Կոշտ մարմնի պտույտ ֆիքսված առանցքի շուրջ: Կոշտ մարմնի պտտվող շարժումը հաստատուն առանցքի շուրջը պտտվող շարժման օրենք

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ: Կոշտ մարմնի պտտվող շարժումՄենք կկոչենք այնպիսի շարժում, երբ մարմնի բոլոր կետերը շարժվում են շրջանագծով, որի կենտրոնները գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա, որը կոչվում է պտտման առանցք։

Պտտվողի դինամիկան ուսումնասիրելու համար մենք ավելացնում ենք հայտնի կինեմատիկական մեծությունները երկու քանակություն: իշխանության պահը(Մ) և իներցիայի պահ(J).

1. Փորձից հայտնի է՝ պտտման շարժման արագացումը կախված է ոչ միայն մարմնի վրա ազդող ուժի մեծությունից, այլև պտտման առանցքից մինչև այն գիծը, որով գործում է ուժը։ Այս հանգամանքը բնութագրելու համար ֆիզիկական մեծություն կոչվում է ուժի պահը.

Դիտարկենք ամենապարզ դեպքը.

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ. «O» որոշակի կետի նկատմամբ ուժի մոմենտը վեկտորային մեծություն է, որը սահմանված է «O» արտահայտությամբ, որտեղ գտնվում է «O» կետից մինչև ուժի կիրառման կետ գծված շառավիղը:

Սահմանումից հետևում է, որ առանցքային վեկտոր է: Նրա ուղղությունն ընտրված է այնպես, որ վեկտորի պտույտը «Օ» կետի շուրջ ուժի և վեկտորի ուղղությամբ ձևավորի աջակողմյան համակարգ: Ուժի մոմենտի մոդուլը հավասար է , որտեղ a-ն անկյունն է վեկտորների ուղղությունների և , և լ= r մեղք a-ն «O» կետից դեպի այն ուղիղ գիծն ընկած ուղղահայաց երկարությունն է, որի վրա գործում է ուժը (կոչվում է. ուժի ուս«O» կետի համեմատ) (նկ. 4.2):

2. Փորձարարական տվյալները ցույց են տալիս, որ անկյունային արագացման մեծության վրա ազդում է ոչ միայն պտտվող մարմնի զանգվածը, այլև պտտման առանցքի նկատմամբ զանգվածի բաշխումը։ Այն մեծությունը, որը հաշվի է առնում այս հանգամանքը, կոչվում է իներցիայի պահռոտացիայի առանցքի համեմատ:

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ. Խիստ ասած, իներցիայի պահՊտտման որոշակի առանցքի նկատմամբ մարմինը կոչվում է J արժեք, որը հավասար է տարրական զանգվածների արտադրյալների գումարին տվյալ առանցքից դրանց հեռավորությունների քառակուսիներով։

Գումարումն իրականացվում է բոլոր տարրական զանգվածների վրա, որոնց բաժանվել է մարմինը։ Պետք է նկատի ունենալ, որ այս մեծությունը (J) գոյություն ունի անկախ պտույտից (թեև իներցիայի պահ հասկացությունը ներդրվել է կոշտ մարմնի պտույտը դիտարկելիս)։

Յուրաքանչյուր մարմին, անկախ նրանից՝ գտնվում է հանգստի վիճակում, թե պտտվում է, ունի իներցիայի որոշակի մոմենտ՝ ցանկացած առանցքի նկատմամբ, ինչպես որ մարմինն ունի զանգված՝ անկախ նրանից՝ շարժվում է, թե հանգստանում։

Հաշվի առնելով, որ իներցիայի պահը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ. Այս հարաբերությունը մոտավոր է, և որքան փոքր են տարրական ծավալները և համապատասխան զանգվածային տարրերը, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի: Հետևաբար, իներցիայի պահեր գտնելու խնդիրը հանգում է ինտեգրմանը. Այստեղ ինտեգրումն իրականացվում է մարմնի ողջ ծավալով։

Գրենք կանոնավոր երկրաչափական ձև ունեցող որոշ մարմինների իներցիայի պահերը։

1. Միատեսակ երկար ձող:
Բրինձ. 4.3	Ձողին ուղղահայաց և դրա միջով անցնող առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահը հավասար է.
2. Պինդ գլան կամ սկավառակ:
Բրինձ. 4.4	Երկրաչափական առանցքի հետ համընկնող առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահը հավասար է .
3. R ​​շառավղով բարակ պատով գլան:
Բրինձ. 4.5
4. R շառավղով գնդիկի իներցիայի պահը կենտրոնով անցնող առանցքի նկատմամբ
Բրինձ. 4.6
5. Բարակ սկավառակի իներցիայի պահը (հաստությունը բ<
Բրինձ. 4.7
6. Բլոկի իներցիայի պահը
Բրինձ. 4.8
7. Օղակի իներցիայի պահը
Բրինձ. 4.9

Իներցիայի պահի հաշվարկն այստեղ բավականին պարզ է, քանի որ Մարմինը ենթադրվում է միատարր և սիմետրիկ, իսկ իներցիայի պահը որոշվում է համաչափության առանցքի նկատմամբ։

Ցանկացած առանցքի նկատմամբ մարմնի իներցիայի պահը որոշելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել Շտայների թեորեմը։

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ: Ջ իներցիայի պահը կամայական առանցքի նկատմամբհավասար է J c իներցիայի մոմենտի գումարին, որը վերաբերում է տրվածին զուգահեռ և մարմնի իներցիայի կենտրոնով անցնող առանցքին, և մարմնի զանգվածի արտադրյալին առանցքների միջև հեռավորության քառակուսին (նկ. 4.10):

Այս հոդվածը նկարագրում է ֆիզիկայի մի կարևոր բաժին՝ «Պտտման շարժման կինեմատիկա և դինամիկան»։

Պտտման շարժման կինեմատիկայի հիմնական հասկացությունները

Հաստատուն առանցքի շուրջ նյութական կետի պտտման շարժումը կոչվում է այնպիսի շարժում, որի հետագիծը շրջանագիծ է, որը գտնվում է առանցքին ուղղահայաց հարթության վրա, իսկ կենտրոնը՝ պտտման առանցքի վրա։

Կոշտ մարմնի պտտվող շարժումը շարժում է, երբ մարմնի բոլոր կետերը շարժվում են համակենտրոն (որի կենտրոնները նույն առանցքի վրա են) շրջաններով՝ նյութական կետի պտտման կանոնին համապատասխան։

Թող կամայական կոշտ T մարմինը պտտվի O առանցքի շուրջ, որն ուղղահայաց է գծագրի հարթությանը: Եկեք այս մարմնի վրա ընտրենք M կետը: Երբ պտտվում է, այս կետը նկարագրում է O առանցքի շուրջ շառավղով շրջան r.

Որոշ ժամանակ անց շառավիղը կպտտվի իր սկզբնական դիրքի համեմատ Δφ անկյան տակ:

Որպես ռոտացիայի դրական ուղղություն ընդունվում է աջ պտուտակի ուղղությունը (ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ): Ժամանակի ընթացքում պտտման անկյան փոփոխությունը կոչվում է կոշտ մարմնի պտտվող շարժման հավասարում.

φ = φ (t).

Եթե ​​φ չափվում է ռադիաններով (1 ռադը նրա շառավղին հավասար երկարության աղեղին համապատասխանող անկյունն է), ապա ΔS շրջանաձև աղեղի երկարությունը, որը M նյութական կետը կանցնի Δt ժամանակի ընթացքում, հավասար է.

ΔS = Δφr.

Միատեսակ պտտվող շարժման կինեմատիկայի հիմնական տարրերը

Նյութական կետի շարժման միջոցը կարճ ժամանակահատվածում dtծառայում է որպես տարրական ռոտացիայի վեկտոր dφ.

Նյութական կետի կամ մարմնի անկյունային արագությունը ֆիզիկական մեծություն է, որը որոշվում է տարրական պտույտի վեկտորի և այս պտույտի տեւողության հարաբերությամբ։ Վեկտորի ուղղությունը կարող է որոշվել O առանցքի երկայնքով աջ պտուտակի կանոնով: Սկալյար տեսքով.

ω = dφ/dt.

Եթե ω = dφ/dt = const,ապա այդպիսի շարժումը կոչվում է միատեսակ պտտվող շարժում։ Դրանով անկյունային արագությունը որոշվում է բանաձևով

ω = φ/տ.

Ըստ նախնական բանաձեւի՝ անկյունային արագության չափը

[ω] = 1 ռադ/վ:

Մարմնի միատեսակ պտտվող շարժումը կարելի է նկարագրել պտտման ժամանակաշրջանով։ Պտտման ժամանակաշրջանը T ֆիզիկական մեծություն է, որը որոշում է այն ժամանակը, որի ընթացքում մարմինը մեկ լրիվ պտույտ է կատարում պտտման առանցքի շուրջ ([T] = 1 վ): Եթե ​​անկյունային արագության բանաձեւում վերցնենք t = T, φ = 2 π (r շառավղով մեկ լրիվ պտույտ), ապա.

ω = 2π/T,

Այսպիսով, մենք սահմանում ենք ռոտացիայի ժամանակահատվածը հետևյալ կերպ.

T = 2π/ω.

Պտույտների թիվը, որը մարմինը կատարում է մեկ միավոր ժամանակում, կոչվում է պտտման հաճախականություն ν, որը հավասար է.

ν = 1/Տ.

Հաճախականության միավորներ. [ν]= 1/վ = 1 վ -1 = 1 Հց:

Համեմատելով անկյունային արագության և պտտման հաճախականության բանաձևերը՝ մենք ստանում ենք այս մեծությունները միացնող արտահայտություն.

ω = 2πν.

Անհավասար պտտվող շարժման կինեմատիկայի հիմնական տարրերը

Հաստատուն առանցքի շուրջ կոշտ մարմնի կամ նյութական կետի անհավասար պտտման շարժումը բնութագրվում է նրա անկյունային արագությամբ, որը փոխվում է ժամանակի հետ։

Վեկտոր ε , որը բնութագրում է անկյունային արագության փոփոխության արագությունը, կոչվում է անկյունային արագացման վեկտոր.

ε = dω/dt.

Եթե ​​մարմինը պտտվում է, արագանալով, այսինքն dω/dt > 0, վեկտորն ունի ուղղություն առանցքի երկայնքով նույն ուղղությամբ, ինչ ω։

Եթե ​​պտտվող շարժումը դանդաղ է, dω/dt< 0 , ապա ε և ω վեկտորները հակառակ ուղղված են։

Մեկնաբանություն. Երբ տեղի է ունենում անհավասար պտտվող շարժում, ω վեկտորը կարող է փոխվել ոչ միայն մեծությամբ, այլև ուղղությամբ (երբ պտտման առանցքը պտտվում է):

Թարգմանական և պտտվող շարժումը բնութագրող մեծությունների փոխհարաբերությունը

Հայտնի է, որ աղեղի երկարությունը շառավիղի պտտման անկյան հետ և դրա արժեքը կապված են կապով.

ΔS = Δφ r.

Այնուհետև պտտվող շարժում կատարող նյութական կետի գծային արագությունը

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Պտտման շրջադարձային շարժում կատարող նյութական կետի նորմալ արագացումը որոշվում է հետևյալ կերպ.

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Այսպիսով, սկալյար տեսքով

a = ω 2 r.

Շոշափող արագացված նյութական կետ, որն իրականացնում է պտտվող շարժում

a = ε r.

Նյութական կետի թափը

m i զանգվածով նյութական կետի և դրա իմպուլսի հետագծի շառավղային վեկտորի վեկտորային արտադրյալը կոչվում է այս կետի անկյունային իմպուլս պտտման առանցքի շուրջ։ Վեկտորի ուղղությունը կարելի է որոշել՝ օգտագործելով ճիշտ պտուտակային կանոնը:

Նյութական կետի իմպուլս ( Լ ի) ուղղահայաց է r i և υ i միջով գծված հարթությանը և դրանցով կազմում է վեկտորների աջակողմյան եռապատիկ (այսինքն՝ վեկտորի վերջից շարժվելիս. r iԴեպի υ i աջ պտուտակը ցույց կտա վեկտորի ուղղությունը Լ i).

Սկալյար տեսքով

L = m i υ i r i sin(υ i, r i):

Հաշվի առնելով, որ շրջանագծի մեջ շարժվելիս i-րդ նյութական կետի շառավիղի վեկտորը և գծային արագության վեկտորը փոխադարձաբար ուղղահայաց են,

sin(υ i, r i) = 1.

Այսպիսով, պտտվող շարժման համար նյութական կետի անկյունային իմպուլսը կստացվի

L = m i υ i r i.

Ուժի պահը, որը գործում է i-րդ նյութական կետի վրա

Շառավիղի վեկտորի վեկտորային արտադրյալը, որը ձգվում է դեպի ուժի կիրառման կետը, և այդ ուժը կոչվում է i-րդ նյութական կետի վրա ազդող ուժի պահ՝ պտտման առանցքի նկատմամբ։

Սկալյար տեսքով

M i = r i F i sin(r i, F i).

Հաշվի առնելով դա r i sinα = l i,M i = l i F i.

Մեծություն լ i, որը հավասար է պտտման կետից մինչև ուժի գործողության ուղղությունը իջեցված ուղղահայաց երկարությանը, կոչվում է ուժի թեւ. F i.

Պտտման շարժման դինամիկան

Պտտման շարժման դինամիկայի հավասարումը գրված է հետևյալ կերպ.

M = dL/dt:

Օրենքի ձևակերպումը հետևյալն է. հաստատուն առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի անկյունային իմպուլսի փոփոխության արագությունը հավասար է մարմնի վրա կիրառվող բոլոր արտաքին ուժերի այս առանցքի նկատմամբ ստացվող մոմենտին:

Իմպուլսի պահը և իներցիայի պահը

Հայտնի է, որ i-րդ նյութական կետի համար անկյունային իմպուլսը սկալյար տեսքով տրվում է բանաձևով

L i = m i υ i r i.

Եթե ​​գծային արագության փոխարեն դրա արտահայտությունը փոխարինենք անկյունային արագությամբ.

υ i = ωor i,

ապա անկյունային իմպուլսի արտահայտությունը կձևավորվի

L i = m i r i 2 ω.

Մեծություն I i = m i r i 2կոչվում է իներցիայի մոմենտը զանգվածի կենտրոնով անցնող բացարձակ կոշտ մարմնի i-րդ նյութական կետի առանցքի նկատմամբ։ Այնուհետև գրում ենք նյութական կետի անկյունային իմպուլսը.

L i = I i ω.

Բացարձակ կոշտ մարմնի անկյունային իմպուլսը գրում ենք որպես այս մարմինը կազմող նյութական կետերի անկյունային իմպուլսի գումարը.

L = Iω.

Ուժի պահը և իներցիայի պահը

Պտտվող շարժման օրենքը ասում է.

M = dL/dt:

Հայտնի է, որ մարմնի անկյունային իմպուլսը կարելի է ներկայացնել իներցիայի պահի միջոցով.

L = Iω.

M = Idω/dt.

Հաշվի առնելով, որ անկյունային արագացումը որոշվում է արտահայտությամբ

ε = dω/dt,

մենք ստանում ենք ուժի պահի բանաձևը, որը ներկայացված է իներցիայի պահի միջոցով.

M = Iε.

Մեկնաբանություն.Ուժի պահը համարվում է դրական, եթե այն առաջացնող անկյունային արագացումը զրոյից մեծ է և հակառակը։

Շտայների թեորեմ. Իներցիայի մոմենտների գումարման օրենքը

Եթե ​​մարմնի պտտման առանցքը չի անցնում նրա զանգվածի կենտրոնով, ապա այս առանցքի նկատմամբ կարելի է գտնել նրա իներցիայի պահը՝ օգտագործելով Շտայների թեորեմը.
I = I 0 + ma 2,

Որտեղ Ես 0- մարմնի իներցիայի սկզբնական պահը. մ- մարմնի զանգված; ա- առանցքների միջև հեռավորությունը.

Եթե ​​ֆիքսված առանցքի շուրջ պտտվող համակարգը բաղկացած է nմարմիններ, ապա այս տեսակի համակարգի իներցիայի ընդհանուր մոմենտը հավասար կլինի նրա բաղադրիչների մոմենտների գումարին (իներցիայի մոմենտների գումարման օրենքը)։

Կոշտ մարմնի շարժումը կոչվում է պտտվող, եթե շարժման ընթացքում մարմնի բոլոր կետերը, որոնք գտնվում են որոշակի ուղիղ գծի վրա, որը կոչվում է պտտման առանցք, մնում են անշարժ.(նկ. 2.15):

Սովորաբար որոշվում է մարմնի դիրքը պտտվող շարժման ժամանակ ռոտացիայի անկյունմարմինը , որը չափվում է որպես պտտման առանցքի միջով անցնող անշարժ և շարժվող հարթությունների միջև ընկած երկոտանի անկյուն։ Ավելին, շարժական հարթությունը միացված է պտտվող մարմնին։

Դիտարկենք շարժվող և ֆիքսված կոորդինատային համակարգերը, որոնց սկզբնաղբյուրը կտեղադրվի պտտման առանցքի կամայական O կետում: Օզ առանցքը, որը ընդհանուր է շարժվող և ֆիքսված կոորդինատային համակարգերի համար, ուղղվելու է պտտման առանցքի երկայնքով՝ առանցքի. Օ՜ֆիքսված կոորդինատային համակարգի, մենք այն ուղղում ենք Օզի առանցքին ուղղահայաց այնպես, որ այն ընկած լինի ֆիքսված հարթության մեջ՝ առանցքի Օ 1Շարժվող կոորդինատների համակարգն ուղղենք Oz առանցքին ուղղահայաց այնպես, որ այն ընկնի շարժվող հարթության մեջ (նկ. 2.15):

Եթե ​​մարմնի հատվածը դիտարկենք պտտման առանցքին ուղղահայաց հարթությամբ, ապա պտտման անկյունը. φ կարող է սահմանվել որպես ֆիքսված առանցքի միջև ընկած անկյուն Օ՜և շարժական առանցք Օ 1, անփոփոխ կերպով կապված պտտվող մարմնի հետ (նկ. 2.16):

Ընդունված է մարմնի պտտման անկյան հղման ուղղությունը φ Ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ համարվում է դրական, երբ դիտվում է Օզի առանցքի դրական ուղղությամբ:

Հավասարություն φ = φ(t), նկարագրելով անկյան փոփոխությունը φ ժամանակի մեջ կոչվում է կոշտ մարմնի պտտվող շարժման օրենք կամ հավասարում։

Կոշտ մարմնի պտտման անկյան փոփոխության արագությունն ու ուղղությունը բնութագրվում են անկյունային արագություն.Անկյունային արագության բացարձակ արժեքը սովորաբար նշվում է հունական այբուբենի տառով ω (օմեգա): Անկյունային արագության հանրահաշվական արժեքը սովորաբար նշվում է . Անկյունային արագության հանրահաշվական արժեքը հավասար է պտտման անկյան առաջին անգամ ածանցյալին.

. (2.33)

Անկյունային արագության միավորները հավասար են անկյան միավորներին՝ բաժանված ժամանակի միավորի վրա, օրինակ՝ deg/min, rad/h։ SI համակարգում անկյունային արագության չափման միավորը ռադ/վ է, սակայն ավելի հաճախ այս չափման միավորի անվանումը գրվում է որպես 1/վ։

Եթե ​​> 0, ապա մարմինը պտտվում է ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ, երբ դիտվում է պտտման առանցքի հետ հավասարեցված կոորդինատային առանցքի ծայրից:

Եթե< 0, то тело вращается по ходу часовой стрелки, если смотреть с конца оси координат, совмещенной с осью вращения.

Անկյունային արագության փոփոխության արագությունն ու ուղղությունը բնութագրվում են անկյունային արագացմամբ։ Անկյունային արագացման բացարձակ արժեքը սովորաբար նշվում է հունական այբուբենի e (էպսիլոն) տառով։ Անկյունային արագացման հանրահաշվական արժեքը սովորաբար նշվում է . Անկյունային արագացման հանրահաշվական արժեքը հավասար է առաջին ածանցյալին` անկյունային արագության հանրահաշվական արժեքի ժամանակի կամ պտտման անկյան երկրորդ ածանցյալի նկատմամբ.

Անկյունային արագացման միավորները հավասար են անկյան միավորներին՝ բաժանված ժամանակի քառակուսու վրա։ Օրինակ, deg/s 2, rad/h 2: SI համակարգում անկյունային արագացման չափման միավորը ռադ/վրկ 2 է, սակայն ավելի հաճախ այս չափման միավորի անվանումը գրվում է որպես 1/վ 2։

Եթե ​​անկյունային արագության և անկյունային արագացման հանրահաշվական արժեքներն ունեն նույն նշանը, ապա անկյունային արագությունը ժամանակի ընթացքում մեծանում է, իսկ եթե տարբեր է՝ նվազում է։

Եթե ​​անկյունային արագությունը հաստատուն է ( ω = const), ապա ընդունված է ասել, որ մարմնի պտույտը միատեսակ է։ Այս դեպքում:

φ = t + φ 0, (2.35)

Որտեղ φ 0 - սկզբնական ռոտացիայի անկյունը.

Եթե ​​անկյունային արագացումը հաստատուն է (e = const), ապա ընդունված է ասել, որ մարմնի պտույտը միատեսակ արագացված է (միատեսակ դանդաղ): Այս դեպքում:

Որտեղ 0 - սկզբնական անկյունային արագություն.

Այլ դեպքերում, կախվածությունը որոշելու համար φ -ից Եվ անհրաժեշտ է ինտեգրել (2.33), (2.34) արտահայտությունները տվյալ սկզբնական պայմաններում:

Գծագրերում մարմնի պտտման ուղղությունը երբեմն ցուցադրվում է կոր սլաքով (նկ. 2.17):

Հաճախ մեխանիկայի մեջ անկյունային արագությունը և անկյունային արագացումը դիտվում են որպես վեկտորային մեծություններ Եվ . Այս երկու վեկտորներն էլ ուղղված են մարմնի պտտման առանցքի երկայնքով։ Ընդ որում, վեկտորը ուղղված մի ուղղությամբ միավոր վեկտորի հետ, որը որոշում է պտտման առանցքի հետ համընկնող կոորդինատային առանցքի ուղղությունը, եթե. >0, և հակառակը, եթե
Նույն կերպ ընտրվում է վեկտորի ուղղությունը (նկ. 2.18):

Մարմնի պտտման ընթացքում նրա յուրաքանչյուր կետ (բացառությամբ պտտման առանցքի վրա գտնվող կետերի) շարժվում է հետագծի երկայնքով, որը շրջանագիծ է, որի շառավիղը հավասար է կետից մինչև պտտման առանցքի ամենակարճ հեռավորությանը (նկ. 2.19):

Քանի որ շրջանագծի շոշափողը շառավղի հետ կազմում է 90° անկյուն, պտտվող շարժման ենթարկվող մարմնի կետի արագության վեկտորը ուղղահայաց կլինի շառավղին և ընկած կլինի շրջանագծի հարթության վրա, որը կետի շարժման հետագիծը. Արագացման շոշափելի բաղադրիչը կգտնվի նույն գծի վրա, ինչ արագությունը, իսկ նորմալ բաղադրիչը կուղղվի շառավղով դեպի շրջանագծի կենտրոնը: Ուստի երբեմն պտտվող շարժման ժամանակ արագացման շոշափող և նորմալ բաղադրիչները կոչվում են համապատասխանաբար պտտվող և կենտրոնաձիգ (առանցքային)բաղադրիչներ (նկ. 2.19)

Կետի արագության հանրահաշվական արժեքը որոշվում է արտահայտությամբ.

, (2.37)

որտեղ R = OM ամենակարճ հեռավորությունն է կետից մինչև պտտման առանցքը:

Արագացման շոշափող բաղադրիչի հանրահաշվական արժեքը որոշվում է արտահայտությամբ.

. (2.38)

Արագացման նորմալ բաղադրիչի մոդուլը որոշվում է արտահայտությամբ.

. (2.39)

Պտտման շարժման ժամանակ կետի արագացման վեկտորը որոշվում է զուգահեռագծի կանոնով՝ որպես շոշափող և նորմալ բաղադրիչների երկրաչափական գումար։ Ըստ այդմ, արագացման մոդուլը կարող է որոշվել օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը.

Եթե ​​անկյունային արագությունը և անկյունային արագացումը սահմանվում են որպես վեկտորային մեծություններ , , ապա արագության վեկտորները, արագացման շոշափող և նորմալ բաղադրիչները կարող են որոշվել բանաձևերով.

որտեղ է շառավիղի վեկտորը դեպի M կետ գծված պտտման առանցքի կամայական կետից (նկ. 2.20):

Մեկ մարմնի պտտման հետ կապված խնդիրների լուծումը սովորաբար որևէ դժվարություն չի առաջացնում: Օգտագործելով (2.33)-(2.40) բանաձևերը, կարող եք հեշտությամբ որոշել ցանկացած անհայտ պարամետր:

Որոշակի դժվարություններ առաջանում են խնդիրներ լուծելիս, որոնք կապված են մեխանիզմների ուսումնասիրության հետ, որոնք բաղկացած են մի քանի փոխկապակցված մարմիններից, որոնք կատարում են և՛ պտտվող, և՛ թարգմանական շարժումներ:

Նման խնդիրների լուծման ընդհանուր մոտեցումն այն է, որ շարժումը մի մարմնից մյուսը փոխանցվում է մեկ կետով՝ շոշափման (շփման) կետով: Ընդ որում, շփվող մարմինները շփման կետում ունեն հավասար արագություններ և շոշափող արագացման բաղադրիչներ։ Շփման կետում շփվող մարմինների արագացման նորմալ բաղադրիչները տարբեր են, դրանք կախված են մարմինների կետերի հետագծից։

Այս տիպի խնդիրներ լուծելիս հարմար է, կախված կոնկրետ հանգամանքներից, օգտագործել ինչպես 2.3 բաժնում տրված բանաձևերը, այնպես էլ կետի արագությունն ու արագացումը որոշելու բանաձևերը՝ դրա շարժումը բնական (2.7), (2.14) նշելիս: ) (2.16) կամ կոորդինատային (2.3), (2.4), (2.10), (2.11) մեթոդները: Ավելին, եթե այն մարմնի շարժումը, որին պատկանում է կետը, պտտվող է, կետի հետագիծը կլինի շրջան։ Եթե ​​մարմնի շարժումը ուղղագիծ է, ապա կետի հետագիծը կլինի ուղիղ:

Օրինակ 2.4.Մարմինը պտտվում է ֆիքսված առանցքի շուրջ: Օրենքի համաձայն մարմնի պտույտի անկյունը փոխվում է φ = π t 3ուրախ. Պտտման առանցքից OM = R = 0,5 մ հեռավորության վրա գտնվող կետի համար որոշեք արագությունը, տանգենսը, արագացման և արագացման նորմալ բաղադրիչները ժամանակի պահին: t 1= 0,5 վրկ. Ցույց տվեք այս վեկտորների ուղղությունը գծագրում:

Դիտարկենք մարմնի մի հատված, որն անցնում է պտտման առանցքին ուղղահայաց O կետով (նկ. 2.21): Այս նկարում O կետը պտտման առանցքի և կտրող հարթության, կետի հատման կետն է. Մ ոԵվ Մ 1- համապատասխանաբար M կետի սկզբնական և ընթացիկ դիրքը O և Մ ոնկարել ֆիքսված առանցք Օ՜, և O և կետերի միջոցով M 1 -շարժական առանցք Օ 1.Այս առանցքների միջև անկյունը հավասար կլինի

Մենք գտնում ենք մարմնի անկյունային արագության փոփոխության օրենքը՝ տարբերակելով պտտման անկյան փոփոխության օրենքը.

Այդ պահին t 1անկյունային արագությունը հավասար կլինի

Մենք կգտնենք մարմնի անկյունային արագացման փոփոխության օրենքը՝ տարբերակելով անկյունային արագության փոփոխության օրենքը.

Այդ պահին t 1Անկյունային արագացումը հավասար կլինի.

1/վ 2,

Մենք գտնում ենք արագության վեկտորների հանրահաշվական արժեքները, արագացման շոշափելի բաղադրիչը, արագացման նորմալ բաղադրիչի մոդուլը և արագացման մոդուլը՝ օգտագործելով (2.37), (2.38), (2.39), (2.40) բանաձևերը.

Մ/վ 2 ;

մ/վ 2.

Քանի որ անկյունը φ 1>0, ապա մենք այն կտեղափոխենք Ox առանցքից ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ: Եվ քանի որ > 0, ապա վեկտորները ուղղվելու է շառավղին ուղղահայաց OM 1այնպես որ մենք տեսնում ենք, որ դրանք պտտվում են ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ: Վեկտոր ուղղվելու է շառավղով OM 1դեպի պտտման առանցքը. Վեկտոր Կառուցենք վեկտորների վրա զուգահեռագծի կանոնի համաձայն τ Եվ .

Օրինակ 2.5.Բեռի ուղղագիծ փոխադրական շարժման տրված հավասարման համաձայն 1 x = 0,6տ 2 - 0,18 (մ) որոշում է արագությունը, ինչպես նաև արագացման շոշափելի, նորմալ բաղադրիչը և մեխանիզմի M կետի արագացումը ժամանակի պահին t 1, երբ 1-ին բեռով անցած ճանապարհը s = 0,2 մ է: Խնդիրը լուծելիս կենթադրենք, որ 2 և 3 մարմինների շփման կետում սայթաքում չկա, Ռ 2= 1,0 մ, r 2 = 0,6 մ, R 3 = 0.5 մ (նկ. 2.22):

Բեռի 1-ի ուղղագիծ թարգմանական շարժման օրենքը տրված է կոորդինատային տեսքով: Եկեք որոշենք ժամանակի պահը t 1, որի համար 1 բեռով անցած ճանապարհը հավասար կլինի s-ի

s = x(t l)-x(0),

որտեղից մենք ստանում ենք.

0,2 = 0,18 + 0,6t 1 2 - 0,18.

Հետևաբար,

Տարբերակելով շարժման հավասարումը ժամանակի նկատմամբ՝ մենք գտնում ենք 1 բեռի արագության և արագացման կանխատեսումները Ox առանցքի վրա.

մ/վրկ 2 ;

t = t պահին 1 1-ին բեռի արագության կանխատեսումը հավասար կլինի.

այսինքն՝ այն զրոյից մեծ կլինի, ինչպես և 1-ին բեռի արագացման պրոյեկցիան։ Հետևաբար, 1-ին բեռը կլինի t պահին։ 1 շարժվել ներքև՝ համաչափ արագացված, համապատասխանաբար, մարմին 2-ը կպտտվի հավասարաչափ արագացված ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, իսկ մարմինը 3-ը կպտտվի ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ:

Մարմին 2-ը պտտվում է մարմնի 1-ի կողմից թակարդի թմբուկի վրա թելով վերքի միջոցով: Հետևաբար, 1-ին մարմնի կետերի արագությունների մոդուլները, 2-ի մարմնի թակարդի մակերևույթը և թելերը հավասար են, իսկ 1-ին մարմնի կետերի արագացման մոդուլները, շարանը և արագացման շոշափող բաղադրիչը։ 2 մարմնի թմբուկի մակերևույթի կետերը նույնպես հավասար կլինեն, հետևաբար, 2 մարմնի անկյունային արագության մոդուլը կարող է սահմանվել որպես.

Մարմնի 2-ի անկյունային արագացման մոդուլը հավասար կլինի.

1/վրկ 2 .

Եկեք որոշենք արագության և արագացման շոշափող բաղադրիչի մոդուլները 2-րդ մարմնի K կետի համար՝ 2 և 3 մարմինների շփման կետ.

մ/վրկ, մ/վրկ 2

Քանի որ 2-րդ և 3-րդ մարմինները պտտվում են առանց փոխադարձ սայթաքման, արագության մեծությունները և K կետի արագացման շոշափող բաղադրիչը՝ այս մարմինների շփման կետը, հավասար կլինեն:

եկեք այն ուղղենք շառավղին ուղղահայաց մարմնի պտտման ուղղությամբ, քանի որ 3 մարմինը պտտվում է հավասարաչափ արագացված.

Առաջադիմականկոշտ մարմնի շարժումն է, որում ցանկացած ուղիղ գիծ, ​​որն անփոփոխորեն կապված է այս մարմնի հետ, մնում է իր սկզբնական դիրքին զուգահեռ:

Թեորեմ. Կոշտ մարմնի փոխադրական շարժման ժամանակ նրա բոլոր կետերը նկարագրում են միանման հետագծեր և յուրաքանչյուր տվյալ պահին ունեն հավասար արագություն և արագացում մեծության և ուղղությամբ:

Ապացույց. Նկարենք երկու կետով և , գծային շարժվող մարմնի հատված
և հաշվի առեք այս հատվածի շարժումը դիրքում
. Միևնույն ժամանակ, կետը նկարագրում է հետագիծը
, և կետ - հետագիծ
(նկ. 56):

Հաշվի առնելով, որ հատվածը
շարժվում է իրեն զուգահեռ, և դրա երկարությունը չի փոխվում, կարելի է հաստատել, որ կետերի հետագծերը Եվ նույնը կլինի: Սա նշանակում է, որ թեորեմի առաջին մասը ապացուցված է։ Մենք կորոշենք կետերի դիրքը Եվ ֆիքսված ծագման հետ կապված վեկտորային մեթոդ . Ավելին, այդ շառավիղ-վեկտորները կախված են
. Որովհետեւ. հատվածի ոչ երկարությունը, ոչ ուղղությունը
չի փոխվում, երբ շարժվում է մարմինը, ապա վեկտորը

. Եկեք անցնենք արագությունների որոշմանը կախվածության միջոցով (24).

, ստանում ենք
.

Եկեք անցնենք կախվածության միջոցով արագացումների որոշմանը (26).

, ստանում ենք
.

Ապացուցված թեորեմից հետևում է, որ մարմնի փոխադրական շարժումն ամբողջությամբ կորոշվի, եթե հայտնի լինի միայն մեկ կետի շարժումը։ Հետևաբար, կոշտ մարմնի թարգմանական շարժման ուսումնասիրությունը հանգում է նրա կետերից մեկի շարժման ուսումնասիրությանը, այսինքն. մինչև կետի կինեմատիկական խնդիր.

Թեմա 11. Կոշտ մարմնի պտույտային շարժում

ՊտտվողՍա կոշտ մարմնի շարժում է, որի ընթացքում նրա երկու կետերը մնում են անշարժ ամբողջ շարժման ընթացքում: Այս դեպքում այս երկու ֆիքսված կետերով անցնող ուղիղը կոչվում է ռոտացիայի առանցք.

Այս շարժման ընթացքում մարմնի յուրաքանչյուր կետ, որը չի գտնվում պտտման առանցքի վրա, նկարագրում է շրջան, որի հարթությունը ուղղահայաց է պտտման առանցքին, իսկ կենտրոնը գտնվում է այս առանցքի վրա։

Պտտման առանցքով գծում ենք մարմնին անփոփոխորեն կապված և նրա հետ պտտվող անշարժ հարթություն I և շարժական II հարթություն (նկ. 57): II հարթության և, համապատասխանաբար, ամբողջ մարմնի դիրքը տարածության մեջ I հարթության նկատմամբ ամբողջությամբ որոշվում է անկյան տակ. . Երբ մարմինը պտտվում է առանցքի շուրջ այս անկյունը ժամանակի շարունակական և միանշանակ ֆունկցիա է: Հետևաբար, իմանալով ժամանակի ընթացքում այս անկյան փոփոխության օրենքը, մենք կարող ենք որոշել մարմնի դիրքը տարածության մեջ.

- մարմնի պտտվող շարժման օրենքը. (43)

Այս դեպքում մենք կենթադրենք, որ անկյունը չափվում է ֆիքսված հարթությունից ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ հակառակ ուղղությամբ, երբ դիտվում է առանցքի դրական ծայրից . Քանի որ ֆիքսված առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի դիրքը որոշվում է մեկ պարամետրով, ասում են, որ այդպիսի մարմինն ունի ազատության մեկ աստիճան։

Անկյունային արագություն

Մարմնի պտտման անկյան փոփոխությունը ժամանակի ընթացքում կոչվում է անկյունային մարմնի արագությունը և նշանակված է
(օմեգա):

.(44)

Անկյունային արագությունը, ինչպես գծային արագությունը, վեկտորային մեծություն է, և այս վեկտորը կառուցված մարմնի պտտման առանցքի վրա: Այն ուղղվում է պտտման առանցքի երկայնքով այդ ուղղությամբ, որպեսզի, նայելով նրա ծայրից մինչև սկիզբը՝ տեսանելի լինի մարմնի պտույտը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (նկ. 58)։ Այս վեկտորի մոդուլը որոշվում է կախվածությամբ (44): Կիրառման կետ առանցքի վրա կարելի է կամայականորեն ընտրել, քանի որ վեկտորը կարող է փոխանցվել իր գործողության գծի երկայնքով: Եթե ​​պտտման առանցքի ուղղաձիգ վեկտորը նշանակենք , ապա մենք ստանում ենք անկյունային արագության վեկտորային արտահայտությունը.

. (45)

Անկյունային արագացում

Մարմնի անկյունային արագության փոփոխության արագությունը ժամանակի ընթացքում կոչվում է անկյունային արագացում մարմինը և նշանակված է (էպսիլոն):

. (46)

Անկյունային արագացումը վեկտորային մեծություն է, և այս վեկտորը կառուցված մարմնի պտտման առանցքի վրա: Այն ուղղվում է պտտման առանցքի երկայնքով այդ ուղղությամբ, որպեսզի, նայելով նրա ծայրից մինչև սկիզբը՝ տեսանելի է էպսիլոնի պտտման ուղղությունը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ (նկ. 58): Այս վեկտորի մոդուլը որոշվում է կախվածությամբ (46): Կիրառման կետ առանցքի վրա կարելի է կամայականորեն ընտրել, քանի որ վեկտորը կարող է փոխանցվել իր գործողության գծի երկայնքով:

Եթե ​​պտտման առանցքի ուղղաձիգ վեկտորը նշանակենք , ապա մենք ստանում ենք անկյունային արագացման վեկտորային արտահայտությունը.

. (47)

Եթե ​​անկյունային արագությունը և արագացումը նույն նշանի են, ապա մարմինը պտտվում է արագացվածև եթե տարբեր է, դանդաղ. Դանդաղ ռոտացիայի օրինակը ներկայացված է Նկ. 58.

Դիտարկենք պտտվող շարժման հատուկ դեպքեր:

1. Միատեսակ ռոտացիա.

,
.

,
,
,

,
. (48)

2. Հավասար պտույտ.

.

,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
.(49)

Գծային և անկյունային պարամետրերի կապը

Դիտարկենք կամայական կետի շարժումը
պտտվող մարմին. Այս դեպքում կետի հետագիծը կլինի շառավղով շրջան
, որը գտնվում է պտտման առանցքին ուղղահայաց հարթությունում (նկ. 59, Ա).

Ենթադրենք, որ տվյալ պահին կետը դիրքում է
. Ենթադրենք, որ մարմինը պտտվում է դրական ուղղությամբ, այսինքն. անկյան աճի ուղղությամբ . Ժամանակի մի պահ
կետը դիրք կզբաղեցնի
. Նշանակենք աղեղը
. Հետեւաբար, որոշակի ժամանակահատվածում
կետն անցել է ճանապարհը
. Նրա միջին արագությունը , եւ երբ
,
. Բայց, սկսած Նկ. 59, բ, պարզ է, որ
. Հետո. Վերջապես մենք ստանում ենք

. (50)

Այստեղ - կետի գծային արագություն
. Ինչպես ավելի վաղ ստացվեց, այս արագությունը շոշափելիորեն ուղղված է տվյալ կետի հետագծին, այսինքն. շրջանագծին շոշափող:

Այսպիսով, պտտվող մարմնի կետի գծային (շրջագծային) արագության մոդուլը հավասար է անկյունային արագության բացարձակ արժեքի և այս կետից մինչև պտտման առանցքի հեռավորության արտադրյալին։

Այժմ միացնենք կետի արագացման գծային բաղադրիչները անկյունային պարամետրերի հետ։

,
. (51)

Հաստատուն առանցքի շուրջ պտտվող կոշտ մարմնի կետի շոշափող արագացման մոդուլը հավասար է մարմնի անկյունային արագացման արտադրյալին և այս կետից մինչև պտտման առանցքը հեռավորության վրա։

,
. (52)

Հաստատուն առանցքի շուրջ պտտվող կոշտ մարմնի կետի նորմալ արագացման մոդուլը հավասար է մարմնի անկյունային արագության քառակուսու արտադրյալին և այս կետից մինչև պտտման առանցքը հեռավորության վրա։

Այնուհետև կետի ընդհանուր արագացման արտահայտությունը ձև է ստանում

. (53)

Վեկտորային ուղղություններ ,,ցույց է տրված Նկար 59-ում, Վ.

Հարթ շարժումԿոշտ մարմնի շարժումը, որի ժամանակ մարմնի բոլոր կետերը շարժվում են ինչ-որ անշարժ հարթության հետ զուգահեռ: Նման շարժման օրինակներ.

Ցանկացած մարմնի շարժում, որի հիմքը սահում է տվյալ ֆիքսված հարթության երկայնքով.

Անիվի գլորում ուղու ուղիղ հատվածով (ռելս):

Մենք ստանում ենք հարթության շարժման հավասարումները. Դա անելու համար հաշվի առեք թերթի հարթության վրա շարժվող հարթ կերպարանք (նկ. 60): Եկեք այս շարժումը կապենք ֆիքսված կոորդինատային համակարգի հետ
, իսկ ինքնին գործչի հետ կապում ենք շարժվող կոորդինատային համակարգը
, որը շարժվում է դրա հետ։

Ակնհայտ է, որ շարժվող գործչի դիրքը անշարժ հարթության վրա որոշվում է շարժվող առանցքների դիրքով.
ֆիքսված առանցքների համեմատ
. Այս դիրքը որոշվում է շարժվող ծագման դիրքով , այսինքն. կոորդինատները ,և պտտման անկյունը , շարժվող կոորդինատային համակարգ, համեմատաբար ֆիքսված, որը կհաշվենք առանցքից ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ շարժմանը հակառակ ուղղությամբ:

Հետևաբար, հարթ գործչի շարժումն իր հարթությունում ամբողջությամբ կորոշվի, եթե արժեքները ,,, այսինքն. ձևի հավասարումներ.

,
,
. (54)

Հավասարումները (54) կոշտ մարմնի հարթ շարժման հավասարումներ են, քանի որ եթե այդ ֆունկցիաները հայտնի են, ապա ժամանակի յուրաքանչյուր պահի համար հնարավոր է գտնել համապատասխանաբար այդ հավասարումներից. ,,, այսինքն. որոշել շարժվող գործչի դիրքը ժամանակի տվյալ պահին.

Դիտարկենք հատուկ դեպքեր.

1.

, ապա մարմնի շարժումը կլինի թարգմանական, քանի որ շարժվող առանցքները շարժվում են՝ մնալով իրենց սկզբնական դիրքին զուգահեռ։

2.

,

. Այս շարժումով փոխվում է միայն պտտման անկյունը , այսինքն. մարմինը կպտտվի կետի միջով գծագրության հարթությանը ուղղահայաց անցնող առանցքի շուրջ .

Հարթ գործչի շարժման տարրալուծումը թարգմանական և պտտվողի

Դիտարկենք երկու անընդմեջ դիրքեր Եվ
ժամանակի ընթացքում զբաղված է մարմնի կողմից Եվ
(նկ. 61): Մարմինը դիրքից դիրքավորել
կարող է փոխանցվել հետևյալ կերպ. Եկեք նախ շարժենք մարմինը աստիճանաբար. Այս դեպքում հատվածը
կտեղափոխվի իրեն զուգահեռ դիրքի
, եւ հետո եկեք շրջվենքմարմինը մի կետի շուրջ (բևեռ) անկյան տակ
մինչև կետերը համընկնեն Եվ .

Հետևաբար, ցանկացած հարթության շարժում կարող է ներկայացվել որպես փոխադրական շարժման գումար՝ ընտրված բևեռի և պտտվող շարժման հետ միասին, այս բևեռի համեմատ:

Դիտարկենք մեթոդներ, որոնց միջոցով կարելի է որոշել հարթ շարժում կատարող մարմնի կետերի արագությունները։

1. Բեւեռային մեթոդ. Այս մեթոդը հիմնված է հարթ շարժման արդյունքում առաջացած տարրալուծման վրա՝ թարգմանական և պտտվող: Հարթ գործչի ցանկացած կետի արագությունը կարող է ներկայացվել երկու բաղադրիչի տեսքով՝ թարգմանական, կամայականորեն ընտրված կետի արագությանը հավասար արագությամբ.բեւեռներ , և պտտվող այս բևեռի շուրջ:

Դիտարկենք հարթ մարմին (նկ. 62): Շարժման հավասարումներն են.
,
,
.

Այս հավասարումներից մենք որոշում ենք կետի արագությունը (ինչպես ճշգրտման կոորդինատային մեթոդով)

,
,
.

Այսպիսով, կետի արագությունը - քանակը հայտնի է։ Մենք վերցնում ենք այս կետը որպես բևեռ և որոշում կամայական կետի արագությունը
մարմիններ.

Արագություն
բաղկացած կլինի թարգմանչական բաղադրիչից , կետի հետ միասին շարժվելիս , և պտտվող
, կետը պտտելիս
կետի համեմատ . Կետային արագություն շարժվել դեպի կետ
իրեն զուգահեռ, քանի որ թարգմանական շարժման ժամանակ բոլոր կետերի արագությունները հավասար են և՛ մեծությամբ, և՛ ուղղությամբ։ Արագություն
կորոշվի կախվածությամբ (50)
, և այս վեկտորն ուղղված է շառավղին ուղղահայաց
ռոտացիայի ուղղությամբ
. Վեկտոր
ուղղվելու է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի անկյունագծով Եվ
, և դրա մոդուլը որոշվում է կախվածությամբ.

, .(55)

2. Թեորեմ մարմնի երկու կետերի արագությունների կանխատեսումների վերաբերյալ.

Կոշտ մարմնի երկու կետերի արագությունների կանխատեսումները այս կետերը միացնող ուղիղ գծի վրա հավասար են միմյանց:

Դիտարկենք մարմնի երկու կետ Եվ (նկ. 63): Մի կետ վերցնելը բևեռից այն կողմ մենք որոշում ենք ուղղությունը կախված (55):
. Մենք նախագծում ենք այս վեկտորի հավասարությունը գծի վրա
և հաշվի առնելով դա
ուղղահայաց
, ստանում ենք

3. Ակնթարթային արագության կենտրոն.

Ակնթարթային արագության կենտրոն(MCS) այն կետն է, որի արագությունը տվյալ պահին զրոյական է:

Ցույց տանք, որ եթե մարմինը չի շարժվում թարգմանաբար, ապա այդպիսի կետ գոյություն ունի ժամանակի յուրաքանչյուր պահի և, առավել ևս, եզակի է։ Թող ժամանակի մի պահ միավորներ Եվ հատվածում ընկած մարմինները , ունեն արագություններ Եվ , ոչ միմյանց զուգահեռ (նկ. 64): Ապա մատնանշեք
, ընկած է վեկտորներին ուղղահայաց խաչմերուկում Եվ , և կլինի MCS, քանի որ
.

Իսկապես, եթե ենթադրենք, որ
, ապա ըստ թեորեմի (56) վեկտորը
պետք է միևնույն ժամանակ ուղղահայաց լինի
Եվ
, ինչը անհնար է։ Նույն թեորեմից պարզ է դառնում, որ այլ հատվածի կետ չկա ժամանակի այս պահին չի կարող ունենալ զրոյի հավասար արագություն։

Օգտագործելով բևեռային մեթոդ
- բևեռ, որոշիր կետի արագությունը (55): քանի որ
,
. (57)

Նմանատիպ արդյունք կարելի է ստանալ մարմնի ցանկացած այլ կետի համար։ Հետևաբար, մարմնի ցանկացած կետի արագությունը հավասար է նրա պտտման արագությանը MCS-ի նկատմամբ.

,
,
, այսինքն. Մարմնի կետերի արագությունները համաչափ են MCS-ից նրանց հեռավորություններին:

Հարթ գործչի կետերի արագությունները որոշելու երեք դիտարկված մեթոդներից պարզ է դառնում, որ MCS-ն նախընտրելի է, քանի որ այստեղ արագությունը անմիջապես որոշվում է ինչպես մեծությամբ, այնպես էլ մեկ բաղադրիչի ուղղությամբ: Այնուամենայնիվ, այս մեթոդը կարող է օգտագործվել, եթե մենք գիտենք կամ կարող ենք որոշել MCS-ի դիրքը մարմնի համար:

MCS-ի դիրքի որոշում

1. Եթե մարմնի տվյալ դիրքի համար գիտենք մարմնի երկու կետերի արագությունների ուղղությունները, ապա MCS-ը կլինի այս արագության վեկտորներին ուղղահայացների հատման կետը:

2. Մարմնի երկու կետերի արագությունները հակազուգահեռ են (նկ. 65, Ա) Այս դեպքում արագություններին ուղղահայացը կլինի ընդհանուր, այսինքն. MCS-ը գտնվում է ինչ-որ տեղ այս ուղղահայաց վրա: MCS-ի դիրքը որոշելու համար անհրաժեշտ է միացնել արագության վեկտորների ծայրերը։ Այս գծի հատման կետը ուղղահայացին կլինի ցանկալի MCS: Այս դեպքում MCS-ը գտնվում է այս երկու կետերի միջև։

3. Մարմնի երկու կետերի արագությունները զուգահեռ են, բայց մեծությամբ հավասար չեն (նկ. 65, բ) MDS-ի ստացման կարգը նման է 2-րդ պարբերությունում նկարագրվածին:

դ) Երկու կետերի արագությունները և՛ մեծությամբ, և՛ ուղղությամբ հավասար են (նկ. 65, Վ) Մենք ստանում ենք ակնթարթային փոխադրական շարժման դեպք, որի դեպքում մարմնի բոլոր կետերի արագությունները հավասար են։ Հետևաբար, այս դիրքում մարմնի անկյունային արագությունը զրո է.

4. Եկեք որոշենք MCS-ը անիվի համար, որը գլորվում է առանց անշարժ մակերևույթի վրա սահելու (Նկար 65, Գ) Քանի որ շարժումը տեղի է ունենում առանց սահելու, անիվի մակերեսի հետ շփման կետում արագությունը կլինի նույնը և հավասար զրոյի, քանի որ մակերեսը անշարժ է: Հետևաբար, անիվի շփման կետը անշարժ մակերեսի հետ կլինի MCS:

Հարթ գործչի կետերի արագացումների որոշում

Հարթ գործչի կետերի արագացումները որոշելիս անալոգիա կա արագությունների որոշման մեթոդների հետ։

1. Բեւեռային մեթոդ. Ինչպես արագությունները որոշելիս, մենք որպես բևեռ վերցնում ենք մարմնի կամայական կետը, որի արագացումը մենք գիտենք կամ կարող ենք որոշել: Հետո Հարթ գործչի ցանկացած կետի արագացումը հավասար է բևեռի արագացումների և այս բևեռի շուրջ պտտվող շարժման արագացման գումարին.

Այս դեպքում բաղադրիչը
որոշում է կետի արագացումը երբ այն պտտվում է բևեռի շուրջը . Պտտվելիս կետի հետագիծը կլինի կորագիծ, ինչը նշանակում է
(նկ. 66):

Այնուհետև կախվածությունը (58) ձև է ստանում
. (59)

Հաշվի առնելով (51) և (52) կախվածությունները՝ մենք ստանում ենք
,
.

2. Ակնթարթային արագացման կենտրոն։

Ակնթարթային արագացման կենտրոն(MCU) այն կետն է, որի արագացումը տվյալ պահին զրոյական է:

Եկեք ցույց տանք, որ ցանկացած պահի նման կետ գոյություն ունի։ Մենք միավոր ենք վերցնում որպես բևեռ , որի արագացումը
մենք գիտենք. Գտնելով անկյունը , պառկած ներսում
, և բավարարում է պայմանը
. Եթե
, Դա
և հակառակը, այսինքն. անկյուն հետաձգվել է ուղղությամբ . Կետից հետաձգենք անկյան տակ դեպի վեկտոր
գծի հատված
(նկ. 67): Նման կոնստրուկցիաներով ստացված կետը
կլինի MCU.

Իսկապես, կետի արագացում
հավասար է արագացումների գումարին
բեւեռներ և արագացում
բևեռի շուրջ պտտվող շարժման մեջ :
.

,
. Հետո
. Մյուս կողմից՝ արագացում
ձևավորվում է հատվածի ուղղությամբ
անկյուն
, որը բավարարում է պայմանին
. Անկյունի շոշափողի դիմաց դրվում է մինուս նշան , ռոտացիայից ի վեր
բևեռի համեմատ ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ և անկյունը
պահվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ: Հետո
.

Հետևաբար,
եւ հետո
.

MCU-ի որոշման հատուկ դեպքեր

1.
. Հետո
, և, հետևաբար, ՄՄՀ-ն գոյություն չունի։ Այս դեպքում մարմինը շարժվում է թարգմանաբար, այսինքն. Մարմնի բոլոր կետերի արագություններն ու արագացումները հավասար են։

2.
. Հետո
,
. Սա նշանակում է, որ MCU-ն գտնվում է մարմնի կետերի արագացումների գործողության գծերի հատման կետում (նկ. 68, Ա).

3.
. Հետո,
,
. Սա նշանակում է, որ MCU-ն գտնվում է մարմնի կետերի արագացումներին ուղղահայաց հատման կետում (նկ. 68, բ).

4.
. Հետո
,

. Սա նշանակում է, որ MCU-ն գտնվում է անկյան տակ գտնվող մարմնի կետերի արագացումներին ձգվող ճառագայթների խաչմերուկում: (նկ. 68, Վ).

Դիտարկված հատուկ դեպքերից կարող ենք եզրակացնել. եթե ընդունենք կետը
բևեռից այն կողմ, ապա հարթ գործչի ցանկացած կետի արագացումը որոշվում է MCU-ի շուրջ պտտվող շարժման արագացումով.

. (60)

Բարդ կետային շարժումԱյն շարժումը, որում կետը միաժամանակ մասնակցում է երկու կամ ավելի շարժումների, կոչվում է: Նման շարժումով կետի դիրքը որոշվում է շարժվող և համեմատաբար անշարժ հղման համակարգերի նկատմամբ։

Կետի շարժումը շարժվող հղման շրջանակի նկատմամբ կոչվում է կետի հարաբերական շարժում . Մենք համաձայն ենք նշել հարաբերական շարժման պարամետրերը
.

Շարժվող հղման համակարգի այն կետի շարժումը, որի հետ անշարժ հղման համակարգի նկատմամբ շարժվող կետը ներկայումս համընկնում է, կոչվում է. կետի շարժական շարժում . Մենք համաձայն ենք նշել շարժական շարժման պարամետրերը
.

Կետի շարժումը ֆիքսված հղման համակարգի նկատմամբ կոչվում է բացարձակ (բարդ) կետի շարժում . Մենք համաձայն ենք նշել բացարձակ շարժման պարամետրերը
.

Որպես բարդ շարժման օրինակ կարող ենք դիտարկել մարդու շարժումը շարժվող տրանսպորտային միջոցում (տրամվայ): Այս դեպքում մարդու շարժումը կապված է շարժվող կոորդինատային համակարգի՝ տրամվայի և ֆիքսված կոորդինատային համակարգի՝ երկրի (ճանապարհի) հետ։ Այնուհետև, ելնելով վերը տրված սահմանումներից, մարդու շարժումը տրամվայի նկատմամբ հարաբերական է, տրամվայի հետ միասին գետնի նկատմամբ շարժումը շարժական է, իսկ մարդու շարժումը գետնի նկատմամբ՝ բացարձակ։

Մենք կորոշենք կետի դիրքը
շառավիղներ - շարժվողի համեմատ վեկտորներ
և անշարժ
կոորդինատային համակարգեր (նկ. 69): Ներկայացնենք հետևյալ նշումը. - կետի դիրքը սահմանող շառավիղի վեկտոր
շարժվող կոորդինատների համակարգի համեմատ
,
;- շառավիղի վեկտոր, որը որոշում է շարժվող կոորդինատային համակարգի սկզբի դիրքը (կետ ) (կետեր );- շառավիղ - վեկտոր, որը որոշում է կետի դիրքը
ֆիքսված կոորդինատային համակարգի համեմատ
;
,.

Ստացնենք հարաբերական, շարժական և բացարձակ շարժումներին համապատասխան պայմաններ (սահմանափակումներ):

1. Հարաբերական շարժումը դիտարկելիս կենթադրենք, որ կետը
շարժվում է շարժվող կոորդինատային համակարգի համեմատ
, և շարժվող կոորդինատային համակարգը
ֆիքսված կոորդինատային համակարգի համեմատ
չի շարժվում.

Այնուհետև կետի կոորդինատները
կփոխվի հարաբերական շարժման մեջ, բայց շարժվող կոորդինատային համակարգի ուղղաձիգ վեկտորները չեն փոխվի ուղղությամբ.

,

,

.

2. Դյուրակիր շարժումը դիտարկելիս կենթադրենք, որ կետի կոորդինատները
շարժվող կոորդինատային համակարգի համեմատ ամրագրված են, և կետը շարժվում է շարժվող կոորդինատային համակարգի հետ միասին
համեմատաբար ստացիոնար
:

,

,

,.

3. Բացարձակ շարժման դեպքում կետը նույնպես շարժվում է համեմատաբար
և կոորդինատային համակարգի հետ միասին
համեմատաբար ստացիոնար
:

Այնուհետև արագությունների արտահայտությունները, հաշվի առնելով (27), ունեն ձև

,
,

Համեմատելով այս կախվածությունները՝ մենք ստանում ենք բացարձակ արագության արտահայտությունը.
. (61)

Մենք ստացանք բարդ շարժման կետի արագությունների գումարման թեորեմ. կետի բացարձակ արագությունը հավասար է հարաբերական և շարժական արագության բաղադրիչների երկրաչափական գումարին։

Օգտագործելով կախվածությունը (31) մենք ստանում ենք արագացումների արտահայտություններ.

,

Համեմատելով այս կախվածությունները՝ մենք ստանում ենք բացարձակ արագացման արտահայտություն.
.

Մենք գտանք, որ կետի բացարձակ արագացումը հավասար չէ հարաբերական և շարժական արագացման բաղադրիչների երկրաչափական գումարին։ Եկեք որոշենք բացարձակ արագացման բաղադրիչը փակագծերում հատուկ դեպքերի համար:

1. Կետի շարժական թարգմանական շարժում
. Այս դեպքում շարժվող կոորդինատային համակարգի առանցքները
շարժվել ամբողջ ժամանակ իրենց զուգահեռ, ապա.

,

,

,
,
,
, Հետո
. Վերջապես մենք ստանում ենք

. (62)

Եթե ​​կետի շարժական շարժումը փոխակերպական է, ապա կետի բացարձակ արագացումը հավասար է արագացման հարաբերական և շարժական բաղադրիչների երկրաչափական գումարին։

2. Կետի շարժական շարժումը ոչ թարգմանական է։ Սա նշանակում է, որ այս դեպքում շարժվող կոորդինատային համակարգը
պտտվում է պտտման ակնթարթային առանցքի շուրջը անկյունային արագությամբ (նկ. 70): Նշենք վեկտորի վերջում գտնվող կետը միջոցով . Այնուհետև, օգտագործելով (15) ճշգրտման վեկտորային մեթոդը, մենք ստանում ենք այս կետի արագության վեկտորը
.

Մյուս կողմից,
. Հավասարեցնելով այս վեկտորային հավասարումների աջ կողմերը՝ մենք ստանում ենք.
. Նույն կերպ վարվելով մնացած միավոր վեկտորների համար՝ մենք ստանում ենք.
,
.

Ընդհանուր դեպքում կետի բացարձակ արագացումը հավասար է հարաբերական և շարժական արագացման բաղադրիչների երկրաչափական գումարին գումարած շարժական շարժման անկյունային արագության վեկտորի և հարաբերական շարժման գծային արագության վեկտորի կրկնապատկված վեկտորի արտադրյալը։

Դյուրակիր շարժման անկյունային արագության վեկտորի և հարաբերական շարժման գծային արագության վեկտորի կրկնակի վեկտորի արտադրյալը կոչվում է. Coriolis արագացում և նշանակված է

. (64)

Կորիոլիսի արագացումը բնութագրում է հարաբերական արագության փոփոխությունը թարգմանական շարժման մեջ և փոխակերպման արագության փոփոխությունը հարաբերական շարժման մեջ։

Գլխավորությամբ
վեկտորային արտադրանքի կանոնի համաձայն. Կորիոլիսի արագացման վեկտորը միշտ ուղղահայաց է վեկտորների կողմից ձևավորված հարթությանը Եվ , այնպես, որ վեկտորի վերջից նայելով
, տես հերթը Դեպի , ամենափոքր անկյան միջով, ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ:

Coriolis արագացման մոդուլը հավասար է.

Պտտման անկյուն, անկյունային արագություն և անկյունային արագացում

Կոշտ մարմնի պտույտ ֆիքսված առանցքի շուրջԱյն կոչվում է այնպիսի շարժում, երբ մարմնի երկու կետերը շարժման ողջ ընթացքում մնում են անշարժ։ Այս դեպքում անշարժ են մնում նաև մարմնի բոլոր կետերը, որոնք գտնվում են նրա ֆիքսված կետերով անցնող ուղիղ գծի վրա։ Այս տողը կոչվում է մարմնի պտտման առանցքը.

Եթե ԱԵվ IN- մարմնի ֆիքսված կետեր (նկ. 15 ), ապա պտտման առանցքը առանցքն է Օզ,որը կարող է ունենալ ցանկացած ուղղություն տարածության մեջ, պարտադիր չէ, որ ուղղահայաց: Մեկ առանցքի ուղղություն Օզընդունվում է որպես դրական:

Պտտման առանցքի միջով ամրացված հարթություն ենք գծում Ըստև բջջային Պ,ամրացված է պտտվող մարմնին: Թող ժամանակի սկզբնական պահին երկու հարթությունները համընկնեն: Այնուհետև ժամանակի մի պահ տՇարժվող հարթության և ինքնին պտտվող մարմնի դիրքը կարող է որոշվել հարթությունների և համապատասխան գծային անկյան միջև երկփեղկ անկյան միջոցով. φ ուղիղ գծերի միջև, որոնք գտնվում են այս հարթություններում և ուղղահայաց են պտտման առանցքին: Անկյուն φ կանչեց մարմնի ռոտացիայի անկյունը.

Ընտրված հղման համակարգի նկատմամբ մարմնի դիրքը լիովին որոշվում է ցանկացածում

ժամանակի պահը, եթե տրված է հավասարումը φ =f(t) (5)

Որտեղ f(t)- ժամանակի ցանկացած կրկնակի տարբերակվող ֆունկցիա: Այս հավասարումը կոչվում է ֆիքսված առանցքի շուրջ կոշտ մարմնի պտտման հավասարումը:

Ֆիքսված առանցքի շուրջ պտտվող մարմինն ունի ազատության մեկ աստիճան, քանի որ նրա դիրքը որոշվում է՝ նշելով միայն մեկ պարամետր՝ անկյունը։ φ .

Անկյուն φ համարվում է դրական, եթե այն գծված է հակառակ ուղղությամբ, իսկ բացասական՝ հակառակ ուղղությամբ, երբ դիտվում է առանցքի դրական ուղղությամբ: Օզ.Մարմնի կետերի հետագծերը ֆիքսված առանցքի շուրջ պտտվելու ժամանակ օղակներ են, որոնք գտնվում են պտտման առանցքին ուղղահայաց հարթություններում։

Հաստատուն առանցքի շուրջ կոշտ մարմնի պտտվող շարժումը բնութագրելու համար մենք ներկայացնում ենք անկյունային արագություն և անկյունային արագացում հասկացությունները: Մարմնի հանրահաշվական անկյունային արագությունժամանակի ցանկացած պահի կոչվում է առաջին ածանցյալ՝ այս պահին պտտման անկյան ժամանակի նկատմամբ, այսինքն. dφ/dt = φ.Այն դրական մեծություն է, երբ մարմինը պտտվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, քանի որ պտտման անկյունը ժամանակի հետ մեծանում է, իսկ բացասական մեծություն է, երբ մարմինը պտտվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, քանի որ պտտման անկյունը նվազում է։

Անկյունային արագության մոդուլը նշվում է ω. Հետո ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

Անկյունային արագության չափը սահմանվում է համաձայն (6)

[ω] = անկյուն/ժամանակ = rad/s = s -1.

Ճարտարագիտության մեջ անկյունային արագությունը պտտման արագությունն է, որն արտահայտվում է րոպեում պտույտներով: 1 րոպեից մարմինը կպտտվի անկյան տակ 2pp,Եթե Պ- րոպեում պտույտների քանակը: Այս անկյունը բաժանելով րոպեի վայրկյանների թվի վրա՝ ստանում ենք՝ (7)

Մարմնի հանրահաշվական անկյունային արագացումկոչվում է առաջին ածանցյալ՝ հանրահաշվական արագության ժամանակի նկատմամբ, այսինքն. Պտտման անկյան երկրորդ ածանցյալը d 2 φ/dt 2 = ω. Նշենք անկյունային արագացման մոդուլը ε , Հետո ε=|φ| (8)

Անկյունային արագացման չափը ստացվում է (8):

[ε ] = անկյունային արագություն/ժամանակ = ռադ/վ 2 = ս -2

Եթե φ’’>0 ժամը φ’>0 , ապա հանրահաշվական անկյունային արագությունը ժամանակի հետ մեծանում է և, հետևաբար, մարմինը ժամանակի պահին արագացված պտտվում է դրական ուղղությամբ (ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ)։ ժամը φ’’<0 Եվ φ’<0 մարմինը արագորեն պտտվում է բացասական ուղղությամբ. Եթե φ’’<0 ժամը φ’>0 , ապա ունենք դանդաղ պտույտ դրական ուղղությամբ։ ժամը φ’’>0 Եվ φ’<0 , այսինքն. դանդաղ ռոտացիան տեղի է ունենում բացասական ուղղությամբ: Անկյունային արագությունը և անկյունային արագացումը պատկերներում պատկերված են պտտման առանցքի շուրջ աղեղային սլաքներով: Անկյունային արագության աղեղի սլաքը ցույց է տալիս մարմինների պտտման ուղղությունը.

Արագացված պտտման դեպքում անկյունային արագության և անկյունային արագացման աղեղների սլաքներն ունեն նույն ուղղությունները, դանդաղ պտտման դեպքում դրանց ուղղությունները հակառակ են:

Կոշտ մարմնի պտույտի հատուկ դեպքեր

Ռոտացիան ասում են, որ միատեսակ է, եթե ω=const, φ= φ’t

Պտույտը կլինի միատեսակ, եթե ε=կոնստ. φ’= φ’ 0 + φ’’t և

Ընդհանուր առմամբ, եթե φ’’ ոչ միշտ,

Մարմնի կետերի արագություններ և արագացումներ

Հայտնի է հաստատուն առանցքի շուրջ կոշտ մարմնի պտտման հավասարումը φ= f(t)(նկ. 16): Հեռավորությունը սմիավորներ Մշարժվող ինքնաթիռում Պշրջանաձև աղեղի երկայնքով (կետային հետագիծ), որը չափվում է կետից Մ օ,գտնվում է ֆիքսված հարթության մեջ՝ արտահայտված անկյան միջոցով φ կախվածություն s=hφ, Որտեղ հ- շրջանագծի շառավիղը, որով շարժվում է կետը: Դա կետից ամենակարճ հեռավորությունն է Մդեպի պտտման առանցքը. Սա երբեմն կոչվում է կետի պտտման շառավիղ: Մարմնի յուրաքանչյուր կետում պտտման շառավիղը մնում է անփոփոխ, երբ մարմինը պտտվում է ֆիքսված առանցքի շուրջ։

Մի կետի հանրահաշվական արագություն Մորոշվում է բանաձևով v τ =s’=hφԿետային արագության մոդուլ. v=hω(9)

Մարմնի կետերի արագությունները, երբ պտտվում են ֆիքսված առանցքի շուրջը, համաչափ են նրանց ամենակարճ հեռավորություններին դեպի այս առանցքը:Համաչափության գործակիցը անկյունային արագությունն է։ Կետերի արագություններն ուղղված են հետագծերի շոշափողներին և, հետևաբար, ուղղահայաց են պտտման շառավղներին: Ուղիղ հատվածի վրա տեղակայված մարմնի կետերի արագությունները ՕՄ,(9)-ի համաձայն բաշխվում են գծային օրենքի համաձայն: Նրանք միմյանց զուգահեռ են, և դրանց ծայրերը գտնվում են պտտման առանցքով անցնող նույն ուղիղ գծի վրա։ Կետի արագացումը տարրալուծում ենք շոշափող և նորմալ բաղադրիչների, այսինքն. a=a τ +a nτՇոշափող և նորմալ արագացումները հաշվարկվում են բանաձևերով (10)

քանի որ շրջանագծի համար կորության շառավիղն է p=h(Նկար 17 ). Այսպիսով,

Կետերի շոշափող, նորմալ և ընդհանուր արագացումները, ինչպես նաև արագությունները նույնպես բաշխված են գծային օրենքի համաձայն։ Դրանք գծայինորեն կախված են կետերի հեռավորություններից մինչև պտտման առանցքը։ Նորմալ արագացումն ուղղված է շրջանագծի շառավղով դեպի պտտման առանցքը: Շոշափող արագացման ուղղությունը կախված է հանրահաշվական անկյունային արագացման նշանից։ ժամը φ’>0 Եվ φ’’>0 կամ φ’<0 Եվ φ’<0 մենք ունենք մարմնի արագացված պտույտ և վեկտորների ուղղություններ ա տԵվ vհամապատասխանեցնել. Եթե φ’ Եվ φ’" ունեն տարբեր նշաններ (դանդաղ պտույտ), ապա ա տԵվ vուղղված միմյանց հակառակ.

Նշանակվելով α կետի ընդհանուր արագացման և նրա պտտման շառավիղի միջև ընկած անկյունը, ունենք

tgα = | a τ |/a n = ε/ω 2 (11)

նորմալ արագացումից հետո a pմիշտ դրական: Անկյուն Անույնը մարմնի բոլոր կետերի համար: Այն պետք է արագացումից հետաձգվի դեպի անկյունային արագացման աղեղային սլաքի ուղղությամբ պտտման շառավիղը՝ անկախ կոշտ մարմնի պտտման ուղղությունից։

Անկյունային արագության և անկյունային արագացման վեկտորներ

Ներկայացնենք անկյունային արագության և մարմնի անկյունային արագացման վեկտորներ հասկացությունները: Եթե TOպտտման առանցքի միավոր վեկտորն է՝ ուղղված իր դրական ուղղությամբ, այնուհետև՝ անկյունային արագության վեկտորները ώ և անկյունային արագացում ε որոշվում է արտահայտություններով (12)

Որովհետեւ կմեծության և ուղղության վեկտորային հաստատուն է, ապա (12)-ից հետևում է, որ

ε=dώ/dt(13)

ժամը φ’>0 Եվ φ’’>0 վեկտորային ուղղություններ ώ Եվ ε համապատասխանեցնել. Նրանք երկուսն էլ ուղղված են դեպի պտտման առանցքի դրական կողմը Օզ(Նկար 18.ա) Եթե φ’>0 Եվ φ’’<0 , ապա դրանք ուղղվում են հակառակ ուղղություններով (նկ. 18.բ ). Անկյունային արագացման վեկտորը արագացված պտույտի ժամանակ ուղղության մեջ համընկնում է անկյունային արագության վեկտորի հետ և դանդաղ պտույտի ժամանակ հակառակ է դրան։ Վեկտորներ ώ Եվ ε կարելի է պատկերել պտտման առանցքի ցանկացած կետում: Նրանք շարժվող վեկտորներ են։ Այս հատկությունը բխում է մարմնի կետերի արագությունների և արագացումների վեկտորային բանաձևերից:

Բարդ կետային շարժում

Հիմնական հասկացություններ

Կոշտ մարմնի շարժման մի քանի ավելի բարդ տեսակներ ուսումնասիրելու համար նպատակահարմար է դիտարկել կետի ամենապարզ բարդ շարժումը: Բազմաթիվ խնդիրների դեպքում կետի շարժումը պետք է դիտարկել երկու (կամ ավելի) միմյանց նկատմամբ շարժվող հղման համակարգերի նկատմամբ: Այսպիսով, դեպի Լուսին շարժվող տիեզերանավի շարժումը պետք է դիտարկել միաժամանակ և՛ Երկրի, և՛ Լուսնի նկատմամբ, որը շարժվում է Երկրի համեմատ: Կետի ցանկացած շարժում կարելի է համարել բարդ՝ բաղկացած մի քանի շարժումներից։ Օրինակ, նավի շարժումը գետի երկայնքով Երկրի համեմատ կարելի է բարդ համարել, որը բաղկացած է ջրի միջով շարժվելուց և հոսող ջրի հետ միասին։

Ամենապարզ դեպքում կետի բարդ շարժումը բաղկացած է հարաբերական և թարգմանական շարժումներից։ Եկեք սահմանենք այս շարժումները: Եկեք ունենանք երկու տեղեկատու համակարգ, որոնք շարժվում են միմյանց նկատմամբ: Եթե ​​այս համակարգերից մեկը O l x 1 y 1 z 1(Նկար 19 ) վերցված որպես հիմնական կամ անշարժ (դրա շարժումը այլ տեղեկատու համակարգերի համեմատ չի դիտարկվում), ապա երկրորդ հղման համակարգը Օքսիզկտեղափոխվի առաջինի համեմատ: Կետի շարժումը շարժվող հղման շրջանակի նկատմամբ Օքսիզկանչեց ազգական.Այս շարժման բնութագրերը, ինչպիսիք են հետագիծը, արագությունը և արագացումը, կոչվում են ազգական.Դրանք նշանակված են r ինդեքսով; արագության և արագացման համար վ ր , ա ր .Հիմնական կամ ֆիքսված համակարգի հղման շրջանակի նկատմամբ կետի շարժումը O 1 x 1 y 1 z 1կանչեց բացարձակ(կամ բարդ ). Այն նաև երբեմն կոչվում է կոմպոզիտայինշարժումը։ Այս շարժման հետագիծը, արագությունը և արագացումը կոչվում են բացարձակ: Բացարձակ շարժման արագությունն ու արագացումը նշվում են տառերով v, aոչ մի ցուցանիշ:

Կետի շարժական շարժումն այն շարժումն է, որը նա կատարում է շարժվող հղման համակարգի հետ միասին՝ որպես կետ, որը խիստ կցված է այս համակարգին դիտարկվող ժամանակի պահին: Հարաբերական շարժման շնորհիվ շարժվող կետը տարբեր ժամանակներում համընկնում է մարմնի տարբեր կետերի հետ Ս,որին կցված է շարժվող հղման համակարգը: Դյուրակիր արագությունը և շարժական արագացումը մարմնի այդ կետի արագությունն ու արագացումն է Ս,որի հետ շարժման կետը ներկայումս համընկնում է։ Դյուրակիր արագությունը և արագացումը նշանակում են վ ե , ա ե.

Եթե ​​մարմնի բոլոր կետերի հետագծերը Ս,կցված է շարժվող հղման համակարգին, որը պատկերված է նկարում (նկ. 20), այնուհետև մենք ստանում ենք գծերի ընտանիք՝ կետի շարժական շարժման հետագծերի ընտանիք։ Մ.Կետի հարաբերական շարժման շնորհիվ Մժամանակի յուրաքանչյուր պահի այն գտնվում է շարժական շարժման հետագծերից մեկի վրա: Կետ Մկարող է համընկնել փոխանցման հետագծերի այս ընտանիքի հետագծերից յուրաքանչյուրի միայն մեկ կետի հետ: Այս առումով երբեմն ենթադրվում է, որ շարժական շարժման հետագծեր չկան, քանի որ անհրաժեշտ է գծերը դիտարկել որպես շարժական շարժման հետագծեր, որոնց համար միայն մեկ կետն իրականում հետագծի կետ է:

Կետի կինեմատիկայում ուսումնասիրվել է կետի շարժումը ցանկացած հղման համակարգի նկատմամբ՝ անկախ նրանից՝ այս հղման համակարգը շարժվում է այլ համակարգերի համեմատ, թե ոչ։ Եկեք լրացնենք այս ուսումնասիրությունը՝ դիտարկելով բարդ շարժումը, ամենապարզ դեպքում, որը բաղկացած է հարաբերական և փոխաբերական շարժումներից: Միևնույն բացարձակ շարժումը, ընտրելով տարբեր շարժվող հղման շրջանակներ, կարելի է համարել, որ բաղկացած է տարբեր շարժական և, համապատասխանաբար, հարաբերական շարժումներից։

Արագության ավելացում

Որոշենք կետի բացարձակ շարժման արագությունը, եթե հայտնի են այս կետի հարաբերական և շարժական շարժումների արագությունները։ Թող կետը կատարի միայն մեկ՝ հարաբերական շարժում Oxyz հղման շարժվող շրջանակի նկատմամբ և ժամանակի t զբաղեցնի M դիրքը հարաբերական շարժման հետագծի վրա (նկ. 20): t+ t ժամանակ հարաբերական շարժման պատճառով կետը կլինի M 1 դիրքում՝ MM 1 շարժվելով հարաբերական շարժման հետագծով։ Ենթադրենք, որ խոսքը վերաբերում է Օքսիզև հարաբերական հետագծով այն կշարժվի որոշ կորի երկայնքով ՄՄ 2.Եթե ​​կետը միաժամանակ մասնակցում է և՛ հարաբերական, և՛ շարժական շարժումներին, ապա ժամանակի ընթացքում Ա. նա կտեղափոխվի ՄՄ"բացարձակ շարժման հետագծի երկայնքով և ժամանակի պահին t+ Atկզբաղեցնի պաշտոնը Մ».Եթե ​​ժամանակ ժամըքիչ, իսկ հետո գնալ սահմանաչափի ժամը ժամը,հակված է զրոյի, ապա կորերի երկայնքով փոքր տեղաշարժերը կարող են փոխարինվել ակորդների հատվածներով և ընդունել որպես տեղաշարժի վեկտորներ: Վեկտորի տեղաշարժերը գումարելով՝ ստանում ենք

Այս առումով ավելի բարձր կարգի փոքր քանակությունները վերացվում են՝ հակված լինելով զրոյի ժամը,ձգտում է զրոյի: Անցնելով սահմանին, մենք ունենք (14)

Հետևաբար, (14) կընդունի ձևը (15)

Այսպես կոչված արագության գումարման թեորեմը ստացվում է. կետի բացարձակ շարժման արագությունը հավասար է այս կետի շարժական և հարաբերական շարժումների արագությունների վեկտորային գումարին։Քանի որ ընդհանուր դեպքում շարժական և հարաբերական շարժումների արագությունները ուղղահայաց չեն, ապա (15')

Առնչվող տեղեկություններ.