Aguilar Eugenio Manuel Fernandez

14.04.2018 - 5:26

Maggioranza libri di testo scolastici, pubblicati negli ultimi centinaia di anni, sono permeati delle idee di "progresso" o "evoluzione" - l'idea che ogni generazione successiva dell'umanità conosce e può fare di più e meglio della precedente. E se si confrontano i tempi di decine o centinaia di generazioni fa, il contrasto diventa semplicemente lampante.

La saggezza degli antichi

In effetti, basta guardare i ritratti o i busti di rispettabili esperti che spesso illustrano i paragrafi corrispondenti: fronte alta, volti rugosi, occhi seri, rispettabili barbe ispide - e poi confrontarli con ciò che viene presentato negli stessi paragrafi come il più alto risultato che questi scienziati sbuffano con un misto di arroganza e disprezzo.

Ah! Hanno pensato e lavorato per tutta la vita, hanno letto innumerevoli opere di altri pensatori, hanno discusso con altri come loro per creare una sorta di teorema di Talete o legge di Pascal, che ora ogni bambino di livello non elevato impara in poche lezioni. Non è questa una chiara prova di progresso?

No, no, un atteggiamento così sdegnoso non viene mai presentato esplicitamente; anzi, a parole, i nostri libri esaltano in ogni modo possibile la saggezza degli antichi. Tuttavia, vale la pena fare due più due, e anche lo studente più arretrato si renderà conto: se questa è saggezza, allora cos’era la stupidità a quei tempi?! Quanto erano primitivi i nostri antenati!

È in questa luce che sembra molto plausibile l'idea che solo poche migliaia fa selvaggi in perizoma con asce di pietra rozzamente squadrate cavalcassero in giro per il mondo, per i quali persino arco e frecce sembravano l'apice del genio tecnologico. E anche prima? Lasci perdere! Scimmie, solo scimmie. Ci sono alcune contraddizioni con questa immagine dello sviluppo della civiltà, ad esempio i "secoli bui" del Medioevo Europa occidentale oppure le sorprendenti “sette meraviglie del mondo” sembrano non essere altro che eccezioni che confermano la regola.

Legge di Archimede

Ma quanto è giustificata una simile esaltazione nei confronti dei geni dei secoli passati? È proprio vero che se uno di loro in qualche modo finisse ai nostri giorni, allora qualsiasi studente Scuola superiore potresti facilmente confrontarti con lui in termini di sviluppo mentale? E avrebbe potuto colpirlo con qualche logaritmo o integrale?

Rivolgiamoci a uno dei pensatori apparentemente più familiari a noi mondo antico. Archimede. Tutti conoscono la sua storia, vero? È apparso in innumerevoli libri e film scientifici popolari, anche in diversi cartoni animati per bambini. Un simpatico vecchietto che correva nudo per la città gridando “Eureka!”, dopo aver scoperto attraverso un semplice esperimento nel suo bagno che “un corpo immerso in un liquido è soggetto ad una forza di galleggiamento pari al peso del liquido che sposta .”

Usando questo principio, in seguito chiamato "legge di Archimede", imparò a misurare arbitrariamente il volume dei corpi forma complessa. E lungo la strada aiutò il tiranno di Siracusa a smascherare un gioielliere ingannevole che aveva realizzato una corona su misura non dall'oro puro, ma da una lega di oro e argento. Fu anche un famoso meccanico, autore della “Vite di Archimede” e di numerose macchine e meccanismi militari che terrorizzarono gli antichi invasori romani. Quelli, tuttavia, nonostante tutti gli astuti espedienti militari, in qualche modo presero Siracusa, e il povero Archimede morì per mano di un ignaro soldato romano per aver chiesto di "non toccare i suoi disegni".

E, qui, ha anche detto: “Dammi un fulcro e farò girare la Terra!” - che, nonostante il suo suono impressionante, non era altro che un'illustrazione del più semplice principio meccanico di una leva. Beh, probabilmente è tutto, giusto?

La conoscenza dell'Ecumene

Ahimè, nemmeno vicino. Qualsiasi biografia più o meno seria ci dirà che Archimede non fu solo un eccezionale filosofo, scienziato naturale e inventore, ma, soprattutto, uno dei più grandi matematici dell'era greco-romana. Era tutt'altro che autodidatta, ma ricevette un'ottima educazione ad Alessandria d'Egitto, la principale centro scientifico di quel tempo, e trascorse tutta la sua vita in corrispondenza con gli scienziati di lì.

La quantità di conoscenze disponibili ad Alessandria nel III secolo a.C. va oltre ogni immaginazione, poiché conteneva non solo le conquiste di tutti i popoli del bacino del Mediterraneo, ma, grazie alle campagne di Alessandro Magno, anche molte civiltà misteriose Mesopotamia, Persia e persino la valle dell'Indo. Attraverso Archimede possiamo quindi sperare di toccare almeno lievemente la conoscenza di quasi tutta l'“Ecumene”.

Inoltre, gli storici della scienza credono giustamente che sappiamo molto di più su Archimede che su qualsiasi altro matematico antico. È vero, aggiungono subito che degli altri non sappiamo praticamente nulla. Quindi sappiamo in modo offensivo poco di Archimede. Naturalmente, nessuno ha dubitato dell’eccellente reputazione matematica di Archimede per migliaia di anni, ma più andava avanti, più sorgevano domande su quali risultati esattamente avesse ottenuto e, soprattutto, COME avesse ottenuto.

Prove perdute

Il fatto è che pochissime opere originali di Archimede sono sopravvissute non solo fino ai giorni nostri, ma anche fino al Rinascimento, quando per la prima volta dopo molte centinaia di anni sorse l'interesse per la matematica seria. Naturalmente non stiamo parlando di manoscritti scritti di suo pugno, ma almeno di copie affidabili o di traduzioni complete in altre lingue.

Sfortunatamente, gran parte dell'eredità dell'antichità è stata preservata solo nelle citazioni fornite da altri autori, a volte molto successivi, e questo vale non solo per Archimede, ma anche per assolutamente tutti gli altri notevoli scienziati e filosofi antichi. Ciò che pensiamo di sapere su di loro è solo una parte molto piccola di ciò che hanno effettivamente realizzato. Inoltre, questa piccola parte contiene miriadi di distorsioni accidentali e intenzionali di molti scribi, traduttori e commentatori, non tutti ugualmente onesti e coscienziosi.

Inoltre, come molti matematici delle prime epoche, Archimede nelle sue opere non sempre dava risultati prove dettagliate loro formule e teoremi. Ciò era dovuto sia al fatto che per applicazione pratica non è richiesta alcuna prova, e con il fatto che c'è sempre stata una cerchia di persone invidiose che volevano appropriarsene risultato significativo a te stesso. Mantenere segreto il metodo di prova consentiva di confermare la propria paternità o confutare la paternità di un impostore, in caso di necessità. A volte, per confondere ulteriormente la situazione, venivano rilasciate prove false con inesattezze ed errori introdotti deliberatamente.

Naturalmente, quando il risultato ricevette un riconoscimento generale, le prove corrette furono comunque pubblicate, ma, per ovvi motivi, il numero di manoscritti che le registravano era molto inferiore al numero di quelli che fornivano solo la soluzione finale. La situazione era ulteriormente complicata dal fatto che nella matematica dell'antica Grecia i disegni non solo illustravano il testo di una dimostrazione, ma ne costituivano essi stessi una parte essenziale - e non tutti gli scribi erano abbastanza abili nel copiare testi complessi. forme geometriche. Per questo motivo, molte prove andarono perdute per sempre.

Il metodo di Archimede

Per circa mille anni, tra le opere perdute per sempre dall'umanità c'era il trattato di Archimede "Metodo dei teoremi della meccanica", spesso noto semplicemente come "Metodo". Fu in esso che Archimede spiegò in dettaglio come raggiunse alcuni dei suoi risultati più sorprendenti.

Il suo significato per comprendere l’eredità di questo antico pensatore greco è così grande che gli storici della scienza a volte chiamano questo trattato “un calco del cervello di Archimede”. Senza l'accesso almeno ad estratti di questo testo, era considerato quasi impossibile determinare il vero livello delle conoscenze e delle abilità matematiche di Archimede.

Il primo barlume di speranza che quest'opera potesse ancora sopravvivere si manifestò verso la metà del XIX secolo. Il sequestro dell'Egitto da parte dell'esercito napoleonico e l'esportazione da lì in Europa di un'enorme quantità di beni culturali suscitò interesse tra gli illuminati per lo studio dell'Antico Oriente. In quel momento la quintessenza di tutto storia antica La Bibbia fu presa in considerazione, ma la sua autorità fu in una certa misura minata dalle critiche dei pensatori illuministi.

Lo studio diretto dei monumenti delle civiltà passate ha aperto l'opportunità di confermare il testo biblico con i fatti, e molti europei e americani hanno accettato questo compito con entusiasmo. Alcuni hanno viaggiato nei paesi del Medio Oriente alla ricerca di opere d'arte perdute, altri hanno scavato a proprie spese le rovine di città perdute e altri hanno cercato manoscritti dimenticati da tempo nelle biblioteche dei paesi del Medio Oriente.

Studioso della Bibbia

Purtroppo, nonostante il fatto che molti di questi “studiosi della Bibbia” del 19° secolo abbiano ottenuto risultati sorprendenti, per la maggior parte erano molto lontani dall’essere professionisti. Il che è perfettamente illustrato dal prossimo episodio. Il noto "biblista" tedesco Constantin von Tischendorff lavorò nelle biblioteche di Costantinopoli negli anni Quaranta dell'Ottocento.

Di lì portò a casa una pagina di un manoscritto che lo interessava, sulla quale notò alcuni complessi calcoli matematici in greco semicancellati.

Per quanto sia triste ammetterlo, a quanto pare lo strappò semplicemente dal libro quando il bibliotecario guardava dall'altra parte. Ora questa pagina è conservata nella Biblioteca dell'Università di Cambridge, sia come prova di una sorprendente scoperta accidentale, sia dell'atteggiamento barbaro di alcuni "scienziati" occidentali nei confronti del patrimonio dell'antichità.

Sebbene questa pagina abbia poi avuto un ruolo nella scoperta dell'eredità di Archimede, il vero merito della scoperta del libro, che in seguito divenne noto come il Palinsesto di Archimede, non appartiene a Tischendorf, ma a un oscuro bibliotecario turco. Durante la compilazione del catalogo prestò attenzione anche alle linee dei calcoli matematici e ne citò un estratto nel catalogo della biblioteca, che fu pubblicato e distribuito in tutto il mondo.

Documento straordinario

All'inizio del XX secolo, questo catalogo cadde nelle mani dello storico e filologo danese Johann Ludwig Heiberg, che ne fu così incuriosito che non fu troppo pigro per recarsi a Costantinopoli, e nel 1906 scoprì personalmente il libro. Ciò che vide lo sconvolse nel profondo.

Si scopre che un documento straordinario è caduto nelle sue mani. A prima vista, un libro liturgico piuttosto ordinario del monastero deserto di Mar Saba, vicino a Gerusalemme, riscritto nel XIII secolo. Ma se si guarda da vicino, nel testo liturgico si trovano deboli linee di greco antico, piene di termini scientifici e filosofici. A qualsiasi specialista che avesse familiarità con la cultura del Medioevo fu immediatamente chiaro cosa significasse.

Purtroppo, la pergamena su cui venivano scritti i libri medievali era realizzata in pelle di vitello ed era una cosa costosa. Pertanto, la carenza di questo materiale veniva spesso risolta in modo abbastanza semplice: i libri meno necessari venivano divisi in fogli separati, l'inchiostro veniva rimosso da questi fogli, quindi venivano ricuciti insieme e su di essi veniva scritto il nuovo testo. Il termine "palinsesto" significa semplicemente un manoscritto su testo cancellato.

Nel caso del Palinsesto di Archimede, ciascuno dei fogli originali è stato anche piegato a metà per creare un libro più piccolo. Ecco perché si è scoperto che il nuovo testo era scritto sopra quello vecchio. Come materiale per scrivere, lo sconosciuto monaco-scriba usò raccolte di opere scientifiche e politiche compilate nell'impero bizantino intorno agli anni '50. Fortunatamente la pulizia non è stata effettuata in modo molto accurato, il che ha permesso di scoprire il testo originale.

Un esame preliminare di Heiberg ha mostrato che la paternità di un gran numero di testi del X secolo appartiene nientemeno che ad Archimede e, soprattutto, tra questi l'ambito “Metodo” è presente quasi per intero! Sfortunatamente, la biblioteca proibì che il manoscritto venisse portato via dalla sua sede (dopo aver incontrato personaggi come Tischendorf, chi può biasimarli?), così lo scienziato assunse un fotografo per rifotografare per lui l'intero codice. Poi, armato soltanto di una lente d'ingrandimento, Heiberg iniziò a decifrare scrupolosamente la fotocopia. Riuscì a risolvere molte cose e il risultato finale fu pubblicato nel 1910-15, fu pubblicato abbastanza rapidamente e traduzione inglese. La scoperta dell'opera perduta di Archimede ha suscitato molto rumore ed è arrivata persino alla prima pagina del New York Times.

Ma il difficile destino del Palinsesto di Archimede non finisce qui. Durante la Prima Guerra Mondiale (a seguito della quale impero ottomano cessò di esistere) e durante la devastazione immediatamente successiva a Costantinopoli non c'era assolutamente tempo per gli antichi manoscritti. Come ai tempi di Napoleone dall'Egitto, negli anni '20 un enorme flusso di valori turchi affluì in Europa. Solo molto più tardi si poté accertare che un certo collezionista privato aveva potuto acquistare e portare il Palinsesto a Parigi. Dove per molto tempo è diventato solo una curiosità, ruotando in un mondo molto lontano dalla conoscenza.

Codice dall'oblio

L'interesse per il libro rinacque solo nel 1971, sempre grazie al catalogo della biblioteca. Un esperto di cultura greca antica di Oxford, Nigel Wilson, ha attirato l'attenzione su un interessante documento della Biblioteca di Cambridge, una pagina a noi già familiare, grossolanamente strappata da Tischendorf.

Il fatto è che una ricerca negli antichi dizionari greci ha indicato che alcuni dei termini utilizzati nella pagina erano caratteristici delle opere di Archimede.

Wilson ricevette il permesso di esaminare il documento in modo più approfondito e non solo confermò che la pagina apparteneva al Palinsesto, ma dimostrò anche che con l'aiuto di tecnologie precedentemente non disponibili (come l'illuminazione ultravioletta), il testo del X secolo poteva essere completamente restaurato.

Tutto ciò che restava da fare era trovare il codice caduto nell'oblio. Il mondo accademico ha avviato un'intensa ricerca, ma senza esito. Finalmente, nel 1991, un dipendente di una delle case d'asta più importanti del mondo, Christie's, ricevette una lettera da una certa famiglia francese, in cui si dichiarava di voler mettere all'asta quello stesso Palinsesto. La notizia fu accolta con un certo scetticismo, ma un successivo esame diede un verdetto inaspettatamente positivo.

A seguito di un'offerta sensazionale, il documento fu venduto a un anonimo miliardario per 2 milioni di dollari. Tutto scienziati del mondo trattennero il respiro: dopotutto, per volontà del nuovo proprietario, il libro avrebbe potuto semplicemente essere chiuso in una cassaforte per sempre.

Un vero incubo

Fortunatamente i timori erano infondati. Quando Will Noel, curatore dei manoscritti presso il Walters Museum of Art di Baltimora (USA), si rivolse all'agente del proprietario chiedendogli il permesso di restaurare e studiare il Palinsesto, la sua iniziativa fu accolta con entusiasmo. Dicono che il miliardario abbia fatto fortuna nell'alta tecnologia e quindi non fosse così lontano dalla scienza e dai suoi interessi.

Dal 1999 al 2008 un intero gruppo di specialisti provenienti da vari campi, dalla filologia e storia dell'arte alla spettroscopia e analisi informatica data, è stato impegnato nel restauro e nella scansione del Palinsesto di Archimede. Non è stato un lavoro facile.

Lo stesso Noel descrive la sua prima impressione del manoscritto: "Sono rimasto inorridito, disgustato, questo è un documento assolutamente disgustoso, sembra molto, molto, molto brutto, per niente simile a un grande artefatto. Solo un incubo, un vero incubo! Bruciato , con abbondanza di "colla vinilica lungo l'estremità, sotto le strisce di questa colla, gran parte del testo di Archimede, che stavamo per restaurare, è nascosto. C'è mastice per ufficio ovunque, le pagine sono ricoperte da strisce di carta. Semplicemente non ci sono parole per descrivere le pessime condizioni del Palinsesto di Archimede."

Nel monastero, il libro veniva utilizzato attivamente nei servizi divini, quindi in molti luoghi è macchiato di cera di candela. Durante il misterioso periodo 1920-1990. qualcuno ha falsificato su alcune pagine miniature colorate "antiche bizantine" nel tentativo di aumentare il valore del manoscritto. Ma il problema principale era che l'intero codice era gravemente danneggiato dalla muffa, che in alcuni punti divorava le pagine.

Granelli di sabbia nell'Universo

Ma c'erano anche delle gioie. Quando il codice fu tagliato in fogli separati, si scoprì che molte righe del testo di Archimede erano nascoste all'interno della rilegatura e quindi inaccessibili a Heiberg: a volte questi erano punti chiave nella dimostrazione dei teoremi.

La fotografia in diverse gamme dello spettro elettromagnetico, dagli infrarossi ai raggi X, seguita dall'elaborazione delle immagini al computer, ha permesso di ricostruire le lettere del testo del X secolo anche dove erano in qualche modo nascoste o completamente invisibili a occhio nudo.

Ma perché tutto questo lavoro certosino? Perché cercare per molti anni? Cosa si può trovare nel testo delle opere di Archimede, e, in particolare, nel “Metodo” a noi nascosto per un millennio, che giustificherebbe l'entusiasmo degli scienziati nei confronti del Palinsesto di Archimede?

Si sapeva da molto tempo che Archimede era interessato ai numeri molto grandi e alle quantità molto piccole, e al collegamento tra loro. Ad esempio, per calcolare la circonferenza di un cerchio, lo inscrisse in un poligono con un gran numero di lati ma una piccola lunghezza. Oppure era interessato al numero di minuscoli granelli di sabbia nell'Universo, che veniva presentato come un numero enorme. Questa è un'approssimazione di ciò che oggigiorno vengono chiamate quantità infinitamente grandi e infinitesimali. Ma Archimede era capace di operare con l'infinito matematico nel vero senso moderno della parola?

Integrali di Archimede

e a prima vista l'infinito non è altro che un'astrazione matematica astratta. Ma solo dopo che i matematici impararono a operare con questa categoria apparve la cosiddetta “analisi matematica”, un approccio matematico per descrivere eventuali cambiamenti e, in particolare, il movimento. Questo approccio è alla base di quasi tutti i calcoli ingegneristici, fisici e persino economici moderni; senza di esso è impossibile costruire un grattacielo, progettare un aeroplano o calcolare il lancio di un satellite in orbita.

Le basi della nostra moderna analisi matematica, del calcolo differenziale e integrale, furono create da Newton e Leibniz alla fine del XVII secolo e quasi immediatamente il mondo cominciò a cambiare. Pertanto, è proprio il lavoro con l'infinito che distingue la civiltà della trazione a cavallo e dei mulini a vento non solo dalla civiltà dei computer e delle astronavi, ma anche dalla civiltà dei motori a vapore e delle ferrovie.

Quindi la questione dell’infinito ha un significato enorme, si potrebbe persino dire “che definisce la civiltà”. E dopo il lavoro di Heiberg all'inizio del XX secolo e, in particolare, dopo il lavoro dell'équipe di Noel di diversi anni fa, che ha costellato molte i, la risposta a questa domanda è molto chiara ed enfatica: sì, Archimede conosceva il concetto di infinito molto bene, e non solo l'ha utilizzato teoricamente, ma l'ha anche utilizzato praticamente nei calcoli! I suoi calcoli sono impeccabili, le sue dimostrazioni resistono ad accurati test da parte dei matematici moderni. È divertente, usa spesso quelle che nella matematica moderna vengono chiamate "somme di Riemann", in onore di famoso matematico...XIX secolo.

Nel calcolo dei volumi Archimede utilizza una tecnica che può essere chiamata solo calcolo integrale. È vero, se leggi i suoi calcoli in dettaglio, hai la sensazione che si tratti di calcolo integrale “di un altro mondo”. Anche se c’è molto in comune con ciò che ci è familiare oggi, alcuni approcci sembrano del tutto estranei e innaturali. Non sono né peggiori né migliori, sono semplicemente diversi. E questo mi fa venire i brividi lungo la schiena: questo matematica superiore, geneticamente non imparentato in alcun modo con quello moderno! Millenni dopo Archimede, gli scienziati moderni hanno inventato tutto questo da zero, di nuovo, con lo stesso contenuto, ma in una forma leggermente diversa.

Metodo di esaurimento

Sfortunatamente, il Palinsesto di Archimede non risponde e non può rispondere a un'altra domanda intrigante: fino a che punto tali metodi di calcolo erano esclusivi di Archimede e riflettevano il suo genio, e fino a che punto erano tipici dei matematici e degli ingegneri greco-romani in generale? Almeno un metodo di calcolo, un tipo di calcolo padroneggiato da Archimede, può essere fatto risalire al V secolo a.C. circa. e. Questo è il “metodo dell’esaurimento”, che è stato sviluppato nel Grecia antica solitamente associato al nome di Eudosso di Cnido, anche se ci sono prove che fosse conosciuto prima.

Naturalmente, questo metodo fu successivamente reinventato o ricostruito nel XVII secolo. L'esperienza della matematica negli ultimi secoli ci dice che gli scienziati che parlano fluentemente matematica applicata, sono molto raramente responsabili di scoperte teoriche. Archimede, prima di tutto, è uno scienziato applicato; si interessa ai problemi di calcolo di lunghezze, aree e volumi specifici.

Quindi, può darsi che la sua metodologia per lavorare con quantità infinite non sia stata tanto sviluppata quanto perfezionata o rielaborata da lui. Ma se gli scienziati di Alessandria o qualche altro scuola scientifica mondo antico liberamente posseduto analisi matematica, la chiave per tecnologie moderne, cos'altro potrebbero sapere ed essere in grado di fare? Gli orizzonti che si aprono con una simile ipotesi sono mozzafiato.

Lezione amara

Ora che conosciamo la storia del Palinsesto di Archimede, possiamo fare un passo indietro e riflettere. Sì, purtroppo la sua scoperta è avvenuta tardi. Nel 20 ° secolo divenne una sensazione, ma una sensazione solo tra gli specialisti in storia della scienza. Ma cosa sarebbe successo se la sua storia fosse andata diversamente? Se questo manoscritto fosse caduto nelle mani degli scienziati 100, 300, 500 anni prima? E se Newton avesse letto questo libro mentre era ancora a scuola? O Copernico? O ?

I ricercatori moderni affermano con sicurezza che anche per i matematici del XIX secolo questo lavoro avrebbe un interesse più che accademico. Per i matematici dei secoli XVII-XVIII il suo significato sarebbe stato enorme.

E nel Rinascimento, se cadesse nelle mani giuste, produrrebbe semplicemente l’effetto di una bomba che esplode, rimodellando completamente il futuro sviluppo della matematica e dell’ingegneria. Cosa abbiamo perso perdendo per secoli l’accesso a un solo libro antico? Città su Marte, astronavi interstellari, rispettose dell'ambiente reattori termonucleari? Non lo sapremo mai...

Ma questa amara lezione non va sprecata. Quanti libri e documenti altrettanto importanti, e forse anche più preziosi, ci sono ancora nascosti? È sugli scaffali polverosi di archivi e biblioteche, nascosto nei magazzini dei musei, chiuso negli armadi ignifughi dei collezionisti? Quanti segreti sono custoditi dalle tavolette cuneiformi indecifrabili e dalle iscrizioni sui muri degli antichi edifici?

Se un testo scritto nel 200 a.C. può ancora essere considerato rivoluzionario non meno di duemila anni dopo, esistono opere antiche che possono fornire un impulso significativo alla scienza e alla tecnologia di oggi? Corriamo un rischio e non lo sapremo mai se non ci liberiamo dell’idea arrogantemente ignorante della “primitività” dei nostri antenati.

Ricordiamo che abbiamo parlato anche della conoscenza segreta degli antichi sacerdoti che sapevano come fare

Georgy Khaletsky

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Archimede era un uomo di così elevato modo di pensare, di tale profondità d'animo e ricchezza di conoscenze, che non volle scrivere nulla sulle cose che gli davano la gloria non di una mente mortale, ma divina, ma, considerando la costruzione di macchine e, in generale, qualsiasi arte coinvolta nelle necessità quotidiane, vile e rozza, rivolse tutto il suo zelo ad attività in cui la bellezza e la perfezione non si mescolano ai bisognivita. E non si può fare a meno di credere alle storie secondo cui è stato segretamente stregato da una certa sirena che non lo ha lasciato per un momento, e quindi si è dimenticato del cibo e della cura del suo corpo. Fece molte scoperte meravigliose, ma chiese ai suoi amici e parenti di mettere sulla sua tomba solo un cilindro con una palla all'interno e di scrivere un calcolo del rapporto dei loro volumi.

Archimede non si è attaccato di grande importanza tutte le macchine che costruiva le considerava solo come semplici giocattoli geometrici con cui lavorava tempo libero, e poi soprattutto su insistenza del re Ierone, che indirizzava costantemente i suoi studi da argomenti puramente intellettuali a cose materiali.

In un momento di pericolo che minacciava la sua città natale, Archimede poté lasciare il suo “ufficio” e dedicare tutte le sue forze alla sua difesa.

Tutto questo è così bello che sorge involontariamente la domanda: “È vero? Non è questa una leggenda creata attorno ad Archimede? E che tali leggende siano state effettivamente create lo si vede anche da una spiegazione molto comune di come Archimede scoprì la legge che porta il suo nome: qualsiasi corpo immerso in un liquido perde tanto peso quanto il liquido pesa nel volume di questo corpo. Questa spiegazione si basa sul seguente racconto dell'architetto romano Vitruvio.

“Quando Gerone, che aveva raggiunto il potere reale a Siracusa, dopo aver portato a termine con successo le sue campagne, decise, con voto agli dei immortali, di collocare una ricca corona in uno dei templi, ordinò che fosse realizzata per un certo compenso e pesò la quantità d'oro richiesta all'appaltatore. All'ora stabilita dall'accordo, Archimede (III secolo a.C.) consegnò al re un'opera di ottima fattura, che a quanto pare corrispondeva esattamente al peso dell'oro stanziato per essa.

Dopo che il re venne a sapere che parte dell'oro era stata nascosta e che durante la realizzazione della corona vi era stata mescolata la stessa quantità di argento, egli, indignato per l'insulto inflittogli e non trovando modo di provare questo furto, si è rivolto ad Archimede con la richiesta di risolvere tu stesso questo problema.

Accadde così che, mentre Archimede pensava a questo, sedendosi nella vasca da bagno, notò che più profondamente vi immergeva il corpo, più acqua scorreva oltre il bordo. Questa idea gli servì per risolvere il suo problema, e senza esitazione, felicissimo, saltò fuori dal bagno e corse a casa sua, gridando ad alta voce che aveva trovato quello che cercava, perché mentre correva continuava a gridare in Greco "eureka, eureka".

Si noti che la storia di Vitruvio non menziona la legge di Archimede. Infatti, come si evince dalla Metrica di Airone di Alessandria (circa 100 d.C.), Archimede riteneva che se il corpo da misurare è portatile, allora si dovrebbe realizzare un vaso rettangolare che possa accogliere questo corpo, riempirlo d'acqua e abbassarlo nel suo corpo è sbagliato; allora è chiaro che una certa quantità d'acqua fuoriuscirà in modo tale che qualunque fosse il volume del corpo immerso nell'acqua, tanta acqua mancherà in questo contenitore dopo che il corpo ne sarà uscito.

Se misuri lo spazio che è diventato vuoto, puoi trovare il volume del corpo abbassato, e quindi la densità.

Ora proviamo a immaginare Archimede liberato dalle leggende accumulate. Il suo studente Eraclide compilò una biografia perduta del suo insegnante.

Si tratta di una biografia apparentemente molto iconografica, poiché l'autore attribuisce addirittura ad Archimede la scoperta di sezioni coniche, che non possono assolutamente corrispondere alla realtà. Proviamo a ricostruire la biografia di Archimede sulla base di fatti accertati in modo affidabile.

Archimede morì nel 212 a.C. e. - nell'anno della presa di Siracusa da parte dell'esercito romano. Scrittore bizantino del XII secolo. Tsetsi riferisce di essere morto all'età di 75 anni; su questa base è generalmente accettato che Archimede sia nato in Sicilia nel 287 a.C. e. Quando Archimede aveva circa dieci anni, il famoso re Pirro dell'Epiro invase la Sicilia.

Nella lotta contro Pirro, Ierone, parente di Archimede, avanzò e nel 270 a.C. e. divenne sovrano di Siracusa. La prima metà del suo regno non fu pacifica; fu coinvolto nella prima guerra punica (264-241 aC), dove combatté contro i romani in alleanza con i cartaginesi, ma presto si ritirò dalla guerra. Alla fine della guerra la Sicilia divenne provincia romana, Siracusa era ancora libera.

Dal 241 a.C e. inizia il periodo pacifico del regno di Gerone, che cercò di mantenere buoni rapporti sia con i romani che con i cartaginesi; tuttavia, si prepara attivamente a respingere possibili attacchi alla libertà di Siracusa e rafforza le difese della sua città natale, coinvolgendo in quest'opera Archimede, come scrive Plutarco.

Questo fu lo sfondo nel quale si svolse l'attività di Archimede. Delle opere complete di Archimede pervenute fino a noi, consideriamo quanto segue.

1. "Quadratura di una parabola".

2. Due libri “Sulla palla e sul cilindro”.

3. "Informazioni su conoidi e sferoidi".

4. "Informazioni sulle spirali".

Queste opere rappresentano un gruppo completo di messaggi scritti da Archimede a un certo Dositeo, allievo di Conone di Samo, che era un po' come il supervisore scientifico di Archimede e gli diede il programma di lavoro racchiuso in questi messaggi. L'ordine in cui questi saggi furono scritti è pienamente stabilito dalle introduzioni che li accompagnano.

La prima di queste opere fu scritta a Dositeo dopo la morte di Conone. Conone di Samo era noto agli storici dalla seguente leggenda. Nel 246 a.C. e. il sovrano egiziano Tolomeo III Euergete iniziò la terza guerra siriana e intraprese una campagna contro Antiochia; sua moglie Verenika, pregando per una conclusione positiva della campagna, sacrificò i suoi capelli agli dei. Dopo la fine della campagna, si è scoperto che i suoi capelli non erano nella tempia; poi l'astronomo di corte Conone dichiarò che questi capelli erano stati posti dagli dei nel cielo e formavano una nuova costellazione "Capelli di Berenice". Questo evento fu cantato dal poeta di corte Callimaco, a seguito del quale divenne noto agli storici.

Kononfu infatti uno scienziato molto importante che esercitò una grande influenza su sviluppo scientifico Archimede, che potrebbe averlo incontrato in Sicilia, dove Conone effettuò ricerche astronomiche, oppure ad Alessandria durante il soggiorno di Archimede.

Il secondo scienziato con cui Archimede mantenne una corrispondenza fu il famoso Eratostene di Cirene (285-205 a.C.), che fu invitato ad Alessandria nel 245 da Tolomeo Euergete per educare suo figlio ed erede Tolomeo IV Filopatore. Il momento più conveniente per questa visita arrivò dopo la fine della prima guerra punica, quando il sovrano di Siracusa, Ierone, poté rilasciare Archimede ad Alessandria.

La leggenda di Bernice è importante in quanto nel 246 a.C. e. Conone era vivo, quindi il saggio "Sulla quadratura della parabola" fu scritto dopo quest'anno. Ma nel 246 Archimede aveva già 41 anni, quindi Archimede dovette dedicarsi al lavoro scientifico nei suoi anni di declino, avvicinandosi all'età di cinquanta.Di solito gli storici datano la morte di Conone agli anni trenta del III secolo aC, quindi presumibilmente la Quadratura della Parabola potrebbe essere datata al 235 aC circa.

Determiniamo il tempo approssimativo delle rimanenti opere di Archimede:

5. Due libro "In saldo" figure piatte».

6. " Efod, o lettera a Eratostene sui teoremi meccanici".

7. Due libri “Sui corpi galleggianti”.

8. "Misurare un cerchio".

9. "Sammito".

10. "Il problema del toro".

I due libri "Sull'equilibrio delle figure piane" mirano a determinare il baricentro di un segmento parabolico; quindi sono scritti dopo "La quadratura della parabola".

Nell'introduzione all'Efod, Archimede scrisse dei teoremi che trovò. Questi teoremi si sono rivelati diversi da quelli trovati in precedenza: infatti, nei teoremi precedenti, i corpi conoidi e sferoidali, così come i loro segmenti, venivano confrontati in dimensioni con coni e cilindri, e nessuno di questi corpi risultò essere uguale a una figura solida limitata da piani; dei corpi considerati, limitati da due piani e superfici cilindriche, risultano ciascuno uguale a una delle figure solide limitate da piani.

Pertanto, "Efod" è scritto dopo "Conoidi e Sferoidi".

Il secondo libro, “Sui corpi galleggianti”, esamina la posizione di equilibrio di un segmento paraboloide, per il quale è necessario conoscere la posizione del baricentro del volume corrispondente. Poiché questa posizione è definita nell’“Efod”, i libri sul nuoto furono scritti dopo l’“Efod”.

Pertanto, l'ordine di queste opere può essere considerato stabilito: sono state tutte scritte dopo "La quadratura della parabola".

I restanti tre lavori riguardano la matematica computazionale. Di questi, particolarmente interessante è il libro “Sulla misurazione dei cerchi”, scritto, come scrisse lo stesso Archimede, prima della “Psammita”.

Nelle prime quattro opere indicate (nelle epistole a Dositeo), Archimede si occupa della determinazione delle superfici e dei volumi di varie figure e corpi. La sua soluzione si compone di due fasi: nella prima risolve il problema dapprima meccanicamente, scomponendo la figura oggetto di studio in parti piccolissime, molto simili all'“indivisibile” di Democrito; Ottenuta così la soluzione del problema, lo dimostra in senso strettamente geometrico, utilizzando il metodo di esaustione di Eudosso, costruendo insiemi successivi di figure o lastre rettilinee in modo da “esaurire” l'intera area o volume della figura misurata. In "La quadratura della parabola" lo fa riprendendo il metodo dell'esaurimento nella sua forma originale. Consideriamo questo metodo.

Permettere AOB(Fig. 3) rappresenta un segmento di parabola, la cui area deve essere determinata; sia OS l'asse della parabola, che prendiamo come asse X, quindi il rapporto tra le ascisse X e ordinate A la parabola sarà simile a:

Fig.3

Archimede sfrutta la proprietà della parabola che tutti i suoi diametri sono paralleli. Inscrive un triangolo in una parabola AOB, il cui vertice coincide con il vertice della parabola; Prendiamo l'area di questo triangolo come una. Dall'asse OHè quindi l'asse della parabola CON-punto medio di una retta AB, sistema operativo- diametro del segmento AOB.

Dopo aver selezionato il triangolo AOB otteniamo altri due segmenti della parabola. Dividiamo gli accordi OA E OB a metà nei punti D E D" e disegna segmenti DE E D"E". Collegare i punti con linee rette E E E" di conseguenza con UN, DI E IN, otteniamo altri due triangoli AEO E VE"O. Disegniamo linee rette GG" E EE" la figura risultante sarà ovviamente un parallelogramma.

Ma PER ESEMPIO. rappresenta l'ordinata corrispondente all'ascissa O.G., UN AC- ordinata per l'ascissa sistema operativo. Perché AC.=2PER ESEMPIO., quindi secondo l'equazione (1) le parabole

O

Spostiamo i triangoli AEO E BE"O parallelo all'asse OH in modo che diventino basi su una linea retta AB. Fin dalle alture ED E ED" pari, allora è facile vedere che la somma delle aree di questi triangoli in posizione spostata è pari ad un quarto AOB, o, dalla zona AOB preso come uno.

La somma delle aree dei tre triangoli risultanti è:

Se consideriamo altri quattro segmenti sugli accordi AE, EO, OE" ed E"B e inscriviamovi dei triangoli, allora un ragionamento simile mostrerà che la somma delle aree di questi quattro triangoli è uguale asomme triangolari AEO E OE"B; sommando questi triangoli, otteniamo la somma

Continuando a ragionare allo stesso modo, troviamo che l'area del segmento in esame è pari alla somma della progressione geometrica:

Pertanto, se un rettangolo (parallelogramma) è costruito sulla base del segmento AB e del suo asse OS, l'area del segmento parabolico sarà uguale a 2/3 dell'area di questo parallelogramma.

Nei libri "Sulla sfera e sul cilindro" si osserva la successiva evoluzione del metodo di esaurimento. Il valore determinato è compreso tra due somme, una delle quali è maggiore e l'altra minore del valore determinato, e il rapporto di queste somme può essere reso arbitrariamente vicino all'unità.

Lo stesso metodo è utilizzato nei libri “On Spirals” e “On Conoids and Spheroids”, ma ora la condizione determinante è che la differenza tra queste somme possa essere arbitrariamente vicina allo zero.

Poiché il libro "Sulla misurazione di un cerchio" utilizza la terza forma del metodo di esaustione, ci sono tutte le ragioni per credere che questo libro sia stato scritto non prima delle opere "Sulle spirali" e "Sui conoidi e sferoidi". Inoltre è interessante la somiglianza degli argomenti del libro “Sulle spirali” e “Misure di un cerchio”: entrambi riguardano la determinazione della circonferenza, ma solo nel primo libro la circonferenza è ottenuta per costruzione, e in il secondo mediante calcolo.

Pertanto, la prima opera completa sopravvissuta di Archimede è “La quadratura della parabola”, scritta da lui all’età di 45 anni. Cosa faceva prima Archimede? Il resoconto di Polibio dell'assedio di Siracusa afferma che la prima guerra punica non risolse la questione della forma dei rapporti tra Roma e Cartagine. I Cartaginesi non poterono fare i conti con la perdita della Sicilia, e poco dopo della Sardegna e della Corsica, catturate da Roma.

Nel 218 a.C. e. La seconda guerra punica iniziò con una campagna. Annibale dalla Spagna attraverso le Alpi fino all'Italia. Una serie di brillanti vittorie di Annibale, di cui la più importante fu la vittoria di Canne (216 a.C.), misero Roma in una situazione molto difficile, ma i romani non si arresero. Annibale dovette cercare alleati. L'anno successivo alla vittoria di Canne morì il novantenne Gerone, rimasto fedele a Roma, ma dopo la sua morte a Siracusa prevalse il partito antiromano e Siracusa si unì alla rivolta delle colonie greche in Sicilia. Un esercito al comando di Appio Claudio e una flotta al comando di Marco Marcello furono inviati contro Siracusa. I romani volevano prendere Siracusa al primo attacco, sperando con il gran numero di operai di terminare i preparativi entro cinque giorni. Ma allo stesso tempo non hanno tenuto conto dell'arte di Archimede, non si sono resi conto che a volte il talento di una persona può fare più di un numero enorme di mani. Archimede preparò tali mezzi di difesa all'interno della città, così come contro gli aggressori dal mare, che i difensori non dovettero preoccuparsi di lavori imprevisti in caso di metodi di attacco inaspettati; Avevano tutto pronto in anticipo per respingere in ogni caso il nemico.

Poi Polibio parla dell'attacco della flotta romana dal mare. Archimede costruì macchine, adattandole al lancio di proiettili a qualsiasi distanza. Quindi, se il nemico nuotava da lontano, Archimede lo colpì con lanciatori di pietre a lungo raggio con conchiglie pesanti o frecce e lo gettò in una posizione difficile. Quando i proiettili iniziarono a sorvolare il nemico, Archimede usò macchine più piccole, ogni volta a seconda della distanza, e terrorizzò così tanto i romani che non osarono attaccare o avvicinarsi alla città sulle navi. Alla fine, Marco (Marcello), infastidito dai fallimenti, fu costretto a tentare di avvicinarsi segretamente alla città sulle navi di notte. Quando i Romani si avvicinarono alla riva a distanza di tiro, Archimede usò un altro mezzo contro i soldati che combattevano dalle navi, e cioè: ordinò che fossero praticati molti fori nel muro all'incirca all'altezza di un uomo, all'esterno della larghezza di quattro dita; Mise dei fucilieri alle aperture dall'interno del muro, sparò ai soldati della nave attraverso le aperture, privandoli così di ogni possibilità di fare qualsiasi cosa. Pertanto, sia che il nemico fosse lontano o vicino, Archimede non solo distrusse tutti i suoi piani, ma causò anche una grande devastazione nelle sue fila.

Attualmente quello che faceva Archimede si chiama tiro quadrato: tutta l'area circostante la fortezza viene divisa in quadrati e per ogni quadrato viene determinata l'elevazione (angolo con l'orizzonte della volata) del cannone da cui sparare il colpo. L'unica differenza è che ai tempi di Archimede, invece di modificare l'elevazione, era necessario utilizzare una modifica del calibro del cannone. In ogni caso, quando il nemico appariva in una piazza qualsiasi, venivano usate armi del calibro corrispondente a quella piazza. Questo tipo di azzeramento richiede molto lavoro preliminare per determinare le distanze dei vari quadrati e per selezionare il miglior calibro delle armi.

Quando la nave si avvicinava alle mura della città, oltre all'azione delle armi da lancio, dal veicolo scendeva una zampa di ferro attaccata ad una catena; l'operatore della bocca della macchina ha afferrato da qualche parte la prua della nave con questa zampa e poi ha abbassato l'estremità della macchina situata all'interno della città. Quando la prua della nave veniva sollevata in questo modo e la nave veniva posizionata verticalmente a poppa, il braccio della leva veniva fissato immobile e la zampa insieme alla catena veniva separata dalla macchina mediante un dispositivo di rilascio. Di conseguenza, alcune navi giacevano su un fianco, altre si capovolsero completamente, mentre la maggior parte, cadendo a capofitto in mare da un'altezza considerevole, affondò e si riempì d'acqua, provocando grande confusione e orrore tra l'equipaggio. L'ingegnosità di Archimede portò Marco alla disperazione; con rammarico vide che gli assediati si burlavano dei suoi sforzi e gli causavano grandi perdite.

I romani soffrirono molto a causa dei lanciatori di pietre e delle catapulte con cui venivano colpiti; I siracusani avevano in magazzino molte armi da lancio eccellenti e precise, per le quali il re Ierone fornì fondi, e Archimede inventò e costruì abilmente macchine.

Il calcolo delle macchine che sollevano le navi è impensabile senza tener conto della perdita di peso di una nave immersa nel mare; questo può essere paragonato alla scoperta della legge di Archimede.

Consideriamo ora in dettaglio due libri di Archimede “Sull'equilibrio delle figure piane” (o sul baricentro delle figure piane). Si dice che il primo libro di quest'opera sia dedicato alla teoria della leva finanziaria; alcuni autori ritengono addirittura che questo libro, preso separatamente, sia la prima opera di Archimede, e il secondo libro, contenente la definizione del baricentro di un segmento parabolico, rappresenti un'opera indipendente.

Tuttavia, nel primo libro vengono determinati solo i centri di gravità di quelle figure piane (parallelogramma, triangolo) necessarie per dimostrare i teoremi del secondo libro. Inoltre, molte delle disposizioni del secondo libro sono generalizzazioni fatte sulla base dei pensieri presentati nel primo libro (la prima frase del secondo libro è una generalizzazione della quinta e della sesta frase del primo libro). Il primo libro non può essere considerato il primo saggio sull'argomento in esame, poiché non fornisce la cosa più importante: la definizione del centro di gravità. Ciò è stato fatto in un'opera che ha preceduto la realizzazione della Quadratura della Parabola, nella quale si trovano riferimenti a quest'opera. Estratti di esso sono conservati nella Meccanica di Airone d'Alessandria e nella Biblioteca Matematica di Pappo. Il più importante di questi passaggi è la definizione formulata da Archimede del concetto di baricentro: il baricentro di un corpo è un punto situato al suo interno, che ha la proprietà che se un corpo pesante è mentalmente sospeso ad esso, rimane a riposo e mantiene la sua posizione originale.

Le leggi dell'equilibrio sono derivate da Archimede dai seguenti presupposti posti all'inizio del primo libro “Sull'Equilibrio”.

1. Pesi uguali a pari lunghezze sono bilanciati, ma a lunghezze diverse non sono bilanciati, ma superano i pesi a una lunghezza maggiore.

2. Se, durante il bilanciamento dei pesi a qualsiasi lunghezza, viene aggiunto qualcosa a uno dei pesi, questi non verranno bilanciati, ma il peso a cui è stato aggiunto prevarrà.

3. Se viene tolto qualcosa da uno dei pesi, questi non saranno bilanciati, ma il peso da cui non è stato tolto prevarrà.

4. Quando si combinano tra loro figure piatte uguali e simili, anche i loro centri di gravità si combinano tra loro.

5. Per figure disuguali, ma simili, i centri di gravità si trovano in modo simile.

6. Se le quantità sono bilanciate a qualsiasi lunghezza, anche le quantità uguali ad esse sono bilanciate alle stesse lunghezze.

7. In ogni figura il cui perimetro è convesso ovunque nella stessa direzione, il centro di gravità si trova all'interno della figura.

Presentiamo la dimostrazione di Archimede nella forma in cui la diede Galileo.

Veniamo al punto DI sospeso al centro della sedia a dondolo MN avente lunghezza 2(a+b)(Fig. 4).

Riso. 4

A questo dondolo è fissata una trave uniforme tramite un numero infinito di corde verticali. KL stessa lunghezza 2(a+b). L'intero sistema sarà ovviamente in equilibrio, il che non verrà disturbato se tagliamo la trave lungo la linea SS in due segmenti: KS- lunghezza 2 UN E C.L.- lunghezza 2 B. Dopodiché tagliamo tutte le corde tranne due: aa E BB, situato al centro dei segmenti KS e CL, per cui neanche l'equilibrio verrà disturbato. Quindi, il valore KS = 2UN sulla spalla JSC = B equilibrerà il valore C.L. sulla spalla OB - UN. In altre parole, in equilibrio, i carichi applicati UN E IN, sarà inversamente proporzionale alle spalle corrispondenti.

L'equilibrio non verrà disturbato se ruotiamo entrambe le parti tagliate attorno ai loro assi aa E BB a qualsiasi angolazione; Questo è esattamente ciò che implica l'ipotesi 6, equivalente a questa formulazione. L'azione di un carico applicato in un dato punto è determinata solo dalla sua entità, cioè non dipende affatto dalla forma o dall'orientamento di questo carico.

Possibilità di ruotare entrambi gli assi della trave attorno agli assi aa E BB avviene solo secondo la legge di proporzionalità dei momenti di Mach alla lunghezza del braccio di primo grado ed esclude altre leggi, ad esempio la dipendenza quadratica; Pertanto la dimostrazione di Archimede è abbastanza rigorosa.

La legge dell'equilibrio della leva è utilizzata da Archimede come base del metodo di integrazione geometrica, da lui delineato nell'Efod, come mezzo per la ricerca e la soluzione preliminare dei problemi. Lo mostreremo semplice esempio, cioè sulla quadratura del segmento parabolico considerato sopra, ma faremo solo una semplificazione: non troveremo l'area del segmento, che è pari a due terzi del parallelogramma, ma l'area che rimane del parallelogramma se questo segmento è tagliato da esso. Allora il problema può essere formulato nel modo seguente: trovare l'area racchiusa tra l'asse x e l'arco della parabola data dall'equazionee l'ordinata corrispondente all'ascissa OA=l(Fig. 5).

Riso. 5

Prendiamo una leva a braccio uguale AOG lunghezza 2 l con un fulcro DI; su una delle sue spalle posizioneremo un quadrato OAV e dividerlo in tante strisce molto sottili di larghezza Δ X. Permettere KL- una di queste strisce corrisponde all'ascissa OK = X; poi l'ordinata KL = A sarà espresso OH 2 e tutta l'area della striscia

Spostiamolo all'estremità della leva A; il momento di questa striscia rispetto al punto DI equivale

Proviamo a bilanciare questo momento appendendo una striscia sul lato sinistro della leva alla stessa distanza x MN stessa larghezza Δх. Lunghezza dell'ordinata corrispondente MN sarà determinato confrontando i momenti di entrambe le strisce rispetto a DI:

Dove

Facendo questo con ogni striscia, sul braccio sinistro della leva otteniamo una serie di strisce distribuite in modo continuo sulla lunghezza ANDARE. Poiché le ordinate di queste strisce sono proporzionali alle distanze X, quindi le loro estremità saranno posizionate in linea retta ONT; valore ordinato estremo GT = al 2.

Piazza S = OAV, centrato sulla fine UN, bilanciato da attaccato al lato O.G. triangolo OGT. L'area di questo triangolo è

a è la distanza del suo baricentro dalla parte superiore DI:

Confrontando il momento di questo triangolo rispetto a DI con un momento circa nello stesso punto, concentrato nel punto UN zona richiesta S, noi abbiamo

Dove

O

che coincide con il risultato trovato sopra.

Il successo dell'inferenza si ottiene abbassando il grado della curva in esame - determinando la dimensione dell'area delimitata da due segmenti rettangolari e una curva di secondo grado si riduce a determinare centro di gravità l'area delimitata da una curva di primo grado, cioè da una linea retta. Questo metodo può ovviamente essere applicato alle curve la cui equazione ha la forma y = ascia h.

Oltre alle opere elencate, che ci sono pervenute integralmente, frammenti di oltre primi lavori Archimede, presente nella “Meccanica” di Erone e nell’VIII libro della “Biblioteca” di Pappo.

Airone ha un passaggio dal libro dei supporti di Archimede, dove non si notano tracce del concetto di baricentro. Scrive: se la trave è appoggiata alle estremità, allora su ciascun sostegno ricade la metà del peso; se tra le estremità è presente un terzo appoggio, su di esso ricade la metà del peso delle travi in ​​entrambe le campate adiacenti; quindi il supporto centrale sostiene la metà del peso dell'intera trave, indipendentemente da dove è posizionato.

Del libro di Archimede, il cui titolo è difficile da determinare (se sia “Sulla leva”, oppure “Sull'equilibrio” o “La meccanica”), si trovano ampi passaggi: uno nella “Meccanica” di Erone (Libro I, p. 24), e un altro nella “Biblioteca Matematica” di Pappo (Libro VIII, pp. 5-8). Questi passaggi mostrano come sia stata dimostrata l'esistenza e l'unicità del baricentro di un corpo rigido di forma arbitraria.

Archimede esamina il piano verticale ABCD, delimitato superiormente da una linea orizzontale AB. Se un corpo pesante viene posto su questa retta, può trovarsi in una posizione tale da rimanere fermo, senza ruotare né cadere. Se ora continuiamo mentalmente l'aereo ABCD, allora taglierà il corpo sdraiato in due parti che hanno momenti uguali e sono reciprocamente equilibrate. Se poi riorganizzi il carico in modo che tocchi la linea retta AB con l'altra sua parte, poi potrai dargli una posizione tale che, abbassandosi, resterà a riposo e non cadrà. Se immaginiamo di nuovo l'aereo ABCD esteso, allora dividerà anche il carico in due parti tra loro equilibrate e verrà intersecato dal primo piano che divideva lo stesso carico in due parti tra loro equilibrate; se questi piani non si intersecassero, le stesse parti sarebbero sia equilibrate che sbilanciate, il che è assurdo.

Immaginiamo una linea retta AB, perpendicolare al piano orizzontale; mettere il carico sul punto UN in modo che lui, usando direct AB come uno stand, rimase indisturbato. Se continuiamo dritto AB, quindi una parte di esso sarà all'interno del corpo in questione. Rimettiamolo su questa retta con un'altra parte in modo che diventi di nuovo immobile; poi la linea estesa AB sarà intersecato dal segmento originariamente contenuto nel corpo.

Infatti, se non si intersecasse, allora sarebbe possibile che alcuni piani tracciati attraverso ciascuna di queste linee non si intersechino tra loro all'interno del corpo, e ciascuno di essi divida il carico in parti sia equilibrate che sbilanciate, il che non ha senso ; pertanto, le linee menzionate si intersecheranno all'interno del corpo.

Se in altre posizioni il carico è posizionato sul punto UN sicché rimane in quiete, allora di nuovo la retta prolungata AB intersecherà necessariamente i segmenti delle rette originarie contenute nel corpo. Da ciò è chiaro che tali linee immaginarie si intersecano nello stesso punto; questo punto si chiama centro di gravità.

Di conseguenza, risulta che un corpo fissato in questo punto rimane in equilibrio in qualsiasi posizione.

Il metodo sopra descritto è utilizzato anche nelle regole date da Erone (Meccanica, Libro II, pp. 35-36) per trovare il baricentro di varie figure piatte. Per fare ciò, determiniamo il centro di gravità di un triangolo che ha uno spessore uniforme e un peso uniforme. Sia dato un triangolo ABC(Fig. 6). Dividiamo la linea Sole metà al punto D e connettersi UN E D. Se appoggi il triangolo su una linea ANNO DOMINI, non avrà momento in nessuna delle due direzioni, poiché i triangoli ABD E ADC sono uguali. Allo stesso modo, se dividi la linea AC al punto E e unisci i punti IN E E, quindi se appoggi il triangolo sulla linea ESSERE, inoltre non si inclinerà in una direzione o nell'altra. Dal momento che il triangolo, essendo supportato su ciascuna delle linee ANNO DOMINI E ESSERE, è in equilibrio nelle sue parti e non si inclina in un senso o nell'altro, quindi il punto comune F, dove queste due linee si intersecano c'è il centro di gravità.

Fig.6

A partire dai triangoli ABD E ADC uguali, ciò ha portato alcuni ricercatori a pensare che Archimede o uno dei suoi predecessori credessero che il baricentro di una figura piana sarebbe il punto in cui le linee si intersecano, dividendo l'area della figura in due parti uguali. L'impossibilità di una simile ipotesi è immediatamente accertata se leggiamo come viene determinato il baricentro di un quadrilatero.

Sia dato un quadrilatero ABCD(Fig. 7). Uniamo i punti IN E D e dividere B.D metà al punto E; connettiamoci anche noi UN E E, E E CON e dividere le linee AE E Unione Europea in punti F E N In questo modo AE era pari al doppio del valore FE., UN CH- raddoppiato NON. Quindi il baricentro del triangolo ABD- punto F e il centro del triangolo BDC- punto N.

Riso. 7Fig.8

Otteniamo la stessa cosa se rappresentiamo un triangolo ABD concentrato in un punto F e un triangolo GAV- al punto H. Poi la linea FH diventa un bilanciere alle cui estremità si trovano queste quantità. Pertanto, se dividi la linea FH al punto G In questo modo G.H. relativo a F.G com'è il peso? F, cioè il peso del triangolo ABD pesare N- al peso del triangolo BDC, quindi puntare G, in cui entrambi i pesi sono bilanciati, è il baricentro di questo quadrilatero.

Momento di peso Fè uguale alla somma dei momenti dei pesi di tutte le parti del triangolo ABD, in altre parole, Archimede aveva a sua disposizione tutto il materiale della moderna teoria delle forze parallele. Pertanto, quando si trasmettono i risultati ottenuti da Archimede, si può utilizzare una presentazione moderna, fatta salva la condizione indispensabile di preservare il suo disegno.

Mostriamo come Archimede determinò il baricentro di un segmento di parabola (proposizione VIII del secondo libro “Sull'equilibrio delle figure piane”).

Sia dato un segmento parabolico AOB con la parte superiore DI(Fig. 8). Disegniamo il diametro sistema operativo e inscrivi un triangolo nella parabola AOB. Sopra è mostrato che l'area di un segmento di parabola è uguale a 4/3 di un triangolo AOB. Supponiamo che quest'area sia uguale a tre, quindi l'area dei restanti segmenti della parabola lo è AOF E VINTO sarà uguale a uno. Dividiamo gli accordi OA E OB a metà; disegniamo i diametri FD E NON, oltre che diretto DE E FH. Qui

Permettere sistema operativo = H; su cui giace il baricentro di un segmento parabolico sistema operativo e segmenti AFO E OVN- rispettivamente sui diametri FD E EH.

Supponiamo che la distanza dal centro del segmento AOB a terra AB equivale kh, Dove K- coefficiente incerto; equamente le distanze dalla retta DE centri di gravità dei segmenti AOF E VINTO sono uguali:-. Successivamente, l'altezza del baricentro del triangolo AOB sopra la base AB pari a 1/3 H e la distanza SK = h/2. Otteniamo ora il momento dell'area del segmento AOB relativamente AB pari alla somma Momenti delle aree triangolari AOB ed entrambi i segmenti AFO E VNO. In questo caso

Riducendo questa espressione per A, dopo ovvie semplificazioni si ottiene

Dove

Pertanto, il baricentro di un segmento parabolico si trova ad una distanza di 2/5 della sua lunghezza dalla base. La seconda opera di Archimede, che ha una certa relazione con la meccanica, è il libro “Sulle spirali”. All'inizio la terminologia è interessante e mostra lo sviluppo del concetto di velocità. “Velocità” non era ancora usato come sostantivo ai tempi di Archimede: esisteva un aggettivo che veniva usato come “più o meno veloce” e “ugualmente veloce”; questo era il nome dei movimenti in cui gli stessi percorsi venivano percorsi contemporaneamente, indipendentemente da come avvenivano questi movimenti. Per indicare l'uniformità del movimento Archimede usò l'espressione “ugualmente veloce con se stesso”, cioè i movimenti devono essere ugualmente veloci in tutti gli intervalli di tempo in cui si può suddividere l'intero movimento.

Il tema principale di questo lavoro è il compito: costruire una linea retta la cui lunghezza sia uguale alla circonferenza. Per risolvere questo problema Archimede utilizza il metodo cinematico; costruisce una curva, la cosiddetta spirale di Archimede, il cui raggio vettore varia proporzionalmente all'angolo polare (Fig. 9).

Fig.9

Lascia che il punto O rappresenti il ​​polo della spirale, il cui raggio vettore durante la prima rivoluzione è diventato uguale a R = OA e la linea retta ANNO DOMINIè tangente alla spirale in quel punto UN. Una spirale si forma come risultato della somma di due movimenti: uniforme - rettilineo in linea retta OSA e uniforme - circolare. Se il punto che descrive la linea si ferma quando arriva al punto UN, quindi in una rotazione portatile descriverebbe il cerchio mostrato nel disegno AKL con raggio R.

Permettere AC E AE rappresentano movimenti molto piccoli del punto che descrivono la spirale in entrambi i movimenti componenti - lungo il raggio e perpendicolare ad esso lungo il cerchio. Quando si aggiungono questi movimenti, il punto che descrive la spirale parte dalla posizione UN andrà al punto D e dritto ANNO DOMINI sarà tangente alla spirale. Perpendicolare al raggio OA facciamo una diretta OB e proseguire sulla tangente ANNO DOMINI finché non interseca questa linea nel punto IN. All'inizio del primo giro la retta occupava la posizione OSA; da OA sono stati misurati gli angoli di rotazione della retta rotante.

Trascorso il tempo della prima rotazione, la retta ritornerà nella posizione originaria, l'angolo di rotazione diventerà pari a 360° ed il punto UN una linea retta rotante descriverà un cerchio con raggio R. Quindi, il percorso percorso dal punto UN nel movimento relativo lungo il raggio durante la prima rivoluzione, è uguale a OA, e nel movimento portatile attorno a un cerchio: la sua lunghezza. Ma questi percorsi sono correlati come velocità, ovvero come spostamenti nello stesso periodo di tempo, cioè come AC E AE. Dalla somiglianza dei triangoli DAE e BOA otteniamo:

In altre parole, se OAè quindi il percorso percorso da un punto in moto relativo lineare IN- il percorso percorso dal punto nello stesso tempo UN in movimento portatile, cioè circonferenza AKLA.

Triangolo DAE, rappresenta essenzialmente il triangolo differenziale Barrow-Newton, ed è possibile che il concetto di questo triangolo sia apparso in Isaac Barrow in seguito alla lettura delle opere di Archimede, da lui pubblicate con dimostrazioni rivedute nel 1675. In ogni caso, lo studio di le opere di Archimede dei matematici XVII V. fu un lavoro preparatorio necessario per l'avvento dell'analisi infinitesimale classica.

L'ultima opera di Archimede è il suo saggio "Sui corpi galleggianti". Nel primo libro stabilisce le leggi fondamentali dell'equilibrio dei corpi in un liquido e considera le condizioni di equilibrio di un segmento sferico immerso nell'acqua, la cui superficie considera anche sferica, come la superficie dei veri mari terrestri. Nel secondo libro formula la legge che porta il suo nome e poi considera le condizioni di equilibrio di un segmento di un paraboloide di rivoluzione fluttuante in un liquido, e la superficie del liquido è ora considerata piatta.

Il suo ragionamento si basa su teoremi che determinano il volume e la posizione del baricentro di un segmento di un paraboloide di rivoluzione.

Quando un corpo solido pesante è immerso in un liquido la cui densità è maggiore della densità del corpo, affonda nel liquido in modo tale che la superficie del liquido (il cosiddetto piano flottante) separa dal corpo un volume, il peso del liquido in cui è uguale al peso del corpo.

Se costruiamo tutti i piani fluttuanti per le varie posizioni di un corpo fluttuante, l'involucro di tutti questi piani sarà una certa superficie, chiamata superficie delle sezioni.

I centri di gravità dei volumi tagliati dai piani fluttuanti formano una superficie chiamata superficie dei centri.

Per queste superfici valgono i seguenti teoremi.

1. Il piano fluttuante tocca la superficie delle sezioni al centro di gravità della figura, tagliata dalla superficie del corpo sul piano fluttuante.

2. Il piano tangente alla superficie dei centri è parallelo al corrispondente piano flottante.

Per trovare tutti i piani fluttuanti nelle posizioni di equilibrio di un corpo fluttuante, è necessario abbassare le normali alla superficie dei centri dal suo baricentro e tracciare un piano di sezione corrispondente a queste normali. Questi aerei saranno gli aerei fluttuanti richiesti.

Archimede considerava solo quelle posizioni di equilibrio in cui la base del segmento è completamente fuori dalla superficie del liquido (la parte superiore del segmento è rivolta verso il basso) o completamente all'interno del liquido (il segmento galleggia con la parte superiore sopra la superficie del liquido).

Poiché il segmento appartiene ad un paraboloide di rivoluzione, questo problema può essere ridotto ad uno piano sostituendo tutte le superfici con linee che rappresentano le loro sezioni mediante un piano tracciato attraverso l'asse del paraboloide. Indichiamo la sezione trasversale di questo segmento ABA, il suo asse OB, base AOA e baricentro Da 0(sistema operativo 0= l/3 OB) (figura 10). Permettere NN- sezione del segmento lungo la superficie del liquido, D.B.- asse della parte immersa, a E(DE= l/3 D.B.) è il baricentro del volume della parte immersa.

Riso. 10

La superficie delle sezioni sarà rappresentata da una parabola LDL, la cui sommità D situato sulla superficie del liquido; questa parabola rappresenta la parabola ABA, spostato verso l'alto di una certa distanza B.D. Per ottenere la superficie dei centri è necessario utilizzare un punto E disegna la stessa parabola KEK. Se Archimede considera il caso in cui la base AOAè sopra la superficie del liquido, quindi è necessaria una parte D"DD" parabole di sezioni delimitate da punti D",D", le cui tangenti passano per l'estremità UN basi, così come la parte corrispondente E"EE" parabole dei centri ( D"E" parallelo OB). Gli è impossibile continuare ulteriormente queste superfici, poiché per questo dovrebbe determinare il volume del segmento tagliato da un piano che interseca sia la superficie laterale del segmento che il piano della base, e non ha risolto questo problema.

Se è necessario determinare la posizione di equilibrio di un segmento che galleggia con il vertice rivolto verso l'alto, allora è necessario determinare il volume e il baricentro della parte immersa del segmento, che avrà la forma ANNA, in altre parole, rappresenterà la differenza di due segmenti parabolici BNN E VAAA. Sulla base di ciò possiamo costruire nuove curve di sezioni e centri, che saranno anche delle parabole.

Consideriamo poi i momenti della coppia formata dal peso del segmento e dalla forza di pressione dell'acqua spostata applicata al baricentro della parte immersa; l'equilibrio si verifica quando, in seguito alla deviazione dalla posizione di equilibrio, questo momento risulta essere riparativo. Archimede ottiene quindi solo posizioni di equilibrio stabili.

La differenza tra il metodo di Archimede e il metodo moderno è che ora si assume costante la densità del liquido e si modificano le dimensioni del segmento in esame, mentre Archimede mantiene costante la posizione del corpo, ma cambia la densità del liquido. La sua metodologia, in sostanza, differisce poco dalla metodologia sviluppata nel XIX secolo. utilizzando i teoremi di Dupin.

Da ciò non si dovrebbe trarre una conclusione sull'identità di questi metodi, come fanno alcuni ricercatori, trovando in Archimede anche il concetto di metacentro, stabilito solo nel XVIII secolo.

La differenza principale è che Archimede non poteva costruire superfici sezionali per tutte le posizioni del corpo rispetto alla superficie del liquido, e quindi non lo sapeva, poiché presso i Greci la costruibilità era un criterio per l'esistenza dell'una o dell'altra immagine geometrica o operazione. Grazie alla forza del suo genio, Archimede riuscì a raggiungere le vette raggiunte dalla scienza nel XIX secolo.

Per caratterizzare pienamente Archimede, va notato che Archimede ha trovato il valore. Cosa gli ha fatto trovare un'espressione numerica per il rapporto tra un cerchio e un diametro, soprattutto perché aveva già una costruzione che gli permetteva di trovare una linea retta uguale alla lunghezza di un dato cerchio?

Nella storia della scienza europea intorno al 1600, anche i matematici cercarono di trovare un valore più preciso per il numero π. Era il momento in cui Adriano Mecio trovò il significato, e Ludolf di Colonia calcolò il numero π con precisione fino alla 36a cifra decimale. Willibrod Snell scoprì il metodo della triangolazione e lo applicò per determinare le dimensioni della Terra.

C'era qualcosa di simile ai tempi di Archimede? Tito Livio, descrivendo l'assedio di Siracusa nel libro 24 della sua Storia di Roma, definisce Archimede “un contemplatore unico del cielo e dei luminari”. Archimede ricorda il valore numerico trovato I nel suo "Psammit", dove parla della determinazione delle dimensioni del mondo e del calcolo del numero di granelli di sabbia che potrebbero riempire il volume del mondo. Effettua anche osservazioni per calcolare la dimensione del Sole e la sua distanza dalla Terra. Applica le sue osservazioni al centro della Terra; A proposito, questa è la prima apparizione nella storia dell'astronomia del concetto della cosiddetta parallasse; Il predecessore più vicino di Archimede, Aristarco di Samo, conducendo le stesse osservazioni sulla superficie della Terra, credeva che fornissero gli stessi risultati come se le osservazioni fossero state effettuate dal centro della Terra.

Per determinare la quantità di sabbia necessaria, Archimede creò un sistema numerico con il quale si potevano rappresentare numeri molto grandi. Non fu il solo a farlo: il sistema numerico per i grandi numeri fu creato dal suo più giovane contemporaneo Apollonio di Perga. È vero, la mente ingegneristica di Archimede non si limitava a semplici calcoli; lui, che non attribuiva molta importanza alle macchine da lui costruite, ne descrisse solo una: la “sfera astronomica” da lui costruita. Questa sfera, dopo la presa di Siracusa da parte dei Romani, fu donata come bottino a Marco Marcello, che la collocò nel Tempio del Valore e conservò per sé solo la seconda copia più piccola.

Nel dialogo di Cicerone “Sullo Stato”, uno dei personaggi, Sulpicio Gallo (che era anche un astronomo e predisse addirittura un'eclissi lunare) mostra questa sfera. Il narratore che lo ascoltò disse di Archimede che questo siciliano aveva un genio che la natura umana non sembrava capace di eguagliare. Per poter rappresentare i movimenti del Sole, della Luna e delle cinque stelle, dovette abbandonare l'uso di una sfera solida, sulla quale sarebbe stato impossibile riprodurli, e inventarne un'altra di tipo completamente diverso.

Ciò che è meraviglioso nell'invenzione di Archimede è stata l'arte di poter unire in un unico sistema e riprodurre, mediante un'unica rotazione, tutti i movimenti molto diversi e i diversi periodi di rivoluzione dei vari luminari. Quando Gall mise in moto la sfera, ad ogni rivoluzione si poteva vedere come appariva la Luna dopo il Sole sull'orizzonte terrestre; come appare ogni giorno nel cielo; allora si poteva vedere come il Sole scompariva nel cielo e poi a poco a poco la Luna sprofondava nell'ombra della terra proprio nel momento in cui il Sole era dalla parte opposta.

Un'altra opera di Archimede, ritrovata nel XVIII secolo, è associata ai grandi numeri. e pubblicato nel 1773 dal famoso scrittore tedesco Lessing. Questo è il cosiddetto “Problema del Toro”, inviato da Archimede per essere risolto da scienziati alessandrini che si occupano di questioni simili:

Quanti tori ha il Sole, puoi trovarmelo, straniero?

(Se ci pensi, considerali saggezza, se non sei alieno).

Come nei campi della Sicilia Trinacria, le isole dei grassi

Una volta ce n'erano molti che pascolavano in quattro mandrie.

Le mandrie variavano di colore: una splendeva di bianco latte,

Buio onda del mare l'altra mandria aveva il colore.

Il terzo era rosso, l'ultimo era eterogeneo. E in ogni

La mandria era piena di maschi di grande forza.

Se X, Y, Z E T Indichiamo i numeri dei tori bianchi, neri, rossi e eterogenei, quindi devono soddisfare le seguenti equazioni:

Separa anche le mucche, quante erano di ogni colore,

Almeno nessuno in numeri ti dirà ignorante,

Tuttavia, non sarai annoverato tra i saggi.

Queste equazioni incerte possono essere risolte; i valori più piccoli delle incognite che li soddisfano sono espressi da numeri a sette e otto cifre. Archimede non ritiene ciò sufficiente per meritare il titolo di saggio. Quindi aggiunge altre due condizioni:

1. La somma dei tori bianchi e neri deve essere un quadrato esatto:

2. La somma dei tori eterogenei e rossi deve essere uguale a un certo numero triangolare:

Dove P E P"- alcuni numeri interi.

Dopodiché Archimede continua:

Se trovi questo, straniero, dopo aver riflettuto nella tua mente,

E puoi nominare con precisione il numero di ciascuna mandria,

Allora vai via, fiero della vittoria, e la cosa verrà presa in considerazione

Che in questa saggezza hai completamente superato ogni cosa.

Numerosi matematici hanno lavorato alla risoluzione di questi problemi. Nella traduzione tedesca dell'edizione di Archimede Th. Heath indica l'ordine del numero totale di tori:

Archimede pose un problema che sapeva essere praticamente impossibile da risolvere.