Ֆիգուրների մակերեսների հաշվարկ ինտեգրալների միջոցով: Դասի թեման՝ «Հարվածային թվերի մակերեսների հաշվարկը որոշակի ինտեգրալի միջոցով» Համառոտ տեսական տեղեկատվություն.

Բանավոր աշխատանք 1. Օգտագործելով ինտեգրալը, արտահայտի՛ր նկարներում ներկայացված պատկերների մակերեսները.

2. Հաշվիր ինտեգրալները.

Գտեք նկարի մակերեսը.

5) 1/3; ln2 ;√2

Մի փոքր պատմություն

«Ինտեգրալը» հորինել է Յակոբ Բեռնուլի(1690)

«վերականգնել» լատիներեն integro-ից

«ամբողջ» լատիներեն ամբողջ թվից

«Պարզունակ գործառույթ»

լատիներենից

պրիմիտիվուս- սկզբնական,

Ժոզեֆ Լուի Լագրանժ

Անբաժանելի է անտիկ ժամանակներում

Ինտեգրալների հաշվարկման առաջին հայտնի մեթոդն է Eudoxus հյուծման մեթոդ (մոտավորապես 370 մ.թ.ա մ.թ.ա.), ովքեր փորձել են գտնել տարածքներ և ծավալներ՝ դրանք բաժանելով անսահման թվով մասերի, որոնց տարածքը կամ ծավալն արդեն հայտնի էր։

Այս մեթոդը վերցվել և մշակվել է Արքիմեդ , և օգտագործվել է պարաբոլների մակերեսները հաշվարկելու և շրջանագծի մակերեսը մոտավորելու համար։

Եվդոքսոս Կնիդոսացին

Իսահակ Նյուտոն (1643-1727)

Դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի առավել ամբողջական ներկայացումը պարունակվում է

Փոփոխականներ - սահուն (հակածանցյալ կամ անորոշ ինտեգրալ)

Ֆլյուենտի փոփոխության արագություն - հոսք (ածանցյալ)

Լայբնից Գոթֆրիդ Վիլհելմ (1646-1716)

• վերջում առաջին անգամ օգտագործեց Լայբնիցը

Խորհրդանիշը ձևավորվել է տառից

S - բառերի հապավումներ

ամփոփում(գումար)

Գծագրերում ստվերավորված պատկերների մակերեսները հաշվարկելու բանաձևեր

Հարթ գործչի մակերեսը հաշվարկելու ալգորիթմ :

• Ըստ առաջադրանքի պայմանների՝ կատարել սխեմատիկ գծանկար։
• Ներկայացրե՛ք պահանջվող ֆունկցիան որպես կորագիծ մակերեսների գումար կամ տարբերություն trapezoid, ընտրեք համապատասխան բանաձեւը:
• Գտեք ինտեգրման սահմանները (ա և բ) խնդրի կամ գծագրի պայմաններից, եթե դրանք նշված չեն.
• Հաշվեք յուրաքանչյուր կորի տրապիզոնի տարածքը և ցանկալի գործչի մակերեսը:

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔ

Որոշվեց դպրոցի շենքի դիմաց ծաղկե մահճակալ տնկել։ Բայց ծաղկանոցի ձևը չպետք է լինի կլոր, քառակուսի կամ ուղղանկյուն: Այն պետք է պարունակի ուղիղ և կոր գծեր: Թող դա լինի տողերով սահմանափակված հարթ գործիչ

Y = 4/X + 2; X = 4; Y = 6:

Եկեք հաշվարկենք ստացված գործչի տարածքը բանաձևով.

Որտեղ f(x)= 6 , Ա g(x)=4/x +2

Քանի որ յուրաքանչյուրի համար քառակուսի մետրՎճարվում է 50 ռուբլի, ապա եկամուտը կլինի.

6.4 * 50 = 320 (ռուբ.):

Տնային աշխատանք.

Գործնական աշխատանք թեմայի շուրջ՝ «Տարածքների հաշվարկ հարթ գործիչներօգտագործելով որոշակի ինտեգրալ»

Աշխատանքի նպատակը. տիրապետել որոշակի ինտեգրալի միջոցով կորագիծ հարթության գործչի մակերեսը հաշվարկելու հետ կապված խնդիրներ լուծելու կարողությանը:

Սարքավորումներ: ուղեցույց, ինտեգրալների աղյուսակ, դասախոսական նյութ՝ «Հստակ ինտեգրալ. Երկրաչափական իմաստորոշակի ինտեգրալ»:

Ուղեցույցներ:

1) Դասախոսության նյութերի ուսումնասիրություն՝ «Հստակ ինտեգրալ. Որոշակի ինտեգրալի երկրաչափական իմաստը»:

Համառոտ տեսական տեղեկատվություն

Ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալհատվածի վրա - սա սահմանն է, դեպի

դեպի որին ինտեգրալ գումարը ձգտում է, քանի որ ամենամեծ մասնակի հատվածի երկարությունը ձգտում է զրոյի:

Ինտեգրման ստորին սահմանը ինտեգրման վերին սահմանն է:

Որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու համար օգտագործեք Նյուտոնի բանաձևը -

Լայբնից.

Որոշակի ինտեգրալի երկրաչափական նշանակությունը. Եթե ​​միացված է

հատված ֆունկցիան ոչ բացասական է, այնուհետև՝ թվային մակերեսին հավասարկոր trapezoid:

Curvilinear trapezoid - գործիչ, որը սահմանափակվում է ֆունկցիայի գրաֆիկով

Աբսցիսայի առանցք և ուղիղ գծեր, .

Մեջ հարթ ֆիգուրների դասավորության տարբեր դեպքեր կոորդինատային հարթություն:

Եթե ​​հիմքով կոր trapezoid-ը սահմանափակված է կորի տակ , ապա համաչափության նկատառումներից պարզ է դառնում, որ գործչի մակերեսը հավասար է կամ.

Եթե ​​գործիչը սահմանափակված է կորով, որն ընդունում է և՛ դրական, և՛ բացասական արժեքներ . Այս դեպքում, ցանկալի գործչի տարածքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է այն բաժանել մասերի, ապա.

Եթե ​​հարթ պատկերը սահմանափակված է երկու կորերով և , ապա դրա մակերեսը կարելի է գտնել՝ օգտագործելով երկու կորագիծ տրապիզոիդների տարածքները՝ i.B այս դեպքումՑանկալի գործչի տարածքը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

Օրինակ. Հաշվեք գծերով սահմանափակված նկարի տարածքը.

Լուծում. 1) Կառուցեք պարաբոլա և ուղիղ գիծ կոորդինատային հարթությունում (նկարում խնդրի համար):

2) Ընտրեք (ստվերում) այս տողերով սահմանափակված գործիչը:

Նկարչություն խնդրի համար

3) Գտե՛ք պարաբոլայի և ուղիղ գծի հատման կետերի աբսցիսան: Սրա համար մենք կորոշենք

համակարգը համեմատությամբ.

Նկարի մակերեսը մենք գտնում ենք որպես կորագիծ տրապիզոիդների տարածքների տարբերություն,

սահմանափակված է պարաբոլայով և ուղիղ գծով։

5) Պատասխանել.

Տրված տողերով սահմանափակված գործչի մակերեսը հաշվարկելու խնդրի լուծման ալգորիթմ.

Կառուցեք տրված գծերը մեկ կոորդինատային հարթությունում:

Ստվերեք այս գծերով սահմանափակված գործիչը:

Որոշե՛ք ինտեգրման սահմանները (գտե՛ք կորերի հատման կետերի աբսցիսան)։

Հաշվեք նկարի մակերեսը՝ ընտրելով պահանջվող բանաձևը։

Պատասխանը գրի՛ր։

2) Կատարեք հետևյալը առաջադրանք՝ ըստ տարբերակներից մեկի.

Զորավարժություններ. Հաշվեք գծերով սահմանափակված թվերի տարածքը (օգտագործեք ալգորիթմը նկարի տարածքը հաշվարկելու խնդիրը լուծելու համար).

Միացված է այս թեմանԵրեք դաս կա, այս դասը երկրորդն է։

Դասի նպատակները.

Համախմբել և խորացնել գիտելիքները որոշակի ինտեգրալի և դրա կիրառումը թվերի տարածքը գտնելու համար.

Փոխված և նոր ուսումնական իրավիճակներում գիտելիքների և գործողության մեթոդների կիրառման հմտությունների ձևավորում. - ուսանողների տեղեկատվական և հաղորդակցական մշակույթի զարգացում.

Խթանել ճանաչողական ակտիվությունը, թիմում աշխատելու կարողությունը, հաստատակամությունը և նպատակին հասնելը:

Դասի նպատակները.

Կրկնել հակաածանցյալներ գտնելու աղյուսակը և կանոնները, կորագիծ տրապիզոնի հայեցակարգը, կորագիծ տրապիզոնի տարածքը գտնելու ալգորիթմը. - կիրառել առկա գիտելիքներն ու հմտությունները հարթ թվերի տարածքները գտնելու համար:

Սովորողների աշխատանքի կազմակերպման ձեւերը՝ խմբային աշխատանք.

Օգտագործված սարքավորումներ և ծրագրեր. ինտերակտիվ գրատախտակ Smart Board, «Կենդանի մաթեմատիկա».

Օգտագործված ինտերակտիվ գրատախտակի ծրագրաշարի առանձնահատկությունները.

Գործառույթ – վարագույր.

Գործառույթ – օբյեկտի կլոնավորում.

Ֆունկցիա - օբյեկտ քաշել;

Գործառույթը՝ խելացի գրիչ։

Ներբեռնել:

Նախադիտում:

Դաս «Ինտեգրալների միջոցով թվերի տարածքների հաշվարկը» թեմայով

11-րդ դասարանում.

Դասի առաջընթաց.

1. Կազմակերպչական պահ ((Ստուգվում է դասին պատրաստվածությունը, հայտարարվում է դասի թեման և նպատակը, գրվում է ամսաթիվը):

Դասը ընթանում է կարգախոսի ներքո՝ Ասա ինձ, և ես կմոռանամ, Ցույց տուր ինձ և ես կհիշեմ, Թող ես գործեմ ինքնուրույն, և ես կսովորեմ:

Կոնֆուցիուս.

1. Նախկինում ձեռք բերված գիտելիքների թարմացման փուլ(Այս փուլի նպատակը. կրկնել հակաածանցյալներ գտնելու աղյուսակը և կանոնները, կորագիծ տրապիզոիդի հայեցակարգը, կորագիծ տրապիզոնի տարածքը գտնելու ալգորիթմը):

Ուսուցիչ: Նախորդ դասերին մենք ծանոթացանք հակաածանցյալ հասկացությանը, աղյուսակին և դրանց գտնելու կանոններին։

Հարց 1 Ի՞նչ է կոչվում y = f (x) ֆունկցիայի հակաածանցյալը որոշակի միջակայքում:Հարց 2 Ինչպե՞ս սահմանել բոլոր հակաածանցյալ ֆունկցիաները y = f (x), եթե F (x) դրանցից մեկն է:Հարց 3: Թվարկե՛ք հակաածանցյալներ գտնելու կանոնները: Ուսանողների պատասխանից հետո բացվում է 2-րդ սլայդը, վարագույրը հետ է շարժվում, որի հետևում թաքնված են ուսանողների հարցերը:Առաջադրանք 1 Գտեք նշված գործառույթների հակաածանցյալներից մեկը: (աշակերտները օգտագործում են քաշել և թողնել ֆունկցիան՝ ֆունկցիան և հակաածանցյալը համապատասխանեցնելու համար):Առաջադրանք 2 Նշված ֆունկցիայի համար գտեք հակաածանցյալներից մեկը, որի գծապատկերն անցնում է այս կետը. (Աշակերտները տեղում ինքնուրույն որոշում են. ուսանողներից մեկը ստուգում է պատասխանը՝ շարժելով էկրանը):

Ա) Գործառույթները՝ 2x 5 – 3x 2; 3 cos x – 4 sin x; 3e x + 5 x – 2; e 2x – cos3x; 1/x + 1/ մեղք 2 x – x.

Հակաածանցյալներ՝ ln |x| -ctg x – x 2/2; 1/2e 2x – 1/3 մեղք 3x; x 6 /3 – x 3; 3 մեղք x + 4 cos x; 3e x + 5 x /ln5.

Բ) f (x) = 2x + 3 ֆունկցիայի համար գտե՛ք հակաածանցյալ, որի գրաֆիկն անցնում է M կետով (1;2):

Հարց 4: Ո՞ր պատկերն է կոչվում կոր trapezoid:Առաջադրանք 3: Դուրս գրեք բացակայող պայմանը սլայդի վրա գրված սահմանման մեջ:Առաջադրանք 4: Գրի՛ր Նյուտոնի Լայբնից բանաձևը.

Առաջադրանք 5: Հաշվիր ինտեգրալը։ (Աշակերտները հաշվարկում են ինքնուրույն, որին հաջորդում է ստուգումը): Ա) x 2 – 2x) dx; բ)

Առաջադրանք 6: Հաշվեք y = 0, x = e, y = 1/x տողերով սահմանափակված նկարի մակերեսը: (Աշակերտները ինքնուրույն կատարում են առաջադրանքը, այնուհետև ստուգում են՝ բացելով գրատախտակի էկրանները):

1. Թեմայի շուրջ տարբեր առաջադրանքներ լուծելիս հմտությունների ձևավորման և կիրառման փուլը.Ձևերի մակերեսների հաշվարկ ինտեգրալների միջոցով»

1. Աշակերտները հիշում են տարածքների հատկությունները

և բերեք մի գործչի օրինակ, որի մակերեսը կարելի է հաշվարկել S = բանաձևովՀաշվեք y = 0, y = x տողերով սահմանափակված գործչի մակերեսը 2 – 4. (Մի աշակերտ ինտերակտիվ գրատախտակին լուծում գրելու համար օգտագործում է խելացի գրիչի ֆունկցիան):

2. Ուսանողները քննարկում ենy = x գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը հաշվարկելու պլան 2 – 6x +11 և y = x +1: Յուրաքանչյուր փուլ ուղեկցվում է վարագույրի բացմամբ։

1. Խմբային աշխատանք. Դասարանը նախապես բաժանված է խմբերի։ Երեք ուսանող աշխատում է գրատախտակում, իսկ մնացած ուսանողները տեղում աշխատում են երեք տարբերակով (խմբերը բաժանվում են ըստ տարբերակի).Հաշվեք գծերով սահմանափակված նկարի տարածքը.Տարբերակ 1 - y = (x – 3) 2 , y = 0, x = 1, x = 4. Տարբերակ 2 – y = x – 2, y = x 2 - 4x +2. Տարբերակ 3 – y = x, y = 5 – x, x =1, x = 2. Էկրանները բացելուց հետո ստուգեք:
2. Խմբային աշխատանք. Հաջորդ 8 սլայդներից յուրաքանչյուրի համար անհրաժեշտ է հաշվարկել նկարի մակերեսը: Խմբերում սովորողները ունեն գծագրերի տվյալների հավաքածու: Ուսանողները ընտրում են տարածքը գտնելու բանաձև: Բացվում է սլայդ, գծագրի աջ կողմում կան բանաձևեր, որոնց վրա կիրառվում է կլոնավորման ֆունկցիան։ Խմբերում քննարկելուց հետո խմբից մեկ ուսանող դուրս է գալիս և տեղափոխում ընտրված բանաձևը կամ գրում է իրենցը, եթե գրատախտակին չկա մեկը: Քննարկումը հետևյալն է՝ - Ինչո՞ւ ընտրվեց այս բանաձևը։ - Տվյալ գործչի մակերեսը գտնելու այլ եղանակներ կա՞ն: - Ո՞ր բանաձևն է առավել հարմար օգտագործելու համար:

Տնային աշխատանք.

Դասի ամփոփում. Աշակերտները պատասխանում են հարցերին. - Ի՞նչ արվեց դասին: -Ի՞նչ նորություն են սովորել դասին։ - Ինչպե՞ս էին նրանք աշխատում այս խմբում:

1125 Հարթության թվերի մակերեսների հաշվարկ՝ կիրառելով ինտեգրալ ուղեցույցներ իրականացման համար ինքնուրույն աշխատանքմաթեմատիկա առարկայից բաց միջնակարգ կրթության ֆակուլտետի 1-ին կուրսի ուսանողների համար Կազմ. Ս.Լ. Ռիբինա, Ն.Վ. Ֆեդոտովա 0 Ռուսաստանի Դաշնության կրթության և գիտության նախարարության բարձրագույն կրթության դաշնային պետական ​​բյուջետային ուսումնական հաստատություն «Վորոնեժի պետական ​​\u200b\u200bճարտարապետության և ինժեներական համալսարան» հարթության թվերի տարածքների հաշվարկը ՝ օգտագործելով մաթեմատիկայի անկախ աշխատանք կատարելու ինտեգրալ ուղեցույցը: Ֆակուլտետի SPO 1-ին կուրսի ուսանողներ Կազմող՝ Ս.Լ. Rybina, N.V. Fedotova Voronezh 2015 1 UDC 51:373(07) BBK 22.1ya721 Կազմող՝ Ռիբինա Ս.Լ., Ֆեդոտովա Ն.Վ. Հարթ թվերի մակերեսների հաշվարկ՝ օգտագործելով ինտեգրալը. ուղեցույցներկատարել ինքնուրույն աշխատանք մաթեմատիկայից միջին մասնագիտական ​​կրթության 1-ին կուրսի ուսանողների համար/Վորոնեժի պետական ​​ինքնավար համալսարան. կոմպ.՝ Ս.Լ. Ռիբինա, Ն.Վ. Ֆեդոտովա. – Վորոնեժ, 2015. – էջ. Տրված է տեսական տեղեկատվություն ինտեգրալով հարթ թվերի մակերեսները հաշվարկելու վերաբերյալ, տրված են խնդրի լուծման օրինակներ, տրված են ինքնուրույն աշխատանքի առաջադրանքներ։ Կարող է օգտագործվել անհատական ​​նախագծեր պատրաստելու համար։ Նախատեսված է բաց միջնակարգ կրթության ֆակուլտետի 1-ին կուրսի ուսանողների համար։ Իլ. 18. Մատենագիտություն՝ 5 անուն։ UDC 51:373(07) BBK 22.1я721 Հրատարակված է Վորոնեժի պետական ​​ագրարային համալսարանի ուսումնական և մեթոդական խորհրդի որոշմամբ Գրախոս - Գլազկովա Մարիա Յուրիևնա, բ.գ.թ. ֆիզիկա և մաթեմատիկա գիտություններ, դոցենտ, ամբիոնի դասախոս բարձրագույն մաթեմատիկաՎորոնեժի պետական ​​ագրարային համալսարան 2 Ներածություն Սույն ուղեցույցները նախատեսված են բոլոր մասնագիտությունների միջնակարգ մասնագիտական ​​կրթության ֆակուլտետի 1-ին կուրսի ուսանողների համար: 1-ին պարբերությունը տեսական տեղեկատվություն է տրամադրում հարթ թվերի մակերեսները ինտեգրալով հաշվարկելու վերաբերյալ, 2-րդ պարբերությունը ներկայացնում է խնդիրների լուծման օրինակներ, իսկ 3-րդ պարբերությունը առաջարկում է խնդիրներ անկախ աշխատանքի համար: Ընդհանուր դրույթներ Աշակերտների անկախ աշխատանքն այն աշխատանքն է, որը նրանք կատարում են ուսուցչի ցուցումներով, առանց նրա անմիջական մասնակցության (բայց նրա ղեկավարությամբ) հատուկ դրա համար նախատեսված ժամանակում: Անկախ աշխատանքի նպատակներն ու խնդիրները. ուսանողների ձեռք բերած գիտելիքների և գործնական հմտությունների համակարգում և համախմբում; տեսական և գործնական գիտելիքների խորացում և ընդլայնում; հատուկ տեղեկատու գրականությունից և ինտերնետից օգտվելու կարողության զարգացում. ուսանողների ճանաչողական կարողությունների և գործունեության զարգացում, ստեղծագործական նախաձեռնություն, անկախություն, պատասխանատվություն և կազմակերպվածություն. ինքնուրույն մտածողության ձևավորում, ինքնազարգացման, ինքնակատարելագործման և ինքնաիրացման կարողություններ. հետազոտական ​​գիտելիքների զարգացում. շրջանավարտների մասնագիտական ​​վերապատրաստման համար գիտելիքների բազայի ապահովում՝ միջնակարգ մասնագիտական ​​կրթության դաշնային պետական ​​կրթական ստանդարտին համապատասխան. ձևավորում և զարգացում ընդհանուր իրավասությունները, սահմանված միջնակարգ մասնագիտական ​​կրթության դաշնային պետական ​​կրթական ստանդարտում. պատրաստում ձևավորման և զարգացման համար մասնագիտական ​​իրավասությունները, համապատասխան մասնագիտական ​​գործունեության հիմնական տեսակներին. ուսանողների ձեռք բերված տեսական գիտելիքների և գործնական հմտությունների համակարգում, համախմբում, խորացում և ընդլայնում. Ուսանողների ճանաչողական կարողությունների և գործունեության զարգացում. ստեղծագործական նախաձեռնություն, անկախություն, պատասխանատվություն և կազմակերպվածություն. ինքնուրույն մտածողության ձևավորում՝ ինքնազարգացման, ինքնակատարելագործման և ինքնաիրացման կարողություն. մասնագիտական ​​գործունեության մեջ տեղեկատվական և հաղորդակցական տեխնոլոգիաների օգտագործման գործնական հմտությունների յուրացում. հետազոտական ​​հմտությունների զարգացում. Ուսանողի արտադասարանական ինքնուրույն աշխատանքի արդյունքների գնահատման չափանիշներն են՝ ուսանողի՝ ուսումնական նյութին տիրապետելու մակարդակը. 3 աշակերտի օգտագործելու ունակությունը տեսական գիտելիքներխնդիրներ լուծելիս; պատասխանի վավերականություն և հստակություն; Դաշնային պետական ​​կրթական ստանդարտի պահանջներին համապատասխան նյութի ձևավորում: 4 1. Հարթության թվերի մակերեսների հաշվարկ՝ օգտագործելով ինտեգրալ 1. Տեղեկատվական նյութ. 1.1. Կուռ տրապիզոիդը վերևից սահմանափակված y=f(x) շարունակական և ոչ բացասական ֆունկցիայի գրաֆիկով, ներքևից՝ Ox առանցքի հատվածով, իսկ կողքերից՝ x=a, x= գծային հատվածներով սահմանափակված պատկեր է։ բ (նկ. 1) Նկ. 1 Կոր trapezoid-ի մակերեսը կարելի է հաշվարկել որոշակի ինտեգրալի միջոցով՝ b S f x dx F x b a F b (1) F a a 1.2. Թող y=f(x) ֆունկցիան լինի շարունակական հատվածի վրա և ընդունի դրական արժեքներ այս հատվածի վրա (նկ. 2): Այնուհետև անհրաժեշտ է հատվածը բաժանել մասերի, այնուհետև հաշվարկել (1) բանաձևով այս մասերին համապատասխանող տարածքները, ավելացնել ստացված տարածքները: S = S1 + S2 c S b f x dx f x dx a (2) c Նկ. 2 1.3. Այն դեպքում, երբ շարունակական գործառույթ f(x)< 0 на отрезке [а,b], для вычисления площади криволинейной трапеции следует использовать формулу: 5 b S f (x) dx (3) a Рис. 3 1.4. Рассмотрим случай, когда фигура ограничена графиками произвольных функций у =f(x) и у = g(x), графики которых пересекаются в точках с абсциссами а и b (а < b). Пусть эти функции непрерывны на и f(x)> g(x) ամբողջ միջակայքում (a; b): Այս դեպքում նկարի մակերեսը հաշվարկվում է y b S= (f (x) g (x))dx y=f(x) (4) a 1 a -1 O -1 b 1 y բանաձևով =g(x) x Նկ. 4 1.5. Հարթ ֆիգուրների մակերեսների հաշվարկման խնդիրները կարող են լուծվել հետևյալ հատակագծի համաձայն՝ 1) ըստ խնդրի պայմանների՝ կատարել սխեմատիկ գծագիր. 2) ցանկալի ցուցանիշը ներկայացնել որպես կորագիծ տրապիզոիդների տարածքների գումար կամ տարբերություն: Խնդրի և գծագրի պայմաններից որոշվում են ինտեգրման սահմանները կորագիծ տրապիզոիդի յուրաքանչյուր բաղադրիչի համար. 3) յուրաքանչյուր ֆունկցիա գրել f x ձևով; 4) հաշվարկել յուրաքանչյուր կորագծային տրապիզոնի տարածքը և ցանկալի ցուցանիշը: 6 2. Խնդիրների լուծման օրինակներ 1. Հաշվե՛ք y = x + 3, y = 0, x = 1 և x = 3 ուղիղներով սահմանափակված կոր trapezoid-ի մակերեսը: Լուծում. Եկեք գծենք հավասարումներով տրված ուղիղները. և երանգավորել կոր trapezoid-ը, որի տարածքը մենք կգտնենք: SАВД= Պատասխան՝ 10. 2. y = -2x + 8, x = -1, y = 0 ուղիղներով սահմանափակված թիվը y = x2 – 4x + 5 ուղիղով բաժանվում է երկու մասի։ Գտեք յուրաքանչյուր մասի մակերեսը: Լուծում՝ Դիտարկենք y = x2 – 4x +5 ֆունկցիան: y = x2 – 4x +5 = (x2 – 4x + 4) – 4 + 5 = (x – 2)2 + 1, այսինքն. Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է K(2; 1) գագաթով: SABC=. 7 SABCME = S1 = SABCME + SEMC, S1 = S2 = SABC – S1, S2 = Պատասխան և = . . 3. Անկախ աշխատանքի առաջադրանքներ Բանավոր թեստ 1. Ո՞ր պատկերն է կոչվում կոր trapezoid: 2. Նկարներից որո՞նք են կոր trapezoids. 3. Ինչպե՞ս գտնել կոր trapezoid-ի մակերեսը: 4. Գտե՛ք ստվերավորված պատկերի մակերեսը՝ 8 5. Անվանե՛ք պատկերված պատկերների մակերեսը հաշվելու բանաձևը՝ Գրավոր թեստ 1. Ո՞ր պատկերն է ցույց տալիս մի ուրվագիծ, որը կոր trapezoid չէ: 2. Օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը, հաշվարկեք՝ Ա. ֆունկցիայի հակաածանցյալ; Բ. Կոր trapezoid-ի մակերեսը. V. Ինտեգրալ; D. Ածանցյալ. 3. Գտե՛ք ստվերավորված գործչի մակերեսը՝ 9 Ա. 0; B. –2; V. 1; D. 2. 4. Գտեք պատկերի մակերեսը, որը սահմանափակված է Ox առանցքով և պարաբոլով y = 9 – x2 A. 18; B. 36; V. 72; D. Չի կարող հաշվարկվել: 5. Գտե՛ք պատկերի մակերեսը, որը սահմանափակված է y = sin x ֆունկցիայի գրաֆիկով, x = 0, x = 2 ուղիղ գծերով և աբսցիսային առանցքով: A. 0; B. 2; V. 4; D. Չի կարող հաշվարկվել: Տարբերակ 1 Հաշվեք գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը. ա) y x2, բ) y x2 գ) y cos x, դ) y 1, x3 y 0, x y 0; x, y 0, 0, 4; x x 1, x 0, x 6; 2. 10 Տարբերակ 2 Հաշվիր գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը՝ բ) y 1 2 x, y 2 x2 2 x, գ) y sin x, դ) y 1, x2 ա) y y 0, x y 0 ; 0, x 0, x 3; 3 2, ; x 1. Տարբերակ 3 Հաշվեք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը. ա) y = 2 – x3, y = 1, x = -1, x = 1; բ) y = 5 – x2, y = 2x2 + 1, x = 0, x = 1; գ) y = 2sin x, x = 0, x = p, y = 0; դ) y = 2x – 2, y = 0, x = 3, x = 4: Տարբերակ 4 Հաշվեք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը. ա) y = x2+1, y = 0, x = - 1, x = 2; բ) y = 4 – x2 և y = x + 2; գ) y = x2 + 2, y = 0, x = - 1, x = 2; դ) y = 4 – x2 և y = 2 – x: Տարբերակ 5 Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը՝ ա) y 7 x, x=3, x=5, y=0; բ) y գ) y դ) y 8, x= - 8, x= - 4, y=0; x 0,5 x 2 4 x 10, y x 2; x 2, y x 6, x=-6 և կոորդինատային առանցքներ: 11 Տարբերակ 6 Հաշվեք գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը ա) y 4 x 2, y = 0; բ) y cos x, x, x գ) y x 2 8 x 18, y դ) y x, y 2, y=0; 2x18; 1, x=4. x Տարբերակ 7 Հաշվեք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը ա) y x 2 6 x, x = -1, x = 3, y = 0; բ) y=-3x, x=1, x=2, y=0; գ) y x 2 10 x 16, y=x+2; դ) y 3 x, y = -x +4 և կոորդինատային առանցքներ: Տարբերակ 8 Հաշվեք գծերով սահմանափակված գործչի տարածքը ա) y sin x, x 3, x, y = 0; բ) y x 2 4, x=-1, x=2, y=0; գ) y x 2 2 x 3, y 3x 1; դ) y x 2, y x 4 2, y = 0, տարբերակ 1 1. Հաշվեք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը. ա) y = x2, x = 1, x = 3, y = 0; բ) y = 2cos x, y = 0, x = - Ï Ï, x=; 2 2 գ) y = 2x2, y = 2x: 2. (ըստ ցանկության) Գտե՛ք y = x2 – 2x + 3 ֆունկցիայի գծապատկերով սահմանափակված նկարի մակերեսը, որը շոշափում է գրաֆիկին իր կետում աբսցիսայով 2 և x = -1 ուղիղ գծով: 12 Տարբերակ 2 1. Հաշվեք գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը. ա) y = x3, x = 1, x = 3, y = 0; բ) y = 2cos x, y = 0, x = 0, x = Ï; 2 գ) y = 0,5x2, y = x: 2. (ըստ ցանկության) Գտեք y = 3 + 2x - x2 ֆունկցիայի գծապատկերով սահմանափակված նկարի մակերեսը, որը շոշափում է գծապատկերին իր կետում աբսցիսայով 3 և ուղիղ x = 0: Տարբերակ 3 1. Հաշվեք գծերով սահմանափակված գործչի տարածքը. ա) y = x, x = 1, x = 2, y = 0; բ) y = 2cos x, y = 0, x = Ï 3Ï, x=; 2 2 գ) y = x2, y = -x2 + 2. 2. (ըստ ցանկության) Գտեք y = 2x - x2 ֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված պատկերի մակերեսը, որը շոշափում է աբսցիսով իր կետում գտնվող գրաֆիկին: 2 և օրդինատների առանցք: Տարբերակ 4 1. Հաշվեք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը. ա) y = 0,5 x, x = 1, x = 2, y = 0; բ) y = 2cos x, y = 0, x = Ï Ï, x=; 4 2 գ) y = 9 - x2, y = 2x + 6: 2. (ըստ ցանկության) Գտեք y = x2+ 2x ֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված պատկերի մակերեսը, որը շոշափում է աբսցիսով իր կետում գտնվող գրաֆիկին: -2 և օրդինատների առանցք: Զույգերով աշխատելու առաջադրանքներ՝ 1. Հաշվե՛ք ստվերված նկարի մակերեսը 2. Հաշվե՛ք ստվերված նկարի մակերեսը 13. 3. Հաշվե՛ք ստվերված նկարի մակերեսը 4. հաշվե՛ք ստվերվածի մակերեսը։ Նկար 14 5. Հաշվեք ստվերավորված նկար 6-ի մակերեսը: Ներկայացրե՛ք ստվերավորված պատկերի մակերեսը որպես ձեր իմացած գծերի գծապատկերներով սահմանափակված կորագիծ տրապիզոիդների տարածքների գումարը կամ տարբերությունը: 7. Պատկերացրեք ստվերավորված պատկերի տարածքը որպես կորագիծ տրապիզոիդների տարածքների գումար կամ տարբերություն, որոնք սահմանափակված են ձեր իմացած գծերի գծապատկերներով: 15 Մատենագիտություն 1. Շարիգին, Ի. Ֆ. Մաթեմատիկա. հանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծության սկզբունքներ, երկրաչափություն: Երկրաչափություն. Հիմնական մակարդակ. 10 - 11 դասարաններ: Դասագիրք / I.F. - 2-րդ հրատ., ջնջված: – Մոսկվա: Բոստարդ, 2015. – 238 էջ. 2. Մուրավին Գ.Կ. Մաթեմատիկա՝ հանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծության սկզբունքներ, երկրաչափություն. Հիմնական մակարդակ. 11-րդ դասարան: Դասագիրք / G.K Muravin, O.V., ջնջված. - Մոսկվա: Բուսթարդ, 2015. - 189 էջ. 3. Մուրավին Գ.Կ. Մաթեմատիկա՝ հանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծության սկզբունքներ, երկրաչափություն. Հիմնական մակարդակ. 10-րդ դասարան: Դասագիրք / G.K Muravin, O.V. - 2-րդ հրատ., ջնջված: - Մոսկվա: Բոստարդ, 2013 – 285 էջ. 4. Երկրաչափության ուսումնասիրություն 10-11-րդ դասարաններում՝ Մեթոդ. առաջարկություններ ուսումնասիրության համար. Գիրք. ուսուցչի համար/Ս. Մ.Սահակյան, Վ.Ֆ.Բուտուզով. – 2-րդ հրատ. – Մ.: Կրթություն, 2014. – 222 էջ: հիվանդ. 5. Հանրահաշվի ուսումնասիրություն և վերլուծության սկիզբ 10-11-րդ դասարաններում՝ Գիրք. ուսուցչի համար / N. E. Fedorova, M. V. Tkacheva. – 2-րդ հրատ. – Մ.: Կրթություն, 2014. – 205 էջ: հիվանդ. 6. Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. 10-11 դասարաններ՝ երկու մասով. Մաս 1. Դասագիրք հանրակրթական. հաստատություններ / Մորդկովիչ Ա.Գ. – 5-րդ հրատ. – M.: Mnemosyne, 2014. – 375 p.: ill. Ինտերնետային ռեսուրսներ՝ 1. http://www.exponenta.ru/educat/links/l_educ.asp#0 – Օգտակար հղումներ դեպի մաթեմատիկական և կրթական կայքեր. Ուսումնական նյութեր, թեստեր 2. http://www.fxyz.ru/ - Բանաձևերի և տեղեկատվության ինտերակտիվ տեղեկատու հանրահաշիվ, եռանկյունաչափություն, երկրաչափություն, ֆիզիկա: 3. http://maths.yfa1.ru - Տեղեկագիրքը պարունակում է նյութեր մաթեմատիկայի վերաբերյալ (թվաբանություն, հանրահաշիվ, երկրաչափություն, եռանկյունաչափություն): 4. allmatematika.ru - Հիմնական բանաձևեր հանրահաշվի և երկրաչափության մեջ՝ ինքնության փոխակերպումներ, առաջընթացներ, ածանցյալներ, ստերեոմետրիա և այլն։ 5. http://mathsun.ru/ – Մաթեմատիկայի պատմություն. Մեծ մաթեմատիկոսների կենսագրություններ. 16 Բովանդակություն Ներածություն. ................................................ .......................................................... ................................................. 3 Հաշվարկը հարթ թվերի տարածքներ՝ օգտագործելով ինտեգրալը................................................... .. 5 1. Տեղեկատվական նյութ................... ................................ ...................................................................... ........................... 5 2. Խնդրի լուծման օրինակներ................ ................................................ .. ................................................ ..... ......... 7 3. Անկախ աշխատանքի առաջադրանքներ............................. .......................................................... ................ 8 Մատենագիտություն ...................... ...................................................... .......................... 16 Հարթ թվերի մակերեսների հաշվարկ՝ օգտագործելով ինտեգրալ մեթոդական ցուցումներ՝ մաթեմատիկայի 1-ին կուրսի ուսանողների համար ինքնուրույն աշխատանք կատարելու համար։ Բաց միջնակարգ կրթության ֆակուլտետ Կազմող՝ Ռիբինա Սվետլանա Լեոնիդովնա Ֆեդոտովա Նատալյա Վիկտորովնա Ստորագրված է տպագրության __.__: 2015. Ֆորմատ 60x84 1/16. Ակադեմիական խմբ. լ. 1.1.Պայմանական-ջեռոց. լ. 1.2. 394006, Վորոնեժ, փ. Հոկտեմբերի 20-ամյակ, 84 17