Distribuzione binomiale. Distribuzioni discrete in EXCEL. Distribuzione binomiale di una variabile casuale Distribuzione binomiale excel

Considera la distribuzione binomiale, calcola la sua aspettativa matematica, la varianza, la modalità. Utilizzando la funzione MS EXCEL DISTRIB.BINOM.DIST(), tracceremo i grafici della funzione di distribuzione e della densità di probabilità. Stimiamo il parametro di distribuzione p, l'aspettativa matematica della distribuzione e la deviazione standard. Considera anche la distribuzione di Bernoulli.

Definizione. Lasciali tenere N test, in ciascuno dei quali possono verificarsi solo 2 eventi: l'evento "successo" con una probabilità P o l'evento "fallimento" con la probabilità Q =1-p (il cosiddetto Schema di Bernoulli,Bernoulliprove).

Probabilità di ottenere esattamente X successo in questi N test è uguale a:

Numero di successi nel campione X è una variabile casuale che ha Distribuzione binomiale(Inglese) Binomialedistribuzione) P E N – sono parametri di questa distribuzione.

Ricordiamolo per candidarsi Schemi di Bernoulli e corrispondentemente distribuzione binomiale, devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

• ogni prova deve avere esattamente due esiti, chiamati condizionatamente "successo" e "fallimento".
• il risultato di ciascun test non dovrebbe dipendere dai risultati dei test precedenti (indipendenza dal test).
• tasso di successo P deve essere costante per tutti i test.

Distribuzione binomiale in MS EXCEL

In MS EXCEL, a partire dalla versione 2010, per esiste una funzione BINOM.DIST(), il nome inglese è BINOM.DIST(), che permette di calcolare la probabilità che il campione abbia esattamente X"successi" (es. densità di probabilità p(x), vedi formula sopra), e funzione di distribuzione integrale(probabilità che il campione avrà X o meno "successi", compreso 0).

Prima di MS EXCEL 2010, EXCEL disponeva della funzione DISTRIB.BINOM(), che consente anche di calcolare funzione di distribuzione E densità di probabilità p(x). DISTRIB.BINOM() viene lasciato in MS EXCEL 2010 per compatibilità.

Il file di esempio contiene grafici densità di distribuzione di probabilità E .

Distribuzione binomiale ha la designazione B (N ; P) .

Nota: Per la costruzione funzione di distribuzione integrale tipo di grafico con adattamento perfetto Programma, Per densità di distribuzione – Istogramma con raggruppamento. Per ulteriori informazioni sulla creazione di grafici, leggi l'articolo I principali tipi di grafici.

Nota: Per facilitare la scrittura delle formule nel file di esempio, sono stati creati i nomi dei parametri Distribuzione binomiale: n e p.

Il file di esempio mostra vari calcoli di probabilità utilizzando le funzioni MS EXCEL:

Come si vede nella figura sopra, si assume che:

• La popolazione infinita da cui è composto il campione contiene il 10% (o 0,1) di elementi buoni (parametro P, terzo argomento della funzione = DISTRIB.BINOM.DIST() )
• Per calcolare la probabilità che in un campione di 10 elementi (parametro N, il secondo argomento della funzione) ci saranno esattamente 5 elementi validi (il primo argomento), occorre scrivere la formula: =DISTRIB.BINOM.N(5; 10; 0.1; FALSO)
• L'ultimo, quarto elemento è impostato = FALSE, cioè viene restituito il valore della funzione densità di distribuzione .

Se il valore del quarto argomento = VERO, la funzione DISTRIB.BINOM() restituisce il valore funzione di distribuzione integrale o semplicemente funzione di distribuzione. In questo caso, puoi calcolare la probabilità che il numero di elementi validi nel campione appartenga a un determinato intervallo, ad esempio 2 o meno (incluso 0).

Per fare ciò, scrivi la formula: = DISTRIB.BINOM.N(2; 10; 0.1; VERO)

Nota: Per un valore non intero di x, . Ad esempio, le seguenti formule restituiranno lo stesso valore: =DISTRIB.BINOM.N( 2 ; 10; 0,1; VERO)=DISTRIB.BINOM.N( 2,9 ; 10; 0,1; VERO)

Nota: Nel file di esempio densità di probabilità E funzione di distribuzione anche calcolato utilizzando la definizione e la funzione COMBIN().

Indicatori di distribuzione

IN file di esempio su foglio Esempio esistono formule per il calcolo di alcuni indicatori di distribuzione:

• =n*p;
• (deviazione standard al quadrato) = n*p*(1-p);
• = (n+1)*p;
• =(1-2*p)*RADICE(n*p*(1-p)).

Deriviamo la formula aspettativa matematicaDistribuzione binomiale utilizzando Schema di Bernoulli .

Per definizione, una variabile casuale X in Schema di Bernoulli(variabile casuale Bernoulli) ha funzione di distribuzione :

Questa distribuzione è chiamata Distribuzione di Bernoulli .

Nota : Distribuzione di Bernoulli- caso speciale Distribuzione binomiale con parametro n=1.

Generiamo 3 array di 100 numeri con diverse probabilità di successo: 0.1; 0,5 e 0,9. Per fare questo, nella finestra Generazione di numeri casuali impostare i seguenti parametri per ogni probabilità p:

Nota: se si imposta l'opzione Dispersione casuale (Seme casuale), quindi puoi scegliere un determinato insieme casuale di numeri generati. Ad esempio, impostando questa opzione =25, è possibile generare gli stessi insiemi di numeri casuali su computer diversi (se, ovviamente, gli altri parametri di distribuzione sono gli stessi). Il valore dell'opzione può assumere valori interi da 1 a 32767. Nome dell'opzione Dispersione casuale può confondere. Sarebbe meglio tradurlo come Impostare il numero con numeri casuali .

Di conseguenza, avremo 3 colonne di 100 numeri, in base alle quali, ad esempio, possiamo stimare la probabilità di successo P secondo la formula: Numero di successi/100(cm. file di esempio foglio Generating Bernoulli).

Nota: Per Distribuzioni di Bernoulli con p=0.5, puoi usare la formula =RANDBETWEEN(0;1) , che corrisponde a .

Generazione di numeri casuali. Distribuzione binomiale

Supponiamo che ci siano 7 articoli difettosi nel campione. Ciò significa che è "molto probabile" che la percentuale di prodotti difettosi sia cambiata. P, caratteristica del nostro processo produttivo. Sebbene questa situazione sia "molto probabile", esiste la possibilità (rischio alfa, errore di tipo 1, "falso allarme") che Pè rimasto invariato e l'aumento del numero di prodotti difettosi è dovuto al campionamento casuale.

Come si può vedere nella figura sottostante, 7 è il numero di prodotti difettosi accettabile per un processo con p=0.21 allo stesso valore Alfa. Ciò dimostra che quando viene superata la soglia di articoli difettosi in un campione, P"probabilmente" è aumentato. La frase "molto probabile" significa che esiste solo una probabilità del 10% (100%-90%) che lo scostamento della percentuale di prodotti difettosi al di sopra della soglia sia dovuto solo a cause casuali.

Pertanto, il superamento del numero soglia di prodotti difettosi nel campione può servire come segnale che il processo è stato sconvolto e ha iniziato a produrre b O percentuale più alta di prodotti difettosi.

Nota: Prima di MS EXCEL 2010, EXCEL aveva una funzione CRITBINOM() , che equivale a BINOM.INV() . CRITBINOM() viene lasciato in MS EXCEL 2010 e versioni successive per compatibilità.

Relazione della distribuzione binomiale con altre distribuzioni

Se il parametro NDistribuzione binomiale tende all'infinito e P tende a 0, quindi in questo caso Distribuzione binomiale può essere approssimato. È possibile formulare condizioni quando l'approssimazione Distribuzione di Poisson funziona bene:

• P(il meno P e altro ancora N, più accurata è l'approssimazione);
• P >0,9 (considerando che Q =1- P, i calcoli in questo caso devono essere eseguiti utilizzando Q(UN X deve essere sostituito con N - X). Pertanto, meno Q e altro ancora N, più accurata è l'approssimazione).

A 0,110 Distribuzione binomiale può essere approssimato.

Nel suo turno, Distribuzione binomiale può servire come buona approssimazione quando la dimensione della popolazione è N Distribuzione ipergeometrica molto più grande della dimensione del campione n (ovvero, N>>n o n/N Puoi leggere di più sulla relazione delle suddette distribuzioni nell'articolo. Vengono forniti anche esempi di approssimazione e le condizioni sono spiegate quando è possibile e con quale precisione.

CONSIGLIO: Puoi leggere altre distribuzioni di MS EXCEL nell'articolo .

La distribuzione binomiale è una delle più importanti distribuzioni di probabilità di variazione discreta variabile casuale. La distribuzione binomiale è la distribuzione di probabilità di un numero M evento UN v N osservazioni mutuamente indipendenti. Spesso un evento UN chiamato "successo" dell'osservazione e l'evento opposto - "fallimento", ma questa designazione è molto condizionale.

Termini della distribuzione binomiale:

• effettuato in totale N prove in cui l'evento UN può o non può verificarsi;
• evento UN in ciascuna delle prove può verificarsi con la stessa probabilità P;
• i test sono reciprocamente indipendenti.

La probabilità che in N evento di prova UN esattamente M volte, può essere calcolato utilizzando la formula di Bernoulli:

Dove P- la probabilità che l'evento si verifichi UN;

Q = 1 - Pè la probabilità che si verifichi l'evento opposto.

Scopriamolo perché la distribuzione binomiale è correlata alla formula di Bernoulli nel modo sopra descritto . Evento: il numero di successi in N i test sono suddivisi in una serie di opzioni, in ognuna delle quali si ottiene il successo M prove e fallimento - in N - M test. Considera una di queste opzioni: B1 . Secondo la regola dell'addizione delle probabilità, moltiplichiamo le probabilità di eventi opposti:

,

e se indichiamo Q = 1 - P, Quello

.

La stessa probabilità avrà qualsiasi altra opzione in cui M successo e N - M fallimenti. Il numero di tali opzioni è uguale al numero di modi in cui è possibile N prova ottenere M successo.

La somma delle probabilità di tutti M numero dell'evento UN(numeri da 0 a N) è uguale a uno:

dove ogni termine è un termine del binomio di Newton. Pertanto, la distribuzione considerata è chiamata distribuzione binomiale.

In pratica, spesso è necessario calcolare le probabilità "al massimo M successo dentro N test" o "almeno M successo dentro N test". Per questo, vengono utilizzate le seguenti formule.

La funzione integrale, cioè probabilità F(M) che dentro N evento di osservazione UN non verrà più M una volta, può essere calcolato utilizzando la formula:

Nel suo turno probabilità F(≥M) che dentro N evento di osservazione UN vieni almeno M una volta, è calcolato dalla formula:

A volte è più conveniente calcolare la probabilità che in N evento di osservazione UN non verrà più M volte, attraverso la probabilità dell'evento opposto:

.

Quale delle formule usare dipende da quale di esse contiene meno termini.

Le caratteristiche della distribuzione binomiale sono calcolate utilizzando le seguenti formule .

Valore atteso: .

dispersione: .

Deviazione standard: .

Distribuzione binomiale e calcoli in MS Excel

Probabilità di distribuzione binomiale P N ( M) e il valore della funzione integrale F(M) può essere calcolato utilizzando la funzione di MS Excel DISTRIB.BINOM. Di seguito è mostrata la finestra per il calcolo corrispondente (cliccare con il tasto sinistro del mouse per ingrandire).

MS Excel richiede di inserire i seguenti dati:

• numero di successi;
• numero di test;
• probabilità di successo;
• integrale - valore logico: 0 - se è necessario calcolare la probabilità P N ( M) e 1 - se la probabilità F(M).

Esempio 1 Il manager dell'azienda ha riassunto le informazioni sul numero di telecamere vendute negli ultimi 100 giorni. La tabella riassume le informazioni e calcola le probabilità che un certo numero di telecamere venga venduto al giorno.

La giornata si conclude con un profitto se vengono vendute 13 o più telecamere. La probabilità che la giornata si risolva con un profitto:

La probabilità che la giornata venga lavorata senza profitto:

Lascia che la probabilità che la giornata si risolva con un profitto sia costante e pari a 0,61 e il numero di telecamere vendute al giorno non dipenda dal giorno. Quindi puoi utilizzare la distribuzione binomiale, dove l'evento UN- la giornata sarà risolta con profitto, - senza profitto.

La probabilità che su 6 giorni tutto si risolva con un profitto:

.

Otteniamo lo stesso risultato utilizzando la funzione MS Excel BINOM.DIST (il valore del valore integrale è 0):

P 6 (6 ) = DISTRIB.BINOM.N(6; 6; 0.61; 0) = 0.052.

La probabilità che su 6 giorni 4 o più giorni vengano lavorati con profitto:

Dove ,

,

Utilizzando la funzione MS Excel BINOM.DIST, calcoliamo la probabilità che su 6 giorni non più di 3 giorni vengano completati con un profitto (il valore del valore integrale è 1):

P 6 (≤3 ) = DISTRIB.BINOM.N(3, 6, 0,61, 1) = 0,435.

La probabilità che su 6 giorni tutto venga risolto con perdite:

,

Calcoliamo lo stesso indicatore utilizzando la funzione MS Excel DISTRIB.BINOM:

P 6 (0 ) = DISTRIB.BINOM.N(0; 6; 0.61; 0) = 0.0035.

Risolvi tu stesso il problema e poi vedi la soluzione

Esempio 2 Un'urna contiene 2 palline bianche e 3 nere. Si estrae una pallina dall'urna, si fissa il colore e si rimette a posto. Il tentativo viene ripetuto 5 volte. Il numero di apparizioni di palline bianche è una variabile casuale discreta X, distribuito secondo la legge binomiale. Comporre la legge di distribuzione di una variabile casuale. Determinare la moda, l'aspettativa matematica e la varianza.

Continuiamo a risolvere i problemi insieme

Esempio 3 Dal servizio di corriere è andato agli oggetti N= 5 corrieri. Ogni corriere con una probabilità P= 0.3 è in ritardo per l'oggetto indipendentemente dagli altri. Variabile casuale discreta X- il numero di corrieri in ritardo. Costruisci una serie di distribuzione di questa variabile casuale. Trova la sua aspettativa matematica, varianza, deviazione standard. Trova la probabilità che almeno due corrieri siano in ritardo per gli oggetti.

In questa e nelle prossime note prenderemo in considerazione modelli matematici di eventi casuali. Modello matematicoè un'espressione matematica che rappresenta una variabile casuale. Per variabili casuali discrete, questa espressione matematica è nota come funzione di distribuzione.

Se il problema ti consente di scrivere esplicitamente un'espressione matematica che rappresenta una variabile casuale, puoi calcolare la probabilità esatta di uno qualsiasi dei suoi valori. In questo caso, puoi calcolare ed elencare tutti i valori della funzione di distribuzione. Nelle applicazioni aziendali, sociologiche e mediche, esistono varie distribuzioni di variabili casuali. Una delle distribuzioni più utili è la binomiale.

Distribuzione binomialeè utilizzato per modellare situazioni caratterizzate dalle seguenti caratteristiche.

• Il campione è costituito da un numero fisso di elementi N che rappresenta l'esito di qualche prova.
• Ogni elemento del campione appartiene a una delle due categorie che si escludono a vicenda che coprono l'intero spazio del campione. In genere, queste due categorie sono chiamate successo e fallimento.
• Probabilità di successo Rè costante. Pertanto, la probabilità di fallimento è 1 - pag.
• L'esito (cioè il successo o il fallimento) di qualsiasi prova è indipendente dall'esito di un'altra prova. Per garantire l'indipendenza dei risultati, gli elementi del campione vengono solitamente ottenuti utilizzando due metodi diversi. Ogni elemento del campione viene estratto casualmente da una popolazione infinita senza sostituzione o da una popolazione finita con sostituzione.

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La distribuzione binomiale viene utilizzata per stimare il numero di successi in un campione composto da N osservazioni. Prendiamo l'ordine come esempio. I clienti di Saxon Company possono utilizzare un modulo elettronico interattivo per effettuare un ordine e inviarlo all'azienda. Quindi il sistema informativo verifica se ci sono errori negli ordini, nonché informazioni incomplete o inesatte. Qualsiasi ordine in dubbio viene contrassegnato e incluso nel rapporto giornaliero sulle eccezioni. I dati raccolti dalla società indicano che la probabilità di errori negli ordini è 0,1. L'azienda vorrebbe sapere qual è la probabilità di trovare un certo numero di ordini errati in un dato campione. Ad esempio, supponiamo che i clienti ne abbiano completati quattro moduli elettronici. Qual è la probabilità che tutti gli ordini siano privi di errori? Come calcolare questa probabilità? Per successo intendiamo un errore durante la compilazione del modulo e considereremo tutti gli altri risultati come un fallimento. Ricordiamo che siamo interessati al numero di ordini errati in un dato campione.

Quali risultati possiamo osservare? Se il campione è composto da quattro ordini, uno, due, tre o tutti e quattro potrebbero essere errati, inoltre, tutti potrebbero essere compilati correttamente. La variabile casuale che descrive il numero di moduli compilati in modo errato può assumere qualsiasi altro valore? Ciò non è possibile perché il numero di moduli compilati in modo errato non può superare la dimensione del campione N o essere negativo. Pertanto, una variabile casuale che obbedisce alla legge di distribuzione binomiale assume valori da 0 a N.

Supponiamo che in un campione di quattro ordini si osservino i seguenti risultati:

Qual è la probabilità di trovare tre ordini errati in un campione di quattro ordini e nell'ordine specificato? Poiché studi preliminari hanno dimostrato che la probabilità di errore nella compilazione del modulo è 0,10, le probabilità degli esiti di cui sopra sono calcolate come segue:

Poiché i risultati sono indipendenti l'uno dall'altro, la probabilità della sequenza di risultati indicata è pari a: p*p*(1–p)*p = 0,1*0,1*0,9*0,1 = 0,0009. Se è necessario calcolare il numero di scelte X N elementi, dovresti usare la formula di combinazione (1):

dove n! \u003d n * (n -1) * (n - 2) * ... * 2 * 1 - fattoriale del numero N, e 0! = 1 e 1! = 1 per definizione.

Questa espressione è spesso indicata come . Pertanto, se n = 4 e X = 3, il numero di sequenze costituite da tre elementi estratti da un campione di dimensione 4 è dato dalla seguente formula:

Pertanto, la probabilità di trovare tre ordini errati è calcolata come segue:

(numero di sequenze possibili) *
(probabilità di una sequenza particolare) = 4 * 0,0009 = 0,0036

Allo stesso modo, possiamo calcolare la probabilità che tra quattro ordini uno o due siano sbagliati, così come la probabilità che tutti gli ordini siano sbagliati o tutti corretti. Tuttavia, all'aumentare della dimensione del campione N diventa più difficile determinare la probabilità di una particolare sequenza di risultati. In questo caso va applicato un opportuno modello matematico che descriva la distribuzione binomiale del numero di scelte X oggetti da un campione contenente N elementi.

Distribuzione binomiale

Dove P(X)- probabilità X successo per una data dimensione del campione N e probabilità di successo R, X = 0, 1, … N.

Presta attenzione al fatto che la formula (2) è una formalizzazione di conclusioni intuitive. Valore casuale X, obbedendo alla distribuzione binomiale, può assumere qualsiasi valore intero nell'intervallo da 0 a N. Lavoro RX(1 - p)N – Xè la probabilità di una particolare sequenza costituita da X successi nel campione, la cui dimensione è pari a N. Il valore determina il numero di possibili combinazioni costituite da X successo dentro N test. Pertanto, per un dato numero di prove N e probabilità di successo R la probabilità di una sequenza composta da X il successo è pari a

P(X) = (numero di possibili sequenze) * (probabilità di una particolare sequenza) =

Considera esempi che illustrano l'applicazione della formula (2).

1. Supponiamo che la probabilità di compilare il modulo in modo errato sia 0,1. Qual è la probabilità che tre dei quattro moduli completati siano sbagliati? Usando la formula (2), otteniamo che la probabilità di trovare tre ordini errati in un campione di quattro ordini è pari a

2. Assumiamo che la probabilità di completare il modulo in modo errato sia 0,1. Qual è la probabilità che almeno tre moduli compilati su quattro siano sbagliati? Come mostrato nell'esempio precedente, la probabilità che tre dei quattro moduli completati siano errati è 0,0036. Per calcolare la probabilità che almeno tre dei quattro moduli compilati vengano compilati in modo errato, bisogna sommare la probabilità che tra i quattro moduli completati tre siano sbagliati, e la probabilità che tra i quattro moduli completati siano tutti sbagliati. La probabilità del secondo evento è

Pertanto, la probabilità che tra le quattro forme completate almeno tre siano errate è pari a

P(X > 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,0036 + 0,0001 = 0,0037

3. Assumiamo che la probabilità di completare il modulo in modo errato sia 0,1. Qual è la probabilità che meno di tre moduli completati su quattro siano sbagliati? La probabilità di questo evento

P(X< 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Usando la formula (2), calcoliamo ognuna di queste probabilità:

Pertanto, P(X< 3) = 0,6561 + 0,2916 + 0,0486 = 0,9963.

Probabilità P(X< 3) можно вычислить иначе. Для этого воспользуемся тем, что событие X < 3 является дополнительным по отношению к событию Х>3. Allora P(X< 3) = 1 – Р(Х> 3) = 1 – 0,0037 = 0,9963.

All'aumentare della dimensione del campione N calcoli simili a quelli effettuati nell'esempio 3 diventano difficili. Per evitare queste complicazioni, molte probabilità binomiali sono tabulate in anticipo. Alcune di queste probabilità sono mostrate in Fig. 1. Ad esempio, per ottenere la probabilità che X= 2 a N= 4 e P= 0.1, dovresti estrarre dalla tabella il numero all'intersezione della linea X= 2 e colonne R = 0,1.

Riso. 1. Probabilità binomiale a N = 4, X= 2 e R = 0,1

La distribuzione binomiale può essere calcolata utilizzando la funzione di Excel =BINOM.DIST() (Fig. 2), che ha 4 parametri: il numero di successi - X, numero di prove (o dimensione del campione) – N, la probabilità di successo è R, parametro integrante, che assume i valori TRUE (in questo caso viene calcolata la probabilità almeno X eventi) o FALSO (in questo caso, la probabilità di esattamente X eventi).

Riso. 2. Parametri funzione =DIST.BINOM.DIST()

Per i tre esempi precedenti, i calcoli sono mostrati in fig. 3 (vedi anche file Excel). Ogni colonna contiene una formula. I numeri mostrano le risposte agli esempi del numero corrispondente).

Riso. 3. Calcolo della distribuzione binomiale in Excel per N= 4 e P = 0,1

Proprietà della distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale dipende dai parametri N E R. La distribuzione binomiale può essere simmetrica o asimmetrica. Se p = 0,05, la distribuzione binomiale è simmetrica indipendentemente dal valore del parametro N. Tuttavia, se p ≠ 0,05, la distribuzione diventa asimmetrica. Più vicino è il valore del parametro R a 0,05 e maggiore è la dimensione del campione N, più debole è l'asimmetria della distribuzione. Pertanto, la distribuzione del numero di moduli compilati in modo errato viene spostata a destra, poiché P= 0,1 (figura 4).

Riso. 4. Istogramma della distribuzione binomiale per N= 4 e P = 0,1

Aspettativa matematica della distribuzione binomialeè uguale al prodotto della dimensione del campione N sulla probabilità di successo R:

(3) M = E(X) =np

In media, con una serie di test sufficientemente lunga su un campione di quattro ordini, potrebbero esserci moduli p \u003d E (X) \u003d 4 x 0,1 \u003d 0,4 compilati in modo errato.

Deviazione standard della distribuzione binomiale

Ad esempio, la deviazione standard del numero di moduli compilati in modo errato in un sistema informativo contabile è:

Vengono utilizzati materiali tratti dal libro Levin et al., Statistiche per manager. - M.: Williams, 2004. - p. 307–313

La teoria della probabilità è invisibilmente presente nelle nostre vite. Non ci prestiamo attenzione, ma ogni evento nella nostra vita ha una o un'altra probabilità. Dato l'enorme numero di possibili scenari, diventa necessario per noi determinare il più probabile e il meno probabile di essi. È più conveniente analizzare graficamente tali dati probabilistici. La distribuzione può aiutarci in questo. Il binomio è uno dei più semplici e precisi.

Prima di procedere direttamente alla matematica e alla teoria della probabilità, scopriamo chi è stato il primo a inventare questo tipo di distribuzione e qual è la storia dello sviluppo dell'apparato matematico per questo concetto.

Storia

Il concetto di probabilità è noto fin dall'antichità. Tuttavia, i matematici antichi non le attribuirono molta importanza e riuscirono solo a gettare le basi per una teoria che in seguito divenne la teoria della probabilità. Hanno creato alcuni metodi combinatori che hanno aiutato molto coloro che in seguito hanno creato e sviluppato la teoria stessa.

Nella seconda metà del XVII secolo iniziò la formazione dei concetti e dei metodi di base della teoria della probabilità. Sono state introdotte definizioni di variabili casuali, metodi per il calcolo della probabilità di eventi indipendenti e dipendenti semplici e alcuni complessi. Un tale interesse per le variabili casuali e le probabilità era dettato dal gioco d'azzardo: ogni persona voleva sapere quali erano le sue possibilità di vincere al gioco.

Il passo successivo è stato l'applicazione di metodi di analisi matematica nella teoria della probabilità. Eminenti matematici come Laplace, Gauss, Poisson e Bernoulli si sono assunti questo compito. Sono stati loro a portare quest'area della matematica a un nuovo livello. Fu James Bernoulli a scoprire la legge della distribuzione binomiale. A proposito, come scopriremo in seguito, sulla base di questa scoperta ne sono state fatte molte altre, che hanno permesso di creare la legge della distribuzione normale e molte altre.

Ora, prima di cominciare a descrivere la distribuzione binomiale, rinfrescheremo un po' la memoria dei concetti di teoria della probabilità, probabilmente già dimenticati dai banchi di scuola.

Fondamenti di teoria della probabilità

Prenderemo in considerazione tali sistemi, a seguito dei quali sono possibili solo due risultati: "successo" e "fallimento". Questo è facile da capire con un esempio: lanciamo una moneta, supponendo che cadrà croce. Le probabilità di ciascuno dei possibili eventi (croce che cadono - "successo", teste che cadono - "non successo") sono pari al 50 percento se la moneta è perfettamente bilanciata e non ci sono altri fattori che possono influenzare l'esperimento.

È stato l'evento più semplice. Ma esistono anche sistemi complessi in cui vengono eseguite azioni sequenziali e le probabilità dei risultati di queste azioni saranno diverse. Ad esempio, si consideri il seguente sistema: in una scatola di cui non possiamo vedere il contenuto, ci sono sei palline assolutamente identiche, tre coppie di colori blu, rosso e bianco. Dobbiamo prendere alcune palline a caso. Di conseguenza, estraendo prima una delle palline bianche, ridurremo di parecchie volte la probabilità che anche la successiva otterremo una pallina bianca. Ciò accade perché il numero di oggetti nel sistema cambia.

Nella prossima sezione, esamineremo concetti matematici più complessi che ci avvicinano a ciò che le parole " distribuzione normale"," distribuzione binomiale "e simili.

Elementi di statistica matematica

In statistica, che è una delle aree di applicazione della teoria della probabilità, ci sono molti esempi in cui i dati per l'analisi non sono forniti esplicitamente. Cioè, non in numeri, ma sotto forma di divisione per caratteristiche, ad esempio per genere. Per applicare un apparato matematico a tali dati e trarre alcune conclusioni dai risultati ottenuti, è necessario convertire i dati iniziali in un formato numerico. Di norma, per implementare ciò, a un risultato positivo viene assegnato un valore di 1 e a uno negativo viene assegnato un valore di 0. Pertanto, otteniamo dati statistici che possono essere analizzati utilizzando metodi matematici.

Il passo successivo per capire cos'è la distribuzione binomiale di una variabile casuale è determinare la varianza della variabile casuale e l'aspettativa matematica. Ne parleremo nella prossima sezione.

Valore atteso

In effetti, capire cosa sia l'aspettativa matematica non è difficile. Considera un sistema in cui ci sono molti eventi diversi con le loro diverse probabilità. L'aspettativa matematica sarà chiamata il valore, uguale alla somma i prodotti dei valori di questi eventi (nella forma matematica di cui abbiamo parlato nell'ultima sezione) e la probabilità del loro verificarsi.

L'aspettativa matematica della distribuzione binomiale viene calcolata secondo lo stesso schema: prendiamo il valore di una variabile casuale, lo moltiplichiamo per la probabilità di un risultato positivo, quindi riassumiamo i dati ottenuti per tutte le variabili. È molto comodo presentare graficamente questi dati: in questo modo si percepisce meglio la differenza tra le aspettative matematiche di valori diversi.

Nella prossima sezione parleremo un po' di un concetto diverso: la varianza di una variabile casuale. È anche strettamente correlato a un concetto come la distribuzione di probabilità binomiale, ed è la sua caratteristica.

Varianza della distribuzione binomiale

Questo valore è strettamente correlato al precedente e caratterizza anche la distribuzione dei dati statistici. Rappresenta il quadrato medio delle deviazioni dei valori dalla loro aspettativa matematica. Cioè, la varianza di una variabile casuale è la somma delle differenze al quadrato tra il valore della variabile casuale e il suo aspettativa matematica moltiplicato per la probabilità di questo evento.

In generale, questo è tutto ciò che dobbiamo sapere sulla varianza per capire qual è la distribuzione di probabilità binomiale. Ora passiamo al nostro argomento principale. Vale a dire, cosa c'è dietro una frase così apparentemente piuttosto complicata "legge sulla distribuzione binomiale".

Distribuzione binomiale

Prima capiamo perché questa distribuzione è binomiale. Deriva dalla parola "binom". Potresti aver sentito parlare del binomio di Newton, una formula che può essere utilizzata per espandere la somma di due numeri qualsiasi a e b a qualsiasi potenza non negativa di n.

Come probabilmente hai già intuito, la formula binomiale di Newton e la formula di distribuzione binomiale sono quasi le stesse formule. Con l'unica eccezione che il secondo ha un valore applicato per quantità specifiche, e il primo è solo uno strumento matematico generale, le cui applicazioni in pratica possono essere diverse.

Formule di distribuzione

La funzione di distribuzione binomiale può essere scritta come somma dei seguenti termini:

(n!/(n-k)!k!)*p k *q n-k

Qui n è il numero di esperimenti casuali indipendenti, p è il numero di risultati positivi, q è il numero di risultati negativi, k è il numero dell'esperimento (può assumere valori da 0 a n),! - designazione di un fattoriale, tale funzione di un numero, il cui valore è uguale al prodotto di tutti i numeri che salgono ad esso (ad esempio, per il numero 4: 4!=1*2*3*4= 24).

Inoltre, la funzione di distribuzione binomiale può essere scritta come una funzione beta incompleta. Tuttavia, questa è già una definizione più complessa, che viene utilizzata solo quando si risolvono problemi statistici complessi.

La distribuzione binomiale, esempi dei quali abbiamo esaminato sopra, è una delle più specie semplici distribuzioni in teoria della probabilità. Esiste anche una distribuzione normale, che è un tipo di distribuzione binomiale. È il più comunemente usato e il più facile da calcolare. C'è anche una distribuzione di Bernoulli, una distribuzione di Poisson, una distribuzione condizionale. Tutti caratterizzano graficamente le aree di probabilità di un particolare processo in condizioni diverse.

Nella prossima sezione, prenderemo in considerazione gli aspetti relativi all'applicazione di questo apparato matematico in vita reale. A prima vista, ovviamente, sembra che questa sia un'altra cosa matematica, che, come al solito, non trova applicazione nella vita reale, e generalmente non è necessaria a nessuno tranne che ai matematici stessi. Tuttavia, questo non è il caso. Dopotutto, tutti i tipi di distribuzioni e le loro rappresentazioni grafiche sono state create esclusivamente per scopi pratici e non per capriccio degli scienziati.

Applicazione

L'applicazione di gran lunga più importante delle distribuzioni è nelle statistiche, dove è necessaria un'analisi complessa di una moltitudine di dati. Come dimostra la pratica, moltissimi array di dati hanno approssimativamente le stesse distribuzioni di valori: le regioni critiche di valori molto bassi e molto alti, di regola, contengono meno elementi rispetto ai valori medi.

L'analisi di grandi array di dati è richiesta non solo nelle statistiche. È indispensabile, ad esempio, in chimica fisica. In questa scienza, viene utilizzato per determinare molte quantità associate a vibrazioni casuali e movimenti di atomi e molecole.

Nella prossima sezione capiremo quanto sia importante applicare concetti statistici come il binomio distribuzione di una variabile casuale nella vita di tutti i giorni per te e per me.

Perché ne ho bisogno?

Molte persone si pongono questa domanda quando si parla di matematica. E a proposito, la matematica non è invano chiamata la regina delle scienze. È la base della fisica, della chimica, della biologia, dell'economia, e in ognuna di queste scienze si usa anche un qualche tipo di distribuzione: che si tratti di una distribuzione binomiale discreta o normale, non importa. E se diamo uno sguardo più da vicino al mondo che ci circonda, vedremo che la matematica è usata ovunque: nella vita di tutti i giorni, al lavoro, e anche le relazioni umane possono essere presentate sotto forma di dati statistici e analizzate (questo, tra l'altro , è svolto da coloro che lavorano in organizzazioni speciali coinvolte nella raccolta di informazioni).

Ora parliamo un po 'di cosa fare se hai bisogno di sapere molto di più su questo argomento rispetto a quello che abbiamo delineato in questo articolo.

Le informazioni che abbiamo fornito in questo articolo sono lungi dall'essere complete. Ci sono molte sfumature su quale forma potrebbe assumere la distribuzione. La distribuzione binomiale, come abbiamo già scoperto, è uno dei tipi principali su cui si basa il tutto statistiche matematiche e teoria della probabilità.

Se ti interessa, o in relazione al tuo lavoro, hai bisogno di sapere molto di più su questo argomento, dovrai studiare la letteratura specializzata. Inizia con un corso universitario analisi matematica e arriva alla sezione della teoria della probabilità. Anche la conoscenza nel campo delle serie sarà utile, perché la distribuzione di probabilità binomiale non è altro che una serie di termini successivi.

Conclusione

Prima di concludere l'articolo, vorremmo dirvi un'altra cosa interessante. Riguarda direttamente l'argomento del nostro articolo e tutta la matematica in generale.

Molte persone dicono che la matematica è una scienza inutile e nulla di ciò che hanno imparato a scuola gli è stato utile. Ma la conoscenza non è mai superflua, e se qualcosa non ti è utile nella vita, significa che semplicemente non lo ricordi. Se hai conoscenza, possono aiutarti, ma se non li hai, non puoi aspettarti aiuto da loro.

Quindi, abbiamo esaminato il concetto di distribuzione binomiale e tutte le definizioni ad esso associate e abbiamo parlato di come viene applicato nelle nostre vite.