Եկեք վերլուծենք հավասարումների համակարգերի լուծումների երկու տեսակ.

1. Համակարգի լուծում փոխարինման մեթոդով.
2. Համակարգի լուծումը համակարգի հավասարումների գումարումով (հանումով):

Հավասարումների համակարգը լուծելու համար փոխարինման մեթոդովդուք պետք է հետևեք մի պարզ ալգորիթմի.
1. Էքսպրես. Ցանկացած հավասարումից մենք արտահայտում ենք մեկ փոփոխական։
2. Փոխարինող. Արտահայտված փոփոխականի փոխարեն ստացված արժեքը փոխարինում ենք մեկ այլ հավասարմամբ։
3. Ստացված հավասարումը լուծի՛ր մեկ փոփոխականով։ Մենք համակարգին լուծում ենք գտնում.

Լուծել համակարգը՝ ժամկետային գումարման (հանման) մեթոդովանհրաժեշտ է.
1. Ընտրեք փոփոխական, որի համար մենք կկազմենք նույնական գործակիցներ։
2. Մենք գումարում կամ հանում ենք հավասարումներ, արդյունքում ստացվում է մեկ փոփոխականով հավասարում:
3. Լուծե՛ք ստացված գծային հավասարումը։ Մենք համակարգին լուծում ենք գտնում.

Համակարգի լուծումը ֆունկցիայի գրաֆիկների հատման կետերն են:

Եկեք մանրամասն քննարկենք համակարգերի լուծումը օրինակներով:

Օրինակ #1:

Եկեք լուծենք փոխարինման մեթոդով

Փոխարինման մեթոդով հավասարումների համակարգի լուծում

2x+5y=1 (1 հավասարում)
x-10y=3 (2-րդ հավասարում)

1. Էքսպրես
Երևում է, որ երկրորդ հավասարման մեջ կա x փոփոխական՝ 1 գործակցով, ինչը նշանակում է, որ ամենահեշտն է արտահայտել x փոփոխականը երկրորդ հավասարումից։
x=3+10y

2. Այն արտահայտելուց հետո առաջին հավասարման մեջ փոխարինում ենք 3+10y՝ x փոփոխականի փոխարեն:
2(3+10y)+5y=1

3. Ստացված հավասարումը լուծի՛ր մեկ փոփոխականով։
2(3+10y)+5y=1 (բացեք փակագծերը)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5։25
y=-0.2

Հավասարումների համակարգի լուծումը գրաֆիկների հատման կետերն են, հետևաբար պետք է գտնել x և y, քանի որ հատման կետը բաղկացած է x-ից և y-ից։Գտնենք x-ը, այն առաջին կետում, որտեղ արտահայտել ենք, փոխարինում ենք y-ին։
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Ընդունված է միավորներ գրել առաջին տեղում գրում ենք x փոփոխականը, իսկ երկրորդում՝ y փոփոխականը։
Պատասխան՝ (1; -0.2)

Օրինակ #2:

Եկեք լուծենք՝ օգտագործելով ժամկետ առ անդամ գումարման (հանման) մեթոդը։

Հավասարումների համակարգի լուծում՝ օգտագործելով գումարման մեթոդը

3x-2y=1 (1 հավասարում)
2x-3y=-10 (2-րդ հավասարում)

1. Ընտրում ենք փոփոխական, ասենք՝ ընտրում ենք x: Առաջին հավասարման մեջ x փոփոխականն ունի 3 գործակից, երկրորդում՝ 2։ Մենք պետք է գործակիցները դարձնենք նույնը, դրա համար մենք իրավունք ունենք բազմապատկել հավասարումները կամ բաժանել ցանկացած թվի։ Առաջին հավասարումը բազմապատկում ենք 2-ով, իսկ երկրորդը՝ 3-ով և ստանում ենք 6 ընդհանուր գործակից։

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Առաջին հավասարումից հանեք երկրորդը՝ x փոփոխականից ազատվելու համար Լուծե՛ք գծային հավասարումը։
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. Գտիր x. Գտնված y-ը փոխարինում ենք որևէ հավասարման մեջ, ասենք առաջին հավասարման մեջ։
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Խաչմերուկը կլինի x=4,6; y=6.4
Պատասխան՝ (4.6; 6.4)

Ցանկանու՞մ եք անվճար պատրաստվել քննություններին: Ուսուցիչ առցանց անվճար. Առանց կատակի.

Հավասարումների օգտագործումը լայն տարածում ունի մեր կյանքում: Դրանք օգտագործվում են բազմաթիվ հաշվարկների, կառույցների կառուցման և նույնիսկ սպորտի մեջ։ Մարդը հին ժամանակներում օգտագործում էր հավասարումներ, և այդ ժամանակից ի վեր դրանց օգտագործումը միայն աճել է: Հզորությունը կամ էքսպոնենցիալ հավասարումները հավասարումներ են, որոնցում փոփոխականները հզորությամբ են, իսկ հիմքը՝ թիվ։ Օրինակ:

Էքսպոնենցիալ հավասարման լուծումը հանգում է 2 բավականին պարզ քայլի.

1. Պետք է ստուգել՝ արդյոք աջ և ձախ հավասարման հիմքերը նույնն են։ Եթե ​​պատճառները նույնը չեն, մենք տարբերակներ ենք փնտրում այս օրինակը լուծելու համար:

2. Այն բանից հետո, երբ հիմքերը դառնում են նույնը, հավասարեցնում ենք աստիճանները և լուծում ստացված նոր հավասարումը։

Ենթադրենք, մեզ տրված է հետևյալ ձևի էքսպոնենցիալ հավասարումը.

Արժե այս հավասարման լուծումը սկսել հիմքի վերլուծությամբ։ Հիմքերը տարբեր են՝ 2 և 4, բայց լուծելու համար մեզ անհրաժեշտ է, որ դրանք լինեն նույնը, ուստի մենք փոխակերպում ենք 4-ը՝ օգտագործելով հետևյալ բանաձևը -\[ (a^n)^m = a^(nm):\]

Բնօրինակ հավասարմանը մենք ավելացնում ենք.

Դուրս հանենք փակագծերից \

Եկեք արտահայտենք \

Քանի որ աստիճանները նույնն են, մենք դրանք մերժում ենք.

Պատասխան՝ \

Որտե՞ղ կարող եմ լուծել էքսպոնենցիալ հավասարումը առցանց լուծիչի միջոցով:

Հավասարումը կարող եք լուծել մեր https://site կայքում։ Անվճար առցանց լուծիչը թույլ կտա հաշված վայրկյանների ընթացքում լուծել ցանկացած բարդության առցանց հավասարումներ։ Ձեզ անհրաժեշտ է պարզապես մուտքագրել ձեր տվյալները լուծիչում: Կարող եք նաև դիտել վիդեո հրահանգներ և սովորել, թե ինչպես լուծել հավասարումը մեր կայքում: Եվ եթե դեռ հարցեր ունեք, կարող եք դրանք ուղղել մեր VKontakte խմբում http://vk.com/pocketteacher: Միացե՛ք մեր խմբին, մենք միշտ ուրախ ենք օգնել ձեզ:

Հավասարումներ

Ինչպե՞ս լուծել հավասարումներ:

Այս բաժնում մենք կհիշենք (կամ կուսումնասիրենք՝ կախված նրանից, թե ում եք ընտրում) ամենատարրական հավասարումները: Այսպիսով, ո՞րն է հավասարումը: Մարդկային լեզվով ասած՝ սա ինչ-որ մաթեմատիկական արտահայտություն է, որտեղ կա հավասարության նշան և անհայտ: Որը սովորաբար նշվում է տառով «X». Լուծե՛ք հավասարումը- սա x-ի այնպիսի արժեքներ գտնելն է, որ փոխարինելիս օրիգինալարտահայտությունը մեզ կտա ճիշտ ինքնությունը: Հիշեցնեմ, որ ինքնությունը մի արտահայտություն է, որը կասկածից վեր է նույնիսկ այն մարդու համար, ով բացարձակապես ծանրաբեռնված չէ մաթեմատիկական գիտելիքներով։ Ինչպես 2=2, 0=0, ab=ab և այլն: Այսպիսով, ինչպես լուծել հավասարումները:Եկեք պարզենք այն:

Կան բոլոր տեսակի հավասարումներ (ես զարմանում եմ, չէ՞): Բայց նրանց ամբողջ անսահման բազմազանությունը կարելի է բաժանել միայն չորս տեսակի.

4. Այլ.)

Մնացած բոլորը, իհարկե, ամենից շատ, այո...) Սա ներառում է խորանարդ, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական, եռանկյունաչափական և բոլոր տեսակի այլ բաներ: Մենք սերտորեն կաշխատենք նրանց հետ համապատասխան բաժիններում:

Անմիջապես կասեմ, որ երբեմն առաջինի հավասարումները երեք տեսակինրանք քեզ այնքան կխաբեն, որ դու չես ճանաչի նրանց... Ոչինչ. Մենք կսովորենք, թե ինչպես հանգստացնել դրանք:

Իսկ ինչո՞ւ են մեզ պետք այս չորս տեսակները: Եվ հետո ինչ գծային հավասարումներլուծված է մեկ ձևով քառակուսիմյուսները, կոտորակային ռացիոնալներ - երրորդ,Ա հանգիստՆրանք ընդհանրապես չեն համարձակվում! Դե, դա այն չէ, որ նրանք ընդհանրապես չեն կարող որոշել, այլ այն, որ ես սխալվել եմ մաթեմատիկայի հետ:) Պարզապես նրանք ունեն իրենց հատուկ տեխնիկան և մեթոդները:

Բայց ցանկացածի համար (կրկնում եմ՝ հանուն ցանկացած!) հավասարումները լուծում են հուսալի և անհաջող հիմքեր: Աշխատում է ամենուր և միշտ: Այս հիմքը - սարսափելի է հնչում, բայց դա շատ պարզ է: Եվ շատ (Շատ!)կարևոր.

Փաստորեն, հավասարման լուծումը բաղկացած է հենց այս փոխակերպումներից: 99% Հարցի պատասխանը. Ինչպե՞ս լուծել հավասարումներ:«Հենց այս փոխակերպումների մեջ է: Ակնարկը պարզ է՞:)

Հավասարումների նույնական փոխակերպումներ.

IN ցանկացած հավասարումներԱնհայտը գտնելու համար հարկավոր է վերափոխել և պարզեցնել սկզբնական օրինակը: Եվ այնպես, որ երբ արտաքին տեսքը փոխվի հավասարման էությունը չի փոխվել.Նման փոխակերպումները կոչվում են նույնականկամ համարժեք:

Նշենք, որ այս վերափոխումները կիրառվում են մասնավորապես հավասարումների համար:Մաթեմատիկայում կան նաև ինքնության փոխակերպումներ արտահայտությունները.Սա այլ թեմա է։

Այժմ մենք կկրկնենք բոլորը, բոլորը, բոլորը հիմնականը հավասարումների նույնական փոխակերպումներ.

Հիմնական, քանի որ դրանք կարող են կիրառվել ցանկացածհավասարումներ - գծային, քառակուսի, կոտորակային, եռանկյունաչափական, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական և այլն: եւ այլն։

Ինքնության առաջին փոխակերպումը. Դուք կարող եք գումարել (հանել) ցանկացած հավասարման երկու կողմերին ցանկացած(բայց միևնույն!) թիվ կամ արտահայտություն (ներառյալ անհայտ արտահայտությունը): Սա չի փոխում հավասարման էությունը։

Ի դեպ, դուք անընդհատ օգտագործում էիք այս փոխակերպումը, պարզապես մտածում էիք, որ ինչ-որ տերմիններ եք փոխանցում հավասարման մի մասից մյուսը՝ նշանի փոփոխությամբ։ Տիպ:

Գործը ծանոթ է, երկուսը տեղափոխում ենք աջ, և ստանում ենք.

Իրականում դու տարելհավասարման երկու կողմերից երկուսն է: Արդյունքը նույնն է.

x+2 - 2 = 3 - 2

Նշանի փոփոխությամբ տերմինները ձախ և աջ տեղափոխելը պարզապես ինքնության առաջին փոխակերպման կրճատված տարբերակն է: Իսկ մեզ ինչի՞ն է պետք այդքան խորը գիտելիքը։ -հարցնում ես։ Ոչինչ հավասարումների մեջ: Ի սեր Աստծո, համբերիր։ Պարզապես մի մոռացեք փոխել նշանը. Բայց անհավասարությունների դեպքում փոխանցելու սովորությունը կարող է փակուղի տանել...

Երկրորդ ինքնության վերափոխում: հավասարման երկու կողմերը կարելի է բազմապատկել (բաժանել) նույն բանով ոչ զրոյականթիվը կամ արտահայտությունը. Այստեղ արդեն իսկ ի հայտ է գալիս հասկանալի սահմանափակում՝ զրոյով բազմապատկելը հիմարություն է, իսկ բաժանելը՝ միանգամայն անհնար։ Սա այն փոխակերպումն է, որը դուք օգտագործում եք, երբ լուծում եք նման հիանալի բան

Պարզ է X= 2. Ինչպե՞ս գտաք այն: Ընտրությամբ? Թե՞ քեզ հենց նոր լուսացա՞վ: Որպեսզի չընտրեք և չսպասեք խորաթափանցությանը, դուք պետք է հասկանաք, որ դուք արդար եք բաժանել հավասարման երկու կողմերը 5-ով. Ձախ կողմը (5x) բաժանելիս հինգը կրճատվել է՝ թողնելով մաքուր X։ Դա հենց այն է, ինչ մեզ անհրաժեշտ էր: Իսկ (10)-ի աջ կողմը հինգի բաժանելիս ստացվում է, իհարկե, երկու։

Այսքանը:

Ծիծաղելի է, բայց այս երկու (միայն երկու!) նույնական փոխակերպումները լուծման հիմքն են մաթեմատիկայի բոլոր հավասարումները։Վա՜յ։ Իմաստ ունի նայելու օրինակներ, թե ինչ և ինչպես, այնպես չէ՞):

Հավասարումների նույնական փոխակերպումների օրինակներ. Հիմնական խնդիրները.

Սկսենք նրանից առաջինինքնության վերափոխում. Փոխանցում ձախից աջ:

Օրինակ փոքրերի համար։)

Ենթադրենք, մենք պետք է լուծենք հետևյալ հավասարումը.

3-2x=5-3x

Հիշենք կախարդանքը. «X-երով՝ դեպի ձախ, առանց X-ներով՝ աջ»:Այս ուղղագրությունը հրահանգ է առաջին ինքնության փոխակերպումն օգտագործելու համար:) X-ով ո՞ր արտահայտությունն է աջ կողմում: 3x? Պատասխանը սխալ է։ Մեր աջ կողմում - 3x! Մինուսերեք x! Հետեւաբար, ձախ կողմում շարժվելիս նշանը կփոխվի պլյուսի: Կստացվի.

3-2x+3x=5

Այսպիսով, X-երը հավաքվել են կույտում: Անցնենք թվերին։ Ձախ կողմում կա երեք։ Ի՞նչ նշանով։ «Ոչ մեկի հետ» պատասխանը չի ընդունվում։) Երեքի դիմաց, իսկապես, ոչինչ չի գծվում։ Իսկ սա նշանակում է, որ երեքից առաջ կա գումարած.Այսպիսով, մաթեմատիկոսները համաձայնեցին: Ոչինչ գրված չէ, ինչը նշանակում է գումարած.Հետեւաբար, եռյակը կտեղափոխվի աջ կողմ մինուսով.Մենք ստանում ենք.

-2x+3x=5-3

Մնացել են ընդամենը մանրուքներ։ Ձախ կողմում - բերեք նմանատիպերը, աջ կողմում - հաշվեք: Պատասխանը գալիս է անմիջապես.

Այս օրինակում բավական էր մեկ ինքնության վերափոխումը։ Երկրորդը պետք չէր։ Դե, լավ:)

Օրինակ մեծ երեխաների համար։)

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Եկեք սովորենք - հետաքրքրությամբ!)

Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Այս տեսանյութում մենք կվերլուծենք ամբողջ հավաքածուն գծային հավասարումներ, որոնք լուծվում են նույն ալգորիթմի միջոցով, դրա համար էլ կոչվում են ամենապարզը։

Նախ սահմանենք՝ ի՞նչ է գծային հավասարումը և ո՞րն է կոչվում ամենապարզը։

Գծային հավասարումը այն հավասարումն է, որտեղ կա միայն մեկ փոփոխական և միայն առաջին աստիճանի:

Ամենապարզ հավասարումը նշանակում է շինարարություն.

Բոլոր մյուս գծային հավասարումները վերածվում են ամենապարզին, օգտագործելով ալգորիթմը.

1. Ընդարձակեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան;
2. Փոփոխական պարունակող տերմինները տեղափոխել հավասար նշանի մի կողմ, իսկ առանց փոփոխականի մյուս կողմ.
3. Հավասարության նշանի ձախ և աջ կողմերում նույնական տերմիններ տվեք.
4. Ստացված հավասարումը բաժանեք $x$ փոփոխականի գործակցի վրա։

Իհարկե, այս ալգորիթմը միշտ չէ, որ օգնում է: Փաստն այն է, որ երբեմն այս բոլոր մեքենայություններից հետո $x$ փոփոխականի գործակիցը հավասար է զրոյի։ Այս դեպքում հնարավոր է երկու տարբերակ.

1. Հավասարումն ընդհանրապես լուծումներ չունի։ Օրինակ, երբ $0\cdot x=8$-ի նման մի բան է ստացվում, այսինքն. ձախ կողմում զրո է, իսկ աջ կողմում՝ զրոյից տարբերվող թիվ: Ստորև բերված տեսանյութում մենք կանդրադառնանք մի քանի պատճառների, թե ինչու է այս իրավիճակը հնարավոր:
2. Լուծումը բոլոր թվերն են: Միակ դեպքը, երբ դա հնարավոր է, այն է, երբ հավասարումը կրճատվել է մինչև $0\cdot x=0$: Միանգամայն տրամաբանական է, որ ինչ էլ որ $x$-ին փոխարինենք, այնուամենայնիվ կստացվի «զրոն հավասար է զրոյի», այսինքն. ճիշտ թվային հավասարություն.

Այժմ տեսնենք, թե ինչպես է այս ամենը աշխատում՝ օգտագործելով իրական կյանքի օրինակները:

Հավասարումների լուծման օրինակներ

Այսօր մենք գործ ունենք գծային հավասարումների հետ, այն էլ՝ ամենապարզները։ Ընդհանուր առմամբ, գծային հավասարումը նշանակում է ցանկացած հավասարություն, որը պարունակում է ճշգրիտ մեկ փոփոխական, և այն գնում է միայն առաջին աստիճանի:

Նման շինությունները լուծվում են մոտավորապես նույն կերպ.

1. Առաջին հերթին, դուք պետք է ընդլայնեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան (ինչպես մեր վերջին օրինակում);
2. Այնուհետև միացրեք նմանատիպը
3. Վերջապես, մեկուսացրեք փոփոխականը, այսինքն. տեղափոխել այն ամենը, ինչ կապված է փոփոխականի հետ՝ այն տերմինները, որոնցում այն ​​պարունակվում է, մի կողմ, և այն, ինչ մնում է առանց դրա, տեղափոխել մյուս կողմ:

Այնուհետև, որպես կանոն, ստացված հավասարության յուրաքանչյուր կողմում պետք է տալ նմանատիպեր, իսկ դրանից հետո մնում է բաժանել «x» գործակցի վրա, և մենք կստանանք վերջնական պատասխանը։

Տեսականորեն սա գեղեցիկ և պարզ տեսք ունի, բայց գործնականում նույնիսկ փորձառու ավագ դպրոցի աշակերտները կարող են վիրավորական սխալներ թույլ տալ բավականին պարզ գծային հավասարումներում: Սովորաբար, սխալներ են լինում կամ փակագծերը բացելիս, կամ «պլյուսները» և «մինուսները» հաշվարկելիս:

Բացի այդ, պատահում է, որ գծային հավասարումն ընդհանրապես լուծումներ չունի, կամ լուծումը ամբողջ թվային ուղիղն է, այսինքն. ցանկացած թիվ. Այս նրբություններին մենք կանդրադառնանք այսօրվա դասին: Բայց մենք կսկսենք, ինչպես արդեն հասկացաք, հենց սկզբից պարզ առաջադրանքներ.

Պարզ գծային հավասարումների լուծման սխեմա

Նախ, թույլ տվեք ևս մեկ անգամ գրել ամենապարզ գծային հավասարումների լուծման ամբողջ սխեման.

1. Ընդարձակեք փակագծերը, եթե այդպիսիք կան:
2. Մենք մեկուսացնում ենք փոփոխականները, այսինքն. Մենք տեղափոխում ենք այն ամենը, ինչ պարունակում է «X» մի կողմ, իսկ ամեն ինչ առանց «X»-ների՝ մյուս կողմ:
3. Ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ.
4. Մենք ամեն ինչ բաժանում ենք «x» գործակցի վրա։

Իհարկե, այս սխեման միշտ չէ, որ աշխատում է, դրա մեջ կան որոշակի նրբություններ և հնարքներ, և այժմ մենք կծանոթանանք դրանց:

Պարզ գծային հավասարումների իրական օրինակների լուծում

Առաջադրանք թիվ 1

Առաջին քայլը մեզանից պահանջում է բացել փակագծերը: Բայց դրանք այս օրինակում չկան, ուստի մենք բաց ենք թողնում այս քայլը: Երկրորդ քայլում մենք պետք է մեկուսացնենք փոփոխականները: Խնդրում ենք նկատի ունենալ. խոսքը միայն անհատական ​​պայմանների մասին է: Եկեք գրենք այն.

Մենք ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ աջ և ձախ կողմում, բայց դա արդեն արվել է այստեղ։ Այսպիսով, մենք անցնում ենք չորրորդ քայլին՝ բաժանել գործակցի վրա.

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Այսպիսով, մենք ստացանք պատասխանը.

Առաջադրանք թիվ 2

Մենք կարող ենք տեսնել այս խնդրի փակագծերը, ուստի եկեք դրանք ընդլայնենք.

Ե՛վ ձախ, և՛ աջ կողմում մենք տեսնում ենք մոտավորապես նույն դիզայնը, բայց եկեք գործենք ըստ ալգորիթմի, այսինքն. փոփոխականների առանձնացում.

Ահա մի քանի նմաններ.

Ի՞նչ արմատներով է սա աշխատում: Պատասխան՝ ցանկացածի համար: Հետևաբար, մենք կարող ենք գրել, որ $x$-ը ցանկացած թիվ է։

Առաջադրանք թիվ 3

Ավելի հետաքրքիր է երրորդ գծային հավասարումը.

\[\ ձախ (6-x \աջ)+\ձախ (12+x \աջ)-\ձախ (3-2x \աջ)=15\]

Այստեղ մի քանի փակագծեր կան, բայց դրանք ոչ մի բանով չեն բազմապատկվում, ուղղակի նախորդում են տարբեր նշաններ։ Եկեք բաժանենք դրանք.

Մենք կատարում ենք մեզ արդեն հայտնի երկրորդ քայլը.

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Եկեք հաշվարկենք.

Մենք կատարում ենք վերջին քայլը՝ ամեն ինչ բաժանում ենք «x» գործակցով.

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Այն, ինչ պետք է հիշել գծային հավասարումներ լուծելիս

Եթե ​​անտեսենք չափազանց պարզ առաջադրանքները, ես կցանկանայի ասել հետևյալը.

• Ինչպես ասացի վերևում, ամեն գծային հավասարում չէ, որ լուծում ունի. երբեմն պարզապես արմատներ չկան.
• Եթե ​​նույնիսկ արմատներ կան, դրանց մեջ կարող է լինել զրո - դրանում վատ բան չկա:

Զրոն նույն թիվն է, ինչ մյուսները, դուք չպետք է որևէ կերպ խտրականություն դրեք դրա նկատմամբ կամ ենթադրեք, որ եթե դուք ստանում եք զրո, ապա ինչ-որ բան սխալ եք արել:

Մեկ այլ առանձնահատկություն կապված է փակագծերի բացման հետ։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. երբ նրանց դիմաց կա «մինուս», մենք այն հեռացնում ենք, բայց փակագծերում մենք փոխում ենք նշանները. հակառակը. Եվ հետո մենք կարող ենք բացել այն՝ օգտագործելով ստանդարտ ալգորիթմներ. մենք կստանանք այն, ինչ տեսանք վերը նշված հաշվարկներում:

Այս պարզ փաստի ըմբռնումը կօգնի ձեզ խուսափել ավագ դպրոցում հիմար և վիրավորական սխալներից, երբ նման բաներ անելը սովորական է համարվում:

Բարդ գծային հավասարումների լուծում

Անցնենք ավելի բարդ հավասարումների: Այժմ կոնստրուկցիաները կդառնան ավելի բարդ, և տարբեր փոխակերպումներ կատարելիս կհայտնվի քառակուսի ֆունկցիա։ Այնուամենայնիվ, մենք չպետք է վախենանք դրանից, քանի որ եթե, հեղինակի պլանի համաձայն, մենք լուծում ենք գծային հավասարում, ապա վերափոխման գործընթացում քառակուսի ֆունկցիա պարունակող բոլոր մոնոմալները, անշուշտ, կչեղարկվեն:

Օրինակ թիվ 1

Ակնհայտ է, որ առաջին քայլը փակագծերը բացելն է։ Եկեք սա անենք շատ ուշադիր.

Հիմա եկեք նայենք գաղտնիությանը.

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ահա մի քանի նմաններ.

Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը լուծումներ չունի, ուստի մենք կգրենք սա պատասխանում.

\[\varnothing\]

կամ արմատներ չկան։

Օրինակ թիվ 2

Մենք կատարում ենք նույն գործողությունները. Առաջին քայլը.

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք փոփոխականով դեպի ձախ, իսկ առանց դրա՝ աջ.

Ահա մի քանի նմաններ.

Ակնհայտ է, որ այս գծային հավասարումը լուծում չունի, ուստի մենք այն կգրենք այսպես.

\[\varnothing\],

կամ արմատներ չկան։

Լուծման նրբությունները

Երկու հավասարումներն էլ ամբողջությամբ լուծված են։ Որպես օրինակ օգտագործելով այս երկու արտահայտությունները՝ մենք ևս մեկ անգամ համոզվեցինք, որ նույնիսկ ամենապարզ գծային հավասարումների դեպքում ամեն ինչ այնքան էլ պարզ չէ՝ կարող է լինել կա՛մ մեկը, կա՛մ մեկը, կա՛մ անսահման շատ արմատներ: Մեր դեպքում մենք դիտարկեցինք երկու հավասարումներ, երկուսն էլ ուղղակի արմատ չունեն։

Բայց ես ուզում եմ ձեր ուշադրությունը հրավիրել մեկ այլ փաստի վրա՝ ինչպես աշխատել փակագծերով և ինչպես բացել դրանք, եթե դրանց դիմաց մինուս նշան է։ Հաշվի առեք այս արտահայտությունը.

Բացելուց առաջ անհրաժեշտ է ամեն ինչ բազմապատկել «X»-ով: Խնդրում ենք նկատի ունենալ. բազմապատկվում է յուրաքանչյուր առանձին ժամկետ. Ներսում կան երկու տերմիններ `համապատասխանաբար, երկու անդամ և բազմապատկված:

Եվ միայն այս տարրական թվացող, բայց շատ կարևոր և վտանգավոր փոխակերպումների ավարտից հետո կարող եք բացել փակագիծը այն տեսանկյունից, որ դրանից հետո մինուս նշան կա։ Այո, այո. միայն հիմա, երբ փոխակերպումները ավարտված են, մենք հիշում ենք, որ փակագծերի դիմաց կա մինուս նշան, ինչը նշանակում է, որ ներքևում գտնվող ամեն ինչ պարզապես փոխում է նշանները: Միևնույն ժամանակ, փակագծերն իրենք անհետանում են, և ամենակարևորը, անհետանում է նաև առջևի «մինուսը»:

Մենք նույնն ենք անում երկրորդ հավասարման հետ.

Պատահական չէ, որ ուշադրություն եմ դարձնում այս փոքրիկ, աննշան թվացող փաստերին։ Քանի որ հավասարումների լուծումը միշտ էլ տարրական փոխակերպումների հաջորդականություն է, որտեղ պարզ և գրագետ գործողություններ կատարելու անկարողությունը հանգեցնում է նրան, որ ավագ դպրոցի աշակերտները գալիս են ինձ մոտ և նորից սովորում լուծել նման պարզ հավասարումներ:

Իհարկե, կգա մի օր, երբ դուք կհղկեք այս հմտությունները մինչև ավտոմատացման աստիճան: Այլևս ստիպված չեք լինի ամեն անգամ այդքան փոխակերպումներ կատարել, ամեն ինչ կգրեք մեկ տողի վրա: Բայց մինչ դուք նոր եք սովորում, դուք պետք է գրեք յուրաքանչյուր գործողություն առանձին:

Էլ ավելի բարդ գծային հավասարումների լուծում

Այն, ինչ հիմա լուծելու ենք, դժվար թե կարելի է ամենապարզ առաջադրանք անվանել, բայց իմաստը մնում է նույնը։

Առաջադրանք թիվ 1

\[\ձախ(7x+1 \աջ)\ձախ(3x-1 \աջ)-21((x)^(2))=3\]

Եկեք բազմապատկենք առաջին մասի բոլոր տարրերը.

Եկեք որոշ գաղտնիություն անենք.

Ահա մի քանի նմաններ.

Եկեք ավարտենք վերջին քայլը.

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ահա մեր վերջնական պատասխանը. Եվ, չնայած այն հանգամանքին, որ լուծելու ընթացքում ունեինք քառակուսի ֆունկցիա ունեցող գործակիցներ, դրանք չեղարկեցին միմյանց, ինչը հավասարումը դարձնում է գծային և ոչ քառակուսի։

Առաջադրանք թիվ 2

\[\ ձախ (1-4x \աջ)\ձախ (1-3x \աջ)=6x\ձախ (2x-1 \աջ)\]

Եկեք ուշադիր կատարենք առաջին քայլը. բազմապատկենք առաջին փակագծի յուրաքանչյուր տարրը երկրորդի յուրաքանչյուր տարրով: Փոխակերպումներից հետո պետք է լինի ընդհանուր չորս նոր տերմին.

Այժմ եկեք ուշադիր կատարենք բազմապատկումը յուրաքանչյուր անդամում.

«X»-ով տերմինները տեղափոխենք ձախ, իսկ առանց տերմինները՝ աջ:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ահա նմանատիպ տերմիններ.

Եվս մեկ անգամ ստացանք վերջնական պատասխանը.

Լուծման նրբությունները

Այս երկու հավասարումների վերաբերյալ ամենակարևոր նշումը հետևյալն է. հենց որ սկսում ենք բազմապատկել մեկից ավելի անդամ պարունակող փակագծերը, դա արվում է հետևյալ կանոնի համաձայն. առաջին անդամը վերցնում ենք առաջինից և բազմապատկում յուրաքանչյուր տարրի հետ՝ երկրորդ; այնուհետև մենք վերցնում ենք երկրորդ տարրը առաջինից և նմանապես բազմապատկում ենք երկրորդի յուրաքանչյուր տարրով: Արդյունքում կունենանք չորս ժամկետ։

Հանրահաշվական գումարի մասին

Այս վերջին օրինակով ես ուզում եմ ուսանողներին հիշեցնել, թե ինչ է հանրահաշվական գումարը: Դասական մաթեմատիկայի մեջ $1-7$ ասելով մենք հասկանում ենք պարզ շինարարություն՝ մեկից հանել յոթը: Հանրահաշվում մենք հասկանում ենք հետևյալը. «մեկ» թվին ավելացնում ենք ևս մեկ թիվ, այն է՝ «մինուս յոթը»: Ահա թե ինչպես է հանրահաշվական գումարը տարբերվում սովորական թվաբանական գումարից։

Հենց որ բոլոր փոխակերպումները, յուրաքանչյուր գումարում և բազմապատկում կատարելիս սկսեք տեսնել վերը նկարագրվածների նման կառուցվածքներ, բազմանդամների և հավասարումների հետ աշխատելիս հանրահաշվում պարզապես խնդիրներ չեք ունենա:

Ի վերջո, եկեք նայենք ևս մի քանի օրինակների, որոնք նույնիսկ ավելի բարդ կլինեն, քան մեր նայածները, և դրանք լուծելու համար մենք պետք է մի փոքր ընդլայնենք մեր ստանդարտ ալգորիթմը:

Հավասարումների լուծում կոտորակներով

Նման առաջադրանքները լուծելու համար մենք ստիպված կլինենք ևս մեկ քայլ ավելացնել մեր ալգորիթմին։ Բայց նախ հիշեցնեմ մեր ալգորիթմը.

1. Բացեք փակագծերը:
2. Առանձին փոփոխականներ.
3. Բերեք նմանատիպերը։
4. Բաժանեք հարաբերակցության վրա:

Ավաղ, այս հրաշալի ալգորիթմը, չնայած իր ողջ արդյունավետությանը, պարզվում է, որ ամբողջովին տեղին չէ, երբ մեր առջև կոտորակներ կան։ Եվ այն, ինչ մենք կտեսնենք ստորև, երկու հավասարումներում ունենք կոտորակ և՛ ձախ, և՛ աջ:

Ինչպե՞ս աշխատել այս դեպքում: Այո, դա շատ պարզ է: Դա անելու համար անհրաժեշտ է ալգորիթմին ավելացնել ևս մեկ քայլ, որը կարելի է անել ինչպես առաջին գործողությունից առաջ, այնպես էլ հետո, այն է՝ ազատվել կոտորակներից։ Այսպիսով, ալգորիթմը կլինի հետևյալը.

1. Ազատվել կոտորակներից.
2. Բացեք փակագծերը:
3. Առանձին փոփոխականներ.
4. Բերեք նմանատիպերը։
5. Բաժանեք հարաբերակցության վրա:

Ի՞նչ է նշանակում «ազատվել կոտորակներից»: Իսկ ինչո՞ւ դա կարելի է անել և՛ առաջին ստանդարտ քայլից հետո, և՛ դրանից առաջ: Փաստորեն, մեր դեպքում բոլոր կոտորակները թվային են իրենց հայտարարով, այսինքն. Ամենուր հայտարարը ընդամենը թիվ է։ Հետևաբար, եթե հավասարման երկու կողմերն էլ բազմապատկենք այս թվով, ապա կազատվենք կոտորակներից։

Օրինակ թիվ 1

\[\frac(\ձախ(2x+1 \աջ)\ձախ(2x-3 \աջ))(4)=((x)^(2))-1\]

Եկեք ազատվենք այս հավասարման կոտորակներից.

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \աջ)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \աջ)\cdot 4 \]

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. ամեն ինչ բազմապատկվում է «չորսով» մեկ անգամ, այսինքն. միայն այն պատճառով, որ դուք ունեք երկու փակագիծ, չի նշանակում, որ դուք պետք է յուրաքանչյուրը բազմապատկեք «չորսով»: Եկեք գրենք.

\[\ ձախ (2x+1 \աջ)\ձախ (2x-3 \աջ)=\ձախ (((x)^(2))-1 \աջ)\cdot 4\]

Այժմ ընդլայնենք.

Մենք առանձնացնում ենք փոփոխականը.

Մենք կատարում ենք նմանատիպ տերմինների կրճատում.

\[-4x=-1\ձախ| :\left(-4 \աջ) \աջ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Վերջնական լուծումը ստացել ենք, անցնենք երկրորդ հավասարմանը։

Օրինակ թիվ 2

\[\frac(\ձախ(1-x \աջ)\ձախ(1+5x \աջ))(5)+((x)^(2))=1\]

Այստեղ մենք կատարում ենք բոլոր նույն գործողությունները.

\[\frac(\ ձախ (1-x \աջ)\ձախ(1+5x \աջ)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Խնդիրը լուծված է։

Դա, փաստորեն, այն ամենն է, ինչ ես ուզում էի ասել ձեզ այսօր:

Հիմնական կետերը

Հիմնական բացահայտումները հետևյալն են.

• Իմացեք գծային հավասարումների լուծման ալգորիթմը:
• Փակագծեր բացելու ունակություն:
• Մի անհանգստացեք, եթե տեսնեք քառակուսի ֆունկցիաներ, ամենայն հավանականությամբ, հետագա վերափոխումների գործընթացում դրանք կնվազեն։
• Գծային հավասարումների մեջ կան երեք տեսակի արմատներ, նույնիսկ ամենապարզները. մեկ արմատ, ամբողջ թվային տողը արմատ է, և ընդհանրապես արմատներ չկան:

Հուսով եմ, որ այս դասը կօգնի ձեզ յուրացնել մի պարզ, բայց շատ կարևոր թեմա՝ բոլոր մաթեմատիկայի հետագա ըմբռնման համար: Եթե ​​ինչ-որ բան պարզ չէ, գնացեք կայք և լուծեք այնտեղ ներկայացված օրինակները։ Հետևե՛ք, շատ ավելի հետաքրքիր բաներ են սպասում ձեզ:

Մեկ անհայտով հավասարում, որը փակագծերը բացելուց և համանման տերմիններ բերելուց հետո ստանում է ձև

կացին + b = 0, որտեղ a-ն և b-ը կամայական թվեր են, կոչվում է գծային հավասարում մեկ անհայտի հետ. Այսօր մենք կպարզենք, թե ինչպես լուծել այս գծային հավասարումները:

Օրինակ, բոլոր հավասարումները.

2x + 3= 7 – 0,5x; 0.3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - գծային:

Անհայտի արժեքը, որը հավասարումը վերածում է իրական հավասարության, կոչվում է որոշումը կամ հավասարման արմատը .

Օրինակ, եթե 3x + 7 = 13 հավասարման մեջ x անհայտի փոխարեն մենք փոխարինում ենք 2 թիվը, մենք ստանում ենք ճիշտ հավասարություն 3 2 +7 = 13: Սա նշանակում է, որ x = 2 արժեքը լուծումն է կամ արմատը: հավասարման։

Իսկ x = 3 արժեքը 3x + 7 = 13 հավասարումը չի վերածում իրական հավասարության, քանի որ 3 2 +7 ≠ 13: Սա նշանակում է, որ x = 3 արժեքը հավասարման լուծում կամ արմատ չէ:

Ցանկացած գծային հավասարումների լուծումը վերածվում է ձևի հավասարումների լուծման

կացին + b = 0:

Ազատ անդամը հավասարման ձախ կողմից տեղափոխենք աջ՝ b-ի դիմաց նշանը փոխելով հակառակի վրա, ստանում ենք.

Եթե ​​a ≠ 0, ապա x = ‒ b/a .

Օրինակ 1. Լուծե՛ք 3x + 2 =11 հավասարումը։

2-ը հավասարման ձախ կողմից տեղափոխենք աջ՝ 2-ի դիմացի նշանը փոխելով հակառակի վրա, ստանում ենք.
3x = 11-2:

Ուրեմն եկեք կատարենք հանումը
3x = 9.

X գտնելու համար անհրաժեշտ է արտադրյալը բաժանել հայտնի գործակցի, այսինքն
x = 9:3:

Սա նշանակում է, որ x = 3 արժեքը հավասարման լուծումն է կամ արմատը:

Պատասխան՝ x = 3.

Եթե ​​a = 0 և b = 0, ապա ստանում ենք 0x = 0 հավասարումը։ Այս հավասարումն ունի անվերջ շատ լուծումներ, քանի որ երբ մենք ցանկացած թիվ բազմապատկում ենք 0-ով, ստանում ենք 0, բայց b-ն նույնպես հավասար է 0-ի։ Այս հավասարման լուծումը ցանկացած թիվ է։

Օրինակ 2.Լուծե՛ք 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 հավասարումը։

Ընդլայնենք փակագծերը.
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2:

Ահա մի քանի նմանատիպ տերմիններ.
0x = 0:

Պատասխան՝ x - ցանկացած թիվ.

Եթե ​​a = 0 և b ≠ 0, ապա ստանում ենք 0x = - b հավասարումը։ Այս հավասարումը լուծումներ չունի, քանի որ ցանկացած թիվ 0-ով բազմապատկելիս ստանում ենք 0, բայց b ≠ 0։

Օրինակ 3.Լուծե՛ք x + 8 = x + 5 հավասարումը։

Եկեք խմբավորենք ձախ կողմում անհայտներ պարունակող տերմիններ, իսկ աջ կողմում՝ ազատ տերմիններ.
x – x = 5 – 8:

Ահա մի քանի նմանատիպ տերմիններ.
0х = ‒ 3.

Պատասխան՝ լուծումներ չկան։

Վրա Նկար 1 ցույց է տալիս գծային հավասարման լուծման դիագրամ

Կազմենք մեկ փոփոխականով հավասարումների լուծման ընդհանուր սխեմա։ Դիտարկենք օրինակ 4-ի լուծումը:

Օրինակ 4. Ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծենք հավասարումը

1) Հավասարման բոլոր անդամները բազմապատկեք հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկով, որը հավասար է 12-ի:

2) Կրճատումից հետո մենք ստանում ենք
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Անհայտ և ազատ տերմիններ պարունակող տերմիններն առանձնացնելու համար բացեք փակագծերը.
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86:

4) Մի մասում խմբավորենք անհայտներ պարունակող տերմինները, իսկ մյուսում՝ ազատ տերմինները.
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12:

5) Ներկայացնենք նմանատիպ տերմիններ.
- 22x = - 154:

6) Բաժանել 22-ի, ստանում ենք
x = 7.

Ինչպես տեսնում եք, հավասարման արմատը յոթն է:

Ընդհանրապես այդպիսին հավասարումները կարելի է լուծել հետևյալ սխեմայով:

ա) հավասարումը բերել իր ամբողջ թվի ձևին.

բ) բացել փակագծերը.

գ) խմբավորել հավասարման մի մասում անհայտը պարունակող անդամները, մյուսում՝ ազատ անդամները.

դ) բերել համանման անդամների.

ե) լուծել aх = b ձևի հավասարումը, որը ստացվել է համանման անդամներ բերելուց հետո։

Այնուամենայնիվ, այս սխեման անհրաժեշտ չէ յուրաքանչյուր հավասարման համար: Շատ ավելի պարզ հավասարումներ լուծելիս պետք է սկսել ոչ թե առաջինից, այլ երկրորդից ( Օրինակ. 2), երրորդ ( Օրինակ. 13) և նույնիսկ հինգերորդ փուլից, ինչպես օրինակ 5-ում:

Օրինակ 5.Լուծե՛ք 2x = 1/4 հավասարումը։

Գտեք անհայտ x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Դիտարկենք հիմնական պետական ​​քննությունից հայտնաբերված մի քանի գծային հավասարումներ լուծելը։

Օրինակ 6.Լուծե՛ք 2 (x + 3) = 5 – 6x հավասարումը:

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 – 6

Պատասխան՝ - 0,125

Օրինակ 7.Լուծե՛ք հավասարումը – 6 (5 – 3x) = 8x – 7։

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Պատասխան՝ 2.3

Օրինակ 8. Լուծե՛ք հավասարումը

3 (3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Օրինակ 9.Գտեք f(6), եթե f (x + 2) = 3 7's

Լուծում

Քանի որ մենք պետք է գտնենք f(6), և մենք գիտենք f (x + 2),
ապա x + 2 = 6:

Մենք լուծում ենք x + 2 = 6 գծային հավասարումը,
մենք ստանում ենք x = 6 – 2, x = 4:

Եթե ​​x = 4, ապա
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Պատասխան՝ 27։

Եթե ​​դեռ հարցեր ունեք կամ ցանկանում եք ավելի մանրակրկիտ հասկանալ հավասարումների լուծումը, գրանցվեք իմ դասերի ժամանակացույցում: Ես ուրախ կլինեմ օգնել ձեզ:

TutorOnline-ը նաև խորհուրդ է տալիս դիտել մեր դաստիարակ Օլգա Ալեքսանդրովնայի նոր տեսադասը, որը կօգնի ձեզ հասկանալ ինչպես գծային հավասարումները, այնպես էլ մյուսները:

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին: