Progressione aritmetica. Formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica C 12 formula di progressione aritmetica per n numeri

Sì, sì: la progressione aritmetica non è un giocattolo per te :)

Ebbene, amici, se state leggendo questo testo, allora la prova interna del limite mi dice che non sapete ancora cos'è una progressione aritmetica, ma in realtà (no, così: COSÌOOOO!) volete saperlo. Pertanto non vi tormenterò con lunghe introduzioni e andrò dritto al punto.

Innanzitutto, un paio di esempi. Diamo un'occhiata a diverse serie di numeri:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\quadrato(2);\ 2\quadrato(2);\ 3\quadrato(2);...$

Cosa hanno in comune tutti questi set? A prima vista, niente. Ma in realtà qualcosa c'è. Vale a dire: ogni elemento successivo differisce dal precedente per lo stesso numero.

Giudica tu stesso. Il primo set è composto semplicemente da numeri consecutivi, ciascuno dei quali è uno in più rispetto al precedente. Nel secondo caso la differenza tra numeri adiacenti è già cinque, ma questa differenza è ancora costante. Nel terzo caso ci sono tutte le radici. Tuttavia, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ e $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ovvero e in questo caso, ogni elemento successivo aumenta semplicemente di $\sqrt(2)$ (e non temere che questo numero sia irrazionale).

Quindi: tutte queste sequenze sono chiamate progressioni aritmetiche. Diamo una definizione rigorosa:

Definizione. Una sequenza di numeri in cui ciascuno dei numeri successivi differisce esattamente dalla stessa quantità da quello precedente è chiamata progressione aritmetica. L'entità della differenza tra i numeri è chiamata differenza di progressione ed è spesso indicata con la lettera $d$.

Notazione: $\left(((a)_(n)) \right)$ è la progressione stessa, $d$ è la sua differenza.

E solo un paio di note importanti. Innanzitutto viene considerata solo la progressione ordinato sequenza di numeri: possono essere letti rigorosamente nell'ordine in cui sono scritti - e nient'altro. I numeri non possono essere riorganizzati o scambiati.

In secondo luogo, la sequenza stessa può essere finita o infinita. Ad esempio, l'insieme (1; 2; 3) è ovviamente una progressione aritmetica finita. Ma se scrivi qualcosa nello spirito (1; 2; 3; 4; ...) - questa è già una progressione infinita. I puntini di sospensione dopo i quattro sembrano suggerire che ci saranno molti altri numeri in arrivo. Infiniti, per esempio. :)

Vorrei anche notare che le progressioni possono essere crescenti o decrescenti. Ne abbiamo già visti di crescenti: lo stesso insieme (1; 2; 3; 4; ...). Ecco alcuni esempi di progressioni decrescenti:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Va bene, va bene: l'ultimo esempio può sembrare eccessivamente complicato. Ma il resto, penso, lo capisci. Pertanto introduciamo nuove definizioni:

Definizione. Progressione aritmetica chiamato:

crescente se ogni elemento successivo è maggiore del precedente;

decrescente se, al contrario, ogni elemento successivo è minore del precedente.

Inoltre, esistono le cosiddette sequenze "stazionarie": consistono nello stesso numero ripetuto. Ad esempio, (3; 3; 3; ...).

Resta solo una domanda: come distinguere una progressione crescente da una decrescente? Fortunatamente qui tutto dipende solo dal segno del numero $d$, cioè differenze di progressione:

Se $d \gt 0$ allora la progressione aumenta;
Se $d \lt 0$ allora la progressione è ovviamente decrescente;
Infine c'è il caso $d=0$ - in questo caso l'intera progressione è ridotta a una sequenza stazionaria di numeri identici: (1; 1; 1; 1; ...), ecc.

Proviamo a calcolare la differenza $d$ per le tre progressioni decrescenti sopra riportate. Per fare ciò, è sufficiente prendere due elementi adiacenti qualsiasi (ad esempio il primo e il secondo) e sottrarre il numero a sinistra dal numero a destra. Apparirà così:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\quadrato(5)-1-\quadrato(5)=-1$.

Come possiamo vedere, in tutti e tre i casi la differenza si è rivelata effettivamente negativa. E ora che abbiamo più o meno capito le definizioni, è tempo di capire come vengono descritte le progressioni e quali proprietà hanno.

Termini di progressione e formula di ricorrenza

Poiché gli elementi delle nostre sequenze non possono essere scambiati, possono essere numerati:

\[\sinistra(((a)_(n)) \destra)=\sinistra$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Giusto$\]

I singoli elementi di questo insieme sono chiamati membri di una progressione. Sono indicati da un numero: primo membro, secondo membro, ecc.

Inoltre, come già sappiamo, i termini vicini della progressione sono legati dalla formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Freccia destra ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

In breve, per trovare l'$n$esimo termine di una progressione, è necessario conoscere l'$n$esimo termine e la differenza $d$. Questa formula si chiama ricorrente, perché con il suo aiuto puoi trovare qualsiasi numero solo conoscendo quello precedente (e in effetti tutti i precedenti). Questo è molto scomodo, quindi esiste una formula più astuta che riduce qualsiasi calcolo al primo termine e alla differenza:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\sinistra(n-1 \destra)d\]

Probabilmente ti sei già imbattuto in questa formula. A loro piace fornirlo in tutti i tipi di libri di consultazione e libri di soluzioni. E in ogni libro di testo di matematica sensato è uno dei primi.

Ti consiglio comunque di esercitarti un po'.

Compito n. 1. Annota i primi tre termini della progressione aritmetica $\left(((a)_(n)) \right)$ se $((a)_(1))=8,d=-5$.

Soluzione. Conosciamo quindi il primo termine $((a)_(1))=8$ e la differenza della progressione $d=-5$. Usiamo la formula appena data e sostituiamo $n=1$, $n=2$ e $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\sinistra(3-1 \destra)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(allinea)\]

Risposta: (8; 3; −2)

È tutto! Nota: la nostra progressione sta diminuendo.

Naturalmente $n=1$ non può essere sostituito: il primo termine ci è già noto. Tuttavia, sostituendo l'unità, ci siamo convinti che anche per il primo termine la nostra formula funziona. In altri casi, tutto si riduceva all'aritmetica banale.

Compito n. 2. Scrivi i primi tre termini di una progressione aritmetica se il suo settimo termine è uguale a −40 e il suo diciassettesimo termine è uguale a −50.

Soluzione. Scriviamo la condizione problematica in termini familiari:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Giusto.\]

Metto il segno di sistema perché questi requisiti devono essere soddisfatti contemporaneamente. Notiamo ora che se sottraiamo la prima dalla seconda equazione (abbiamo il diritto di farlo, visto che abbiamo un sistema), otteniamo questo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(allinea)\]

È così facile trovare la differenza di progressione! Non resta che sostituire il numero trovato in una qualsiasi delle equazioni del sistema. Ad esempio, nel primo:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrice)\]

Ora, conoscendo il primo termine e la differenza, resta da trovare il secondo e il terzo termine:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(allinea)\]

Pronto! Il problema è risolto.

Risposta: (−34; −35; −36)

Nota l'interessante proprietà della progressione che abbiamo scoperto: se prendiamo i termini $n$esimo e $m$esimo e li sottraiamo l'uno dall'altro, otteniamo la differenza della progressione moltiplicata per il numero $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Semplice ma molto proprietà utile, che devi assolutamente sapere: con il suo aiuto puoi accelerare notevolmente la soluzione di molti problemi di progressione. Ecco un chiaro esempio di ciò:

Compito n.3. Il quinto termine di una progressione aritmetica è 8,4 e il suo decimo termine è 14,4. Trova il quindicesimo termine di questa progressione.

Soluzione. Poiché $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ e dobbiamo trovare $((a)_(15))$, notiamo quanto segue:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(allinea)\]

Ma per la condizione $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, quindi $5d=6$, da cui si ha:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(allinea)\]

Risposta: 20.4

È tutto! Non abbiamo avuto bisogno di creare sistemi di equazioni e di calcolare il primo termine e la differenza: tutto è stato risolto in un paio di righe.

Consideriamo ora un altro tipo di problema: la ricerca dei termini negativi e positivi di una progressione. Non è un segreto che se una progressione aumenta e il suo primo termine è negativo, prima o poi appariranno termini positivi. E viceversa: i termini di una progressione decrescente prima o poi diventeranno negativi.

Allo stesso tempo, non è sempre possibile trovare questo momento “frontalmente” esaminando in sequenza gli elementi. Spesso i problemi sono scritti in modo tale che, senza conoscere le formule, i calcoli richiederebbero diversi fogli di carta: ci addormenteremmo semplicemente mentre troviamo la risposta. Pertanto, proviamo a risolvere questi problemi in modo più rapido.

Compito n. 4. Quanti termini negativi ci sono nella progressione aritmetica −38,5; −35,8; ...?

Soluzione. Quindi, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, da dove troviamo immediatamente la differenza:

Si noti che la differenza è positiva, quindi la progressione aumenta. Il primo termine è negativo, quindi ad un certo punto ci imbatteremo in numeri positivi. L’unica domanda è quando ciò accadrà.

Proviamo a scoprire per quanto tempo (cioè fino a quale numero naturale $n$) permane la negatività dei termini:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \destra. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(allinea)\]

L'ultima riga richiede qualche spiegazione. Quindi sappiamo che $n \lt 15\frac(7)(27)$. D'altra parte, ci accontentiamo solo di valori interi del numero (inoltre: $n\in \mathbb(N)$), quindi il numero più grande consentito è esattamente $n=15$, e in nessun caso 16 .

Compito n.5. Nella progressione aritmetica $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Trova il numero del primo termine positivo di questa progressione.

Questo sarebbe esattamente lo stesso problema del precedente, ma non sappiamo $((a)_(1))$. Ma i termini vicini sono noti: $((a)_(5))$ e $((a)_(6))$, quindi possiamo facilmente trovare la differenza della progressione:

Inoltre, proviamo ad esprimere il quinto termine attraverso il primo e la differenza utilizzando la formula standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(allinea)\]

Ora procediamo per analogia con il compito precedente. Scopriamo in quale punto della nostra sequenza appariranno i numeri positivi:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Freccia destra ((n)_(\min ))=56. \\ \end(allinea)\]

La soluzione intera minima a questa disuguaglianza è il numero 56.

Nota: nel ultimo compito tutto si riduceva a una rigorosa disuguaglianza, quindi l'opzione $n=55$ non è adatta a noi.

Ora che abbiamo imparato a risolvere i problemi semplici, passiamo a quelli più complessi. Ma prima studiamo un'altra proprietà molto utile delle progressioni aritmetiche, che ci farà risparmiare molto tempo e celle disuguali in futuro. :)

Media aritmetica e rientri uguali

Consideriamo più termini consecutivi della progressione aritmetica crescente $\left(((a)_(n)) \right)$. Proviamo a segnarli sulla linea dei numeri:

Termini di una progressione aritmetica sulla retta numerica

Ho contrassegnato specificamente i termini arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ e non alcuni $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, ecc. Perché la regola di cui ti parlerò ora funziona allo stesso modo per qualsiasi “segmento”.

E la regola è molto semplice. Ricordiamo la formula ricorrente e scriviamola per tutti i termini contrassegnati:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(allinea)\]

Tuttavia, queste uguaglianze possono essere riscritte in modo diverso:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(allinea)\]

Bene, e allora? E il fatto che i termini $((a)_(n-1))$ e $((a)_(n+1))$ si trovano alla stessa distanza da $((a)_(n)) $ . E questa distanza è uguale a $d$. Lo stesso si può dire dei termini $((a)_(n-2))$ e $((a)_(n+2))$ - anch'essi vengono rimossi da $((a)_(n) )$ alla stessa distanza pari a $2d$. Possiamo continuare all'infinito, ma il significato è ben illustrato dall'immagine

I termini della progressione giacciono alla stessa distanza dal centro

Cosa significa questo per noi? Ciò significa che $((a)_(n))$ può essere trovato se i numeri vicini sono noti:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Ne abbiamo derivato un'eccellente affermazione: ogni termine di una progressione aritmetica è uguale alla media aritmetica dei termini vicini! Inoltre: possiamo tornare indietro dai nostri $((a)_(n))$ a sinistra e a destra non di un passo, ma di $k$ passi - e la formula sarà comunque corretta:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Quelli. possiamo facilmente trovare $((a)_(150))$ se conosciamo $((a)_(100))$ e $((a)_(200))$, perché $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. A prima vista può sembrare che questo fatto non ci dia nulla di utile. Tuttavia, in pratica, molti problemi sono appositamente studiati per utilizzare la media aritmetica. Guarda:

Compito n. 6. Trova tutti i valori di $x$ per i quali i numeri $-6((x)^(2))$, $x+1$ e $14+4((x)^(2))$ sono termini consecutivi di una progressione aritmetica (nell'ordine indicato).

Soluzione. Poiché questi numeri sono membri di una progressione, per essi la condizione della media aritmetica è soddisfatta: l'elemento centrale $x+1$ può essere espresso in termini di elementi vicini:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(allinea)\]

Si è rivelato classico equazione quadrata. Le sue radici: $x=2$ e $x=-3$ sono le risposte.

Risposta: −3; 2.

Compito n.7. Trova i valori di $$ per i quali i numeri $-1;4-3;(()^(2))+1$ formano una progressione aritmetica (in quest'ordine).

Soluzione. Esprimiamo ancora una volta il termine medio attraverso la media aritmetica dei termini vicini:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \destra.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(allinea)\]

Ancora una equazione quadratica. E ancora ci sono due radici: $x=6$ e $x=1$.

Risposta 1; 6.

Se nel processo di risoluzione di un problema ti vengono in mente dei numeri brutali, o non sei del tutto sicuro della correttezza delle risposte trovate, allora esiste una tecnica meravigliosa che ti permette di verificare: abbiamo risolto correttamente il problema?

Diciamo che nel problema n. 6 abbiamo ricevuto le risposte −3 e 2. Come possiamo verificare che queste risposte siano corrette? Colleghiamoli semplicemente alla condizione originale e vediamo cosa succede. Lascia che ti ricordi che abbiamo tre numeri ($-6(()^(2))$, $+1$ e $14+4(()^(2))$), che devono formare una progressione aritmetica. Sostituiamo $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(allinea)\]

Abbiamo i numeri −54; −2; 50 che differiscono di 52 è senza dubbio una progressione aritmetica. La stessa cosa accade per $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(allinea)\]

Ancora una volta una progressione, ma con una differenza di 27. Quindi il problema è stato risolto correttamente. Chi lo desidera può verificare da solo il secondo problema, ma dico subito: anche lì è tutto corretto.

In generale, risolvendo gli ultimi problemi, ci siamo imbattuti in un altro fatto interessante, che occorre ricordare anche:

Se tre numeri sono tali che il secondo è la media aritmetica del primo e dell'ultimo, allora questi numeri formano una progressione aritmetica.

In futuro, comprendere questa affermazione ci permetterà di “costruire” letteralmente le progressioni necessarie in base alle condizioni del problema. Ma prima di intraprendere tale “costruzione”, dovremmo prestare attenzione a un altro fatto, che deriva direttamente da quanto già discusso.

Raggruppamento e somma di elementi

Torniamo di nuovo all'asse dei numeri. Notiamo qui diversi membri della progressione, tra i quali, forse. vale molti altri membri:

Ci sono 6 elementi segnati sulla linea numerica

Proviamo a esprimere la “coda sinistra” tramite $((a)_(n))$ e $d$, e la “coda destra” tramite $((a)_(k))$ e $d$. È molto semplice:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(allinea)\]

Ora notiamo che i seguenti importi sono uguali:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(allinea)\]

In poche parole, se consideriamo come inizio due elementi della progressione, che in totale sono uguali a un certo numero $S$, e poi iniziamo a muoverci da questi elementi in direzioni opposte (uno verso l'altro o viceversa per allontanarsi), Poi saranno uguali anche le somme degli elementi in cui ci imbatteremo$S$. Ciò può essere rappresentato graficamente nel modo più chiaro:

Rientri uguali danno importi uguali

Comprendere questo fatto ci consentirà di risolvere i problemi in modo fondamentalmente maggiore alto livello difficoltà rispetto a quelle considerate sopra. Ad esempio, questi:

Compito n. 8. Determina la differenza di una progressione aritmetica in cui il primo termine è 66 e il prodotto del secondo e del dodicesimo termine è il più piccolo possibile.

Soluzione. Scriviamo tutto quello che sappiamo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(allinea)\]

Quindi, non conosciamo la differenza di progressione $d$. In realtà, l'intera soluzione sarà costruita attorno alla differenza, poiché il prodotto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ può essere riscritto come segue:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(allinea)\]

Per quelli nel serbatoio: ho preso il moltiplicatore totale di 11 dalla seconda fascia. Pertanto, il prodotto desiderato è una funzione quadratica rispetto alla variabile $d$. Pertanto, considera la funzione $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - il suo grafico sarà una parabola con i rami verso l'alto, perché se espandiamo le parentesi otteniamo:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Come puoi vedere, il coefficiente del termine più alto è 11: questo è numero positivo, quindi in realtà abbiamo a che fare con una parabola con i rami verso l'alto:

programma funzione quadratica- parabola
Nota: questa parabola assume il suo valore minimo nel vertice con l'ascissa $((d)_(0))$. Naturalmente possiamo calcolare questa ascissa utilizzando lo schema standard (esiste la formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ma sarebbe molto più ragionevole notare che il vertice desiderato giace sull'asse di simmetria della parabola, quindi il punto $((d)_(0))$ è equidistante dalle radici dell'equazione $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(allinea)\]

Ecco perché non avevo particolare fretta di aprire le parentesi: nella loro forma originale le radici erano molto, molto facili da trovare. Pertanto, l'ascissa è uguale alla media aritmetica dei numeri −66 e −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Cosa ci dà il numero scoperto? Con esso, il prodotto richiesto assume il valore più piccolo (a proposito, non abbiamo mai calcolato $((y)_(\min ))$ - questo non ci è richiesto). Allo stesso tempo, questo numero è la differenza della progressione originale, cioè abbiamo trovato la risposta. :)

Risposta: −36

Compito n. 9. Tra i numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac(1)(6)$ inserire tre numeri in modo che insieme a questi numeri formino una progressione aritmetica.

Soluzione. In sostanza, dobbiamo creare una sequenza di cinque numeri, di cui il primo e l'ultimo numero sono già noti. Indichiamo i numeri mancanti con le variabili $x$, $y$ e $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Nota che il numero $y$ è il “centro” della nostra sequenza: è equidistante dai numeri $x$ e $z$ e dai numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac (1)(6)$. E se attualmente non possiamo ricavare $y$ dai numeri $x$ e $z$, per gli estremi della progressione la situazione è diversa. Ricordiamo la media aritmetica:

Ora, conoscendo $y$, troveremo i numeri rimanenti. Nota che $x$ si trova tra i numeri $-\frac(1)(2)$ e $y=-\frac(1)(3)$ che abbiamo appena trovato. Ecco perché

Usando un ragionamento simile, troviamo il numero rimanente:

Pronto! Abbiamo trovato tutti e tre i numeri. Scriviamoli nella risposta nell'ordine in cui vanno inseriti tra i numeri originali.

Risposta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Compito n. 10. Tra i numeri 2 e 42 inserisci più numeri che, insieme a questi numeri, formino una progressione aritmetica, se sai che la somma del primo, del secondo e dell'ultimo dei numeri inseriti è 56.

Soluzione. Un problema ancora più complesso, che però si risolve secondo lo stesso schema dei precedenti – attraverso la media aritmetica. Il problema è che non sappiamo esattamente quanti numeri devono essere inseriti. Pertanto, assumiamo per certezza che dopo aver inserito tutto ci saranno esattamente $n$ numeri, e il primo di essi sarà 2 e l'ultimo sarà 42. In questo caso, la progressione aritmetica richiesta può essere rappresentata nella forma:

\[\sinistra(((a)_(n)) \destra)=\sinistra$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \destra$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Si noti tuttavia che i numeri $((a)_(2))$ e $((a)_(n-1))$ si ottengono dai numeri 2 e 42 ai bordi con un passo l'uno verso l'altro, cioè. . al centro della sequenza. E questo significa questo

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ma allora l'espressione scritta sopra può essere riscritta come segue:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(allinea)\]

Conoscendo $((a)_(3))$ e $((a)_(1))$, possiamo facilmente trovare la differenza della progressione:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Freccia destra d=5. \\ \end(allinea)\]

Non resta che trovare i restanti termini:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(allinea)\]

Quindi, già al passo 9 arriveremo all'estremità sinistra della sequenza - il numero 42. In totale, dovevano essere inseriti solo 7 numeri: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Risposta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Problemi di parole con progressioni

In conclusione, vorrei considerarne un paio relativamente compiti semplici. Ebbene, è semplice: per la maggior parte degli studenti che studiano matematica a scuola e non hanno letto quanto scritto sopra, questi problemi possono sembrare difficili. Tuttavia, questi sono i tipi di problemi che compaiono nell'OGE e nell'Esame di Stato Unificato in matematica, quindi ti consiglio di familiarizzare con loro.

Compito n. 11. Il team ha prodotto 62 parti a gennaio e in ogni mese successivo ha prodotto 14 parti in più rispetto al mese precedente. Quante parti ha prodotto il team a novembre?

Soluzione. Ovviamente, il numero di parti elencate per mese rappresenterà una progressione aritmetica crescente. Inoltre:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembre è l'undicesimo mese dell'anno, quindi dobbiamo trovare $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Pertanto, a novembre verranno prodotte 202 parti.

Compito n. 12. Nel mese di gennaio il laboratorio di legatoria ha rilegato 216 libri e in ogni mese successivo ha rilegato 4 libri in più rispetto al mese precedente. Quanti libri ha rilegato il workshop nel mese di dicembre?

Soluzione. Lo stesso:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dicembre è l'ultimo, il 12° mese dell'anno, quindi stiamo cercando $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Questa è la risposta: a dicembre saranno rilegati 260 libri.

Ebbene, se sei arrivato a leggere fin qui, mi affretto a farti i complimenti: hai completato con successo il “corso per giovani combattenti” in progressioni aritmetiche. Puoi tranquillamente passare alla lezione successiva, dove studieremo la formula per la somma della progressione, nonché le conseguenze importanti e molto utili che ne derivano.

Quando studi l'algebra in scuola media(9a elementare) uno degli argomenti importanti è lo studio delle sequenze numeriche, che includono progressioni geometriche e aritmetiche. In questo articolo esamineremo una progressione aritmetica ed esempi con soluzioni.

Cos'è una progressione aritmetica?

Per capirlo, è necessario definire la progressione in questione, nonché fornire le formule di base che verranno utilizzate successivamente per risolvere i problemi.

Una progressione aritmetica o algebrica è un insieme di numeri razionali ordinati, ciascun termine dei quali differisce dal precedente per un valore costante. Questo valore è chiamato differenza. Cioè, conoscendo qualsiasi membro di una serie ordinata di numeri e la differenza, è possibile ripristinare l'intera progressione aritmetica.

Facciamo un esempio. La seguente sequenza di numeri sarà una progressione aritmetica: 4, 8, 12, 16, ..., poiché la differenza in questo caso è 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ma l'insieme dei numeri 3, 5, 8, 12, 17 non può più essere attribuito al tipo di progressione in esame, poiché la differenza per esso non è un valore costante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formule importanti

Presentiamo ora le formule di base che saranno necessarie per risolvere i problemi utilizzando la progressione aritmetica. Indichiamo con il simbolo a n ennesimo termine sequenze in cui n è un numero intero. Indichiamo la differenza con la lettera latina d. Allora valgono le seguenti espressioni:

Per determinare il valore dell'n-esimo termine è adatta la seguente formula: a n = (n-1)*d+a 1 .
Per determinare la somma dei primi n termini: S n = (a n +a 1)*n/2.

Per comprendere eventuali esempi di progressione aritmetica con soluzioni in 9a elementare, è sufficiente ricordare queste due formule, poiché eventuali problemi del tipo in esame si basano sul loro utilizzo. Dovresti anche ricordare che la differenza di progressione è determinata dalla formula: d = a n - a n-1.

Esempio n. 1: trovare un termine sconosciuto

Facciamo un semplice esempio di progressione aritmetica e le formule da utilizzare per risolverla.

Lascia che sia data la sequenza 10, 8, 6, 4, ..., devi trovare cinque termini in essa.

Dalle condizioni del problema risulta già che i primi 4 termini sono noti. La quinta può essere definita in due modi:

Calcoliamo prima la differenza. Abbiamo: d = 8 - 10 = -2. Allo stesso modo, potresti prendere altri due membri qualsiasi uno accanto all'altro. Ad esempio, d = 4 - 6 = -2. Poiché è noto che d = a n - a n-1, allora d = a 5 - a 4, da cui si ottiene: a 5 = a 4 + d. Sostituiamo i valori noti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Anche il secondo metodo richiede la conoscenza della differenza della progressione in questione, quindi è necessario prima determinarla come mostrato sopra (d = -2). Sapendo che il primo termine a 1 = 10, usiamo la formula per il numero n della sequenza. Abbiamo: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Sostituendo n = 5 nell'ultima espressione, otteniamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Come puoi vedere, entrambe le soluzioni hanno portato allo stesso risultato. Si noti che in questo esempio la differenza di progressione d è un valore negativo. Tali sequenze sono dette decrescenti, poiché ogni termine successivo è minore del precedente.

Esempio n.2: differenza di progressione

Adesso complichiamo un po’ il compito, facciamo un esempio di come

È noto che in alcuni il 1o termine è uguale a 6 e il 7o termine è uguale a 18. È necessario trovare la differenza e ripristinare questa sequenza al 7o termine.

Usiamo la formula per determinare il termine sconosciuto: a n = (n - 1) * d + a 1 . Sostituiamo in essa i dati noti della condizione, cioè i numeri a 1 e a 7, abbiamo: 18 = 6 + 6 * d. Da questa espressione puoi facilmente calcolare la differenza: d = (18 - 6) /6 = 2. Abbiamo così risposto alla prima parte del problema.

Per riportare la sequenza al 7° termine, dovresti usare la definizione di progressione algebrica, cioè a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d e così via. Ripristiniamo di conseguenza l'intera sequenza: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , un 6 = 14 + 2 = 16, un 7 = 18.

Esempio n.3: redazione di una progressione

Complichiamo ancora di più il problema. Ora dobbiamo rispondere alla domanda su come trovare una progressione aritmetica. Si può fare il seguente esempio: vengono dati due numeri, ad esempio 4 e 5. È necessario creare una progressione algebrica in modo che tra questi vengano inseriti altri tre termini.

Prima di iniziare a risolvere questo problema, devi capire quale posto occuperanno i numeri indicati nella progressione futura. Dato che ci saranno altri tre termini tra loro, allora a 1 = -4 e a 5 = 5. Stabilito questo, passiamo al problema, che è simile al precedente. Ancora una volta, per l'ennesimo termine usiamo la formula, otteniamo: a 5 = a 1 + 4 * d. Da: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Quello che abbiamo qui non è un valore intero della differenza, ma è un numero razionale, quindi le formule per la progressione algebrica rimangono le stesse.

Ora aggiungiamo la differenza trovata a 1 e ripristiniamo i termini mancanti della progressione. Otteniamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, che coincideva con le condizioni del problema.

Esempio n.4: primo termine della progressione

Continuiamo a fornire esempi di progressione aritmetica con soluzioni. In tutti i problemi precedenti era noto il primo numero della progressione algebrica. Consideriamo ora un problema di tipo diverso: siano dati due numeri, dove a 15 = 50 e a 43 = 37. È necessario trovare con quale numero inizia questa sequenza.

Le formule finora utilizzate presuppongono la conoscenza di a 1 e d. Nella dichiarazione del problema non si sa nulla di questi numeri. Tuttavia, scriveremo le espressioni per ciascun termine su cui sono disponibili informazioni: a 15 = a 1 + 14 * d e a 43 = a 1 + 42 * d. Abbiamo ricevuto due equazioni in cui ci sono 2 quantità sconosciute (a 1 e d). Ciò significa che il problema si riduce alla risoluzione di un sistema di equazioni lineari.

Il modo più semplice per risolvere questo sistema è esprimere 1 in ciascuna equazione e quindi confrontare le espressioni risultanti. Prima equazione: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; seconda equazione: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Uguagliando queste espressioni, otteniamo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, da cui la differenza d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (sono fornite solo 3 cifre decimali).

Conoscendo d, puoi usare una qualsiasi delle 2 espressioni sopra per un 1. Ad esempio, primo: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Se hai dubbi sul risultato ottenuto, puoi verificarlo, ad esempio, determinare il 43° termine della progressione, che è specificato nella condizione. Otteniamo: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Il piccolo errore è dovuto al fatto che nei calcoli è stato utilizzato l'arrotondamento ai millesimi.

Esempio n.5: importo

Consideriamo ora alcuni esempi con soluzioni per la somma di una progressione aritmetica.

Sia data una progressione numerica della forma seguente: 1, 2, 3, 4, ...,. Come calcolare la somma di 100 di questi numeri?

Grazie allo sviluppo della tecnologia informatica, è possibile risolvere questo problema, ovvero aggiungere tutti i numeri in sequenza, cosa che il computer farà non appena una persona preme il tasto Invio. Tuttavia, il problema può essere risolto mentalmente se si presta attenzione che la serie di numeri presentata è una progressione algebrica e la sua differenza è uguale a 1. Applicando la formula per la somma, otteniamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

È interessante notare che questo problema è chiamato “gaussiano” perché all’inizio del XVIII secolo il famoso tedesco, ancora solo 10enne, riuscì a risolverlo mentalmente in pochi secondi. Il ragazzo non conosceva la formula per sommare una progressione algebrica, ma notò che se si sommano a coppie i numeri agli estremi della sequenza si ottiene sempre lo stesso risultato, cioè 1+100=2+99 = 3 + 98 = ..., e poiché queste somme saranno esattamente 50 (100/2), allora per ottenere la risposta corretta è sufficiente moltiplicare 50 per 101.

Esempio n.6: somma dei termini da n a m

Un altro tipico esempio di somma di una progressione aritmetica è il seguente: data una serie di numeri: 3, 7, 11, 15, ..., bisogna trovare a quanto sarà uguale la somma dei suoi termini da 8 a 14 .

Il problema si risolve in due modi. Il primo consiste nel trovare i termini sconosciuti da 8 a 14 e poi sommarli in sequenza. Poiché ci sono pochi termini, questo metodo non richiede molta manodopera. Tuttavia, si propone di risolvere questo problema utilizzando un secondo metodo, più universale.

L'idea è di ottenere una formula per la somma della progressione algebrica tra i termini m ed n, dove n > m sono numeri interi. In entrambi i casi scriviamo due espressioni per la somma:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (an + a 1) / 2.

Poiché n > m, è ovvio che la 2a somma include la prima. L'ultima conclusione significa che se prendiamo la differenza tra queste somme e vi aggiungiamo il termine a m (nel caso della differenza, viene sottratto dalla somma S n), otterremo la risposta necessaria al problema. Abbiamo: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). È necessario sostituire le formule per a n e m in questa espressione. Quindi otteniamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

La formula risultante è un po' complicata, tuttavia la somma S mn dipende solo da n, m, a 1 e d. Nel nostro caso a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Sostituendo questi numeri, otteniamo: S mn = 301.

Come si può vedere dalle soluzioni di cui sopra, tutti i problemi si basano sulla conoscenza dell'espressione per l'ennesimo termine e della formula per la somma dell'insieme dei primi termini. Prima di iniziare a risolvere uno qualsiasi di questi problemi, si consiglia di leggere attentamente la condizione, comprendere chiaramente cosa si desidera trovare e solo successivamente procedere con la soluzione.

Un altro suggerimento è quello di tendere alla semplicità, cioè se puoi rispondere a una domanda senza utilizzare calcoli matematici complessi, allora devi farlo, poiché in questo caso la probabilità di commettere un errore è inferiore. Ad esempio, nell'esempio di una progressione aritmetica con la soluzione n. 6, ci si potrebbe fermare alla formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, e dividere il problema complessivo in sotto-attività separate (V in questo caso trovare prima i termini a n e a m).

Se si hanno dubbi sul risultato ottenuto si consiglia di verificarlo, come è stato fatto in alcuni degli esempi riportati. Abbiamo scoperto come trovare una progressione aritmetica. Se lo capisci, non è così difficile.

Qual è l'essenza principale della formula?

Questa formula ti consente di trovare Qualunque CON IL SUO NUMERO" N" .

Naturalmente è necessario conoscere anche il primo termine un 1 e differenza di progressione D beh, senza questi parametri non è possibile scrivere una progressione specifica.

Memorizzare (o cribizzare) questa formula non è sufficiente. È necessario comprenderne l'essenza e applicare la formula a vari problemi. E anche per non dimenticare al momento giusto, sì...) Come non dimenticare- Non lo so. E qui come ricordare Se necessario, ti consiglierò sicuramente. Per coloro che completano la lezione fino alla fine.)

Quindi, diamo un'occhiata alla formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.

Cos'è una formula in generale? A proposito, dai un'occhiata se non l'hai letto. Tutto è semplice lì. Resta da capire di cosa si tratta ennesimo termine.

La progressione in generale può essere scritta come una serie di numeri:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

un 1- denota il primo termine di una progressione aritmetica, un 3- terzo membro, un 4- il quarto e così via. Se siamo interessati al quinto termine, diciamo che stiamo lavorando con un 5, se centoventesimo - s un 120.

Come possiamo definirlo in termini generali? Qualunque termine di una progressione aritmetica, con Qualunque numero? Molto semplice! Come questo:

Questo è quello che è ennesimo termine di una progressione aritmetica. La lettera n nasconde tutti i numeri dei membri contemporaneamente: 1, 2, 3, 4 e così via.

E cosa ci regala un record del genere? Pensa che invece di un numero hanno scritto una lettera...

Questa notazione ci fornisce un potente strumento per lavorare con la progressione aritmetica. Utilizzando la notazione UN, possiamo trovare rapidamente Qualunque membro Qualunque progressione aritmetica. E risolvi un sacco di altri problemi di progressione. Lo vedrai tu stesso ulteriormente.

Nella formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica:

a n = a 1 + (n-1)d

un 1- il primo termine di una progressione aritmetica;

N- Numero membro.

La formula collega i parametri chiave di qualsiasi progressione: UN ; un 1; D E N. Tutti i problemi di progressione ruotano attorno a questi parametri.

La formula dell'ennesimo termine può essere utilizzata anche per scrivere una progressione specifica. Ad esempio, il problema potrebbe dire che la progressione è specificata dalla condizione:

un n = 5 + (n-1) 2.

Un problema del genere può essere un vicolo cieco... Non esiste né una serie né una differenza... Ma, confrontando la condizione con la formula, è facile capire che in questa progressione a 1 = 5 e d = 2.

E può essere anche peggio!) Se prendiamo la stessa condizione: un n = 5 + (n-1) 2, Sì, apri le parentesi e portane di simili? Otteniamo una nuova formula:

un n = 3 + 2 n.

Questo Solo non generale, ma per una progressione specifica. È qui che si nasconde la trappola. Alcune persone pensano che il primo termine sia un tre. Anche se in realtà il primo termine è cinque... Un po' più in basso lavoreremo con una formula così modificata.

Nei problemi di progressione c'è un'altra notazione: un n+1. Questo è, come hai intuito, il termine “n più primo” della progressione. Il suo significato è semplice e innocuo.) Questo è un membro della progressione il cui numero è maggiore del numero n di uno. Ad esempio, se in qualche problema prendiamo UN quinto mandato quindi un n+1 sarà il sesto membro. Eccetera.

Molto spesso la designazione un n+1 si trova nelle formule di ricorrenza. Non aver paura di questa parola spaventosa!) Questo è solo un modo per esprimere un membro di una progressione aritmetica attraverso quello precedente. Diciamo che ci viene data una progressione aritmetica in questa forma, utilizzando una formula ricorrente:

un n+1 = un n +3

un 2 = un 1 + 3 = 5+3 = 8

un 3 = un 2 + 3 = 8+3 = 11

Dal quarto al terzo, dal quinto al quarto e così via. Come possiamo contare immediatamente, ad esempio, il ventesimo termine? un 20? Ma non c’è modo!) Finché non troviamo il 19esimo termine, non possiamo contare il 20esimo. Questa è la differenza fondamentale tra la formula ricorrente e la formula dell'ennesimo termine. Le opere ricorrenti sono solo attraverso precedente termine e la formula dell'ennesimo termine è passante Primo e permette subito trova qualsiasi membro in base al suo numero. Senza calcolare l'intera serie di numeri in ordine.

In una progressione aritmetica è facile trasformare una formula ricorrente in una formula regolare. Conta una coppia di termini consecutivi, calcola la differenza D, trovare, se necessario, il primo termine un 1, scrivi la formula nella sua forma abituale e lavora con essa. Tali compiti si incontrano spesso nell'Accademia statale delle scienze.

Applicazione della formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica.

Innanzitutto, diamo un'occhiata all'applicazione diretta della formula. Alla fine della lezione precedente si è verificato un problema:

Viene fornita una progressione aritmetica (a n). Trova a 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.

Questo problema può essere risolto senza alcuna formula, basandosi semplicemente sul significato di una progressione aritmetica. Aggiungi e aggiungi... Un'ora o due.)

E secondo la formula, la soluzione richiederà meno di un minuto. Puoi cronometrarlo.) Decidiamo.

Le condizioni forniscono tutti i dati per l'utilizzo della formula: a1 =3, d=1/6. Resta da capire cosa è uguale N. Nessun problema! Dobbiamo trovare un 121. Quindi scriviamo:

Per favore presta attenzione! Invece di un indice Nè apparso un numero specifico: 121. Il che è abbastanza logico.) A noi interessa il membro della progressione aritmetica numero centoventuno. Questo sarà nostro N. Questo è il significato N= 121 lo sostituiremo più avanti nella formula, tra parentesi. Sostituiamo tutti i numeri nella formula e calcoliamo:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Questo è tutto. Altrettanto velocemente si potrebbe trovare il termine cinquecentodecimo, e il milletreesimo, uno qualunque. Mettiamo invece N il numero desiderato nell'indice della lettera " UN" e tra parentesi, e contiamo.

Lascia che ti ricordi il punto: questa formula ti permette di trovare Qualunque termine di progressione aritmetica CON IL SUO NUMERO" N" .

Risolviamo il problema in un modo più astuto. Ci imbattiamo nel seguente problema:

Trovare il primo termine della progressione aritmetica (a n), se a 17 =-2; d=-0,5.

In caso di difficoltà, ti dirò il primo passo. Scrivi la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Si si. Scrivi con le mani, direttamente sul tuo quaderno:

a n = a 1 + (n-1)d

E ora, guardando le lettere della formula, capiamo quali dati abbiamo e cosa manca? Disponibile d=-0,5, c'è un diciassettesimo membro... è così? Se pensi che sia tutto, allora non risolverai il problema, sì...

Abbiamo ancora un numero N! In condizione un 17 =-2 nascosto due parametri. Questo è sia il valore del diciassettesimo termine (-2) che il suo numero (17). Quelli. n=17. Questa “sciocchezza” spesso sfugge alla testa, e senza di essa (senza la “sciocchezza”, non la testa!) il problema non si risolve. Anche se... e anche senza testa.)

Ora possiamo semplicemente sostituire stupidamente i nostri dati nella formula:

un 17 = un 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh si, un 17 sappiamo che è -2. Ok, sostituiamo:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Questo è praticamente tutto. Resta da esprimere il primo termine della progressione aritmetica dalla formula e calcolarlo. La risposta sarà: un 1 = 6.

Questa tecnica, ovvero scrivere una formula e sostituire semplicemente i dati noti, è di grande aiuto in compiti semplici. Beh, ovviamente devi essere in grado di esprimere una variabile da una formula, ma cosa fare!? Senza questa abilità, la matematica potrebbe non essere studiata affatto...

Un altro puzzle popolare:

Trovare la differenza della progressione aritmetica (a n), se a 1 =2; un 15 = 12.

Che cosa stiamo facendo? Rimarrai sorpreso, stiamo scrivendo la formula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Consideriamo ciò che sappiamo: a1 =2; un 15 =12; e (lo sottolineerò in particolare!) n=15. Sentiti libero di sostituirlo nella formula:

12=2 + (15-1)d

Facciamo i conti.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Questa è la risposta corretta.

Quindi, i compiti per un n, un 1 E D deciso. Non resta che imparare come trovare il numero:

Il numero 99 è un membro della progressione aritmetica (a n), dove a 1 =12; d=3. Trova il numero di questo membro.

Sostituiamo le quantità a noi note nella formula dell'ennesimo termine:

un n = 12 + (n-1) 3

A prima vista, ci sono due quantità sconosciute qui: una n e una n. Ma UN- questo è un membro della progressione con un numero N...E conosciamo questo membro della progressione! È 99. Non ne conosciamo il numero. N, Quindi questo numero è quello che devi trovare. Sostituiamo il termine della progressione 99 nella formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Esprimiamo dalla formula N, pensiamo. Otteniamo la risposta: n=30.

E ora un problema sullo stesso argomento, ma più creativo):

Determina se il numero 117 è un membro della progressione aritmetica (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Scriviamo di nuovo la formula. Cosa, non ci sono parametri? Hm... Perché ci vengono dati gli occhi?) Vediamo il primo termine della progressione? Vediamo. Questo è -3,6. Puoi tranquillamente scrivere: a1 = -3,6. Differenza D Puoi dirlo dalla serie? È facile se sai qual è la differenza di una progressione aritmetica:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Quindi, abbiamo fatto la cosa più semplice. Non resta che occuparsi del numero sconosciuto N e l'incomprensibile numero 117. Nel problema precedente almeno si sapeva che era il termine della progressione ad essere dato. Ma qui non sappiamo nemmeno... Cosa fare!? Bene, cosa fare, cosa fare... Accendi Abilità creative!)

Noi supponiamo quel 117 è, dopo tutto, un membro della nostra progressione. Con un numero sconosciuto N. E, proprio come nel problema precedente, proviamo a trovare questo numero. Quelli. scriviamo la formula (sì, sì!)) e sostituiamo i nostri numeri:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Ancora una volta esprimiamo dalla formulaN, contiamo e otteniamo:

Ops! Il numero è venuto fuori frazionario! Centouno e mezzo. E numeri frazionari in progressioni non può essere. Quale conclusione possiamo trarre? SÌ! Numero 117 non è membro della nostra progressione. È da qualche parte tra il centouno e il centoduesimo termine. Se il numero risultasse naturale, ad es. è un numero intero positivo, il numero sarebbe un membro della progressione con il numero trovato. E nel nostro caso, la risposta al problema sarà: NO.

Un compito basato su una versione reale del GIA:

Una progressione aritmetica è data dalla condizione:

a n = -4 + 6,8 n

Trova il primo e il decimo termine della progressione.

Qui la progressione è impostata in modo insolito. Una specie di formula... Succede.) Tuttavia, questa formula (come ho scritto sopra) - anche la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Permette anche trova qualsiasi membro della progressione in base al suo numero.

Stiamo cercando il primo membro. Quello che pensa. che il primo termine sia meno quattro è fatalmente sbagliato!) Perché la formula nel problema viene modificata. Il primo termine della progressione aritmetica in esso contenuta nascosto. Va bene, lo troveremo ora.)

Proprio come nei problemi precedenti, sostituiamo n=1 V questa formula:

a1 = -4 + 6,81 = 2,8

Qui! Il primo termine è 2,8, non -4!

Cerchiamo il decimo termine allo stesso modo:

un 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Questo è tutto.

Ed ora, per chi ha letto queste righe, il bonus promesso.)

Supponiamo che, in una difficile situazione di combattimento dell'Esame di Stato o dell'Esame di Stato Unificato, tu abbia dimenticato la formula utile per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Ricordo qualcosa, ma in modo incerto... Oppure N lì, o n+1, o n-1... Come essere!?

Calma! Questa formula è facile da ricavare. Non è molto severo, ma è sicuramente sufficiente per avere fiducia e prendere la decisione giusta!) Per concludere, è sufficiente ricordare il significato elementare di una progressione aritmetica e avere un paio di minuti di tempo. Hai solo bisogno di fare un disegno. Per chiarezza.

Disegna una linea numerica e segna la prima su di essa. secondo, terzo, ecc. membri. E notiamo la differenza D tra i membri. Come questo:

Guardiamo l'immagine e pensiamo: a cosa equivale il secondo termine? Secondo uno D:

UN 2 =a1+ 1 D

Qual è il terzo termine? Terzo termine è uguale al primo termine più due D.

UN 3 =a1+ 2 D

Lo capisci? Non per niente evidenzio alcune parole in grassetto. Ok, ancora un passo).

Qual è il quarto termine? Il quarto termine è uguale al primo termine più tre D.

UN 4 =a1+ 3 D

È tempo di rendersi conto che il numero di lacune, ad es. D, Sempre uno in meno rispetto al numero del membro che stai cercando N. Cioè, al numero n, numero di spazi Volere n-1. Pertanto la formula sarà (senza variazioni!):

a n = a 1 + (n-1)d

In generale, le immagini visive sono molto utili per risolvere molti problemi di matematica. Non trascurare le immagini. Ma se è difficile tracciare un'immagine, allora... solo una formula!) Inoltre, la formula dell'ennesimo termine ti consente di collegare l'intero potente arsenale della matematica alla soluzione: equazioni, disuguaglianze, sistemi, ecc. Non è possibile inserire un'immagine nell'equazione...

Compiti per una soluzione indipendente.

Riscaldarsi:

1. Nella progressione aritmetica (a n) a 2 =3; un 5 =5,1. Trovane 3.

Suggerimento: secondo l'immagine il problema si risolve in 20 secondi... Secondo la formula risulta più difficile. Ma per padroneggiare la formula, è più utile.) Nella Sezione 555, questo problema viene risolto utilizzando sia l'immagine che la formula. Senti la differenza!)

E questo non è più un riscaldamento.)

2. Nella progressione aritmetica (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Trova a 3 .

Cosa, non vuoi fare un disegno?) Certo! Meglio secondo la formula, sì...

3. La progressione aritmetica è data dalla condizione:a1 = -5,5; un n+1 = un n +0,5. Trova il centoventicinquesimo termine di questa progressione.

In questa attività, la progressione è specificata in modo ricorrente. Ma contando fino al centoventicinquesimo termine... Non tutti sono capaci di un'impresa del genere.) Ma la formula dell'ennesimo termine è alla portata di tutti!

4. Data una progressione aritmetica (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Trova il numero del più piccolo termine positivo della progressione.

5. Secondo le condizioni del compito 4, trova la somma dei termini positivi più piccoli e dei termini negativi più grandi della progressione.

6. Il prodotto del quinto e del dodicesimo termine di una progressione aritmetica crescente è pari a -2,5, e la somma del terzo e dell'undicesimo termine è pari a zero. Trova un 14.

Non è il compito più semplice, sì...) Il metodo “fingertip” non funzionerà qui. Dovrai scrivere formule e risolvere equazioni.

Risposte (in disordine):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Accaduto? È carino!)

Non tutto funziona? Accade. A proposito, c'è un punto sottile nell'ultimo compito. Sarà richiesta attenzione durante la lettura del problema. E logica.

La soluzione a tutti questi problemi è discussa in dettaglio nella Sezione 555. E l'elemento di fantasia per il quarto, e il punto sottile per il sesto, e gli approcci generali per risolvere qualsiasi problema che coinvolga la formula dell'ennesimo termine: tutto è descritto. Raccomando.

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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)

Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Tipo di lezione: imparare nuovo materiale.

Obiettivi della lezione:

espandere e approfondire la comprensione da parte degli studenti dei problemi risolti utilizzando la progressione aritmetica; organizzare le attività di ricerca degli studenti al momento di ricavare la formula per la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica;
sviluppare la capacità di acquisire autonomamente nuove conoscenze e utilizzare le conoscenze già acquisite per raggiungere un determinato compito;
sviluppare il desiderio e la necessità di generalizzare i fatti ottenuti, sviluppando l'indipendenza.

Compiti:

riassumere e sistematizzare le conoscenze esistenti sull'argomento "progressione aritmetica";
ricavare formule per calcolare la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica;
insegnare come applicare le formule ottenute durante la risoluzione di vari problemi;
attirare l'attenzione degli studenti sulla procedura per trovare il valore di un'espressione numerica.

Attrezzatura:

carte con compiti per lavorare in gruppi e coppie;
documento di valutazione;
presentazione"Progressione aritmetica."

I. Aggiornamento delle conoscenze di base.

1. Lavoro indipendente A coppie.

1a opzione:

Definire la progressione aritmetica. Scrivi una formula di ricorrenza che definisca una progressione aritmetica. Fornisci un esempio di progressione aritmetica e indicane la differenza.

2a opzione:

Scrivi la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Trovare il centesimo termine della progressione aritmetica ( UN}: 2, 5, 8 …
In questo momento, due studenti sul retro della lavagna stanno preparando le risposte alle stesse domande.
Gli studenti valutano il lavoro del loro partner controllandolo alla lavagna. (Si consegnano i fogli con le risposte.)

2. Momento di gioco.

Esercizio 1.

Insegnante. Ho pensato a una progressione aritmetica. Fammi solo due domande in modo che dopo le risposte tu possa nominare rapidamente il 7° termine di questa progressione. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Domande degli studenti.

Qual è il sesto termine della progressione e qual è la differenza?
Qual è l'ottavo termine della progressione e qual è la differenza?

Se non ci sono più domande, l'insegnante può stimolarle: un "divieto" su d (differenza), cioè non è consentito chiedere a cosa sia uguale la differenza. Puoi porre domande: a cosa è uguale il 6° termine della progressione e a cosa è uguale l'8° termine della progressione?

Compito 2.

Sulla lavagna sono scritti 20 numeri: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

L'insegnante sta con le spalle alla lavagna. Gli studenti chiamano il numero e l'insegnante chiama immediatamente il numero stesso. Spiegare come posso farlo?

L'insegnante ricorda la formula per l'ennesimo termine un n = 3n – 2 e, sostituendo i valori specificati n, trova i valori corrispondenti UN.

II. Impostazione di un compito di apprendimento.

Propongo di risolvere un antico problema risalente al II millennio a.C., rinvenuto nei papiri egiziani.

Compito:“Vi sia detto: dividete 10 misure di orzo tra 10 persone, la differenza tra ogni persona e il suo vicino è 1/8 della misura”.

In che modo questo problema è legato all'argomento progressione aritmetica? (Ogni persona successiva riceve 1/8 della misura in più, il che significa che la differenza è d=1/8, 10 persone, il che significa n=10.)
Cosa pensi che significhi la misura numero 10? (Somma di tutti i termini della progressione.)
Cos'altro devi sapere per rendere facile e semplice dividere l'orzo in base alle condizioni del problema? (Primo termine di progressione.)

Obiettivo della lezione– ottenere la dipendenza della somma dei termini della progressione dal loro numero, dal primo termine e dalla differenza, e verificare se nell’antichità il problema era risolto correttamente.

Prima di dedurre la formula, diamo un'occhiata a come gli antichi egizi risolsero il problema.

E hanno risolto così:

1) 10 misure: 10 = 1 misura – quota media;
2) 1 misura ∙ = 2 misure – raddoppiato media condividere.
Raddoppiato media la quota è la somma delle quote della 5a e della 6a persona.
3) 2 misure – 1/8 misure = 1 7/8 misure – raddoppia la quota della quinta persona.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – frazione di quinta; e così via, puoi trovare la quota di ogni persona precedente e successiva.

Otteniamo la sequenza:

III. Risolvere il problema.

1. Lavora in gruppi

Gruppo I: Trova la somma di 20 consecutivi numeri naturali: S20 =(20+1)∙10 =210.

Generalmente

II gruppo: Trova la somma dei numeri naturali da 1 a 100 (La leggenda di Little Gauss).

S100 = (1+100)∙50 = 5050

Conclusione:

III gruppo: Trova la somma dei numeri naturali da 1 a 21.

Soluzione: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Conclusione:

IV gruppo: Trova la somma dei numeri naturali da 1 a 101.

Conclusione:

Questo metodo per risolvere i problemi considerati è chiamato “Metodo Gauss”.

2. Ogni gruppo presenta alla lavagna la soluzione del problema.

3. Generalizzazione delle soluzioni proposte per una progressione aritmetica arbitraria:

un 1, un 2, un 3,…, un n-2, un n-1, un n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Troviamo questa somma utilizzando un ragionamento simile:

4. Abbiamo risolto il problema?(SÌ.)

IV. Comprensione primaria e applicazione delle formule ottenute durante la risoluzione dei problemi.

1. Verifica della soluzione a un problema antico utilizzando la formula.

2. Applicazione della formula nella risoluzione di vari problemi.

3. Esercizi per sviluppare la capacità di applicare formule durante la risoluzione dei problemi.

R) N. 613

Dato: ( UN) - progressione aritmetica;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Trovare: S1500

Soluzione: , a 1 = 1 e 1500 = 1500,

B) Dato: ( UN) - progressione aritmetica;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Trovare: N
Soluzione:

V. Lavoro indipendente con verifica reciproca.

Denis ha iniziato a lavorare come corriere. Nel primo mese il suo stipendio era di 200 rubli, in ogni mese successivo aumentava di 30 rubli. Quanto ha guadagnato in totale in un anno?

Dato: ( UN) - progressione aritmetica;
a1 = 200, d=30, n=12
Trovare: S12
Soluzione:

Risposta: Denis ha ricevuto 4380 rubli all'anno.

VI. Istruzioni per i compiti.

Sezione 4.3 – impara la derivazione della formula.
№№ 585, 623 .
Crea un problema che possa essere risolto utilizzando la formula per la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica.

VII. Riassumendo la lezione.

1. Scheda dei punteggi

2. Continua le frasi

Oggi in classe ho imparato...
Formule apprese...
Credo che …

3. Riesci a trovare la somma dei numeri da 1 a 500? Quale metodo utilizzerai per risolvere questo problema?

Bibliografia.

1. Algebra, 9a elementare. Tutorial per istituzioni educative. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: “Illuminismo”, 2009.

Quindi sediamoci e iniziamo a scrivere alcuni numeri. Per esempio:
Puoi scrivere qualsiasi numero e possono essercene quanti vuoi (nel nostro caso ce ne sono). Non importa quanti numeri scriviamo, possiamo sempre dire quale è il primo, quale è il secondo e così via fino all'ultimo, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica:

Sequenza numerica
Ad esempio, per la nostra sequenza:

Il numero assegnato è specifico per un solo numero nella sequenza. In altre parole, non ci sono numeri di tre secondi nella sequenza. Il secondo numero (come il numero 10) è sempre lo stesso.
Il numero con numero è chiamato l'esimo termine della sequenza.

Di solito chiamiamo l'intera sequenza con una lettera (ad esempio) e ogni membro di questa sequenza è la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .

Nel nostro caso:

Diciamo di avere una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale.
Per esempio:

eccetera.
Questa sequenza numerica è chiamata progressione aritmetica.
Il termine "progressione" fu introdotto dall'autore romano Boezio già nel VI secolo e fu inteso in un senso più ampio come una sequenza numerica infinita. Il nome "aritmetica" è stato trasferito dalla teoria delle proporzioni continue, studiata dagli antichi greci.

Questa è una sequenza numerica, ciascun membro della quale è uguale al precedente sommato allo stesso numero. Questo numero è chiamato differenza di una progressione aritmetica ed è designato.

Prova a determinare quali sequenze numeriche sono una progressione aritmetica e quali no:

UN)
B)
C)
D)

Fatto? Confrontiamo le nostre risposte:
È progressione aritmetica - b, c.
Non è progressione aritmetica - a, d.

Torniamo alla progressione data () e proviamo a trovare il valore del suo-esimo termine. Esiste due modo per trovarlo.

1. Metodo

Possiamo aggiungere il numero di progressione al valore precedente fino a raggiungere il trentesimo termine della progressione. È positivo che non abbiamo molto da riassumere: solo tre valori:

Quindi, l'esimo termine della progressione aritmetica descritta è uguale a.

2. Metodo

E se volessimo trovare il valore dell'esimo termine della progressione? La somma richiederebbe più di un'ora e non è un dato di fatto che non commetteremo errori nell'addizione dei numeri.
Naturalmente i matematici hanno escogitato un modo in cui non è necessario aggiungere la differenza di una progressione aritmetica al valore precedente. Dai un'occhiata più da vicino all'immagine disegnata... Sicuramente hai già notato un certo schema, vale a dire:

Vediamo ad esempio in cosa consiste il valore dell’esimo termine di questa progressione aritmetica:

In altre parole:

Prova a trovare tu stesso il valore di un membro di una determinata progressione aritmetica in questo modo.

Hai calcolato? Confronta i tuoi appunti con la risposta:

Tieni presente che hai ottenuto esattamente lo stesso numero del metodo precedente, quando abbiamo aggiunto in sequenza i termini della progressione aritmetica al valore precedente.
Proviamo a “spersonalizzare” questa formula: mettiamola in forma generale e otteniamo:

Equazione di progressione aritmetica.

Le progressioni aritmetiche possono essere crescenti o decrescenti.

Crescente- progressioni in cui ogni valore successivo dei termini è maggiore del precedente.
Per esempio:

Discendente- progressioni in cui ogni valore successivo dei termini è inferiore al precedente.
Per esempio:

La formula derivata viene utilizzata nel calcolo dei termini sia in termini crescenti che decrescenti di una progressione aritmetica.
Controlliamolo in pratica.
Ci viene data una progressione aritmetica composta dai seguenti numeri: Controlliamo quale sarà l'esimo numero di questa progressione aritmetica se utilizziamo la nostra formula per calcolarla:

Da allora:

Pertanto, siamo convinti che la formula operi sia in progressione aritmetica decrescente che crescente.
Prova a trovare tu stesso l'esimo e l'esimo termine di questa progressione aritmetica.

Confrontiamo i risultati:

Proprietà di progressione aritmetica

Complichiamo il problema: ricaveremo la proprietà della progressione aritmetica.
Diciamo che ci viene data la seguente condizione:
- progressione aritmetica, trova il valore.
Facile, dici e inizi a contare secondo la formula che già conosci:

Lasciamo, ah, allora:

Assolutamente giusto. Si scopre che prima troviamo, quindi lo aggiungiamo al primo numero e otteniamo ciò che stiamo cercando. Se la progressione è rappresentata da piccoli valori, non c'è nulla di complicato in questo, ma cosa succede se nella condizione ci vengono forniti dei numeri? D'accordo, c'è la possibilità di commettere un errore nei calcoli.
Ora pensa se è possibile risolvere questo problema in un solo passaggio utilizzando qualsiasi formula? Naturalmente sì, ed è quello che cercheremo di far emergere adesso.

Indichiamo il termine richiesto della progressione aritmetica come, la formula per trovarlo ci è nota - questa è la stessa formula che abbiamo derivato all'inizio:
, Poi:

il termine precedente della progressione è:
il termine successivo della progressione è:

Riassumiamo i termini precedenti e successivi della progressione:

Risulta che la somma dei termini precedente e successivo della progressione è il doppio valore del termine di progressione situato tra di loro. In altre parole, per trovare il valore di un termine di progressione con valori precedenti e successivi noti, è necessario sommarli e dividere per.

Esatto, abbiamo lo stesso numero. Mettiamo al sicuro il materiale. Calcola tu stesso il valore della progressione, non è affatto difficile.

Ben fatto! Sai quasi tutto sulla progressione! Resta da scoprire solo una formula che, secondo la leggenda, fu facilmente dedotta da uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, il "re dei matematici" - Karl Gauss...

Quando Carl Gauss aveva 9 anni, un insegnante, impegnato a controllare il lavoro degli studenti di altre classi, assegnò in classe il seguente compito: "Calcola la somma di tutti i numeri naturali da a (secondo altre fonti a) compreso". Immaginate la sorpresa dell'insegnante quando uno dei suoi studenti (era Karl Gauss) un minuto dopo diede la risposta corretta al compito, mentre la maggior parte dei compagni di classe del temerario, dopo lunghi calcoli, ricevettero il risultato sbagliato...

Il giovane Carl Gauss notò un certo schema che puoi facilmente notare anche tu.
Diciamo di avere una progressione aritmetica composta da -esimi termini: dobbiamo trovare la somma di questi termini della progressione aritmetica. Naturalmente possiamo sommare manualmente tutti i valori, ma cosa succede se il compito richiede di trovare la somma dei suoi termini, come cercava Gauss?

Descriviamo la progressione che ci è stata data. Dai un'occhiata più da vicino ai numeri evidenziati e prova a eseguire varie operazioni matematiche con essi.

L'hai provato? Cosa hai notato? Giusto! Le loro somme sono uguali

Ora dimmi, quante coppie di questo tipo ci sono in totale nella progressione che ci è stata data? Naturalmente, esattamente la metà di tutti i numeri.
Basandosi sul fatto che la somma di due termini di una progressione aritmetica è uguale, e le coppie simili sono uguali, otteniamo che la somma totale è pari a:
.
Pertanto, la formula per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:

In alcuni problemi non conosciamo l'esimo termine, ma conosciamo la differenza della progressione. Prova a sostituire la formula dell'esimo termine nella formula della somma.
Cosa hai preso?

Ben fatto! Ora torniamo al problema posto a Carl Gauss: calcola tu stesso a cosa è uguale la somma dei numeri che iniziano dal th e la somma dei numeri che iniziano dal th.

Quanto hai ottenuto?
Gauss scoprì che la somma dei termini è uguale e la somma dei termini. È questo che hai deciso?

In effetti, la formula per la somma dei termini di una progressione aritmetica fu dimostrata dall'antico scienziato greco Diofanto nel III secolo e durante tutto questo tempo le persone spiritose sfruttarono appieno le proprietà della progressione aritmetica.
Ad esempio, immagina Antico Egitto e il più grande progetto di costruzione di quel tempo: la costruzione di una piramide... L'immagine ne mostra un lato.

Dov'è la progressione qui, dici? Osserva attentamente e trova uno schema nel numero di blocchi di sabbia in ciascuna fila del muro della piramide.

Perché non una progressione aritmetica? Calcola quanti blocchi sono necessari per costruire un muro se i mattoni sono posizionati alla base. Spero che non conterai muovendo il dito sul monitor, ricordi l'ultima formula e tutto quello che abbiamo detto sulla progressione aritmetica?

In questo caso, la progressione è la seguente: .
Differenza di progressione aritmetica.
Il numero di termini di una progressione aritmetica.
Sostituiamo i nostri dati nelle ultime formule (calcola il numero di blocchi in 2 modi).

Metodo 1.

Metodo 2.

E ora puoi calcolare sul monitor: confronta i valori ottenuti con il numero di blocchi presenti nella nostra piramide. Fatto? Ben fatto, hai padroneggiato la somma degli n-esimi termini di una progressione aritmetica.
Ovviamente non puoi costruire una piramide con i blocchi alla base, ma da? Prova a calcolare quanti mattoni di sabbia sono necessari per costruire un muro con questa condizione.
Sei riuscito?
La risposta corretta è blocchi:

Formazione

Compiti:

Masha si sta rimettendo in forma per l'estate. Ogni giorno aumenta il numero di squat di. Quante volte Masha farà gli squat in una settimana se li ha fatti al primo allenamento?
Qual è la somma di tutti i numeri dispari contenuti in.
Quando archiviano i log, i logger li impilano in modo tale che ogni strato superiore contenga un log in meno rispetto al precedente. Quanti tronchi ci sono in una muratura, se la fondazione della muratura è costituita da tronchi?

Risposte:

Definiamo i parametri della progressione aritmetica. In questo caso
(settimane = giorni).
Risposta: Tra due settimane, Masha dovrebbe fare squat una volta al giorno.
Primo numero dispari, ultimo numero.
Differenza di progressione aritmetica.
Il numero di numeri dispari è la metà, tuttavia controlliamo questo fatto utilizzando la formula per trovare l'esimo termine di una progressione aritmetica:
I numeri contengono numeri dispari.
Sostituiamo i dati disponibili nella formula:
Risposta: La somma di tutti i numeri dispari contenuti è uguale.
Ricordiamo il problema delle piramidi. Nel nostro caso, a , poiché ogni strato superiore viene ridotto di un log, quindi in totale ci sono un mucchio di strati.
Sostituiamo i dati nella formula:
Risposta: Ci sono tronchi nella muratura.

Riassumiamo

- una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale. Può essere in aumento o in diminuzione.
Trovare la formula L'esimo termine di una progressione aritmetica è scritto dalla formula - , dove è il numero di numeri nella progressione.
Proprietà dei membri di una progressione aritmetica- - dove è il numero di numeri in progressione.
La somma dei termini di una progressione aritmetica può essere trovato in due modi:

, dove è il numero di valori.

PROGRESSIONE ARITMETICA. LIVELLO MEDIO

Sequenza numerica

Sediamoci e iniziamo a scrivere alcuni numeri. Per esempio:

Puoi scrivere qualsiasi numero e possono essercene quanti vuoi. Ma possiamo sempre dire quale è il primo, quale il secondo e così via, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica.

Sequenza numericaè un insieme di numeri, a ciascuno dei quali può essere assegnato un numero univoco.

In altre parole, ogni numero può essere associato a un certo numero naturale e unico. E non assegneremo questo numero a nessun altro numero di questo set.

Il numero con numero è chiamato l'esimo membro della sequenza.

Di solito chiamiamo l'intera sequenza con una lettera (ad esempio) e ogni membro di questa sequenza è la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .

È molto conveniente se l'esimo termine della successione può essere specificato da qualche formula. Ad esempio, la formula

imposta la sequenza:

E la formula è la seguente sequenza:

Ad esempio, una progressione aritmetica è una sequenza (il primo termine qui è uguale e la differenza lo è). Oppure (, differenza).

formula dell'ennesimo termine

Chiamiamo ricorrente una formula in cui, per scoprire l'esimo termine, è necessario conoscere il precedente o più precedenti:

Per trovare, ad esempio, l'esimo termine della progressione utilizzando questa formula, dovremo calcolare i nove precedenti. Ad esempio, lascialo. Poi:

Bene, ora è chiaro qual è la formula?

In ogni riga aggiungiamo, moltiplicato per un numero. Quale? Molto semplice: questo è il numero del membro attuale meno:

Molto più conveniente adesso, vero? Controlliamo:

Decidi tu stesso:

In una progressione aritmetica, trova la formula per l'ennesimo termine e trova il centesimo termine.

Soluzione:

Il primo termine è uguale. Qual è la differenza? Ecco cosa:

(Per questo si chiama differenza perché è uguale alla differenza di termini successivi della progressione).

Quindi, la formula:

Allora il centesimo termine è uguale a:

Qual è la somma di tutti i numeri naturali da a?

Secondo la leggenda, il grande matematico Carl Gauss, da bambino di 9 anni, calcolò questo importo in pochi minuti. Notò che la somma del primo e dell'ultimo numero è uguale, la somma del secondo e del penultimo è uguale, la somma del terzo e del terzo dalla fine è uguale, e così via. Quante coppie di questo tipo ci sono in totale? Esatto, esattamente la metà di tutti i numeri, cioè. COSÌ,

La formula generale per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:

Esempio:
Trova la somma di tutti i multipli a due cifre.

Soluzione:

Il primo di questi numeri è questo. Ogni numero successivo si ottiene aggiungendo al numero precedente. Pertanto, i numeri che ci interessano formano una progressione aritmetica con il primo termine e la differenza.

Formula dell'esimo termine per questa progressione:

Quanti termini ci sono nella progressione se devono essere tutti a due cifre?

Molto facile: .

L'ultimo termine della progressione sarà uguale. Quindi la somma:

Risposta: .

Ora decidi tu stesso:

Ogni giorno l'atleta percorre più metri rispetto al giorno precedente. Quanti chilometri totali correrà in una settimana se ha corso km m il primo giorno?
Ogni giorno un ciclista percorre più chilometri del giorno precedente. Il primo giorno ha percorso km. Quanti giorni ha bisogno di viaggiare per percorrere un chilometro? Quanti chilometri percorrerà durante l'ultimo giorno del suo viaggio?
Il prezzo di un frigorifero in un negozio diminuisce della stessa quantità ogni anno. Determina quanto è diminuito il prezzo di un frigorifero ogni anno se, messo in vendita per rubli, sei anni dopo è stato venduto per rubli.

Risposte:

La cosa più importante qui è riconoscere la progressione aritmetica e determinarne i parametri. In questo caso, (settimane = giorni). È necessario determinare la somma dei primi termini di questa progressione:
.
Risposta:
Qui è dato: , deve essere trovato.
Ovviamente, è necessario utilizzare la stessa formula di somma del problema precedente:
.
Sostituisci i valori:
La radice ovviamente non va bene, quindi la risposta è.
Calcoliamo il percorso percorso nell'ultimo giorno utilizzando la formula dell'esimo termine:
(km).
Risposta:
Dato: . Trovare: .
Non potrebbe essere più semplice:
(strofinare).
Risposta:

PROGRESSIONE ARITMETICA. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

Questa è una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale.

La progressione aritmetica può essere crescente () e decrescente ().

Per esempio:

Formula per trovare l'ennesimo termine di una progressione aritmetica

è scritto dalla formula, dove è il numero di numeri in progressione.

Proprietà dei membri di una progressione aritmetica

Ti consente di trovare facilmente un termine di una progressione se sono noti i termini vicini: dov'è il numero di numeri nella progressione.

Somma dei termini di una progressione aritmetica

Esistono due modi per trovare l'importo:

Dov'è il numero di valori.

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