Jean Leron d'Alembert è stato un famoso matematico francese del XVIII secolo. In generale, d'Alembert si specializzò in equazioni differenziali e, sulla base delle sue ricerche, lavorò sulla balistica in modo che le palle di cannone di Sua Maestà volassero meglio. Allo stesso tempo, non ho dimenticato la serie di numeri, non per niente i ranghi delle truppe di Napoleone in seguito convergevano e divergevano così chiaramente.

Prima di formulare il segno stesso, consideriamo una domanda importante:
Quando utilizzare il test di convergenza di D'Alembert?

Cominciamo prima con una recensione. Ricordiamo i casi in cui è necessario utilizzare il più popolare limite di confronto. Il criterio limite del confronto si applica quando nel termine generale della serie:
1) Il denominatore contiene un polinomio.
2) I polinomi sono sia al numeratore che al denominatore.
3) Uno o entrambi i polinomi possono essere sotto la radice.

I principali prerequisiti per l'applicazione del test di d'Alembert sono i seguenti:

1) Il termine comune della serie ("ripieno" della serie) include un certo numero in una certa misura, ad esempio , e così via. Inoltre, non importa dove si trova questa cosa, al numeratore o al denominatore: ciò che conta è che sia presente lì.

2) Il termine comune della serie include il fattoriale. Cos'è il fattoriale? Niente di complicato, il fattoriale è solo una rappresentazione condensata del prodotto:





…


…

! Quando si utilizza il test di d'Alembert, dovremo descrivere in dettaglio il fattoriale. Come nel paragrafo precedente, il fattoriale può essere posizionato in alto o in basso nella frazione.

3) Se nel termine generale della serie esiste una “catena di fattori”, ad esempio, . Questo caso è raro, ma! Quando si studia una serie di questo tipo, spesso viene commesso un errore - vedere l'Esempio 6.

Insieme alle potenze e/o ai fattoriali, spesso si trovano polinomi nel riempimento di una serie; questo non cambia la situazione: è necessario utilizzare il segno di D'Alembert.

Inoltre, in un termine comune di una serie possono occorrere contemporaneamente sia un grado che un fattoriale; ci possono essere due fattoriali, due gradi, l'importante è che ci siano almeno qualcosa dai punti considerati - ed è proprio questo il presupposto per l'utilizzo del segno D'Alembert.

Il segno di D'Alembert: Consideriamo serie di numeri positivi. Se esiste un limite al rapporto tra il termine successivo e quello precedente: , allora:
a) Quando riga converge
b) Quando riga diverge
c) Quando il cartello non dà una risposta. Devi usare un altro segno. Molto spesso se ne ottiene uno nel caso in cui si provi ad applicare il test d'Alembert dove è necessario utilizzare il test dei confronti limite.

Chi ha ancora problemi con i limiti o incomprensioni sui limiti, faccia riferimento all'argomento Limiti. Esempi di soluzioni. Senza la comprensione del limite e la capacità di rivelare l’incertezza, purtroppo, non è possibile avanzare ulteriormente. E ora gli esempi tanto attesi.

Esempio 1
Vediamo che nel termine generale della serie abbiamo , e questo è un sicuro prerequisito per utilizzare il test di d'Alembert. Innanzitutto, la soluzione completa e il progetto di esempio, commenti di seguito.

Usiamo il segno di d'Alembert:

converge.

(1) Componiamo il rapporto tra il membro successivo della serie e quello precedente: . Dalla condizione vediamo che il termine generale della serie è . Per ottenere il prossimo membro della serie è necessario invece di sostituire: .
(2) Ci liberiamo della frazione di quattro piani. Se hai esperienza con la soluzione, puoi saltare questo passaggio.
(3) Aprire le parentesi al numeratore. Al denominatore togliamo il quattro dal potere.
(4) Ridurre di . Portiamo la costante oltre il segno del limite. Al numeratore presentiamo termini simili tra parentesi.
(5) L'incertezza viene eliminata nel modo standard, dividendo il numeratore e il denominatore per “en” alla potenza più alta.
(6) Dividiamo i numeratori termine per termine per i denominatori, e indichiamo i termini che tendono a zero.
(7) Semplifichiamo la risposta e notiamo che con la conclusione che, secondo il criterio di D’Alembert, la serie in esame converge.

Nell'esempio considerato, nel termine generale della serie abbiamo incontrato un polinomio di 2° grado. Cosa fare se esiste un polinomio di 3°, 4° o grado superiore? Il fatto è che se viene fornito un polinomio di grado più elevato, sorgeranno difficoltà con l'apertura delle parentesi. In questo caso è possibile utilizzare il metodo di soluzione “turbo”.

Esempio 2 Prendiamo una serie simile ed esaminiamola per verificarne la convergenza
Prima la soluzione completa, poi i commenti:

Usiamo il segno di d'Alembert:

Pertanto, la serie in esame converge.

(1) Creiamo la relazione .
(2) Ci liberiamo della frazione di quattro piani.
(3) Considera l'espressione al numeratore e l'espressione al denominatore. Vediamo che al numeratore dobbiamo aprire le parentesi ed elevarle alla quarta potenza: , cosa che non vogliamo assolutamente fare. Inoltre, per coloro che non hanno familiarità con il binomio di Newton, questo compito potrebbe non essere affatto fattibile. Analizziamo i gradi più alti: se apriamo le parentesi in alto otteniamo il grado più alto. Di seguito abbiamo lo stesso grado senior: . Per analogia con l'esempio precedente, è ovvio che dividendo il numeratore e il denominatore termine per termine, ci ritroviamo con uno nel limite. O, come dicono i matematici, polinomi e... stesso ordine di crescita. Pertanto, è del tutto possibile cerchiare il rapporto con una matita semplice e indicare immediatamente che questa cosa tende a uno. Trattiamo allo stesso modo la seconda coppia di polinomi: e , anche loro stesso ordine di crescita, e il loro rapporto tende all'unità.

In effetti, un simile "hack" avrebbe potuto essere realizzato nell'esempio n. 1, ma per un polinomio di 2° grado una soluzione del genere sembra ancora in qualche modo poco dignitosa. Personalmente faccio così: se esiste un polinomio (o più polinomi) di primo o secondo grado, utilizzo la via “lunga” per risolvere l'Esempio 1. Se mi imbatto in un polinomio di 3° o più gradi elevati, utilizzo il metodo "turbo" simile all'esempio 2.

Esempio 3 .

Diamo un'occhiata ad esempi tipici con fattoriali:

Esempio 4 Esaminare la convergenza della serie

Il termine comune della serie comprende sia il grado che il fattoriale. È chiaro come il sole che qui bisogna usare il segno di d'Alembert. Decidiamo.

Pertanto, la serie in esame diverge.

(1) Creiamo la relazione . Ripetiamo ancora. Per condizione, il membro comune della serie è: . Per ottenere il termine successivo della serie, invece devi sostituire, Così: .
(2) Ci liberiamo della frazione di quattro piani.
(3) Stacca i sette dal grado. Descriviamo i fattoriali in dettaglio. Come farlo: guarda l'inizio della lezione.
(4) Tagliamo tutto ciò che può essere tagliato.
(5) Spostiamo la costante oltre il segno limite. Apri le parentesi al numeratore.
(6) Eliminiamo l'incertezza nel modo standard, dividendo il numeratore e il denominatore per “en” alla massima potenza.

Esempio 5 Esamina la convergenza della serie. La soluzione completa è riportata di seguito.

Esempio 6 Esaminare la convergenza della serie

A volte ci sono serie che contengono una “catena” di fattori nel loro riempimento; non abbiamo ancora considerato questo tipo di serie. Come studiare una serie con una “catena” di fattori? Utilizzare il segno di d'Alembert. Ma prima, per capire cosa sta succedendo, descriviamo la serie nel dettaglio:

Dall'espansione vediamo che ogni membro successivo della serie ha un ulteriore fattore aggiunto al denominatore, quindi, se il membro comune della serie è , allora il membro successivo della serie è:
. È qui che spesso commettono automaticamente un errore, scrivendo formalmente secondo l'algoritmo che

Una soluzione di esempio approssimata potrebbe assomigliare a questa: Usiamo il segno di D'Alembert:
Pertanto, la serie in esame converge.
SEGNO RADICALE CAUCHY

Augustin Louis Cauchy è un matematico francese ancora più famoso. Qualsiasi studente può raccontarti la biografia di Cauchy. specialità tecnica. Nei colori più pittoreschi. Non è un caso che questo nome sia scolpito al primo piano della Torre Eiffel.

Il test di convergenza di Cauchy per le serie di numeri positivi è in qualche modo simile al test di D'Alembert appena discusso.

Segno radicale di Cauchy: Consideriamo serie di numeri positivi. Se c'è un limite: , allora:
a) Quando riga converge. In particolare, la serie converge a .
b) Quando riga diverge. In particolare, la serie diverge in .
c) Quando il cartello non dà una risposta. Devi usare un altro segno. È interessante notare che se il test di Cauchy non ci dà una risposta alla questione della convergenza di una serie, allora neanche il test di D'Alembert ci darà una risposta. Ma se il test di d’Alembert non fornisce una risposta, allora il test di Cauchy potrebbe benissimo “funzionare”. Cioè, il segno di Cauchy è in questo senso un segno più forte.

Quando dovresti usare il segno radicale di Cauchy? Il test radicale di Cauchy viene solitamente utilizzato nei casi in cui il termine comune della serie COMPLETAMENTEè nel grado a seconda di "it". O quando la radice “buono” viene estratta da un membro comune della serie. Ci sono anche casi esotici, ma non ce ne preoccuperemo.

Esempio 7 Esaminare la convergenza della serie

Vediamo che il termine generale della serie è completamente sotto una potenza dipendente da , il che significa che dobbiamo utilizzare il test radicale di Cauchy:

Pertanto, la serie in esame diverge.

(1) Formuliamo il termine comune della serie sotto la radice.
(2) Riscriviamo la stessa cosa, solo senza la radice, usando la proprietà dei gradi.
(3) Nell'indicatore, dividiamo il numeratore per il denominatore termine per termine, indicandolo
(4) Di conseguenza, abbiamo incertezza. Ecco dove potresti andare la lunga strada: cubo, cubo, quindi dividere il numeratore e il denominatore per “en” alla potenza massima. Ma in in questo caso Esiste una soluzione più efficace: puoi dividere il numeratore e il denominatore termine per termine direttamente sotto la potenza costante. Per eliminare l'incertezza, dividi il numeratore e il denominatore per (la potenza più alta).
(5) Effettuiamo effettivamente la divisione termine per termine e indichiamo i termini che tendono a zero.
(6) Ricordiamo la risposta, notiamo ciò che abbiamo e concludiamo che la serie diverge.

Ecco un esempio più semplice per decisione indipendente:

Esempio 8 Esaminare la convergenza della serie

E un altro paio di esempi tipici.

La soluzione completa e il progetto di esempio sono riportati di seguito.

Esempio 9 Esaminare la convergenza della serie
Utilizziamo il test radicale di Cauchy:

Pertanto, la serie in esame converge.

(1) Posiziona il termine comune della serie sotto la radice.
(2) Riscriviamo la stessa cosa, ma senza la radice, aprendo le parentesi utilizzando la formula di moltiplicazione abbreviata: .
(3) Nell'indicatore, dividiamo il numeratore per il denominatore termine per termine e indichiamo che .
(4) Un'incertezza della forma. Qui puoi dividere direttamente il numeratore per il denominatore tra parentesi con “en” al massimo grado. Abbiamo riscontrato qualcosa di simile durante gli studi secondo meraviglioso limite. Ma qui la situazione è diversa. Se i coefficienti a potenze più elevate fossero identico, ad esempio: , allora il trucco della divisione termine per termine non funzionerebbe più, e bisognerebbe utilizzare il secondo limite notevole. Ma abbiamo questi coefficienti diverso(5 e 6), quindi è possibile (e necessario) dividere termine per termine (tra l'altro, al contrario - il secondo limite notevole per diverso i coefficienti a potenze più elevate non funzionano più).
(5) Eseguiamo effettivamente la divisione termine per termine e indichiamo quali termini tendono a zero.
(6) Eliminata l’incertezza, resta il limite più semplice: Perché dentro infinitamente grande tende a zero? Perché la base del grado soddisfa la disuguaglianza. Se qualcuno ha dei dubbi sull'equità del limite, allora non sarò pigro, prenderò una calcolatrice:
Se poi
Se poi
Se poi
Se poi
Se poi
… eccetera. all'infinito, cioè nel limite:
(7) Indichiamo che concludiamo che la serie converge.

Esempio 10 Esaminare la convergenza della serie

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo.

A volte viene offerto un esempio provocatorio per una soluzione, ad esempio:. Qui in esponente niente "it", solo una costante. Qui devi elevare al quadrato il numeratore e il denominatore (otterrai i polinomi), quindi seguire l'algoritmo dell'articolo Righe per manichini. In un esempio del genere, dovrebbero funzionare sia il test necessario per la convergenza delle serie, sia il test limite per il confronto.
SEGNO CAUCHY INTEGRALE

Deluderò chi non ha capito bene il materiale del primo corso. Per applicare il test integrale di Cauchy, devi essere più o meno sicuro nel trovare derivate, integrali e avere anche abilità di calcolo integrale improprio primo tipo. Nei libri di testo su analisi matematica Il test integrale di Cauchy è matematicamente rigoroso; formuliamo il test in un modo molto primitivo, ma comprensibile. E subito esempi di chiarimento.

Test di Cauchy integrale: Consideriamo serie di numeri positivi. Questa serie converge o diverge?

Esempio 11 Esaminare la convergenza della serie

Quasi un classico. Logaritmo naturale e qualche stronzata.

Il prerequisito principale per l'utilizzo del test integrale di Cauchy èè il fatto che nel termine generale della serie c'è una certa funzione e la sua derivata. Dall'argomento Derivato probabilmente ricordi la cosa più semplice della tabella: , e abbiamo proprio un caso canonico.

Come utilizzare l'attributo integrale? Per prima cosa prendiamo l'icona integrale e riscriviamo i limiti superiore e inferiore dal “contatore” della serie: . Quindi, sotto l'integrale, riscriviamo il “riempimento” della serie con la lettera “egli”: . Manca qualcosa..., oh, sì, devi anche mettere un'icona differenziale al numeratore: .

Ora dobbiamo calcolare integrale improprio. In questo caso sono possibili due casi:

1) Se risulta che l'integrale converge, allora convergerà anche la nostra serie.

2) Se risulta che l'integrale diverge, anche la nostra serie divergerà.

Ripeto, se il materiale viene trascurato, la lettura del paragrafo risulterà difficile e poco chiara, poiché l'utilizzo di una funzione si riduce essenzialmente al calcolo integrale improprio primo tipo.

La soluzione completa e il formato di esempio dovrebbero assomigliare a questo:

Usiamo il segno integrale:

Pertanto, la serie in esame diverge insieme al corrispondente integrale improprio.

Esempio 12 Esaminare la convergenza della serie

Soluzione e progetto di esempio alla fine della lezione

Negli esempi considerati il ​​logaritmo potrebbe trovarsi anche sotto la radice; ciò non cambierebbe il metodo di soluzione.

E altri due esempi per cominciare

Esempio 13 Esaminare la convergenza della serie

Secondo i “parametri” generali, il termine generale della serie sembra idoneo a utilizzare il criterio limitativo del confronto. Devi solo aprire le parentesi e sottoporlo immediatamente al candidato per un confronto completo questa serie con una serie convergente. Tuttavia ho imbrogliato un po', forse le parentesi non vengono aperte, ma la soluzione attraverso il criterio di confronto limitativo sembrerà comunque piuttosto pretenziosa.

Utilizziamo quindi il test di Cauchy integrale:

La funzione integranda è continua

converge insieme al corrispondente integrale improprio.

! Nota:il numero risultante ènon è somma della serie!!!

Esempio 14 Esaminare la convergenza della serie

La soluzione e il progetto di esempio si trovano alla fine della sezione che giunge al termine.

Per padroneggiare completamente e irrevocabilmente l'argomento delle serie numeriche, visita gli argomenti.

Soluzioni e risposte:

Esempio 3:Usiamo il segno di d'Alembert:

Pertanto, la serie in esame diverge.
Nota: Era possibile utilizzare anche il metodo di soluzione “turbo”: cerchiare subito con una matita il rapporto, indicare che tende all’unità e annotare: “dello stesso ordine di crescita”.

Esempio 5: Usiamo il segno di d'Alembert: Quindi, la serie in esame converge.

Esempio 8:

Pertanto, la serie in esame converge.

Esempio 10:
Utilizziamo il test radicale di Cauchy.

Pertanto, la serie in esame diverge.
Nota: qui la base è il grado, quindi

Esempio 12: Usiamo un segno di integrale.


Si ottiene un numero finito, che indica la serie in esame converge

Esempio 14: Usiamo il segno integrale
L'integrando è continuo su .

Pertanto, la serie in esame diverge insieme al corrispondente integrale improprio.
Nota: una serie può essere esaminata anche utilizzandocriterio limitante per il confronto . Per fare ciò è necessario aprire le parentesi sotto la radice e confrontare la serie in esame con la serie divergente.

Righe alternate. Il segno di Leibniz. Esempi di soluzioni

Per comprendere gli esempi di questa lezione è necessario avere una buona conoscenza delle serie di numeri positivi: capire cos'è una serie, conoscere il segno necessario per la convergenza di una serie, saper applicare i test di confronto, il test di d'Alembert , Test di Cauchy. L'argomento può essere sollevato quasi da zero studiando costantemente gli articoli Righe per manichini E Il segno di D'Alembert. I segni di Cauchy. Logicamente, questa lezione è la terza di seguito, e vi permetterà non solo di comprendere l'alternanza delle righe, ma anche di consolidare il materiale già trattato! Ci saranno poche novità e padroneggiare le file alternate non sarà difficile. Tutto è semplice e accessibile.

Cos'è una serie alternata? Questo è chiaro o quasi dal nome stesso. Solo un semplice esempio. Diamo un'occhiata alla serie e descriviamola più in dettaglio:

E ora ci sarà un commento killer. I membri di una serie alternata hanno segni alternati: più, meno, più, meno, più, meno, ecc. all'infinito.
L'allineamento fornisce un moltiplicatore: se pari ci sarà un segno più, se dispari ci sarà un segno meno. In gergo matematico, questa cosa si chiama “lampeggiatore”. Pertanto, una serie alternata è “identificata” da meno uno al grado “en”.

Negli esempi pratici, l'alternanza dei termini della serie può essere fornita non solo dal moltiplicatore, ma anche dai suoi fratelli: , , , …. Per esempio:

La trappola sono gli “inganni”: , , ecc. - tali moltiplicatori non prevedere il cambio di segno. È assolutamente chiaro che per qualsiasi naturale: , , . I litigi con gli inganni non vengono trasmessi solo agli studenti particolarmente dotati, ma sorgono di tanto in tanto "da soli" durante la soluzione serie funzionali.

Come esaminare una serie alternata per la convergenza? Utilizza il test di Leibniz. Non voglio dire nulla del gigante tedesco del pensiero Gottfried Wilhelm Leibniz, poiché oltre alle sue opere matematiche ha scritto diversi volumi di filosofia. Pericoloso per il cervello.

Il test di Leibniz: Se i membri di una serie alternata monotono diminuzione del modulo, la serie converge. Oppure in due punti:

2) I termini della serie diminuiscono in valore assoluto: . Inoltre, diminuiscono in modo monotono.

Se completato Entrambi condizioni, allora la serie converge.

Brevi informazioni sul modulo sono fornite nel manualeFormule calde corso scolastico matematici , ma per comodità ancora una volta:

Cosa significa “modulo”? Il modulo, come ricordiamo da scuola, “mangia” il segno meno. Torniamo alla riga. Cancella mentalmente tutti i segni con una gomma e diamo un'occhiata ai numeri. Lo vedremo ogni successivo membro della serie meno rispetto al precedente. Pertanto, le seguenti frasi significano la stessa cosa:

– Membri della serie indipendentemente dal segno stanno diminuendo.
– I membri della serie diminuiscono modulo.
– I membri della serie diminuiscono in valore assoluto.
– Modulo il termine comune della serie tende a zero: Fine degli aiuti

Ora parliamo un po' della monotonia. La monotonia è coerenza noiosa.

Membri della serie rigorosamente monotono diminuzione del modulo se OGNI PROSSIMO membro della serie modulo MENO del precedente: . La serie ha una rigorosa monotonicità di diminuzione; può essere descritta in dettaglio:

Oppure possiamo dire brevemente: ogni membro successivo della serie modulo meno del precedente: .

Membri della serie non strettamente monotono diminuzione di modulo se OGNI SEGUENTE membro della serie modulo NON È MAGGIORE del precedente: . Consideriamo una serie con un fattoriale: qui c'è una leggera monotonicità, poiché i primi due termini della serie sono identici in modulo. Cioè, ogni membro successivo della serie modulo non più del precedente: .

Nelle condizioni del teorema di Leibniz, deve essere soddisfatta la monotonicità decrescente (non importa se è stretta o non stretta). In questo caso, i membri della serie possono anche aumentare il modulo per qualche tempo, ma la “coda” della serie deve necessariamente essere monotonicamente decrescente. Non c’è bisogno di aver paura di ciò che ho accumulato; gli esempi pratici metteranno tutto al suo posto:

Esempio 1 Esaminare la convergenza della serie

Il termine comune della serie include un fattore, il che significa che è necessario utilizzare il criterio di Leibniz

1) Controllo dell'alternanza della riga. Di solito a questo punto della decisione la serie viene descritta in dettaglio e viene pronunciato il verdetto “La serie è alternata”.

2) I termini della serie diminuiscono in valore assoluto? È necessario risolvere il limite, il che il più delle volte è molto semplice.

– i termini della serie non diminuiscono di modulo. A proposito, non è più necessario discutere della monotonia della diminuzione. Conclusione: la serie diverge.

Come capire cosa è uguale? Molto semplice. Come sai, il modulo distrugge i contro, quindi per crearne uno devi solo rimuovere la luce lampeggiante dal tetto. In questo caso il termine comune della serie è . Togliamo stupidamente la “luce lampeggiante”: .

Esempio 2 Esaminare la convergenza della serie

Utilizziamo il criterio di Leibniz:

1) La serie è alternata.

2) – i termini della serie diminuiscono in valore assoluto. Ogni membro successivo della serie è inferiore in valore assoluto al precedente: quindi la diminuzione è monotona.

Conclusione: la serie converge.

Sarebbe tutto molto semplice, ma la soluzione non finisce qui!

Se una serie converge secondo il test di Leibniz allora si dice anche che la serie converge condizionatamente.

Se converge anche una serie composta da moduli, allora si dice che la serie converge assolutamente.

Pertanto, la seconda fase della risoluzione di un problema tipico è all'ordine del giorno: studiare il segno della serie alternata per la convergenza assoluta.

Non è colpa mia, è solo la teoria delle serie numeriche =)

Esaminiamo la nostra serie per la convergenza assoluta.
Componiamo una serie di moduli - ancora una volta rimuoviamo semplicemente il fattore che garantisce l'alternanza dei segni: - diverge (serie armonica).

Così la nostra serie non è assolutamente convergente.
Serie in studio converge solo condizionatamente.

Si noti che nell'Esempio n. 1 non è necessario studiare la convergenza non assoluta, poiché nella prima fase si è concluso che la serie diverge.

Raccogliamo secchi, pale, macchinine e usciamo dalla sabbiera per guardare il mondo ad occhi spalancati dalla cabina del mio escavatore:

Esempio 3 Esaminiamo la convergenza della serie utilizzando il criterio di Leibniz:

1)
Questa serie è alternata.

2) – i termini della serie diminuiscono in valore assoluto. Ogni membro successivo della serie è inferiore in valore assoluto al precedente: ciò significa che la diminuzione è monotona. Conclusione: la serie converge.

Analizzando il riempimento della serie, arriviamo alla conclusione che qui è necessario utilizzare il criterio limitativo per il confronto. È più conveniente aprire le parentesi al denominatore:

Confrontiamo questa serie con una serie convergente. Utilizziamo il criterio limite per il confronto.

Si ottiene un numero finito diverso da zero, il che significa che la serie converge con la serie . Serie in studio converge assolutamente.

Esempio 4 Esaminare la convergenza della serie

Esempio 5 Esaminare la convergenza della serie

Questi sono esempi che puoi decidere da solo. Soluzione completa e progetto di esempio alla fine della sezione.

Come puoi vedere, le righe alternate sono semplici e noiose! Ma non abbiate fretta di chiudere la pagina, in un paio di schermate vedremo un caso che lascia perplessi molti. Nel frattempo, ancora un paio di esempi per esercitarsi e ripetere.

Esempio 6 Esaminare la convergenza della serie

Utilizziamo il criterio di Leibniz.
1) La serie è alternata.
2)
I termini della serie diminuiscono di modulo. Ogni membro successivo della serie è inferiore in valore assoluto rispetto al precedente, il che significa che la diminuzione è monotona. Conclusione: la serie converge.

Tieni presente che non ho descritto i membri della serie in dettaglio. È sempre opportuno descriverli, ma per irresistibile pigrizia nei casi “difficili” ci si può limitare alla frase “La serie è alternata nel segno”. A proposito, non è necessario trattare questo punto formalmente, controlliamo sempre(almeno mentalmente) che la serie effettivamente si alterna. Una rapida occhiata fallisce e viene commesso automaticamente un errore. Ricorda gli "inganni", se esistono, allora devi sbarazzartene, ottenendo una serie "regolare" con termini positivi.

La seconda sottigliezza riguarda la frase sulla monotonia, che anch'io ho accorciato il più possibile. Puoi farlo e quasi sempre il tuo compito sarà accettato. Dirò qualcosa di completamente brutto: personalmente, spesso taccio sulla monotonia e un numero del genere passa. Ma preparati a descrivere tutto in dettaglio, fino alle catene dettagliate di disuguaglianze (vedi esempio all'inizio della lezione). Inoltre, a volte la monotonia non è rigorosa, e anche questo necessita di essere monitorato per sostituire la parola “meno” con la parola “non più”.

Esaminiamo la serie per convergenza assoluta:

Ovviamente è necessario utilizzare il test radicale di Cauchy:

Quindi la serie converge. Serie in studio converge assolutamente.

Esempio 7 Esaminare la convergenza della serie

Questo è un esempio di soluzione indipendente, spesso ci sono file alternate che causano difficoltà.

Esempio 8 Esaminare la convergenza della serie

Utilizziamo il criterio di Leibniz:
1) La serie è alternata.

Il punto è che non esistono tecniche standard e quotidiane per risolvere tali limiti. Dove va a finire questo limite? A zero, all'infinito? Ciò che è importante qui è COSA cresce più velocemente all'infinito– numeratore o denominatore.

NOTA: il concetto di ordine di crescita di una funzione è trattato in dettaglio nell'articoloMetodi per risolvere i limiti . Abbiamo limiti di sequenza, ma questo non cambia l'essenza.

Se il numeratore cresce più velocemente del fattoriale, allora . Se all'infinito il fattoriale cresce più velocemente del numeratore, allora, al contrario, “tirerà” il limite a zero: . O forse questo limite è uguale a un numero diverso da zero?

Proviamo a scrivere i primi termini della serie:
puoi sostituire qualche polinomio del millesimo grado, anche questo non cambierà la situazione: prima o poi il fattoriale “supererà” comunque un polinomio così terribile. Fattoriale Di più ordine elevato crescita di qualsiasi sequenza di potere.

– Il fattoriale cresce più velocemente di prodotto di qualsiasi quantità successioni esponenziali e di potenze (il nostro caso).

– Qualunque una sequenza esponenziale cresce più velocemente di qualsiasi sequenza di potenze, ad esempio: , . Sequenza esponenziale ordine di crescita superiore di qualsiasi sequenza di potere. Similmente al fattoriale, la sequenza esponenziale “trascina” il prodotto di un numero qualsiasi di sequenze di potenze o polinomi: .

– Esiste qualcosa di “più interessante” del fattoriale? Mangiare! Una sequenza esponenziale di potenza (“en” alla potenza “en”) cresce più velocemente del fattoriale. In pratica è raro, ma l'informazione non sarà superflua. Fine degli aiuti

Pertanto, il secondo punto dello studio (te lo ricordate ancora? =)) può essere scritto così:
2), poiché l'ordine di crescita è superiore a .
I termini della serie diminuiscono di modulo, a partire da un certo numero, in questo caso, ogni membro successivo della serie è inferiore in valore assoluto al precedente, quindi la diminuzione è monotona.

Conclusione: la serie converge.

Ecco esattamente il caso curioso in cui i termini della serie aumentano per la prima volta in valore assoluto, motivo per cui inizialmente avevamo un'opinione errata sul limite. Ma, a partire da un numero "en", il fattoriale viene superato dal numeratore e la “coda” della serie diventa monotonicamente decrescente, il che è di fondamentale importanza per soddisfare le condizioni del teorema di Leibniz. Che cosa significhi esattamente questa “en” è abbastanza difficile da scoprire.

Secondo il teorema corrispondente, dalla convergenza assoluta della serie segue la convergenza condizionata della serie. Conclusione: Serie di studi converge assolutamente.

E infine, un paio di esempi che potrai decidere tu stesso. Uno dalla stessa opera (rileggi l'aiuto), ma più semplice. Un'altra per i buongustai è consolidare il segno integrale della convergenza.

Esempio 9 Esaminare la convergenza della serie

Esempio 10 Esaminare la convergenza della serie

Dopo uno studio di alta qualità delle serie numeriche positive e alternate, con la coscienza pulita puoi passare a serie funzionali, che non sono meno monotoni e monotoni sono interessanti.

Soluzioni e risposte:

Esempio 4: Utilizziamo il criterio di Leibniz:

1) Questa serie è alternata.
2)
I termini della serie non diminuiscono di modulo. Conclusione: la serie diverge.. , in questo caso, ogni membro successivo della serie è inferiore in valore assoluto al precedente, quindi la diminuzione è monotona.

Pertanto la serie diverge insieme al corrispondente integrale improprio. Serie in studio converge solo condizionatamente.

Questo articolo raccoglie e struttura le informazioni necessarie per risolvere quasi tutti gli esempi sul tema delle serie numeriche, dalla ricerca della somma di una serie all'esame della sua convergenza.

Revisione dell'articolo.

Cominciamo con le definizioni di serie positiva e alternata e il concetto di convergenza. Successivamente, considereremo le serie standard, come la serie armonica, la serie armonica generalizzata, e ricorderemo la formula per trovare la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente. Successivamente passeremo alle proprietà delle serie convergenti, ci soffermeremo sulle condizioni necessarie per la convergenza delle serie e stabiliremo criteri sufficienti per la convergenza delle serie. Diluiremo la teoria con soluzioni ad esempi tipici con spiegazioni dettagliate.

Navigazione della pagina.

Definizioni e concetti di base.

Prendiamo una sequenza numerica dove .

Ecco un esempio di sequenza numerica: .

Serie di numeriè la somma dei termini di una sequenza numerica della forma .

Come esempio serie di numeri puoi dare la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente con denominatore q = -0,5: .

Chiamato membro comune della serie numerica o il kesimo membro della serie.

Nell'esempio precedente, il termine generale della serie numerica ha la forma .

Somma parziale di una serie di numeriè una somma della forma , dove n è qualche numero naturale. detta anche ennesima somma parziale di una serie di numeri.

Ad esempio, la quarta somma parziale della serie C'è .

Importi parziali formano una sequenza infinita importi parziali serie di numeri.

Per la nostra serie, l'ennesima somma parziale si trova utilizzando la formula per la somma dei primi n termini di una progressione geometrica , ovvero avremo la seguente sequenza di somme parziali: .

Viene chiamata la serie di numeri convergente, se esiste un limite finito alla sequenza delle somme parziali. Se il limite della sequenza delle somme parziali di una serie numerica non esiste o è infinito, allora la serie viene chiamata divergente.

La somma di una serie di numeri convergentiè chiamato limite della successione delle sue somme parziali, cioè .

Nel nostro esempio, quindi, la serie converge e la sua somma è pari a sedici terzi: .

Un esempio di serie divergente è la somma di una progressione geometrica con denominatore maggiore di uno: . L'ennesima somma parziale è determinata dall'espressione , e il limite delle somme parziali è infinito: .

Un altro esempio di serie di numeri divergenti è una somma della forma . In questo caso, l'ennesima somma parziale può essere calcolata come . Il limite delle somme parziali è infinito .

Somma del modulo chiamato serie di numeri armonici.

Somma del modulo , dove s è un numero reale, viene chiamato generalizzato per serie di numeri armonici.

Le definizioni sopra riportate sono sufficienti a giustificare le seguenti affermazioni di uso molto frequente; ti consigliamo di ricordarle.

LA SERIE ARMONICA È DIVERGENTE.

Dimostriamo la divergenza della serie armonica.

Supponiamo che la serie converga. Allora esiste un limite finito alle sue somme parziali. In questo caso possiamo scrivere e , il che ci porta all'uguaglianza .

Dall'altro lato,


Le seguenti disuguaglianze sono fuori dubbio. Così, . La disuguaglianza risultante ci indica che l'uguaglianza non può essere raggiunto, il che contraddice la nostra ipotesi sulla convergenza della serie armonica.

Conclusione: la serie armonica diverge.

LA SOMMA DELLA PROGRESSIONE GEOMETRICA DEL GENERE CON DENOMINATORE q È UNA SERIE NUMERICA CONVERGENTE SE , ED UNA SERIE DIVERGENTE PER .

Dimostriamolo.

Sappiamo che la somma dei primi n termini di una progressione geometrica si trova dalla formula .

Quando è giusto


che indica la convergenza delle serie numeriche.

Per q = 1 abbiamo la serie numerica . Le sue somme parziali si trovano come , e il limite delle somme parziali è infinito , che indica la divergenza della serie in questo caso.

Se q = -1, la serie numerica assumerà la forma . Le somme parziali valgono per n dispari e per n pari. Da ciò possiamo concludere che non esiste limite alle somme parziali e che la serie diverge.

Quando è giusto


che indica la divergenza della serie numerica.

IN GENERALE LA SERIE ARMONICA CONVERGE IN s > 1 E DIVERGE IN .

Prova.

Per s = 1 otteniamo una serie armonica, e sopra ne stabiliamo la divergenza.

A s la disuguaglianza vale per tutti i k naturali. A causa della divergenza della serie armonica, si può sostenere che la sequenza delle sue somme parziali è illimitata (poiché non esiste un limite finito). Allora la successione delle somme parziali di una serie numerica è tanto più illimitata (ogni membro di questa serie è maggiore del corrispondente membro della serie armonica); pertanto, la serie armonica generalizzata diverge come s.

Resta da dimostrare la convergenza della serie per s > 1.

Scriviamo la differenza:



Ovviamente, quindi


Scriviamo la disuguaglianza risultante per n = 2, 4, 8, 16, ...



Utilizzando questi risultati, puoi eseguire le seguenti operazioni con la serie numerica originale:



Espressione è la somma di una progressione geometrica il cui denominatore è . Poiché stiamo considerando il caso s > 1, allora. Ecco perché
. Pertanto, la successione delle somme parziali di una serie armonica generalizzata per s > 1 è crescente e allo stesso tempo limitata dall'alto dal valore , quindi ha un limite, che indica la convergenza della serie. La dimostrazione è completa.

Viene chiamata la serie di numeri segno positivo, se tutti i suoi termini sono positivi, cioè .

Viene chiamata la serie di numeri segnale alternato, se i segni dei suoi membri vicini sono diversi. Una serie di numeri alternati può essere scritta come O , Dove .

Viene chiamata la serie di numeri segno alternato, se contiene un numero infinito di termini sia positivi che negativi.

Una serie di numeri alternati è un caso speciale di serie di numeri alternati.

Righe

sono rispettivamente positivi, alternati e alternati.

Per una serie alternata esiste il concetto di convergenza assoluta e condizionata.

assolutamente convergente, se una serie di valori assoluti dei suoi membri converge, cioè converge una serie di numeri positivi.

Ad esempio, serie di numeri E convergono assolutamente, poiché la serie converge , che è la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente.

Viene chiamata una serie alternata condizionatamente convergente, se la serie diverge e la serie converge.

Un esempio di serie di numeri condizionatamente convergenti è la serie . Serie di numeri , composta dai valori assoluti dei termini della serie originaria, divergente, poiché armonica. Allo stesso tempo, la serie originale è convergente, cosa che può essere facilmente stabilita utilizzando . Pertanto, il segno numerico è una serie alternata condizionatamente convergente.

Proprietà delle serie di numeri convergenti.

Esempio.

Dimostrare la convergenza delle serie di numeri.

Soluzione.

Scriviamo la serie in una forma diversa . La serie di numeri converge, poiché la serie armonica generalizzata è convergente per s > 1 e, a causa della seconda proprietà delle serie di numeri convergenti, convergerà anche la serie con il coefficiente numerico.

Esempio.

La serie numerica converge?

Soluzione.

Trasformiamo la serie originale: . Pertanto, abbiamo ottenuto la somma di due serie di numeri e , e ciascuna di esse converge (vedi l'esempio precedente). Di conseguenza, in virtù della terza proprietà delle serie di numeri convergenti, anche la serie originaria converge.

Esempio.

Dimostrare la convergenza di una serie di numeri e calcolarne l'importo.

Soluzione.

Questa serie numerica può essere rappresentata come la differenza tra due serie:

Ognuna di queste serie rappresenta la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente ed è quindi convergente. La terza proprietà delle serie convergenti ci permette di affermare che la serie numerica originaria converge. Calcoliamo il suo importo.

Il primo termine della serie è uno, e il denominatore della corrispondente progressione geometrica è pari a 0,5, quindi, .

Il primo termine della serie è 3, e il denominatore della corrispondente progressione geometrica infinitamente decrescente è 1/3, quindi .

Usiamo i risultati ottenuti per trovare la somma della serie numerica originale:

Condizione necessaria per la convergenza di una serie.

Se una serie numerica converge, allora il limite del suo k-esimo termine è uguale a zero: .

Quando si esamina una serie di numeri per la convergenza, la prima cosa da verificare è il rispetto della necessaria condizione di convergenza. Il mancato rispetto di questa condizione indica la divergenza della serie numerica, cioè se , allora la serie diverge.

D'altra parte, devi capire che questa condizione non è sufficiente. Cioè, il raggiungimento dell'uguaglianza non indica la convergenza delle serie numeriche. Ad esempio, per una serie armonica la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta e la serie diverge.

Esempio.

Esaminare una serie di numeri per verificarne la convergenza.

Soluzione.

Controlliamo la condizione necessaria per la convergenza di una serie di numeri:

Limite L'n-esimo termine della serie numerica non è uguale a zero, quindi la serie diverge.

Segni sufficienti di convergenza di una serie positiva.

Quando si utilizzano funzionalità sufficienti per studiare le serie numeriche per la convergenza, si incontrano costantemente problemi, quindi si consiglia di rivolgersi a questa sezione in caso di difficoltà.

Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di una serie di numeri positivi.

Per la convergenza di una serie di numeri positivi è necessario e sufficiente che la successione delle sue somme parziali sia limitata.

Cominciamo con i segni del confronto delle serie. La loro essenza sta nel confrontare la serie numerica studiata con una serie di cui si conosce la convergenza o la divergenza.

Il primo, il secondo e il terzo segno di confronto.

Il primo segno di confronto di serie.

Siano e due serie di numeri positivi e la disuguaglianza vale per tutti k = 1, 2, 3, ... Allora la convergenza della serie implica la convergenza, e la divergenza della serie implica la divergenza di .

Il primo criterio di confronto viene utilizzato molto spesso ed è uno strumento molto potente per studiare le serie numeriche per la convergenza. Il problema principale è selezionare una serie adatta per il confronto. Una serie di confronto viene solitamente (ma non sempre) scelta in modo che l'esponente del suo termine k-esimo sia uguale alla differenza tra gli esponenti del numeratore e del denominatore del termine k-esimo della serie numerica studiata. Ad esempio, lasciamo che la differenza tra gli esponenti del numeratore e del denominatore sia uguale a 2 – 3 = -1, quindi, per confronto, selezioniamo una serie con il termine k-esimo, cioè una serie armonica. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio.

Stabilire la convergenza o la divergenza di una serie.

Soluzione.

Poiché il limite del termine generale della serie è uguale a zero, allora è soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza della serie.

È facile vedere che la disuguaglianza è vera per tutti i k naturali. Sappiamo che la serie armonica è divergente; quindi, per il primo criterio di comparazione, anche la serie originaria è divergente.

Esempio.

Esaminare la convergenza delle serie numeriche.

Soluzione.

Prerequisito la convergenza della serie di numeri è soddisfatta, poiché . La disuguaglianza è evidente per qualsiasi valore naturale di k. La serie converge, poiché la serie armonica generalizzata è convergente per s > 1. Pertanto, il primo segno di confronto tra serie ci consente di affermare la convergenza della serie numerica originaria.

Esempio.

Determinare la convergenza o la divergenza di una serie di numeri.

Soluzione.

, quindi, la condizione necessaria per la convergenza delle serie numeriche è soddisfatta. Quale riga dovrei scegliere per il confronto? Una serie numerica si suggerisce da sola e per decidere su s esaminiamo attentamente la sequenza numerica. I termini di una sequenza numerica aumentano verso l'infinito. Quindi, a partire da un numero N (cioè da N = 1619), i termini di questa sequenza saranno maggiori di 2. A partire da questo numero N la disuguaglianza è vera. Una serie numerica converge per la prima proprietà delle serie convergenti, poiché si ottiene da una serie convergente scartando i primi N – 1 termini. Pertanto, per il primo criterio di confronto, la serie è convergente e, in virtù della prima proprietà delle serie di numeri convergenti, anche la serie convergerà.

Il secondo segno di paragone.

Sia e una serie di numeri positiva. Se , allora la convergenza della serie implica la convergenza di . Se , allora la divergenza della serie numerica implica la divergenza di .

Conseguenza.

Se e , allora la convergenza di una serie implica la convergenza dell'altra, e la divergenza implica divergenza.

Esaminiamo la convergenza delle serie utilizzando il secondo criterio di confronto. Come serie prendiamo una serie convergente. Troviamo il limite del rapporto tra i kesimi termini della serie di numeri:

Quindi, secondo il secondo criterio di comparazione, dalla convergenza di una serie di numeri segue la convergenza della serie originaria.

Esempio.

Esaminare la convergenza di una serie di numeri.

Soluzione.

Verifichiamo la condizione necessaria per la convergenza della serie . La condizione è soddisfatta. Per applicare il secondo criterio di confronto, prendiamo la serie armonica. Troviamo il limite del rapporto dei termini kesimi:

Di conseguenza dalla divergenza della serie armonica segue la divergenza della serie originaria secondo il secondo criterio di confronto.

A titolo informativo, presentiamo il terzo criterio per il confronto delle serie.

Il terzo segno di paragone.

Sia e una serie di numeri positiva. Se la condizione è soddisfatta da un numero N, allora la convergenza della serie implica convergenza e la divergenza della serie implica divergenza.

Il segno di D'Alembert.

Commento.

Il test di D'Alembert è valido se il limite è infinito, cioè se , allora la serie converge se , allora la serie diverge.

Se , allora il test di d'Alembert non fornisce informazioni sulla convergenza o divergenza delle serie e sono necessarie ulteriori ricerche.

Esempio.

Esaminare una serie di numeri per verificarne la convergenza utilizzando il criterio di d'Alembert.

Soluzione.

Verifichiamo l'adempimento della condizione necessaria per la convergenza di una serie di numeri; calcoliamo il limite utilizzando:

La condizione è soddisfatta.

Usiamo il segno di d'Alembert:

Quindi la serie converge.

Segno di Cauchy radicale.

Sia una serie di numeri positivi. Se , allora la serie di numeri converge, se , allora la serie diverge.

Commento.

Il test radicale di Cauchy è valido se il limite è infinito, cioè se , allora la serie converge se , allora la serie diverge.

Se , allora il test radicale di Cauchy non fornisce informazioni sulla convergenza o divergenza delle serie e sono necessarie ulteriori ricerche.

Di solito è abbastanza facile individuare i casi in cui è meglio utilizzare il test radicale di Cauchy. Un caso tipico è quando il termine generale di una serie di numeri è un'espressione di potenza esponenziale. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempio.

Esaminare una serie di numeri positivi per verificare la convergenza utilizzando il test radicale di Cauchy.

Soluzione.

. Usando il test radicale di Cauchy otteniamo .

Pertanto la serie converge.

Esempio.

La serie numerica converge? .

Soluzione.

Utilizziamo il test radicale di Cauchy , quindi, la serie di numeri converge.

Test di Cauchy integrale.

Sia una serie di numeri positivi. Creiamo una funzione con argomento continuo y = f(x) simile alla funzione. Sia la funzione y = f(x) positiva, continua e decrescente sull'intervallo , dove ). Poi in caso di convergenza integrale improprio la serie numerica studiata converge. Se l’integrale improprio diverge allora diverge anche la serie originaria.

Quando controlli la diminuzione della funzione y = f(x) su un intervallo, la teoria della sezione potrebbe esserti utile.

Esempio.

Esaminare una serie numerica con termini positivi di convergenza.

Soluzione.

La condizione necessaria per la convergenza della serie è soddisfatta, poiché . Consideriamo la funzione. È positivo, continuo e decrescente nell'intervallo. La continuità e la positività di questa funzione sono fuori dubbio, ma soffermiamoci un po' più nel dettaglio sulla diminuzione. Troviamo la derivata:
. È negativo sull'intervallo, pertanto la funzione diminuisce su questo intervallo.

Segni di convergenza delle serie.
Il segno di D'Alembert. I segni di Cauchy

Il lavoro, il lavoro e la comprensione verranno dopo
J.L. d'Alembert

Congratulazioni a tutti per l'inizio anno scolastico! Oggi è il 1 settembre e, in onore delle festività, ho deciso di presentare ai lettori ciò che aspettavate con ansia e desideroso di sapere da molto tempo: segni di convergenza delle serie numeriche positive. Le vacanze del Primo Settembre e i miei complimenti sono sempre attuali, va bene se fuori è davvero estate, ora stai rifacendo l'esame per la terza volta, studia se hai visitato questa pagina!

Per coloro che hanno appena iniziato a studiare le serie, consiglio di leggere prima l'articolo Serie di numeri per i manichini. In realtà, questo carro è una continuazione del banchetto. Quindi, oggi nella lezione esamineremo esempi e soluzioni sugli argomenti:

Uno dei segni di confronto comuni che si ritrova negli esempi pratici è il segno D'Alembert. I segni di Cauchy sono meno comuni, ma anche molto popolari. Come sempre, cercherò di presentare il materiale in modo semplice, accessibile e comprensibile. L'argomento non è dei più difficili e tutti i compiti sono in una certa misura standard.

Test di convergenza di D'Alembert

Jean Leron d'Alembert è stato un famoso matematico francese del XVIII secolo. In generale, d’Alembert si specializzò in equazioni differenziali e, sulla base delle sue ricerche, studiò la balistica affinché le palle di cannone di Sua Maestà volassero meglio. Allo stesso tempo, non ho dimenticato la serie di numeri, non per niente i ranghi delle truppe di Napoleone in seguito convergevano e divergevano così chiaramente.

Prima di formulare il segno stesso, consideriamo una domanda importante:
Quando utilizzare il test di convergenza di D'Alembert?

Cominciamo prima con una recensione. Ricordiamo i casi in cui è necessario utilizzare il più popolare limite di confronto. Il criterio limite del confronto si applica quando nel termine generale della serie:

1) Il denominatore contiene un polinomio.
2) I polinomi sono sia al numeratore che al denominatore.
3) Uno o entrambi i polinomi possono essere sotto la radice.
4) Naturalmente possono esserci più polinomi e radici.

I principali prerequisiti per l'applicazione del test di d'Alembert sono i seguenti:

1) Il termine comune della serie ("riempimento" della serie) include un certo numero in una certa misura, ad esempio , , e così via. Inoltre, non importa dove si trova questa cosa, al numeratore o al denominatore: ciò che conta è che sia presente lì.

2) Il termine comune della serie include il fattoriale. Abbiamo incrociato le spade con i fattoriali nella lezione Sequenza numerica e il suo limite. Tuttavia, non farà male stendere nuovamente la tovaglia autoassemblata:





…


…

! Quando si utilizza il test di d'Alembert, dovremo descrivere in dettaglio il fattoriale. Come nel paragrafo precedente, il fattoriale può essere posizionato in alto o in basso nella frazione.

3) Se nel termine generale della serie esiste una “catena di fattori”, ad esempio, . Questo caso è raro, ma! Quando si studia una serie di questo tipo, spesso viene commesso un errore - vedere l'Esempio 6.

Insieme alle potenze e/o ai fattoriali, spesso si trovano polinomi nel riempimento di una serie; questo non cambia la situazione: è necessario utilizzare il segno di D'Alembert.

Inoltre, in un termine comune di una serie possono occorrere contemporaneamente sia un grado che un fattoriale; ci possono essere due fattoriali, due gradi, l'importante è che ci siano almeno qualcosa dai punti considerati - ed è proprio questo il presupposto per l'utilizzo del segno D'Alembert.

Il segno di D'Alembert: Consideriamo serie di numeri positivi. Se esiste un limite al rapporto tra il termine successivo e quello precedente: , allora:
a) Quando riga converge
b) Quando riga diverge
c) Quando il cartello non dà una risposta. Devi usare un altro segno. Molto spesso se ne ottiene uno nel caso in cui si provi ad applicare il test di D'Alembert dove è necessario utilizzare il test dei confronti limite.

Per coloro che hanno ancora problemi con i limiti o incomprensioni sui limiti, fare riferimento alla lezione Limiti. Esempi di soluzioni. Senza la comprensione del limite e la capacità di rivelare l’incertezza, purtroppo, non è possibile avanzare ulteriormente.

E ora gli esempi tanto attesi.

Esempio 1

Vediamo che nel termine generale della serie abbiamo , e questo è un sicuro prerequisito per utilizzare il test di d'Alembert. Innanzitutto, la soluzione completa e il progetto di esempio, commenti di seguito.

Usiamo il segno di d'Alembert:


converge.
(1) Componiamo il rapporto tra il membro successivo della serie e quello precedente: . Dalla condizione vediamo che il termine generale della serie è . Per ottenere il prossimo membro della serie di cui hai bisogno INVECE sostituire: .
(2) Ci liberiamo della frazione di quattro piani. Se hai esperienza con la soluzione, puoi saltare questo passaggio.
(3) Aprire le parentesi al numeratore. Al denominatore togliamo il quattro dal potere.
(4) Ridurre di . Portiamo la costante oltre il segno del limite. Al numeratore presentiamo termini simili tra parentesi.
(5) L'incertezza viene eliminata nel modo standard, dividendo il numeratore e il denominatore per “en” alla potenza più alta.
(6) Dividiamo i numeratori termine per termine per i denominatori, e indichiamo i termini che tendono a zero.
(7) Semplifichiamo la risposta e notiamo che con la conclusione che, secondo il criterio di D’Alembert, la serie in esame converge.

Nell'esempio considerato, nel termine generale della serie abbiamo incontrato un polinomio di 2° grado. Cosa fare se esiste un polinomio di 3°, 4° o grado superiore? Il fatto è che se viene fornito un polinomio di grado più elevato, sorgeranno difficoltà con l'apertura delle parentesi. In questo caso è possibile utilizzare il metodo di soluzione “turbo”.

Esempio 2

Prendiamo una serie simile ed esaminiamola per verificarne la convergenza

Prima la soluzione completa, poi i commenti:

Usiamo il segno di d'Alembert:


Pertanto, la serie in esame converge.

(1) Creiamo la relazione .

(3) Considera l'espressione al numeratore e l'espressione al denominatore. Vediamo che al numeratore dobbiamo aprire le parentesi ed elevarle alla quarta potenza: , cosa che non vogliamo assolutamente fare. E per chi non ha familiarità con il binomio di Newton, questo compito sarà ancora più arduo. Analizziamo i gradi superiori: se apriamo le parentesi in alto , allora otterremo un diploma senior. Di seguito abbiamo lo stesso grado senior: . Per analogia con l'esempio precedente, è ovvio che dividendo il numeratore e il denominatore termine per termine, ci ritroviamo con uno nel limite. O, come dicono i matematici, polinomi E - stesso ordine di crescita. Pertanto, è del tutto possibile delineare la relazione con una matita semplice e indichi subito che questa cosa tende a uno. Trattiamo allo stesso modo la seconda coppia di polinomi: e , anche loro stesso ordine di crescita, e il loro rapporto tende all'unità.

In effetti, un simile "hack" avrebbe potuto essere realizzato nell'esempio n. 1, ma per un polinomio di 2° grado una soluzione del genere sembra ancora in qualche modo poco dignitosa. Personalmente faccio così: se esiste un polinomio (o polinomi) di primo o secondo grado, utilizzo il metodo “lungo” per risolvere l'Esempio 1. Se mi imbatto in un polinomio di 3° o superiore, utilizzo il metodo Metodo “turbo” simile all’Esempio 2.

Esempio 3

Esaminare la convergenza della serie

Diamo un'occhiata ad esempi tipici con fattoriali:

Esempio 4

Esaminare la convergenza della serie

Il termine comune della serie comprende sia il grado che il fattoriale. È chiaro come il sole che qui bisogna usare il segno di d'Alembert. Decidiamo.

Pertanto, la serie in esame diverge.
(1) Creiamo la relazione . Ripetiamo ancora. Per condizione, il termine comune della serie è: . Per ottenere il termine successivo della serie, invece devi sostituire, Così: .
(2) Ci liberiamo della frazione di quattro piani.
(3) Stacca i sette dal grado. Descriviamo i fattoriali in dettaglio. Come farlo: guarda l'inizio della lezione o l'articolo sulle sequenze numeriche.
(4) Tagliamo tutto ciò che può essere tagliato.
(5) Spostiamo la costante oltre il segno limite. Apri le parentesi al numeratore.
(6) Eliminiamo l'incertezza nel modo standard, dividendo il numeratore e il denominatore per “en” alla massima potenza.

Esempio 5

Esaminare la convergenza della serie

Soluzione completa e progetto di esempio alla fine della lezione

Esempio 6

Esaminare la convergenza della serie

A volte ci sono serie che contengono una “catena” di fattori nel loro riempimento; non abbiamo ancora considerato questo tipo di serie. Come studiare una serie con una “catena” di fattori? Utilizzare il segno di d'Alembert. Ma prima, per capire cosa sta succedendo, descriviamo la serie nel dettaglio:

Dall'espansione vediamo che ogni membro successivo della serie ha un fattore aggiuntivo aggiunto al denominatore, quindi, se il membro comune della serie , quindi il membro successivo della serie:
. È qui che spesso commettono automaticamente un errore, scrivendo formalmente secondo l'algoritmo che

Una soluzione di esempio potrebbe assomigliare a questa:

Usiamo il segno di d'Alembert:

Pertanto, la serie in esame converge.

Segno radicale di Cauchy

Augustin Louis Cauchy è un matematico francese ancora più famoso. Qualsiasi studente di ingegneria può raccontarti la biografia di Cauchy. Nei colori più pittoreschi. Non è un caso che questo nome sia scolpito al primo piano della Torre Eiffel.

Il test di convergenza di Cauchy per le serie di numeri positivi è in qualche modo simile al test di D'Alembert appena discusso.

Segno radicale di Cauchy: Consideriamo serie di numeri positivi. Se c'è un limite: , allora:
a) Quando riga converge. In particolare, la serie converge a .
b) Quando riga diverge. In particolare, la serie diverge in .
c) Quando il cartello non dà una risposta. Devi usare un altro segno. È interessante notare che se il test di Cauchy non ci dà una risposta alla questione della convergenza di una serie, allora neanche il test di D'Alembert darà una risposta. Ma se il test di d’Alembert non fornisce una risposta, allora il test di Cauchy potrebbe benissimo “funzionare”. Cioè, il segno di Cauchy è in questo senso un segno più forte.

Quando dovresti usare il segno radicale di Cauchy? Il test radicale di Cauchy viene solitamente utilizzato nei casi in cui la radice “buono” viene estratta da un membro comune della serie. Di norma, questo pepe è in un grado da cui dipende. Ci sono anche casi esotici, ma non ce ne preoccuperemo.

Esempio 7

Esaminare la convergenza della serie

Vediamo che la frazione è completamente sotto una potenza dipendente da “en”, il che significa che dobbiamo utilizzare il test radicale di Cauchy:


Pertanto, la serie in esame diverge.

(1) Formuliamo il termine comune della serie sotto la radice.

(2) Riscriviamo la stessa cosa, solo senza la radice, usando la proprietà dei gradi.
(3) Nell'indicatore, dividiamo il numeratore per il denominatore termine per termine, indicandolo
(4) Di conseguenza, abbiamo incertezza. Qui potresti fare la strada più lunga: cubo, cubo, quindi dividere il numeratore e il denominatore per “en” al cubo. Ma in questo caso esiste una soluzione più efficace: questa tecnica può essere utilizzata direttamente a grado costante. Per eliminare l'incertezza, dividi il numeratore e il denominatore per (la potenza più alta dei polinomi).

(5) Eseguiamo la divisione termine per termine e indichiamo i termini che tendono a zero.
(6) Ricordiamo la risposta, notiamo ciò che abbiamo e concludiamo che la serie diverge.

Ecco un esempio più semplice da risolvere da solo:

Esempio 8

Esaminare la convergenza della serie

E un altro paio di esempi tipici.

Soluzione completa e progetto di esempio alla fine della lezione

Esempio 9

Esaminare la convergenza della serie
Utilizziamo il test radicale di Cauchy:


Pertanto, la serie in esame converge.

(1) Posiziona il termine comune della serie sotto la radice.

(2) Riscriviamo la stessa cosa, ma senza la radice, aprendo le parentesi utilizzando la formula di moltiplicazione abbreviata: .
(3) Nell'indicatore, dividiamo il numeratore per il denominatore termine per termine e indichiamo che .
(4) Si ottiene un'incertezza della forma e anche in questo caso la divisione può essere effettuata direttamente sotto il grado. Ma con una condizione: i coefficienti delle potenze superiori dei polinomi devono essere diversi. I nostri sono diversi (5 e 6), e quindi è possibile (e necessario) dividere entrambi i piani in . Se questi coefficienti sono gli stessi, ad esempio (1 e 1): , quindi un trucco del genere non funziona ed è necessario utilizzarlo secondo meraviglioso limite. Se ricordi, queste sottigliezze sono state discusse nell'ultimo paragrafo dell'articolo Metodi per risolvere i limiti.

(5) Eseguiamo effettivamente la divisione termine per termine e indichiamo quali termini tendono a zero.
(6) Eliminata l'incertezza, rimane il limite più semplice: . Perché dentro infinitamente grande tende a zero? Perché la base del grado soddisfa la disuguaglianza. Se qualcuno ha dubbi sulla congruità del limite , quindi non sarò pigro, prenderò una calcolatrice:
Se poi
Se poi
Se poi
Se poi
Se poi
… eccetera. all'infinito, cioè nel limite:

Proprio così Progressione geometrica infinitamente decrescente sulle tue dita =)
! Non usare mai questa tecnica come prova! Perché solo perché qualcosa è ovvio, non significa che sia giusto.

(7) Indichiamo che concludiamo che la serie converge.

Esempio 10

Esaminare la convergenza della serie

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo.

A volte viene offerto un esempio provocatorio per una soluzione, ad esempio:. Qui in esponente niente "it", solo una costante. Qui devi elevare al quadrato il numeratore e il denominatore (otterrai i polinomi), quindi seguire l'algoritmo dell'articolo Righe per manichini. In un esempio del genere, dovrebbero funzionare sia il test necessario per la convergenza delle serie, sia il test limite per il confronto.

Test di Cauchy integrale

O semplicemente un segno integrale. Deluderò chi non ha capito bene il materiale del primo corso. Per applicare il test integrale di Cauchy, devi essere più o meno sicuro nel trovare derivate, integrali e avere anche abilità di calcolo integrale improprio primo tipo.

Nei libri di testo di analisi matematica Test di Cauchy integrale dato matematicamente in modo rigoroso, ma in modo troppo confuso, quindi formulerò il segno non in modo troppo rigoroso, ma chiaramente:

Consideriamo serie di numeri positivi. Se esiste un integrale improprio, allora la serie converge o diverge insieme a questo integrale.

E solo alcuni esempi per chiarimenti:

Esempio 11

Esaminare la convergenza della serie

Quasi un classico. Logaritmo naturale e qualche stronzata.

Il prerequisito principale per l'utilizzo del test integrale di Cauchy èè il fatto che il termine generale della serie contiene fattori simili a una certa funzione e alla sua derivata. Dall'argomento

Test di convergenza di D'Alembert. Test di convergenza di Cauchy radicale. Test di convergenza di Cauchy integrale

Uno dei segni di confronto comuni che si ritrova negli esempi pratici è il segno D'Alembert. I segni di Cauchy sono meno comuni, ma anche molto popolari. Come sempre, cercherò di presentare il materiale in modo semplice, accessibile e comprensibile. L'argomento non è dei più difficili e tutti i compiti sono in una certa misura standard.

Jean Leron d'Alembert è stato un famoso matematico francese del XVIII secolo. In generale, d’Alembert si specializzò in equazioni differenziali e, sulla base delle sue ricerche, studiò la balistica affinché le palle di cannone di Sua Maestà volassero meglio. Allo stesso tempo, non ho dimenticato la serie di numeri, non per niente i ranghi delle truppe di Napoleone in seguito convergevano e divergevano così chiaramente.

Prima di formulare il segno stesso, consideriamo una domanda importante:
Quando utilizzare il test di convergenza di D'Alembert?

Cominciamo prima con una recensione. Ricordiamo i casi in cui è necessario utilizzare il più popolare limite di confronto. Il criterio limite del confronto si applica quando nel termine generale della serie:
1) Il denominatore contiene un polinomio.
2) I polinomi sono sia al numeratore che al denominatore.
3) Uno o entrambi i polinomi possono essere sotto la radice.

I principali prerequisiti per l'applicazione del test di d'Alembert sono i seguenti:

1) Il termine comune della serie ("ripieno" della serie) include un certo numero in una certa misura, ad esempio , e così via. Inoltre, non importa dove si trova questa cosa, al numeratore o al denominatore: ciò che conta è che sia presente lì.

2) Il termine comune della serie include il fattoriale. Abbiamo incrociato le spade con i fattoriali in classe Sequenza numerica e suo limite. Tuttavia, non farà male stendere nuovamente la tovaglia autoassemblata:





…


…

! Quando si utilizza il test di d'Alembert, dovremo descrivere in dettaglio il fattoriale. Come nel paragrafo precedente, il fattoriale può essere posizionato in alto o in basso nella frazione.

3) Se nel termine generale della serie esiste una “catena di fattori”, ad esempio, . Questo caso è raro, ma! Quando si studia una serie di questo tipo, spesso viene commesso un errore - vedere l'Esempio 6.

Insieme alle potenze e/o ai fattoriali, spesso si trovano polinomi nel riempimento di una serie; questo non cambia la situazione: è necessario utilizzare il segno di D'Alembert.

Inoltre, in un termine comune di una serie possono occorrere contemporaneamente sia un grado che un fattoriale; ci possono essere due fattoriali, due gradi, l'importante è che ci siano almeno qualcosa i punti considerati - ed è proprio questo il presupposto per l'utilizzo del segno D'Alembert.

Il segno di D'Alembert: Consideriamo serie di numeri positivi. Se esiste un limite al rapporto tra il termine successivo e quello precedente: , allora:
a) Quando riga converge. In particolare, la serie converge a .
b) Quando riga diverge. In particolare, la serie diverge in .
c) Quando il cartello non dà una risposta. Devi usare un altro segno. Molto spesso se ne ottiene uno nel caso in cui si provi ad applicare il test d'Alembert dove è necessario utilizzare il test dei confronti limite.

Per coloro che hanno ancora problemi con i limiti o incomprensioni sui limiti, fare riferimento alla lezione Limiti. Esempi di soluzioni. Senza la comprensione del limite e la capacità di rivelare l’incertezza, purtroppo, non è possibile avanzare ulteriormente.

E ora gli esempi tanto attesi.

Esempio 1

Vediamo che nel termine generale della serie abbiamo , e questo è un sicuro prerequisito per utilizzare il test di d'Alembert. Innanzitutto, la soluzione completa e il progetto di esempio, commenti di seguito.

Usiamo il segno di d'Alembert:

converge.

(1) Componiamo il rapporto tra il membro successivo della serie e quello precedente: . Dalla condizione vediamo che il termine generale della serie è . Per ottenere il prossimo membro della serie è necessario invece di sostituire: .
(2) Ci liberiamo della frazione di quattro piani. Se hai esperienza con la soluzione, puoi saltare questo passaggio.
(3) Aprire le parentesi al numeratore. Al denominatore togliamo il quattro dal potere.
(4) Ridurre di . Portiamo la costante oltre il segno del limite. Al numeratore presentiamo termini simili tra parentesi.
(5) L'incertezza viene eliminata nel modo standard, dividendo il numeratore e il denominatore per “en” alla potenza più alta.
(6) Dividiamo i numeratori termine per termine per i denominatori, e indichiamo i termini che tendono a zero.
(7) Semplifichiamo la risposta e notiamo che con la conclusione che, secondo il criterio di D’Alembert, la serie in esame converge.

Nell'esempio considerato, nel termine generale della serie abbiamo incontrato un polinomio di 2° grado. Cosa fare se esiste un polinomio di 3°, 4° o grado superiore? Il fatto è che se viene fornito un polinomio di grado più elevato, sorgeranno difficoltà con l'apertura delle parentesi. In questo caso è possibile utilizzare il metodo di soluzione “turbo”.

Esempio 2

Prendiamo una serie simile ed esaminiamola per verificarne la convergenza

Prima la soluzione completa, poi i commenti:

Usiamo il segno di d'Alembert:

Pertanto, la serie in esame converge.

(1) Creiamo la relazione .
(2) Ci liberiamo della frazione di quattro piani.
(3) Considera l'espressione al numeratore e l'espressione al denominatore. Vediamo che al numeratore dobbiamo aprire le parentesi ed elevarle alla quarta potenza: , cosa che non vogliamo assolutamente fare. Inoltre, per coloro che non hanno familiarità con il binomio di Newton, questo compito potrebbe non essere affatto fattibile. Analizziamo i gradi più alti: se apriamo le parentesi in alto otteniamo il grado più alto. Di seguito abbiamo lo stesso grado senior: . Per analogia con l'esempio precedente, è ovvio che dividendo il numeratore e il denominatore termine per termine, ci ritroviamo con uno nel limite. O, come dicono i matematici, polinomi e... stesso ordine di crescita. Pertanto, è del tutto possibile cerchiare il rapporto con una matita semplice e indicare immediatamente che questa cosa tende a uno. Trattiamo allo stesso modo la seconda coppia di polinomi: e , anche loro stesso ordine di crescita, e il loro rapporto tende all'unità.

In effetti, un simile "hack" avrebbe potuto essere realizzato nell'esempio n. 1, ma per un polinomio di 2° grado una soluzione del genere sembra ancora in qualche modo poco dignitosa. Personalmente faccio così: se esiste un polinomio (o polinomi) di primo o secondo grado, utilizzo il metodo “lungo” per risolvere l'Esempio 1. Se mi imbatto in un polinomio di 3° o superiore, utilizzo il metodo Metodo “turbo” simile all’Esempio 2.

Esempio 3

Esaminare la convergenza della serie

Soluzione completa e progetto di esempio alla fine della lezione sulle sequenze numeriche.
(4) Tagliamo tutto ciò che può essere tagliato.
(5) Spostiamo la costante oltre il segno limite. Apri le parentesi al numeratore.
(6) Eliminiamo l'incertezza nel modo standard, dividendo il numeratore e il denominatore per “en” alla massima potenza.

Esempio 5

Esaminare la convergenza della serie

Soluzione completa e progetto di esempio alla fine della lezione

Esempio 6

Esaminare la convergenza della serie

A volte ci sono serie che contengono una “catena” di fattori nel loro riempimento; non abbiamo ancora considerato questo tipo di serie. Come studiare una serie con una “catena” di fattori? Utilizzare il segno di d'Alembert. Ma prima, per capire cosa sta succedendo, descriviamo la serie nel dettaglio:

Dall'espansione vediamo che ogni membro successivo della serie ha un ulteriore fattore aggiunto al denominatore, quindi, se il membro comune della serie è , allora il membro successivo della serie è:
. È qui che spesso commettono automaticamente un errore, scrivendo formalmente secondo l'algoritmo che

Una soluzione di esempio potrebbe assomigliare a questa:

Usiamo il segno di d'Alembert:

Pertanto, la serie in esame converge.

Prima di formulare il segno stesso, consideriamo una domanda importante:
Quando utilizzare il test di convergenza di D'Alembert?

I principali prerequisiti per l'applicazione del test di d'Alembert sono i seguenti:

1) Il termine comune della serie ("ripieno" della serie) include un certo numero in una certa misura, ad esempio , e così via. Inoltre, non importa dove si trovano queste funzioni, al numeratore o al denominatore: ciò che conta è che siano presenti lì.

2) Il termine comune della serie include il fattoriale. Cos'è il fattoriale?





…


…

! Quando si utilizza il test di d'Alembert, dovremo descrivere in dettaglio il fattoriale. Come nel paragrafo precedente, il fattoriale può essere posizionato in alto o in basso nella frazione.

3) Se nel termine generale della serie esiste una “catena di fattori”, ad esempio, . Questo caso è raro.

Insieme alle potenze e/o ai fattoriali, spesso si trovano polinomi nel riempimento di una serie; questo non cambia la situazione: è necessario utilizzare il segno di D'Alembert.

Inoltre, in un termine comune di una serie possono occorrere contemporaneamente sia un grado che un fattoriale; ci possono essere due fattoriali, due gradi, l'importante è che ci siano almeno qualcosa dai punti considerati - ed è proprio questo il presupposto per l'utilizzo del segno D'Alembert.

Il segno di D'Alembert: Consideriamo serie di numeri positivi. Se esiste un limite al rapporto tra il termine successivo e quello precedente: , allora:
a) Quando riga converge
b) Quando riga diverge
c) Quando il cartello non dà una risposta. Devi usare un altro segno. Molto spesso se ne ottiene uno nel caso in cui si provi ad applicare il test d'Alembert dove è necessario utilizzare il test dei confronti limite.

Senza la comprensione del limite e la capacità di rivelare l’incertezza, purtroppo, non è possibile avanzare ulteriormente.

Esempio:
Soluzione: Vediamo che nel termine generale della serie abbiamo , e questo è un sicuro prerequisito per utilizzare il test di d'Alembert.

Usiamo il segno di d'Alembert:


converge.

Segno di Cauchy radicale.

Il test di convergenza di Cauchy per le serie di numeri positivi è in qualche modo simile al test di D'Alembert appena discusso.

Segno radicale di Cauchy: Consideriamo serie di numeri positivi. Se c'è un limite: , allora:
a) Quando riga converge. In particolare, la serie converge a .
b) Quando riga diverge. In particolare, la serie diverge in .
c) Quando il cartello non dà una risposta. Devi usare un altro segno.

! È interessante notare che se il test di Cauchy non ci dà una risposta alla questione della convergenza di una serie, allora neanche il test di D'Alembert ci darà una risposta. Ma se il test di d’Alembert non fornisce una risposta, allora il test di Cauchy potrebbe benissimo “funzionare”. Cioè, il segno di Cauchy è in questo senso un segno più forte.

!!! Quando dovresti usare il segno radicale di Cauchy? Il test radicale di Cauchy viene solitamente utilizzato nei casi in cui il termine comune della serie COMPLETAMENTEè nel grado a seconda di "it". O quando la radice “buono” viene estratta da un membro comune della serie. Ci sono anche casi esotici, ma non ce ne preoccuperemo.

Esempio: Esaminare la convergenza della serie

Soluzione: Vediamo che il termine generale della serie è completamente sotto una potenza dipendente da , il che significa che dobbiamo utilizzare il test radicale di Cauchy:


Pertanto, la serie in esame diverge.

Test di Cauchy integrale.

Per applicare il test integrale di Cauchy, devi essere più o meno sicuro nel trovare derivate, integrali e avere anche abilità di calcolo integrale improprio primo tipo.

Lo formulerò con parole mie (per facilità di comprensione).

Test di Cauchy integrale: Consideriamo serie di numeri positivi. Questa serie converge o diverge insieme al corrispondente integrale improprio.

! !! Il prerequisito principale per l'utilizzo del test integrale di Cauchy èè il fatto che nel termine generale della serie c'è una certa funzione e la sua derivata.

Esempio: Esaminare la convergenza della serie

Soluzione: Dall'argomento Derivato probabilmente ricordi la cosa più semplice della tabella: , e abbiamo proprio un caso canonico.

Come utilizzare l'attributo integrale? Per prima cosa prendiamo l'icona integrale e riscriviamo i limiti superiore e inferiore dal “contatore” della serie: . Quindi, sotto l'integrale, riscriviamo il “riempimento” della serie con la lettera “X”: .

Adesso dobbiamo calcolare l’integrale improprio. In questo caso sono possibili due casi:

1) Se risulta che l'integrale converge, allora convergerà anche la nostra serie.

2) Se risulta che l'integrale diverge, anche la nostra serie divergerà.

Usiamo il segno integrale:

La funzione integranda è continua

Pertanto, la serie in esame diverge insieme al corrispondente integrale improprio.

Esempio: Studiare la convergenza della serie

Soluzione: prima di tutto controlliamo un segno necessario di convergenza di una serie. Non si tratta di una formalità, ma di un’ottima occasione per affrontare l’esempio con “poco spargimento di sangue”.

Sequenza numerica più alto ordine di crescita, che , quindi , cioè il segno necessario di convergenza è soddisfatto e la serie può convergere o divergere.

Pertanto, è necessario utilizzare una sorta di segno. Ma quale? Limite di confronto chiaramente non va bene, dal momento che un logaritmo è stato inserito nel termine comune della serie, Segni di d'Alembert e di Cauchy inoltre non portano a risultati. Se l'avessimo fatto, almeno saremmo potuti uscire caratteristica integrale.

L'“ispezione della scena” suggerisce una serie divergente (il caso di una serie armonica generalizzata), ma ancora una volta sorge la domanda: come tenere conto del logaritmo al numeratore?

Ciò che resta è il primissimo segno di un confronto, basato sulle disuguaglianze, che spesso non viene preso in considerazione e prende polvere su uno scaffale lontano. Descriviamo la serie più nel dettaglio:

Lascia che te lo ricordi: in crescita illimitata sequenza numerica:

E, a partire dal numero, la disuguaglianza sarà soddisfatta:

cioè, i membri della serie lo saranno ancora di più membri rilevanti divergente riga.

Di conseguenza, la serie non ha altra scelta che disperdersi.

La convergenza o la divergenza di una serie di numeri dipende dalla sua “coda infinita” (resto). Nel nostro caso possiamo ignorare il fatto che la disuguaglianza non è vera per i primi due numeri: ciò non influisce sulla conclusione.

L'esempio finito dovrebbe assomigliare a questo:

Confrontiamo questa serie con una serie divergente.
Per tutti i numeri, a partire da , la disuguaglianza è soddisfatta, quindi, secondo il criterio di confronto, la serie in esame diverge.

Righe alternate. Il segno di Leibniz. Esempi di soluzioni.

Cos'è una serie alternata? Questo è chiaro o quasi dal nome stesso. Solo un semplice esempio.

Diamo un'occhiata alla serie e descriviamola più in dettaglio:

L'allineamento fornisce un moltiplicatore: se pari ci sarà un segno più, se dispari ci sarà un segno meno.

Negli esempi pratici, l'alternanza dei termini della serie può essere fornita non solo dal moltiplicatore, ma anche dai suoi fratelli: , , , …. Per esempio:

La trappola sono gli “inganni”: , , ecc. - tali moltiplicatori non prevedere il cambio di segno. È assolutamente chiaro che per qualsiasi naturale: , , .

Come esaminare una serie alternata per la convergenza? Utilizza il test di Leibniz.

Il test di Leibniz: Se in una serie alternata si verificano due condizioni: 1) i termini della serie diminuiscono monotonicamente in valore assoluto. 2) il limite del termine comune in modulo è uguale a zero, allora la serie converge, e il modulo della somma di questa serie non supera il modulo del primo termine.

Brevi informazioni sul modulo:

Cosa significa “modulo”? Il modulo, come ricordiamo da scuola, “mangia” il segno meno. Torniamo alla riga . Cancella mentalmente tutti i segni con una gomma e diamo un'occhiata ai numeri. Lo vedremo ogni successivo membro della serie meno rispetto al precedente.

Ora un po' sulla monotonia.

Membri della serie rigorosamente monotono diminuzione del modulo se OGNI PROSSIMO membro della serie modulo MENO del precedente: . Per una fila La rigorosa monotonicità della diminuzione è soddisfatta; può essere descritta in dettaglio:

Oppure possiamo dire brevemente: ogni membro successivo della serie modulo meno del precedente: .

Membri della serie non strettamente monotono diminuzione di modulo se OGNI SEGUENTE membro della serie modulo NON È MAGGIORE del precedente: . Consideriamo una serie con fattoriale: Qui c'è una certa monotonicità, poiché i primi due termini della serie sono identici in modulo. Cioè, ogni membro successivo della serie modulo non più del precedente: .

Nelle condizioni del teorema di Leibniz, deve essere soddisfatta la monotonicità decrescente (non importa se è stretta o non stretta). In questo caso, i membri della serie possono anche aumentare il modulo per qualche tempo, ma la “coda” della serie deve necessariamente essere monotonicamente decrescente.

Esempio: Esaminare la convergenza della serie

Soluzione: Il termine comune della serie include un fattore, il che significa che è necessario utilizzare il criterio di Leibniz

1) Controllare la serie per la diminuzione monotona.

1<2<3<…, т.е. n+1>n – la prima condizione non è soddisfatta

2) – anche la seconda condizione non è soddisfatta.

Conclusione: la serie diverge.

Definizione: Se una serie converge secondo il criterio di Leibniz e converge anche una serie composta da moduli, allora si dice che la serie converge assolutamente.

Se una serie converge secondo il criterio di Leibniz e una serie composta da moduli diverge, allora la serie si dice converge condizionatamente.

Se una serie composta da moduli converge, allora converge anche questa serie.

Pertanto, una serie convergente alternata deve essere esaminata per la convergenza assoluta o condizionale.

Esempio:

Soluzione: Utilizziamo il criterio di Leibniz:

1) Ogni membro successivo della serie è inferiore in valore assoluto al precedente: – la prima condizione è soddisfatta.

2) – è soddisfatta anche la seconda condizione.

Conclusione: la serie converge.

Controlliamo la convergenza condizionale o assoluta.

Realizziamo una serie di moduli: ancora una volta rimuoviamo semplicemente il moltiplicatore, che garantisce l'alternanza dei segni:
– diverge (serie armonica).

Così la nostra serie non è assolutamente convergente.
Serie in studio converge condizionatamente.

Esempio: Esaminare una serie per la convergenza condizionale o assoluta

Soluzione: Utilizziamo il criterio di Leibniz:
1) Proviamo a scrivere i primi termini della serie:


…?!

2)

Il punto è che non esistono tecniche standard e quotidiane per risolvere tali limiti. Dove va a finire questo limite? A zero, all'infinito? Ciò che è importante qui è COSA cresce più velocemente all'infinito– numeratore o denominatore.

Se il numeratore cresce più velocemente del fattoriale, allora . Se all'infinito il fattoriale cresce più velocemente del numeratore, al contrario “tirerà” il limite a zero: . O forse questo limite è uguale a un numero diverso da zero? O . Invece, puoi sostituire un polinomio del millesimo grado, anche questo non cambierà la situazione: prima o poi il fattoriale "supererà" un polinomio così terribile. Fattoriale ordine di crescita superiore.

– Il fattoriale sta crescendo più velocemente di prodotto di qualsiasi quantità Successioni esponenziali e di potenza(il nostro caso).

– Qualunque una sequenza esponenziale cresce più velocemente di qualsiasi sequenza di potenze, ad esempio: , . Sequenza esponenziale ordine di crescita superiore di qualsiasi sequenza di potere. Similmente al fattoriale, una sequenza esponenziale “trascina” il prodotto di un numero qualsiasi di sequenze di potenze o polinomi: .

– Esiste qualcosa di “più forte” del fattoriale? Mangiare! Una sequenza esponenziale di potenza (“en” elevato a “en”) cresce più velocemente del fattoriale. In pratica è raro, ma l'informazione non sarà superflua.

Fine degli aiuti

Pertanto, il secondo punto dello studio può essere scritto come segue:
2) , poiché l'ordine di crescita è superiore a .
I termini della serie diminuiscono di modulo, a partire da un certo numero, in questo caso, ogni membro successivo della serie è inferiore in valore assoluto al precedente, quindi la diminuzione è monotona.

Conclusione: la serie converge.

Ecco esattamente il caso curioso in cui i termini della serie aumentano per la prima volta in valore assoluto, motivo per cui inizialmente avevamo un'opinione errata sul limite. Ma, a partire da un numero "en", il fattoriale supera il numeratore e la “coda” della serie diventa monotonicamente decrescente, il che è di fondamentale importanza per soddisfare le condizioni del teorema di Leibniz. Che cosa significhi esattamente questa “en” è abbastanza difficile da scoprire..

Esaminiamo le serie per convergenza assoluta o condizionale:

E qui già funziona il segno di D’Alembert:

Usiamo il segno di d'Alembert:

Quindi la serie converge.

Serie in studio converge assolutamente.

L'esempio analizzato può essere risolto in altro modo (usiamo un criterio sufficiente per la convergenza di una serie alternata).

Un segno sufficiente di convergenza di una serie alternata: Se una serie composta dai valori assoluti dei termini di una data serie converge, allora converge anche la serie data.

Secondo modo:

Esaminare una serie per la convergenza condizionale o assoluta

Soluzione : Esaminiamo la serie per convergenza assoluta:

Usiamo il segno di d'Alembert:

Quindi la serie converge.
In base ad un criterio sufficiente per la convergenza di una serie alternata, la serie stessa converge.

Conclusione: Serie di studi converge assolutamente.

Calcolare la somma di una serie con una data precisione Utilizzeremo il seguente teorema:

Lascia il segno delle serie alternate soddisfa le condizioni del criterio di Leibniz e lascia che - il suo N esimo importo parziale. Quindi la serie converge e l'errore nel calcolo approssimativo della sua somma S in valore assoluto non supera il modulo del primo termine scartato:

Serie funzionali. Serie di potenze.
Campo di convergenza della serie.

Per padroneggiare con successo l'argomento, è necessario avere una buona conoscenza delle serie numeriche ordinarie.