Հեղափոխության մարմինների ծավալների հաշվարկը որոշակի ինտեգրալով: Մարմնի ծավալը, որը ստացվում է հարթ պատկերի ցիկլային աղեղի պարամետրային պտտմամբ

Երբ մենք պարզեցինք երկրաչափական իմաստը որոշակի ինտեգրալ, մենք ունենք բանաձև, որով կարող եք գտնել կորագիծ տրապիզոնի տարածքը, որը սահմանափակված է x առանցքով և ուղիղ գծերով x = a, x = b, ինչպես նաև շարունակական (ոչ բացասական կամ ոչ դրական) ֆունկցիա y = f(x):Երբեմն ավելի հարմար է նշել այն ֆունկցիան, որը սահմանափակում է գործիչը պարամետրային ձևով, այսինքն. արտահայտել ֆունկցիոնալ կախվածությունը t պարամետրի միջոցով. Շրջանակներում այս նյութիցմենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարող եք գտնել գործչի տարածքը, եթե այն սահմանափակված է պարամետրականորեն սահմանված կորով:

Տեսությունը բացատրելուց և բանաձևը դուրս բերելուց հետո մենք կանդրադառնանք մի քանի բնորոշ օրինակների՝ գտնելու նման թվերի տարածքը:

Հաշվարկի հիմնական բանաձևը

Ենթադրենք, որ ունենք կորագիծ trapezoid, որի սահմաններն են ուղիղ ուղիղները x = a, x = b, O x առանցքը և պարամետրորեն սահմանված կորը x = φ (t) y = ψ (t) և x = φ (t) և y = ψ (t) ֆունկցիաները α ինտերվալի վրա շարունակական են. β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Սահմանում 1

Նման պայմաններում տրապեզոիդի տարածքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել S (G) = ∫ α β ψ (t) · φ" (t) d t բանաձևը:

Մենք այն դուրս ենք բերել կորագիծ տրապիզոիդի տարածքի բանաձևից S (G) = ∫ a b f (x) d x փոխարինման մեթոդով x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

Սահմանում 2

Հաշվի առնելով β ինտերվալի վրա x = φ (t) ֆունկցիայի միապաղաղ նվազումը; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Եթե x = φ (t) ֆունկցիան հիմնական տարրականներից չէ, ապա մենք պետք է հիշենք ֆունկցիայի մեծացման և նվազման հիմնական կանոնները մի ընդմիջումով որոշելու համար, թե արդյոք այն մեծանում է, թե նվազում է:

Այս պարբերությունում մենք կվերլուծենք մի քանի խնդիր՝ օգտագործելով վերը բերված բանաձևը:

Օրինակ 1

ՎիճակԳտեք նկարի մակերեսը, որը ձևավորվում է x = 2 cos t y = 3 sin t ձևի հավասարումներով տրված գծով:

Լուծում

Մենք պարամետրորեն սահմանված գիծ ունենք։ Գրաֆիկորեն այն կարող է ցուցադրվել որպես էլիպս երկու կիսաառանցքներով 2 և 3: Տես նկարազարդումը.

Փորձենք գտնել ստացված պատկերի 1 4 մակերեսը, որը զբաղեցնում է առաջին քառորդը։ Տարածքը գտնվում է x ∈ a միջակայքում; b = 0; 2. Հաջորդը, ստացված արժեքը բազմապատկեք 4-ով և գտեք ամբողջ գործչի տարածքը:

Ահա մեր հաշվարկների առաջընթացը.

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

0-ի հավասար k-ով մենք ստանում ենք β միջակայքը; α = 0; π 2. x = φ (t) = 2 cos t ֆունկցիան դրա վրա միապաղաղ կնվազի (մանրամասների համար տե՛ս հիմնական հոդվածը տարրական գործառույթներև դրանց հատկությունները): Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք կիրառել տարածքը հաշվարկելու բանաձևը և գտնել որոշակի ինտեգրալը՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

- ∫ 0 π 2 3 sin t · 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π 2 = 3 π 2 - մեղք 2 π 2 2 - 0 - մեղք 2 0 2 = 3 π 2

Սա նշանակում է, որ սկզբնական կորով տրված գործչի մակերեսը հավասար կլինի S (G) = 4 · 3 π 2 = 6 π:

Պատասխան՝ S(G) = 6π

Պարզաբանենք, որ վերը նշված խնդիրը լուծելիս հնարավոր եղավ վերցնել ոչ միայն էլիպսի քառորդ մասը, այլև դրա կեսը՝ վերին կամ ստորին մասը։ Մեկ կեսը կգտնվի x ∈ a միջակայքում; b = - 2; 2. Այս դեպքում կունենայինք.

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k, k ∈ Z, φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k, k ∈ Z.

Այսպիսով, k-ով հավասար է 0-ի, մենք ստանում ենք β; α = 0; պ. x = φ (t) = 2 cos t ֆունկցիան այս միջակայքում միապաղաղ կնվազի:

Դրանից հետո մենք հաշվարկում ենք էլիպսի կեսի մակերեսը.

- ∫ 0 π 3 sin t · 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 · t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - մեղք 2 π 2 - 0 - մեղք 2 0 2 = 3 π

Կարևոր է նշել, որ դուք կարող եք վերցնել միայն վերևից կամ ներքևից, բայց ոչ աջից կամ ձախից:

Դուք կարող եք պարամետրային հավասարում ստեղծել տրված էլիպսի համար, որի կենտրոնը կգտնվի սկզբնաղբյուրում: Այն կունենա x = a · cos t y = b · sin t: Գործելով նույն կերպ, ինչպես վերը նշված օրինակում, մենք ստանում ենք էլիպսի S e l և p մակերեսը a = πab-ով հաշվարկելու բանաձև:

Դուք կարող եք սահմանել շրջան, որի կենտրոնը գտնվում է սկզբնակետում՝ օգտագործելով x = R · cos t y = R · sin t , որտեղ t-ը պարամետր է, իսկ R-ը՝ այս շրջանագծի շառավիղը: Եթե մենք անմիջապես օգտագործենք էլիպսի մակերեսի բանաձևը, ապա մենք կստանանք բանաձև, որով կարող ենք հաշվարկել R շառավղով շրջանագծի մակերեսը՝ S k r y r a = πR 2:

Դիտարկենք ևս մեկ խնդիր.

Օրինակ 2

Վիճակը: գտեք, թե ինչին հավասար կլինի նկարի տարածքը, որը սահմանափակված է պարամետրականորեն սահմանված կորով x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t:

Լուծում

Անմիջապես պարզաբանենք, որ այս կորը երկարավուն աստրոիդի ձև ունի։ Սովորաբար աստրոիդն արտահայտվում է x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t ձևի հավասարման միջոցով:

Այժմ եկեք մանրամասն նայենք, թե ինչպես կարելի է կառուցել նման կոր: Եկեք կառուցենք առանձին կետերի հիման վրա: Սա ամենատարածված մեթոդն է և կիրառելի է առաջադրանքների մեծ մասի համար: Ավելին բարդ օրինակներպահանջվում է դիֆերենցիալ հաշվարկ՝ պարամետրորեն սահմանված ֆունկցիան բացահայտելու համար:

Մենք ունենք x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t:

Այս գործառույթները սահմանվում են t-ի բոլոր իրական արժեքների համար: Sin-ի և cos-ի համար հայտնի է, որ դրանք պարբերական են և նրանց շրջանը 2 փի է։ Հաշվարկելով ֆունկցիաների արժեքները x = φ (t) = 3 cos 3 t, y = ψ (t) = 2 sin 3 t որոշ t = t 0 ∈ 0; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8, մենք ստանում ենք միավոր x 0; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .

Կազմենք ընդհանուր արժեքների աղյուսակ.

t 0	0	π 8	π 4	3 պ 8	π 2	5 պ 8	3 պ 4	7 պ 8	π
x 0 = φ (t 0)	3	2 . 36	1 . 06	0 . 16	0	- 0 . 16	- 1 . 06	- 2 . 36	- 3
y 0 = ψ (t 0)	0	0 . 11	0 . 70	1 . 57	2	1 . 57	0 . 70	0 . 11	0

t 0	9 պ 8	5 պ 4	11 պ 8	3 π 2	13 պ 8	7 պ 4	15 պ 8	2պ
x 0 = φ (t 0)	- 2 . 36	- 1 . 06	- 0 . 16	0	0 . 16	1 . 06	2 . 36	3
y 0 = ψ (t 0)	- 0 . 11	- 0 . 70	- 1 . 57	- 2	- 1 . 57	- 0 . 70	- 0 . 11	0

Դրանից հետո ինքնաթիռի վրա նշեք պահանջվող կետերը և միացրեք դրանք մեկ տողով։

Այժմ մենք պետք է գտնենք գործչի այն հատվածի տարածքը, որը գտնվում է առաջին կոորդինատային եռամսյակում: Դրա համար x ∈ a; b = 0; 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Եթե k-ը հավասար է 0-ի, ապա մենք ստանում ենք β միջակայքը; α = 0; π 2 , իսկ x = φ (t) = 3 cos 3 t ֆունկցիան դրա վրա միապաղաղ կնվազի։ Այժմ մենք վերցնում ենք տարածքի բանաձևը և հաշվարկում.

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t · 3 cos 3 t "d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t · (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

Մենք ստացել ենք որոշակի ինտեգրալներ, որոնք կարելի է հաշվարկել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևով։ Այս բանաձևի հակաածանցյալները կարելի է գտնել օգտագործելով J n (x) = - cos x · sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , որտեղ J n (x) = ∫ մեղք n x d x.

∫ sin 4 t d t = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t · sin 3 t 4 + 3 4 - cos t · sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t · sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

Մենք հաշվարկել ենք գործչի քառորդ մակերեսը։ Այն հավասար է 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16։

Եթե այս արժեքը բազմապատկենք 4-ով, ապա կստանանք ամբողջ գործչի մակերեսը՝ 9 π 4:

Ճիշտ նույն կերպ, մենք կարող ենք ապացուցել, որ ասրոիդի տարածքը, որը տրված է x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t հավասարումներով, կարելի է գտնել S a stroid = 3 πa 2 8 բանաձևով: և նկարի տարածքը, որը սահմանափակվում է x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t տողով, հաշվարկվում է S = 3 πab 8 բանաձևով:

Եթե տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Եկեք գտնենք մարմնի ծավալը, որն առաջանում է ցիկլոիդ կամարի պտտման արդյունքում նրա հիմքի շուրջ: Ռոբերվալը գտել է այն՝ կոտրելով ստացված ձվաձեւ մարմինը (նկ. 5.1) անսահման բարակ շերտերի, այդ շերտերի մեջ գլաններ գրելով և դրանց ծավալներն ավելացնելով։ Ապացույցը երկար էր, հոգնեցուցիչ և ոչ ամբողջովին խիստ: Հետևաբար, այն հաշվարկելու համար մենք դիմում ենք բարձրագույն մաթեմատիկա. Եկեք պարամետրորեն սահմանենք ցիկլոիդի հավասարումը:

Ինտեգրալ հաշվարկում ծավալներն ուսումնասիրելիս օգտագործվում է հետևյալ դիտողությունը.

Եթե կորագիծը սահմանափակող կորը տրված է պարամետրային հավասարումներով, և այդ հավասարումների ֆունկցիաները բավարարում են որոշակի ինտեգրալում փոփոխական թեորեմի փոփոխության պայմանները, ապա ծավալը. հեղափոխության մարմինները Trapezoid Ox առանցքի շուրջ, կհաշվարկվի բանաձևով.

Եկեք օգտագործենք այս բանաձեւը՝ մեզ անհրաժեշտ ծավալը գտնելու համար։

Նույն կերպ մենք հաշվարկում ենք այս մարմնի մակերեսը։

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - ծախս), 0 ? t ? 2р)

Ինտեգրալ հաշվարկում կա հետևյալ բանաձևըգտնել պտտվող մարմնի մակերեսի մակերեսը կորի x առանցքի շուրջ, որը նշված է հատվածի վրա պարամետրորեն (t 0 ?t ?t 1).

Կիրառելով այս բանաձևը մեր ցիկլոիդ հավասարման վրա՝ մենք ստանում ենք.

Դիտարկենք նաև մեկ այլ մակերես, որը առաջացել է ցիկլոիդ աղեղի պտույտի հետևանքով։ Դա անելու համար մենք կկառուցենք ցիկլոիդ կամարի հայելային պատկերը նրա հիմքի համեմատ, և մենք կպտտենք ցիկլոիդից ձևավորված ձվաձև պատկերը և դրա արտացոլումը KT առանցքի շուրջ (նկ. 5.2):

Նախ գտնենք մարմնի ծավալը, որը առաջացել է ԿՏ առանցքի շուրջ ցիկլոիդ կամարի պտույտից։ Մենք հաշվարկելու ենք դրա ծավալը՝ օգտագործելով բանաձևը (*):

Այսպիսով, մենք հաշվարկեցինք այս շաղգամի տեսք ունեցող մարմնի կեսի ծավալը։ Այնուհետև ամբողջ ծավալը հավասար կլինի

մասին դասերում հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարումըԵվ ուղիղ գծի հավասարումներ տարածության մեջ.

Հանդիպեք հին ընկերոջը.

Կորագիծ տրապիզոիդը հպարտորեն պսակված է գրաֆիկով, և, ինչպես գիտեք, այն տարածքը հաշվարկվում է որոշակի ինտեգրալովըստ տարրական բանաձեւի կամ, կարճ ասած՝ .

Դիտարկենք իրավիճակը, երբ նույն գործառույթըտրված է պարամետրային ձևով.

Ինչպե՞ս գտնել տարածքը այս դեպքում:

Որոշ ժամանակ բավականին կոնկրետպարամետրի արժեքը, պարամետրային հավասարումները կորոշեն կետի կոորդինատները, իսկ մյուսի համար բավականին կոնկրետարժեքը - կետի կոորդինատները: Երբ «te»-ն փոխվում է ներառականի, պարամետրային հավասարումները «գծում» են կորը: Կարծում եմ՝ ամեն ինչ պարզ է դարձել ինտեգրման սահմանների վերաբերյալ։ Այժմ ինտեգրալում փոխարեն«X» և «Y» մենք փոխարինում ենք ֆունկցիաները և բացում դիֆերենցիալը.

Նշում ենթադրվում է, որ գործառույթները շարունակականինտեգրման միջակայքի և, ի լրումն, ֆունկցիայի վրա միապաղաղՆրա վրա։

Պտտման մարմնի ծավալի բանաձևը նույնքան պարզ է.

Մարմնի ծավալը, որը ստացվում է առանցքի շուրջը պտտելով կոր trapezoid, հաշվարկվում է բանաձևով. կամ: . Մենք դրա մեջ փոխարինում ենք պարամետրային ֆունկցիաները, ինչպես նաև ինտեգրման սահմանները.

Խնդրում ենք երկու աշխատանքային բանաձևերը գրանցել ձեր տեղեկագրքում:

Ըստ իմ դիտարկումների, ծավալը գտնելու հետ կապված խնդիրները բավականին հազվադեպ են, և, հետևաբար, այս դասի օրինակների մի զգալի մասը նվիրված կլինի տարածք գտնելուն: Եկեք չհետաձգենք ամեն ինչ երկար ժամանակով.

Օրինակ 1

Հաշվեք կոր տրապիզոնի մակերեսը , Եթե

ԼուծումՕգտագործեք բանաձևը .

Դասական խնդիր մի թեմայի շուրջ, որը հասկանալի է միշտ և ամենուր.

Օրինակ 2

Հաշվիր էլիպսի մակերեսը

ԼուծումՈրոշակիության համար մենք ենթադրում ենք, որ պարամետրային հավասարումները սահմանում են կանոնական էլիպսկենտրոնը՝ սկզբնամասում, «a» կիսամեծ առանցքը և «be» կիսափոքր առանցքը։ Այսինքն՝ պայմանի համաձայն, մեզ ոչ ավելին են առաջարկում

գտնել էլիպսի տարածքը

Ակնհայտ է, որ պարամետրային ֆունկցիաները պարբերական են, և . Թվում է, թե դուք կարող եք լիցքավորել բանաձևը, բայց ամեն ինչ այնքան էլ թափանցիկ չէ: Եկեք պարզենք ուղղությունը, որոնցում պարամետրային հավասարումները «գծում են» էլիպս։ Որպես ուղեցույց, մենք կգտնենք մի քանի կետեր, որոնք համապատասխանում են առավելագույնին պարզ արժեքներպարամետր:

Հեշտ է հասկանալ, որ երբ «te» պարամետրը զրոյից փոխվում է «երկու pi», պարամետրային հավասարումները «գծում են» էլիպս։ ժամացույցի հակառակ ուղղությամբ:

Նկարի համաչափության շնորհիվ մենք հաշվարկում ենք տարածքի մասը 1-ին կոորդինատային քառորդում և արդյունքը բազմապատկում ենք 4-ով: Այստեղ մենք սկզբունքորեն տեսնում ենք նույն պատկերը, որը ես մեկնաբանեցի հենց վերևում. պարամետրային հավասարումները «գծում են» աղեղը: առանցքի «հակառակ ուղղությամբ» էլիպսի, բայց տարածքի թվերը հաշվվում են ձախից աջ: Ահա թե ինչու ավելի ցածրինտեգրման սահմանը համապատասխանում է արժեքին, և գագաթսահման - արժեք.

Ինչպես արդեն խորհուրդ տվեցի դասում Տարածքը բևեռային կոորդինատներում, քառապատկել արդյունքն ավելի լավ է Միանգամից:

Ինտեգրալը (եթե ինչ-որ մեկը հանկարծ հայտնաբերեր նման անհավանական բացը) վերլուծվել է դասարանում Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալներ.

Պատասխանել:

Ըստ էության, մենք ստացել ենք տարածքը գտնելու բանաձևը էլիպս. Եվ եթե գործնականում հանդիպում եք «ա» և «լինել» հատուկ արժեքներով առաջադրանքի, ապա հեշտությամբ կարող եք կատարել հաշտեցում/ստուգում, քանի որ խնդիրը լուծվում է ընդհանուր ձևով:

Էլիպսի մակերեսը հաշվարկվում է նաև ուղղանկյուն կոորդինատներով, դրա համար անհրաժեշտ է հավասարումից արտահայտել «y» և խնդիրը լուծել ճիշտ այնպես, ինչպես հոդվածի 4-րդ օրինակում։ Որոշակի ինտեգրալների լուծման արդյունավետ մեթոդներ. Համոզվեք, որ նայեք այս օրինակին և համեմատեք, թե որքան ավելի հեշտ է հաշվարկել էլիպսի տարածքը, եթե այն սահմանված է պարամետրականորեն:

Եվ, իհարկե, գրեթե մոռացել էի, պարամետրային հավասարումները կարող են սահմանել շրջան կամ էլիպս ոչ կանոնական դիրքում։

Օրինակ 3

Հաշվե՛ք ցիկլոիդի մեկ աղեղի մակերեսը

Խնդիրը լուծելու համար պետք է իմանալ, թե դա ինչ է ցիկլոիդկամ գոնե զուտ ձեւականորեն լրացնել գծագիրը: Դիզայնի նմուշ դասի վերջում: Այնուամենայնիվ, ես ձեզ հեռու չեմ ուղարկի, դուք կարող եք դիտել այս տողի գրաֆիկը հետևյալ խնդրի մեջ.

Օրինակ 4

Լուծումպարամետրային հավասարումներ սահմանել ցիկլոիդ, և սահմանափակումը ցույց է տալիս այն փաստը, որ մենք խոսում ենք դրա մասին առաջին կամար, որը «գծվում է», երբ պարամետրի արժեքը փոխվում է . Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ահա այս «գծագրի» «ճիշտ» ուղղությունը (ձախից աջ), ինչը նշանակում է, որ ինտեգրման սահմանների հետ կապված խնդիրներ չեն լինի: Բայց մի փունջ այլ զով բաներ կհայտնվեն =) Հավասարումը սահմանվում է ուղիղ, x-առանցքին զուգահեռ և լրացուցիչ պայման (սմ. գծային անհավասարություններ) ասում է մեզ, որ մենք պետք է հաշվարկենք հետևյալ նկարի մակերեսը.

Ցանկալի ստվերավորված կերպարը ասոցիատիվ կանվանեմ «տան տանիք», ուղղանկյունը՝ «տան պատ», իսկ ամբողջ կառույցը (պատ + տանիք)՝ «տան ճակատ»։ Չնայած այս շենքն ավելի շատ նման է կովերի տնակի =)

«Տանիքի» տարածքը գտնելու համար անհրաժեշտ է հանել «պատի» տարածքը «ֆասադի» տարածքից:

Նախ, եկեք զբաղվենք «ֆասադով». Դրա տարածքը գտնելու համար անհրաժեշտ է պարզել այն արժեքները, որոնք նշում են գծի հատման կետերը ցիկլոիդի առաջին աղեղով (կետեր և ): Պարամետրային հավասարման մեջ փոխարինենք.

Եռանկյունաչափական հավասարումը կարելի է հեշտությամբ լուծել՝ պարզապես նայելով կոսինուսի հողամասինտերվալի վրա հավասարությունը բավարարվում է երկու արմատով. Սկզբունքորեն, ամեն ինչ պարզ է, բայց, այնուամենայնիվ, եկեք ապահով խաղանք և դրանք փոխարինենք հավասարման մեջ.

- սա կետի «X» կոորդինատն է.

- և սա կետի «X» կոորդինատն է:

Այսպիսով, մենք համոզված ենք, որ պարամետրի արժեքը համապատասխանում է կետին, իսկ արժեքը՝ կետին:

Եկեք հաշվարկենք «ֆասադի» տարածքը. Ավելի կոմպակտ նշման համար ֆունկցիան հաճախ տարբերվում է ինտեգրալից անմիջապես ներքև.

«Պատի» տարածքը կարելի է հաշվարկել «դպրոցական» մեթոդով` բազմապատկելով ուղղանկյունի հարակից կողմերի երկարությունները: Երկարությունն ակնհայտ է, մնում է գտնել այն։ Այն հաշվարկվում է որպես «tse» և «be» կետերի «X» կոորդինատների տարբերություն (գտնվել է ավելի վաղ).

Պատի տարածքը.

Իհարկե, ամոթ չկա այն գտնել նույնիսկ ամենապարզների օգնությամբ որոշակի ինտեգրալհատվածի ֆունկցիայից.

Արդյունքում տանիքի մակերեսը հետևյալն է.

Պատասխանել:

Եվ, իհարկե, եթե գծագիր ունենք, տուփ առ տուփ գնահատում ենք, թե արդյոք ստացված արդյունքը նման է ճշմարտությանը։ Նմանատիպ

Հաջորդ առաջադրանքը համար անկախ որոշում:

Օրինակ 5

Հաշվե՛ք հավասարումներով տրված գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը

Եկեք համառոտ համակարգենք լուծման ալգորիթմը.

– Շատ դեպքերում դուք ստիպված կլինեք նկարել և որոշել այն գործիչը, որի տարածքը ցանկանում եք գտնել:

– Երկրորդ քայլում դուք պետք է հասկանաք, թե ինչպես է հաշվարկվում պահանջվող տարածքը. դա կարող է լինել մեկ կոր trapezoid, կարող է լինել տարածքների տարբերություն, դա կարող է լինել տարածքների գումար, մի խոսքով, բոլոր այն չիպերը, որոնք մենք նայեցինք: դասին.

Երրորդ քայլում մենք պետք է վերլուծենք, թե արդյոք նպատակահարմար է օգտագործել նկարի համաչափությունը (եթե այն սիմետրիկ է), այնուհետև պարզել ինտեգրման սահմանները (պարամետրի սկզբնական և վերջնական արժեքը): Սովորաբար դա պահանջում է լուծել պարզ եռանկյունաչափական հավասարում - այստեղ դուք կարող եք օգտագործել վերլուծական մեթոդ, գրաֆիկական մեթոդ կամ անհրաժեշտ արմատների պարզ ընտրություն՝ ըստ եռանկյունաչափական աղյուսակ.

! Մի մոռացեքոր պարամետրային հավասարումները կարող են «գծել» աջից ձախ, այս դեպքում մենք կատարում ենք համապատասխան վերապահում և փոփոխություն աշխատանքային բանաձևում։

– Իսկ վերջնական փուլում կատարվում են տեխնիկական հաշվարկներ։ Միշտ հաճելի է գնահատել գծանկարից ստացված պատասխանի արժանահավատությունը։

Իսկ հիմա աստղի հետ երկար սպասված հանդիպումը.

Օրինակ 6

Հաշվե՛ք հավասարումներով տրված գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը

ԼուծումՀավասարումներով տրված կորն է աստրոիդ, Եվ գծային անհավասարությունեզակիորեն նույնականացնում է գծագրության ստվերավորված գործիչը.

Եկեք գտնենք պարամետրի արժեքները, որոնք որոշում են գծի և ասրոիդի հատման կետերը: Դա անելու համար եկեք փոխարինենք պարամետրային հավասարման մեջ.

Նման հավասարման լուծման մեթոդներն արդեն վերը նշված են, մասնավորապես, այս արմատները հեշտությամբ կարելի է ընտրել՝ եռանկյունաչափական աղյուսակ.

Նկարը սիմետրիկ է x առանցքի նկատմամբ, ուստի եկեք հաշվարկենք տարածքի վերին կեսը (կապույտ ստվերում) և կրկնապատկենք արդյունքը։

Փոխարինենք արժեքը պարամետրային հավասարման մեջ.
Արդյունքում մենք ստացանք ասրոիդի և ուղիղ գծի վերին (մեզ անհրաժեշտ) հատման կետի «հունական» կոորդինատը։

Ասրոիդի աջ գագաթն ակնհայտորեն համապատասխանում է արժեքին: Եկեք ստուգենք ամեն դեպքում.
, ինչն էր պետք ստուգել։

Ինչպես էլիպսի դեպքում, պարամետրային հավասարումները «գծում են» ասրոիդի աղեղը աջից ձախ: Բազմազանության համար վերջավորությունը կձևավորեմ երկրորդ ձևով. երբ պարամետրը փոխվում է սահմաններում, ֆունկցիան նվազում է, հետևաբար (մի մոռացեք կրկնապատկել!!):

Ինտեգրալը բավականին ծանրաբեռնված էր, և որպեսզի «ամեն ինչ ձեզ հետ չտանեք», ավելի լավ է ընդհատեք լուծումը և փոխակերպեք ինտեգրանդը առանձին: Ստանդարտ իջեցնել աստիճանըօգտագործելով եռանկյունաչափական բանաձևեր:

Հարմար է, վերջին ժամկետում ֆունկցիան դնենք դիֆերենցիալ նշանի տակ:

Պատասխանել:

Այո, աստղերի հետ մի փոքր դժվար է =)

Հետևյալ առաջադրանքը նախատեսված է առաջադեմ ուսանողների համար.

Օրինակ 7

Հաշվե՛ք հավասարումներով տրված գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը

Այն լուծելու համար այն նյութերը, որոնք մենք արդեն վերանայել ենք, բավարար կլինեն, բայց սովորական ճանապարհը շատ երկար է, և հիմա ես ձեզ կասեմ մեկ այլ արդյունավետ մեթոդի մասին: Գաղափարն իրականում ծանոթ է դասից Տարածքի հաշվարկը որոշակի ինտեգրալի միջոցով– սա «y» փոփոխականի ինտեգրումն է և բանաձևի օգտագործումը . Դրա մեջ պարամետրային ֆունկցիաները փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք հայելային աշխատանքային բանաձև.

Իսկապես, ինչո՞ւ է այն ավելի վատ, քան «ստանդարտը»։ Սա պարամետրային ձևի ևս մեկ առավելություն է՝ հավասարումը ի վիճակի է խաղալ ոչ միայն «սովորականի», այլ միաժամանակԵվ հակադարձ ֆունկցիա.

IN այս դեպքումենթադրվում է, որ գործառույթները շարունակականինտեգրման միջակայքի և ֆունկցիայի վրա միապաղաղՆրա վրա։ Ընդ որում, եթե նվազում էինտեգրման միջակայքի վրա (պարամետրային հավասարումները «գծում են» գրաֆիկը «հակառակ ուղղությամբ» (ուշադրություն!!) առանցք), այնուհետև օգտագործելով արդեն քննարկված տեխնոլոգիան, դուք պետք է վերադասավորեք ինտեգրման սահմանները կամ սկզբում «մինուս» դնեք ինտեգրալի դիմաց:

Թիվ 7 օրինակի լուծումն ու պատասխանը՝ դասի վերջում։

Վերջնական մինի հատվածը նվիրված է ավելի հազվադեպ խնդրին.

Ինչպես գտնել պտտվող մարմնի ծավալը,
եթե ցուցանիշը սահմանափակված է պարամետրականորեն սահմանված տողով.

Թարմացնենք դասի սկզբում ստացված բանաձևը. . Ընդհանուր լուծման մեթոդը ճիշտ նույնն է, ինչ տարածքը գտնելու համար: Ես կհանեմ մի քանի առաջադրանք իմ խոզուկ բանկից:

Դիտարկենք ստացված բանաձևի կիրառման օրինակներ, որոնք թույլ են տալիս հաշվարկել պարամետրականորեն նշված գծերով սահմանափակված թվերի տարածքները:

Օրինակ.

Հաշվիր այն գործչի մակերեսը, որը սահմանափակված է մի ուղիղով, որի պարամետրային հավասարումները ունեն ձևը.

Լուծում.

Մեր օրինակում պարամետրականորեն սահմանված գիծը 2 և 3 միավորների կիսաառանցքներով էլիպս է։ Եկեք կառուցենք այն:

Եկեք գտնենք տարածքըԷլիպսի քառորդը, որը գտնվում է առաջին քառորդում: Այս տարածքը ընկած է միջակայքում . Մենք հաշվարկում ենք ամբողջ գործչի տարածքը՝ ստացված արժեքը չորսով բազմապատկելով։

Ինչ ունենք.

Համար k = 0 մենք ստանում ենք միջակայքը . Այս միջակայքում ֆունկցիան միապաղաղ նվազում (տես բաժինը): Մենք կիրառում ենք բանաձևը՝ մակերեսը հաշվարկելու և որոշյալ ինտեգրալը գտնելու համար՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

Այսպիսով, բնօրինակ գործչի մակերեսը հավասար է .

Մեկնաբանություն.

Տրամաբանական հարց է ծագում՝ ինչո՞ւ վերցրեցինք էլիպսի քառորդ մասը, ոչ թե կեսը։ Հնարավոր էր տեսնել գործչի վերին (կամ ստորին) կեսը: Նա գտնվում է միջակայքում . Այս դեպքում մենք կստանանք

Այսինքն, k = 0-ի համար մենք ստանում ենք միջակայքը: Այս միջակայքում ֆունկցիան միապաղաղ նվազում:

Այնուհետև հայտնաբերվում է էլիպսի կեսի մակերեսը

Բայց դուք չեք կարողանա վերցնել էլիպսի աջ կամ ձախ կեսը:

Էլիպսի պարամետրային պատկերը, որը կենտրոնացած է սկզբնաղբյուրի և a և b կիսաառանցքների վրա, ունի ձև: Եթե մենք գործենք այնպես, ինչպես վերլուծված օրինակում, կստանանք էլիպսի մակերեսը հաշվարկելու բանաձև .

R շառավղի սկզբում կենտրոն ունեցող շրջանագիծը նշվում է t պարամետրով հավասարումների համակարգով: Եթե դուք օգտագործում եք ստացված բանաձևը էլիպսի տարածքի համար, կարող եք անմիջապես գրել շրջանագծի տարածքը գտնելու բանաձևըշառավիղ R:

Եկեք ևս մեկ օրինակ լուծենք.

Օրինակ.

Հաշվեք պարամետրականորեն նշված կորով սահմանափակված գործչի մակերեսը:

Լուծում.

Մի փոքր առաջ նայելով՝ կորը «երկարացված» աստրոիդ է։ (Աստրոիդն ունի հետևյալ պարամետրային ներկայացումը).

Եկեք մանրամասն անդրադառնանք այն կորի կառուցմանը, որը սահմանում է գործիչը: Մենք այն կկառուցենք կետ առ կետ: Որպես կանոն, նման շինարարությունը բավարար է խնդիրների մեծ մասը լուծելու համար: Ավելի բարդ դեպքերում, անկասկած, կպահանջվի մանրամասն պարամետրային ուսումնասիրություն: տրված գործառույթըօգտագործելով դիֆերենցիալ հաշվարկ:

Մեր օրինակում.

Այս ֆունկցիաները սահմանվում են t պարամետրի բոլոր իրական արժեքների համար, և սինուսի և կոսինուսի հատկություններից մենք գիտենք, որ դրանք պարբերական են երկու pi պարբերությամբ: Այսպիսով, որոշների համար ֆունկցիայի արժեքների հաշվարկը (Օրինակ ), մենք ստանում ենք միավորների մի շարք .

Հարմարության համար եկեք արժեքները դնենք աղյուսակում.

Մենք հարթության վրա նշում ենք կետերը և ԱՆՀԵՏՈՂԱԿԱՆ կապում գծով։

Եկեք հաշվարկենք տարածաշրջանի տարածքը, որը գտնվում է առաջին կոորդինատային քառորդում: Այս տարածքի համար .

ժամը k=0 ստանում ենք միջակայքը , որի վրա ֆունկցիան միապաղաղ նվազում է. Տարածքը գտնելու համար մենք կիրառում ենք բանաձևը.

Մենք հաշվարկում ենք ստացված որոշակի ինտեգրալները՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը և գտնում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի հակաածանցյալները՝ օգտագործելով ձևի կրկնվող բանաձևը: , Որտեղ .

Հետևաբար, եռամսյակի գործչի մակերեսը կազմում է , ապա ամբողջ գործչի մակերեսը հավասար է.

Նմանապես, կարելի է ցույց տալ, որ astroid տարածքգտնվում է որպես , իսկ գծով սահմանափակված գործչի մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով.

Նախքան հեղափոխության մակերևույթի տարածքի բանաձևերին անցնելը, մենք կտանք հեղափոխության մակերեսի համառոտ ձևակերպումը: Հեղափոխության մակերեսը, կամ, նույնը, շրջադարձային մարմնի մակերեսը տարածական պատկեր է, որը ձևավորվում է հատվածի պտույտից: ԱԲկոր առանցքի շուրջը Եզ(ստորև նկարը):

Պատկերացնենք կոր trapezoid վերևից սահմանափակված կորի նշված հատվածով։ Մարմին, որը ձևավորվում է այս trapezoid-ը նույն առանցքի շուրջ պտտելով Եզ, և հեղափոխության մարմին է։ Իսկ հեղափոխության մակերևույթի կամ պտույտի մարմնի մակերեսը նրա արտաքին թաղանթն է՝ չհաշված ուղիղ գծերի առանցքի շուրջ պտտվելուց առաջացած շրջանակները։ x = աԵվ x = բ .

Նկատի ունեցեք, որ պտտվող մարմինը և, համապատասխանաբար, դրա մակերեսը նույնպես կարող են ձևավորվել՝ պտտելով պատկերը առանցքի շուրջը Եզ, և առանցքի շուրջը Օյ.

Ուղղանկյուն կոորդինատներով նշված հեղափոխության մակերեսի մակերեսի հաշվարկ

Ուղղանկյուն կոորդինատները հարթության վրա թողնենք հավասարումը y = զ(x) տրված է կոր, որի պտույտը շուրջը կոորդինատային առանցքձևավորվում է պտտման մարմին.

Հեղափոխության մակերեսը հաշվարկելու բանաձևը հետևյալն է.

(1).

Օրինակ 1.Գտեք պարաբոլոիդի մակերեսը, որը ձևավորվում է նրա առանցքի շուրջ պտտվելուց Եզփոփոխությանը համապատասխան պարաբոլայի աղեղ x-ից x= 0-ից x = ա .

Լուծում. Եկեք հստակ արտահայտենք այն ֆունկցիան, որը սահմանում է պարաբոլայի աղեղը.

Գտնենք այս ֆունկցիայի ածանցյալը.

Նախքան հեղափոխության մակերևույթի մակերեսը գտնելու բանաձևն օգտագործելը, եկեք գրենք դրա ինտեգրման այն մասը, որը ներկայացնում է արմատը և փոխարինենք այն ածանցյալին, որը մենք նոր գտանք այնտեղ.

Պատասխան՝ կորի աղեղի երկարությունն է

Օրինակ 2.Գտե՛ք առանցքի շուրջը պտտվելուց առաջացած մակերեսը Եզաստրոիդ.

Լուծում. Բավական է հաշվարկել առաջին քառորդում գտնվող ասրոիդի մեկ ճյուղի պտույտի արդյունքում առաջացած մակերեսը և այն բազմապատկել 2-ով: Ասրոիդների հավասարումից մենք հստակորեն արտահայտելու ենք այն ֆունկցիան, որը մեզ պետք է փոխարինել: պտտման մակերեսը գտնելու բանաձևը.

Մենք ինտեգրվում ենք 0-ից մինչև ա:

Պարամետրականորեն նշված հեղափոխության մակերեսի մակերեսի հաշվարկը

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ հեղափոխության մակերեսը կազմող կորը տրված է պարամետրային հավասարումներով

Այնուհետև պտտման մակերեսը հաշվարկվում է բանաձևով

(2).

Օրինակ 3.Գտեք առանցքի շուրջ պտտման արդյունքում ձևավորված հեղափոխության մակերեսի տարածքը Օյպատկեր, որը սահմանափակված է ցիկլոիդով և ուղիղ գծով y = ա. Ցիկլոիդը տրվում է պարամետրային հավասարումներով