2 trova il sistema di numeri binari con esempi. Sistemi numerici. Il sistema numerico posizionale è binario. Conversione di numeri da binario a decimale
Sistema binario
Sistema di numeri binariè un sistema numerico posizionale in base 2. In questo sistema numerico, i numeri naturali vengono scritti utilizzando solo due simboli (di solito i numeri 0 e 1).
Il sistema binario viene utilizzato nei dispositivi digitali perché è il più semplice e soddisfa i requisiti:
- Meno valori ci sono nel sistema, più facile è produrre singoli elementi che operino su questi valori. In particolare, due cifre del sistema numerico binario possono essere facilmente rappresentate da molti fenomeni fisici: c'è corrente - non c'è corrente, l'induzione del campo magnetico è maggiore o meno di un valore di soglia, ecc.
- Meno stati ha un elemento, maggiore è l'immunità al rumore e più velocemente può funzionare. Ad esempio, per codificare tre stati attraverso l'entità dell'induzione del campo magnetico, sarà necessario inserire due valori di soglia, che non contribuiranno all'immunità al rumore e all'affidabilità della memorizzazione delle informazioni.
- L'aritmetica binaria è abbastanza semplice. Semplici sono le tabelle di addizione e moltiplicazione: le operazioni di base con i numeri.
- È possibile utilizzare l'apparato dell'algebra logica per eseguire operazioni bit a bit sui numeri.
Collegamenti
- Calcolatrice online per convertire i numeri da un sistema numerico all'altro
Fondazione Wikimedia. 2010.
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Sistema di numeri binari- un sistema che utilizza serie di combinazioni di numeri 1 e 0 per rappresentare simboli alfanumerici e altri simboli, la base dei codici utilizzati nei computer digitali... Pubblicazione di un dizionario-libro di consultazione
SISTEMA NUMERALE BINARIO- un sistema numerico posizionale in base 2, in cui ci sono due cifre 0 e 1, e tutti i numeri naturali sono scritti nelle loro sequenze. Per esempio. il numero 2 si scrive come 10, il numero 4 = 22 come 100, il numero 900 come numero di 11 cifre: 11 110 101 000 ... Grande Enciclopedia del Politecnico
Ricordiamo il materiale sui sistemi numerici. Si afferma che il sistema numerico più conveniente per i sistemi informatici è il sistema binario. Definiamo questo sistema:
Il sistema numerico binario è un sistema numerico posizionale in cui la base è il numero 2.
Per scrivere qualsiasi numero nel sistema numerico binario, vengono utilizzate solo 2 cifre: 0 e 1.
Forma generale di scrittura dei numeri binari
Per gli interi binari possiamo scrivere:
a n−1 un n−2 ...a 1 a 0 =a n−1 ⋅2 n−1 +a n−2 ⋅2 n−2 +...+a 0 ⋅2 0
Questa forma di scrittura del numero “suggerisce” la regola per convertire i numeri binari naturali nel sistema numerico decimale: è necessario calcolare la somma delle potenze di due corrispondenti alle unità nella forma compressa di scrittura di un numero binario.
Regole per la somma di numeri binari
Regole di base per la somma di numeri a bit singolo
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
Da ciò è chiaro che, come nel sistema numerico decimale, i numeri rappresentati nel sistema numerico binario vengono sommati bit per bit. Se una cifra eccede, l'1 viene trasferito alla cifra successiva.
Esempio di somma di numeri binari
Regole per sottrarre i numeri binari
0-0=0
1-0=0
10-1=1
Ma che dire di 0-1=? Sottrarre numeri binari è leggermente diverso dalla sottrazione di numeri decimali. A questo scopo vengono utilizzati diversi metodi.
Sottrazione mediante prestito
Scrivi i numeri binari uno sotto l'altro: il numero più piccolo sotto quello più grande. Se il numero più piccolo ha meno cifre, allinealo a destra (nello stesso modo in cui scrivi i decimali quando li sottrai).
Alcuni problemi che riguardano la sottrazione di numeri binari non sono diversi dalla sottrazione di numeri decimali. Scrivi i numeri uno sotto l'altro e, partendo da destra, trova il risultato della sottrazione di ciascuna coppia di numeri.
Ecco alcuni semplici esempi:
1 - 0 = 1
11 - 10 = 1
1011 - 10 = 1001
Consideriamo un problema più complesso. Devi solo ricordare una regola per risolvere i problemi di sottrazione binaria. Questa regola descrive il prendere in prestito la cifra da sinistra in modo da poter sottrarre 1 da 0 (0 - 1).
110 - 101 = ?
Nella prima colonna a destra ottieni la differenza 0 - 1 . Per calcolarlo, devi prendere in prestito il numero a sinistra (dalle decine).
Innanzitutto, cancella l'1 e sostituiscilo con uno 0 per ottenere un problema come questo: 1010 - 101 = ?
Hai sottratto (“preso in prestito”) 10 dal primo numero, quindi puoi scrivere quel numero al posto del numero a destra (al posto delle unità). 101100 - 101 = ?
Sottrai i numeri nella colonna di destra. Nel nostro esempio:
101100 - 101 = ?
Colonna di destra: 10 - 1 = 1 .
102 = (1x2) + (0x1) = 210(le cifre minuscole indicano il sistema numerico in cui sono scritti i numeri).
12 = (1x1) = 110.
Pertanto, nel sistema decimale questa differenza si scrive come: 2 - 1 = 1.
Sottrai i numeri nelle colonne rimanenti. Ora è facile da fare (lavora con le colonne, muovendoti da destra a sinistra):
101100 - 101 = __1 = _01 = 001 = 1.
Sottrazione per addizione
Scrivi i numeri binari uno sotto l'altro nello stesso modo in cui scrivi i numeri decimali quando li sottrai. Questo metodo viene utilizzato dai computer per sottrarre numeri binari perché si basa su un algoritmo più efficiente.
Consideriamo un esempio: 101100 2 - 11101 2 = ?
Se i valori dei numeri sono diversi, aggiungi il numero corrispondente di 0 al numero con il valore più basso a sinistra.
101100 2 - 011101 2 = ?
Nel numero che stai sottraendo, cambia le cifre: cambia ciascuna 1 in 0 e ciascuna 0 in 1.
011101 2 → 100010 2 .
Quello che stiamo realmente facendo è "prendere il complemento di uno", cioè sottrarre ogni cifra da 1. Funziona nel sistema binario perché questa "sostituzione" può avere solo due possibili risultati: 1 - 0 = 1 e 1 - 1 = 0.
Aggiungi uno al sottraendo risultante.
100010 2 + 1 2 = 100011 2
Ora, invece di sottrarre, aggiungi due numeri binari.
101100 2 +100011 2 = ?
Controlla la risposta. Un modo rapido è aprire un calcolatore binario online e inserirvi il problema. Gli altri due metodi prevedono il controllo manuale della risposta.
1) Convertiamo i numeri nel sistema numerico binario:
Diciamo che dal numero 101101 bisogna sottrarre 2 11011 2
2) Indichiamo il numero 101101 2 come A e il numero 11011 2 come B.
3) Scrivere i numeri A e B in colonna, uno sotto l'altro, partendo dalle cifre meno significative (la numerazione delle cifre parte da zero).
4) Sottrarre cifra per cifra dal numero A e dal numero B, scrivendo il risultato in C partendo dalle cifre meno significative. Le regole per la sottrazione bit per bit per il sistema numerico binario sono presentate nella tabella seguente.
|
Prestito |
Prestito |
|||
L'intero processo di aggiunta dei nostri numeri è simile al seguente:
(in rosso sono evidenziati i prestiti della categoria corrispondente)
Accaduto 101101 2 - 11011 2 = 10010 2
o nel sistema di numerazione decimale: 45 10 - 27 10 = 18 10
Regole per moltiplicare i numeri binari.
In generale, queste regole sono molto semplici e chiare.
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
La moltiplicazione dei numeri binari a più bit avviene allo stesso modo di quelli ordinari. Moltiplichiamo ogni cifra significativa per il numero superiore secondo le regole date, osservando le posizioni. Moltiplicare è semplice, poiché moltiplicando per uno si ottiene lo stesso numero.
Incontriamo il sistema di numeri binari quando studiamo le discipline informatiche. Dopotutto, è sulla base di questo sistema che vengono costruiti il processore e alcuni tipi di crittografia. Esistono algoritmi speciali per scrivere un numero decimale nel sistema binario e viceversa. Se conosci il principio di costruzione di un sistema, non sarà difficile operare al suo interno.
Il principio di costruzione di un sistema di zeri e uno
Il sistema numerico binario è costruito utilizzando due cifre: zero e uno. Perché questi numeri particolari? Ciò è dovuto al principio di costruzione dei segnali utilizzati nel processore. Al suo livello più basso, il segnale assume solo due valori: falso e vero. Pertanto, era consuetudine indicare con zero l'assenza di un segnale, “falso”, e con uno la sua presenza, “vero”. Questa combinazione è facile da implementare tecnicamente. I numeri nel sistema binario si formano allo stesso modo del sistema decimale. Quando una cifra raggiunge il limite superiore, viene reimpostata su zero e viene aggiunta una nuova cifra. Questo principio viene utilizzato per spostarsi attraverso una decina nel sistema decimale. Pertanto, i numeri sono costituiti da combinazioni di zero e uno e questa combinazione è chiamata “sistema numerico binario”.
Registrazione di un numero nel sistema |
|||
In decimale | In binario | In decimale | In binario |
Come scrivere un numero binario come numero decimale?
Esistono servizi online che convertono i numeri in binario e viceversa, ma è meglio poterlo fare da soli. Quando tradotto, il sistema binario è indicato con il pedice 2, ad esempio 101 2. Ogni numero in qualsiasi sistema può essere rappresentato come una somma di numeri, ad esempio: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 - nel sistema decimale. Il numero è rappresentato anche in binario. Prendiamo un numero arbitrario 101 e consideriamolo. Ha 3 cifre, quindi organizziamo il numero in questo modo: 101 2 =1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 =4+1=5 10, dove l'indice 10 denota il sistema decimale.
Come scrivere un numero primo in binario?
È molto semplice passare al sistema numerico binario dividendo il numero per due. È necessario dividere fino a quando è possibile completarlo completamente. Prendiamo ad esempio il numero 871. Iniziamo a dividere, avendo l'accortezza di annotare il resto:
871:2=435 (resto 1)
435:2=217 (resto 1)
217:2=108 (resto 1)
La risposta si scrive secondo i resti risultanti nella direzione dalla fine all'inizio: 871 10 =101100111 2. Puoi verificare la correttezza dei calcoli utilizzando la traduzione inversa descritta in precedenza.
Perché hai bisogno di conoscere le regole di traduzione?
Il sistema di numeri binari viene utilizzato nella maggior parte delle discipline legate all'elettronica dei microprocessori, alla codifica, alla trasmissione e alla crittografia dei dati e in varie aree della programmazione. La conoscenza delle basi della traduzione da qualsiasi sistema a binario aiuterà il programmatore a sviluppare vari microcircuiti e a controllare il funzionamento del processore e di altri sistemi simili a livello di programmazione. Il sistema di numerazione binario è necessario anche per implementare metodi per la trasmissione di pacchetti di dati su canali crittografati e per creare progetti software client-server basati su di essi. In un corso di informatica scolastica, le basi della conversione al sistema binario e viceversa costituiscono il materiale di base per studiare in futuro la programmazione e creare programmi semplici.
I numeri sono i secondi più comuni dopo il familiare decimale, anche se poche persone ci pensano. Il motivo di questa richiesta è che è quello utilizzato in Ne parleremo più avanti, ma prima qualche parola sul sistema numerico in generale.
Questa frase denota un sistema di registrazione o altra rappresentazione visiva dei numeri. Questa è una definizione secca. Purtroppo non tutti capiscono cosa si nasconde dietro queste parole. Tuttavia, tutto è abbastanza semplice e il primo sistema numerico è apparso nello stesso periodo in cui le persone hanno imparato a contare. Il modo più semplice per rappresentare i numeri è identificare alcuni oggetti con altri, beh, ad esempio, le dita delle mani e il numero di frutti raccolti in un determinato momento. Tuttavia, ci sono molte meno dita sulle mani di quanti possano essere gli oggetti numerabili. Cominciarono ad essere sostituiti con bastoncini o linee su sabbia o pietra. Questo è stato il primissimo sistema numerico, sebbene il concetto stesso sia apparso molto più tardi. Si chiama non posizionale perché ogni cifra in essa contenuta ha un significato rigorosamente definito, indipendentemente dalla posizione che occupa nel record.
Ma tale registrazione è estremamente scomoda, e in seguito è venuta l'idea di raggruppare oggetti e designare ciascun gruppo con una pietra, e non con un bastone, o con un disegno di un'altra forma durante la registrazione. Questo fu il primo passo verso la creazione di sistemi posizionali, che includevano il sistema di numeri binari. Tuttavia, alla fine si formarono solo dopo l'invenzione dei numeri. A causa del fatto che inizialmente era più conveniente per le persone contare sulle dita, di cui una persona normale ne ha 10, è stato il sistema decimale a diventare il più comune. Una persona che usa questo sistema ha a sua disposizione i numeri da 0 a 9. Di conseguenza, quando una persona contando arriva a 9, cioè esaurisce la scorta di numeri, scrive uno nella cifra successiva e azzera le unità. E questa è l'essenza dei sistemi numerici posizionali: il significato delle cifre in un numero dipende direttamente dalla posizione che occupa.
Il sistema numerico binario fornisce solo due cifre per i calcoli, è facile intuire che queste sono 0 e 1. Di conseguenza, le nuove cifre durante la scrittura appaiono in questo caso molto più spesso: la prima transizione di registro avviene già al numero 2, che è designato nel sistema binario come 10.
Ovviamente questo sistema non è molto comodo anche per iscritto, allora perché è così richiesto? Il fatto è che durante la costruzione dei computer, il sistema decimale si è rivelato estremamente scomodo e non redditizio, poiché la produzione di un dispositivo con dieci stati diversi è piuttosto costosa e occupano molto spazio. Quindi adottarono il sistema binario inventato dagli Inca.
È improbabile che la conversione al sistema numerico binario causi difficoltà a nessuno. Il modo più semplice e diretto per farlo è dividere il numero per due finché la risposta non è zero. In questo caso, i resti vengono scritti separatamente da destra a sinistra in sequenza. Facciamo un esempio, prendiamo il numero 73: 73\2 = 36 e 1 nel resto, scriviamo le unità all'estrema destra, scriviamo tutti gli altri resti a sinistra di questa unità. Se hai fatto tutto correttamente, dovresti avere il seguente numero: 1001001.
Come fa un computer a convertire un numero nel sistema numerico binario, dal momento che inseriamo i numeri decimali dalla tastiera? È davvero divisibile anche per 2? Naturalmente no. Ogni tasto della tastiera corrisponde ad una riga specifica nella tabella di codifica. Premiamo un pulsante, un programma chiamato driver trasmette una certa sequenza di segnali al processore. Questo, a sua volta, invia una richiesta alla tabella, quale carattere corrisponde a questa sequenza, e visualizza questo carattere sullo schermo o esegue un'azione, se necessario.
Ora sai quale importanza ha il sistema dei numeri binari nella nostra vita. Dopotutto, molto nel nostro mondo viene ora fatto con l'aiuto di sistemi informatici elettronici, che, a loro volta, sarebbero completamente diversi se non fosse per questo sistema.
Un sistema numerico è un insieme di tecniche e regole per denominare e designare i numeri. I segni convenzionali utilizzati per denotare i numeri sono chiamati numeri.
Tipicamente, tutti i sistemi numerici sono divisi in due classi: non posizionale e posizionale.
Nei sistemi numerici posizionali, il peso di ciascuna cifra varia a seconda della sua posizione (posizione) nella sequenza di cifre che rappresentano il numero. Ad esempio, nel numero 757,7, i primi sette significano 7 centinaia, il secondo significa 7 unità e il terzo significa 7 decimi di unità.
La notazione stessa del numero 757.7 significa una notazione abbreviata dell'espressione:
Nei sistemi numerici non posizionali, il peso di una cifra (ovvero il contributo che dà al valore del numero) non dipende dalla sua posizione nel record numerico. Pertanto, nel sistema numerico romano nel numero XXXII (trentadue), il peso del numero X in qualsiasi posizione è semplicemente dieci.
Storicamente, i primi sistemi numerici erano sistemi non posizionali. Uno dei principali svantaggi è la difficoltà di scrivere grandi numeri. Scrivere grandi numeri in tali sistemi è molto complicato oppure l'alfabeto del sistema è estremamente grande. Un esempio di sistema numerico non posizionale, oggi piuttosto diffuso, è la cosiddetta numerazione romana.
Sistema di numeri binari, ad es. un sistema con base è un sistema “minimale” in cui il principio di posizionalità nella forma digitale della registrazione dei numeri è pienamente realizzato. Nel sistema numerico binario, il valore di ciascuna cifra “al suo posto” quando si passa dalla cifra meno significativa a quella più significativa raddoppia.
La storia dello sviluppo del sistema di numeri binari è una delle pagine più luminose della storia dell'aritmetica. La “nascita” ufficiale dell'aritmetica binaria è associata al nome di G.V. Leibniz, che pubblicò un articolo in cui venivano considerate le regole per eseguire tutte le operazioni aritmetiche sui numeri binari.
Leibniz, tuttavia, non raccomanda l’aritmetica binaria per i calcoli pratici invece del sistema decimale, ma sottolinea che “il calcolo con l’aiuto di due, cioè 0 e 1, in cambio delle sue lunghezze, è fondamentale per la scienza e dà origine a nuove scoperte che si rivelano utili in seguito, anche nella pratica dei numeri, e soprattutto in geometria: il motivo è il fatto che quando i numeri vengono ridotti ai principi più semplici, come 0 e 1, si svela un meraviglioso ordine ovunque."
Leibniz considerava il sistema binario semplice, conveniente e bello. Disse che "il calcolo con l'aiuto del due... è fondamentale per la scienza e dà luogo a nuove scoperte... Quando i numeri vengono ridotti ai principi più semplici, che sono 0 e 1, appare ovunque un ordine meraviglioso".
Su richiesta dello scienziato, fu eliminata una medaglia in onore del "sistema diadico", come veniva allora chiamato il sistema binario. Raffigurava una tabella con numeri e semplici operazioni con essi. Lungo il bordo della medaglia c'era un nastro con la scritta: "Per far uscire tutto dall'insignificanza, ne basta uno".
Poi si sono dimenticati del sistema binario. Per quasi 200 anni non è stato pubblicato un solo lavoro su questo argomento. Vi ritornarono solo nel 1931, quando furono dimostrate alcune possibilità per l'uso pratico della numerazione binaria.
Le brillanti previsioni di Leibniz si realizzarono solo due secoli e mezzo dopo, quando l'eccezionale scienziato, fisico e matematico americano John von Neumann propose di utilizzare il sistema di numeri binari come metodo universale per codificare le informazioni nei computer elettronici ("Principi di John von Neumann").
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