Questo metodo propone di approssimare l'integrando su un segmento parziale mediante una parabola passante per i punti
(xj, f(x j)), Dove J = io-1; io-0.5; io, cioè approssimiamo la funzione integranda mediante un polinomio di interpolazione di Lagrange di secondo grado:

Dopo aver effettuato l'integrazione, otteniamo:

Questo è quello che è La formula di Simpson o la formula parabolica. Sul segmento
[un, b] La formula di Simpson assume la forma

Una rappresentazione grafica del metodo Simpson è mostrata in Fig. 2.4.

Riso. 10.4. Metodo Simpson

Eliminiamo gli indici frazionari nell'espressione (2.16) ridisegnando le variabili:

Quindi assume la forma la formula di Simpson

L'errore della formula (2.18) è stimato dalla seguente espressione:

Dove h·n = b-a, . Pertanto, l'errore della formula di Simpson è proporzionale a O(ore 4).

Commento. Va notato che nella formula di Simpson il segmento di integrazione è necessariamente suddiviso in Anche numero di intervalli.

10.5. Calcolo di integrali definiti mediante metodi
Monte Carlo

Vengono chiamati i metodi discussi in precedenza deterministico , cioè privo dell'elemento del caso.

Metodi Montecarlo(MMK) sono metodi numerici per risolvere problemi matematici utilizzando la modellazione di variabili casuali. Le MMC consentono di risolvere con successo problemi matematici causati da processi probabilistici. Inoltre, quando si risolvono problemi che non sono associati ad alcuna probabilità, è possibile creare artificialmente un modello probabilistico (e anche più di uno) che consenta di risolvere questi problemi. Consideriamo il calcolo dell'integrale definito

Quando si calcola questo integrale utilizzando la formula del rettangolo, l'intervallo [ un, b] diviso in N intervalli identici, nel mezzo dei quali sono stati calcolati i valori dell'integrando. Calcolando i valori della funzione su nodi casuali, puoi ottenere un risultato più accurato:

Qui γ i è un numero casuale distribuito uniformemente nell'intervallo
. L'errore nel calcolo dell'integrale MMC è ~ , che è significativamente maggiore di quello dei metodi deterministici precedentemente studiati.

Nella fig. La Figura 2.5 presenta un'implementazione grafica del metodo Monte Carlo per il calcolo di un singolo integrale con nodi casuali (2.21) e (2.22).

(2.23)

Riso. 10.6. Integrazione con metodo Monte Carlo (2° caso)

Come visibile in fig. 2.6, la curva integrale giace nel quadrato unitario, e se riusciamo ad ottenere coppie di numeri casuali uniformemente distribuiti nell'intervallo, allora i valori risultanti (γ 1, γ 2) possono essere interpretati come le coordinate di un punto nel quadrato dell'unità. Quindi, se si ottengono molte di queste coppie di numeri, possiamo presumerlo approssimativamente
. Qui Sè il numero di coppie di punti che cadono sotto la curva, e N– il numero totale di coppie di numeri.

Esempio 2.1. Calcolare il seguente integrale:

Il problema è stato risolto utilizzando vari metodi. I risultati ottenuti sono riassunti nella tabella. 2.1.

Tabella 2.1

Commento. La scelta di un integrale di tabella ci ha permesso di confrontare l'errore di ciascun metodo e di scoprire l'effetto del numero di partizioni sull'accuratezza dei calcoli.

11 SOLUZIONE APPROSSIMATA DI NONLINEARE
ED EQUAZIONI TRASCENDENTI

Per trovare l'integrale definito con il metodo trapezoidale, l'area di un trapezio curvilineo viene divisa anche in n trapezi rettangolari di altezza h e basi 1, 2, 3,..у n, dove n è il numero del trapezio rettangolare . L'integrale sarà numericamente uguale alla somma delle aree dei trapezi rettangolari (Figura 4).

Riso. 4

n - numero di partizioni

L'errore della formula trapezoidale è stimato dal numero

L'errore della formula del trapezio diminuisce più velocemente con la crescita rispetto all'errore della formula del rettangolo. Pertanto, la formula trapezoidale consente una maggiore precisione rispetto al metodo del rettangolo.

La formula di Simpson

Se per ogni coppia di segmenti costruiamo un polinomio di secondo grado, poi lo integriamo sul segmento e utilizziamo la proprietà di additività dell’integrale, otteniamo la formula di Simpson.

Nel metodo di Simpson, per calcolare un integrale definito, l'intero intervallo di integrazione viene diviso in sottointervalli di uguale lunghezza h=(b-a)/n. Il numero di segmenti della partizione è un numero pari. Quindi, su ciascuna coppia di sottointervalli adiacenti, la funzione integranda f(x) è sostituita da un polinomio di Lagrange di secondo grado (Figura 5).

Riso. 5 La funzione y=f(x) sul segmento viene sostituita da un polinomio del 2° ordine

Consideriamo l'integrando su un segmento. Sostituiamo questo integrando con un polinomio di interpolazione di Lagrange di secondo grado, coincidente con y= nei punti:

Integriamo sul segmento:

Introduciamo un cambio di variabili:

Considerando le formule di sostituzione,

Dopo aver eseguito l'integrazione, otteniamo la formula di Simpson:

Il valore ottenuto per l'integrale coincide con l'area di un trapezio curvilineo delimitato da un asse, rette e una parabola passante per punti. Su un segmento, la formula di Simpson sarà simile a:

Nella formula della parabola, il valore della funzione f(x) nei punti dispari della partizione x 1, x 3, ..., x 2n-1 ha coefficiente 4, nei punti pari x 2, x 4, . .., x 2n-2 - coefficiente 2 e in due punti di confine x 0 =a, x n =b - coefficiente 1.

Il significato geometrico della formula di Simpson: l'area di un trapezio curvilineo sotto il grafico della funzione f(x) su un segmento è approssimativamente sostituita dalla somma delle aree delle figure che giacciono sotto le parabole.

Se la funzione f(x) ha una derivata continua del quarto ordine, allora il valore assoluto dell'errore della formula Simpson non è superiore a

dove M è il valore più grande del segmento. Poiché n 4 cresce più velocemente di n 2, l'errore della formula Simpson diminuisce all'aumentare di n molto più velocemente dell'errore della formula trapezoidale.

Calcoliamo l'integrale

Questo integrale è facile da calcolare:

Prendiamo n uguale a 10, h=0,1, calcoliamo i valori dell'integrando nei punti di partizione, nonché i punti semiinteri.

Utilizzando la formula dei rettangoli medi, otteniamo I dritto = 0,785606 (l'errore è 0,027%), utilizzando la formula del trapezio I trap = 0,784981 (l'errore è di circa 0,054. Quando si utilizza il metodo dei rettangoli destro e sinistro, l'errore è maggiore superiore al 3%.

Per confrontare l'accuratezza delle formule approssimative, calcoliamo nuovamente l'integrale

ma ora secondo la formula di Simpson con n=4. Dividiamo il segmento in quattro parti uguali per punti x 0 =0, x 1 =1/4, x 2 =1/2, x 3 =3/4, x 4 =1 e calcoliamo approssimativamente i valori della funzione f(x)=1/( 1+x) in questi punti: 0 =1,0000, 1 =0,8000, 2 =0,6667, 3 =0,5714, 4 =0,5000.

Usando la formula di Simpson otteniamo

Stimiamo l'errore del risultato ottenuto. Per la funzione integranda f(x)=1/(1+x) abbiamo: f (4) (x)=24/(1+x) 5, il che significa che sul segmento . Pertanto, possiamo prendere M=24 e l'errore del risultato non supera 24/(2880 4 4)=0,0004. Confrontando il valore approssimativo con quello esatto, concludiamo che l'errore assoluto del risultato ottenuto utilizzando la formula Simpson è inferiore a 0,00011. Ciò è in accordo con la stima dell'errore sopra riportata e, inoltre, indica che la formula Simpson è molto più accurata della formula trapezoidale. Pertanto, la formula di Simpson viene utilizzata più spesso per il calcolo approssimato di integrali definiti rispetto alla formula trapezoidale.

Dividiamo il segmento di integrazione [ UN, B] a un numero pari N parti uguali in incrementi H. Su ogni segmento [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [X i-1, X i+1],..., [ X n-2, X n] funzione integranda F(X) sostituiamo con un polinomio di interpolazione di secondo grado:

I coefficienti di questi trinomi quadratici possono essere trovati dalle condizioni per l'uguaglianza del polinomio nei punti dei corrispondenti dati tabulari. Possiamo prendere come polinomio di interpolazione di Lagrange di secondo grado passante per i punti :

La somma delle aree elementari e (Fig. 3.3) può essere calcolata utilizzando un integrale definito. Tenendo conto delle uguaglianze che otteniamo

-

Riso. 3.3. Illustrazione per il metodo di Simpson

Dopo aver effettuato tali calcoli per ciascun segmento elementare, riassumiamo le espressioni risultanti:

Questa espressione per S viene preso come valore dell'integrale definito:

(3.35)

La relazione risultante viene chiamata La formula di Simpson O formula della parabola.

Questa formula può essere ottenuta in altri modi, ad esempio utilizzando due volte il metodo trapezoidale per partizionare il segmento [ UN, B] in parti con passaggi H e 2 H oppure combinando le formule di rettangoli e trapezi (vedi Sezione 3.2.6).

A volte la formula di Simpson viene scritta utilizzando indici semiinteri. In questo caso, il numero di segmenti della partizione P arbitrario (non necessariamente pari) e la formula di Simpson ha la forma

(3.36)

È facile vedere che la formula (3.36) coincide con (3.35) se si applica la formula (3.35) per il numero di segmenti della partizione 2 N e passo H/2.

Esempio. Calcola l'integrale utilizzando il metodo di Simpson

Valori della funzione a N = 10, H = 0,1 sono riportati nella tabella. 3.3. Applicando la formula (3.35), troviamo

Il risultato dell'integrazione numerica utilizzando il metodo di Simpson è risultato coincidere con il valore esatto (sei cifre significative).

Uno dei possibili algoritmi per calcolare un integrale definito utilizzando il metodo di Simpson è mostrato in Fig. 3.4. I confini del segmento di integrazione [ UN, B],errore ε, nonché una formula per calcolare i valori dell'integrando y =F(X) .

Riso. 3.4. Algoritmo del metodo Simpson

Inizialmente il segmento è diviso in due parti con un gradino H =(B- a)/2. Viene calcolato il valore dell'integrale IO 1. Quindi il numero di passaggi viene raddoppiato, il valore viene calcolato IO 2 in incrementi H/2. La condizione per la fine del conto è presa nella forma . Se questa condizione non è soddisfatta, un nuovo passo viene diviso a metà, ecc.

Si noti che mostrato in Fig. 3.4 l'algoritmo non è ottimale: nel calcolo di ciascuna approssimazione IO 2 valori di funzione non vengono utilizzati F(X), già trovato nella fase precedente. Algoritmi più economici saranno discussi nella Sezione. 3.2.7.

Sorge un problema relativo al calcolo numerico di un integrale definito, che può essere risolto utilizzando formule dette formule di quadratura.

Ricordiamo le formule più semplici per l'integrazione numerica.

Calcoliamo il valore numerico approssimativo. Dividiamo l'intervallo di integrazione [a, b] in n parti uguali dividendo i punti
, chiamati nodi della formula di quadratura. Lascia che siano noti i valori ai nodi
:

Grandezza

chiamato intervallo o passo di integrazione. Si noti che in pratica - calcoli, il numero i viene scelto piccolo, di solito non è più di 10-20.Su un intervallo parziale

l'integrando è sostituito da un polinomio di interpolazione

che rappresenta approssimativamente la funzione f(x) sull'intervallo in esame.

a) Manteniamo allora un solo primo termine nel polinomio di interpolazione

La formula quadratica risultante

chiamata formula del rettangolo.

b) Manteniamo allora i primi due termini del polinomio di interpolazione

(2)

La formula (2) è chiamata formula trapezoidale.

c) Intervallo di integrazione
lo divideremo in un numero pari di 2n parti uguali, e il passo di integrazione h sarà uguale a . All'intervallo
di lunghezza 2h, sostituiamo l'integrando con un polinomio di interpolazione di secondo grado, cioè manteniamo i primi tre termini del polinomio:

La formula di quadratura risultante è chiamata formula di Simpson

(3)

Le formule (1), (2) e (3) hanno un significato geometrico semplice. Nella formula dei rettangoli, la funzione integranda f(x) sull'intervallo
è sostituito da un segmento di retta y = yk, parallelo all'asse delle ascisse, e nella formula trapezoidale - da un segmento di retta
e si calcolano rispettivamente l'area del rettangolo e del trapezio rettilineo, che poi vengono sommate. Nella formula di Simpson, la funzione f(x) sull'intervallo
la lunghezza 2h è sostituita da un trinomio quadrato - una parabola
Si calcola l'area di un trapezio parabolico curvilineo, quindi si sommano le aree.

CONCLUSIONE

Alla fine del lavoro, vorrei sottolineare una serie di caratteristiche dell'applicazione dei metodi sopra discussi. Ogni metodo di soluzione approssimata di un integrale definito presenta vantaggi e svantaggi; a seconda del compito da svolgere, dovrebbero essere utilizzati metodi specifici.

Metodo di sostituzione variabileè uno dei metodi principali per il calcolo degli integrali indefiniti. Anche nei casi in cui integriamo con qualche altro metodo, spesso dobbiamo ricorrere a variabili variabili nei calcoli intermedi. Il successo dell'integrazione dipende in larga misura dalla capacità di selezionare un cambiamento di variabili così efficace da semplificare l'integrale dato.

In sostanza, lo studio dei metodi di integrazione si riduce a scoprire che tipo di sostituzione delle variabili è necessario effettuare per questo o quel tipo di integrando.

Così, integrazione di qualsiasi frazione razionale si riduce all'integrazione di un polinomio e di diverse frazioni semplici.

L'integrale di qualsiasi funzione razionale può essere espresso mediante funzioni elementari in forma finale, vale a dire:

attraverso i logaritmi - nei casi di frazioni semplici di tipo 1;

attraverso funzioni razionali - nel caso di frazioni semplici di tipo 2

attraverso logaritmi e arcotangenti - nel caso di frazioni semplici di tipo 3

attraverso funzioni razionali e arcotangenti - nel caso di frazioni semplici di tipo 4. La sostituzione trigonometrica universale razionalizza sempre l'integrando, ma spesso porta a frazioni razionali molto scomode, per le quali, in particolare, è quasi impossibile trovare le radici del denominatore. Pertanto, quando possibile, si utilizzano sostituzioni parziali, che razionalizzano anche l'integrando e portano a frazioni meno complesse.

Formula di Newton-Leibnizè un approccio generale per trovare integrali definiti.

Per quanto riguarda le tecniche per il calcolo degli integrali definiti, non sono praticamente diverse da tutte quelle tecniche e metodi.

Applicare esattamente allo stesso modo metodi di sostituzione(cambio di variabile), metodo di integrazione per parti, le stesse tecniche per trovare le antiderivative per funzioni trigonometriche, irrazionali e trascendentali. L'unica particolarità è che quando si utilizzano queste tecniche è necessario estendere la trasformazione non solo alla funzione integranda, ma anche ai limiti di integrazione. Quando si sostituisce la variabile di integrazione, non dimenticare di modificare di conseguenza i limiti di integrazione.

Correttamente dal teorema la condizione per la continuità della funzioneè una condizione sufficiente per l’integrabilità di una funzione. Ma questo non significa che l’integrale definito esista solo per funzioni continue. La classe delle funzioni integrabili è molto più ampia. Ad esempio, esiste un integrale definito di funzioni che hanno un numero finito di punti di discontinuità.

Calcolare un integrale definito di una funzione continua utilizzando la formula di Newton-Leibniz si riduce a trovare l'antiderivativa, che esiste sempre, ma non sempre è una funzione elementare o una funzione per la quale sono state compilate tabelle che consentono di ottenere il valore di l'integrale. In numerose applicazioni la funzione integrabile è specificata in una tabella e la formula di Newton-Leibniz non è direttamente applicabile.

Se hai bisogno di ottenere il risultato più accurato, è l'ideale Metodo Simpson.

Da quanto studiato sopra, possiamo trarre la seguente conclusione che l'integrale è utilizzato in scienze come la fisica, la geometria, la matematica e altre scienze. Utilizzando l'integrale si calcola il lavoro della forza, si trovano le coordinate del centro di massa e il percorso percorso dal punto materiale. In geometria viene utilizzato per calcolare il volume di un corpo, trovare la lunghezza dell'arco di una curva, ecc.

Dipartimento di Matematica Superiore

Completato da: Matveev F.I.

Controllato da: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1.Metodi numerici di integrazione

2. Derivazione della formula di Simpson

3. Illustrazione geometrica

4.Selezione della fase di integrazione

5.Esempi

1. Metodi numerici di integrazione

Il problema dell'integrazione numerica è calcolare l'integrale

Attraverso una serie di valori dell'integrando.

I problemi di integrazione numerica devono essere risolti per funzioni specificate nelle tabelle, funzioni i cui integrali non sono presi nelle funzioni elementari, ecc. Consideriamo solo le funzioni di una variabile.

Al posto della funzione da integrare integriamo il polinomio di interpolazione. I metodi basati sulla sostituzione dell'integrando con un polinomio di interpolazione consentono di stimare l'accuratezza del risultato utilizzando i parametri del polinomio o di selezionare questi parametri in base alla precisione data.

I metodi numerici possono essere raggruppati condizionatamente in base al metodo di approssimazione dell'integrando.

I metodi di Newton-Cotes si basano sull'approssimazione di una funzione mediante un polinomio di grado. L'algoritmo di questa classe differisce solo nel grado del polinomio. Di norma, i nodi del polinomio approssimante sono equicorrelati.

I metodi di integrazione spline si basano sull'approssimazione di una funzione tramite un polinomio spline a tratti.

I metodi con la massima precisione algebrica (metodo gaussiano) utilizzano nodi disuguali appositamente selezionati che forniscono un errore di integrazione minimo per un dato numero (selezionato) di nodi.

I metodi Monte Carlo vengono spesso utilizzati quando si calcolano integrali multipli; i nodi vengono selezionati in modo casuale e la risposta è probabilistica.

errore totale

errore di troncamento

errore di arrotondamento

Indipendentemente dal metodo scelto, nel processo di integrazione numerica è necessario calcolare il valore approssimativo dell'integrale e stimare l'errore. L'errore diminuisce all'aumentare del numero n

partizioni di segmenti. Tuttavia, ciò aumenta l’errore di arrotondamento

sommando i valori degli integrali calcolati sui segmenti parziali.

L'errore di troncamento dipende dalle proprietà dell'integrando e dalla lunghezza del segmento parziale.

2. Derivazione della formula di Simpson

Se per ogni coppia di segmenti costruiamo un polinomio di secondo grado, poi lo integriamo e utilizziamo la proprietà di additività dell’integrale, otteniamo la formula di Simpson.

Consideriamo l'integrando sul segmento . Sostituiamo questo integrando con un polinomio di interpolazione di Lagrange di secondo grado, coincidente nei punti:

Integriamo:

e si chiama formula di Simpson.

Il valore ottenuto per l'integrale coincide con l'area di un trapezio curvilineo delimitato dall'asse, dalle rette e dalla parabola passante per i punti

Stimiamo ora l'errore di integrazione utilizzando la formula di Simpson. Supponiamo che ci siano derivate continue sull'intervallo . Compensiamo la differenza

È già possibile applicare il teorema del valore medio a ciascuno di questi due integrali, poiché la funzione è continua e non negativa sul primo intervallo di integrazione e non positiva sul secondo (cioè non cambia segno su ciascuno di questi intervalli). Ecco perché:

(abbiamo usato il teorema del valore medio poiché - è una funzione continua; ).

Differenziando due volte e applicando poi il teorema del valore medio, otteniamo un'altra espressione per:

, Dove

Da entrambe le stime segue che la formula di Simpson è esatta per polinomi di grado non superiore a tre. Scriviamo la formula di Simpson, ad esempio, nella forma:

Se il segmento di integrazione è troppo grande, viene diviso in parti uguali (assumendo ), e quindi in ciascuna coppia di segmenti adiacenti, ,..., applicare la formula di Simpson, ovvero:

Scriviamo la formula di Simpson in forma generale:

Errore della formula di Simpson - metodo del quarto ordine:

, (3)

Poiché il metodo Simpson consente di ottenere una precisione elevata, se non troppo elevata. Altrimenti, il metodo del secondo ordine potrebbe fornire una maggiore precisione.

Ad esempio, per una funzione, la forma trapezoidale di for dà il risultato esatto, mentre utilizzando la formula di Simpson otteniamo

3. Illustrazione geometrica

Su un segmento di lunghezza 2h si costruisce una parabola passante per tre punti, . L'area sotto la parabola, racchiusa tra l'asse OX e le rette, è considerata uguale all'integrale.

Una particolarità dell'applicazione della formula di Simpson è il fatto che il numero di partizioni del segmento di integrazione è pari.

Se il numero di segmenti della partizione è dispari, allora per i primi tre segmenti si dovrebbe applicare una formula utilizzando una parabola di terzo grado passante per i primi quattro punti per approssimare l'integrando.

(4)

Questa è la formula dei tre ottavi di Simpson.

Per un segmento arbitrario di integrazione, la formula (4) può essere “continua”; in questo caso il numero dei segmenti parziali deve essere multiplo di tre (punti).

, m=2,3,... (5)

Parte intera

È possibile ottenere le formule di Newton-Cotes di ordine superiore:

(6)

Numero di segmenti della partizione;

Il grado del polinomio utilizzato;

Derivata dell'esimo ordine nel punto ;

Passo di divisione.

La tabella 1 mostra i coefficienti. Ogni linea corrisponde ad un insieme di intervalli per nodi per costruire un polinomio di grado k. Per utilizzare questo schema per più insiemi (ad esempio con k=2 e n=6), è necessario “continuare” i coefficienti e poi sommarli.

Tabella 1:

L'algoritmo di stima dell'errore per le formule trapezoidali e Simpson può essere scritto come: (7),

dove è un coefficiente che dipende dal metodo di integrazione e dalle proprietà dell'integrando;

h - fase di integrazione;

p - ordine del metodo.

La regola di Runge viene utilizzata per calcolare l'errore calcolando due volte l'integrale con i passaggi h e kh.

(8) - stima a posteriori. Allora Iref.= +Ro (9), valore raffinato dell'integrale.

Se non si conosce l'ordine del metodo è necessario calcolare I una terza volta con passo , ovvero:

da un sistema di tre equazioni:

con le incognite I, A e p otteniamo:

Dalla (10) segue (11)

Pertanto, il metodo del doppio calcolo, utilizzato il numero di volte richiesto, consente di calcolare l'integrale con un dato grado di precisione. Il numero richiesto di partizioni viene selezionato automaticamente. In questo caso è possibile utilizzare più chiamate alle subroutine dei metodi di integrazione corrispondenti senza modificare gli algoritmi di questi metodi. Tuttavia, per i metodi che utilizzano nodi ugualmente correlati, è possibile modificare gli algoritmi e dimezzare il numero di calcoli dell'integrando utilizzando le somme integrali accumulate durante le precedenti partizioni multiple dell'intervallo di integrazione. Due valori approssimativi dell'integrale e, calcolati utilizzando il metodo trapezoidale con gradini e, sono legati dalla relazione:

Allo stesso modo, per gli integrali calcolati utilizzando la formula con passaggi e , valgono le seguenti relazioni:

,

(13)

4. Scelta della fase di integrazione

Per selezionare il passo di integrazione è possibile utilizzare l'espressione del termine residuo. Prendiamo, ad esempio, il resto della formula di Simpson:

Se ê ê, allora ê ê .

Sulla base della precisione e data del metodo di integrazione, determiniamo il passo appropriato dall'ultima disuguaglianza.

, .

Tuttavia, questo metodo richiede una valutazione (che non è sempre possibile nella pratica). Pertanto, utilizzano altri metodi per determinare la stima dell'accuratezza, che consentono di selezionare il passo h desiderato durante i calcoli.

Diamo un'occhiata a una di queste tecniche. Permettere

,

dove è il valore approssimativo dell'integrale con passo . Riduciamo il passo della metà, dividendo il segmento in due parti uguali e ().

Supponiamo ora che non cambi troppo velocemente, quindi che sia quasi costante: . Poi E , Dove , questo è .

Da ciò possiamo trarre la seguente conclusione: se , cioè se , , a è la precisione richiesta, allora il passo è adatto per calcolare l'integrale con sufficiente precisione. Se, il calcolo viene ripetuto gradualmente e poi confrontato, ecc. Questa regola è chiamata regola di Runge.

Tuttavia, quando si applica la regola di Runge, è necessario tenere conto dell'entità dell'errore di calcolo: al diminuire di esso, aumenta l'errore assoluto del calcolo dell'integrale (la dipendenza da è inversamente proporzionale) e, se sufficientemente piccolo, è potrebbe rivelarsi maggiore dell’errore del metodo. Se supera , la regola di Runge non può essere applicata per questo passaggio e non è possibile ottenere la precisione desiderata. In questi casi è necessario aumentare il valore.

Nel derivare la regola di Runge, hai essenzialmente utilizzato il presupposto che . Se esiste solo una tabella di valori, allora il controllo della “costanza” può essere effettuato direttamente dalla tabella.L'ulteriore sviluppo degli algoritmi di cui sopra ci consente di passare ad algoritmi adattivi, in cui, scegliendo un diverso passo di integrazione in parti diverse del segmento di integrazione, a seconda delle proprietà, il numero di calcoli dell'integrando viene ridotto.

Un altro schema per affinare i valori integrali è il processo di Eithnen. L'integrale viene calcolato in passaggi e . Calcolo dei valori. Poi (14).

La misura dell'accuratezza del metodo Simpson è considerata:

5. Esempi

Esempio 1. Calcola l'integrale utilizzando la formula di Simpson se fornito da una tabella. Stimare l'errore.

Tabella 3.

Soluzione: Calcoliamo con la formula (1) per e integrale .

Secondo la regola di Runge otteniamo Accetta.

Esempio 2. Calcola l'integrale .

Soluzione: abbiamo . Quindi h==0,1. I risultati del calcolo sono mostrati nella Tabella 4.

Tabella 4.

Calcolo dell'integrale utilizzando la formula di Simpson

		y0=1.00000; -0,329573ê£ 3. Stime dell'errore del metodo Simpson: £ 0,0000017 per =0,1, £ 0,0000002 per =0,05. Per evitare che errori di arrotondamento distorcessero un risultato così accurato per la formula di Simpson, tutti i calcoli sono stati eseguiti con sei cifre decimali. Risultati finali: