Qual è la frequenza delle oscillazioni armoniche. Equazione delle vibrazioni armoniche. Trasformazioni di energia durante le oscillazioni armoniche
Fondamenti della teoria di Maxwell per il campo elettromagnetico
Campo elettrico a vortice
Dalla legge di Faraday ξ=dÔ/dt segue quello Qualunque un cambiamento nel flusso di induzione magnetica associato al circuito porta all'emergere di una forza elettromotrice di induzione e, di conseguenza, appare una corrente di induzione. Di conseguenza, il verificarsi di emf. l'induzione elettromagnetica è possibile anche in un circuito stazionario situato in un campo magnetico alternato. Tuttavia, la f.e.m. in qualsiasi circuito si verifica solo quando forze esterne agiscono sui portatori di corrente in esso contenuti - forze di origine non elettrostatica (vedi § 97). Pertanto, sorge la domanda sulla natura delle forze esterne in questo caso.
L'esperienza dimostra che queste forze estranee non sono associate né ai processi termici né a quelli chimici nel circuito; inoltre la loro presenza non può essere spiegata dalle forze di Lorentz, poiché non agiscono su cariche stazionarie. Maxwell ipotizzò che qualsiasi campo magnetico alternato ecciti un campo elettrico nello spazio circostante, il che
ed è la causa della presenza di corrente indotta nel circuito. Secondo le idee di Maxwell, il circuito in cui appare la fem gioca un ruolo secondario, essendo una sorta di semplice "dispositivo" che rileva questo campo.
prima equazione Maxwell afferma che i cambiamenti nel campo elettrico generano un campo magnetico a vortice.
Seconda equazione Maxwell esprime la legge di Faraday sull'induzione elettromagnetica: la fem in qualsiasi circuito chiuso è uguale alla velocità di variazione (cioè la derivata temporale) del flusso magnetico. Ma la FEM è uguale alla componente tangenziale del vettore di intensità del campo elettrico E, moltiplicata per la lunghezza del circuito. Per andare al rotore, come nella prima equazione di Maxwell, è sufficiente dividere la fem per l'area del contorno e dirigere quest'ultimo a zero, cioè prendere un piccolo contorno che copra il punto nello spazio in esame (Fig 9, c). Quindi sul lato destro dell'equazione non ci sarà più un flusso, ma un'induzione magnetica, poiché il flusso è uguale all'induzione moltiplicata per l'area del circuito.
Quindi otteniamo: rotE = - dB/dt.
Pertanto, il campo elettrico del vortice è generato da cambiamenti nel campo magnetico, come mostrato in Fig. 9,c ed è rappresentato dalla formula appena riportata.
Terza e quarta equazione Maxwell si occupa delle cariche e dei campi da esse generati. Si basano sul teorema di Gauss, il quale afferma che il flusso del vettore di induzione elettrica attraverso qualsiasi superficie chiusa è uguale alla carica all'interno di quella superficie.
Un'intera scienza si basa sulle equazioni di Maxwell: l'elettrodinamica, che consente un'analisi rigorosa metodi matematici risolverne molti utili problemi pratici. È possibile calcolare, ad esempio, il campo di radiazione di varie antenne sia nello spazio libero che in prossimità della superficie terrestre o vicino al corpo di qualsiasi aereo, ad esempio, un aereo o un razzo. L'elettrodinamica consente di calcolare la progettazione di guide d'onda e risonatori a cavità - dispositivi utilizzati a frequenze molto elevate nelle gamme delle onde centimetriche e millimetriche, dove le linee di trasmissione convenzionali e i circuiti oscillatori non sono più adatti. Senza l’elettrodinamica, lo sviluppo del radar, delle comunicazioni radio spaziali, della tecnologia delle antenne e di molti altri settori della moderna ingegneria radio sarebbe impossibile.
Corrente di polarizzazione
CORRENTE DI SPOSTAMENTO, un valore proporzionale alla velocità di variazione di un campo elettrico alternato in un dielettrico o nel vuoto. Il nome “corrente” è dovuto al fatto che la corrente di spostamento, come la corrente di conduzione, genera un campo magnetico.
Nel costruire la teoria del campo elettromagnetico, J. C. Maxwell avanzò l'ipotesi (poi confermata sperimentalmente) che il campo magnetico sia creato non solo dal movimento delle cariche (corrente di conduzione, o semplicemente corrente), ma anche da qualsiasi cambiamento nel tempo di il campo elettrico.
Il concetto di corrente di spostamento è stato introdotto da Maxwell per stabilire relazioni quantitative tra i cambiamenti campo elettrico e il campo magnetico che provoca.
Secondo la teoria di Maxwell, in un circuito di corrente alternata contenente un condensatore, il campo elettrico alternato nel condensatore in ogni istante di tempo crea lo stesso campo magnetico che verrebbe creato dalla corrente (chiamata corrente di spostamento) se scorresse tra le armature di un condensatore. il condensatore. Da questa definizione ne consegue che J cm = J(cioè, i valori numerici della densità di corrente di conduzione e della densità di corrente di spostamento sono uguali) e, quindi, le linee di densità di corrente di conduzione all'interno del conduttore si trasformano continuamente nelle linee di densità di corrente di spostamento tra le armature del condensatore. Densità di corrente di polarizzazione j cm caratterizza la velocità di variazione dell'induzione elettrica D in tempo:
J cm = + ?D/?t.
La corrente di spostamento non produce calore Joule; è la corrente principale proprietà fisica- la capacità di creare un campo magnetico nello spazio circostante.
Un campo magnetico vorticoso è creato da una corrente totale la cui densità è J, è pari alla somma della densità di corrente di conduzione e della corrente di spostamento?D/?t. Per questo motivo è stato introdotto il nome corrente per la grandezza ?D/?t.
Oscillatore armonicoè un sistema che oscilla, descritto da un'espressione della forma d 2 s/dt 2 + ω 0 2 s = 0 oppure
dove i due punti sopra indicano la doppia differenziazione nel tempo. Le oscillazioni di un oscillatore armonico sono un importante esempio di movimento periodico e servono come modello esatto o approssimativo in molti problemi di biologia classica e fisica quantistica. Esempi di oscillatore armonico includono pendoli a molla, pendoli fisici e matematici e un circuito oscillatorio (per correnti e tensioni così piccole che gli elementi del circuito potrebbero essere considerati lineari).
Insieme a progressivo e movimenti rotazionali Nella meccanica dei corpi rivestono notevole interesse anche i moti oscillatori. Si chiamano vibrazioni meccaniche movimenti di corpi che si ripetono esattamente (o approssimativamente) a intervalli di tempo uguali. La legge del moto di un corpo oscillante è specificata utilizzando una determinata funzione periodica del tempo X = F (T). Una rappresentazione grafica di questa funzione fornisce una rappresentazione visiva del corso del processo oscillatorio nel tempo.
Esempi di sistemi oscillatori semplici sono un carico su una molla o un pendolo matematico (Fig. 2.1.1).
Le vibrazioni meccaniche, come i processi oscillatori di qualsiasi altra natura fisica, possono esserlo gratuito E costretto. Vibrazioni libere sono commessi sotto l'influenza forze interne sistema dopo che il sistema è stato portato fuori dall’equilibrio. Le oscillazioni di un peso su una molla o le oscillazioni di un pendolo sono oscillazioni libere. Vibrazioni che si verificano sotto l'influenza esterno vengono chiamate forze che cambiano periodicamente costretto Il tipo più semplice di processo oscillatorio è semplice vibrazioni armoniche , che sono descritti dall'equazione
Frequenza di oscillazione F mostra quante oscillazioni si verificano in 1 s. Unità di frequenza – hertz(Hz). Frequenza di oscillazione F legato alla frequenza ciclica ω e al periodo di oscillazione T rapporti:
dà la dipendenza dalla quantità fluttuante S dal momento T; questa è l'equazione delle oscillazioni armoniche libere in forma esplicita. Tuttavia, solitamente l'equazione delle vibrazioni viene intesa come una diversa rappresentazione di questa equazione, in forma differenziale. Per chiarezza, prendiamo l'equazione (1) nella forma
Differenziamolo due volte rispetto al tempo:
Si può vedere che vale la seguente relazione:
che è chiamata equazione delle oscillazioni armoniche libere (in forma differenziale). L'equazione (1) è una soluzione dell'equazione differenziale (2). Poiché l'equazione (2) è un'equazione differenziale del secondo ordine, sono necessarie due condizioni iniziali per ottenere una soluzione completa (ovvero determinare le costanti incluse nell'equazione (1) UN ej0); ad esempio, la posizione e la velocità del sistema oscillatorio a T = 0.
Somma di vibrazioni armoniche della stessa direzione e della stessa frequenza. Batte
Supponiamo che ci siano due oscillazioni armoniche della stessa direzione e della stessa frequenza
L'equazione per l'oscillazione risultante avrà la forma
Verifichiamolo aggiungendo le equazioni del sistema (4.1)
Applicando il teorema della somma del coseno e facendo trasformazioni algebriche:
È possibile trovare valori di A e φ0 tali che le equazioni siano soddisfatte
Considerando la (4.3) come due equazioni in due incognite A e φ0, elevandole al quadrato e sommandole, quindi dividendo la seconda per la prima, si ottiene:
Sostituendo la (4.3) nella (4.2), otteniamo:
Oppure infine, utilizzando il teorema della somma del coseno, abbiamo:
Un corpo, partecipando a due oscillazioni armoniche della stessa direzione e della stessa frequenza, compie anche un'oscillazione armonica nella stessa direzione e con la stessa frequenza delle oscillazioni sommate. L'ampiezza dell'oscillazione risultante dipende dalla differenza di fase (φ2-φ1) delle oscillazioni livellate.
A seconda della differenza di fase (φ2-φ1):
1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, …), quindi A= A1+A2, cioè l'ampiezza dell'oscillazione risultante A è pari alla somma delle ampiezze delle oscillazioni sommate;
2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, ...), allora A= |A1-A2|, cioè l'ampiezza dell'oscillazione risultante è pari alla differenza nelle ampiezze delle oscillazioni aggiunte
I cambiamenti periodici nell'ampiezza delle vibrazioni che si verificano quando vengono aggiunte due vibrazioni armoniche con frequenze simili sono chiamati battiti.
Lasciamo che le due oscillazioni differiscano poco in frequenza. Allora le ampiezze delle oscillazioni aggiunte sono uguali ad A, e le frequenze sono uguali a ω e ω+Δω, e Δω è molto inferiore a ω. Scegliamo il punto di partenza in modo che le fasi iniziali di entrambe le oscillazioni siano uguali a zero:
Risolviamo il sistema
Soluzione di sistema:
L'oscillazione risultante può essere considerata armonica con frequenza ω, ampiezza A, che varia come segue legge periodica:
La frequenza di variazione di A è doppia della frequenza di variazione del coseno. La frequenza del battimento è uguale alla differenza delle frequenze delle oscillazioni aggiunte: ωb = Δω
Periodo di battuta:
Determinare la frequenza di un tono (un suono con una certa altezza di battimento mediante un riferimento e vibrazioni misurate è il metodo più utilizzato per confrontare un valore misurato con un valore di riferimento. Il metodo del battito viene utilizzato per accordare strumenti musicali, analisi dell'udito, ecc. .
Informazioni correlate.
2. Momento d'inerzia e suo calcolo
Secondo la definizione, il momento di inerzia di un corpo rispetto a un asse è uguale alla somma dei prodotti delle masse delle particelle per i quadrati delle loro distanze dall'asse di rotazione o
Questa formula però non è adatta per calcolare il momento d'inerzia; poiché la massa di un corpo solido è distribuita in modo continuo, la somma dovrebbe essere sostituita da un integrale. Pertanto, per calcolare il momento d'inerzia, il corpo viene suddiviso in volumi infinitesimi dV con massa dm=dV. Poi
dove R è la distanza dell'elemento dV dall'asse di rotazione.
Se è noto il momento d'inerzia I C attorno all'asse passante per il centro di massa, allora si può facilmente calcolare il momento d'inerzia attorno a qualsiasi asse parallelo O passante a distanza d dal centro di massa o
io O = io C + md 2,
Questo rapporto è chiamato Il teorema di Steiner: momento d'inerzia di un corpo attorno ad un asse arbitrario pari alla somma momento d'inerzia relativo ad un asse ad esso parallelo e passante per il centro di massa e il prodotto della massa corporea per il quadrato della distanza tra gli assi.
3. Energia cinetica di rotazione
Energia cinetica di un corpo rigido rotante attorno ad un asse fisso
Differenziando la formula rispetto al tempo, otteniamo la legge della variazione dell'energia cinetica di un corpo rigido rotante attorno ad un asse fisso:
–
la velocità di variazione dell'energia cinetica del movimento rotatorio è uguale alla potenza del momento della forza.
rotazione dK =M Z Z dt=M Z d K K 2 -K 1 =
quelli. la variazione dell'energia cinetica di rotazione è uguale al lavoro compiuto dalla coppia.
4. Movimento piatto
Il movimento di un corpo rigido in cui il centro di massa si muove su un piano fisso e l'asse di rotazione che passa per il centro di massa rimane perpendicolare a questo piano è chiamato movimento piatto. Questo movimento può essere ridotto a una combinazione di movimento traslatorio e rotazione attorno asse fisso (fisso)., poiché nel sistema C l'asse di rotazione rimane effettivamente stazionario. Pertanto, il moto piano è descritto da un sistema semplificato di due equazioni del moto:
L’energia cinetica di un corpo che compie un moto piano sarà:
e infine
,
da allora in questo caso i " - la velocità di rotazione del punto i-esimo attorno ad un asse fisso.
Oscillazioni
1. Oscillatore armonico
Oscillazioni In generale vengono chiamati movimenti che si ripetono nel tempo.
Se queste ripetizioni si susseguono ad intervalli regolari, ad es. x(t+T)=x(t), allora si chiamano le oscillazioni periodico. Il sistema che fa
vengono chiamate vibrazioni oscillatore. Le oscillazioni che un sistema, lasciato a se stesso, compie si dicono naturali, e la frequenza delle oscillazioni in questo caso lo è frequenza naturale.
Vibrazioni armoniche vengono chiamate le vibrazioni che si verificano secondo la legge sin o cos. Per esempio,
x(t)=A cos(t+ 0),
dove x(t) è lo spostamento della particella dalla posizione di equilibrio, A è il massimo
compensare o ampiezza, t+ 0 -- fase oscillazioni, 0 -- fase iniziale (a t=0), 
-- frequenza ciclica, è semplicemente la frequenza di oscillazione.
Un sistema che esegue oscillazioni armoniche è chiamato oscillatore armonico. È importante che l'ampiezza e la frequenza delle oscillazioni armoniche siano costanti e indipendenti l'una dall'altra.
Condizioni per il verificarsi di oscillazioni armoniche: su una particella (o su un sistema di particelle) deve agire una forza o un momento di forza proporzionale allo spostamento della particella dalla posizione di equilibrio e
cercando di riportarlo ad una posizione di equilibrio. Tale forza (o momento di forza)
chiamato quasi elastico; ha la forma , dove k è detto quasirigidità.
In particolare, può trattarsi semplicemente di una forza elastica che fa vibrare un pendolo a molla che oscilla lungo l'asse x. L'equazione del moto di un tale pendolo ha la forma:
O 
,
dove viene introdotta la designazione.
Per sostituzione diretta è facile verificarlo risolvendo l'equazione
è una funzione
x=A cos( 0 t+ 0),
dove A e 0 -- costanti, per determinare quale è necessario specificarne due condizioni iniziali: posizione x(0)=x 0 della particella e sua velocità v x (0)=v 0 nell'istante iniziale (zero).
Questa equazione è l'equazione dinamica di qualsiasi
vibrazioni armoniche con frequenza naturale 0. Per il peso addosso
periodo di oscillazione di un pendolo a molla
.
2. Pendoli fisici e matematici
Pendolo fisico- è qualsiasi corpo fisico che esegue
oscillazioni attorno ad un asse che non passa per il centro di massa nel campo di gravità.
Affinché le oscillazioni naturali del sistema siano armoniche, è necessario che l'ampiezza di queste oscillazioni sia piccola. A proposito, lo stesso vale per la molla: controllo F = -kx solo per piccole deformazioni della molla x.
Il periodo di oscillazione è determinato dalla formula:
.
Nota che il momento quasi elastico qui è il momento di gravità
M i = - mgd , proporzionale alla deviazione angolare .
Un caso speciale di pendolo fisico è pendolo matematico-- un punto materiale sospeso a un filo inestensibile senza peso di lunghezza l. Periodo piccole fluttuazioni pendolo matematico
3. Oscillazioni armoniche smorzate
In una situazione reale, l'oscillatore è visto dall'esterno ambiente agiscono sempre forze dissipative (attrito viscoso, resistenza ambientale)
, che rallentano il movimento. L’equazione del moto assume quindi la forma:
.
Indicando e , otteniamo l'equazione dinamica delle oscillazioni armoniche naturali smorzate:
.
Come per le oscillazioni non smorzate, questa è la forma generale dell'equazione.
Se la resistenza media non è troppo alta
Funzione 
rappresenta un'ampiezza di oscillazioni esponenzialmente decrescente. Questa diminuzione di ampiezza viene chiamata rilassamento(indebolimento) delle vibrazioni, e si chiama coefficiente di attenuazione esitazione.
Tempo durante il quale l'ampiezza delle oscillazioni diminuisce di e=2,71828 volte,
chiamato momento di relax.
Oltre al coefficiente di attenuazione viene introdotta un'altra caratteristica,
chiamato decremento logaritmico dello smorzamento-- è naturale
logaritmo del rapporto delle ampiezze (o spostamenti) su un periodo:
Frequenza delle oscillazioni naturali smorzate
dipende non solo dall'entità della forza quasi elastica e della massa corporea, ma anche da
resistenza ambientale.
4. Aggiunta di vibrazioni armoniche
Consideriamo due casi di tale addizione.
a) L'oscillatore partecipa in due reciprocamente perpendicolari fluttuazioni.
In questo caso lungo gli assi xey agiscono due forze quasi elastiche. Poi
Per trovare la traiettoria dell'oscillatore, il tempo t dovrebbe essere escluso da queste equazioni.
Il modo più semplice per farlo è se frequenze multiple:
Dove n e m sono numeri interi.
In questo caso, la traiettoria dell'oscillatore sarà una certa Chiuso curva chiamata Figura di Lissajous.
Esempio: le frequenze di oscillazione in xey sono le stesse ( 1 = 2 =), e la differenza nelle fasi di oscillazione 
(per semplicità poniamo 1 =0).
.
Da qui troviamo: - la figura di Lissajous sarà un'ellisse.
b) L'oscillatore oscilla una direzione.
Consideriamo per ora due di queste oscillazioni; Poi
Dove 
E 
-- fasi di oscillazione.
È molto scomodo aggiungere analiticamente le vibrazioni, soprattutto quando lo sono
non due, ma diversi; pertanto viene solitamente utilizzato geometrico metodo del diagramma vettoriale.
5. Vibrazioni forzate
Vibrazioni forzate si verificano quando si agisce sull'oscillatore
forza periodica esterna che varia secondo una legge armonica
con frequenza ext: 
.
Equazione dinamica oscillazioni forzate:
Per oscillazione di stato stazionario la soluzione dell'equazione è la funzione armonica:
dove A è l'ampiezza delle oscillazioni forzate e è il ritardo di fase
dalla forza coercitiva.
Ampiezza delle oscillazioni forzate stazionarie:
Sfasamento delle oscillazioni forzate stazionarie dall'esterno
forza motrice:
.
\hs Quindi: si verificano oscillazioni forzate stazionarie
con un'ampiezza costante e indipendente dal tempo, cioè non svanire
nonostante la resistenza dell’ambiente. Ciò è spiegato dal fatto che il lavoro
arriva la forza esterna
aumento dell'energia meccanica dell'oscillatore e la compensa completamente
la sua diminuzione, che avviene per l'azione della forza di resistenza dissipativa
6. Risonanza
Come si può vedere dalla formula, l'ampiezza delle oscillazioni forzate
E ext dipende dalla frequenza della forza motrice esterna ext. Il grafico di questa relazione si chiama curva di risonanza o la risposta in ampiezza-frequenza dell'oscillatore.
Equazione della vibrazione armonica
L'equazione dell'oscillazione armonica stabilisce la dipendenza delle coordinate del corpo dal tempo
Il grafico del coseno nel momento iniziale ha un valore massimo e il grafico del seno ha un valore zero nel momento iniziale. Se iniziamo ad esaminare l'oscillazione dalla posizione di equilibrio, l'oscillazione ripeterà una sinusoide. Se cominciamo a considerare l'oscillazione dalla posizione di massima deviazione, allora l'oscillazione sarà descritta da un coseno. Oppure tale oscillazione può essere descritta dalla formula del seno con una fase iniziale.
Variazione di velocità e accelerazione durante l'oscillazione armonica
Non solo la coordinata del corpo cambia nel tempo secondo la legge del seno o del coseno. Ma anche quantità come la forza, la velocità e l’accelerazione cambiano in modo simile. La forza e l'accelerazione sono massime quando il corpo oscillante si trova nelle posizioni estreme in cui lo spostamento è massimo, e sono nulle quando il corpo passa per la posizione di equilibrio. La velocità, invece, nelle posizioni estreme è nulla, e quando il corpo passa per la posizione di equilibrio raggiunge il suo valore massimo.
Se l'oscillazione è descritta dalla legge del coseno
Se l'oscillazione è descritta secondo la legge del seno
Valori massimi di velocità e accelerazione
Analizzate le equazioni di dipendenza v(t) e a(t), possiamo intuire che velocità e accelerazione assumono valori massimi nel caso in cui il fattore trigonometrico sia pari a 1 o -1. Determinato dalla formula
La scelta della fase iniziale ci permette di passare dalla funzione seno alla funzione coseno quando si descrivono le oscillazioni armoniche:Oscillazione armonica generalizzata in forma differenziale:
Affinché si verifichino vibrazioni libere secondo la legge armonica, è necessario che la forza che tende a riportare il corpo nella posizione di equilibrio sia proporzionale allo spostamento del corpo dalla posizione di equilibrio e diretta nella direzione opposta allo spostamento:
dove è la massa del corpo oscillante.
Viene chiamato un sistema fisico in cui possono esistere oscillazioni armoniche oscillatore armonico, e l'equazione delle vibrazioni armoniche è Equazione dell'oscillatore armonico.
1.2. Aggiunta di vibrazioni
Ci sono spesso casi in cui un sistema partecipa contemporaneamente a due o più oscillazioni indipendenti l'una dall'altra. In questi casi, un complesso movimento oscillatorio, che viene creato sovrapponendo (aggiungendo) vibrazioni una sopra l'altra. Ovviamente i casi di aggiunta di oscillazioni possono essere molto diversi. Dipendono non solo dal numero di oscillazioni aggiunte, ma anche dai parametri delle oscillazioni, dalle loro frequenze, fasi, ampiezze e direzioni. Non è possibile passare in rassegna tutta la possibile varietà di casi di addizione di oscillazioni, quindi ci limiteremo a considerare solo singoli esempi.
Somma di oscillazioni armoniche dirette lungo una retta
Consideriamo l'aggiunta di oscillazioni identicamente dirette dello stesso periodo, ma diverse nella fase iniziale e nell'ampiezza. Le equazioni delle oscillazioni aggiunte sono date nella forma seguente:
dove e sono gli spostamenti; e – ampiezze; e sono le fasi iniziali delle oscillazioni ripiegate.
| Fig.2. |
È conveniente determinare l'ampiezza dell'oscillazione risultante utilizzando un diagramma vettoriale (Fig. 2), sul quale sono tracciati i vettori delle ampiezze e delle oscillazioni aggiunte agli angoli e all'asse e, secondo la regola del parallelogramma, il vettore dell'ampiezza di si ottiene l'oscillazione totale.
Se ruoti uniformemente un sistema di vettori (parallelogramma) e proietti i vettori sull'asse , quindi le loro proiezioni eseguiranno oscillazioni armoniche secondo le equazioni date. Accordo reciproco vettori, e allo stesso tempo rimane invariato, quindi anche il movimento oscillatorio della proiezione del vettore risultante sarà armonico.
Ne consegue che il movimento totale è un'oscillazione armonica avente una data frequenza ciclica. Determiniamo il modulo di ampiezza UN l'oscillazione risultante. In un angolo (dall'uguaglianza degli angoli opposti di un parallelogramma).
Quindi,
da qui: .
Secondo il teorema del coseno,
La fase iniziale dell'oscillazione risultante è determinata da:
Le relazioni per fase e ampiezza ci permettono di trovare l'ampiezza e la fase iniziale del movimento risultante e comporre la sua equazione: .
Batte
Consideriamo il caso in cui le frequenze delle due oscillazioni aggiunte differiscono poco l'una dall'altra, e lasciamo che le ampiezze siano le stesse e le fasi iniziali, cioè
Aggiungiamo queste equazioni analiticamente:
Trasformiamoci
| Riso. 3. |
Si può osservare il battito quando suonano due diapason se le frequenze e le vibrazioni sono vicine tra loro.
Somma di vibrazioni reciprocamente perpendicolari
Permettere punto materiale partecipa contemporaneamente a due oscillazioni armoniche che si verificano con periodi uguali in due direzioni reciprocamente perpendicolari. Un sistema di coordinate rettangolari può essere associato a queste direzioni ponendo l'origine nella posizione di equilibrio del punto. Indichiamo lo spostamento del punto C lungo gli assi e, rispettivamente, attraverso e . (Fig. 4).
Consideriamo diversi casi speciali.
1). Le fasi iniziali delle oscillazioni sono le stesse
Scegliamo il punto iniziale del tempo in modo che le fasi iniziali di entrambe le oscillazioni siano uguali a zero. Quindi gli spostamenti lungo gli assi possono essere espressi dalle equazioni:
Dividendo queste uguaglianze termine per termine, otteniamo le equazioni per la traiettoria del punto C:
O .
Di conseguenza, per effetto della somma di due oscillazioni reciprocamente perpendicolari, il punto C oscilla lungo un segmento di retta passante per l'origine delle coordinate (Fig. 4).
| Riso. 4. |
Le equazioni delle oscillazioni in questo caso hanno la forma:
Equazione della traiettoria del punto:
Di conseguenza il punto C oscilla lungo un segmento di retta passante per l'origine delle coordinate, ma giacente in quadranti diversi rispetto al primo caso. Ampiezza UN le oscillazioni risultanti in entrambi i casi considerati sono pari a:
3). La differenza di fase iniziale è .
Le equazioni delle oscillazioni hanno la forma:
Dividi la prima equazione per , la seconda per :
Facciamo il quadrato di entrambe le uguaglianze e sommiamole. Otteniamo la seguente equazione per la traiettoria del movimento risultante del punto oscillante:
Il punto oscillante C si muove lungo un'ellisse con semiassi e. A parità di ampiezza, la traiettoria del movimento totale sarà un cerchio. Nel caso generale, per , ma multiplo, cioè , quando si sommano oscillazioni tra loro perpendicolari, il punto oscillante si muove lungo curve chiamate figure di Lissajous.
Figure di Lissajous
Figure di Lissajous– traiettorie chiuse disegnate da un punto che compie contemporaneamente due oscillazioni armoniche in due direzioni reciprocamente perpendicolari.
Studiato per la prima volta dallo scienziato francese Jules Antoine Lissajous. L'aspetto delle figure dipende dal rapporto tra i periodi (frequenze), le fasi e le ampiezze di entrambe le oscillazioni(Fig. 5).
| Fig.5. |
Nel caso più semplice di uguaglianza di entrambi i periodi, le figure sono ellissi che, con una differenza di fase, degenerano in segmenti rettilinei e con una differenza di fase e uguali ampiezze si trasformano in un cerchio. Se i periodi di entrambe le oscillazioni non coincidono esattamente, la differenza di fase cambia continuamente, per cui l'ellisse viene costantemente deformata. In periodi significativamente diversi, le figure di Lissajous non vengono osservate. Tuttavia, se i periodi sono correlati come numeri interi, dopo un periodo di tempo pari al multiplo più piccolo di entrambi i periodi, il punto mobile ritorna nuovamente nella stessa posizione: si ottengono figure di Lissajous di forma più complessa.
Le figure di Lissajous si inseriscono in un rettangolo, il cui centro coincide con l'origine, e i lati sono paralleli agli assi delle coordinate e si trovano su entrambi i lati a distanze pari alle ampiezze di oscillazione (Fig. 6).
Temi Codificatore dell'Esame di Stato Unificato: vibrazioni armoniche; ampiezza, periodo, frequenza, fase delle oscillazioni; vibrazioni libere, vibrazioni forzate, risonanza.
Oscillazioni - Si tratta di cambiamenti nello stato del sistema che si ripetono nel tempo. Il concetto di oscillazioni copre una gamma molto ampia di fenomeni.
Vibrazioni di sistemi meccanici, o vibrazioni meccaniche- è il movimento meccanico di un corpo o di un sistema di corpi, ripetibile nel tempo e che avviene in prossimità della posizione di equilibrio. Posizione di equilibrioè uno stato di un sistema in cui può rimanere indefinitamente senza subire influenze esterne.
Ad esempio, se il pendolo viene deviato e rilasciato, inizierà a oscillare. La posizione di equilibrio è la posizione del pendolo in assenza di deviazione. Il pendolo, se lasciato indisturbato, può rimanere in questa posizione per tutto il tempo desiderato. Quando il pendolo oscilla, passa molte volte attraverso la sua posizione di equilibrio.
Immediatamente dopo che il pendolo deviato è stato rilasciato, ha iniziato a muoversi, ha superato la posizione di equilibrio, ha raggiunto la posizione estrema opposta, si è fermato lì per un momento, si è mosso nella direzione opposta, ha superato di nuovo la posizione di equilibrio ed è tornato indietro. Una cosa è accaduta pieno svolgimento. Quindi questo processo verrà ripetuto periodicamente.
Ampiezza di oscillazione del corpo è l'entità della sua massima deviazione dalla posizione di equilibrio.
Periodo di oscillazione - questo è il tempo di un'oscillazione completa. Possiamo dire che durante un periodo il corpo percorre un percorso di quattro ampiezze.
Frequenza di oscillazione è il reciproco del periodo: . La frequenza è misurata in hertz (Hz) e mostra quante oscillazioni complete si verificano in un secondo.
Vibrazioni armoniche.
Assumeremo che la posizione del corpo oscillante sia determinata da un'unica coordinata. La posizione di equilibrio corrisponde al valore . Il compito principale della meccanica in questo caso è trovare una funzione che dia le coordinate del corpo in qualsiasi momento.
Per una descrizione matematica delle oscillazioni è naturale usare funzioni periodiche. Esistono molte funzioni simili, ma due di esse, seno e coseno, sono le più importanti. Hanno molte buone proprietà e sono strettamente correlati a una vasta gamma di fenomeni fisici.
Poiché le funzioni seno e coseno si ottengono l'una dall'altra spostando l'argomento di , possiamo limitarci a una sola di esse. Per chiarezza, useremo il coseno.
Vibrazioni armoniche- si tratta di oscillazioni la cui coordinata dipende dal tempo secondo la legge armonica:
(1)
Scopriamo il significato delle quantità incluse in questa formula.
Un valore positivo è il valore del modulo più grande della coordinata (poiché il valore massimo del modulo del coseno è uguale all'unità), cioè la deviazione più grande dalla posizione di equilibrio. Pertanto - l'ampiezza delle oscillazioni.
Viene chiamato l'argomento del coseno fase esitazione. grandezza, uguale al valore la fase in , è detta fase iniziale. La fase iniziale corrisponde alla coordinata iniziale del corpo: .
La quantità si chiama frequenza ciclica. Troviamo la sua connessione con il periodo di oscillazione e la frequenza. Un'oscillazione completa corrisponde ad un incremento di fase pari a radianti: , da cui
(2)
(3)
La frequenza ciclica si misura in rad/s (radianti al secondo).
In accordo con le espressioni (2) e (3), otteniamo altre due forme di scrittura della legge armonica (1):
Il grafico della funzione (1), che esprime la dipendenza della coordinata dal tempo durante le oscillazioni armoniche, è mostrato in Fig. 1 .
La legge armonica della forma (1) è la più carattere generale. Risponde, ad esempio, a situazioni in cui sul pendolo sono state eseguite contemporaneamente due azioni iniziali: è stato deviato di una certa quantità e gli è stata data una certa velocità iniziale. Esistono due importanti casi speciali in cui una di queste azioni non è stata eseguita.
Lasciamo che il pendolo venga deviato, ma la velocità iniziale non sia stata segnalata (è stato rilasciato senza la velocità iniziale). È chiaro che in questo caso, quindi, possiamo mettere . Otteniamo la legge del coseno:
Il grafico delle oscillazioni armoniche in questo caso è mostrato in Fig. 2.
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| Riso. 2. Legge del coseno |
Supponiamo ora che il pendolo non sia stato deviato, ma che la velocità iniziale dalla posizione di equilibrio gli sia stata trasmessa dall'impatto. In questo caso, quindi puoi mettere . Otteniamo la legge del seno:
Il grafico delle oscillazioni è mostrato in Fig. 3.
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| Riso. 3. Legge del seno |
Equazione delle vibrazioni armoniche.
Torniamo alla legge armonica generale (1). Differenziamo questa uguaglianza:
. (4)
Ora differenziamo l'uguaglianza risultante (4):
. (5)
Confrontiamo l'espressione (1) per la coordinata e l'espressione (5) per la proiezione dell'accelerazione. Vediamo che la proiezione dell'accelerazione differisce dalle coordinate solo per un fattore:
. (6)
Questo rapporto è chiamato equazione armonica. Può anche essere riscritto in questa forma:
. (7)
Da un punto di vista matematico, l'equazione (7) lo è equazione differenziale. Soluzioni equazioni differenziali Servono le funzioni (e non i numeri, come nell’algebra ordinaria).
Quindi, si può dimostrare che:
La soluzione dell'equazione (7) è qualsiasi funzione della forma (1) con arbitrario ;
Nessun'altra funzione è una soluzione a questa equazione.
In altre parole, le relazioni (6), (7) descrivono oscillazioni armoniche con frequenza ciclica e solo esse. Due costanti sono determinate dalle condizioni iniziali: dai valori iniziali delle coordinate e della velocità.
Pendolo a molla.
Pendolo a molla è un carico attaccato ad una molla che può oscillare in direzione orizzontale o verticale.
Troviamo il periodo delle piccole oscillazioni orizzontali del pendolo a molla (Fig. 4). Le oscillazioni saranno piccole se l'entità della deformazione della molla è molto inferiore alle sue dimensioni. Per piccole deformazioni possiamo usare la legge di Hooke. Ciò porterà le oscillazioni ad essere armoniche.
Trascuriamo l'attrito. Il carico ha una massa e la rigidezza della molla è pari a .
La coordinata corrisponde alla posizione di equilibrio in cui la molla non è deformata. Di conseguenza, l'entità della deformazione della molla è uguale al modulo delle coordinate del carico.
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| Riso. 4. Pendolo a molla |
Nella direzione orizzontale, sul carico agisce solo la forza elastica della molla. La seconda legge di Newton per il carico proiettato sull'asse ha la forma:
. (8)
Se (il carico viene spostato a destra, come in figura), la forza elastica è diretta nella direzione opposta e . Viceversa, se , allora . I segni e sono sempre opposti, quindi la legge di Hooke può essere scritta come segue:
Allora la relazione (8) assume la forma:
Abbiamo ottenuto un'equazione delle oscillazioni armoniche della forma (6), in cui
La frequenza ciclica di oscillazione del pendolo a molla è quindi pari a:
. (9)
Da qui e dalla relazione troviamo il periodo delle oscillazioni orizzontali del pendolo a molla:
. (10)
Se appendi un carico a una molla, ottieni un pendolo a molla che oscilla in direzione verticale. Si può dimostrare che in questo caso per il periodo di oscillazione vale la formula (10).
Pendolo matematico.
Pendolo matematico è un piccolo corpo sospeso su un filo inestensibile senza peso (Fig. 5). Un pendolo matematico può oscillare su un piano verticale nel campo di gravità.
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| Riso. 5. Pendolo matematico |
Troviamo il periodo delle piccole oscillazioni di un pendolo matematico. La lunghezza del filo è . Trascuriamo la resistenza dell'aria.
Scriviamo la seconda legge di Newton per il pendolo:
e proiettarlo sull'asse:
Se il pendolo assume una posizione come in figura (cioè), allora:
Se il pendolo si trova dall'altra parte della posizione di equilibrio (cioè), allora:
Quindi, per qualsiasi posizione del pendolo abbiamo:
. (11)
Quando il pendolo è fermo nella posizione di equilibrio l’uguaglianza è soddisfatta. Per piccole oscillazioni, quando le deviazioni del pendolo dalla posizione di equilibrio sono piccole (rispetto alla lunghezza del filo), l'uguaglianza approssimativa è soddisfatta. Usiamolo nella formula (11):
Questa è un'equazione delle oscillazioni armoniche della forma (6), in cui
Pertanto, la frequenza ciclica delle oscillazioni di un pendolo matematico è pari a:
. (12)
Da qui il periodo di oscillazione di un pendolo matematico:
. (13)
Si prega di notare che la formula (13) non include la massa del carico. A differenza del pendolo a molla, il periodo di oscillazione di un pendolo matematico non dipende dalla sua massa.
Vibrazioni libere e forzate.
Dicono che il sistema lo fa vibrazioni libere, se una volta viene tolto dalla posizione di equilibrio e successivamente lasciato a se stesso. Nessun periodico esterno
In questo caso il sistema non subisce alcuna influenza e non ci sono fonti di energia interne che supportino le oscillazioni del sistema.
Le oscillazioni della molla e dei pendoli matematici discussi sopra sono esempi di oscillazioni libere.
Viene chiamata la frequenza con cui si verificano le vibrazioni libere frequenza naturale sistema oscillatorio. Pertanto, le formule (9) e (12) forniscono le frequenze naturali (cicliche) delle oscillazioni della molla e dei pendoli matematici.
In una situazione idealizzata in assenza di attrito, le oscillazioni libere non sono smorzate, cioè hanno un'ampiezza costante e durano indefinitamente. Nei sistemi oscillatori reali l'attrito è sempre presente, quindi le vibrazioni libere si estinguono gradualmente (Fig. 6).
Vibrazioni forzate- si tratta di oscillazioni compiute da un sistema sotto l'influenza di una forza esterna che cambia periodicamente nel tempo (la cosiddetta forza motrice).
Supponiamo che la frequenza naturale delle oscillazioni del sistema sia uguale a , e che la forza motrice dipenda dal tempo secondo la legge armonica:
Con il passare del tempo si instaurano oscillazioni forzate: il sistema esegue un movimento complesso, che è una sovrapposizione di oscillazioni forzate e libere. Le oscillazioni libere si estinguono gradualmente e in uno stato stazionario il sistema esegue oscillazioni forzate, che risultano anch'esse armoniche. La frequenza delle oscillazioni forzate stazionarie coincide con la frequenza
forza forzante (una forza esterna, per così dire, impone la sua frequenza al sistema).
L'ampiezza delle oscillazioni forzate stabilite dipende dalla frequenza della forza motrice. Il grafico di questa dipendenza è mostrato in Fig. 7.
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| Riso. 7. Risonanza |
Vediamo che la risonanza si verifica vicino alla frequenza, il fenomeno di un aumento dell'ampiezza delle oscillazioni forzate. La frequenza di risonanza è approssimativamente uguale alla frequenza naturale delle oscillazioni del sistema: e questa uguaglianza è soddisfatta in modo più accurato, minore è l'attrito nel sistema. In assenza di attrito, la frequenza di risonanza coincide con la frequenza naturale delle oscillazioni e l'ampiezza delle oscillazioni aumenta all'infinito a .
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