, որն ընկնում է հիպոթենուսի վրա, հավասար է դրա կեսին: կարելի է գտնել ինչպես Հերոնի բանաձևով, այնպես էլ այն հայտարարությամբ, որ այն հավասար է ոտքերի արտադրյալի կեսին։

Ուղղանկյուն եռանկյունում կիրառվում են 30°, 45° և 60° անկյունների հատկությունները։

• 30° անկյան դեպքում պետք է հիշել, որ հակառակ ոտքը հավասար կլինի ամենամեծ կողմի 1/2-ին։
• Եթե ​​անկյունը 45° է, ապա երկրորդ սուր անկյունը նույնպես 45° է։ Սա ենթադրում է, որ եռանկյունը հավասարաչափ է, իսկ ոտքերը՝ նույնը։
• 60° անկյան հատկությունն այն է, որ երրորդ անկյան չափը 30° է։

Տարածքը կարելի է հեշտությամբ պարզել՝ օգտագործելով երեք բանաձևերից մեկը.

1. բարձրության և այն կողմի միջոցով, որի վրա այն իջնում ​​է.
2. Հերոնի բանաձևի համաձայն;
3. կողմերի վրա և նրանց միջև եղած անկյունը:

Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերը, ավելի ճիշտ՝ ոտքերը, համընկնում են երկու բարձրությունների հետ։ Երրորդը գտնելու համար անհրաժեշտ է դիտարկել ստացված եռանկյունը, ապա, օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը, հաշվարկել պահանջվող երկարությունը։ Բացի այս բանաձևից, կա նաև հարաբերություն հիպոթենուսի տարածքի և երկարության կրկնակի միջև: Ուսանողների շրջանում ամենատարածված արտահայտությունն առաջինն է, քանի որ այն պահանջում է ավելի քիչ հաշվարկներ:

Ուղղանկյուն եռանկյան վրա կիրառվող թեորեմներ

Ուղղանկյուն եռանկյան երկրաչափությունը ներառում է այնպիսի թեորեմների օգտագործում, ինչպիսիք են.