Թուլացման պատճառն այն է, որ ցանկացած տատանողական համակարգում, բացի վերականգնող ուժից, միշտ առկա են օդի դիմադրության տարբեր տեսակներ.

և այլն, որոնք դանդաղեցնում են շարժումը: Յուրաքանչյուր ճոճանակով մի մասը ծախսվում է շփման ուժերի դեմ աշխատանքի վրա։ Ի վերջո, այս աշխատանքը սպառում է էներգիայի ողջ պաշարը, որն ի սկզբանե մատակարարվում էր տատանողական համակարգին:

Դիտարկելիս գործ ունեինք իդեալական, խիստ պարբերական բնական տատանումների հետ։ Օգտագործելով նման մոդել իրական տատանումները նկարագրելու համար, մենք դիտավորյալ թույլ ենք տալիս նկարագրության մեջ անճշտություն: Այնուամենայնիվ, նման պարզեցումը հարմար է նրանով, որ շատ տատանողական համակարգերում շփման հետևանքով առաջացած տատանումների մեղմացումը իսկապես փոքր է. համակարգը կարողանում է շատ տատանումներ կատարել, նախքան դրանք նկատելիորեն նվազելը:

Խոնավացված տատանումների գրաֆիկները

Դեմպինգի առկայության դեպքում բնական տատանումը (նկ. 1) դադարում է ներդաշնակ լինել։ Ավելին, խամրված տատանումը դադարում է պարբերական պրոցես լինելուց. շփումը ազդում է ոչ միայն տատանումների ամպլիտուդության վրա (այսինքն՝ այն առաջացնում է խոնավացում), այլև ճոճանակների տևողության վրա։ Քանի որ շփումը մեծանում է, համակարգի համար մեկ ամբողջական տատանումն ավարտելու համար պահանջվող ժամանակը մեծանում է: Խոնավացված տատանումների գրաֆիկը ներկայացված է Նկ. 2.

Նկ.1. Ազատ ներդաշնակ գրաֆիկ

Նկ.2. Խոնավ տատանումների գրաֆիկ

Տատանողական համակարգերի բնորոշ առանձնահատկությունն այն է, որ աննշան շփումը ազդում է տատանման ժամանակաշրջանի վրա շատ ավելի փոքր չափով, քան ամպլիտուդան: Այս հանգամանքը հսկայական դեր է խաղացել ժամացույցների կատարելագործման գործում։ Առաջին ժամացույցը կառուցվել է հոլանդացի ֆիզիկոս և մաթեմատիկոս Քրիստիան Հյուգենսի կողմից 1673 թվականին։ Այս տարի կարելի է համարել ժամացույցի ժամանակակից մեխանիզմների ծննդյան տարեթիվը։ Ճոճանակային ժամացույցների շարժումը քիչ զգայուն է շփման պատճառով փոփոխությունների նկատմամբ, որոնք ընդհանուր առմամբ կախված են բազմաթիվ գործոններից, մինչդեռ նախորդ ճոճանակային ժամացույցների արագությունը շատ կախված էր շփումից:

Գործնականում անհրաժեշտություն կա և՛ նվազեցնելու, և՛ մեծացնելու տատանումների թուլացումը։ Օրինակ, ժամացույցի շարժումները նախագծելիս նրանք ձգտում են նվազեցնել ժամացույցի հավասարակշռիչի տատանումների թուլացումը: Դրա համար հավասարակշռող առանցքը հագեցված է սուր ծայրերով, որոնք հենվում են կոշտ քարից (ագատ կամ ռուբին) պատրաստված լավ հղկված կոնաձև առանցքակալների վրա: Ընդհակառակը, շատ չափիչ գործիքներում շատ ցանկալի է, որ սարքի շարժական մասը չափման գործընթացում արագ տեղադրվի, բայց ենթարկվի մեծ թվով տատանումների։ Այս դեպքում թուլացումը մեծացնելու համար օգտագործվում են տարբեր կափույրներ՝ սարքեր, որոնք մեծացնում են շփումը և, ընդհանուր առմամբ, էներգիայի կորուստը:

1.21. 3 ԽՈՆՑՎԱԾ, ՀԱՐԿԱԴՐՎԱԾ Տատանումներ

Խոնավ տատանումների դիֆերենցիալ հավասարումը և դրա լուծումը. Թուլացման գործակիցը. Լոգարիթմական տախտակամածքայքայման ժամանակ.Տատանումների որակի գործոնմարմնի համակարգ.Պարբերական գործընթաց. Հարկադիր տատանումների դիֆերենցիալ հավասարումը և դրա լուծումը.Հարկադիր տատանումների լայնությունը և փուլը: Տատանումների հաստատման գործընթացը. Ռեզոնանսի դեպք.Ինքնա-տատանումներ.

Տատանումների մարումը ժամանակի ընթացքում տատանումների ամպլիտուդի աստիճանական նվազում է՝ տատանումների համակարգի կողմից էներգիայի կորստի պատճառով։

Բնական տատանումները առանց ամորտիզացիայի իդեալականացում են: Թուլացման պատճառները կարող են տարբեր լինել: Մեխանիկական համակարգում թրթռումները թուլանում են շփման առկայությամբ: Երբ տատանողական համակարգում կուտակված ողջ էներգիան սպառվի, տատանումները կդադարեն: Հետևաբար ամպլիտուդը խոնավացած տատանումներ նվազում է մինչև այն հավասարվի զրոյի:

Խոնավ տատանումները, ինչպես բնական տատանումները, համակարգերում, որոնք տարբեր են բնույթով, կարելի է դիտարկել մեկ տեսանկյունից՝ ընդհանուր բնութագրիչներ։ Այնուամենայնիվ, այնպիսի բնութագրիչներ, ինչպիսիք են ամպլիտուդը և ժամկետը, պահանջում են վերասահմանում, իսկ մյուսները պահանջում են հավելում և պարզաբանում բնական չխոնավ տատանումների նույն բնութագրերի համեմատությամբ: Խոնավացված տատանումների ընդհանուր առանձնահատկությունները և հասկացությունները հետևյալն են.

Դիֆերենցիալ հավասարումը պետք է ստացվի՝ հաշվի առնելով տատանումների գործընթացի ընթացքում թրթռումային էներգիայի նվազումը։

Տատանումների հավասարումը դիֆերենցիալ հավասարման լուծում է:

Խոնավացված տատանումների ամպլիտուդը կախված է ժամանակից։

Հաճախականությունը և ժամանակաշրջանը կախված են տատանումների թուլացման աստիճանից։

Փուլը և սկզբնական փուլն ունեն նույն նշանակությունը, ինչ շարունակական տատանումների համար:

Մեխանիկական խոնավացված տատանումներ.

Մեխանիկական համակարգ Զսպանակային ճոճանակ՝ հաշվի առնելով շփման ուժերը:

Ճոճանակի վրա գործող ուժեր :

Էլաստիկ ուժ., որտեղ k-ը զսպանակի կոշտության գործակիցն է, x-ը՝ ճոճանակի տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքից։

Դիմադրության ուժ. Դիտարկենք շարժման v արագությանը համաչափ դիմադրության ուժ (այս կախվածությունը բնորոշ է դիմադրության ուժերի մեծ դասի համար). Մինուս նշանը ցույց է տալիս, որ դիմադրության ուժի ուղղությունը հակառակ է մարմնի արագության ուղղությանը։ Քաշման գործակիցը r թվայինորեն հավասար է քաշման ուժին, որն առաջանում է մարմնի շարժման միավորի արագությամբ.

Շարժման օրենքը գարնանային ճոճանակ - սա Նյուտոնի երկրորդ օրենքն է.

մ ա = Ֆնախկին + Ֆդիմադրություն

Հաշվի առնելով, որ երկուսն էլ Նյուտոնի երկրորդ օրենքը գրում ենք հետևյալ ձևով.

. (21.1)

Հավասարման բոլոր անդամները բաժանելով m-ի և բոլորին տեղափոխելով աջ կողմ՝ ստանում ենք դիֆերենցիալ հավասարում խոնավացված տատանումներ.

Եկեք նշենք, թե որտեղ β – թուլացման գործակիցը , , Որտեղ ω 0 – անխոնավ ազատ տատանումների հաճախականությունը տատանողական համակարգում էներգիայի կորուստների բացակայության դեպքում:

Նոր նշման մեջ խոնավացած տատանումների դիֆերենցիալ հավասարումն ունի ձև.

. (21.2)

Սա երկրորդ կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարում է:

Այս գծային դիֆերենցիալ հավասարումը լուծվում է փոփոխականների փոփոխությամբ: Ներկայացնենք x ֆունկցիան՝ կախված t ժամանակից, ձևով.

.

Գտնենք այս ֆունկցիայի առաջին և երկրորդ ածանցյալները ժամանակի նկատմամբ՝ հաշվի առնելով, որ z ֆունկցիան նույնպես ժամանակի ֆունկցիա է.

, .

Արտահայտությունները փոխարինենք դիֆերենցիալ հավասարման մեջ.

Եկեք հավասարման մեջ ներկայացնենք նմանատիպ տերմիններ և յուրաքանչյուր անդամ փոքրացնենք , ստանում ենք հավասարումը.

.

Նշենք քանակը .

Հավասարման լուծում գործառույթներն են, .

Վերադառնալով x փոփոխականին, մենք ստանում ենք խոնավացված տատանումների հավասարումների բանաձևերը.

Այսպիսով , խոնավացված տատանումների հավասարումդիֆերենցիալ հավասարման լուծումն է (21.2).

Խոնավացված հաճախականություն :

(հետևաբար, միայն իրական արմատն ունի ֆիզիկական նշանակություն):

Խոնավ տատանումների ժամանակաշրջան :

(21.5)

Այն իմաստը, որը դրվել է չխոնավ տատանումների ժամանակաշրջանի հայեցակարգի մեջ, հարմար չէ խոնավացված տատանումների համար, քանի որ տատանողական համակարգը երբեք չի վերադառնում իր սկզբնական վիճակին տատանողական էներգիայի կորստի պատճառով: Շփման առկայության դեպքում թրթռումները ավելի դանդաղ են.

Խոնավ տատանումների ժամանակաշրջան այն նվազագույն ժամանակահատվածն է, որի ընթացքում համակարգը երկու անգամ մեկ ուղղությամբ անցնում է հավասարակշռության դիրքը:

Զսպանակային ճոճանակի մեխանիկական համակարգի համար մենք ունենք.

, .

Խոնավացված տատանումների ամպլիտուդը :

Գարնանային ճոճանակի համար:

Խոնավ տատանումների ամպլիտուդը հաստատուն արժեք չէ, այլ ժամանակի ընթացքում փոխվում է, այնքան արագ, այնքան մեծ է β գործակիցը։ Հետևաբար, ամպլիտուդի սահմանումը, որն ավելի վաղ տրվել է չամրացված ազատ տատանումների համար, պետք է փոխվի խամրված տատանումների համար:

Փոքր թուլացումների համար խոնավացած տատանումների ամպլիտուդը կոչվում է հավասարակշռության դիրքից ամենամեծ շեղումը որոշակի ժամանակահատվածում:

Գծապատկերներ Տեղաշարժն ընդդեմ ժամանակի և ամպլիտուդի համեմատ ժամանակի գծապատկերների ներկայացված են Նկար 21.1-ում և 21.2-ում:

Նկար 21.1 – Խոնավ տատանումների տեղաշարժի կախվածությունը ժամանակից:

Նկար 21.2 – Ամպլիտուդայի կախվածությունը ժամանակից խոնավացած տատանումների համար

Խոնավ տատանումների բնութագրերը.

1. Թուլացման գործակիցը β .

Խոնավացված տատանումների ամպլիտուդը փոխվում է ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի.

Թող տատանման ամպլիտուդը τ ժամանակի ընթացքում նվազի «e» անգամ («e»-ն բնական լոգարիթմի հիմքն է, e ≈ 2.718): Հետո, մի կողմից, , իսկ մյուս կողմից՝ նկարագրելով ամպլիտուդները Ա զատ. (տ) և Ա զատ. (t+τ), ունենք . Այս հարաբերություններից հետևում է βτ = 1, հետևաբար.

Ժամանակի ընդմիջում τ , որի ընթացքում ամպլիտուդը նվազում է «e» անգամ, կոչվում է հանգստի ժամանակ։

Թուլացման գործակիցը β – հանգստի ժամանակին հակադարձ համեմատական ​​մեծություն:

2. Լոգարիթմական մարման նվազում δ - ֆիզիկական մեծություն, որը թվայինորեն հավասար է երկու հաջորդական ամպլիտուդների հարաբերակցության բնական լոգարիթմին, որոնք ժամանակի ընթացքում բաժանված են մի կետով:

Եթե ​​թուլացումը փոքր է, այսինքն. β-ի արժեքը փոքր է, այնուհետև ամպլիտուդը մի փոքր փոխվում է ժամանակաշրջանի ընթացքում, և լոգարիթմական նվազումը կարող է սահմանվել հետևյալ կերպ.

,

որտեղ է Ա զատը. (տ) և Ա զատ. (t+NT) – տատանումների ամպլիտուդներ e-ում և N ժամանակաշրջաններից հետո, այսինքն՝ ժամանակին (t + NT):

3. Որակի գործոն Ք տատանողական համակարգ – անչափ ֆիզիկական մեծություն, որը հավասար է (2π) ν քանակի արտադրյալին և համակարգի W(t) էներգիայի հարաբերակցությանը ժամանակի կամայական պահին էներգիայի կորստին խամրված տատանումների մեկ ժամանակահատվածում.

.

Քանի որ էներգիան համաչափ է ամպլիտուդի քառակուսու հետ, ուրեմն

δ լոգարիթմական անկման փոքր արժեքների համար տատանողական համակարգի որակի գործակիցը հավասար է

,

որտեղ N e-ն այն տատանումների թիվն է, որի ընթացքում ամպլիտուդան նվազում է «e» անգամ:

Այսպիսով, զսպանակային ճոճանակի որակի գործակիցը որքան բարձր է տատանողական համակարգի որակի գործակիցը, այնքան քիչ թուլացումը, այնքան երկար կտևի պարբերական պրոցեսը նման համակարգում: Տատանողական համակարգի որակի գործոն -անչափ մեծություն, որը բնութագրում է ժամանակի ընթացքում էներգիայի ցրումը։

4. Երբ β գործակիցը մեծանում է, թուլացած տատանումների հաճախականությունը նվազում է, իսկ ժամանակաշրջանը մեծանում է: ω 0 = β-ում խամրված տատանումների հաճախականությունը հավասարվում է զրոյի ω zat-ի: = 0, և T zat. = ∞. Այս դեպքում տատանումները կորցնում են իրենց պարբերական բնույթը և կոչվում են պարբերական.

ω 0 = β դեպքում թրթռումային էներգիայի նվազման համար պատասխանատու համակարգի պարամետրերը ստանում են արժեքներ, որոնք կոչվում են. քննադատական . Զսպանակային ճոճանակի համար ω 0 = β պայմանը կգրվի հետևյալ կերպ. որտեղից մենք գտնում ենք մեծությունը. կրիտիկական դիմադրության գործակից.

.

Բրինձ. 21.3. Պարբերական տատանումների ամպլիտուդի կախվածությունը ժամանակից

Հարկադիր թրթռումներ.

Բոլոր իրական տատանումները խոնավացվում են: Որպեսզի իրական տատանումները տեղի ունենան բավականաչափ երկար ժամանակ, անհրաժեշտ է պարբերաբար լրացնել տատանողական համակարգի էներգիան՝ դրա վրա գործելով արտաքին պարբերաբար փոփոխվող ուժով:

Դիտարկենք տատանումների երևույթը, եթե արտաքին (ստիպելով) ուժը փոխվում է ժամանակի հետ՝ ներդաշնակ օրենքի համաձայն։ Այս դեպքում համակարգերում կառաջանան տատանումներ, որոնց բնույթն այս կամ այն ​​չափով կկրկնի շարժիչ ուժի բնույթը։ Նման տատանումները կոչվում են հարկադրված .

Հարկադիր մեխանիկական թրթռումների ընդհանուր նշաններ.

1. Դիտարկենք զսպանակային ճոճանակի հարկադիր մեխանիկական տատանումները, որոնց վրա գործում է արտաքին. (համոզիչ ) պարբերական ուժ . Ուժերը, որոնք գործում են ճոճանակի վրա, երբ հեռացվում են նրա հավասարակշռության դիրքից, զարգանում են հենց տատանողական համակարգում։ Սրանք առաձգական ուժ և դիմադրողական ուժ են:

Շարժման օրենքը (Նյուտոնի երկրորդ օրենքը) կգրվի հետևյալ կերպ.

(21.6)

Եկեք հավասարման երկու կողմերը բաժանենք m-ի, հաշվի առնենք, որ և ստացենք դիֆերենցիալ հավասարում հարկադիր տատանումներ.

Եկեք նշենք ( β – թուլացման գործակիցը ), (ω 0 – չխոնավ ազատ տատանումների հաճախականություն), զանգվածի միավորի վրա ազդող ուժ։ Այս նշումներում դիֆերենցիալ հավասարում հարկադիր տատանումները կունենան հետևյալ ձևը.

(21.7)

Սա երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարում է, որն ունի ոչ զրոյական աջ կողմ: Նման հավասարման լուծումը երկու լուծումների գումարն է

.

- միատարր դիֆերենցիալ հավասարման ընդհանուր լուծում, այսինքն. դիֆերենցիալ հավասարում առանց աջ կողմի, երբ այն հավասար է զրոյի: Մենք գիտենք նման լուծում. սա խոնավացված տատանումների հավասարումն է, որը գրված է հաստատունի ճշգրտությամբ, որի արժեքը որոշվում է տատանողական համակարգի սկզբնական պայմաններով.

Մենք ավելի վաղ քննարկել ենք, որ լուծումը կարելի է գրել սինուսային ֆունկցիաներով:

Եթե ​​հաշվի առնենք ճոճանակի տատանումների գործընթացը բավականաչափ մեծ ժամանակամիջոցից Δt շարժիչ ուժը միացնելուց հետո (Նկար 21.2), ապա համակարգում խամրված տատանումները գործնականում կդադարեն: Եվ այդ դեպքում աջ կողմով դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը կլինի լուծումը:

Լուծումը անհամասեռ դիֆերենցիալ հավասարման որոշակի լուծում է, այսինքն. աջ կողմի հետ հավասարումներ. Դիֆերենցիալ հավասարումների տեսությունից հայտնի է, որ երբ աջ կողմը փոխվում է ներդաշնակ օրենքի համաձայն, լուծումը կլինի ներդաշնակ ֆունկցիա (sin կամ cos)՝ փոփոխության հաճախականությամբ, որը համապատասխանում է աջ փոփոխության Ω հաճախականությանը։ - ձեռքի կողմը:

որտեղ Ampl. – հարկադիր տատանումների ամպլիտուդ, φ 0 – փուլային տեղաշարժ , դրանք. շարժիչ ուժի փուլի և հարկադիր տատանումների փուլի փուլային տարբերությունը: Եվ ամպլիտուդի A ամպլ. , իսկ փուլային հերթափոխը φ 0 կախված է համակարգի պարամետրերից (β, ω 0) և շարժիչ ուժի Ω հաճախականությունից։

Հարկադիր տատանումների ժամանակաշրջան հավասար է (21.9)

Հարկադիր թրթռումների գրաֆիկը Նկար 4.1-ում:

Նկ.21.3. Հարկադիր տատանումների գրաֆիկ

Հարմոնիկ են նաև կայուն վիճակում գտնվող հարկադիր տատանումները։

Հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի և ֆազային տեղաշարժի կախվածությունը արտաքին ազդեցության հաճախականությունից: Ռեզոնանս.

1. Վերադառնանք զսպանակային ճոճանակի մեխանիկական համակարգին, որի վրա գործում է արտաքին ուժ, որը տատանվում է ներդաշնակ օրենքի համաձայն: Նման համակարգի համար դիֆերենցիալ հավասարումը և դրա լուծումը, համապատասխանաբար, ունեն ձև.

, .

Եկեք վերլուծենք տատանման ամպլիտուդի և ֆազային տեղաշարժի կախվածությունը արտաքին շարժիչ ուժի հաճախականությունից, դրա համար մենք կգտնենք x-ի առաջին և երկրորդ ածանցյալները և դրանք կփոխարինենք դիֆերենցիալ հավասարման մեջ:

Եկեք օգտագործենք վեկտորային դիագրամի մեթոդը: Հավասարումը ցույց է տալիս, որ հավասարման ձախ կողմի երեք տատանումների գումարը (Նկար 4.1) պետք է հավասար լինի աջ կողմի թրթռմանը: Վեկտորային դիագրամը կազմված է t ժամանակի կամայական պահի համար: Դրանից դուք կարող եք որոշել.

Նկար 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Հաշվի առնելով , ,-ի արժեքը՝ մենք ստանում ենք φ 0 և A ամպլի բանաձևեր։ մեխանիկական համակարգ:

,

.

2. Մենք ուսումնասիրում ենք հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի կախվածությունը շարժիչ ուժի հաճախականությունից և դիմադրության ուժի մեծությունից տատանվող մեխանիկական համակարգում, օգտագործելով այս տվյալները՝ կառուցում ենք գրաֆիկ. . Հետազոտության արդյունքները արտացոլված են Նկար 21.5-ում, որը ցույց է տալիս, որ որոշակի շարժիչ ուժի հաճախականության դեպքում կտրուկ մեծանում է տատանումների ամպլիտուդը։ Եվ այս աճն ավելի մեծ է, այնքան ցածր է β թուլացման գործակիցը: Երբ տատանումների ամպլիտուդը դառնում է անսահման մեծ։

Ամպլիտուդության կտրուկ աճի երեւույթը հարկադիր տատանումներ շարժիչ ուժի հաճախականությամբ, որը հավասար է , կոչվում է ռեզոնանս։

(21.12)

Նկար 21.5-ի կորերը արտացոլում են հարաբերությունները և կոչվում են ամպլիտուդի ռեզոնանսային կորեր .

Նկար 21.5 – Շարժիչ ուժի հաճախականությունից հարկադիր տատանումների ամպլիտուդի կախվածության գրաֆիկները:

Ռեզոնանսային տատանումների ամպլիտուդը կունենա հետևյալ ձևը.

Հարկադիր թրթիռներն են չխոնավտատանումներ. Շփման հետևանքով անխուսափելի էներգիայի կորուստները փոխհատուցվում են պարբերաբար գործող ուժի արտաքին աղբյուրից էներգիայի մատակարարմամբ: Կան համակարգեր, որոնցում չխոնարհված տատանումները առաջանում են ոչ թե պարբերական արտաքին ազդեցությունների պատճառով, այլ նման համակարգերի՝ մշտական ​​աղբյուրից էներգիայի մատակարարումը կարգավորելու ունակության արդյունքում։ Նման համակարգերը կոչվում են ինքնահոս տատանվող, իսկ նման համակարգերում չխոնավ տատանումների պրոցեսն է ինքնուրույն տատանումներ.

Ինքնատատանվող համակարգում կարելի է առանձնացնել երեք բնորոշ տարր՝ տատանողական համակարգ, էներգիայի աղբյուր և հետադարձ կապ տատանողական համակարգի և աղբյուրի միջև։ Ցանկացած մեխանիկական համակարգ, որն ի վիճակի է կատարել իր սեփական խոնավ տատանումները (օրինակ՝ պատի ժամացույցի ճոճանակը) կարող է օգտագործվել որպես տատանողական համակարգ։

Էներգիայի աղբյուրը կարող է լինել աղբյուրի դեֆորմացիայի էներգիան կամ գրավիտացիոն դաշտում բեռի պոտենցիալ էներգիան։ Հետադարձ կապի սարքը մեխանիզմ է, որով ինքնատատանվող համակարգը կարգավորում է էներգիայի հոսքը աղբյուրից։ Նկ. Նկար 21.6-ը ցույց է տալիս ինքնատատանողական համակարգի տարբեր տարրերի փոխազդեցության դիագրամ:

Մեխանիկական ինքնաթրթռացող համակարգի օրինակ է ժամացույցի մեխանիզմը խարիսխառաջընթաց (նկ. 21.7.): Թեք ատամներով վազող անիվը կոշտ ամրացված է ատամնավոր թմբուկին, որի միջով գցվում է ծանրաձողով շղթա։ Ճոճանակի վերին ծայրում կա խարիսխ (խարիսխ)՝ երկու կոշտ նյութով թիթեղներով՝ թեքված շրջանաձև աղեղով, որի կենտրոնը գտնվում է ճոճանակի առանցքի վրա։ Ձեռքի ժամացույցներում քաշը փոխարինվում է զսպանակով, իսկ ճոճանակը փոխարինվում է հավասարակշռողով՝ ձեռքի անիվով, որը միացված է պարուրաձև զսպանակին:

Հավասարակշռողն իր առանցքի շուրջ պտտվող թրթռումներ է կատարում: Ժամացույցի տատանողական համակարգը ճոճանակ կամ հավասարակշռող է: Էներգիայի աղբյուրը բարձրացված քաշն է կամ վերքի զսպանակը։ Հետադարձ կապ ապահովելու համար օգտագործվող սարքը խարիսխ է, որը թույլ է տալիս վազող անիվին մեկ ատամը պտտել մեկ կիսաշրջանի ընթացքում:

Հետադարձ կապը ապահովվում է խարիսխի փոխազդեցությամբ վազող անիվի հետ: Ճոճանակի յուրաքանչյուր տատանումով վազող անիվի մի ատամը հրում է խարիսխի պատառաքաղը ճոճանակի շարժման ուղղությամբ՝ դրան փոխանցելով էներգիայի որոշակի բաժին, որը փոխհատուցում է շփման պատճառով էներգիայի կորուստները։ Այսպիսով, քաշի (կամ ոլորված զսպանակի) պոտենցիալ էներգիան աստիճանաբար, առանձին մասերով, փոխանցվում է ճոճանակին։

Մեխանիկական ինքնաթրթռացող համակարգերը լայնորեն տարածված են մեզ շրջապատող կյանքում և տեխնոլոգիայի մեջ: Ինքնատատանումները տեղի են ունենում գոլորշու շարժիչների, ներքին այրման շարժիչների, էլեկտրական զանգերի, աղեղնավոր երաժշտական ​​գործիքների լարերի, փողային գործիքների խողովակների օդային սյուների, խոսելու կամ երգելու ժամանակ ձայնալարերի և այլն:

Այս բաժինն ուսումնասիրելիս խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ տատանումներտարբեր ֆիզիկական բնույթի նկարագրված են ընդհանուր մաթեմատիկական դիրքերից: Այստեղ անհրաժեշտ է հստակ հասկանալ այնպիսի հասկացություններ, ինչպիսիք են ներդաշնակ տատանումը, փուլը, փուլային տարբերությունը, ամպլիտուդը, հաճախականությունը, տատանումների ժամանակաշրջանը։

Պետք է նկատի ունենալ, որ ցանկացած իրական տատանողական համակարգում կա միջավայրի դիմադրություն, այսինքն. տատանումները կխոնավվեն։ Տատանումների մարումը բնութագրելու համար ներկայացվում են մարման գործակից և լոգարիթմական մարման նվազում:

Եթե ​​տատանումները տեղի են ունենում արտաքին, պարբերաբար փոփոխվող ուժի ազդեցությամբ, ապա այդպիսի տատանումները կոչվում են հարկադիր։ Դրանք չխոնավեցվելու են: Հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը կախված է շարժիչ ուժի հաճախականությունից։ Երբ հարկադիր տատանումների հաճախականությունը մոտենում է բնական տատանումների հաճախականությանը, հարկադրված տատանումների ամպլիտուդը կտրուկ մեծանում է։ Այս երեւույթը կոչվում է ռեզոնանս։

Անցնելով էլեկտրամագնիսական ալիքների ուսումնասիրությանը, դուք պետք է հստակ հասկանաք դաէլեկտրամագնիսական ալիքտիեզերքում տարածվող էլեկտրամագնիսական դաշտ է։ Էլեկտրամագնիսական ալիքներ արձակող ամենապարզ համակարգը էլեկտրական դիպոլն է։ Եթե ​​դիպոլը ենթարկվում է ներդաշնակ տատանումների, ապա այն արձակում է միագույն ալիք։

Բանաձևերի աղյուսակ. տատանումներ և ալիքներ

Խոնավ տատանումներ

Զսպանակային ճոճանակի խոնավ տատանումներ

Խոնավ տատանումներ- թրթռումներ, որոնց էներգիան ժամանակի ընթացքում նվազում է: Բնության մեջ անհնար է տեսակների անվերջ տեւական գործընթացը: Ցանկացած տատանումների ազատ տատանումները վաղ թե ուշ մարում են և դադարում: Հետեւաբար, գործնականում մենք սովորաբար գործ ունենք խոնավացած տատանումների հետ: Դրանք բնութագրվում են նրանով, որ տատանումների ամպլիտուդը Անվազող ֆունկցիա է։ Սովորաբար, թուլացումը տեղի է ունենում միջավայրի դիմադրության ուժերի ազդեցության տակ, որն առավել հաճախ արտահայտվում է որպես գծային կախվածություն տատանումների արագությունից կամ դրա քառակուսուց:

Ակուստիկայում. թուլացում - ազդանշանի մակարդակի իջեցում մինչև ամբողջական անլսելիություն:

Զսպանակային ճոճանակի խոնավ տատանումներ

Թող լինի մի համակարգ, որը բաղկացած է զսպանակից (ենթարկվում է Հուկի օրենքին), որի մի ծայրը կոշտ ամրացված է, իսկ մյուսում կա զանգվածի մարմին։ մ. Տատանումները տեղի են ունենում այնպիսի միջավայրում, որտեղ դիմադրության ուժը համաչափ է արագության գործակիցով գ(տես մածուցիկ շփում):

Որի արմատները հաշվարկվում են հետևյալ բանաձևով

Լուծումներ

Կախված թուլացման գործակիցի արժեքից, լուծումը բաժանվում է երեք հնարավոր տարբերակների.

• Պարբերականություն

Եթե ​​, ապա կան երկու իրական արմատներ, և դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը ստանում է ձևը.

Այս դեպքում տատանումները հենց սկզբից երկրաչափորեն քայքայվում են։

• Պարբերականության սահմանը

Եթե ​​, երկու իրական արմատները համընկնում են, և հավասարման լուծումը հետևյալն է.

Այս դեպքում կարող է լինել ժամանակավոր աճ, բայց հետո էքսպոնենցիալ քայքայում:

• Թույլ թուլացում

Եթե ​​, ապա բնորոշ հավասարման լուծումը երկու բարդ խոնարհված արմատներ են

Այնուհետև սկզբնական դիֆերենցիալ հավասարման լուծումն է

Որտե՞ղ է խոնավացած տատանումների բնական հաճախականությունը:

Հաստատունները և յուրաքանչյուր դեպքում որոշվում են սկզբնական պայմաններից.

տես նաեւ

• Թուլացման նվազում

գրականություն

Լիտ.՝ Սավելև Ի.Վ., Ընդհանուր ֆիզիկայի դասընթաց՝ մեխանիկա, 2001 թ.

Վիքիմեդիա հիմնադրամ. 2010 թ.

Տեսեք, թե ինչ են «խոնավ տատանումները» այլ բառարաններում.

Խոնավ տատանումներ- Խոնավ տատանումներ. ԽՈՍԱՆՑՎԱԾ ԹՐԹՌՆԱՑՈՒՄՆԵՐ, տատանումներ, որոնց A ամպլիտուդը ժամանակի ընթացքում նվազում է էներգիայի կորուստների պատճառով. տատանումների էներգիայի փոխակերպումը ջերմության՝ մեխանիկական համակարգերում շփման արդյունքում (օրինակ՝ կասեցման կետում... ... Պատկերազարդ հանրագիտարանային բառարան

Բնական տատանումներ, որոնց A ամպլիտուդը նվազում է t ժամանակի հետ՝ համաձայն էքսպոնենցիալ A(t) = Аоexp (?t) օրենքի (? թուլացման ցուցիչ մածուցիկ շփման ուժերի պատճառով մածուցիկ շփման ուժերի մեխանիկական խամրված տատանումների և ohmic. .... Մեծ Հանրագիտարանային բառարան

Տատանումներ, որոնց ամպլիտուդությունը աստիճանաբար նվազում է, օրինակ. ճոճանակի տատանումներ, որոնք օդի դիմադրություն և շփում են զգում կախոցում: Բոլոր ազատ թրթռումները, որոնք տեղի են ունենում բնության մեջ, այս կամ այն ​​չափով Z.K. Electrical Z.K.... ...Marine Dictionary են:

խոնավացած տատանումներ- մեխանիկական տատանումներ ընդհանրացված կոորդինատի կամ դրա ածանցյալի տիրույթի նվազող արժեքներով ժամանակի նկատմամբ: [Առաջարկվող տերմինների ժողովածու. Թողարկում 106. Մեխանիկական թրթռումներ. ՀԽՍՀ ԳԱ. Գիտատեխնիկական կոմիտե... ... Տեխնիկական թարգմանչի ուղեցույց

Խոնավ տատանումներ- (VIBRATION) տատանումներ (թրթռում) նվազող ճոճվող արժեքներով... Աշխատանքի պաշտպանության ռուսական հանրագիտարան

Համակարգի բնական տատանումներ, որոնց A ամպլիտուդը նվազում է t ժամանակի հետ՝ համաձայն A(t) = A0exp(?α t) էքսպոնենցիոնալ օրենքի (α-ն խամրման ինդեքսն է) էներգիայի ցրման պատճառով, որը պայմանավորված է մածուցիկ շփման ուժերի մեխանիկական ցրվածությամբ։ տատանումներ և օմմիկ... ... Հանրագիտարանային բառարան

Խոնավ տատանումներ- 31. Խոնավացված տատանումներ Տատանումներ նվազող ճոճվող արժեքներով Աղբյուր... Նորմատիվային և տեխնիկական փաստաթղթերի տերմինների բառարան-տեղեկատու

Համակարգի բնական տատանումները, A-ի ամպլիտուդը դեպի ryx նվազում է t ժամանակի հետ՝ համաձայն էքսպոնենցիալ օրենքի A(t) = = Aoeхр(at) (խոնավացման ինդեքս) էներգիայի ցրման պատճառով՝ մածուցիկ շփման ուժերի պատճառով մեխանիկական: 3. դեպի և ohmic դիմադրություն էլեկտրական ... Բնական գիտություն. Հանրագիտարանային բառարան

խոնավացած տատանումներ- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys՝ անգլ. խոնավացած տատանում վոկ. gedämpfte Schwingung, f rus. խոնավացած տատանումներ, n pranc. oscillations amorties, f; տատանումներ décroissantes, f … Ավտոմատ տերմինալներ

խոնավացած տատանումներ- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys՝ անգլ. խոնավացված տատանումներ; խոնավացած թրթռումներ; մեռնող oscillations vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. խոնավացած տատանումներ, n pranc. oscillations amorties, f … Fizikos terminų žodynas

Մինչ այժմ մենք դիտարկել ենք ներդաշնակ տատանումները, որոնք առաջանում են, ինչպես արդեն նշվել է, համակարգում մեկ ուժի առկայության դեպքում՝ առաձգական ուժի կամ քվազի-առաձգական ուժի: Մեզ շրջապատող բնության մեջ, խիստ ասած, նման տատանումներ չկան։ Իրական համակարգերում, բացի առաձգական կամ քվազիառաձգական ուժերից, միշտ կան այլ ուժեր, որոնք գործողության բնույթով տարբերվում են առաձգական ուժերից. սրանք ուժեր են, որոնք առաջանում են համակարգի մարմինների շրջակա միջավայրի փոխազդեցության ժամանակ. ցրող ուժեր.Նրանց գործողության վերջնական արդյունքը շարժվող մարմնի մեխանիկական էներգիայի փոխակերպումն է ջերմության։ Այլ կերպ ասած, ցրումը տեղի է ունենում կամ ցրումմեխանիկական էներգիա. Էներգիայի ցրման գործընթացը զուտ մեխանիկական չէ և դրա նկարագրության համար պահանջում է ֆիզիկայի այլ ճյուղերի գիտելիքների օգտագործում: Մեխանիկայի շրջանակներում մենք կարող ենք նկարագրել այս գործընթացը՝ ներմուծելով շփման կամ դիմադրության ուժեր։ Էներգիայի ցրման արդյունքում տատանման ամպլիտուդը նվազում է։ Այս դեպքում ընդունված է ասել, որ մարմնի կամ մարմինների համակարգի թրթռումները խոնավանում են։ Խոնավ տատանումները այլևս ներդաշնակ չեն, քանի որ դրանց ամպլիտուդը և հաճախականությունը փոխվում են ժամանակի ընթացքում:

Տատանումները, որոնք տատանվող համակարգում էներգիայի ցրման պատճառով առաջանում են անընդհատ նվազող ամպլիտուդով, կոչվում են. մարում.Եթե ​​հավասարակշռության վիճակից հեռացված տատանողական համակարգը տատանվում է միայն ներքին ուժերի ազդեցությամբ՝ առանց դիմադրության և էներգիայի ցրման (ցրման), ապա դրանում տեղի ունեցող տատանումները կոչվում են. անվճար(կամ սեփական) անխոնջ տատանումներ.Էներգիայի ցրում ունեցող իրական մեխանիկական համակարգերում ազատ տատանումները միշտ խոնավանում են։ Դրանց հաճախականությունը co-ն տարբերվում է համակարգի տատանումների co 0 հաճախականությունից՝ առանց թուլացման (որքան մեծ է դիմադրության ուժերի ազդեցությունը, այնքան մեծ է դիմադրության ուժերի ազդեցությունը։

Դիտարկենք խոնավացած տատանումները՝ օգտագործելով զսպանակային ճոճանակի օրինակը: Եկեք սահմանափակվենք փոքր տատանումները դիտարկելով: Ցածր տատանումների արագության դեպքում դիմադրության ուժը կարելի է համարել տատանումների տեղաշարժերի արագությանը համաչափ

Որտեղ v = 4 - տատանումների արագություն; Գ -համաչափության գործակից, որը կոչվում է ձգման գործակից: Դիմադրության ուժի արտահայտման մինուս նշանը (2.79) պայմանավորված է նրանով, որ այն ուղղված է տատանվող մարմնի շարժման արագությանը հակառակ ուղղությամբ:

Իմանալով i^p = - քվազի-առաձգական ուժի և դիմադրության ուժի արտահայտությունները Fc= հաշվի առնելով այս ուժերի համակցված գործողությունը, մենք կարող ենք գրել խամրված տատանումներ կատարող մարմնի շարժման դինամիկ հավասարումը.

Այս հավասարման մեջ մենք փոխարինում ենք գործակիցը (3՝ համաձայն (2.49 բանաձևի) հետ դու],որից հետո բաժանում ենք վերջին հավասարումը և ստանում

Մենք կփնտրենք (2.81) հավասարման լուծումը՝ որպես ձևի ժամանակի ֆունկցիա

Այստեղ հաստատուն y արժեքը դեռևս սահմանված չէ: Պարզության համար, մեր դիտարկման սկզբնական փուլը կհամարվի հավասար զրոյի, այսինքն. մենք կարող ենք «միացնել» վայրկյանաչափը, երբ տատանողական տեղաշարժն անցնում է հավասարակշռության դիրքով (զրոյական կոորդինատ):

Մենք կարող ենք որոշել y արժեքը՝ փոխարինելով խոնավացված տատանումների դիֆերենցիալ հավասարման մեջ (2.81) ենթադրյալ լուծումը (2.82), ինչպես նաև դրանից ստացված արագությունները։

և արագացում

(2.83) և (2.84) (2.82)-ի հետ (2.81) փոխարինելով (2.81)-ով, ստացվում է /1-ով () e»-ով փոքրացնելուց հետո.

Փոխարինելով y-ը (2.82-ով)՝ մենք գտնում ենք, թե ինչպես է տեղաշարժը կախված ժամանակից խոնավացած տատանումների ժամանակ: Ներկայացնենք նշումը

որտեղ co խորհրդանիշը ցույց է տալիս խամրված տատանումների անկյունային հաճախականությունը, իսկ ազատ տատանումների անկյունային հաճախականությունը՝ առանց թուլացման: Կարելի է տեսնել, որ S > 0-ի դեպքում խամրված տատանումների հաճախականությունը միշտ ավելի քիչ է, քան հաճախականությունը

Այսպիսով, և, հետևաբար, խոնավացած տատանումների ժամանակ տեղաշարժը կարող է արտահայտվել որպես

Երկրորդ ցուցիչում «+» կամ «-» նշանի ընտրությունը կամայական է և համապատասխանում է տատանումների փուլային տեղաշարժին l-ով: «+» նշանի ընտրությունը հաշվի առնելով՝ կգրենք խոնավացված տատանումները, ապա (2.90) արտահայտությունը կլինի.

Սա տեղաշարժի ցանկալի կախվածությունն է ժամանակից: Այն կարող է նաև վերագրվել եռանկյունաչափական ձևով (սահմանափակված իրական մասով)

Ցանկալի ամպլիտուդային կախվածություն Ա(տ) ժամանակ առ ժամանակ կարելի է ներկայացնել որպես

Որտեղ Ա (,- ամպլիտուդություն ժամանակին t = 0.

Հաստատուն 8, որը հավասար է (2.88) դիմադրության գործակցի հարաբերակցությանը Գզանգվածը կրկնապատկելու համար Տտատանվող մարմինը կոչվում է թրթռումների մեղմացման գործակիցը.Եկեք պարզենք այս գործակցի ֆիզիկական նշանակությունը: Գտնենք t ժամանակը, որի ընթացքում խոնավացած տատանումների ամպլիտուդը կնվազի e (բնական լոգարիթմների հիմքը e = 2,72) անգամ։ Դա անելու համար դնենք

Օգտագործելով հարաբերությունը (2.93)՝ մենք ստանում ենք՝ or

որտեղից հետևում է

Հետևաբար, թուլացման գործակիցը 8-ը t ժամանակի փոխադարձն է, որից հետո խոնավացած տատանումների ամպլիտուդը կնվազի e անգամ։ m մեծությունը, որն ունի ժամանակի չափ, կոչվում է խոնավացած տատանողական գործընթացի ժամանակային հաստատունը:

Բացի 8 գործակիցից, այսպես կոչված լոգարիթմական մարման նվազեցում X,հավասար է երկու տատանումների ամպլիտուդների հարաբերակցության բնական լոգարիթմին, որոնք միմյանցից բաժանված են ժամանակաշրջանին հավասար ժամանակային միջակայքով Տ

Արտահայտությունը լոգարիթմի տակ, որը նշվում է խորհրդանիշով դ,կոչվում է պարզապես տատանումների նվազում (թուլացման նվազում):

Օգտագործելով ամպլիտուդային արտահայտությունը (2.93), մենք ստանում ենք.

Եկեք պարզենք լոգարիթմական մարման նվազեցման ֆիզիկական նշանակությունը: Թող տատանումների ամպլիտուդը նվազի e անգամ N տատանումներից հետո։ Ժամանակը t, որի ընթացքում մարմինը կավարտվի Նտատանումները կարող են արտահայտվել t = ժամանակաշրջանի միջոցով Ն.Տ.Այս արժեքը m-ով փոխարինելով (2.97)՝ մենք ստանում ենք 8NT= 1. Քանի որ 67 «= Ա., ուրեմն NX = 1, կամ

Հետևաբար, լոգարիթմական մարման նվազումայն տատանումների քանակի փոխադարձությունն է, որի ընթացքում խոնավացած տատանումների ամպլիտուդը կնվազի e անգամ:

Որոշ դեպքերում տատանումների ամպլիտուդի կախվածությունը ժամանակից A(t)Հարմար է այն արտահայտել լոգարիթմական ամորտիզացիայի նվազման առումով: Ցուցանիշ 6 1 (2.93) արտահայտությունները (2.99) կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Այնուհետև (2.93) արտահայտությունը ձև է ստանում

որտեղ արժեքը հավասար է թվին Ն t ժամանակի ընթացքում համակարգի կատարած տատանումները.

Աղյուսակ 2.1-ում ներկայացված են որոշ տատանողական համակարգերի լոգարիթմական մարման նվազման մոտավոր արժեքները (մեծության կարգով):

Աղյուսակ 2.1

Որոշ տատանողական համակարգերի թուլացման նվազման արժեքները

Այժմ վերլուծենք դիմադրության ուժերի ազդեցությունը տատանումների հաճախականության վրա: Երբ մարմինը շարժվում է հավասարակշռության դիրքից և վերադառնում է հավասարակշռության դիրքի, նրա վրա անընդհատ կգործի դիմադրողական ուժ, ինչը հանգեցնում է նրա դանդաղման:

Սա նշանակում է, որ ուղու նույն հատվածները խոնավ տատանումների ժամանակ մարմնի կողմից ծածկվելու են ավելի մեծ ժամանակային ընդմիջումով, քան ազատ տատանումների ժամանակ։ Խոնավ տատանումների ժամանակաշրջան Տ,հետևաբար, բնական ազատ տատանումների ավելի մեծ ժամանակաշրջան կլինի: Արտահայտությունից (2.89) պարզ է դառնում, որ հաճախականությունների տարբերությունն ավելի մեծ է դառնում, այնքան մեծ է թուլացման գործակիցը b. Մեծ b-ի դեպքում (b > coo), խոնավացած տատանումները վերածվում են պարբերական (ոչ պարբերական) գործընթաց,որի դեպքում, կախված սկզբնական պայմաններից, համակարգը անմիջապես վերադառնում է հավասարակշռության դիրքին՝ առանց դրա միջով անցնելու, կամ կանգ առնելուց առաջ այն մեկ անգամ անցնում է հավասարակշռության դիրքով (կատարում է միայն մեկ տատանում) - տե՛ս Նկ. 2.16.

Բրինձ. 2.16. Խոնավ տատանումներ.

Նկար 2.16-ում, Ացույց է տալիս կախվածության գրաֆիկը %(t)Եվ A(t)(5 > co 0-ում և со սկզբնական փուլում, տատանումները լիովին անհնար են (այս դեպքը համապատասխանում է հավասարությունից որոշված ​​հաճախականության երևակայական արժեքին (2.89): Համակարգը դառնում է խամրող, իսկ տատանողական պրոցեսը դառնում է պարբերական (նկ. 2.16, բ).

• Exp(x) նշումը համարժեք է e*-ին: Մենք կօգտագործենք երկու ձևերը:
• Տատանումների ընդհանուր դիտարկման ժամանակ տատանումների փուլի ամբողջական արժեքը տրվում է սկզբնական պայմաններով, այսինքն. 4(0) տեղաշարժի և արագության 4(0) մեծությունը ժամանակի սկզբնական պահին (t = 0) և ներառում է տերմինը.