Cosa significa il perimetro di un rettangolo? Perimetro e area di un rettangolo. Caratteristiche distintive di un rettangolo

Un rettangolo ha molte caratteristiche distintive, in base alle quali sono state sviluppate le regole per il calcolo delle sue varie caratteristiche numeriche. Quindi, un rettangolo:

Figura geometrica piatta;
Quadrilatero;
Una figura in cui i lati opposti sono uguali e paralleli, tutti gli angoli sono retti.

Il perimetro è la lunghezza totale di tutti i lati della figura.

Calcolare il perimetro di un rettangolo è un compito abbastanza semplice.

Tutto quello che devi sapere è la larghezza e la lunghezza del rettangolo. Poiché un rettangolo ha due lunghezze uguali e due larghezze uguali, viene misurato solo un lato.

Il perimetro di un rettangolo è pari al doppio della somma dei suoi due lati, lunghezza e larghezza.

P = (a + b) 2, dove a è la lunghezza del rettangolo, b è la larghezza del rettangolo.

Il perimetro di un rettangolo può essere trovato anche sommando tutti i lati.

P= a+a+b+b, dove a è la lunghezza del rettangolo, b è la larghezza del rettangolo.

Il perimetro di un quadrato è la lunghezza del lato del quadrato moltiplicata per 4.

P = a 4, dove a è la lunghezza del lato del quadrato.

Aggiunta: trovare l'area e il perimetro dei rettangoli

Il curriculum del grado 3 comprende lo studio dei poligoni e delle loro caratteristiche. Per capire come trovare il perimetro di un rettangolo e di un'area, vediamo cosa si intende con questi concetti.

Concetti basilari

Trovare perimetro e area richiede la conoscenza di alcuni termini. Questi includono:

1. Angolo retto. È formato da 2 raggi che hanno un'origine comune sotto forma di punto. Quando si imparano le forme (grado 3), un angolo retto viene determinato utilizzando un quadrato.
2. Rettangolo. Questo è un quadrilatero i cui angoli sono tutti diritti. I suoi lati sono chiamati lunghezza e larghezza. Come sai, i lati opposti di questa figura sono uguali.
3. Piazza. È un quadrilatero con tutti i lati uguali.

Quando si acquisisce familiarità con i poligoni, i loro vertici possono essere chiamati ABCD. In matematica, è consuetudine denominare i punti nei disegni con lettere dell'alfabeto latino. Il nome del poligono elenca tutti i vertici senza spazi, ad esempio il triangolo ABC.

Calcolo del perimetro

Il perimetro di un poligono è la somma delle lunghezze di tutti i suoi lati. Questo valore è indicato con la lettera latina P. Il livello di conoscenza per gli esempi proposti è di 3a elementare.

Problema n. 1: “Disegna un rettangolo largo 3 cm e lungo 4 cm con i vertici ABCD. Trova il perimetro del rettangolo ABCD."

La formula sarà simile a questa: P=AB+BC+CD+AD o P=AB×2+BC×2.

Risposta: P=3+4+3+4=14 (cm) oppure P=3×2 + 4×2=14 (cm).

Problema n.2: “Come trovare il perimetro di un triangolo rettangolo ABC se i lati sono 5, 4 e 3 cm?”

Risposta: P=5+4+3=12 (cm).

Problema n. 3: "Trova il perimetro di un rettangolo, un lato del quale è 7 cm e l'altro è 2 cm più lungo."

Risposta: P=7+9+7+9=32 (cm).

Problema n°4: "La gara di nuoto si è svolta in una piscina il cui perimetro è di 120 m. Quanti metri ha nuotato il concorrente se la piscina è larga 10 m?"

In questo problema la domanda è come trovare la lunghezza della piscina. Per risolvere, trova la lunghezza dei lati del rettangolo. La larghezza è nota. La somma delle lunghezze dei due lati sconosciuti dovrebbe essere 100 m.120-10×2=100. Per conoscere la distanza percorsa dal nuotatore è necessario dividere il risultato per 2. 100:2=50.

Risposta: 50 (m).

Calcolo dell'area

Una quantità più complessa è l'area della figura. Le misurazioni servono per misurarlo. Lo standard tra le misurazioni è il quadrato.

L'area di un quadrato con il lato di 1 cm è 1 cm². Un decimetro quadrato è indicato come dm² e un metro quadrato è indicato come m².

Gli ambiti di applicazione delle unità di misura possono essere:

1. Piccoli oggetti sono misurati in cm², come fotografie, copertine di libri di testo e fogli di carta.
2. In dm² puoi misurare una carta geografica, il vetro di una finestra, un dipinto.
3. Per misurare un piano, un appartamento o un terreno si usa il m².

Se disegni un rettangolo lungo 3 cm e largo 1 cm e lo dividi in quadrati con un lato di 1 cm, allora si adatterà a 3 quadrati, il che significa che la sua area sarà di 3 cm². Se il rettangolo viene diviso in quadrati, possiamo trovare senza difficoltà anche il perimetro del rettangolo. In questo caso è 8 cm.

Un altro modo per contare il numero di quadrati che rientrano in una forma è utilizzare una tavolozza. Disegniamo un quadrato su carta da lucido con un'area di 1 dm², ovvero 100 cm². Posiziona la carta da lucido sulla figura e conta il numero di centimetri quadrati in una riga. Successivamente, scopriamo il numero di righe e quindi moltiplichiamo i valori. Ciò significa che l'area di un rettangolo è il prodotto della sua lunghezza e larghezza.

Modi per confrontare le aree:

1. Circa. A volte basta guardare gli oggetti, poiché in alcuni casi è chiaro ad occhio nudo che una figura occupa più spazio, come ad esempio un libro di testo steso sul tavolo accanto a un astuccio.
2. Sovrapposizione. Se le forme coincidono quando sovrapposte, le loro aree sono uguali. Se uno di essi si inserisce completamente all'interno del secondo, la sua area è più piccola. Gli spazi occupati da un foglio di quaderno e da una pagina di libro di testo possono essere confrontati sovrapponendoli uno sopra l'altro.
3. Dal numero di misurazioni. Se sovrapposte, le figure potrebbero non coincidere, ma avere la stessa area. In questo caso, puoi confrontare contando il numero di quadrati in cui è divisa la figura.
4. Numeri. I valori numerici misurati con lo stesso standard vengono confrontati, ad esempio, in m².

Esempio n. 1: “Una sarta ha cucito una coperta per bambini con ritagli quadrati multicolori. Un pezzo lungo 1 dm, 5 pezzi di fila. Di quanti decimetri di nastro avrà bisogno una sarta per lavorare i bordi di una coperta se l’area è di 50 dm²?”

Per risolvere il problema, devi rispondere alla domanda su come trovare la lunghezza di un rettangolo. Successivamente, trova il perimetro di un rettangolo composto da quadrati. Dal problema risulta chiaro che la larghezza della coperta è 5 dm; calcoliamo la lunghezza dividendo 50 per 5 e otteniamo 10 dm. Ora trova il perimetro di un rettangolo con i lati 5 e 10. P=5+5+10+10=30.

Risposta: 30 (m).

Esempio n.2: “Durante gli scavi è stata scoperta un'area dove potrebbero trovarsi antichi tesori. Quanto territorio dovranno esplorare gli scienziati se il perimetro è 18 m e la larghezza del rettangolo è 3 m?

Determiniamo la lunghezza della sezione eseguendo 2 passaggi. 18-3×2=12. 12:2=6. Anche il territorio richiesto sarà pari a 18 m² (6×3=18).

Risposta: 18 (m²).

Pertanto, conoscere le formule, calcolare l'area e il perimetro non sarà difficile e gli esempi sopra ti aiuteranno a esercitarti a risolvere problemi matematici.

Uno dei concetti base della matematica è il perimetro di un rettangolo. Ci sono molti problemi su questo argomento, la cui soluzione non può essere fatta senza la formula del perimetro e le competenze per calcolarla.

Concetti basilari

Un rettangolo è un quadrilatero in cui tutti gli angoli sono retti e i lati opposti sono uguali e paralleli a coppie. Nella nostra vita, molte figure hanno la forma di un rettangolo, ad esempio la superficie di un tavolo, un quaderno, ecc.

Diamo un'occhiata ad un esempio: Lungo i confini del terreno deve essere eretta una recinzione. Per scoprire la lunghezza di ciascun lato, è necessario misurarli.

Riso. 1. Un appezzamento di terreno a forma di rettangolo.

Il terreno ha lati con lunghezze di 2 m, 4 m, 2 m, 4 m, quindi per trovare la lunghezza totale della recinzione è necessario sommare le lunghezze di tutti i lati:

2+2+4+4= 2·2+4·2 =(2+4)·2 =12 m.

È questa quantità che viene generalmente chiamata perimetro. Quindi, per trovare il perimetro, devi sommare tutti i lati della figura. La lettera P viene utilizzata per indicare il perimetro.

Per calcolare il perimetro di una figura rettangolare, non è necessario dividerla in rettangoli; è sufficiente misurare tutti i lati di questa figura con un righello (metro a nastro) e trovare la loro somma.

Il perimetro di un rettangolo si misura in mm, cm, m, km e così via. Se necessario, i dati nell'attività vengono convertiti nello stesso sistema di misurazione.

Il perimetro di un rettangolo si misura in varie unità: mm, cm, m, km e così via. Se necessario, i dati nell'attività vengono convertiti in un unico sistema di misurazione.

Formula per il perimetro di una figura

Se teniamo conto del fatto che i lati opposti di un rettangolo sono uguali, allora possiamo ricavare la formula per il perimetro di un rettangolo:

$P = (a+b) * 2$, dove a, b sono i lati della figura.

Riso. 2. Rettangolo, con i lati opposti contrassegnati.

C'è un altro modo per trovare il perimetro. Se per l'attività viene fornito solo un lato e l'area della figura, è possibile utilizzare per esprimere l'altro lato in termini di area. Quindi la formula sarà simile a questa:

$P = ((2S + 2a2)\over(a))$, dove S è l'area del rettangolo.

Riso. 3. Rettangolo con i lati a, b.

Esercizio : Calcola il perimetro di un rettangolo se i suoi lati misurano 4 cm e 6 cm.

Soluzione:

Usiamo la formula $P = (a+b)*2$

$P = (4+6)*2=20 cm$

Pertanto il perimetro della figura è $P = 20 cm$.

Poiché il perimetro è la somma di tutti i lati di una figura, il semiperimetro è la somma di una sola lunghezza e larghezza. Per ottenere il perimetro devi moltiplicare il semiperimetro per 2.

Area e perimetro sono due concetti base per misurare qualsiasi figura. Non dovrebbero essere confusi, sebbene siano correlati. Se aumenti o diminuisci l'area, di conseguenza, il suo perimetro aumenterà o diminuirà.

Cosa abbiamo imparato?

Abbiamo imparato a trovare il perimetro di un rettangolo. Abbiamo anche conosciuto la formula per calcolarlo. Questo argomento può essere affrontato non solo quando si risolvono problemi matematici, ma anche nella vita reale.

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Cosa sono il rettangolo e il quadrato

Rettangoloè un quadrilatero con tutti gli angoli retti. Ciò significa che i lati opposti sono uguali tra loro.

Piazzaè un rettangolo con i lati e gli angoli uguali. Si chiama quadrilatero regolare.

I quadrangoli, inclusi rettangoli e quadrati, sono designati da 4 lettere: vertici. Le lettere latine sono usate per designare i vertici: A, B, C, D...

Esempio.

Si legge così: quadrilatero ABCD; quadrato EFGH.

Qual è il perimetro di un rettangolo? Formula per il calcolo del perimetro

Perimetro di un rettangoloè la somma delle lunghezze di tutti i lati del rettangolo o la somma della lunghezza e della larghezza moltiplicata per 2.

Il perimetro è indicato da una lettera latina P. Poiché il perimetro è la lunghezza di tutti i lati del rettangolo, il perimetro si scrive in unità di lunghezza: mm, cm, m, dm, km.

Ad esempio, il perimetro del rettangolo ABCD è indicato come P ABCD, dove A, B, C, D sono i vertici del rettangolo.

Scriviamo la formula per il perimetro di un quadrilatero ABCD:

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

Esempio.
Dato un rettangolo ABCD di lati: AB=CD=5 cm e AD=BC=3 cm.
Definiamo P ABCD.

Soluzione:
1. Disegniamo un rettangolo ABCD con i dati originali.
2. Scriviamo una formula per calcolare il perimetro di un dato rettangolo:

P ABCD = 2 * (AB + BC)

P ABCD = 2 * (5 cm + 3 cm) = 2 * 8 cm = 16 cm

Risposta: P ABCD = 16 cm.

Formula per calcolare il perimetro di un quadrato

Abbiamo una formula per determinare il perimetro di un rettangolo.

P ABCD = 2 * (AB + BC)

Usiamolo per determinare il perimetro di un quadrato. Considerando che tutti i lati del quadrato sono uguali, otteniamo:

P ABCD = 4*AB

Esempio.
Dato un quadrato ABCD con lato pari a 6 cm, determiniamo il perimetro del quadrato.

Soluzione.
1. Disegniamo un quadrato ABCD con i dati originali.

2. Ricordiamo la formula per calcolare il perimetro di un quadrato:

P ABCD = 4*AB

3. Sostituiamo i nostri dati nella formula:

P ABCD = 4 * 6 cm = 24 cm

Risposta: P ABCD = 24 cm.

Problemi per trovare il perimetro di un rettangolo

1. Misura la larghezza e la lunghezza dei rettangoli. Determina il loro perimetro.

2. Disegna un rettangolo ABCD con i lati 4 cm e 6 cm e determina il perimetro del rettangolo.

3. Disegna un SEOM quadrato con un lato di 5 cm e determina il perimetro del quadrato.

Dove viene utilizzato il calcolo del perimetro di un rettangolo?

1. È stato concesso un appezzamento di terreno che necessita di essere recintato. Quanto sarà lunga la recinzione?

In questo compito è necessario calcolare con precisione il perimetro del sito in modo da non acquistare materiale in eccesso per costruire una recinzione.

2. I genitori hanno deciso di rinnovare la stanza dei bambini. È necessario conoscere il perimetro della stanza e la sua area per calcolare correttamente la quantità di carta da parati.
Determina la lunghezza e la larghezza della stanza in cui vivi. Determina il perimetro della tua stanza.

Qual è l'area di un rettangolo?

Piazzaè una caratteristica numerica di una figura. L'area è misurata in unità quadrate di lunghezza: cm 2, m 2, dm 2, ecc. (centimetro quadrato, metro quadrato, decimetro quadrato, ecc.)
Nei calcoli è indicato con una lettera latina S.

Per determinare l'area di un rettangolo, moltiplica la lunghezza del rettangolo per la sua larghezza.
L'area del rettangolo si calcola moltiplicando la lunghezza dell'AC per la larghezza del CM. Scriviamolo come una formula.

S AKMO = AK*KM

Esempio.
Qual è l'area del rettangolo AKMO se i suoi lati misurano 7 cm e 2 cm?

S AKMO = AK * KM = 7 cm * 2 cm = 14 cm 2.

Risposta: 14 cm2.

Formula per calcolare l'area di un quadrato

L'area di un quadrato può essere determinata moltiplicando il lato per se stesso.

Esempio.
In questo esempio l'area del quadrato si calcola moltiplicando il lato AB per la larghezza BC, ma poiché sono uguali il risultato è moltiplicando il lato AB per AB.

S ABCO = AB * BC = AB * AB

Esempio.
Determina l'area di un quadrato AKMO con un lato di 8 cm.

S AKMO = AK * KM = 8 cm * 8 cm = 64 cm 2

Risposta: 64 cm2.

Problemi per trovare l'area di un rettangolo e di un quadrato

1. Dato un rettangolo con lati 20 mm e 60 mm. Calcola la sua area. Scrivi la tua risposta in centimetri quadrati.

2. È stato acquistato un appezzamento di dacia di 20 m per 30 m. Determina l'area del appezzamento di dacia e scrivi la risposta in centimetri quadrati.

Perimetroè la somma delle lunghezze di tutti i lati del poligono.

• Per calcolare il perimetro delle figure geometriche vengono utilizzate formule speciali, in cui il perimetro è indicato con la lettera "P". Si consiglia di scrivere il nome della figura in minuscolo sotto il segno “P” in modo da sapere di quale perimetro si sta trovando.
• Il perimetro è misurato in unità di lunghezza: mm, cm, m, km, ecc.

Caratteristiche distintive di un rettangolo

• Un rettangolo è un quadrilatero.
• Tutti i lati paralleli sono uguali
• Tutti gli angoli = 90º.
• Ad esempio, nella vita di tutti i giorni, un rettangolo può essere trovato sotto forma di libro, monitor, tovaglia o porta.

Come calcolare il perimetro di un rettangolo

Ci sono 2 modi per trovarlo:

• 1 modo. Somma tutti i lati. P = a + a + b + b
• Metodo 2. Aggiungi la larghezza e la lunghezza e moltiplica per 2. P = (a + b) 2. O P = 2a + 2b. I lati di un rettangolo che si trovano uno di fronte all'altro (opposti) sono chiamati lunghezza e larghezza.

"UN"- la lunghezza di un rettangolo, maggiore è la coppia dei suoi lati.

"B"- la larghezza del rettangolo, la coppia più corta dei suoi lati.

Un esempio di problema per calcolare il perimetro di un rettangolo:

Calcola il perimetro del rettangolo, la sua larghezza è 3 cm e la sua lunghezza è 6.

Ricorda le formule per calcolare il perimetro di un rettangolo!

Semiperimetroè la somma di una lunghezza e una larghezza .

• Semiperimetro di un rettangolo - quando esegui la prima azione tra parentesi - (a+b).
• Per ottenere un perimetro da un semiperimetro è necessario aumentarlo di 2 volte, cioè moltiplicare per 2.

Come trovare l'area di un rettangolo

Formula dell'area del rettangolo S=a*b

Se nella condizione si conoscono la lunghezza di un lato e la lunghezza della diagonale, in tali problemi l'area può essere trovata utilizzando il teorema di Pitagora; esso consente di trovare la lunghezza di un lato di un triangolo rettangolo se le lunghezze di gli altri due lati sono noti.

• : a2 + b2 = c2, dove aeb sono i lati del triangolo e c è l'ipotenusa, il lato più lungo.

Ricordare!

1. Tutti i quadrati sono rettangoli, ma non tutti i rettangoli sono quadrati. Perché:
   • Rettangoloè un quadrilatero con tutti gli angoli retti.
   • Piazza- un rettangolo con tutti i lati uguali.
2. Se trovi l'area, la risposta sarà sempre in unità quadrate (mm 2, cm 2, m 2, km 2, ecc.)

Durante la risoluzione, è necessario tenere conto del fatto che risolvere il problema di trovare l'area di un rettangolo solo dalla lunghezza dei suoi lati è vietato.

Questo è facile da verificare. Sia il perimetro del rettangolo pari a 20 cm. Ciò sarà vero se i suoi lati sono 1 e 9, 2 e 8, 3 e 7 cm. Tutti questi tre rettangoli avranno lo stesso perimetro, pari a venti centimetri. (1 + 9) * 2 = 20 è esattamente uguale a (2 + 8) * 2 = 20 cm.
Come puoi vedere, possiamo selezionare numero infinito di opzioni le dimensioni dei lati del rettangolo, il cui perimetro sarà uguale al valore specificato.

L'area dei rettangoli con un dato perimetro di 20 cm, ma con lati diversi, sarà diversa. Per l'esempio fornito - rispettivamente 9, 16 e 21 centimetri quadrati.
S1 = 1 * 9 = 9 cm2
S2 = 2 * 8 = 16 cm2
S3 = 3 * 7 = 21 cm2
Come puoi vedere, esistono infinite opzioni per definire l'area di una figura per un dato perimetro.

Nota per i curiosi. Nel caso di un rettangolo con un dato perimetro, l'area massima sarà un quadrato.

Pertanto, per calcolare l'area di un rettangolo dal suo perimetro, è necessario conoscere il rapporto tra i suoi lati o la lunghezza di uno di essi. L'unica figura che ha una dipendenza inequivocabile della sua area dal suo perimetro è un cerchio. Solo per il cerchio e una possibile soluzione.

In questa lezione:

• Problema 4. Modificare la lunghezza dei lati mantenendo l'area del rettangolo

Problema 1. Trova i lati di un rettangolo dall'area

Il perimetro del rettangolo è 32 centimetri, e la somma delle aree dei quadrati costruiti su ciascuno dei suoi lati è 260 centimetri quadrati. Trova i lati del rettangolo.
Soluzione.

2(x+y)=32
Secondo le condizioni del problema, la somma delle aree dei quadrati costruiti su ciascuno dei suoi lati (quattro quadrati, rispettivamente) sarà uguale a
2x2 +2y2 =260
x+y=16
x=16-y
2(16-a) 2 +2a 2 =260
2(256-32a+a 2)+2a 2 =260
512-64a+4a 2 -260=0
4a 2 -64a+252=0
D=4096-16x252=64
x1 =9
x2 =7
Ora teniamo conto che in base al fatto che x+y=16 (vedi sopra) a x=9, allora y=7 e viceversa, se x=7, allora y=9
Risposta: I lati del rettangolo misurano 7 e 9 centimetri

Problema 2. Trova i lati di un rettangolo dal perimetro

Il perimetro del rettangolo è 26 cm, e la somma delle aree dei quadrati costruiti sui due lati adiacenti è 89 mq. cm Trova i lati del rettangolo.
Soluzione.
Indichiamo i lati del rettangolo come x e y.
Allora il perimetro del rettangolo è:
2(x+y)=26
La somma delle aree dei quadrati costruiti su ciascuno dei suoi lati (ci sono due quadrati, rispettivamente, e questi sono quadrati di larghezza e altezza, poiché i lati sono adiacenti) sarà uguale a
x2 +y2 =89
Risolviamo il sistema di equazioni risultante. Dalla prima equazione lo deduciamo
x+y=13
y=13-y
Ora eseguiamo una sostituzione nella seconda equazione, sostituendo x con il suo equivalente.
(13-a) 2 +y 2 =89
169-26a+a2 +a2 -89=0
2a 2 -26a+80=0
Risolviamo l'equazione quadratica risultante.
D=676-640=36
x1 =5
x2 =8
Ora teniamone conto in base al fatto che x+y=13 (vedi sopra) a x=5, allora y=8 e viceversa, se x=8, allora y=5
Risposta: 5 e 8 cm

Problema 3. Trova l'area di un rettangolo dalla proporzione dei suoi lati

Trova l'area di un rettangolo se il suo perimetro è 26 cm e i suoi lati sono proporzionali come 2 a 3.

Soluzione.
Indichiamo i lati del rettangolo con il coefficiente di proporzionalità x.
Quindi la lunghezza di un lato sarà pari a 2x, l'altro - 3x.

Poi:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Ora, in base ai dati ottenuti, determiniamo l'area del rettangolo:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm2

Problema 4. Modificare la lunghezza dei lati mantenendo l'area del rettangolo

La lunghezza del rettangolo aumenta del 25%. Di quale percentuale ridurre la larghezza affinché la sua area non cambi?

Soluzione.
L'area del rettangolo è
S = ab

Nel nostro caso uno dei fattori è aumentato del 25%, il che significa a 2 = 1,25a. Quindi la nuova area del rettangolo dovrebbe essere uguale a
S2 = 1,25 ab

Pertanto, per riportare l'area del rettangolo al valore iniziale, quindi
S2 = S/1,25
S2 = 1,25ab/1,25

Poiché la nuova dimensione a non può essere modificata, allora
S2 = (1,25a)b/1,25

1 / 1,25 = 0,8
Pertanto, il valore del secondo lato deve essere ridotto di (1 - 0,8) * 100% = 20%

Risposta: la larghezza deve essere ridotta del 20%.